資源簡介

7．3組合
課程標準 學習目標
（1）能通過實例，用自己的語言解釋組合的定義；能用定義判斷是不是組合問題，發展數學抽象素養． （2）能從組合的定義出發，利用排列與組合的關系推導組合數公式，并能用組合數公式解決有關計數問題． （3）能綜合應用組合的概念和公式解決簡單的實際問題． （1）了解組合及組合數的概念. （2）能利用計數原理推導組合數公式，并會應用公式解決簡單的組合問題．
知識點01 組合
1、定義：
一般地，從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．
知識點詮釋：
（1）從排列與組合的定義可知，一是“取出元素”；二是“并成一組”，“并成一組”即表示與順序無關．
排列與元素的順序有關，而組合與元素的順序無關，這是它們的根本區別．
（2）如果兩個組合中的元素相同，那么不管元素的順序怎樣都是相同的組合；只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合．因此組合問題的本質是分組問題，它主要涉及元素被取到或末被取到．
【即學即練1】（2024·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學?？计谀┫铝兴膫€問題屬于組合問題的是（ ）
A．從名志愿者中選出人分別參加導游和翻譯的工作
B．從、、、這個數字中選取個不同的數字排成一個三位數
C．從全班同學中選出名同學參加學校運動會開幕式
D．從全班同學中選出名同學分別擔任班長、副班長
【答案】C
【解析】對于A選項，從名志愿者中選出人分別參加導游和翻譯的工作，
將人選出后，還要安排導游或翻譯的工作，與順序有關，這個問題為排列問題；
對于B選項，從、、、這個數字中選取個不同的數字排成一個三位數，
選出三個數字之后，還要將這三個數安排至個位、十位、百位這三個數位，
與順序有關，這個問題為排列問題；
對于C選項，從全班同學中選出名同學參加學校運動會開幕式，只需將三名同學選出，
與順序無關，這個問題為組合問題；
對于D選項，從全班同學中選出名同學分別擔任班長、副班長，
將人選出后，還要安排至班長、副班長兩個職務，與順序有關，這個問題為排列問題.
故選：C.
知識點02 組合數及其公式
1、組合數的定義：
從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數．記作．
知識點詮釋：
“組合”與“組合數”是兩個不同的概念：
一個組合是指“從個不同的元素中取出個元素并成一組”，它不是一個數，而是具體的一件事；組合數是指“從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數”，它是一個數．
2、組合數公式：
（1）（，且）
（2）（，且）
知識點詮釋：
上面第一個公式一般用于計算，但當數值m、n較大時，利用第二個式子計算組合數較為方便，在對含有字母的組合數的式子進行變形和論證時，常用第二個公式．
【即學即練2】（2024·山東濰坊·高二統考期末）（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【解析】由.
故選：C.
知識點03 組合數的性質
性質1：（，且）
性質2：（，且）
知識點詮釋：
規定：．
【即學即練3】（2024·福建寧德·高二統考期末）若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，則，解得，
故
.
故選：D.
知識點04 組合問題常見題型
（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：
“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．
（2）“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：
解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求解，但通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．
（3）分堆問題
①平均分堆，其分法數為：．
②分堆但不平均，其分法數為．
（4）定序問題．
對于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對其他元素進行排列．
（5）相同元素分組問題用“隔板法”
【即學即練4】（2024·江西萍鄉·高二統考期末）將6名學生分配到甲、乙兩個宿舍中，每個宿舍至少安排兩名學生，不同的分配方案有 種．（用數字作答）
【答案】50
【解析】由題意知將6名學生分配到甲、乙兩個宿舍中，每個宿舍至少安排2名學生，
包括甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人，
當甲和乙兩個屋子住4人、2人，共有種，
當甲和乙兩個屋子住3人、3人，共有種，
根據分類計數原理得到共有（種）.
故答案為：50
題型一：組合概念的理解
【典例1-1】（多選題）（2024·高二單元測試）下列是組合問題的是（ ）
A．平面上有5個點，其中任意三個點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？
B．10支球隊以單循環進行比賽（每兩隊比賽一次），共進行多少場次？
C．從10個人中選出3個為代表去開會，有多少種選法？
D．從10個人中選出3個為不同學科的課代表，有多少種選法？
【答案】ABC
【解析】A是組合問題，因為兩點確定一條直線，與點的順序無關；
B是組合問題，因為每兩個隊比賽一次，并不需要考慮誰先誰后，沒有順序的區別；
C是組合問題，因為三個代表之間沒有順序的區別；
D是排列問題，因為三個人中，擔任哪一科的課代表是有順序區別的．
故選:ABC．
【典例1-2】（多選題）（2024·全國·高二專題練習）下面問題中，是組合問題的是（ ）
A．由1，2，3三個數字組成無重復數字的三位數
B．從40人中選5人組成籃球隊
C．從100人中選2人抽樣調查
D．從1，2，3，4，5中選5個數組成集合
【答案】BCD
【解析】對于A，由1，2，3三個數字組成無重復數字的三位數，
則共有種排法，是排列問題；
對于B，從40人中選5人組成籃球隊，有種選法，是組合問題；
對于C，從100人中選2人抽樣調查，有種選法，是組合問題；
對于D，從1，2，3，4，5中選5個數組成集合，有種選法，是組合問題.
故選：BCD.
【變式1-1】（多選題）（2024·高二課前預習）給出下面幾個問題，其中是組合問題的有（ ）
A．由1，2，3，4構成的含有2個元素的集合個數
B．五個隊進行單循環比賽的比賽場次數
C．由1，2，3組成兩位數的不同方法數
D．由1，2，3組成的無重復數字的兩位數的個數
【答案】AB
【解析】A選項中集合的元素可以是無序的，即：集合與集合是相同的集合，故A選項為組合問題；
B選項中五個隊單循環比賽，即每個隊伍只與不同的隊比賽一次，
例如：1隊2隊，1隊3隊，1隊4隊，1隊5隊，2隊3隊，2隊4隊，2隊5隊，3隊4隊，3隊5隊，4隊5隊，故B選項為組合問題；
C選項中如選1，2兩個數字，則有兩位數12，或者兩位數21，很明顯21和12是滿足要求的兩個不同的組合，為排列問題；
如選重復數字組成的兩位數，11、22、33，則不需要考慮順序，為組合問題，故C選項中既有排列也有組合；
D選項與C選項類似，故D選項為排列問題.
故選：AB.
【變式1-2】（2024·山西晉中·高二校考期末）下列問題中不是組合問題的是（ ）
A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有9個不同點，它們中任意三點不共線，連接任意兩點可以構成多少條直線
C．集合的含有三個元素的子集有多少個
D．從高二（6）班的50名學生中選出2名學生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節目，有多少種選法
【答案】D
【解析】因為兩人握手沒有順序之分，所以選項A問題是組合問題；
因為兩點組成直線沒有順序之分，所以選項B問題是組合問題；
因為集合元素具有無序性，所以選項C問題是組合問題；
因為這2名學生參加的節目有順序之分，所以選項D問題不是組合問題，
故選：D
【方法技巧與總結】
排列、組合辨析切入點
（1）組合的特點是只選不排，即組合只是從n個不同的元素中取出m（m≤n）個不同的元素即可．
（2）只要兩個組合中的元素完全相同，不管順序如何，這兩個組合就是相同的組合．
（3）判斷組合與排列的依據是看是否與順序有關，與順序有關的是排列問題，與順序無關的是組合問題．
題型二：簡單的組合問題
【典例2-1】（2024·高二課時練習）甲、乙、丙、丁4支籃球隊舉行單循環賽（即任意兩支球隊都要比賽一場）.
(1)寫出每場比賽的兩支球隊；
(2)寫出冠亞軍的所有可能情況.
【解析】（1）這是一個組合問題，將兩支球隊的組合用一個集合表示，共有6個組合：
{甲，乙}、{甲，丙}、{甲，丁}、{乙，丙}、{乙，丁}、{丙，丁}.
（2）這是一個排列問題，即從4支球隊中任意選取2支，按照冠軍和亞軍順序排列，共有12種排列方式
（符號（甲，乙）表示“甲是冠軍，乙是亞軍”）：
（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，?。ⅲㄒ?，丙）、（乙，丁）、（丙，丁）、
（乙，甲）、（丙，甲）、（丁，甲）、（丙，乙）、（丁，乙）、（丁，丙）.
【典例2-2】（2024·高二課時練習）從5個不同元素a，b，c，d，e中取出2個，共有多少種不同的組合？請寫出所有組合．
【解析】
先將元素按照一定順序排好，然后按順序用圖示的方法將各個組合逐個寫出來，如圖所示：
由此可得所有的組合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10種．
【變式2-1】（2024·高二課時練習）寫出從a，b，c這3個元素中，每次取出2個元素的所有組合．
【解析】可按順序寫出，
所以所有組合為.
【變式2-2】（2024·甘肅天水·高二?？茧A段練習）在A、B、C、D四位候選人中，
(1)如果選舉正、副班長各一人，共有幾種選法？寫出所有可能的選舉結果；
(2)如果選舉班委三人，共有幾種選法？寫出所有可能的選舉結果．
【解析】（1）選舉種數 (種)，所有可能的選舉結果：
AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC.
（2）選舉種數 (種)，所有可能的選舉結果：
ABC、ABD、ACD、BCD.
【方法技巧與總結】
利用排列與組合之間的關系，建立起排列數與組合數之間的計算方法，借助排列數求組合數．
題型三：組合數公式的應用
【典例3-1】（2024·全國·高二隨堂練習）求證：．
【解析】由組合數公式可知，
等式成立.
【典例3-2】（2024·高二課時練習）已知m是自然數，n是正整數，且．求證：
(1)；
(2)．
【解析】（1）根據組合數公式，可以得到．
（2）根據組合數公式，可以得到
．
【變式3-1】（2024·山東德州·高二?？茧A段練習）（1）解關于x的不等式．
（2）求等式中的n值．
【解析】（1）由，得，，
于是，整理得，解得，
所以.
（2）原方程變形為，即，顯然，
因此，
化簡整理，得，而，解得，
所以.
【變式3-2】（2024·河南焦作·高二統考期末）已知為正整數，且，則 .
【答案】5
【解析】由，根據排列數和組合數的公式，可得，解得.
故答案為：.
【變式3-3】（2024·江西·高二校聯考期末）方程（且）的解為 ．
【答案】2或4
【解析】由題意，可知，則，所以或.
故答案為：2或4.
【變式3-4】（2024·新疆阿克蘇·高二校考階段練習）計算：
【答案】9
【解析】.
故答案為：9
【方法技巧與總結】
（1）組合數公式一般用于計算，而組合數公式般用于含字母的式子的化簡與證明．
（2）要善于挖掘題目中的隱含條件，簡化解題過程，如組合數的隱含條件為，且．
題型四：組合數的性質
【典例4-1】（2024·高二課時練習）求滿足等式的所有正整數k．
【解析】因為，
所以或，解得或，
所以滿足等式的值為.
【典例4-2】（2024·遼寧大連·高二校聯考期末）若，則（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．2或4
【答案】A
【解析】由組合數的性質可得，解得，
又，所以或，
解得或（舍去）.
故選：A.
【變式4-1】（2024·廣東梅州·高二?？茧A段練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由組合數性質知，，
所以，
所以，得.
故選：A.
【變式4-2】（2024·遼寧·高二校聯考期末）（ ）
A．120 B．119 C．110 D．109
【答案】B
【解析】因為，
所以.
故選：B.
【變式4-3】（2024·甘肅白銀·高二統考開學考試）（ ）
A．84 B．120 C．126 D．210
【答案】D
【解析】因為，
所以．
故選：D
【方法技巧與總結】
計算時應注意利用組合數的兩個性質：
；②．
題型五：多面手問題
【典例5-1】（2024·全國·高三專題練習）某國際旅行社現有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現從這11人中選出4人當英語翻譯，4人當法語翻譯，則共有（ ）種不同的選法
A．225 B．185 C．145 D．110
【答案】B
【解析】根據題意，按“2人既會英語又會法語”的參與情況分成三類．
①“2人既會英語又會法語”不參加，這時有種；
②“2人既會英語又會法語”中有一人入選，
這時又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能，
因此有種；
③“2人既會英語又會法語”中兩個均入選，
這時又分三種情況：兩個都譯英文、兩個都譯日文、兩人各譯一個語種，
因此有種．
綜上分析，共可開出種．
故選：B．
【典例5-2】（2024·黑龍江·大慶市東風中學高二期中）某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有_______
【答案】92
【解析】不妨設既會劃左舷又會劃右舷的2人為、，
①若和兩人均不去參加比賽，則選派方法有種；
②若和兩人只去一人參加比賽，
(i)若只會劃左舷的去兩人，則選派方法為種；
(ii)若只會劃右舷的去兩人，則選派方法為種；
③若和兩人均去參加比賽，
(i)若只會劃左舷的去1人，則和兩人均去劃左舷，則選派方法為種；
(ii)若只會劃左舷的去2人，則和兩人中有一人去劃左舷，另一人去劃右舷，
則選派方法為種；
(iii)若只會劃左舷的去3人，則和兩人均去劃右舷，則選派方法為種，
綜上所述，不同的選派方法共有種.
故答案為：92.
【變式5-1】（2024·全國·高二課時練習）某出版社的7名工人中，有3人只會排版，2人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷，現從7人中安排2人排版，2人印刷，有幾種不同的安排方法．
【解析】首先分類的標準要正確，可以選擇“只會排版”、“只會印刷”、“既會排版又會印刷”中的一個作為分類的標準．下面選擇“既會排版又會印刷”作為分類的標準，按照被選出的人數，可將問題分為三類：
第一類：2人全不被選出，即從只會排版的3人中選2人，有3種選法；只會印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步計數原理知共有3×1=3種選法．
第二類：2人中被選出一人，有2種選法．若此人去排版，則再從會排版的3人中選1人，有3種選法，只會印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步計數原理知共有2×3×1=6種選法；若此人去印刷，則再從會印刷的2人中選1人，有2種選法，從會排版的3人中選2人，有3種選法，由分步計數原理知共有2×3×2=12種選法；再由分類計數原理知共有6+12=18種選法．
第三類：2人全被選出，同理共有16種選法．
所以共有3+18+16=37種選法．
【方法技巧與總結】
有限制條件的抽（選）取問題，主要有兩類
（1）“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數．
（2）“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準對立面，確保不重不漏．
題型六：分組、分配問題
【典例6-1】（2024·陜西西安·高二西安市鐵一中學?？计谀┮阎?位教師到4所學校支教，每所學校至少份配1位教師，每位教師只能去一所學校，則分配方案有 種.
【答案】
【解析】由題意可知，5位教師的分組情況為2，1,1,1的分組，再分配到4所學校，
所以分配方案有.
故答案為：240
【典例6-2】（2024·遼寧大連·高二校聯考期末）大連市普通高中創新實踐學校始建于2010年1月，以豐富多彩的活動廣受學生們的喜愛．現有A，B，C，D，E五名同學參加現代農業技術模塊，影視藝術創作模塊和生物創新實驗模塊三個模塊，每個人只能參加一個模塊，每個模塊至少有一個人參加，其中A不參加現代農業技術模塊，生物創新實驗模塊因實驗材料條件限制只能有最多兩個人參加，則不同的分配方式共有 種．
【答案】84
【解析】去生物且生物只去一人：種，
去生物且生物只去兩人：種，
去影視且生物只去一人：種，
去影視且生物只去兩人：種，
一共種，
故答案為：84
【變式6-1】（2024·陜西西安·高二西北工業大學附屬中學?？茧A段練習）10個人分成甲 乙兩組，甲組4人，乙組6人，則不同的分組種數為 .（用數字作答）
【答案】210
【解析】從10個人中選出4人為甲組，則剩下的人即為乙組，共有種分法.
故答案為：210.
【變式6-2】（2024·全國·高二假期作業）將編號為1，2，3，4的四個小球全部放入甲、乙兩個盒子內，若每個盒子不空，則不同的方法總數有 種．（用數字作答）
【答案】
【解析】若一個盒子中放個球，另一個盒子中放個球有種放法，
若兩個盒子中均放個球，則有種放法，
綜上可得一共有種放法.
故答案為：
【變式6-3】（2024·江西上饒·高二校考階段練習）2023年9月23日，杭州第19屆亞運會開幕，在之后舉行的射擊比賽中，6名志愿者被安排到安檢 引導運動員入場 賽場記錄這三項工作，若每項工作至少安排1人，每人必須參加且只能參加一項工作，則共有種安排方案 .（用數字作答）
【答案】
【解析】6名志愿者被安排三項工作，每項工作至少安排1人，
則分組方式為或或；
第一步先分組，分組方式共有種；
第二步再分配，三個組三個任務，由排列的定義可知為全排列種分配方案；
第三步根據分步乘法原理總計種按排方案.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
“分組”與“分配”問題的解法
（1）分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：
①完全均勻分組，每組的元素個數均相等，均勻分成n組，最后必須除以；
②部分均勻分組，應注意不要重復，有n組均勻，最后必須除以；
③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現象．
（2）分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配．
題型七：與幾何有關的組合應用題
【典例7-1】（2024·上海長寧·高二上海市延安中學?？计谀┮阎叫蜛BCD的中心為點O，以A、B、C、D、O中三個點為頂點的三角形共有 個.
【答案】8
【解析】根據題意，如圖：
在A、B、C、D、O中，任取3個點，有種取法，
其中不能構成三角形的有AOC和BOD兩種取法，
則以A、B、C、D、O中三個點為頂點的三角形共有個．
故答案為：8．
【典例7-2】（2024·高二課時練習）在如圖所示的四棱錐中，頂點為P，從其他的頂點和各棱中點中取3個，使它們和點P在同一平面內，則不同的取法種數為 .（用數字作答）
【答案】56
【解析】求不同的取法種數可分為三類：
第一類，從四棱錐的每個側面上除點P外的5點中任取3點，有4種取法；
第二類，從每個對角面上除點P外的4點中任取3點，有2種取法；
第三類，過點P的側棱中，每一條上的三點和與這條棱成異面直線的底面棱的中點也共面，有4種取法，
所以滿足題意的不同取法共有4+2+4=56種.
故答案為：56
【變式7-1】（2024·山東青島·高二青島市即墨區第一中學統考期末）以三棱柱的頂點為頂點的四棱錐的個數是 ．
【答案】6
【解析】由題意可得：四棱錐的頂點為三棱柱的頂點，底面為三棱柱的側面且與該頂點不共面，
所以四棱錐的個數是.
故答案為：6.
【變式7-2】（2024·廣東深圳·高二深圳市寶安第一外國語學校?？计谀┰谌鐖D所示的三角形邊上的9個點中任取3個，可構成三角形的個數是 .
【答案】69
【解析】從9個點中任取3個的全部組合數為，
三角形三個邊上三點共線的組合數為，
所以能構成三角形的個數為.
故答案為：.
【變式7-3】（2024·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中?？茧A段練習）從四棱錐的5個頂點中任選4個，以這4個點為頂點，可以組成 個四面體．
【答案】4
【解析】從四棱錐的5個頂點中選出的4個不同的點，有＝5種取法，
其中從底面四邊形的四個頂點不能組成四面體，
故取出的四點能組成四面體的個數為5－1＝4．
故答案為：4
【變式7-4】（2024·高二課時練習）一空間有10個點，其中5個點在同一平面上，其余沒有4點共面，則10個點可以確定不同平面的個數是 ．
【答案】111
【解析】不共線的三點可以確定一個平面，所以10個點最多可以確定個平面，
而那5個共面的點，則可以確定個平面，而沒有其他4點共面的，所以減少了個平面，所以一共可以確定的平面數為111.
故答案為：111
【方法技巧與總結】
（1）圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用間接法．
（2）把一個與幾何相關的問題轉化為組合問題，此題目的解決體現了數學抽象及數學運算的核心素養．
題型八：隔板法
【典例8-1】（2024·北京·高二北京市第十二中學?？计谀﹤€相同的籃球，分給甲、乙、丙三位同學（每人至少分得一個），不同分法的總數為 ．
【答案】
【解析】問題等價于：在個相同的籃球中間形成的個空位中插入兩塊板，
所以，不同的分法種數為種.
故答案為：.
【典例8-2】（2024·高二單元測試）“隔板法”是排列組合問題中的一種解題模型，多應用于“實際分配問題”.例如:8個完全相同的球全部放到3個不同的盒子中，每個盒子至少一個，有多少種不同的分配方法.在解決本題時，我們可以將8個球排成一行，8個球出現了7個空檔，再用兩塊隔板把8個球分成3份即可，故有種分配方法.請試寫出一道利用“隔板法”解決的題目: （答案不唯一，合理即可）.
【答案】將m個人，分成n組，每組至少1人的分配方法數（答案不唯一）
【解析】將m個人，分成n組，每組至少1人，只需用個隔板插入到m個人所成排的個空中，求分配方法數.
故答案為：將m個人，分成n組，每組至少1人的分配方法數（答案不唯一）
【變式8-1】（2024·湖北·高二湖北省鄂州高中校聯考期末）用0~9十個數字排成三位數，允許數字重復，把個位 十位 百位的數字之和等于9的三位數稱為“長久數”，則“長久數”一共有 個．
【答案】
【解析】設對應個位到百位上的數字，則且，相當于將9個表示1的球與2個表示0的球排成一排，如圖，
這11個數有10個空，用2個隔板隔開分為3組，左起第一組數的和作為，第二組數的和作為，第三組數的和作為，
故共種，
故答案為：45．
【變式8-2】（2024·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱德強學校校考階段練習）有本相同的畫冊要分給個小朋友，每個小朋友至少一本，則不同的分法種數為 （用數字作答）．
【答案】
【解析】將本相同的畫冊要分給個小朋友，每個小朋友至少一本，
只需在本相同的畫冊形成的個空位中（不包括兩端的空位）插入塊板即可，
所以，不同的分法種數為種.
故答案為：.
【變式8-3】（2024·全國·高二專題練習）某市擬成立一個由6名中學生組成的調查小組，并準備將這6個名額分配給本市的4所實驗中學，要求每所實驗中學都有學生參加，那么不同的名額分配方法的種數是 .
【答案】10
【解析】將6個名額排成一排，6個名額之間有5個空，用3塊隔板插入到這5個空中，每一種插空方法就是一種名額分配方法，共有種分配方法.
故答案為：.
【變式8-4】（2024·重慶·高二校聯考階段練習）若方程：，則方程的正整數解的個數為 .
【答案】35
【解析】原問題相當于將8個相同的小球裝入4個不同的盒子中，每個盒子中至少有1個小球，
采用隔板法，將8個小球排成一排，在其中的7個空位上插入3個隔板即可，
故共有種.
故答案為：35.
【變式8-5】（2024·重慶·高二校聯考階段練習）已知關于的三元一次方程，且，則該方程有 組正整數解.
【答案】
【解析】方程，且的正整數解的組數等價于
將個相同小球分成三組而每組至少有一個小球的分法總數
則所求的正整數解的組數有
故答案為：．
題型九：分堆問題
【典例9-1】（2024·河南商丘·高二商丘市第一高級中學校聯考期末）將6本不同的書分成兩堆，每堆至少兩本，則不同的分堆方法共有 種．
【答案】25
【解析】由題知，共有兩種分法：這種分法數為種；這種分法數為種，所以，共有25種．
故答案為：
【典例9-2】（2024·全國·高二專題練習）已知有6本不同的書.分成三堆，每堆2本，有 種不同的分堆方法.
【答案】15
【解析】6本書平均分成3堆，
所以不同的分堆方法的種數為.
故答案為:.
【變式9-1】（2024·山西呂梁·高二山西省交城中學校統考期末）已知有9本不同的書．
(1)分成三堆，每堆3本，有多少種不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少種不同的分堆方法？（用數字作答）
【解析】（1）6本書平均分成3堆，所以不同的分堆方法的種數為；
（2）從9本書中，先取2本作為一堆，再從剩下的7本中取3本作為一堆，最后4本作為一堆，所以不同的分堆方法的種數為．
【變式9-2】（2024·全國·高二專題練習）已知有6本不同的書.
(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？
【解析】（1）6本書平均分成3堆，
所以不同的分堆方法的種數為.
（2）從6本書中，先取1本作為一堆，再從剩下的5本中取2本作為一堆，最后3本作為一堆，
所以不同的分堆方法的種數為.
【變式9-3】（2024·高二課時練習）有6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的分法？
(1)甲分1本、乙分2本、丙分3本；
(2)一人分4本，另兩人各分1本.
【解析】（1）依題意分書可分為以下三步：
第一步：先從6本里面選一本給甲，有種分法；
第二步：再從剩下的5本里面選兩本給乙，有種分法；
第三步：將剩下的三本給丙，有種分法.
由分步乘法計數原理可知符合題意的分法有種.
（2）依題意分書可分為以下兩大步：
第一步：先從6本里面選4本，再從3人里面選1人將剛剛選取的4本分給他，由分步乘法計數原理可知有種分法；
第二步：先從剩下的兩本中選一本給剩下兩人中的其中一人，最終將最后一本給剩下一人,由分步乘法計數原理可知有種分法.
因此由分步乘法計數原理可知符合題意的分法有種.
一、單選題
1．（2024·江蘇常州·高二統考期末）（ ）
A．63 B．10 C．21 D．0
【答案】C
【解析】由題意得，故C正確.
故選：C.
2．（2024·江西上饒·高二統考期末）名學生參加數學建模活動，有個不同的數學建模小組，每個小組分配名學生，則不同的分配方法種數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】名學生參加數學建?；顒?，有個不同的數學建模小組，每個小組分配名學生
則不同的分配方法種數為種.
故選：B.
3．（2024·江西·高二校聯考期末）某校準備下一周舉辦運動會，甲、乙、丙、丁4位同學報名參加這4個項目的比賽，每人只報名1個項目，任意兩人不報同一個項目，甲不報名參加項目，則不同的報名方法種數有（ ）
A．18 B．21 C．23 D．72
【答案】A
【解析】要做到每人只報名1個項目，任意兩人不報同一個項目，甲不報名參加項目，可以分成兩步完成：
① 讓甲在三個項目中任選一個，有種方法；
② 讓另外三個同學在剩下的三個項目中各任選一個，有種方法.
由分步乘法計數原理，可得符合條件的報名方法種數為.
故選：A.
4．（2024·陜西西安·高二陜西師大附中?？计谀╆兾鳉v史博物館秦漢館以“秦漢文明”為主題，采用“大歷史小主題”展覽敘述結構，將于2024年5月18日正式對公眾開放．屆時，將有6名同學到三個展廳做志愿者，每名同學只去1個展廳，主展廳“秦漢文明”安排3名，遺址展廳“城與陵”安排2名，藝術展廳“技與美”安排1名，則不同的安排方法共有（ ）
A．360種 B．120種 C．60種 D．30種
【答案】C
【解析】由題意安排方法共有．
故選：C．
5．（2024·江西九江·高二統考期末）四名同學分別到3個小區參加九江市創文志愿者活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學，則不同的安排方法種數是（ ）
A．36 B．24 C．64 D．81
【答案】A
【解析】由題意可知必有2名同學去同一個小區，
故不同的安排方法種數是（種）.
故選：A
6．（2024·江蘇南通·高二統考期末）某校文藝部有7名同學，其中高一年級3名，高二年級4名.從這7名同學中隨機選3名組織校文藝匯演，則兩個年級都至少有1名同學入選的選法種數為（ ）
A．12 B．30 C．34 D．60
【答案】B
【解析】由題意共分兩種情況：①高一年級選1人，高二年級選2人，共有種選法；
②高一年級選2人，高二年級選1人,共有種選法；
由分類計數原理可得共有種選法.
故選：B
7．（2024·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學?？茧A段練習）如圖為某地街道路線圖，甲從街道的處出發，先到達處與乙會和，再一起去到處，則可以選擇的最短路徑條數為（ ）

A．20 B．18 C．12 D．9
【答案】B
【解析】計算最短路徑條數需要兩步，從到的最短路徑條數為，從到的最短路徑條數為，
所以可以選擇的最短路徑條數為.
故選：B
8．（2024·河南·高二校聯考期末）將5名實習教師分配到某校高二年級的甲、乙、丙3個班級實習，要求每個班至少一名，最多兩名，其中不去甲班，則不同的分配方案有（　　）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】D
【解析】根據題意，去甲班實習的教師可以是1人或2人.
有1人去甲班時，因為不去甲班，可從另外4人中選1人去甲班，有種選法，
再選2人去乙班，有種選法，剩下2人去丙班，有種方法，
這是分3步完成的，故有種方案；
有2人去甲班時，因為不去甲班，可從另外4人中選2人去甲班，有種選法，
再剩余3人分配到2個班的分法有種方法，
所以這類辦法有種.
故不同的分配方案有:.
故選：D
二、多選題
9．（2024·江西·高二江西省安義中學校聯考期末）若，則的值可以是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
【答案】AC
【解析】由組合數性質知，或，所以，或，
都滿足且．
故選：AC．
10．（2024·四川·高二校聯考階段練習）有五名志愿者參加社區服務，共服務周六 周天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則（ ）
A．只有1人未參加服務的選擇種數是30種
B．恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數是40種
C．只有1人未參加服務的選擇種數是60種
D．恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數是60種
【答案】AD
【解析】由題意得只有1人未參加服務，先從5人中選1人，未參加服務，有種選法，
再從余下4人中選2人參加周六服務，剩余2人參加周日服務，有種選法，
故只有1人未參加服務的選擇種數是種，A正確，C錯誤；
恰有1人連續參加兩天服務，先從5人中選1人，服務周六 周天兩天，有種選法，
再從余下4人中選1人參加周六服務，剩余3人選1人參加周日服務，有種選法，
故恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數是種，B錯誤，D正確，
故選：AD
11．（2024·福建漳州·高二統考期末）2023年海峽兩岸花博會的花卉展區設置在福建漳州，某花卉種植園有2種蘭花，2種三角梅共4種精品花卉，其中“綠水晶”是培育的蘭花新品種，4種精品花卉將去，展館參展，每種只能去一個展館，每個展館至少有1種花卉參展，下列選項正確的是（ ）
A．若展館需要3種花卉，有4種安排方法
B．共有14種安排方法
C．若“綠水晶”去展館，有8種安排方法
D．若2種三角梅不能去往同一個展館，有4種安排方法
【答案】AB
【解析】A選項，若展館需要3種花卉，則有種安排方法，正確.
B選項，4種花卉按去，展館參展有種方法；
按去，展館參展有種方法；
因此不同的安排方法種數是，正確.
C選項，若“綠水晶”去展館，若展館有種花卉，則安排方法數有種方法，
若展館有種花卉，則安排方法數有種方法，
若展館有種花卉，則安排方法數有種方法，所以共有種方法，錯誤.
D選項，由選項B知，4種精品花卉將去，展館參展共有14種安排方法，
若2種三角梅去往同一個展館，有種安排方法，
則2種三角梅不能去往同一個展館，有種安排方法，錯誤.
故選：AB
三、填空題
12．（2024·河南·高二校聯考專題練習）某道路亮起一排13盞路燈，為節約用電且不影響照明，現需要熄滅其中的3盞.若兩端路燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的2盞，那么所有不同熄燈方法的種數是 .（用數字作答）.
【答案】84
【解析】兩端路燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的2盞，相當于在10盞亮光燈的9個空隙中安置熄滅的燈，那么所有不同熄燈方法的種數是.
故答案：84.
13．（2024·北京海淀·高二清華附中?？计谀臄底?，2，3，4中選出3個不同的數字構成四位數，且相鄰數位上的數字不相同，則這樣的四位數共有 個．
【答案】72
【解析】根據題意，完成這個事情可分為三步：
第一步驟：選數字，有種；
第二個步驟：將選好的三個數字確定一個重復的數字，有種，
第三個步驟：安排這三個數字在四個位置上，且相鄰數位上的數字不相同，
即先安排兩個不同的數字，再讓兩個相同的數字去插空，則有種排序方法，
根據分步計數原理可得這樣的四位數共有：個.
故答案：
14．（2024·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）電子設備中電平信號用電壓的高與低來表示，高電壓信號記為數字1，低電壓信號記為數字0，一串由0和1組成的不同排列代表不同的電平信號，所用數字只有0和1，例如001100就是一個電平信號．某電平信號由6個數字構成，已知其中至少有4個0，則滿足條件的電平信號種數為 ．
【答案】22
【解析】依據題意，辦法有類，若6個數字中有個0，故有種，若6個數字中有個0，故有種，
若6個數字中有個0，故有種，由分類加法計數原理得共有種.
故選：22
四、解答題
15．（2024·河南·高二校聯考專題練習）現有編號為，，的3個不同的紅球和編號為，的2個不同的白球.
(1)若將這些小球排成一排，要求球排在正中間，且，不相鄰，則有多少種不同的排法？
(2)若將這些小球放入甲，乙，丙三個不同的盒子，每個盒子至少一個球，則有多少種不同的放法？（注：請列出解題過程，結果用數字表示）
【解析】（1）將這些小球排成一排，要求球排在正中間，且，不相鄰，
則先把安在正中間位置，從的兩側各選一個位置插入、，其余小球任意排，
方法有種.
（2）將這些小球放入甲，乙，丙三個不同的盒子，每個盒子至少一個球，
則先把5個小球分成3組，再進入3個盒子中.
若按311分配，方法有種，
若按221分配，方法有種.
綜上可得，方法共有種.
16．（2024·北京西城·高二統考期末）從6男4女共10名志愿者中，選出3人參加社會實踐活動.
(1)共有多少種不同的選擇方法？
(2)若要求選出的3名志愿者中有2男1女，且他們分別從事經濟 文化和民生方面的問卷調查工作，求共有多少種不同的選派方法？
【解析】（1）從6男4女共10名志愿者中，選出3人參加社會實踐活動，
選擇方法數為種.
（2）從10名志愿者中選2男1女，選擇方法數共有種，
故從10名志愿者中選2男1女，且分別從事經濟 文化和民生方面的問卷調查工作的選派方法數為種.
17．（2024·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠縣第一中學?？计谀┈F有10個運動員名額，作如下分配方案.
(1)平均分成5個組，每組2人，有多少種分配方案？
(2)分成7個組，每組最少1人，有多少種分配方案？
【解析】（1）根據平均分配規律，則平均分配5個組共有種方案.
（2）10名運動員排成一排，中間形成9個空隙，選6個位置插入隔板，
則分成7組，故分配方案共有種.
18．（2024·江西南昌·高二江西師大附中?？计谀?）求值：．
（2）己知，求x．
【解析】（1）因為，
（2）由，得到或，解得或，
經驗證，符合題意，所以或.
19．（2024·上?！じ叨？计谀┠嘲嗉壴谟麓夯顒又羞M行抽卡活動，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各兩張，“龍”卡三張．每個學生從卡箱中隨機抽取4張卡片，其中抽到“龍”卡獲得2分，抽到其他卡均獲得1分，若抽中“?！薄褒垺薄坝薄按骸睆埧ㄆ瑒t額外獲得2分．
(1)求學生甲抽到“福”“龍”“迎”“春”4張卡片的不同的抽法種數；
(2)求學生乙最終獲得分的不同的抽法種數．
【解析】（1）學生甲抽到“福”“龍”“迎”“春”4張卡片的不同的抽法種數為種.
（2）學生乙最終獲得分，有兩種情況：
①，抽到張“龍”卡以及其它任意張卡，方法數有種.
②，抽到抽中“?！薄褒垺薄坝薄按骸睆埧ㄆ?，方法數有種.
所以學生乙最終獲得分的不同的抽法種數為種.7．3組合
課程標準 學習目標
（1）能通過實例，用自己的語言解釋組合的定義；能用定義判斷是不是組合問題，發展數學抽象素養． （2）能從組合的定義出發，利用排列與組合的關系推導組合數公式，并能用組合數公式解決有關計數問題． （3）能綜合應用組合的概念和公式解決簡單的實際問題． （1）了解組合及組合數的概念. （2）能利用計數原理推導組合數公式，并會應用公式解決簡單的組合問題．
知識點01 組合
1、定義：
一般地，從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．
知識點詮釋：
（1）從排列與組合的定義可知，一是“取出元素”；二是“并成一組”，“并成一組”即表示與順序無關．
排列與元素的順序有關，而組合與元素的順序無關，這是它們的根本區別．
（2）如果兩個組合中的元素相同，那么不管元素的順序怎樣都是相同的組合；只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合．因此組合問題的本質是分組問題，它主要涉及元素被取到或末被取到．
【即學即練1】（2024·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學校考期末）下列四個問題屬于組合問題的是（ ）
A．從名志愿者中選出人分別參加導游和翻譯的工作
B．從、、、這個數字中選取個不同的數字排成一個三位數
C．從全班同學中選出名同學參加學校運動會開幕式
D．從全班同學中選出名同學分別擔任班長、副班長
知識點02 組合數及其公式
1、組合數的定義：
從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數．記作．
知識點詮釋：
“組合”與“組合數”是兩個不同的概念：
一個組合是指“從個不同的元素中取出個元素并成一組”，它不是一個數，而是具體的一件事；組合數是指“從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數”，它是一個數．
2、組合數公式：
（1）（，且）
（2）（，且）
知識點詮釋：
上面第一個公式一般用于計算，但當數值m、n較大時，利用第二個式子計算組合數較為方便，在對含有字母的組合數的式子進行變形和論證時，常用第二個公式．
【即學即練2】（2024·山東濰坊·高二統考期末）（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
知識點03 組合數的性質
性質1：（，且）
性質2：（，且）
知識點詮釋：
規定：．
【即學即練3】（2024·福建寧德·高二統考期末）若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
知識點04 組合問題常見題型
（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：
“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．
（2）“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：
解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求解，但通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．
（3）分堆問題
①平均分堆，其分法數為：．
②分堆但不平均，其分法數為．
（4）定序問題．
對于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對其他元素進行排列．
（5）相同元素分組問題用“隔板法”
【即學即練4】（2024·江西萍鄉·高二統考期末）將6名學生分配到甲、乙兩個宿舍中，每個宿舍至少安排兩名學生，不同的分配方案有 種．（用數字作答）
題型一：組合概念的理解
【典例1-1】（多選題）（2024·高二單元測試）下列是組合問題的是（ ）
A．平面上有5個點，其中任意三個點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？
B．10支球隊以單循環進行比賽（每兩隊比賽一次），共進行多少場次？
C．從10個人中選出3個為代表去開會，有多少種選法？
D．從10個人中選出3個為不同學科的課代表，有多少種選法？
【典例1-2】（多選題）（2024·全國·高二專題練習）下面問題中，是組合問題的是（ ）
A．由1，2，3三個數字組成無重復數字的三位數
B．從40人中選5人組成籃球隊
C．從100人中選2人抽樣調查
D．從1，2，3，4，5中選5個數組成集合
【變式1-1】（多選題）（2024·高二課前預習）給出下面幾個問題，其中是組合問題的有（ ）
A．由1，2，3，4構成的含有2個元素的集合個數
B．五個隊進行單循環比賽的比賽場次數
C．由1，2，3組成兩位數的不同方法數
D．由1，2，3組成的無重復數字的兩位數的個數
【變式1-2】（2024·山西晉中·高二?？计谀┫铝袉栴}中不是組合問題的是（ ）
A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有9個不同點，它們中任意三點不共線，連接任意兩點可以構成多少條直線
C．集合的含有三個元素的子集有多少個
D．從高二（6）班的50名學生中選出2名學生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節目，有多少種選法
【方法技巧與總結】
排列、組合辨析切入點
（1）組合的特點是只選不排，即組合只是從n個不同的元素中取出m（m≤n）個不同的元素即可．
（2）只要兩個組合中的元素完全相同，不管順序如何，這兩個組合就是相同的組合．
（3）判斷組合與排列的依據是看是否與順序有關，與順序有關的是排列問題，與順序無關的是組合問題．
題型二：簡單的組合問題
【典例2-1】（2024·高二課時練習）甲、乙、丙、丁4支籃球隊舉行單循環賽（即任意兩支球隊都要比賽一場）.
(1)寫出每場比賽的兩支球隊；
(2)寫出冠亞軍的所有可能情況.
【典例2-2】（2024·高二課時練習）從5個不同元素a，b，c，d，e中取出2個，共有多少種不同的組合？請寫出所有組合．
【變式2-1】（2024·高二課時練習）寫出從a，b，c這3個元素中，每次取出2個元素的所有組合．
【變式2-2】（2024·甘肅天水·高二校考階段練習）在A、B、C、D四位候選人中，
(1)如果選舉正、副班長各一人，共有幾種選法？寫出所有可能的選舉結果；
(2)如果選舉班委三人，共有幾種選法？寫出所有可能的選舉結果．
【方法技巧與總結】
利用排列與組合之間的關系，建立起排列數與組合數之間的計算方法，借助排列數求組合數．
題型三：組合數公式的應用
【典例3-1】（2024·全國·高二隨堂練習）求證：．
【典例3-2】（2024·高二課時練習）已知m是自然數，n是正整數，且．求證：
(1)；
(2)．
【變式3-1】（2024·山東德州·高二?？茧A段練習）（1）解關于x的不等式．
（2）求等式中的n值．
【變式3-2】（2024·河南焦作·高二統考期末）已知為正整數，且，則 .
【變式3-3】（2024·江西·高二校聯考期末）方程（且）的解為 ．
【變式3-4】（2024·新疆阿克蘇·高二?？茧A段練習）計算：
【方法技巧與總結】
（1）組合數公式一般用于計算，而組合數公式般用于含字母的式子的化簡與證明．
（2）要善于挖掘題目中的隱含條件，簡化解題過程，如組合數的隱含條件為，且．
題型四：組合數的性質
【典例4-1】（2024·高二課時練習）求滿足等式的所有正整數k．
【典例4-2】（2024·遼寧大連·高二校聯考期末）若，則（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．2或4
【變式4-1】（2024·廣東梅州·高二校考階段練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2024·遼寧·高二校聯考期末）（ ）
A．120 B．119 C．110 D．109
【變式4-3】（2024·甘肅白銀·高二統考開學考試）（ ）
A．84 B．120 C．126 D．210
【方法技巧與總結】
計算時應注意利用組合數的兩個性質：
；②．
題型五：多面手問題
【典例5-1】（2024·全國·高三專題練習）某國際旅行社現有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現從這11人中選出4人當英語翻譯，4人當法語翻譯，則共有（ ）種不同的選法
A．225 B．185 C．145 D．110
【典例5-2】（2024·黑龍江·大慶市東風中學高二期中）某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有_______
【變式5-1】（2024·全國·高二課時練習）某出版社的7名工人中，有3人只會排版，2人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷，現從7人中安排2人排版，2人印刷，有幾種不同的安排方法．
【方法技巧與總結】
有限制條件的抽（選）取問題，主要有兩類
（1）“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數．
（2）“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準對立面，確保不重不漏．
題型六：分組、分配問題
【典例6-1】（2024·陜西西安·高二西安市鐵一中學?？计谀┮阎?位教師到4所學校支教，每所學校至少份配1位教師，每位教師只能去一所學校，則分配方案有 種.
【典例6-2】（2024·遼寧大連·高二校聯考期末）大連市普通高中創新實踐學校始建于2010年1月，以豐富多彩的活動廣受學生們的喜愛．現有A，B，C，D，E五名同學參加現代農業技術模塊，影視藝術創作模塊和生物創新實驗模塊三個模塊，每個人只能參加一個模塊，每個模塊至少有一個人參加，其中A不參加現代農業技術模塊，生物創新實驗模塊因實驗材料條件限制只能有最多兩個人參加，則不同的分配方式共有 種．
【變式6-1】（2024·陜西西安·高二西北工業大學附屬中學?？茧A段練習）10個人分成甲 乙兩組，甲組4人，乙組6人，則不同的分組種數為 .（用數字作答）
【變式6-2】（2024·全國·高二假期作業）將編號為1，2，3，4的四個小球全部放入甲、乙兩個盒子內，若每個盒子不空，則不同的方法總數有 種．（用數字作答）
【變式6-3】（2024·江西上饒·高二?？茧A段練習）2023年9月23日，杭州第19屆亞運會開幕，在之后舉行的射擊比賽中，6名志愿者被安排到安檢 引導運動員入場 賽場記錄這三項工作，若每項工作至少安排1人，每人必須參加且只能參加一項工作，則共有種安排方案 .（用數字作答）
【方法技巧與總結】
“分組”與“分配”問題的解法
（1）分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：
①完全均勻分組，每組的元素個數均相等，均勻分成n組，最后必須除以；
②部分均勻分組，應注意不要重復，有n組均勻，最后必須除以；
③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現象．
（2）分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配．
題型七：與幾何有關的組合應用題
【典例7-1】（2024·上海長寧·高二上海市延安中學?？计谀┮阎叫蜛BCD的中心為點O，以A、B、C、D、O中三個點為頂點的三角形共有 個.
【典例7-2】（2024·高二課時練習）在如圖所示的四棱錐中，頂點為P，從其他的頂點和各棱中點中取3個，使它們和點P在同一平面內，則不同的取法種數為 .（用數字作答）
【變式7-1】（2024·山東青島·高二青島市即墨區第一中學統考期末）以三棱柱的頂點為頂點的四棱錐的個數是 ．
【變式7-2】（2024·廣東深圳·高二深圳市寶安第一外國語學校?？计谀┰谌鐖D所示的三角形邊上的9個點中任取3個，可構成三角形的個數是 .
【變式7-3】（2024·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中?？茧A段練習）從四棱錐的5個頂點中任選4個，以這4個點為頂點，可以組成 個四面體．
【變式7-4】（2024·高二課時練習）一空間有10個點，其中5個點在同一平面上，其余沒有4點共面，則10個點可以確定不同平面的個數是 ．
【方法技巧與總結】
（1）圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用間接法．
（2）把一個與幾何相關的問題轉化為組合問題，此題目的解決體現了數學抽象及數學運算的核心素養．
題型八：隔板法
【典例8-1】（2024·北京·高二北京市第十二中學校考期末）個相同的籃球，分給甲、乙、丙三位同學（每人至少分得一個），不同分法的總數為 ．
【典例8-2】（2024·高二單元測試）“隔板法”是排列組合問題中的一種解題模型，多應用于“實際分配問題”.例如:8個完全相同的球全部放到3個不同的盒子中，每個盒子至少一個，有多少種不同的分配方法.在解決本題時，我們可以將8個球排成一行，8個球出現了7個空檔，再用兩塊隔板把8個球分成3份即可，故有種分配方法.請試寫出一道利用“隔板法”解決的題目: （答案不唯一，合理即可）.
【變式8-1】（2024·湖北·高二湖北省鄂州高中校聯考期末）用0~9十個數字排成三位數，允許數字重復，把個位 十位 百位的數字之和等于9的三位數稱為“長久數”，則“長久數”一共有 個．
【變式8-2】（2024·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱德強學校?？茧A段練習）有本相同的畫冊要分給個小朋友，每個小朋友至少一本，則不同的分法種數為 （用數字作答）．
【變式8-3】（2024·全國·高二專題練習）某市擬成立一個由6名中學生組成的調查小組，并準備將這6個名額分配給本市的4所實驗中學，要求每所實驗中學都有學生參加，那么不同的名額分配方法的種數是 .
【變式8-4】（2024·重慶·高二校聯考階段練習）若方程：，則方程的正整數解的個數為 .
【變式8-5】（2024·重慶·高二校聯考階段練習）已知關于的三元一次方程，且，則該方程有 組正整數解.
題型九：分堆問題
【典例9-1】（2024·河南商丘·高二商丘市第一高級中學校聯考期末）將6本不同的書分成兩堆，每堆至少兩本，則不同的分堆方法共有 種．
【典例9-2】（2024·全國·高二專題練習）已知有6本不同的書.分成三堆，每堆2本，有 種不同的分堆方法.
【變式9-1】（2024·山西呂梁·高二山西省交城中學校統考期末）已知有9本不同的書．
(1)分成三堆，每堆3本，有多少種不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少種不同的分堆方法？（用數字作答）
【變式9-2】（2024·全國·高二專題練習）已知有6本不同的書.
(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？
【變式9-3】（2024·高二課時練習）有6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的分法？
(1)甲分1本、乙分2本、丙分3本；
(2)一人分4本，另兩人各分1本.
一、單選題
1．（2024·江蘇常州·高二統考期末）（ ）
A．63 B．10 C．21 D．0
2．（2024·江西上饒·高二統考期末）名學生參加數學建?；顒樱袀€不同的數學建模小組，每個小組分配名學生，則不同的分配方法種數為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西·高二校聯考期末）某校準備下一周舉辦運動會，甲、乙、丙、丁4位同學報名參加這4個項目的比賽，每人只報名1個項目，任意兩人不報同一個項目，甲不報名參加項目，則不同的報名方法種數有（ ）
A．18 B．21 C．23 D．72
4．（2024·陜西西安·高二陜西師大附中校考期末）陜西歷史博物館秦漢館以“秦漢文明”為主題，采用“大歷史小主題”展覽敘述結構，將于2024年5月18日正式對公眾開放．屆時，將有6名同學到三個展廳做志愿者，每名同學只去1個展廳，主展廳“秦漢文明”安排3名，遺址展廳“城與陵”安排2名，藝術展廳“技與美”安排1名，則不同的安排方法共有（ ）
A．360種 B．120種 C．60種 D．30種
5．（2024·江西九江·高二統考期末）四名同學分別到3個小區參加九江市創文志愿者活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學，則不同的安排方法種數是（ ）
A．36 B．24 C．64 D．81
6．（2024·江蘇南通·高二統考期末）某校文藝部有7名同學，其中高一年級3名，高二年級4名.從這7名同學中隨機選3名組織校文藝匯演，則兩個年級都至少有1名同學入選的選法種數為（ ）
A．12 B．30 C．34 D．60
7．（2024·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學?？茧A段練習）如圖為某地街道路線圖，甲從街道的處出發，先到達處與乙會和，再一起去到處，則可以選擇的最短路徑條數為（ ）

A．20 B．18 C．12 D．9
8．（2024·河南·高二校聯考期末）將5名實習教師分配到某校高二年級的甲、乙、丙3個班級實習，要求每個班至少一名，最多兩名，其中不去甲班，則不同的分配方案有（　?。?br/>A．種 B．種 C．種 D．種
二、多選題
9．（2024·江西·高二江西省安義中學校聯考期末）若，則的值可以是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
10．（2024·四川·高二校聯考階段練習）有五名志愿者參加社區服務，共服務周六 周天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則（ ）
A．只有1人未參加服務的選擇種數是30種
B．恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數是40種
C．只有1人未參加服務的選擇種數是60種
D．恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數是60種
11．（2024·福建漳州·高二統考期末）2023年海峽兩岸花博會的花卉展區設置在福建漳州，某花卉種植園有2種蘭花，2種三角梅共4種精品花卉，其中“綠水晶”是培育的蘭花新品種，4種精品花卉將去，展館參展，每種只能去一個展館，每個展館至少有1種花卉參展，下列選項正確的是（ ）
A．若展館需要3種花卉，有4種安排方法
B．共有14種安排方法
C．若“綠水晶”去展館，有8種安排方法
D．若2種三角梅不能去往同一個展館，有4種安排方法
三、填空題
12．（2024·河南·高二校聯考專題練習）某道路亮起一排13盞路燈，為節約用電且不影響照明，現需要熄滅其中的3盞.若兩端路燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的2盞，那么所有不同熄燈方法的種數是 .（用數字作答）.
13．（2024·北京海淀·高二清華附中?？计谀臄底?，2，3，4中選出3個不同的數字構成四位數，且相鄰數位上的數字不相同，則這樣的四位數共有 個．
14．（2024·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）電子設備中電平信號用電壓的高與低來表示，高電壓信號記為數字1，低電壓信號記為數字0，一串由0和1組成的不同排列代表不同的電平信號，所用數字只有0和1，例如001100就是一個電平信號．某電平信號由6個數字構成，已知其中至少有4個0，則滿足條件的電平信號種數為 ．
四、解答題
15．（2024·河南·高二校聯考專題練習）現有編號為，，的3個不同的紅球和編號為，的2個不同的白球.
(1)若將這些小球排成一排，要求球排在正中間，且，不相鄰，則有多少種不同的排法？
(2)若將這些小球放入甲，乙，丙三個不同的盒子，每個盒子至少一個球，則有多少種不同的放法？（注：請列出解題過程，結果用數字表示）
16．（2024·北京西城·高二統考期末）從6男4女共10名志愿者中，選出3人參加社會實踐活動.
(1)共有多少種不同的選擇方法？
(2)若要求選出的3名志愿者中有2男1女，且他們分別從事經濟 文化和民生方面的問卷調查工作，求共有多少種不同的選派方法？
17．（2024·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠縣第一中學?？计谀┈F有10個運動員名額，作如下分配方案.
(1)平均分成5個組，每組2人，有多少種分配方案？
(2)分成7個組，每組最少1人，有多少種分配方案？
18．（2024·江西南昌·高二江西師大附中校考期末）（1）求值：．
（2）己知，求x．
19．（2024·上海·高二?？计谀┠嘲嗉壴谟麓夯顒又羞M行抽卡活動，不透明的卡箱中共有“?！薄坝薄按骸笨ǜ鲀蓮?，“龍”卡三張．每個學生從卡箱中隨機抽取4張卡片，其中抽到“龍”卡獲得2分，抽到其他卡均獲得1分，若抽中“福”“龍”“迎”“春”張卡片，則額外獲得2分．
(1)求學生甲抽到“?！薄褒垺薄坝薄按骸?張卡片的不同的抽法種數；
(2)求學生乙最終獲得分的不同的抽法種數．

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