資源簡介

7．4 二項式定理
課程標準 學習目標
（1）能利用多項式運算法則，建立二項式展開式中項的系數與組合數公式之間的聯系，發現二項式定理，并能用計數原理進行解釋． （2）能通過分析二項展開式的結構特征發現通項公式，并能用于解決相關問題． （3）能通過分析二項展開式的結構特征發現二項式系數的性質，能列出“楊輝三角形”，聯系函數知識發現二項式系數的一些規律，并能用二項式系數的性質解決簡單問題． （1）理解二項式定理的相關概念. （2）掌握二項式定理的特征及其展開式的通項公式. （3）會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題．
知識點01 二項式定理
1、定義
一般地，對于任意正整數，都有：
這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．
式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，其中的系數叫做二項式系數
2、二項式的展開式的特點：
（1）項數：共有項，比二項式的次數大1；
（2）二項式系數：第項的二項式系數為，最大二項式系數項居中；
（3）次數：各項的次數都等于二項式的冪指數．字母降冪排列，次數由到0；字母升冪排列，次數從0到，每一項中，a，b次數和均為；
【即學即練1】寫出的展開式．
【解析】在二項式定理中令，可得
．
知識點02 二項展開式的通頂公式
二項展開式的通項：
公式特點：
（1）它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數是；
（2）字母的次數和組合數的上標相同；
【即學即練2】（2024·江蘇·高二假期作業）的展開式中的常數項為 .
【答案】40
【解析】依題意，的展開式的通項為，令可得.
故常數項為.
故答案為：40
知識點03 二頂式系數及其性質
1、的展開式中各項的二頂式系數、、…具有如下性質：
①對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離"的兩項的二項式系數相等，即；
②增減性與最大值：二項式系數在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值．其中，當為偶數時，二項展開式中間一項的二項式系數最大；當為奇數時，二項展開式中間兩項的二項式系數相等，且最大．
（3）各二項式系數之和為，即；
（4）二項展開式中各奇數項的二項式系數之和等于各偶數項的二項式系數之和，即．
知識點詮釋：
二項式系數與展開式的系數的區別
二項展開式中，第項的二項式系數是組合數，展開式的系數是單項式的系數，二者不一定相等．
2、展開式中的系數求法的整數且
知識點詮釋：
三項或三項以上的展開式問題，把某兩項結合為一項，利用二項式定理解決．
【即學即練3】（2024·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）在的展開式中，的系數是 .
【答案】9
【解析】在的展開式中，含的項是6個因式中任取5個用，
余下一個因式用常數項相乘積的和，因此展開式中含的項是，
所以的系數是9.
故答案為：9
題型一：二項式定理的正用、逆用
【典例1-1】（2024·高二課時練習）（1）求的展開式；
（2）化簡．
【解析】（1）
.
（2）原式
.
【典例1-2】（2024·高二課時練習）用二項式定理展開下列各式：
(1)；
(2)．
【解析】（1）
.
（2）
.
【變式1-1】（2024·高二課時練習）求的展開式．
【解析】根據二項式定理得

【變式1-2】（2024·高二課時練習）求的展開式．
【解析】
.
【方法技巧與總結】
（1）的二項展開式有項，是和的形式，各項的冪指數規律是：①各項的次數和等于n；②字母a按降冪排列，從第一項起，次數由n逐項減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由0逐項加1直到n．
（2）逆用二項式定理可以化簡多項式，體現的是整體思想．注意分析已知多項式的特點，向二項展開式的形式靠攏．
題型二：二項式系數與項的系數
【典例2-1】（2024·江蘇·高二假期作業）在的展開式中，項的系數為 ．
【答案】91
【解析】由題意得：．令，解得，
則項的系數為.
故答案為：.
【典例2-2】（2024·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江實驗中學校考期末）展開式中常數項為 .（用數字作答）
【答案】54
【解析】展開式的通項為，
令，得，所以展開始得常數項為.
故答案為：.
【變式2-1】（2024·全國·高二專題練習）的展開式中含項的系數為 .
【答案】
【解析】要得到的展開式中含有的項，分以下兩種情形：
情形一：先在第一個括號中選取“”，然后在后面四個括號中選取3個“”和1個“”，
由分步乘法計數原理可知此時“”的系數為；
情形二：先在第一個括號中選取“”，然后在后面四個括號中選取2個“”和2個“”，
由分步乘法計數原理可知此時“”的系數為.
綜上所述：由分類加法計數原理可知的展開式中含項的系數為.
故答案為：.
【變式2-2】（2024·江蘇鎮江·高二統考期末）在展開式中，項的系數為 .
【答案】
【解析】由題意，多項式，
根據組合數的運算，展開式中的系數為，
又由.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
（1）二項式系數都是組合數，它與二項展開式中某一項的系數不一定相等，要注意區分“二項式系數”與二項展開式中“項的系數”這兩個概念．
（2）第項的親數是此項字母前的數連同符號，而此項的二項式系數為．
題型三：展開式中的特定項
【典例3-1】（2024·河南駐馬店·高二統考期末）式子二項式定理展開中的第6項為 ．
【答案】
【解析】由，所以二項展開式的通項公式，，，
令，可得展開式的第六項為.
故答案為：.
【典例3-2】（2024·山西朔州·高二校考階段練習）已知二項式的展開式中，后三項的二項式系數之和為37，展開式中的第四項為 .
【答案】
【解析】二項式的通項公式為，
因為后三項的二項式系數之和為37，
所以有，或舍去，
展開式中的第四項為，
故答案為：
【變式3-1】（2024·北京石景山·高二統考期末）二項式的展開式中存在常數項，則可以為 ．（只需寫出一個符合條件的值即可）
【答案】（答案不唯一，為的倍數的正整數均可）
【解析】，，
令，得，因為為整數，為正整數，所以為偶數，為的倍數的正整數.
故答案為：（答案不唯一，為的倍數的正整數均可）.
【變式3-2】（2024·全國·高二開學考試）寫出展開式中的一個有理項為 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】展開式的通項公式為
（），
所以展開式中的有理項分別為：時，；
時，；時，；
時，.
故答案為：（四個有理項任寫其一均可）.
【變式3-3】（2024·高二單元測試）展開式中的第7項與倒數第7項的比是1∶6，則展開式中的第7項為 ．
【答案】/
【解析】第7項：，
倒數第7項：，
由，
得,
故.
故答案為：
【方法技巧與總結】
求二項展開式的特定項的常用方法
（1）對于常數項，隱含條件是字母的指數為0（即0次項）．
（2）對于有理項，一般是先寫出通項公式，求其所有的字母的指數恰好都是整數的項．解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數，根據具體要求，令其屬于整數集，再根據數的整除性來求解．
（3）對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數應是非負整數，求解方式與求有理項一致．
題型四：求兩個多項式積的特定項
【典例4-1】（2024·全國·高二校聯考開學考試）在的展開式中，的系數為（ ）
A． B．60 C． D．80
【答案】C
【解析】展開式的通項為，
∴原式的展開式中含的項為，
∴的系數為．
故選：C．
【典例4-2】（2024·江蘇·高二假期作業）在展開式中的系數為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】顯然，
則展開式第項，
當時，，當時，，
所以展開式中含的項為，即展開式中的系數為0.
故選：B
【變式4-1】（2024·湖北武漢·高二武漢市東湖中學校考期末）展開式中的系數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的展開式中通項是，，
則，
要求展開式中的系數，只需，
故展開式中的系數是.
故選：A.
【變式4-2】（2024·江西吉安·高二江西省峽江中學校考期末）已知展開式中各項系數之和為，則展開式中的系數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】展開式中各項系數之和為，
所以令，可得，解得，
，
的展開式的通項為，
當在項中取時，項中需取，不符合條件；
當在項中取時，項中需取，則，即，此時的系數為；
當在項中取時，項中需取，則，即，此時的系數為，
綜上，展開式中的系數為.
故選：B.
【變式4-3】（2024·甘肅白銀·高二校考期末）的展開式中，含的項的系數是（ ）
A． B．5 C．15 D．35
【答案】D
【解析】二項式的展開式中的通項，
則含的項的系數為.
故選：D
【變式4-4】（2024·全國·高二假期作業）的展開式中的常數項為（ ）
A．120 B．80 C．60 D．40
【答案】A
【解析】的展開式的通項公式為，
而，
對于，令，易知無整數解，所以其展開式中無常數項；
對于，由，解得，常數項為；
對于，令，解得，常數項為．
故的展開式中的常數項為.
故選：A．
【方法技巧與總結】
求多項式積的特定項的方法：“雙通法”
所謂的“雙通法”是根據多項式與多項式的乘法法則得到的展開式中一般項為：，再依據題目中對指數的特殊要求，確定與所滿足的條件，進而求出，的取值情況．
題型五：系數的最值問題
【典例5-1】（2024·河北張家口·高二統考期末）在的展開式中，系數最大的項的系數為 （用數字作答）.
【答案】20
【解析】∵的展開式的通項為，
設第項的系數最大，則，
根據公式，解得，又，
∴，
∴展開式中系數最大的項為，
即展開式中系數最大的項的系數為20，
方法二：比較的大小，選擇最大值即可；
故答案為：20；
【典例5-2】（2024·湖北十堰·高二統考期末）的展開式中系數最大的項是第 項.
【答案】10
【解析】展開式的通項為，
由
得，因為，所以，
故系數最大的項是第10項.
故答案為：10
【變式5-1】（2024·上海浦東新·高二上海市建平中學校考期末）的二項展開式中系數最大的項為 .
【答案】
【解析】由二項式的展開式的通項為，
設系數最大的項為第項，可得，
即，即，解得，
因為，所以，
所以展開式中系數最大的項為.
故答案為：.
【變式5-2】（2024·河南駐馬店·高二確山縣第一高級中學校考期末）已知的展開式中前三項的二項式系數之和為46， ；展開式中系數最大的項 ．
【答案】 9
【解析】由題意得：，解得：或，
因為，
所以（舍去），從而，
因為二項式的展開式通項為：，
所以系數為，要求其最大值，
所以只要滿足，即，
解得：，
因為，
所以，
所以系數最大項為
故答案為：9；
【變式5-3】（2024·北京·高二校考階段練習）已知的展開式中，第3項與第6項的系數互為相反數，則展開式中系數最小的項為 .
【答案】
【解析】二項式的展開式的通項是，則第3項的系數為，
第6項的系數為，則，則；展開式中各項的系數為，
由二項式系數的性質知的值最大，則展開式中各項的系數中最小，則系數最小的項為.
故答案為：.
【變式5-4】（2024·全國·高二專題練習）二項式的展開式中各項系數的和為-1，則該展開式中系數最大的項為
【答案】
【解析】因為展開式中各項系數的和為，
由題得
二項式的展開式的通項為，
當時，系數為負，時，系數分別為：，
所以當時，其展開式中系數最大，且為
故答案為：
【方法技巧與總結】
求展開式中系數最大項與求二項式系數最大項是不同的，需根據各項系數的正、負變化情況，一般采用列不等式(組)、解不等式(組)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)項的系數最大，則與之相鄰兩項第k項，第(k＋2)項的系數均不大于第(k＋1)項的系數，由此列不等式組可確定k的范圍，再依據k∈N來確定k的值，即可求出最大項．
題型六：余數和整除的問題
【典例6-1】（2024·河南鄭州·高二校聯考期末）除以所得的余數是 .
【答案】22
【解析】法一：由，前9項可以被整除，
而，故余數為.
法二：由，
而，故余數為.
故答案為：
【典例6-2】（2024·湖北武漢·高二武漢市東湖中學校考期末）已知，且能被17整除，則的取值可以是 .（寫出一個滿足題意的即可）
【答案】1（答案不唯一）
【解析】，
要使能被17整除，則能被17整除即可，
則，故可取，
故答案為：
【變式6-1】（2024·廣東廣州·高二校考期末）設，且，若能被13整除，則 .
【答案】
【解析】依題意，，
顯然是13的整數倍，則要使能被整除，
當且僅當能被整除，而，，則，解得，
所以.
故答案為：
【變式6-2】（2024·全國·高二專題練習）若多項式能被整除，則 ．
【答案】2
【解析】，
又因為多項式能被整除，
，，
故答案為：2．
【變式6-3】（2024·遼寧朝陽·高二校聯考期末）被除的余數是 .
【答案】
【解析】
.
所以被除的余數是.
故答案為：
【方法技巧與總結】
利用二項式定理可以解決求余數和整除的問題，通常需將底數化成兩數的和與差的形式，且這種轉化形式與除數有密切的關系．
題型七：證明不等式或求近似值
【典例7-1】（2024·高二課時練習）用二項式定理估算 .（精確到0.001）
【答案】1.105
【解析】
.
故答案為：1.105
【典例7-2】（2024·高二課時練習）將精確到0.01的近似值是 ．
【答案】0.96
【解析】因為，
且將精確到0.01，故近似值為0.96
故答案為：0.96
【變式7-1】（2024·江西九江·高二統考期末）二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克 牛頓提出.二項式定理可以推廣到任意實數次冪，即廣義二項式定理：對于任意實數，當比較小的時候，取廣義二項式定理展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結果就越接近真實數據.用這個方法計算的近似值，可以這樣操作：.用這樣的方法，估計的近似值約為 .（精確到小數點后兩位數）
【答案】3.07
【解析】.
故答案為：3.07
【變式7-2】（2024·高二課時練習）已知數列{an}(n為正整數)是首項為a1，公比為q的等比數列．
(1)求和：，；
(2)由（1）的結果歸納概括出關于正整數n的一個結論，并加以證明．
【解析】（1），
；
（2）歸納概括的結論為：
若數列{an}是首項為a1，公比為q的等比數列，則
，n為正整數．
證明：
＝
.
【變式7-3】（2024·遼寧·高二校聯考期末）已知.
(1)當，時，求中含項的系數；
(2)用、表示，寫出推理過程．
【解析】（1）當，時，，
的展開式通項為，
此時，函數中含項的系數之和為.
（2）因為，①
則，②
①②得
，
所以，，
而為中含項的系數，
而函數中含項的系數也可視為中含項的系數，
故，
且，
故.
【方法技巧與總結】
的近似計算的處理方法
當a的絕對值與1相比很小且n不大時，常用近似公式，因為這時展開式的后面部分很小，所以可以忽略不計，但是使用這個公式時應注意a的條件，以及對精確度的要求．若精確度要求較高，則可使用更精確的近似公式等．
題型八：二項展開式的系數和問題
【典例8-1】（多選題）（2024·遼寧本溪·高二校考期末）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由題意，當，，當時，，A正確；
當時，，
所以，，B，C錯誤；
，
當時，，
所以，D正確.
故選：AD．
【典例8-2】（多選題）（2024·江蘇揚州·高二統考期末）的展開式中第項和第項的二項式系數相等，則以下判斷正確的是（ ）
A．第項的二項式系數最大 B．所有奇數項二項式系數的和為
C． D．
【答案】AC
【解析】由題意，可得，所以，
對于A中，根據二項式定理的性質，可得中間項第項的二項式系數最大，所以A正確；
對于B中，根據二項式系數的性質，可得所有奇數項二項式系數的和為，所以B錯誤；
對于C中，對于C中，令，可得，
令，可得，所以，所以C正確；
對于D中，由，
可得，
即，
令，可得，所以D錯誤.
故選：AC.
【變式8-1】（多選題）（2024·江蘇南京·高二校考階段練習）設，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．展開式中二項式系數最大的項是第項 D．
【答案】ABD
【解析】對于A令得 ，故A正確 ；
對于B,令得，
而由A知：，因此，故B正確 ；
對于C，因為的展開式中二項式系數最大為，為第項，故C不正確 ；
對于D,因為的展開式中，，
所以，，，
因此，，所以，故D正確，
故選:ABD
【變式8-2】（多選題）（2024·河北秦皇島·高二統考期末）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】令，則，選項A錯誤；
令，則，則，選項B正確；
令，則，則，
則，，
從而，選項CD正確；
故選：BCD.
【變式8-3】（多選題）（2024·山西運城·高二康杰中學校考階段練習）已知，下列命題中，正確的有（ ）
A．展開式中所有項的二項式系數的和為 B．展開式中所有項的系數和為
C．展開式中所有奇數項系數的和為 D．
【答案】ABC
【解析】對于A，二項式展開式中所有項的二項式系數的和為，故A正確；
對于B，令，，故B正確；
對于C，令，則，
兩式相加得展開式中所有奇數項系數的和為，故C正確；
對于D，令，則，
令，則，
所以，故D錯誤．
故選：ABC．
【變式8-4】（2024·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）設.
(1)求的值.
(2)求.
【解析】（1），
令，得，因此
令，得，
.
因此
（2）的展開式中偶數項的系數為負值，
令，得.
故
【方法技巧與總結】
二項展開式中系數和的求法
（1）對形如，的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令即可，對的式子求其展開式的各項系數之和，只需令即可．
（2）一般地，若，則展開式中各項系數之和為，
奇數項系數之和為，
偶數項系數之和為．
題型九：二項式系數性質的應用
【典例9-1】（2024·天津西青·高二統考期末）在的展開式中共有7項，則下列敘述中正確的結論個數為（ ）
①二項式系數之和為32；②各項系數之和為0；③二項式系數最大項為第四項；④的系數為15
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】由條件在的展開式中共有7項，可得①二項式系數之和為，①錯誤；
令，各項系數之和為，②正確；
二項式系數最大項為第四項，③正確；
，
令，解得，
所以展開式中含項的系數為，的系數為15，④正確.
故選：B.
【典例9-2】（2024·福建三明·高二校聯考期末）在的展開式中，若二項式系數最大值為n，則（ ）
A．180 B．165 C．120 D．55
【答案】B
【解析】在的展開式中，若二項式系數最大值為,
由于，
.
故選:B.
【變式9-1】（2024·河北保定·高二河北省唐縣第一中學校考期末）的展開式中只有第六項的二項式系數最大，則展開式的第三項為（ ）
A．180 B．-180
C．180 D．-180
【答案】A
【解析】因的展開式中只有第六項的二項式系數最大，則，
所以展開式的第三項為.
故選：A
【變式9-2】（2024·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學校考期末）已知二項式的展開式中僅有第項的二項式系數最大，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為二項式的展開式中僅有第項的二項式系數最大，
則二項式的展開式共項，即，解得.
故選：A.
【變式9-3】（2024·河北邢臺·高二統考階段練習）若二項展開式中的各項的二項式系數只有第項最大，則展開式的常數項的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為二項展開式中的各項的二項式系數只有第項最大，所以，
則展開式的通項為（且），
令，解得，
所以，即展開式中常數項為.
故選：D
【變式9-4】（2024·山東淄博·高二統考期末）已知的展開式中第三項與第四項的系數之比為，則其展開式中二項式系數最大的項為（ ）
A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項
【答案】C
【解析】二項式展開式的系數即為其二項式系數，
所以第三項的系數為，第四項的系數為，
所以，即，解得，
所以展開式一共有項，其第項的二項式系數最大.
故選：C
【方法技巧與總結】
（1）二項式系數最大的項的求法
求二項式系數最大的項，根據二項式系數的性質對中的進行討論．
①當為奇數時，中間兩項的二項式系數最大；
②當為偶數時，中間一項的二項式系數最大．
（2）展開式中系數的最大項的求法
求展開式中系數的最大項與求二項式系數最大項是不同的，需要根據各項系數的正、負變化情況進行分析．如求的展開式中系數的最大項，一般采用待定系數法．設展開式中各項系數分別為，且第項最大，應用，解出，即得出系數的最大項．
題型十：三項式及多項式展開問題
【典例10-1】（2024·江蘇·高二假期作業）的展開式中的系數為（ ）
A．208 B． C．217 D．
【答案】B
【解析】根據二項式定理可得，
的展開式中，含的項為.
所以，的展開式中的系數為.
故選：B.
【典例10-2】（2024·江蘇·高二假期作業）的展開式中，常數項為（ ）
A． B． C．70 D．72
【答案】C
【解析】方法一：展開式中，
第項，
所以常數項為，
方法二：展開式中，
第項，
當時，展開式中常數項為；
當時，展開式中常數項為；
當時，，
所以的展開式中，常數項為70，
故選：C．
【變式10-1】（2024·江西南昌·高二南昌十中校考階段練習）在的展開式中，項的系數為（ ）
A．299 B．300
C． D．
【答案】C
【解析】的展開式中，項是從5個多項式中任取1個用，
再余下4個多項式中任取1個用，最后3個多項式都用1相乘的積，
即，所以項的系數為.
故選：C
【變式10-2】（2024·高二課時練習）在的展開式中，的系數是（ ）
A．24 B．32 C．36 D．40
【答案】D
【解析】根據題意，的項為，
所以的系數是.
故選：D．
【變式10-3】（2024·高二單元測試）的展開式中的常數項為（ ）
A．588 B．589 C．798 D．799
【答案】B
【解析】因為展開式中的項可以看作8個含有三個單項式中各取一個相乘而得，
若得到常數項，則有：①8個1；②2個，1個，5個1；③4個，2個，2個1；
所以展開式中的常數項為.
故選：B.
【方法技巧與總結】
通項法
題型十一：楊輝三角問題
【典例11-1】（2024·山東德州·高二統考期末）將楊輝三角中的每一個數都換成，得到如圖所示的萊布尼茨三角形．萊布尼茨三角形具有很多優美的性質，如從第0行開始每一個數均等于其“腳下”兩個數之和，如果（n為正整數），則下列結論中正確的是（ ）
第0行
第1行
第2行
第3行
…… ……
A．當時，中間的兩項相等，且同時取得最大值
B．當時，中間一項為
C．第6行第5個數是
D．
【答案】C
【解析】對于A，由萊布尼茨三角形知，當n為奇數時，中間兩項相等，且同時取到最小值，
為奇數，故A錯誤；
對于B，當時，這一行有2025個數，最中間為第1013個數，
即，B錯誤；
對于C，第6行有7個數，第5個數是，C正確；
對于D，由于從第0行開始每一個數均等于其“腳下”兩個數之和，
故，D錯誤，
故選：C
【典例11-2】（2024·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考期末）我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的楊輝三角，這是中國數學史上的一個偉大成就．在楊輝三角中，第行的所有數字之和為，若去除所有為1的項，依次構成數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……．則此數列的前15項之和為（ ）
A．114 B．116 C．124 D．126
【答案】A
【解析】根據題意可知構成的新數列的前15項分別為楊輝三角的第三層到第七層除去1之外的所有數構成的，
除第一行有一個1以外，其余每行都有兩個1，
又第行的所有數字之和為，
所以構成的新數列前15項之和為.
故選：A
【變式11-1】（2024·江西·高二校聯考期末）楊輝三角（如下圖所示）是數學史上的一個偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2023行，每行的第3個數字之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
,
由題意可得，第2行到第2023行，每行的第3個數字之和為
,
故選：B．
【變式11-2】（2024·遼寧大連·高二瓦房店市高級中學校考期末）“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現．如圖所示的楊輝三角中，第8行，第3個數是（ ）
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
A．21 B．28 C．36 D．56
【答案】B
【解析】根據楊輝三角的規律可知第行的第個數為，
則第8行，第3個數是，
故選：B.
【變式11-3】（2024·江蘇·高二假期作業）“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，記為圖中所選數1，構成的數列的第項，則的值為（ ）

A．252 B．426 C．462 D．924
【答案】C
【解析】由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，記為圖中所選數，構成的數列的第項，
根據數字的構成規律，可得數列的奇數項為每行數列的項，偶數項為每行的第項，
則即第11行的第項，
結合二項展開式的二項式系數的性質，可得.
故選：C.
【方法技巧與總結】
解決與楊輝三角有關問題的一般思路
(1)觀察：對題目要橫看、豎看、隔行看、連續看，多角度觀察．
(2)找規律：通過觀察找出每一行的數之間，行與行之間的數據的規律．
(3)將數據間的這種聯系用數學式表達出來，使問題得解．
一、單選題
1．（2024·湖南長沙·高三雅禮中學校考階段練習）的展開式中的系數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】展開式的通項為，
則的展開式中含項為，
即的系數為.
故選：A.
2．（2024·陜西·校聯考一模）的展開式中的系數為（ ）
A．30 B．25 C．45 D．15
【答案】D
【解析】因為的展開式通項為，
所以的展開式中含的項為．
即展開式中的系數為.
故選：D.
3．（2024·浙江·校聯考一模）展開式中含項的系數為（ ）
A．30 B． C．10 D．
【答案】B
【解析】由題意得，展開式中含的項為，
所以展開式中含項的系數為.
故選：B
4．（2024·河南·高二校聯考專題練習）的值為（ ）
A．1016 B．986 C．1326 D．1566
【答案】A
【解析】法一：因為，
所以
；
法二：
，
，
，
，
.
故選：A.
5．（2024·陜西咸陽·統考模擬預測）已知的展開式中的常數項為0，則（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】二項式的通項公式為，
當時，解得，當時，解得，
所以展開式中的常數項為：，
解得.
故選：C．
6．（2024·新疆喀什·高二統考期中）已知的展開式中只有第6項的系數最大，則正整數n的值為（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】由二項展開式的形式可知，每一項的系數和二項式系數相等，
所以第6項的二項式系數是，所以，得.
故選：B.
7．（2024·全國·高三校聯考專題練習）的展開式中，的系數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的展開式通項為，
令，得，的系數為.
故選：D.
8．（2024·甘肅·高三武威第六中學校聯考開學考試）已知的展開式中，前三項的系數依次成等差數列，則展開式中二項式系數最大的項是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】展開式中的第項為，
所以前三項的系數依次為，
依題意，有，即，
整理得，解得（舍去）或.
由二項式系數的性質可知，展開式中第5項的二項式系數最大，
即.
故選：C.
二、多選題
9．（2024·福建寧德·高二統考期末）已知，則（ ）
A． B．
C． D．展開式中二項式系數最大的項為第項
【答案】AB
【解析】設.
對于A選項，，A對；
對于B選項，，B對；
對于C選項，，
所以，，C錯；
對于D選項，展開式共項，展開式中二項式系數最大的項為第項，D錯.
故選：AB.
10．（2024·江西九江·高二統考期末）在的展開式中，下列命題正確的是（ ）
A．不含常數項 B．二項式系數之和為32
C．系數最大項是 D．各項系數之和為
【答案】ABC
【解析】對于A：的展開式的通項為
.
令，得（不符題意），A正確；
對于B：二項式系數之和，B正確；
對于C：系數為正依次是，故系數最大項是，C正確；
對于D：令，得各項系數之和為，D錯誤.
故選：ABC.
11．（2024·江西南昌·高二南昌二中校考期末）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】因為，
對于選項A：令，可得，故A正確；
對于選項BC：令，可得，
所以，，故B正確，C錯誤；
對于選項D：令，可得，
所以，故D正確；
故選：ABD.
三、填空題
12．（2024·重慶·高三重慶一中校考開學考試）設，則 ．
【答案】
【解析】由，
令，得，
令，得，
所以.
故答案為：
13．（2024·江蘇常州·高二統考期末）的展開式中，各項系數的絕對值之和為 ．
【答案】
【解析】二項式展開式的通項公式為，
所以各項系數的絕對值之和為.
故答案為：
14．（2024·全國·高三校聯考開學考試）的展開式中，項系數為 ．
【答案】
【解析】由，
由展開式通項為，
令，解得，
則項為，則項系數為．
故答案為：.
四、解答題
15．（2024·廣東深圳·高二校考期末）已知，其中，，，，.且展開式中僅有第5項的二項式系數最大.
(1)求值及二項式系數最大項；
(2)求的值（用數值作答）.
【解析】（1）因為展開式中僅有第5項的二項式系數最大，
即僅有最大，所以，故.
即，二項式系數最大項為第5項：；
（2）令，得，
令，得.
兩式相加可得.
16．（2024·福建漳州·高二統考期末）已知的展開式中，所有二項式系數的和為32．
(1)求的值；
(2)若展開式中的系數為，求的值．
【解析】（1）∵所有二項式系數的和為32，
∴， ∴．
（2）二項式展開式的通項公式為，
令，
∴展開式中的系數為，
∴解得．
17．（2024·廣東梅州·高二校考階段練習）在二項式的展開式中，求：
(1)二項式系數之和；
(2)各項系數之和；
(3)所有偶數項系數之和；
(4)系數絕對值之和.
【解析】（1）設
二項式系數之和為
（2）設，
則各項系數之和為，
令得
（3）由（2）知令可得:
將兩式相減,可得:，
故所有偶數項系數之和為.
（4）方法一:
令則
方法二:即為 展開式中各項系數和，
令得
故系數絕對值之和為.
18．（2024·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）已知二項式，其中，且此二項式的項的系數是．
(1)求實數a的值；
(2)求的值（結果可保留冪的形式）．
【解析】（1）（1）二項式的展開式中含的項為，
∴，
則，
又，解得．
（2）由（1）可得，
令，則①，
令，則②，
∴由① ＋② 可得：；
由① －② 可得：．
∴.
19．（2024·江蘇常州·高二統考期末）已知．
(1)求的最大值；
(2)求被13除的余數．
【解析】（1）因為，
所以，．
所以，，．
令，則，所以的最大值為1792．
（2）因為．
所以被除的余數，即為被除的余數為．7．4 二項式定理
課程標準 學習目標
（1）能利用多項式運算法則，建立二項式展開式中項的系數與組合數公式之間的聯系，發現二項式定理，并能用計數原理進行解釋． （2）能通過分析二項展開式的結構特征發現通項公式，并能用于解決相關問題． （3）能通過分析二項展開式的結構特征發現二項式系數的性質，能列出“楊輝三角形”，聯系函數知識發現二項式系數的一些規律，并能用二項式系數的性質解決簡單問題． （1）理解二項式定理的相關概念. （2）掌握二項式定理的特征及其展開式的通項公式. （3）會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題．
知識點01 二項式定理
1、定義
一般地，對于任意正整數，都有：
這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．
式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，其中的系數叫做二項式系數
2、二項式的展開式的特點：
（1）項數：共有項，比二項式的次數大1；
（2）二項式系數：第項的二項式系數為，最大二項式系數項居中；
（3）次數：各項的次數都等于二項式的冪指數．字母降冪排列，次數由到0；字母升冪排列，次數從0到，每一項中，a，b次數和均為；
【即學即練1】寫出的展開式．
知識點02 二項展開式的通頂公式
二項展開式的通項：
公式特點：
（1）它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數是；
（2）字母的次數和組合數的上標相同；
【即學即練2】（2024·江蘇·高二假期作業）的展開式中的常數項為 .
知識點03 二頂式系數及其性質
1、的展開式中各項的二頂式系數、、…具有如下性質：
①對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離"的兩項的二項式系數相等，即；
②增減性與最大值：二項式系數在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值．其中，當為偶數時，二項展開式中間一項的二項式系數最大；當為奇數時，二項展開式中間兩項的二項式系數相等，且最大．
（3）各二項式系數之和為，即；
（4）二項展開式中各奇數項的二項式系數之和等于各偶數項的二項式系數之和，即．
知識點詮釋：
二項式系數與展開式的系數的區別
二項展開式中，第項的二項式系數是組合數，展開式的系數是單項式的系數，二者不一定相等．
2、展開式中的系數求法的整數且
知識點詮釋：
三項或三項以上的展開式問題，把某兩項結合為一項，利用二項式定理解決．
【即學即練3】（2024·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）在的展開式中，的系數是 .
題型一：二項式定理的正用、逆用
【典例1-1】（2024·高二課時練習）（1）求的展開式；
（2）化簡．
【典例1-2】（2024·高二課時練習）用二項式定理展開下列各式：
(1)；
(2)．
【變式1-1】（2024·高二課時練習）求的展開式．
【變式1-2】（2024·高二課時練習）求的展開式．
【方法技巧與總結】
（1）的二項展開式有項，是和的形式，各項的冪指數規律是：①各項的次數和等于n；②字母a按降冪排列，從第一項起，次數由n逐項減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由0逐項加1直到n．
（2）逆用二項式定理可以化簡多項式，體現的是整體思想．注意分析已知多項式的特點，向二項展開式的形式靠攏．
題型二：二項式系數與項的系數
【典例2-1】（2024·江蘇·高二假期作業）在的展開式中，項的系數為 ．
【典例2-2】（2024·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江實驗中學校考期末）展開式中常數項為 .（用數字作答）
【變式2-1】（2024·全國·高二專題練習）的展開式中含項的系數為 .
【變式2-2】（2024·江蘇鎮江·高二統考期末）在展開式中，項的系數為 .
【方法技巧與總結】
（1）二項式系數都是組合數，它與二項展開式中某一項的系數不一定相等，要注意區分“二項式系數”與二項展開式中“項的系數”這兩個概念．
（2）第項的親數是此項字母前的數連同符號，而此項的二項式系數為．
題型三：展開式中的特定項
【典例3-1】（2024·河南駐馬店·高二統考期末）式子二項式定理展開中的第6項為 ．
【典例3-2】（2024·山西朔州·高二校考階段練習）已知二項式的展開式中，后三項的二項式系數之和為37，展開式中的第四項為 .
【變式3-1】（2024·北京石景山·高二統考期末）二項式的展開式中存在常數項，則可以為 ．（只需寫出一個符合條件的值即可）
【變式3-2】（2024·全國·高二開學考試）寫出展開式中的一個有理項為 .
【變式3-3】（2024·高二單元測試）展開式中的第7項與倒數第7項的比是1∶6，則展開式中的第7項為 ．
【方法技巧與總結】
求二項展開式的特定項的常用方法
（1）對于常數項，隱含條件是字母的指數為0（即0次項）．
（2）對于有理項，一般是先寫出通項公式，求其所有的字母的指數恰好都是整數的項．解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數，根據具體要求，令其屬于整數集，再根據數的整除性來求解．
（3）對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數應是非負整數，求解方式與求有理項一致．
題型四：求兩個多項式積的特定項
【典例4-1】（2024·全國·高二校聯考開學考試）在的展開式中，的系數為（ ）
A． B．60 C． D．80
【典例4-2】（2024·江蘇·高二假期作業）在展開式中的系數為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【變式4-1】（2024·湖北武漢·高二武漢市東湖中學校考期末）展開式中的系數是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2024·江西吉安·高二江西省峽江中學校考期末）已知展開式中各項系數之和為，則展開式中的系數為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2024·甘肅白銀·高二校考期末）的展開式中，含的項的系數是（ ）
A． B．5 C．15 D．35
【變式4-4】（2024·全國·高二假期作業）的展開式中的常數項為（ ）
A．120 B．80 C．60 D．40
【方法技巧與總結】
求多項式積的特定項的方法：“雙通法”
所謂的“雙通法”是根據多項式與多項式的乘法法則得到的展開式中一般項為：，再依據題目中對指數的特殊要求，確定與所滿足的條件，進而求出，的取值情況．
題型五：系數的最值問題
【典例5-1】（2024·河北張家口·高二統考期末）在的展開式中，系數最大的項的系數為 （用數字作答）.
【典例5-2】（2024·湖北十堰·高二統考期末）的展開式中系數最大的項是第 項.
【變式5-1】（2024·上海浦東新·高二上海市建平中學校考期末）的二項展開式中系數最大的項為 .
【變式5-2】（2024·河南駐馬店·高二確山縣第一高級中學校考期末）已知的展開式中前三項的二項式系數之和為46， ；展開式中系數最大的項 ．
【變式5-3】（2024·北京·高二校考階段練習）已知的展開式中，第3項與第6項的系數互為相反數，則展開式中系數最小的項為 .
【變式5-4】（2024·全國·高二專題練習）二項式的展開式中各項系數的和為-1，則該展開式中系數最大的項為
【方法技巧與總結】
求展開式中系數最大項與求二項式系數最大項是不同的，需根據各項系數的正、負變化情況，一般采用列不等式(組)、解不等式(組)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)項的系數最大，則與之相鄰兩項第k項，第(k＋2)項的系數均不大于第(k＋1)項的系數，由此列不等式組可確定k的范圍，再依據k∈N來確定k的值，即可求出最大項．
題型六：余數和整除的問題
【典例6-1】（2024·河南鄭州·高二校聯考期末）除以所得的余數是 .
【典例6-2】（2024·湖北武漢·高二武漢市東湖中學校考期末）已知，且能被17整除，則的取值可以是 .（寫出一個滿足題意的即可）
【變式6-1】（2024·廣東廣州·高二校考期末）設，且，若能被13整除，則 .
【變式6-2】（2024·全國·高二專題練習）若多項式能被整除，則 ．
【變式6-3】（2024·遼寧朝陽·高二校聯考期末）被除的余數是 .
【方法技巧與總結】
利用二項式定理可以解決求余數和整除的問題，通常需將底數化成兩數的和與差的形式，且這種轉化形式與除數有密切的關系．
題型七：證明不等式或求近似值
【典例7-1】（2024·高二課時練習）用二項式定理估算 .（精確到0.001）
【典例7-2】（2024·高二課時練習）將精確到0.01的近似值是 ．
【變式7-1】（2024·江西九江·高二統考期末）二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克 牛頓提出.二項式定理可以推廣到任意實數次冪，即廣義二項式定理：對于任意實數，當比較小的時候，取廣義二項式定理展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結果就越接近真實數據.用這個方法計算的近似值，可以這樣操作：.用這樣的方法，估計的近似值約為 .（精確到小數點后兩位數）
【變式7-2】（2024·高二課時練習）已知數列{an}(n為正整數)是首項為a1，公比為q的等比數列．
(1)求和：，；
(2)由（1）的結果歸納概括出關于正整數n的一個結論，并加以證明．
【變式7-3】（2024·遼寧·高二校聯考期末）已知.
(1)當，時，求中含項的系數；
(2)用、表示，寫出推理過程．
【方法技巧與總結】
的近似計算的處理方法
當a的絕對值與1相比很小且n不大時，常用近似公式，因為這時展開式的后面部分很小，所以可以忽略不計，但是使用這個公式時應注意a的條件，以及對精確度的要求．若精確度要求較高，則可使用更精確的近似公式等．
題型八：二項展開式的系數和問題
【典例8-1】（多選題）（2024·遼寧本溪·高二校考期末）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【典例8-2】（多選題）（2024·江蘇揚州·高二統考期末）的展開式中第項和第項的二項式系數相等，則以下判斷正確的是（ ）
A．第項的二項式系數最大 B．所有奇數項二項式系數的和為
C． D．
【變式8-1】（多選題）（2024·江蘇南京·高二校考階段練習）設，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．展開式中二項式系數最大的項是第項 D．
【變式8-2】（多選題）（2024·河北秦皇島·高二統考期末）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-3】（多選題）（2024·山西運城·高二康杰中學校考階段練習）已知，下列命題中，正確的有（ ）
A．展開式中所有項的二項式系數的和為 B．展開式中所有項的系數和為
C．展開式中所有奇數項系數的和為 D．
【變式8-4】（2024·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）設.
(1)求的值.
(2)求.
【方法技巧與總結】
二項展開式中系數和的求法
（1）對形如，的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令即可，對的式子求其展開式的各項系數之和，只需令即可．
（2）一般地，若，則展開式中各項系數之和為，
奇數項系數之和為，
偶數項系數之和為．
題型九：二項式系數性質的應用
【典例9-1】（2024·天津西青·高二統考期末）在的展開式中共有7項，則下列敘述中正確的結論個數為（ ）
①二項式系數之和為32；②各項系數之和為0；③二項式系數最大項為第四項；④的系數為15
A．4 B．3 C．2 D．1
【典例9-2】（2024·福建三明·高二校聯考期末）在的展開式中，若二項式系數最大值為n，則（ ）
A．180 B．165 C．120 D．55
【變式9-1】（2024·河北保定·高二河北省唐縣第一中學校考期末）的展開式中只有第六項的二項式系數最大，則展開式的第三項為（ ）
A．180 B．-180
C．180 D．-180
【變式9-2】（2024·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學校考期末）已知二項式的展開式中僅有第項的二項式系數最大，則為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-3】（2024·河北邢臺·高二統考階段練習）若二項展開式中的各項的二項式系數只有第項最大，則展開式的常數項的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-4】（2024·山東淄博·高二統考期末）已知的展開式中第三項與第四項的系數之比為，則其展開式中二項式系數最大的項為（ ）
A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項
【方法技巧與總結】
（1）二項式系數最大的項的求法
求二項式系數最大的項，根據二項式系數的性質對中的進行討論．
①當為奇數時，中間兩項的二項式系數最大；
②當為偶數時，中間一項的二項式系數最大．
（2）展開式中系數的最大項的求法
求展開式中系數的最大項與求二項式系數最大項是不同的，需要根據各項系數的正、負變化情況進行分析．如求的展開式中系數的最大項，一般采用待定系數法．設展開式中各項系數分別為，且第項最大，應用，解出，即得出系數的最大項．
題型十：三項式及多項式展開問題
【典例10-1】（2024·江蘇·高二假期作業）的展開式中的系數為（ ）
A．208 B． C．217 D．
【典例10-2】（2024·江蘇·高二假期作業）的展開式中，常數項為（ ）
A． B． C．70 D．72
【變式10-1】（2024·江西南昌·高二南昌十中校考階段練習）在的展開式中，項的系數為（ ）
A．299 B．300
C． D．
【變式10-2】（2024·高二課時練習）在的展開式中，的系數是（ ）
A．24 B．32 C．36 D．40
【變式10-3】（2024·高二單元測試）的展開式中的常數項為（ ）
A．588 B．589 C．798 D．799
【方法技巧與總結】
通項法
題型十一：楊輝三角問題
【典例11-1】（2024·山東德州·高二統考期末）將楊輝三角中的每一個數都換成，得到如圖所示的萊布尼茨三角形．萊布尼茨三角形具有很多優美的性質，如從第0行開始每一個數均等于其“腳下”兩個數之和，如果（n為正整數），則下列結論中正確的是（ ）
第0行
第1行
第2行
第3行
…… ……
A．當時，中間的兩項相等，且同時取得最大值
B．當時，中間一項為
C．第6行第5個數是
D．
【典例11-2】（2024·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考期末）我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的楊輝三角，這是中國數學史上的一個偉大成就．在楊輝三角中，第行的所有數字之和為，若去除所有為1的項，依次構成數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……．則此數列的前15項之和為（ ）
A．114 B．116 C．124 D．126
【變式11-1】（2024·江西·高二校聯考期末）楊輝三角（如下圖所示）是數學史上的一個偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2023行，每行的第3個數字之和為（ ）
A． B． C． D．
【變式11-2】（2024·遼寧大連·高二瓦房店市高級中學校考期末）“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現．如圖所示的楊輝三角中，第8行，第3個數是（ ）
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
A．21 B．28 C．36 D．56
【變式11-3】（2024·江蘇·高二假期作業）“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，記為圖中所選數1，構成的數列的第項，則的值為（ ）

A．252 B．426 C．462 D．924
【方法技巧與總結】
解決與楊輝三角有關問題的一般思路
(1)觀察：對題目要橫看、豎看、隔行看、連續看，多角度觀察．
(2)找規律：通過觀察找出每一行的數之間，行與行之間的數據的規律．
(3)將數據間的這種聯系用數學式表達出來，使問題得解．
一、單選題
1．（2024·湖南長沙·高三雅禮中學校考階段練習）的展開式中的系數為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陜西·校聯考一模）的展開式中的系數為（ ）
A．30 B．25 C．45 D．15
3．（2024·浙江·校聯考一模）展開式中含項的系數為（ ）
A．30 B． C．10 D．
4．（2024·河南·高二校聯考專題練習）的值為（ ）
A．1016 B．986 C．1326 D．1566
5．（2024·陜西咸陽·統考模擬預測）已知的展開式中的常數項為0，則（ ）
A．3 B． C．2 D．
6．（2024·新疆喀什·高二統考期中）已知的展開式中只有第6項的系數最大，則正整數n的值為（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．（2024·全國·高三校聯考專題練習）的展開式中，的系數為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·甘肅·高三武威第六中學校聯考開學考試）已知的展開式中，前三項的系數依次成等差數列，則展開式中二項式系數最大的項是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·福建寧德·高二統考期末）已知，則（ ）
A． B．
C． D．展開式中二項式系數最大的項為第項
10．（2024·江西九江·高二統考期末）在的展開式中，下列命題正確的是（ ）
A．不含常數項 B．二項式系數之和為32
C．系數最大項是 D．各項系數之和為
11．（2024·江西南昌·高二南昌二中校考期末）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
12．（2024·重慶·高三重慶一中校考開學考試）設，則 ．
13．（2024·江蘇常州·高二統考期末）的展開式中，各項系數的絕對值之和為 ．
14．（2024·全國·高三校聯考開學考試）的展開式中，項系數為 ．
四、解答題
15．（2024·廣東深圳·高二校考期末）已知，其中，，，，.且展開式中僅有第5項的二項式系數最大.
(1)求值及二項式系數最大項；
(2)求的值（用數值作答）.
16．（2024·福建漳州·高二統考期末）已知的展開式中，所有二項式系數的和為32．
(1)求的值；
(2)若展開式中的系數為，求的值．
17．（2024·廣東梅州·高二校考階段練習）在二項式的展開式中，求：
(1)二項式系數之和；
(2)各項系數之和；
(3)所有偶數項系數之和；
(4)系數絕對值之和.
18．（2024·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）已知二項式，其中，且此二項式的項的系數是．
(1)求實數a的值；
(2)求的值（結果可保留冪的形式）．
19．（2024·江蘇常州·高二統考期末）已知．
(1)求的最大值；
(2)求被13除的余數．

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