資源簡介

平面向量考點(diǎn)專項(xiàng)復(fù)習(xí)
一、本章知識(shí)點(diǎn)脈絡(luò)
二、考綱要求
知識(shí)內(nèi)容 認(rèn)知要求 說　明
了解 理解 掌握
7.1平面向量的概念 √ （1）平面向量概念的引入要結(jié)合生活、生產(chǎn)的實(shí)例進(jìn)行 （2）通過平面向量的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算技能，數(shù)據(jù)處理技能和數(shù)學(xué)思維能力 （3）重點(diǎn)是平面向量的運(yùn)算及其坐標(biāo)表示
7.2平面向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算 √
7.3平面向量的坐標(biāo)表示 √
三、知識(shí)精講
1.向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時(shí)有向線段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的長度(或稱模)，記作||.
(2)零向量：長度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位長度的向量.
(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運(yùn)算
向量運(yùn)算 定　義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律
加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a. (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算 a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘 規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.
4.平面向量的坐標(biāo)表示．
（1）在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的坐標(biāo)，記作．
（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的，即有
向量向量點(diǎn)．
（3）設(shè)，，則，，即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．
若，為實(shí)數(shù)，則，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．
（4）設(shè)，，則=，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．
5．平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
①已知點(diǎn)，，則，
②已知，，則，，
，．
，
四、考點(diǎn)演練
【考點(diǎn)1】平面向量的概念
1.下列說法正確的是（ ）
A．向量的模是正實(shí)數(shù)
B．共線向量一定是相等向量
C．方向相反的兩個(gè)向量一定是共線向量
D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量終點(diǎn)也必相同
【答案】C
【解析】對于A，因?yàn)椋皇钦龑?shí)數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對于B，共線向量是方向相同或相反的向量，但模的大小不確定，故B錯(cuò)誤；
對于C，共線向量是方向相同或相反的向量，故方向相反的兩個(gè)向量一定是共線向量，故C正確；
對于D，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量方向相同或相反，長度也不一定相同，故終點(diǎn)不一定相同，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
2.下列說法正確的是（ ）
A．單位向量都相等
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】C
【解析】對于A，單位向量的模長都相等，但方向不一定相同，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對于B，若，說明兩個(gè)向量的模長相等，但方向不一定相同或相反，所以兩向量不一定共線，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對于C，向量的相等條件為方向相同且模長相等，所以，則，所以選項(xiàng)C正確；
對于D，此時(shí)若，但兩向量的方向不同，滿足，但與選項(xiàng)D題干矛盾，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：C.
3.下列命題正確的是（ ）
A．零向量沒有方向 B．若，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】C
【解析】對于A項(xiàng)：零向量的方向是任意的并不是沒有方向，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于B項(xiàng)：因?yàn)橄蛄康哪Ｏ嗟龋蛄坎灰欢ㄏ嗟龋蔅項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于C項(xiàng)：因?yàn)椋钥傻茫海蔆項(xiàng)正確；
對于D項(xiàng)：若，則不共線的，也有，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C.
4.設(shè)點(diǎn)是正方形的中心，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C． D．與共線
【答案】B
【解析】如圖，

因?yàn)椋较蛳嗤L度相等，故，故A正確；
因?yàn)椋较虿煌剩蔅錯(cuò)誤；
因?yàn)椋c(diǎn)共線，所以，故C正確；
因?yàn)椋耘c共線，故D正確.
故選：B
5.下列各量中，向量有： ．（填寫序號(hào)）
①濃度；②年齡；③風(fēng)力；④面積；⑤位移；⑥加速度．
【答案】③⑤⑥
【解析】向量是有大小有方向的量，故符合的有：風(fēng)力，位移，加速度.
故答案為：③⑤⑥.
6.如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點(diǎn)和中心為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與向量相等的向量有 個(gè).

【答案】3
【解析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和相等向量的定義知，與向量相等的向量有，，，共3個(gè).
故答案為：3
7.在四邊形中，，則這個(gè)四邊形的形狀是 .
【答案】平行四邊形
【解析】由可知//，且，
注意到四邊形中不共線，于是//，
結(jié)合可知，該四邊形是平行四邊形.
故答案為：平行四邊形
【考點(diǎn)2】平面向量的加法、減法運(yùn)算
8.下列等式中，正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①；②；③；④.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】根據(jù)相反向量的概念可知，向量的相反向量的相反向量等于它本身，所以，故①正確；
因?yàn)槿我庀蛄考由狭阆蛄康扔谶@個(gè)向量，所以，故②正確；
因?yàn)槿我庀蛄考由纤南喾聪蛄康扔诹阆蛄浚裕盛壅_；
因?yàn)槿我庀蛄繙p去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量，并且任意向量加上零向量等于這個(gè)向量，,故④正確.
所以①②③④正確，則正確的個(gè)數(shù)為4.
故選：D.
9.在四邊形ABCD中，，則（　 　）
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四邊形
【答案】D
【解析】對于同起點(diǎn)的向量的和一般通過作平行四邊形得到，由可知，由A，B，C，D構(gòu)成的四邊形一定是平行四邊形.
故選：D.
10.下列向量關(guān)系式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由向量加法的運(yùn)算法則，有，D選項(xiàng)正確.
故選：D.
11.向量 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，故B正確.
故選：B.
12.在△ABC中，若，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
.
故選：D.
13.在中，（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】.
故選：A.
14.如圖．向量 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如圖,設(shè)，
∴．
故選：A．
15.設(shè)P為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則① ；②；③中成立的序號(hào)為 ．
【答案】②
【解析】如圖，
因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?br/>所以連接對角線交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，
根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則可得，
在中，,
在中，,
所以,
故答案為:②.
16.填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
故答案為：（1）；（2）；（3）；（4）.
17.化簡 ．
【答案】
【解析】，
故答案為：
18.如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點(diǎn)，且，試用向量表示向量.
【答案】
【解析】因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形，
所以，，
故.
19.如圖，在平行四邊形中，，，用、表示向量、.
【答案】，
【解析】依題意，.
【考點(diǎn)3】平面向量的數(shù)乘運(yùn)算
20.如圖，已知是的邊上的中線，若，，則等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)槭堑倪吷系闹芯€，
所以，所以
.
故選：C
21.等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.
故選：B.
22.在中，在上，且在上，且．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
.【解析】因?yàn)椋?br/>所以，則．
因?yàn)椋裕瑒t．
故選：C
23.若在三角形中，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如圖，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
故選：A
24.化簡 .
【答案】
【解析】
故答案為：
25.已知點(diǎn)在線段上，且，若向量，則 .
【答案】
【解析】如圖，由，可得，所以，即，
故答案為：
26.在中，點(diǎn)D，E滿足，.若，則 .
【答案】/
【解析】在中，點(diǎn)D，E滿足，，
則，
而不共線，又，因此，
所以.
故答案為：
27.化簡下列各式：
(1)3；
(2)；
(3)2．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）；
（2）；
（3）.
28．（1）計(jì)算：
①；
②；
③．
（2）設(shè)向量，求．
【答案】（1）①；②；③；（2）．
【解析】
（1）①；
②；
③．
（2）.
【考點(diǎn)4】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算
29.若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，故，而，
故，故，故，
故選：A.
30.已知平行四邊形的頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，由題意得，即，
即，解得，
故頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為.
故選：A
31.已知點(diǎn)，向量，則向量＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知，得到，
因?yàn)椋?br/>故選：A.
32.若向量，，，則可用向量，表示為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，即，
則有，解得，則.
故選：A.
33.已知的頂點(diǎn)，，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋善叫兴倪呅慰傻茫?br/>設(shè)，則，
所以，即的坐標(biāo)為.
故選：B.
34.已知點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
【答案】
【解析】如圖，連接，

設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，，
整理得．
故答案為：
35.已知點(diǎn)，，，則 .
【答案】
【解析】根據(jù)已知可得：，，
因此可得：.
故答案為：
36.若，則向量 ，向量 .
【答案】
【解析】由①，②.
①+②，得;
①-②，得.
故答案為：，
37.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量的方向如圖所示，且，，，分別計(jì)算出它們的坐標(biāo)．
【答案】，，．
【解析】設(shè)，，，
則，，
，，
，，
因此，，．
38.在中，AC為一條對角線．若，，則的坐標(biāo)是多少？
【答案】
【解析】
，，
，
.
39.先根據(jù)下列條件畫圖，觀察并判斷以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形的形狀，然后進(jìn)行證明．
(1)已知，，；
(2)已知，，；
(3)已知，，．
【答案】(1)圖見解析，直角三角形；
(2)圖見解析，銳角三角形；
(3)圖見解析，直角三角形.
【解析】（1）
如圖所示，易知：，
顯然，
即是直角三角形；
（2）
如圖所示，易得：，
顯然，故是銳角三角形；
（3）如圖所示，易得：，
顯然，即是直角三角形.

40．如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

【答案】．
【解析】
因?yàn)椋?br/>所以點(diǎn)D的坐標(biāo)是．平面向量考點(diǎn)專項(xiàng)復(fù)習(xí)
一、本章知識(shí)點(diǎn)脈絡(luò)
二、考綱要求
知識(shí)內(nèi)容 認(rèn)知要求 說　明
了解 理解 掌握
7.1平面向量的概念 √ （1）平面向量概念的引入要結(jié)合生活、生產(chǎn)的實(shí)例進(jìn)行 （2）通過平面向量的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算技能，數(shù)據(jù)處理技能和數(shù)學(xué)思維能力 （3）重點(diǎn)是平面向量的運(yùn)算及其坐標(biāo)表示
7.2平面向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算 √
7.3平面向量的坐標(biāo)表示 √
三、知識(shí)精講
1.向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時(shí)有向線段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的長度(或稱模)，記作||.
(2)零向量：長度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位長度的向量.
(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運(yùn)算
向量運(yùn)算 定　義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律
加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a. (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算 a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘 規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.
4.平面向量的坐標(biāo)表示．
（1）在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的坐標(biāo)，記作．
（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的，即有
向量向量點(diǎn)．
（3）設(shè)，，則，，即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．
若，為實(shí)數(shù)，則，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．
（4）設(shè)，，則=，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．
5．平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
①已知點(diǎn)，，則，
②已知，，則，，
，．
，
四、考點(diǎn)演練
【考點(diǎn)1】平面向量的概念
1.下列說法正確的是（ ）
A．向量的模是正實(shí)數(shù)
B．共線向量一定是相等向量
C．方向相反的兩個(gè)向量一定是共線向量
D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量終點(diǎn)也必相同
2.下列說法正確的是（ ）
A．單位向量都相等
B．若，則
C．若，則
D．若，則
3.下列命題正確的是（ ）
A．零向量沒有方向 B．若，則
C．若，，則 D．若，，則
4.設(shè)點(diǎn)是正方形的中心，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C． D．與共線
5.下列各量中，向量有： ．（填寫序號(hào)）
①濃度；②年齡；③風(fēng)力；④面積；⑤位移；⑥加速度．
6.如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點(diǎn)和中心為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與向量相等的向量有 個(gè).

7.在四邊形中，，則這個(gè)四邊形的形狀是 .
【考點(diǎn)2】平面向量的加法、減法運(yùn)算
8.下列等式中，正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①；②；③；④.
A．1 B．2 C．3 D．4
9.在四邊形ABCD中，，則（　 　）
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四邊形
10.下列向量關(guān)系式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
11.向量 （ ）
A． B．
C． D．
12.在△ABC中，若，，則等于（ ）
A． B． C． D．
13.在中，（ ）
A． B． C． D．0
14.如圖．向量 等于（ ）
A． B．
C． D．
15.設(shè)P為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則① ；②；③中成立的序號(hào)為 ．
16.填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
17.化簡 ．
18.如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點(diǎn)，且，試用向量表示向量.
19.如圖，在平行四邊形中，，，用、表示向量、.
【考點(diǎn)3】平面向量的數(shù)乘運(yùn)算
20.如圖，已知是的邊上的中線，若，，則等于（　　）
A． B． C． D．
21.等于（　　）
A． B． C． D．
22.在中，在上，且在上，且．若，則（ ）
A． B． C． D．
23.若在三角形中，，，則（ ）
A． B．
C． D．
24.化簡 .
25.已知點(diǎn)在線段上，且，若向量，則 .
26.在中，點(diǎn)D，E滿足，.若，則 .
27.化簡下列各式：
(1)3；
(2)；
(3)2．
28．（1）計(jì)算：
①；
②；
③．
（2）設(shè)向量，求．
【考點(diǎn)4】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算
29.若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
30.已知平行四邊形的頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
31.已知點(diǎn)，向量，則向量＝（ ）
A． B． C． D．
32.若向量，，，則可用向量，表示為（　　）
A． B．
C． D．
33.已知的頂點(diǎn)，，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
34.已知點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
35.已知點(diǎn)，，，則 .
36.若，則向量 ，向量 .
37.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量的方向如圖所示，且，，，分別計(jì)算出它們的坐標(biāo)．
38.在中，AC為一條對角線．若，，則的坐標(biāo)是多少？
39.先根據(jù)下列條件畫圖，觀察并判斷以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形的形狀，然后進(jìn)行證明．
(1)已知，，；
(2)已知，，；
(3)已知，，．
40．如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

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