資源簡介

登陸21世紀教育 助您教考全無憂
南通市立體幾何訓練--回歸課本
1．P16 練習3.下列圖形表示放置的直觀圖,畫出它們原來的圖形.
答案:
2．P29 習題12.如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點.
(1) 求證:四邊形EFGH是平行四邊形;
(2) 若AC=BD,求證:四邊形EFGH為菱形;
(3) 當AC與BD滿足什么條件時,四邊形EFGH是正方形
答案(1)由E,F分別為AB,BC的中點,得EF∥AC.且 EF=AC.同理,GH∥AC,且GH=AC,所以EF∥GH且EF=GH,即四邊形EFGH為平行四邊形.(2)由已知得EH=BD,EF=AC,BD=AC, EH=EF.由(1)得四邊形EFGH為平行四邊形, 四邊形EFGH為菱形.(3)ACBD,且AC=BD.
3．P35 練習1.已知與平面,指出下列命題是否正確,并說明理由:
(1) 若,則與相交;
(2) 若,則
(3) 若∥,,,則∥
答案(1)正確 (2)錯誤 (3)正確
4．練習2.某空間圖形的三視圖如圖所示,試畫出它的直觀圖,并指出其中的線面垂直關系.
答案:如圖,四面體PABC中,PAAB,ACAB,PAAC,則PA平面ABC,AC平面PAB,AB平面PAC.
練習3.如圖,已知,垂足分別為且.求證: 平面.
答案:因為同理平面APB.
5．在四棱錐P-ABCD中，若ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD
(1) 指出圖中有哪些三角形是直角三角形，并說明理由；
（2）若PA＝AD＝AB求PC與平面ABCD所成角的正切值
答（1）三角形PAB,與三角形PAD
（2）
6．在三棱錐p-ABC中，頂點p在平面ABC內的射影是三角形ABC的外心．
求證：PA=PB=PC
7．證明：,P在ABC的射影設為O,則OA=OB=OC,因為是ABC的外心,即OA=OB=OC為半徑,又OP是射影,故OP垂直于ABC,那么對于三角形OPA=OPB=OPC均為直角三角形,并且他們是全等的,則PA=PB=PC
8．在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC上的射影O是三角形ABC的垂心；
求證：PA⊥BC
證明：因為：O是△ABC的垂心
所以：直線AO垂直直線BC
又因為：直線PO垂直于平面ABC
所以：PO直線垂直于直線BC
所以：直線BC垂直于平面POA
所以：PA垂直BC
9．如圖，已知有公共邊AB的兩個全等矩形ABCD和ABEF不在同一個平面內，P、Q對角線AE、BD上的動點。
當P、Q滿足什么條件時，PQ∥平面CBE？
答： PQ‖BCE的充要條件是EP＝BQ
證明： 設PQ‖BCE,過PQ可作BCE的平行平面TVW,容易證明：⊿TEP≌⊿VBQ.∴EP＝BQ.
反之，如果EP＝BQ.作PT⊥EF.QW⊥DC,則⊿TEP≌⊿WCQ（A,A,S）.
T,P,W,Q到ECB等距離，PQ‖ECB.
總之，PQ‖BCE的充要條件是EP＝BQ。
10．P47(1)
判斷下列命題是否正確，并說明理由：
（1） 若平面內的兩條直線分別與平面平行，則與平行
（2） 若平面內有無數條直線與平面平行，則與平行
（3） 平行于同一條直線的兩個平面平行
（4） 過已知平面外一點，有且僅有一個平面與已知平面平行
（5） 過已知平面外一條直線，必能做出與已知平面平行的平面
正確的有（4）
11．P47(2)
判斷下列命題是否正確，并說明理由：
（1） 若，，則
（2） 若，，則
（3） ，，則
正確的有（3）
12．P-51例2
有一根長為5cm，底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞4圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為多少厘米？（精確到0.1cm）
解：把圓柱表面及纏繞其上的鐵絲展開在平面上，得到矩形ABCD，由題意知BC=5cm，AB=，點A與點C就是鐵絲的起止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度，
答：鐵絲的最短長度約為.
13．P53練習6
一個正三棱臺的兩個底面的邊長分別等于8cm和18cm，側棱長等于13cm,求它的側面積
14．P65-12
如圖，把長，寬各為5，4的長方形ABCD沿對角線AC折成直二面角，求頂點B和D之間的距離
構造直角三角形
15．P65-15
三個球的半徑比是1：2：3，求證：其中最大的一個球的體積是另兩個球的體積之和的3倍
16．P65-16
正方體，等邊圓柱（底面直徑和高相等的圓柱），球的體積相等，則哪一個表面積最小
球表面積最小
A'
O'
O'
x'
x'
y'
y'
A
B
D
E
F
G
H
C
A
B
C
P
A
B
P
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南通市立體幾何訓練--例題精選
1如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,側面底面，若、分別為、的中點.
(Ⅰ) //平面；(Ⅱ) 求證:平面平面；
(本小題滿分14分)
解：(Ⅰ)證明：連結，在中，的中位線,//，且平面,平面， ………7分
(Ⅱ)證明：∵面面　，平面面　，
∴平面　，又,
∴面面 (其它解法參照給分) ………14分
２如圖四邊形是菱形，平面， 為的中點. 求證：
⑴ ∥平面；
⑵ 平面平面.
[解]：證：設 ,連 。
⑴ ∵為菱形， ∴ 為中點，又為中點。
∴∥ （5分）
又 , ∴∥（7分）
⑵ ∵為菱形， ∴, （9分）
又∵， ∴ （12分）
又 ∴ 又
∴ （14分）
3、已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分別是線段AB、BC的中點,PA⊥平面ABCD.
(1)求證:PF⊥FD；
(2)設點G在PA上,且EG//平面PFD,試確定點G的位置.
解：（1）證明:連結AF,在矩形ABCD中,因為AD=4,AB=2,點F是BC的中點,所以∠AFB=∠DFC=45°.
所以∠AFD=90°,即AF⊥FD. …………………3分
又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD. …………… 4分
所以FD⊥平面PAF. ………………………… 5分
故PF⊥FD. ………………………………………6分
(2)過E作EH//FD交AD于H,則EH//平面PFD,且
AH=AD. …………………………8分
再過H作HG//PD交PA于G,則GH//平面PFD,且 AG=PA. ………………………10分
所以平面EHG//平面PFD,則EG//平面PFD, …………………………………………12分
從而點G滿足AG=PA. ……………………………………………………………… 13分
[說明:①用向量法求解的,參照上述評分標準給分；②第(2)小題也可以延長DF與AB交于R,然后找EG//PR進行處理.]
4、如圖已知平面，且
是垂足．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若，試判斷平面與平面的
位置關系，并證明你的結論．
解：（Ⅰ）因為，所以．同理．
又，故平面． 5分
（Ⅱ）設與平面的交點為，連結、．因為平面，
所以，所以是二面角的平面角．
又，所以，即．
在平面四邊形中，，
所以．故平面平面． 14分
5、已知等腰梯形PDCB中（如圖1），PB=3，DC=1，PB=BC=，A為PB邊上一點，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如圖2）。
（1）證明：平面PAD⊥PCD；
（2）試在棱PB上確定一點M，使截面AMC
把幾何體分成的兩部分；
（3）在M滿足（Ⅱ）的情況下，判斷直線AM
是否平行面PCD.
解：（I）證明：依題意知：
（II）由（I）知平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD.
在PB上取一點M，作MN⊥AB，則MN⊥平面ABCD，
設MN=h
則
要使
即M為PB的中點.
（III）以A為原點，AD、AB、AP所在直線為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系
則A（0，0，0），B（0，2，0），
C（1，1，0），D（1，0，0），
P（0，0，1），M（0，1，）
由（I）知平面，則
的法向量。
又為等腰
因為
所以AM與平面PCD不平行.
6、如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知，，．
（Ⅰ）設是上的一點，證明：平面平面；
（Ⅱ）當點位于線段PC什么位置時，平面？
（Ⅲ）求四棱錐的體積．
證明：（Ⅰ）在中，
∵，，，∴．
∴． 2分
又 ∵平面平面，
平面平面，平面，
∴平面．
又平面，
∴平面平面． 4分
（Ⅱ）當點位于線段PC靠近C點的三等分點處時，平面． 5分
證明如下：連接AC，交于點N，連接MN．
∵，所以四邊形是梯形．
∵，∴．
又 ∵，
∴，∴MN． 7分
∵平面，∴平面． 9分
（Ⅲ）過作交于，
∵平面平面，
∴平面．
即為四棱錐的高． 11分
又 ∵是邊長為4的等邊三角形，∴． 12分
在中，斜邊邊上的高為，此即為梯形的高．
∴梯形的面積． 14分
故． 15分
7、如圖, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點D是AB的中點， （I）求證：AC⊥BC1； （II）求證：AC 1//平面CDB1；
解析：（1）證明線線垂直方法有兩類：一是通過三垂線定理或逆定理證明，二是通過線面垂直來證明線線垂直；（2）證明線面平行也有兩類：一是通過線線平行得到線面平行，二是通過面面平行得到線面平行.
答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三邊長AC=3，BC=4AB=5，
∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC內的射影為BC，∴ AC⊥BC1；
（II）設CB1與C1B的交點為E，連結DE，∵ D是AB的中點，E是BC1的中點，
∴ DE//AC1，∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，
∴ AC1//平面CDB1；
解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C兩兩垂直，如圖，以C為坐標原點，直線CA、CB、C1C分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）
（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴ ＝0，∴AC⊥BC1.
（2）設CB1與C1B的交戰為E，則E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1.
點評：2．平行問題的轉化：
面面平行線面平行線線平行；
主要依據是有關的定義及判定定理和性質定理．?
8、 如圖所示，四棱錐P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點。
(1)求證：BM∥平面PAD；
(2)在側面PAD內找一點N，使MN平面PBD；
(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。
解析：本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，
二面角等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.
答案：（1）是的中點，取PD的中點，則
，又
四邊形為平行四邊形
∥，
∥ （4分）
（2）以為原點，以、、 所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，
在平面內設，，， 由
由
是的中點，此時 （8分）
（3）設直線與平面所成的角為
，，設為
故直線與平面所成角的正弦為 （12分）
解法二：
（1）是的中點，取PD的中點，則
，又
四邊形為平行四邊形
∥，
∥ （4分）
（2）由（1）知為平行四邊形
，又
同理，
為矩形 ∥，，又
作故
交于，在矩形內，，
， 為的中點
當點為的中點時， （8分）
（3）由（2）知為點到平面的距離，為直線與平面所成的角，設為，
直線與平面所成的角的正弦值為
點評：（1）證明線面平行只需證明直線與平面內一條直線平行即可；（2）求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（3）證明線面垂直只需證此直線與平面內兩條相交直線垂直變可.這些從證法中都能十分明顯地體現出來
9、 如圖，四棱錐中，側面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點.
(Ⅰ)求與底面所成角的大小；
(Ⅱ)求證：平面；
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
解析：求線面角關鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法 ( http: / / www. / wxc / ) 求二面角的大小也可應用面積射影法，比較好的方法是向量法 ( http: / / www. / wxc / )
答案：(I)取DC的中點O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．
又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．
連結OA，則OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA與底面所成角．
∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，從而求得OA=OP=．
∴∠PAO=45°．∴PA與底面ABCD可成角的大小為45°． ……6分
(II)由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．
建立空間直角坐標系如圖，則, ．
由M為PB中點，∴．
∴．
∴，
．
∴PA⊥DM，PA⊥DC． ∴PA⊥平面DMC．……4分
(III)．令平面BMC的法向量，
則，從而x+z=0； ……①, ，從而． ……②
由①、②，取x= 1，則． ∴可取．
由(II)知平面CDM的法向量可取，
∴． ∴所求二面角的余弦值為－． ……6分
法二：（Ⅰ）方法同上
（Ⅱ）取的中點，連接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，則，又，則，即，
又在中，中位線，，則，則四邊形為，所以，在中，，則，故而，
則
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，則為二面角的平面角，在中，易得，，
故，所求二面角的余弦值為
點評：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強 ( http: / / www. / wxc / ) 用平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角，是常用的方法.
10、 如圖所示：邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED//AF且∠DAF=90°。
（1）求BD和面BEF所成的角的余弦；
（2）線段EF上是否存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說明理由。
解析：1.先假設存在，再去推理，下結論： 2.運用推理證明計算得出結論，或先利用條件特例得出結論，然后再根據條件給出證明或計算。
答案：（1）因為AC、AD、AB兩兩垂直，建立如圖坐標系，
則B（2，0，0），D（0，0，2），
E（1，1，2），F（2，2，0），
則
設平面BEF的法向量
，則可取，
∴向量所成角的余弦為
。
即BD和面BEF所成的角的余弦。
（2）假設線段EF上存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直，不妨設EP與PF的比值為m，則P點坐標為
則向量，向量
所以。
點評：本題考查了線線關系，線面關系及其相關計算，本題采用探索式、開放式設問方式，對學生靈活運用知識解題提出了較高要求。
11、 已知正方形 ( http: / / wxc. / ) 、分別是、的中點,將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為 ( http: / / wxc. / )
(I) 證明平面;
(II)若為正三角形,試判斷點在平面內的射影是否在直線上,證明你的結論,并求角的余弦值 ( http: / / wxc. / )
分析:充分發揮空間想像能力，重點抓住不變的位置和數量關系，借助模型圖形得出結論，并給出證明.
解: (I)證明:EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點,
EB//FD,且EB=FD,
四邊形EBFD為平行四邊形 ( http: / / wxc. / )
BF//ED.
,平面 ( http: / / wxc. / )
(II)如右圖,點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上,過點A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結GC,GD ( http: / / wxc. / )
ACD為正三角形,AC=AD.
CG=GD.
G在CD的垂直平分線上, 點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上,
過G作GH垂直于ED于H,連結AH,則,所以為二面角A-DE-C的平面角 ( http: / / wxc. / ) 即.
設原正方體的邊長為2a,連結AF,在折后圖的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF為直角三角形, .
在RtADE中, .
, ( http: / / wxc. / )
點評：在平面圖形翻折成空間圖形的這類折疊問題中，一般來說，位于同一平面內的幾何元素相對位置和數量關系不變：位于兩個不同平面內的元素，位置和數量關系要發生變化，翻折問題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。關鍵要抓不變的量.
12、 設棱錐M-ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面積為1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.
分析：關鍵是找出球心所在的三角形，求出內切圓半徑.
解： ∵AB⊥AD，AB⊥MA，
∴AB⊥平面MAD，
由此，面MAD⊥面AC.
記E是AD的中點，從而ME⊥AD.
∴ME⊥平面AC，ME⊥EF.
設球O是與平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.
不妨設O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的內心.
設球O的半徑為r，則r＝
設AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.
∴ME＝.MF＝,
r＝≤＝-1。
當且僅當a＝，即a＝時，等號成立.
∴當AD＝ME＝時，滿足條件的球最大半徑為-1.
點評：涉及球與棱柱、棱錐的切接問題時一般過球心及多面體中的特殊點或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系。注意多邊形內切圓半徑與面積和周長間的關系；多面體內切球半徑與體積和表面積間的關系。
13、（本小題滿分14分）如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,側面底面，若、分別為、的中點.
(Ⅰ) //平面；
(Ⅱ) 求證:平面平面；
解：(Ⅰ)證明：連結，在中，的中位
線，//　，且平面，
平面，
(Ⅱ)證明：∵面面　，平面面　，∴平面　，又,
∴面面
14、.在直三棱柱中，，，是的中點，是上一點，且．
（1）求證： 平面；
（2）求三棱錐的體積；
（3）試在上找一點，使得平面．
解：（1）證明：為中點 ，又直三棱柱中：底面底面，，平面，平面 ．在 矩形中：， ， ，即， ，平面；
（2）解：平面
=；
（3）當時，平面．
證明：連，設，連， 為矩形，為中點，為中點，，平面，平面 平面．
15、．如圖，以長方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A、C及另兩個頂點為頂點構造四面體．（1）若該四面體的四個面都是直角三角形，試寫出一個這樣的四面體（不要求證明）；
（2）我們將四面體中兩條無公共端點的棱叫做對棱，若該四面體的任一對對棱垂直，試寫出一個這樣的四面體（不要求證明）；
（3）若該四面體的任一對對棱相等，試寫出一個這樣的四面體（不要求證明），并計算它的體積與長方體的體積的比．
解：（1）如四面體A1-ABC或四面體C1-ABC或四面體A1-ACD或四面體C1-ACD；
（2）如四面體B1-ABC或四面體D1-ACD；
（3）如四面體A-B1CD1
設長方體的長、寬、高分別為，則
16、已知三棱柱ABC—A1B1C1的三視圖如圖所示，其中主視圖AA1B1B和左視圖B1BCC1均為 矩形，俯視圖△A1B1C1中，A1C1=3，A1B1=5，
（1）在三棱柱ABC—A1B1C1中，求證：BC⊥AC1；
（2）在三棱柱ABC—A1B1C1中，若D是底邊AB的中點，求證：AC1∥平面CDB1；
（3）若三棱柱的高為5，求三視圖中左視圖的面積.
解：（1）因為主視圖和左視圖均為矩形、所以該三棱柱為直三棱柱，……1分
又俯視圖△A1B1C1中，A1C1=3，A1B1=5，，
由余弦定理可得
又∵BC⊥CC1，CC1∩A1C1=C1，∴BC⊥平面ACC1A1
∵AC1平面ACC1A1，∴BC⊥AC1……………………………………4分
（2）連BC1交B1C于M，則M為BC1的中點，連DM，則DM∥AC1…………6分
∵DM平面DCB1，AC1平面DCB1，∴AC1∥平面CDB1……………………8分
（3）左視圖中BC的長等于底面△ABC中頂點C到邊AB的距離d
∴左視圖的面積………………………………12分
17、．如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，為上的點，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥BE；
（2）求三棱錐D－AEC的體積；
（3）設M在線段AB上，且滿足AM＝2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE.
解：（1）證明：，
∴，則 …………2分
又，則
∴ 又 ∴ …………4分
（2）×× …………8分
（3）在三角形ABE中過M點作MG∥AE交BE于G點,在三角形BEC中過G點作GN∥BC交EC于N點,連MN,則由比例關系易得CN＝ …………10分
MG∥AE MG平面ADE, AE平面ADE,
MG∥平面ADE
同理, GN∥平面ADE
平面MGN∥平面ADE
又MN平面MGN MN∥平面ADE
N點為線段CE上靠近C點的一個三等分點 …………12分
18、 如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=
（1）求證：平面PAC⊥平面PCD；
（2）在棱PD上是否存在一點E，使CE∥平面PAB？
若存在，請確定E點的位置；若不存在，請說明理由.
解證：設PA=1.
（1）由題意PA=BC=1，AD=2.……………………………………2分
由勾股定理逆定理得AC⊥CD.……………………………………3分
又∵PA⊥面ABCD，CD面ABCD，
∴PA⊥CD. 又PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC.……………………5分
又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.……………………6分
（2）作CF∥AB交于AD于F，作EF∥AP交于PD于E，連接CE.……8分
∵CF∥AB，EF∥PA，CF∩EF=F，PA∩AB=A，
∴平面EFC∥平面PAB.………………10分
又CE平面EFC，∴CE∥平面PAB.
∵BC=，AF=BC，
∴F為AD的中點，∴E為PD中點.
故棱PD上存在點E，且E為PD中點，使CE∥面PAB.………12分
19.如圖，已知點B在以AC為直徑的圓上，SA⊥面ABC，AE⊥SB于E，AF⊥SC于F.
（1）證明：SC⊥EF；
（2）若
求三棱錐S—AEF的體積.
解：（1）
…………4分
………6分
（2）中，
又…………8分
由（1）知
得…………10分
由（1）知…………12分
20、在正方體中，已知E、F、G分別是棱AB、AD、的中點．
（1）求證：BG//平面；
（2）若P為棱上一點，求當等于多少時，平面平面？
法一：（1）證明：連接，在正方形中分別為中點，
　∴，∴平面， ……2分
又分別為中點，　
∴，∴， ……4分
　∴平面平面，
　又平面，∴平面；…6分
法二：延長FE交CB的延長線于H，連接．
　由分別為中點，
　則，，
又G為中點，∴，，
　∴，，　
∴四邊形為平行四邊形， ……4分
　∴，又平面，
∴平面； ……………6分
（2）解：法一：連接AC交于EF于O點，連接，
　∵∴，
　則為二面角的平面角， …………………………8分
　若平面平面EFP，則，設．
　在中，，，
　，
　∴，∴，　 ……………………………12分
∴當時，平面． ……………………………14分
法二：當時，平面平面EFP．　　　　……………………7分
證明如下：設正方體的棱長為1，則，
∴，
連接AC與EF交O，連接，，
則，，
∴，即為直角三角形，
∴， ………………………11分
又，∴，
又，
∴平面EFP， ………………………13分
又平面，∴平面平面EFP． ………………………14分
法三：取D為坐標原點，分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標
系，設，設．8分
設面的法向量為，則，解得，…10分
設面EFP的法向量為，則解得，
令，得，∴， ………………………13分
∴時，平面平面EFP． ………………………14分
B
A
C
D
P
Q
O
P
A
B
C
D
F
E
·
P
A
B
C
D
F
E
·
H
G
A
B
C
M
P
D
A
B
C
A1
B1
C1
E
x
y
z
轉化
轉化
1,3,5
Ｖ
A
Ｃ
Ｄ
Ｂ
A
B
C
D
D1+
A1+
C1+
B1+
B
C
A
D
E
F
M
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
G
E
F
P
（第17題）
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
G
E
F
P
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
G
E
F
P
H
O
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 1 頁）
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