資源簡介

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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
專題03 反比例函數綜合問題-3.2與幾何圖形結合問題
反比例函數與幾何的綜合問題，是歷年來中考的熱點，常見于中考試卷的壓軸題中，其融合了特殊平行四邊形、特殊三角形的性質、（全等）相似三角形的判定及性質、銳角三角函數的應用等數學核心知識，考查了學生的分類討論、數形結合、轉化化歸等數學思想、綜合分析和應用知識的能力。
這類問題主要包括反比例函數與特殊三角形的綜合、反比例函數與四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形）的綜合、反比例函數與圓的綜合等三種題型。解反比例函數與幾何圖形的綜合題，一般先設出幾何圖形中的未知數，然后結合函數的圖像用含未知數的式子表示出幾何圖形與圖像的交點坐標，再由函數解析式及幾何圖形的性質寫出含未知數及待求字母系數的方程（組），解方程（組）即可得所求幾何圖形的未知量或函數解析式中待定字母的值。
特殊幾何圖形的存在性問題解題思想：（1）找點構成等腰三角形、直角三角形、（特殊）平行四邊形等問題；（2）找點構成三角形全等、相似問題；（3）求點的坐標。
雖然部分特殊幾何的存在性問題有一定“套路”可循，但大多題目試題命題靈活，并無單一模式，對學生提出了相當大的挑戰。然而萬變不離其宗，從特殊三角形、四邊形本身的性質入手，結合邊、角的相互轉化，就能撥開迷霧、追尋真跡。
特別注意：（1）這類題大多需要用到分類討論思想；（2）注意“三角形ABC是 ....”和“以點A、B、C為頂點的三角形是....”的區別，前者順序已定，后者可以隨機順序，需進一步討論。
考向一　反比例函數與特殊三角形的綜合問題
例1．（2023年黑龍江龍東地區中考數學真題）如圖，是等腰三角形，過原點，底邊軸，雙曲線過兩點，過點作軸交雙曲線于點，若，則的值是（ ）

A． B． C． D．
例2．（2023年四川省達州市中考數學真題）如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于兩點，以為邊作等邊三角形，若反比例函數的圖象過點，則的值為 ．

例3．（2023年江蘇省鎮江市中考數學真題）如圖，正比例函數與反比例函數的圖象交于A，兩點，點C在x軸負半軸上，．(1)______，______，點C的坐標為______．(2)點P在x軸上，若以B，O，P為頂點的三角形與相似，求點P的坐標．

例4．（2023年四川省眉山市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點，與y軸交于點，與反比例函數在第四象限內的圖象交于點．
(1)求反比例函數的表達式：(2)當時，直接寫出x的取值范圍；(3)在雙曲線上是否存在點P，使是以點A為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

例5．（2023年四川省成都市數學中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與y軸交于點A，與反比例函數的圖象的一個交點為，過點B作AB的垂線l．
(1)求點A的坐標及反比例函數的表達式；(2)若點C在直線l上，且的面積為5，求點C的坐標；(3)P是直線l上一點，連接PA，以P為位似中心畫，使它與位似，相似比為m．若點D，E恰好都落在反比例函數圖象上，求點P的坐標及m的值．

考向二　反比例函數與特殊四邊形的綜合問題
例1．（2023年福建省中考真題數學試題）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數和的圖象的四個分支上，則實數的值為（　　）

A． B． C． D．3
例2．（2023.山東中考模擬預測）如圖，點、為反比例函數上的動點，點、為反比例函數上的動點，若四邊形為菱形，則該菱形邊長的最小值為___________．
例3．（23-24九年級上·四川達州·階段練習）如圖，矩形的邊，，動點在邊上（不與、重合），過點的反比例函數的圖象與邊交于點，直線分別與軸和軸相交于點和．給出下列命題：若，則的面積為；若，則點關于直線的對稱點在軸上；滿足題設的的取值范圍是；若，則；其中正確的命題個數是（　　）
A．個 B．個 C．個 D．個
例4．（2023年四川省瀘州市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與，軸分別相交于點A，B，與反比例函數的圖象相交于點C，已知，點C的橫坐標為2．(1)求，的值；(2)平行于軸的動直線與和反比例函數的圖象分別交于點D，E，若以B，D，E，O為頂點的四邊形為平行四邊形，求點D的坐標．
例5．（2023年河南省中考數學真題）小軍借助反比例函數圖象設計“魚形”圖案，如圖，在平面直角坐標系中，以反比例函數圖象上的點和點B為頂點，分別作菱形和菱形，點D，E在x軸上，以點O為圓心，長為半徑作，連接．
(1)求k的值；(2)求扇形的半徑及圓心角的度數；(3)請直接寫出圖中陰影部分面積之和．
考向三　反比例函數與圓的綜合問題
例1．（2023年山東省煙臺市中考數學真題）如圖，在直角坐標系中，與軸相切于點為的直徑，點在函數的圖象上，為軸上一點，的面積為6，則的值為 ．

例2．（2023春·廣東九年級課時練習）已知在平面直角坐標系中，為坐標原點，點是反比例函數圖像上的一個動點，若以點為圓心，為半徑的圓與直線相交，交點為、，當弦的長等于時，點的坐標為______．
例3．（2023·廣東·統考二模）如圖，A，C是雙曲線上關于原點對稱的點，B，D是雙曲線上關于原點對稱的點，圓弧與圍成了一個封閉圖形，當線段AC與BD都最短時，圖中陰影部分的面積為 ．
例4．（2023·成都·中考模擬）設雙曲線與直線交于，兩點（點在第三象限），將雙曲線在第一象限的一支沿射線的方向平移，使其經過點，將雙曲線在第三象限的一支沿射線的方向平移，使其經過點，平移后的兩條曲線相交于點，兩點，此時我們稱平移后的兩條曲線所圍部分（如圖中陰影部分）為雙曲線的“眸”，為雙曲線的“眸徑”.當雙曲線的眸徑為6時，的值為__________.
一、選擇題
1．（2023年四川省宜賓中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別在y，x軸上，軸．點M、N分別在線段、上，，，反比例函數的圖象經過M、N兩點，P為x正半軸上一點，且，的面積為3，則k的值為（　　）

A． B． C． D．
2．（23-24九年級上·江蘇南通·期末）如圖，正方形ABCD的頂點分別在函數和的圖象上，若軸，點C的縱坐標為4，則的值為（ ）

A．26 B．28 C．30 D．32
3．（22-23九年級上·廣西貴港·期末）如圖，在平面直角坐標系中有菱形，點A的坐標為，對角線、相交于點，，雙曲線經過的中點，交于點，下列四個結論：①；②；③點的坐標是；④連接、，則，則正確的結論有（ ）．
A．個 B．個 C．個 D．個
4．（2023·廣西南寧·一模）如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于A、B兩點，點P在以為圓心，1為半徑的圓上，點Q是的中點，且長的最大值為1.5，則k的值為（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年級上·廣東佛山·期末）如圖，正方形OABC的邊長為4，點D是OA邊的中點，連接CD，將△OCD沿著CD折疊得到△ECD，CE與OB交于點F．若反比例函數y＝的圖象經過點F，則m的值為（　　）
A． B． C． D．
6．（2021·江蘇南通·中考真題）平面直角坐標系中，直線與雙曲線相交于A，B兩點，其中點A在第一象限．設為雙曲線上一點，直線，分別交y軸于C，D兩點，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2021·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點D在第二象限，其余頂點都在第一象限，AB∥X軸，AO⊥AD，AO=AD．過點A作AE⊥CD，垂足為E，DE=4CE．反比例函數的圖象經過點E，與邊AB交于點F，連接OE，OF，EF．若，則k的值為（ ）
A． B． C．7 D．
二、填空題
8．（23-24九年級上·福建廈門·階段練習）如圖1，矩形的四個頂點、在上，、在上，滿足，且點、的橫坐標之和等于點的橫坐標，則矩形的面積為 ．

9．（23-24九年級·浙江衢州·階段練習）如圖，分別過反比例函數圖像上的點P1（1，y1），P2（1+2，y2），P3（1+2+3，y3），．．．，Pn（1+2+3+．．．+n，yn）作x軸的垂線，垂足分別為A1，A2，A3，．．．，An，連接A1P2，A2P3，A3P4，．．．，An-1Pn，再以A1P1，A1P2為一組鄰邊畫一個平行四邊形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3為一組鄰邊畫一個平行四邊形A2P2B2P3，以此類推，則B2的縱坐標是 ；點B1，B2，．．．，Bn的縱坐標之和為 ．
10．（2023年浙江省紹興市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，函數（為大于0的常數，）圖象上的兩點，滿足．的邊軸，邊軸，若的面積為6，則的面積是 ．
11．（2023.江蘇中考模擬預測）在平面直角坐標系中，將一點的橫坐標與縱坐標互換后得到的點稱為它的“互換點”，點M和A為函數的圖象第一象限上的一組互換點（M點在A點的左側）．直線AM分別交x軸、y軸于C、D兩點，連接AO交雙曲線另一支于點B，連接BM分別交x軸、y軸于點E，F．則下列結論正確的是______．（寫出所有正確結論的序號）
①；②；③若，則；④若，M點的橫坐標為1，則
12．（2023年浙江省寧波市中考數學真題）如圖，點A，B分別在函數圖象的兩支上（A在第一象限），連接AB交x軸于點C．點D，E在函數圖象上，軸，軸，連接．若，的面積為9，四邊形的面積為14，則的值為 ，a的值為 ．

13．（2023年江蘇省連云港市中考數學真題）如圖，矩形的頂點在反比例函數的圖像上，頂點在第一象限，對角線軸，交軸于點．若矩形的面積是6，，則 ．

14．（2023·四川成都·二模）某數學小組利用作圖軟件，將反比例函數和的圖象繞點O逆時針旋轉45°，得到了美麗的“雪花”圖案，再順次將圖象交點連接，得到一個八邊形，若該八邊形的周長為16，則k＝ ．
15．（2023·四川成都·統考一模）平面直角坐標系中，矩形ABOC的頂點，點B在x軸上，雙曲線分別交兩邊AC，AB于E、F兩點（E、F不與A重合），沿著EF將矩形ABOC折疊使A、D兩點重合．若折疊后，是等腰三角形，則此時點D的坐標為 ．
16．（2023·四川成都·統考二模）有一邊是另一邊的倍的三角形叫做幸運三角形，這兩邊中較長邊稱為幸運邊，這兩邊的夾角叫做幸運角．如圖，是幸運三角形，為幸運邊，為幸運角，，點B，C在反比例函數的圖象上，點C在點B的上方，且點B的縱坐標為．當是直角三角形且時，則k的值為 ．
三、解答題
17．（2023年遼寧省營口市中考數學真題）如圖，點A在反比例函數的圖象上，軸于點B，，．(1)求反比例函數的解析式；(2)點C在這個反比例函數圖象上，連接并延長交x軸于點D，且，求點C的坐標．

18．（2023年四川省廣安市中考數學真題）如圖，一次函數（為常數，）的圖象與反比例函數為常數，的圖象在第一象限交于點，與軸交于點．
(1)求一次函數和反比例函數的解析式．(2)點在軸上，是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標．

19．（2022·四川成都·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于，兩點．(1)求反比例函數的表達式及點的坐標；(2)過點作直線，交反比例函數圖象于另一點，連接，當線段被軸分成長度比為的兩部分時，求的長；(3)我們把有兩個內角是直角，且一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形稱為“完美箏形”．設是第三象限內的反比例函數圖象上一點，是平面內一點，當四邊形是完美箏形時，求，兩點的坐標．
20．（2023··成都七中校考三模）直線：與y軸交于點C，反比例函數的圖象交于點、B．(1)求a的值及B的坐標；(2)在x軸上存在點D，使，求點D的坐標；
(3)如圖2，將反比例函數的圖象沿直線：翻折得到一個封閉圖形（圖中陰影部分），若直線：與此封閉圖形有交點，求出滿足條件的k的取值范圍．

21．（2023·四川成都·二模）如圖，已知一次函數分別與x軸和反比例函數交于點．(1)求b和k；(2)C為直線上一動點，過點C作x軸的平行線，與反比例函數交于點D，若四邊形為平行四邊形，求點C的坐標；(3)我們把兩直角邊比為1：2的直角三角形稱為“黃金直角三角形”，點P為x軸上一動點，Q為反比例函數上一點，當三角形是以為斜邊的“黃金直角三角形”時，求點P的坐標．

22．（2023·四川成都·統考模擬預測）如圖1，平面直角坐標系中，，反比例函數的圖象分別交矩形的兩邊、于E、F（E、F不與A重合），沿著將矩形折疊使A、D重合．(1)當點E為中點時，求點F的坐標，并直接寫出與對角線的關系；
(2)如圖2，連接．①的周長是否有最小值，若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由；
②當平分時，直接寫出k的值．
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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
專題03 反比例函數綜合問題-3.2與幾何圖形結合問題
反比例函數與幾何的綜合問題，是歷年來中考的熱點，常見于中考試卷的壓軸題中，其融合了特殊平行四邊形、特殊三角形的性質、（全等）相似三角形的判定及性質、銳角三角函數的應用等數學核心知識，考查了學生的分類討論、數形結合、轉化化歸等數學思想、綜合分析和應用知識的能力。
這類問題主要包括反比例函數與特殊三角形的綜合、反比例函數與四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形）的綜合、反比例函數與圓的綜合等三種題型。解反比例函數與幾何圖形的綜合題，一般先設出幾何圖形中的未知數，然后結合函數的圖像用含未知數的式子表示出幾何圖形與圖像的交點坐標，再由函數解析式及幾何圖形的性質寫出含未知數及待求字母系數的方程（組），解方程（組）即可得所求幾何圖形的未知量或函數解析式中待定字母的值。
特殊幾何圖形的存在性問題解題思想：（1）找點構成等腰三角形、直角三角形、（特殊）平行四邊形等問題；（2）找點構成三角形全等、相似問題；（3）求點的坐標。
雖然部分特殊幾何的存在性問題有一定“套路”可循，但大多題目試題命題靈活，并無單一模式，對學生提出了相當大的挑戰。然而萬變不離其宗，從特殊三角形、四邊形本身的性質入手，結合邊、角的相互轉化，就能撥開迷霧、追尋真跡。
特別注意：（1）這類題大多需要用到分類討論思想；（2）注意“三角形ABC是 ....”和“以點A、B、C為頂點的三角形是....”的區別，前者順序已定，后者可以隨機順序，需進一步討論。
考向一　反比例函數與特殊三角形的綜合問題
例1．（2023年黑龍江龍東地區中考數學真題）如圖，是等腰三角形，過原點，底邊軸，雙曲線過兩點，過點作軸交雙曲線于點，若，則的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設，根據反比例函數的中心對稱性可得，然后過點A作于E，求出，點D的橫坐標為，再根據列式求出，進而可得點D的縱坐標，將點D坐標代入反比例函數解析式即可求出的值．
【詳解】解：由題意，設，∵過原點，∴，
過點A作于E，∵是等腰三角形，
∴，∴，點D的橫坐標為，
∵底邊軸，軸，∴，
∴，∴點D的縱坐標為，
∴，∴，解得：，故選：C．

【點睛】本題考查了反比例函數的圖象和性質，中心對稱的性質，等腰三角形的性質等知識，設出點B坐標，正確表示出點D的坐標是解題的關鍵．
例2．（2023年四川省達州市中考數學真題）如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于兩點，以為邊作等邊三角形，若反比例函數的圖象過點，則的值為 ．

【答案】
【分析】過點A作軸交x軸于點D，過點C作軸于點E，連接，首先聯立求出，，然后利用勾股定理求出，，然后證明出，利用相似三角形的性質得到，，最后將代入求解即可．
【詳解】如圖所示，過點A作軸交x軸于點D，過點C作軸于點E，連接，

∵一次函數與反比例函數的圖象相交于兩點，
∴聯立，即，∴解得，∴，，
∴，，∴，∴，
∵是等邊三角形，∴，，
∴，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，即，
∴解得，，∴點C的坐標為，
∴將代入得，．故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，等邊三角形的性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題．
例3．（2023年江蘇省鎮江市中考數學真題）如圖，正比例函數與反比例函數的圖象交于A，兩點，點C在x軸負半軸上，．(1)______，______，點C的坐標為______．(2)點P在x軸上，若以B，O，P為頂點的三角形與相似，求點P的坐標．

【答案】(1)，，(2)點P的坐標為或
【分析】（1）點B是兩函數圖象的交點，利用待定系數法求出m，k的值；根據“A，B兩點關于原點對稱”求出點A的坐標，過點A作x軸的垂線，利用等腰直角三角形的性質，結合圖形，求出點C的坐標．（2）根據點P在x軸上，結合圖形，排除點P在x軸負半軸上的情形，當點P在x軸正半軸上時，兩個三角形中已有一對角相等，而夾角的兩邊的對應關系不確定，故分類討論：①；②．分別求出兩種情況下的長，從而得出點P的坐標．
【詳解】（1）（1）將代入，得，∴．
將代入，得，∴．
如圖，過點A作軸于點D，則．

∵點A，B關于原點O對稱，∴，∴．
又∵，∴，∴，∴．
故答案為：，，；
（2）由（1）可知，，．
當點P在x軸的負半軸上時，，∴．
又∵，∴與不可能相似．
當點P在x軸的正半軸上時，．
①若，則，∵，∴，∴；
②若，則，
又∵，，∴，∴．
綜上所述，點P的坐標為或．
【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、相似三角形的性質．熟練掌握用待定系數法求函數表達式，并能利用數形結合思想和分類討論思想分析是解答本題的關鍵．
例4．（2023年四川省眉山市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點，與y軸交于點，與反比例函數在第四象限內的圖象交于點．
(1)求反比例函數的表達式：(2)當時，直接寫出x的取值范圍；(3)在雙曲線上是否存在點P，使是以點A為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)(2)或(3)或
【分析】（1）將，代入,求得一次函數表達式，進而可得點C的坐標，再將點C的坐標代入反比例函數即可；（2）將一次函數與反比例函數聯立方程組，求得交點坐標即可得出結果；（3）過點A作交y軸于點M，勾股定理得出點M的坐標，在求出直線AP的表達式，與反比例函數聯立方程組即可．
【詳解】（1）解：把，代入中得：，∴，
∴直線的解析式為，
在中，當時，，∴，
把代入中得：，∴，∴反比例函數的表達式；
（2）解：聯立，解得或，
∴一次函數與反比例函數的兩個交點坐標分別為，
∴由函數圖象可知，當或時，一次函數圖象在反比例函數圖象上方，
∴當時，或；
（3）解：如圖所示，設直線交y軸于點，
∵，，∴，，，
∵是以點A為直角頂點的直角三角形，∴，
∴，∴，解得，∴，
同理可得直線的解析式為，
聯立，解得或，∴點P的坐標為或．

【點睛】本題主要考查了反比例函數與一次函數綜合，勾股定理，正確利用待定系數法求出對應的函數解析式是解題的關鍵．
例5．（2023年四川省成都市數學中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與y軸交于點A，與反比例函數的圖象的一個交點為，過點B作AB的垂線l．
(1)求點A的坐標及反比例函數的表達式；(2)若點C在直線l上，且的面積為5，求點C的坐標；(3)P是直線l上一點，連接PA，以P為位似中心畫，使它與位似，相似比為m．若點D，E恰好都落在反比例函數圖象上，求點P的坐標及m的值．

【答案】(1)點A的坐標為，反比例函數的表達式為；
(2)點C的坐標為或(3)點P的坐標為；m的值為3
【分析】（1）利用直線解析式可的點C的坐標，將點代入可得a的值，再將點代入反比例函數解析式可得k的值，從而得解；
（2）設直線l于y軸交于點M，由點B的坐標和直線l是的垂線先求出點M的坐標，再用待定系數法求直線l的解析式，C點坐標為，根據(分別代表點B與點C的橫坐標)可得點C的橫坐標，從而得解；
（3） 位似圖形的對應點與位似中心三點共線可知點B的對應點也在直線l上，不妨設為點E，則點A的對應點是點D，直線l與雙曲線的解析式聯立方程組得到，由得到，繼而得到直線與直線的解析式中的一次項系數相等，設直線的解析式是：，將代入求得的解析式是：，再將直線與雙曲線的解析式聯立求得，再用待定系數法求出的解析式是，利用直線的解析式與直線l的解析式聯立求得點P的坐標為，再用兩點間的距離公式得到，從而求得．
【詳解】（1）解：令，則∴點A的坐標為，
將點代入得：解得：∴
將點代入得：解得：∴反比例函數的表達式為；
（2）解：設直線l于y軸交于點M，直線與x軸得交點為N，

令解得：∴，∴，
又∵，∴∵，∴
又∵直線l是的垂線即，，
∴，∴ 設直線l的解析式是：，
將點，點代入得：解得：
∴直線l的解析式是：， 設點C的坐標是
∵，(分別代表點B與點C的橫坐標)
解得： 或6，當時，；當時，，
∴點C的坐標為或
（3）∵位似圖形的對應點與位似中心三點共線，
∴點B的對應點也在直線l上，不妨設為點E，則點A的對應點是點D，
∴點E是直線l與雙曲線的另一個交點，
將直線l與雙曲線的解析式聯立得：解得：或∴
畫出圖形如下：又∵∴∴
∴直線與直線的解析式中的一次項系數相等，
設直線的解析式是： 將點代入得：
解得：∴直線的解析式是：
∵點D也在雙曲線上，∴點D是直線與雙曲線的另一個交點，
將直線與雙曲線的解析式聯立得：解得：或∴
設直線的解析式是：
將點，代入得：解得：
∴直線的解析式是：，
又將直線的解析式與直線l的解析式聯立得：解得：∴點P的坐標為
∴；∴
【點睛】本題考查直線與坐標軸的交點，求反比例函數解析式，反比例函數的圖象與性質，反比例函數綜合幾何問題，三角形的面積公式，位似的性質等知識，綜合性大，利用聯立方程組求交點和掌握位似的性質是解題的關鍵．
考向二　反比例函數與特殊四邊形的綜合問題
例1．（2023年福建省中考真題數學試題）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數和的圖象的四個分支上，則實數的值為（　　）

A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】如圖所示，點在上，證明，根據的幾何意義即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接正方形的對角線，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，點在上，∵，，∴．

∴．∴．∵點在第二象限，∴．故選：A．
【點睛】本題考查了正方形的性質，反比例函數的的幾何意義，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
例2．（2023.山東中考模擬預測）如圖，點、為反比例函數上的動點，點、為反比例函數上的動點，若四邊形為菱形，則該菱形邊長的最小值為___________．
【答案】4
【分析】連接AC、BD，則．設，，則．根據兩點的距離公式可分別求出AD、AB、OA、OD的長．再根據菱形的性質即得出，即可求出a和m的關系．最后在中，利用勾股定理即可求出AD的最小值．
【詳解】如圖，連接AC、BD，則．根據題意可設，，則．
∴,,
∴,
∵，∴．整理得：，即
在中，，即，
整理得：，將代入上式得：．
∵，∴．∴該菱形邊長的最小值為4．故答案為4．
【點撥】本題考查反比例函數圖象和性質，菱形的性質，兩點的距離公式以及勾股定理，數據處理難度大，較難．作出輔助線是解答本題的關鍵．
例3．（23-24九年級上·四川達州·階段練習）如圖，矩形的邊，，動點在邊上（不與、重合），過點的反比例函數的圖象與邊交于點，直線分別與軸和軸相交于點和．給出下列命題：若，則的面積為；若，則點關于直線的對稱點在軸上；滿足題設的的取值范圍是；若，則；其中正確的命題個數是（　　）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【分析】若則計算故命題正確；如答圖所示，若，可證明直線是線段的垂直平分線，故命題正確；因為點不經過點，所以，即可得出的范圍；求出直線的解析式，得到點、的坐標，然后求出線段、的長度； 利用算式，求出，故命題正確．
【詳解】∵，∴，，∴，，
∴
，故正確；
∵，∴，，∴，，
如答圖，過點作軸于點，則，，
在線段上取一點，使得，連接，
在中，由勾股定理得：，∴，
在中，由勾股定理得：，∴，
又∵，∴點與點關于直線對稱，故正確；
由題意，點與點不重合， ∴，∴， 故錯誤；
設， 則，，設直線的解析式為，則有，
，解得，∴，
令，得，∴，令，得，∴，
如上答圖， 過點作軸于點，則，，
在中，，，由勾股定理得：，
在中，，，由勾股定理得：，
∴，解得，∴, 故命題正確；
綜上所述，正確的命題是：，共個，故選：．
【點睛】本題主要考查了函數的圖象與性質、反比例函數圖象上點的坐標特征、比例系數k的幾何意義、待定系數法、矩形及勾股定理等多個知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點．
例4．（2023年四川省瀘州市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與，軸分別相交于點A，B，與反比例函數的圖象相交于點C，已知，點C的橫坐標為2．(1)求，的值；(2)平行于軸的動直線與和反比例函數的圖象分別交于點D，E，若以B，D，E，O為頂點的四邊形為平行四邊形，求點D的坐標．
【答案】(1)，；(2)點D的坐標為或
【分析】（1）求得，利用待定系數法即可求得直線的式，再求得，據此即可求解；（2）設點，則點，用平行四邊形的性質得到，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵，∴，
∵直線經過點，∴，解得，，∴直線的解析式為，
∵點C的橫坐標為2，∴，∴，
∵反比例函數的圖象經過點C，∴；
（2）解：由（1）得反比例函數的解析式為，令，則，∴點，
設點，則點，
∵以B，D，E，O為頂點的四邊形為平行四邊形，∴，
∴，整理得或，
由得，整理得，解得，
∵，∴，∴點；由得，
整理得，解得，∵，∴，∴點；
綜上，點D的坐標為或．
【點睛】此題是反比例函數綜合題，考查了待定系數法，平行四邊形的性質，解一元二次方程，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．
例5．（2023年河南省中考數學真題）小軍借助反比例函數圖象設計“魚形”圖案，如圖，在平面直角坐標系中，以反比例函數圖象上的點和點B為頂點，分別作菱形和菱形，點D，E在x軸上，以點O為圓心，長為半徑作，連接．
(1)求k的值；(2)求扇形的半徑及圓心角的度數；(3)請直接寫出圖中陰影部分面積之和．
【答案】(1)(2)半徑為2，圓心角為(3)
【分析】（1）將代入中即可求解；（2）利用勾股定理求解邊長，再利用三角函數求出的度數，最后結合菱形的性質求解；（3）先計算出，再計算出扇形的面積，根據菱形的性質及結合的幾何意義可求出，從而問題即可解答．
【詳解】（1）解：將代入中，得，解得：；
（2）解：過點作的垂線，垂足為，如下圖：

，，，半徑為2；
，∴，，
由菱形的性質知：，，
扇形的圓心角的度數：；
（3）解：，，
，如下圖：由菱形知，，

，，．
【點睛】本題考查了反比例函數及的幾何意義，菱形的性質、勾股定理、圓心角，解題的關鍵是掌握的幾何意義．
考向三　反比例函數與圓的綜合問題
例1．（2023年山東省煙臺市中考數學真題）如圖，在直角坐標系中，與軸相切于點為的直徑，點在函數的圖象上，為軸上一點，的面積為6，則的值為 ．

【答案】24
【分析】設，則，則，根據三角形的面積公式得出，列出方程求解即可．
【詳解】解：設，∵與軸相切于點， ∴軸，
∴，則點D到的距離為a，
∵為的直徑，∴，∴，解得：，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了切線的性質，反比例函數的圖象和性質，解題的關鍵掌握切線的定義：經過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，以及反比例函數圖象上點的坐標特征．
例2．（2023春·廣東九年級課時練習）已知在平面直角坐標系中，為坐標原點，點是反比例函數圖像上的一個動點，若以點為圓心，為半徑的圓與直線相交，交點為、，當弦的長等于時，點的坐標為______．
【答案】或
【分析】當點在直線上方時，作，利用垂徑定理可得，由勾股定理易得，作軸交直線于點，由可得，設，則，易得，，因為點在反比例函數圖像上，所以易得可得，易得點的坐標，當點在直線下方時，利用對稱性可得點的另一坐標．
【詳解】解：當點在直線上方時，連接，作，
，而，．作軸交直線于點，
∵∠,∴，，∴，
設，則，，
∵點是反比例函數圖像上的一個動點，，
，（負值舍去），
當點在直線下方時，由對稱性可知．故答案為：或．
【點睛】本題主要考查了垂徑定理、反比例函數與一次函數的交點、勾股定理等知識點，正確作出恰當的輔助線、利用勾股定理和垂徑定理解得是解答此題的關鍵．
例3．（2023·廣東·統考二模）如圖，A，C是雙曲線上關于原點對稱的點，B，D是雙曲線上關于原點對稱的點，圓弧與圍成了一個封閉圖形，當線段AC與BD都最短時，圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】
【分析】設點A，要使當線段AC與BD都最短，就是使OA最短，利用勾股定理表示出OA與x的函數解析式，將其函數解析式轉化為頂點式，利用二次函數的性質可求出OA的最小值，即可求出AC的值；再利用同樣的方法可求出BC的長；再證明△ABC是等邊三角形，然后利用扇形的面積公式和三角形的面積公式可求出陰影部分的面積．
【詳解】解：設點A， 要使當線段AC與BD都最短，就是使OA最短，
∴， ∴當時，OA的最小值為，
∴x=1（負值舍去），∴點A（1，1），點； ∴AC=，
設點B ， 要使當線段BD都最短，就是使OB最短，
∴，∴當時，OB的最小值為，
∴x=-（負值舍去），∴點B ， 點D；
∵點B和點D，點A和點C關于原點對稱 ∴BC=AB=CD=AD，
∴，∴△ABC是等邊三角形，∴BC=AC=AB，∴，
∴S陰影部分=．故答案為：
【點睛】本題考查了反比例函數，線段最值，二次函數求最值，等邊三角形，弓形面積的計算，解題關鍵在于求出線段的最值．
例4．（2023·成都·中考模擬）設雙曲線與直線交于，兩點（點在第三象限），將雙曲線在第一象限的一支沿射線的方向平移，使其經過點，將雙曲線在第三象限的一支沿射線的方向平移，使其經過點，平移后的兩條曲線相交于點，兩點，此時我們稱平移后的兩條曲線所圍部分（如圖中陰影部分）為雙曲線的“眸”，為雙曲線的“眸徑”.當雙曲線的眸徑為6時，的值為__________.
【答案】
【詳解】以PQ為邊，作矩形PQQ′P′交雙曲線于點P′、Q′，聯立直線AB及雙曲線解析式成方程組，通過解方程組可求出點A、B的坐標，由PQ的長度可得出點P的坐標（點P在直線y=-x上找出點P的坐標），由圖形的對稱性結合點A、B和P的坐標可得出點P′的坐標，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可得出關于k的一元一次方程，解之即可得出結論．
詳解：以PQ為邊，作矩形PQQ′P′交雙曲線于點P′、Q′，如圖所示．
聯立直線AB及雙曲線解析式成方程組，，解得：，，
∴點A的坐標為（-，-），點B的坐標為（，）．
∵PQ=6，∴OP=3，點P的坐標為（-，）．
根據圖形的對稱性可知：AB=OO′=PP′，∴點P′的坐標為（-+2，+2）．
又∵點P′在雙曲線y=上，∴（-+2） （+2）=k，解得：k=．故答案為．
點睛：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、反比例函數圖象上點的坐標特征、矩形的性質以及解一元一次方程，利用矩形的性質結合函數圖象找出點P′的坐標是解題的關鍵．
一、選擇題
1．（2023年四川省宜賓中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別在y，x軸上，軸．點M、N分別在線段、上，，，反比例函數的圖象經過M、N兩點，P為x正半軸上一點，且，的面積為3，則k的值為（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過點作軸于點，設點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，則，，，先求出點的坐標為，再根據可得，然后將點的坐標代入反比例函數的解析式可得，從而可得的值，由此即可得．
【詳解】解：如圖，過點作軸于點，

設點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，則，，，
，，
，，∴，，
，解得，，
，，的面積為3，
，即，整理得：，
將點代入得：，整理得：，
將代入得：，解得，則，故選：B．
【點睛】本題主要考查了反比例函數的幾何應用，熟練掌握反比例函數的性質，正確求出點的坐標是解題關鍵．
2．（23-24九年級上·江蘇南通·期末）如圖，正方形ABCD的頂點分別在函數和的圖象上，若軸，點C的縱坐標為4，則的值為（ ）

A．26 B．28 C．30 D．32
【答案】D
【分析】本題考查反比例函數的圖象和性質，涉及正方形性質，
連接交于，延長交軸于，設，，根據軸，可得，，，即知，從而，，由在反比例函數的圖象上，在的圖象上，得，，即得．
【詳解】解：連接交于，延長交軸于，如圖：

四邊形是正方形，，設，，
軸，，，，
，都在反比例函數的圖象上，，
，，，，
在反比例函數的圖象上，在的圖象上，
，，；故選：D．
3．（22-23九年級上·廣西貴港·期末）如圖，在平面直角坐標系中有菱形，點A的坐標為，對角線、相交于點，，雙曲線經過的中點，交于點，下列四個結論：①；②；③點的坐標是；④連接、，則，則正確的結論有（ ）．
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【分析】過作軸于點，過作軸于點，設，則，結合勾股定理可求出x的值，進而可分別求出，，故可判斷①②；由菱形的性質可求得的長度，結合勾股定理可求得，結合三角形相似的判定和性質可以得到點的坐標，則可求得雙曲線解析式．設，將其代入反比例函數解析式即求得點的橫坐標，由此可判斷③；由菱形的性質可知，的面積等于菱形的面積的一半，即可判斷④．
【詳解】解：如圖，過作軸于點，過作軸于點，
，．設，則．
∵四邊形為菱形，∴，，即，
，，，，故①正確；
，故②錯誤；
∵，．
在中，，，由勾股定理可得，．
∵軸，，∴，∴，∴．
為中點，即，，，
，．雙曲線過點，，
雙曲線解析式為．由上可知，，故可設，
將其代入雙曲線，得，，，故③正確；
，，故④正確．綜上所述，正確的結論有3個．　故選C．
【點睛】本題考查反比例函數圖象上點的特征，勾股定理，菱形的性質，三角形相似的判定和性質，坐標與圖形．正確作出輔助線是解題的關鍵．
4．（2023·廣西南寧·一模）如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于A、B兩點，點P在以為圓心，1為半徑的圓上，點Q是的中點，且長的最大值為1.5，則k的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先確定長的最大時點P的位置，當所在的直線過圓心C，且圓心C在線段上時，最長，設，則，，根據勾股定理計算t的值，可得k的值．
【詳解】解：連接，由對稱性得：，∵Q是的中點，∴，
∵長的最大值為，∴長的最大值為，
如圖，當所在的直線過圓心C，且圓心C在線段上時，最長，過B作軸于D，
∵，∴，∵B在直線上，設，則，，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得（舍）或，∴，
∵點B在反比例函數的圖象上，∴；故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、圓的性質，勾股定理的應用，解題的關鍵是利用中位線的性質和圓的性質確定出點P的位置．
5．（23-24九年級上·廣東佛山·期末）如圖，正方形OABC的邊長為4，點D是OA邊的中點，連接CD，將△OCD沿著CD折疊得到△ECD，CE與OB交于點F．若反比例函數y＝的圖象經過點F，則m的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據折疊的性質得到，，設，利用兩點間的距離公式得到，，解關于、的方程組得到點的坐標為，，再利用待定系數法求出直線的解析式為，易得直線的解析式為，解方程組得，，然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征求的值．
【詳解】解：正方形的邊長為4，點是邊的中點，
，，，，
沿著折疊得到，，，
設，，，，，
點的坐標為，，設直線的解析式為，
把，，分別代入得，解得，直線的解析式為，
易得直線的解析式為，解方程組得，，，
點，在反比例函數的圖象上，．故選：B．
【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是掌握反比例函數為常數，的圖象是雙曲線，圖象上的點的橫縱坐標的積是定值，即．也考查了正方形的性質和折疊的性質．
6．（2021·江蘇南通·中考真題）平面直角坐標系中，直線與雙曲線相交于A，B兩點，其中點A在第一象限．設為雙曲線上一點，直線，分別交y軸于C，D兩點，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根據直線與雙曲線相交于A，B兩點，其中點A在第一象限求得，，再根據為雙曲線上一點求得；根據點A與點M的坐標求得直線AM解析式為，進而求得，根據點B與點M的坐標求得直線BM解析式為，進而求得，最后計算即可．
【詳解】解：∵直線與雙曲線相交于A，B兩點，
∴聯立可得：解得：或
∵點A在第一象限，∴，．
∵為雙曲線上一點，∴．解得：．∴．
設直線AM的解析式為，
將點與點代入解析式可得：解得：
∴直線AM的解析式為．∵直線AM與y軸交于C點，∴．
∴．∴．
∵，∴．設直線BM的解析式為，
將點與點代入解析式可得：
解得：∴直線BM的解析式為．
∵直線BM與y軸交于D點，∴．∴．
∴．∵，∴．
∴
=4．故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數和反比例函數的綜合應用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程組的求解，正確求出點的坐標和直線解析式是解題關鍵．
7．（2021·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點D在第二象限，其余頂點都在第一象限，AB∥X軸，AO⊥AD，AO=AD．過點A作AE⊥CD，垂足為E，DE=4CE．反比例函數的圖象經過點E，與邊AB交于點F，連接OE，OF，EF．若，則k的值為（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】A
【分析】延長EA交x軸于點G，過點F作x軸的垂線，垂足分別為H，則可得△DEA≌△AGO，從而可得DE=AG，AE=OG，若設CE=a，則DE=AG=4a，AD=DC=DE+CE=5a，由勾股定理得AE=OG=3a，故可得點E、A的坐標，由AB與x軸平行，從而也可得點F的坐標，根據 ，即可求得a的值，從而可求得k的值．
【詳解】如圖，延長EA交x軸于點G，過點F作x軸的垂線，垂足分別為H
∵四邊形ABCD是菱形∴CD=AD=AB，CD∥AB
∵AB∥x軸，AE⊥CD∴EG⊥x軸，∠D+∠DAE=90゜
∵OA⊥AD∴∠DAE+∠GAO=90゜∴∠GAO=∠D
∵OA=OD∴△DEA≌△AGO(AAS)∴DE=AG，AE=OG
設CE=a，則DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=3a∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a∴A（3a,4a），E(3a,7a)
∵AB∥x軸，AG⊥x軸，FH⊥x軸∴四邊形AGHF是矩形∴FH=AG=3a，AF=GH
∵E點在雙曲線上∴ 即
∵F點在雙曲線上，且F點的縱坐標為4a∴ 即∴
∵∴ 解得：
∴ 故選：A．
【點睛】本題是反比例函數與幾何的綜合題，考查了菱形的性質，矩形的判定與性質，三角形全等的判定與性質等知識，關鍵是作輔助線及證明△DEA≌△AGO，從而求得E、A、F三點的坐標．
二、填空題
8．（23-24九年級上·福建廈門·階段練習）如圖1，矩形的四個頂點、在上，、在上，滿足，且點、的橫坐標之和等于點的橫坐標，則矩形的面積為 ．

【答案】
【分析】設，，得的橫坐標為，由結合構造相似，計算出的坐標，再根據平移求出點坐標，即可求出的值，最后計算矩形面積即可．
【詳解】∵點、在上 ∴設，，且
過作軸交軸于，過作交于，過作于，
則，，

∵矩形滿足，∴∴
∴,∴，
∵矩形∴從到和從到都可以看成先向右平移，再向上平移
∴，
∵、在上，∴整理得：
∵點、的橫坐標之和等于點的橫坐標，∴∴，整理得，
代入可得，整理得，解得或，
當，，不合題意；當，，
∴
∴．故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數值的幾何意義和反比例函數圖象上點的坐標特征．找到符合條件的關鍵點的坐標是解本題的關鍵．
9．（23-24九年級·浙江衢州·階段練習）如圖，分別過反比例函數圖像上的點P1（1，y1），P2（1+2，y2），P3（1+2+3，y3），．．．，Pn（1+2+3+．．．+n，yn）作x軸的垂線，垂足分別為A1，A2，A3，．．．，An，連接A1P2，A2P3，A3P4，．．．，An-1Pn，再以A1P1，A1P2為一組鄰邊畫一個平行四邊形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3為一組鄰邊畫一個平行四邊形A2P2B2P3，以此類推，則B2的縱坐標是 ；點B1，B2，．．．，Bn的縱坐標之和為 ．
【答案】
【分析】根據反比例函數圖象上點的坐標特征求得點P1、P2的縱坐標，由平行四邊形對邊平行且相等的性質求得點B1的縱坐標是y2+y1、B2的縱坐標是y3+y2、B3的縱坐標是y4+y3，據此可以推知點Bn的縱坐標是，再求和整理即可．
【詳解】∵點P1(1，y1)，P2(1+2，y2)在反比例函數的圖象上，
∴，∴．
又∵四邊形A1P1B1P2，是平行四邊形，∴ ,
∴點B1的縱坐標是：．
∵點P3(1+2+3，y3) 在反比例函數的圖象上，∴,
∴點B2的縱坐標是：．
∵點P4(1+2+3+4，y4) 在反比例函數的圖象上，∴,
∴點B3的縱坐標是：．…
∴點Bn的縱坐標是：
∴點B1，B2，．．．，Bn的縱坐標之和為
．故答案為，．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、反比例函數圖象上點的坐標特征、反比例函數的圖象．解答此題的關鍵是根據平行四邊形的對邊平行且相等的性質求得點Bn的縱坐標為yn+1+yn．
10．（2023年浙江省紹興市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，函數（為大于0的常數，）圖象上的兩點，滿足．的邊軸，邊軸，若的面積為6，則的面積是 ．
【答案】2
【分析】過點作軸于點，軸于點，于點，利用，，得到，結合梯形的面積公式解得，再由三角形面積公式計算，即可解答．
【詳解】解：如圖，過點作軸于點，軸于點，于點，

；
故答案為：2．
【點睛】本題考查反比例函數中的幾何意義，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．
11．（2023.江蘇中考模擬預測）在平面直角坐標系中，將一點的橫坐標與縱坐標互換后得到的點稱為它的“互換點”，點M和A為函數的圖象第一象限上的一組互換點（M點在A點的左側）．直線AM分別交x軸、y軸于C、D兩點，連接AO交雙曲線另一支于點B，連接BM分別交x軸、y軸于點E，F．則下列結論正確的是______．（寫出所有正確結論的序號）
①；②；③若，則；④若，M點的橫坐標為1，則
【答案】①③④
【分析】設點A（m，n），則M（n，m），求出直線AM的解析式，得到OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，作AP⊥x軸于P，MQ⊥y軸于Q，證明△OAP≌△OMQ，得到∠AOP=∠MOQ，由此判斷①正確；過O作OH⊥MA于H，得到DH=CH，結合，得到MH=AH，但是DM與MH不一定相等，故②錯誤；作，連接FR，求出直線BM的解析式為，得到OF=OE=m-n，證明△BOE≌△AOR，判定四邊形AMFR是矩形，得到AR=MF，AM=FR，設MF=2x，則MB=7x，證明△BOE≌△MOF，求出EF=3x，由DM=AC=2x，故③正確；過H作HG⊥x軸于G，AN⊥HG于N，設AH=a，證明△AOM是等邊三角形，得到∠AOH=30°，∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，，，得到，求出a，得到A（，1），故④正確．
【詳解】解：設點A（m，n），則M（n，m），∴直線AM的解析式為，
∴D（0，m+n），C（m+n，0），∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD=45°，
作AP⊥x軸于P，MQ⊥y軸于Q，∴∠OQM=∠OPA=90°，QM=AP=n，OQ=OP=m，
∴△OAP≌△OMQ，∴∠AOP=∠MOQ，∴，故①正確；
過O作OH⊥MA于H，∵OC=OD，∴DH=CH，
∵，∴DM=AC，∴MH=AH，但是DM與MH不一定相等，
故不一定成立，故②錯誤；
如圖，作，連接FR，則∠BEO=∠ARO，
∵連接AO交雙曲線另一支于點B，點A（m，n），∴B（-m，-n），OA=OB，
∵點M（n，m），∴直線BM的解析式為，
∴F（0，m-n），E（n-m，0），∴OF=OE=m-n，
∵∠BOE=∠AOR，∴△BOE≌△AOR，∴OR=OE=OF， ∴∠OFR=∠ORF=45°，
∵∠ARC=∠MEC=∠ACE=45°，∴∠EFR=∠ARF=∠RAC=90°，∴四邊形AMFR是矩形，
∴AR=MF，AM=FR，設MF=2x，則MB=7x，∴AC=AR=2x，BF=5x，
∵OE=OF， OA=OM=OB，∠BOE=∠AOR=∠MOE，∴△BOE≌△MOF，∴BE=MF=2x，∴EF=3x，
∵∠FER=∠FRE=45°，∴FR= EF=3x，∴AM=3x，∵DM=AC=2x，∴，故③正確；
過H作HG⊥x軸于G，AN⊥HG于N，設AH=a，
∵，OA=OM，∴△AOM是等邊三角形，∴∠AOM=∠OAM=60°，
∵OH⊥MA，∴∠AOH=30°，∴∠AOC=15°，∴∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，
∵AH=a，∴，∴，
∵M點的橫坐標為1，∴QM=AP=GN=1，∴，
得，∴，∴A（，1），∴，故④正確；故答案為：①③④．
【點撥】此題考查了反比例函數與一次函數的綜合知識，反比例函數的軸對稱性，求一次函數的解析式，全等三角形的判定及性質，矩形的判定及性質，等邊三角形的判定及性質，正確掌握各知識點并熟練應用解決問題是解題的關鍵．
12．（2023年浙江省寧波市中考數學真題）如圖，點A，B分別在函數圖象的兩支上（A在第一象限），連接AB交x軸于點C．點D，E在函數圖象上，軸，軸，連接．若，的面積為9，四邊形的面積為14，則的值為 ，a的值為 ．

【答案】 12 9
【分析】如圖，延長，交于點，與軸交于點，而軸，軸，可得，的面積是5，設，，則，，，利用面積可得，，由，，可得，可得③，再利用方程思想解題即可．
【詳解】解：如圖，延長，交于點，與軸交于點，而軸，軸，
∴，∵的面積為9，四邊形的面積為14，∴的面積是5，

設，，∴，，
∴，，，，
∴，，
整理得：，，
∵，，∴，∴，∴，則③，
把③代入②得：，∴，即④，
把③代入①得：⑤，把④代入⑤得：；故答案為：12；9
【點睛】本題考查的是反比例函數的幾何應用，平行線分線段成比例的應用，坐標與圖形面積，熟練的利用方程思想解題是關鍵．
13．（2023年江蘇省連云港市中考數學真題）如圖，矩形的頂點在反比例函數的圖像上，頂點在第一象限，對角線軸，交軸于點．若矩形的面積是6，，則 ．

【答案】
【分析】方法一：根據的面積為，得出，，在中，，得出，根據勾股定理求得，根據的幾何意義，即可求解．
方法二：根據已知得出則，即可求解．
【詳解】解：方法一：∵，∴
設，則，∴
∵矩形的面積是6，是對角線，∴的面積為，即∴
在中，即即 解得：
在中， ∵對角線軸，則，
∴,
∵反比例函數圖象在第二象限，∴，
方法二：∵，∴
設，則，∴，∴，，
∵，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的性質，反比例函數的幾何意義，余弦的定義，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．
14．（2023·四川成都·二模）某數學小組利用作圖軟件，將反比例函數和的圖象繞點O逆時針旋轉45°，得到了美麗的“雪花”圖案，再順次將圖象交點連接，得到一個八邊形，若該八邊形的周長為16，則k＝ ．
【答案】/
【分析】先判斷八邊形為正八邊形，進而得出八邊形的邊長，然后連接OA、OB、OC、BC、AB過點A作AE⊥OB于點E，求出一個中心角的度數，設，用a和正八邊形的邊長把△ABE三邊表示出來，利用求出a的值，即可求出點B的坐標，進而可以求出k的值．
【詳解】解：連接OA、OB、OC、BC、AB，過點A作AE⊥OB于點E，BC于x軸交于點D，如圖所示：
∵反比例函數的圖像關于原點成中心對稱圖形，的圖像也關于原點對稱成中心對稱圖形，且反比例函數的圖像與的圖像關于x軸或y軸也成軸的對稱圖形，
∴將反比例函數和的圖象繞點O逆時針旋轉45°后，將圖象交點連接，得到的八邊形為正八邊形，且O點為八邊形的中心，
，，
，，∴，，
，，
設，則，，
、關于x軸對稱，，
，，，，
，即解得：，
，點坐標為
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了正八邊形的性質、三角形相似的判定和性質，求反比例函數關系式，旋轉的特點、以及解三角形的知識，作出適當的輔助線是解題的關鍵．
15．（2023·四川成都·統考一模）平面直角坐標系中，矩形ABOC的頂點，點B在x軸上，雙曲線分別交兩邊AC，AB于E、F兩點（E、F不與A重合），沿著EF將矩形ABOC折疊使A、D兩點重合．若折疊后，是等腰三角形，則此時點D的坐標為 ．
【答案】或
【分析】分三種情況討論：①，②，③，分別計算DN和BN的長確定點D的坐標即可解答．
【詳解】解：過D點作，
①當時，如圖3，有，，
，，，
，，
，，，即；
②當時，如圖4，在中，，，
，，
，，即；
③當時，，，
，即，，
此時D、F、B三點共線且F點與B點重合，不符合題意舍去，，
綜上所述，所求D點坐標為或．
【點睛】本題屬于反比例函數綜合題，考查了反比例函數的性質，相似三角形的判定與性質，翻折的性質，矩形的性質，解直角三角形等知識．解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會利用分類討論思想解決問題．
16．（2023·四川成都·統考二模）有一邊是另一邊的倍的三角形叫做幸運三角形，這兩邊中較長邊稱為幸運邊，這兩邊的夾角叫做幸運角．如圖，是幸運三角形，為幸運邊，為幸運角，，點B，C在反比例函數的圖象上，點C在點B的上方，且點B的縱坐標為．當是直角三角形且時，則k的值為 ．
【答案】
【分析】作輔助線構造三垂直模型，證得相似三角形，再利用對應邊的關系把、的坐標表示出來，再代入計算即可．
【詳解】解：過作軸于，過作于，過作軸于，如圖，
，，
，，，
設，則，，，
的縱坐標為，即，，，，
，
點、在函數的圖象上，，
解得：（舍去），，，故答案為．
【點睛】本題考查了新定義的理解和運用，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，反比例函數的性質，表示出、的坐標是解題的關鍵．
三、解答題
17．（2023年遼寧省營口市中考數學真題）如圖，點A在反比例函數的圖象上，軸于點B，，．(1)求反比例函數的解析式；(2)點C在這個反比例函數圖象上，連接并延長交x軸于點D，且，求點C的坐標．

【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正切值，求出，進而得到，即可求出反比例函數的解析式；
（2）過點A作軸于點E，易證四邊形是矩形，得到，，再證明是等腰直角三角形，得到，進而得到，然后利用待定系數法求出直線的解析式為，聯立反比例函數和一次函數，即可求出點C的坐標．
【詳解】（1）解：軸，，，，
，，，點A在反比例函數的圖象上，
，反比例函數的解析式為；
（2）解：如圖，過點A作軸于點E，
，四邊形是矩形，，，
，是等腰直角三角形，，
，，設直線的解析式為，
，解得：，直線的解析式為，
點A、C是反比例函數和一次函數的交點，
聯立，解得：或，，．

【點睛】本題是反比例函數綜合題，考查了銳角三角函數值，矩形的判定和性質，待定系數法求函數解析式，反比例函數和一次函數交點問題等知識，求出直線的解析式是解題關鍵．
18．（2023年四川省廣安市中考數學真題）如圖，一次函數（為常數，）的圖象與反比例函數為常數，的圖象在第一象限交于點，與軸交于點．
(1)求一次函數和反比例函數的解析式．(2)點在軸上，是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標．

【答案】(1)一次函數的解析式為，反比例函數的解析式為(2)或或
【分析】（1）根據待定系數法，把已知點代入再解方程即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理求出得的長，再分兩種情形討論即可．
【詳解】（1）解：把點代入一次函數得，解得：，
故一次函數的解析式為，把點代入，得，，
把點代入，得，故反比例函數的解析式為；
（2）解：，，，
當時，或，當時，點關于直線對稱，，
綜上所述：點的坐標為或或．
【點睛】本題是反比例函數綜合題，主要考查了函數圖象上點的坐標的特征，等腰三角形的性質等知識，運用分類思想是解題的關鍵．
19．（2022·四川成都·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于，兩點．(1)求反比例函數的表達式及點的坐標；(2)過點作直線，交反比例函數圖象于另一點，連接，當線段被軸分成長度比為的兩部分時，求的長；(3)我們把有兩個內角是直角，且一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形稱為“完美箏形”．設是第三象限內的反比例函數圖象上一點，是平面內一點，當四邊形是完美箏形時，求，兩點的坐標．
【答案】(1)反比例函數的表達式為，點的坐標為；(2)或(3)，
【分析】(1)首先把點A的坐標代入，即可求得點A的坐標，再把點A的坐標代入，即可求得反比例函數的解析式，再利用方程組，即可求得點B的坐標；
(2)設直線AC的解析式為y=kx+b，點C的坐標為，直線AC與y軸的交點為點D， 把點A、C的坐標分別代入y=kx+b，可求得點D的坐標為，可求得AD、CD的長，再分兩種情況分別計算，即可分別求得；(3)方法一：如圖，過點作，交的另一支于點，過點作軸的平行線，過點作軸的垂線，交于點，作交于點，設交于點，根據，求得點的坐標，進而求得的解析式，設點D的坐標為(a，b)，根據定義以及在直線上，建立方程組，即可求得點的坐標．
【詳解】（1）解：把點A的坐標代入，得，解得a=1，
故點A的坐標為(1,4)，把點A的坐標代入，得k=4，故反比例函數的表達式為，
， 得，解得，，故點A的坐標為(1,4)，點的坐標為；
（2）解：設直線AC的解析式為y=kx+b，點C的坐標為，直線AC與y軸的交點為點D，
把點A、C的坐標分別代入y=kx+b，得， 解得， 故點D的坐標為，
，，
如圖：當AD:CD=1:2時，連接BC，
得，得，得，
解得或(舍去)，故或(舍去)，
故此時點C的坐標為(-2,-2)，，
如圖：當CD:AD=1:2時，連接BC，
得，得，得，
解得或(舍去)，故或(舍去)，
故此時點C的坐標為 ，，
綜上，BC的長為或；
（3）解：如圖，過點作，交的另一支于點，過點作軸的平行線，過點作軸的垂線，交于點，作交于點，設交于點，如圖
∵設，，則
， 又，，
即，解得或（舍去），則點
設直線的解析式為，將點，，，解得
直線的解析式為
設，根據題意，的中點在直線上，則
∵
則，解得或（在直線上，舍去） ．
綜上所述，．
【點睛】本題考查一次函數與反比例函數的綜合，利用待定系數法求一次函數及反比例函數的解析式，平面直角坐標系中兩點間距離公式，相似三角形的判定與性質等知識，采用分類討論的思想和待定系數法求解析式是解決本題的關鍵．
20．（2023··成都七中校考三模）直線：與y軸交于點C，反比例函數的圖象交于點、B．(1)求a的值及B的坐標；(2)在x軸上存在點D，使，求點D的坐標；
(3)如圖2，將反比例函數的圖象沿直線：翻折得到一個封閉圖形（圖中陰影部分），若直線：與此封閉圖形有交點，求出滿足條件的k的取值范圍．

【答案】(1)；(2)點的坐標為或(3)
【分析】（1）先將點A坐標代入一次函數，求點A的坐標，將點A坐標代入反比例函數，求得的值，再列方程求得點B的坐標即可解答；（2）求出和的長，再利用三角函數求得點到的距離，利用三角形面積公式即可列方程，解答；（3）求出直線：與反比例函數，只有一個交點時的值和交點坐標，利用軸對稱的性質，求得該交點坐標在翻折后的對應點坐標，則直線：經過該對應點坐標時，與反比例函數翻折后的解析式也只有一個交點，求出此時的值，即可得到k的取值范圍．
【詳解】（1）解：代入，可得，解得，，
將代入，可得，解得，反比例函數的解析式為，
列方程，解得，，經檢驗，，是方程的解，
當時，，；
（2）解：如圖，畫出圖形，過點作的垂線段交于點E，

當時，得，解得，
當時，得，，，，
設，故，，，
，可得方程，解得，，
點的坐標為或；
（3）解：列方程，整理得，
當和，只有一個交點時，只有一個解，
此時，即，解得，
當時，方程為，解得，和的交點為，
如圖，設和的交點為，設與反比例函數的圖象沿直線：翻折后的函數的交點為F，連接交于點，過點作軸的平行線交于點，連接，故，，，當時，可得，解得，
，，，

，，，
，點M的橫坐標為，
當時，可得，，，
將代入，可得，解得，
滿足條件的k的取值范圍為．
【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數綜合，根據一元二次方程根的情況求系數，軸對稱，解直角三角形，正確求出反比例函數，充分利用數形結合的思想是解題的關鍵．
21．（2023·四川成都·二模）如圖，已知一次函數分別與x軸和反比例函數交于點．(1)求b和k；(2)C為直線上一動點，過點C作x軸的平行線，與反比例函數交于點D，若四邊形為平行四邊形，求點C的坐標；(3)我們把兩直角邊比為1：2的直角三角形稱為“黃金直角三角形”，點P為x軸上一動點，Q為反比例函數上一點，當三角形是以為斜邊的“黃金直角三角形”時，求點P的坐標．

【答案】(1) (2)
(3)（，0）或（，0）或（，0）或（，0）
【分析】（1）采用待定系數法計算即可求出．
（2）設出C點坐標，結合平行四邊形的性質，表示出D點坐標，再代入到反比例函數中即可求出．
（3）判定出，根據對應邊成比例，再結合，解出數值即可．
【詳解】（1）解：將點B的坐標代入一次函數表達式得：，則，
則一次函數的表達式為：；將點A的坐標代入上式得：，則，即點A，
將點A的坐標代入反比例函數表達式得：，
即反比例函數的表達式為：，即，．
（2）設點C，
∵四邊形為平行四邊形，∴CD＝OB＝2，點C與點D的縱坐標相同，
則點D（m﹣2，m﹣2），將點D的坐標代入反比例函數表達式得：，
解得：或（舍），故點C的坐標為：．
（3）設點Q，P 如圖所示，分別過點A、Q作x軸的垂線M、N，

∵是直角三角形的斜邊，則，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵直角邊比為1：2，則上述兩個三角形的相似比為或2，
即，即＝2或，又解得：或
即點P的坐標為：（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．
【點睛】本題主要考查了反比例函數，一次函數，相似三角形，平行四邊形的性質等知識點，靈活運用以上知識點解決綜合題是解題的關鍵．
22．（2023·四川成都·統考模擬預測）如圖1，平面直角坐標系中，，反比例函數的圖象分別交矩形的兩邊、于E、F（E、F不與A重合），沿著將矩形折疊使A、D重合．(1)當點E為中點時，求點F的坐標，并直接寫出與對角線的關系；
(2)如圖2，連接．①的周長是否有最小值，若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由；
②當平分時，直接寫出k的值．
【答案】(1)，；(2)①有，；②．
【分析】（1）先求解的坐標，再求解反比例函數的解析式，再求解的坐標，可得為中位線，從而可得結論；（2）①連接、，證明，可得，由，關于對稱，可得點D在過點A且與垂直的直線上．可得，則當時取最小值時，有最小值，從而可得答案；②當點在x軸上時，證明，求解，則點坐標為，可得直線解析式為：，直線解析式為：，可得及中點坐標為，同理可得：直線BC解析式為：，設解析式為：，可得解析式為：，可得點F的坐標為，從而可得答案．
【詳解】（1）解： 點E為中點，，，
將代入，得，點F的坐標為，
∴，分別為，的中點，∴．
（2）①連接、，，∴，
將代入得，，將代入得，，
，，又，
，，，
∵，關于對稱，，，∴點D在過點A且與垂直的直線上．
，
當時取最小值時，有最小值，
如圖，此時，點D在線段上．，
又，，
，即，∴，有最小值為．
②當點在x軸上時，同理可得：，而，
∴，，即，點坐標為，
設直線解析式為：，代入，，
得，解得，∴直線解析式為：，
如圖，當平分時，∴，∴直線與軸的交點坐標為：，
∴同理可得：直線解析式為：，
聯立得，解得，∴中點坐標為，
同理可得：直線BC解析式為：，
∴設解析式為：，代入得，解得，
∴解析式為：，當時，，∴點F的坐標為，．
【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解一次函數的解析式，反比例函數的解析式，矩形的性質，軸對稱的性質，相似三角形的判定與性質，熟練地利用一次函數的性質解題是解本題的關鍵．
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