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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
專題03 反比例函數綜合問題-3.1與一次函數結合問題
反比例函數與一次函數綜合問題是初中《反比例函數》章節的重點內容，考查的相對比較綜合，把反比例函數與一次函數結合起來，以不等式、方程組等為核心。在中考數學中，主要是以解答題形式出現。通過熟練運用的方程、不等式與函數三者之間的關系，提升數學學科素養，提高邏輯思維推斷能力。本考點是中考高頻考點，在各地的中考試卷中均有出現，題目難度較大一些。
1．求函數的解析式
1）求解一次函數的解析式它一般分為四個步驟：設一次函數的解析式為 y = kx + b (k ≠ 0)，列出關于 k、b 的二元一次方程組，解方程組，求出 k、b 的值，寫出解析式。
2）反比例函數解析式的求法，是有兩種分別是：根據圖象特征求出雙曲線上某個點的坐標，然后用待定系數法求反比例函數的解析式；由 k 的幾何意義直接得反比例函數的解析式。
2．求一次函數與反比例函數的交點坐標
1）從圖象上看，一次函數與反比例函數的交點由k值的符號來決定：①k值同號，兩個函數必有兩個交點；②k值異號，兩個函數可能無交點，可能有一個交點，也可能有兩個交點；
2）從計算上看，一次函數與反比例函數的交點主要取決于兩函數所組成的方程組的解的情況．
3．涉及自變量取值范圍型
當一次函數與反比例函數相交時，聯立兩解析式，構造方程組，然后求出交點坐標。針對時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數的圖象高于反比例函數圖象的部分所對應的x的范圍.
4．涉及三角形的面積型
當一次函數與反比例函數結合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．
1）正比例函數與一次函數所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
2）如圖②，已知一次函數與反比例函數交于A、B兩點，且一次函數與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
3）如圖③，已知反比例函數的圖象上的兩點，其坐標分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
考向一　求函數的解析式問題
例1．（2023年河北省中考數學真題）如圖，已知點，反比例函數圖像的一支與線段有交點，寫出一個符合條件的k的數值： ．

【答案】4（答案不唯一，滿足均可）
【分析】先分別求得反比例函數圖像過A、B時k的值，從而確定k的取值范圍，然后確定符合條件k的值即可．
【詳解】解：當反比例函數圖像過時，；
當反比例函數圖像過時，；
∴k的取值范圍為∴k可以取4．
故答案為4（答案不唯一，滿足均可）．
【點睛】本題主要考查了求反比例函數的解析式，確定邊界點的k的值是解答本題的關鍵．
例2．（2023年四川省宜賓中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的直角頂點，頂點A、恰好落在反比例函數第一象限的圖象上．
(1)分別求反比例函數的表達式和直線所對應的一次函數的表達式；
(2)在x軸上是否存在一點P，使周長的值最?。舸嬖?，求出最小值；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)，
(2)在x軸上存在一點，使周長的值最小,最小值是．
【分析】（1）過點A作軸于點E，過點B作軸于點D，證明，則，由得到點A的坐標是，由A、恰好落在反比例函數第一象限的圖象上得到，解得，得到點A的坐標是，點B的坐標是，進一步用待定系數法即可得到答案；
（2）延長至點，使得，連接交x軸于點P，連接，利用軸對稱的性質得到，，則，由知是定值，此時的周長為最小，利用待定系數法求出直線的解析式，求出點P的坐標，再求出周長最小值即可．
【詳解】（1）解：過點A作軸于點E，過點B作軸于點D，則，

∵點，，∴，∴，
∵是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴點A的坐標是，
∵A、恰好落在反比例函數第一象限的圖象上．∴，解得，
∴點A的坐標是，點B的坐標是，∴，∴反比例函數的解析式是，
設直線所對應的一次函數的表達式為，把點A和點B的坐標代入得，
，解得,∴直線所對應的一次函數的表達式為，
（2）延長至點，使得，連接交x軸于點P，連接，

∴點A與點關于x軸對稱，∴，，
∵，∴的最小值是的長度，
∵，即是定值，
∴此時的周長為最小，設直線的解析式是，
則，解得，∴直線的解析式是，
當時，，解得，即點P的坐標是，
此時，
綜上可知，在x軸上存在一點，使周長的值最小，最小值是．
【點睛】此題考查了反比例函數和一次函數的圖象和性質、用到了待定系數法求函數解析式、勾股定理求兩點間距離、軸對稱最短路徑問題、全等三角形的判定和性質等知識，數形結合和準確計算是解題的關鍵．
例3．（2023年湖南省湘潭市中考數學真題）如圖，點A的坐標是，點B的坐標是，點C為中點，將繞著點B逆時針旋轉得到．(1)反比例函數的圖像經過點，求該反比例函數的表達式；(2)一次函數圖像經過A、兩點，求該一次函數的表達式．

【答案】(1)(2)
【分析】（1）由點B的坐標是，點C為中點，可得，，由旋轉可得：，，可得，可得，從而可得答案；（2）如圖，過作于，則，而，，證明，可得，，，設直線為，再建立方程組求解即可．
【詳解】（1）解：∵點B的坐標是，點C為中點，
∴，，由旋轉可得：，，
∴，∴，∴反比例函數的表達式為；
（2）如圖，過作于，則，而，，

∴，∴，
∴，∴，，∴，∴，
設直線為，∴，解得：，∴直線為．
【點睛】本題考查的是旋轉的性質，利用待定系數法求解一次函數與反比例函數的解析式，全等三角形的判定與性質，熟練的求解是解本題的關鍵．
例4．（2023年浙江省杭州市中考數學真題）在直角坐標系中，已知，設函數與函數的圖象交于點和點．已知點的橫坐標是2，點的縱坐標是．
(1)求的值．(2)過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第二象限交于點；過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第四象限交于點．求證：直線經過原點．

【答案】(1)，(2)見解析
【分析】（1）首先將點的橫坐標代入求出點A的坐標，然后代入求出，然后將點的縱坐標代入求出，然后代入即可求出；（2）首先根據題意畫出圖形，然后求出點C和點D的坐標，然后利用待定系數法求出所在直線的表達式，進而求解即可．
【詳解】（1）∵點的橫坐標是2，∴將代入∴，
∴將代入得，，∴，
∵點的縱坐標是，∴將代入得，，∴，
∴將代入得∴解得，∴；
（2）如圖所示，由題意可得，，，∴設所在直線的表達式為，
∴，解得，∴，∴當時，，∴直線經過原點．

【點睛】此題考查了反比例函數和一次函數綜合，待定系數法求函數表達式等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
考向二　求函數的交點或取值范圍問題
例1．（2023年湖南省懷化市中考數學真題）如圖，反比例函數的圖象與過點的直線相交于、兩點．已知點的坐標為，點為軸上任意一點．如果，那么點的坐標為（ ）

A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】反比例函數的圖象過點，可得，進而求得直線的解析式為，得出點的坐標，設，根據，解方程即可求解．
【詳解】解：∵反比例函數的圖象過點
∴∴設直線的解析式為，
∴，解得：,∴直線的解析式為，
聯立，解得：或，∴，
設，∵，解得：或，
∴的坐標為或，故選：D．
【點睛】本題考查一次函數與反比例數交點問題，待定系數法求解析式，求得點的坐標是解題關鍵．
例2．（2023年浙江省寧波市中考數學真題）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于兩點，點的橫坐標為1，點的橫坐標為，當時，的取值范圍是( )

A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】根據不等式與函數圖像的關系，當時，的取值范圍是指反比例函數在一次函數上方圖像對應的的取值范圍，數形結合即可得到答案．
【詳解】解：由圖可知，一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于兩點，點的橫坐標為1，點的橫坐標為，
當或時，有反比例函數圖像在一次函數圖像上方，
即當時，的取值范圍是或，故選：B．
【點睛】本題考查由函數圖像解不等式，熟練掌握不等式與函數圖像的關系是解決問題的關鍵．
例3．（2023年浙江省湖州市中考數學真題）已知在平面直角坐標系中，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象的兩個交點中，有一個交點的橫坐標為1，點和點在函數的圖象上(且)，點和點在函數的圖象上．當與的積為負數時，t的取值范圍是( )
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】將交點的橫坐標1代入兩個函數，令二者函數值相等，得．令，代入兩個函數表達式，并分別將點A、B的坐標和點C、D的坐標代入對應函數，進而分別求出與的表達式，代入解不等式并求出t的取值范圍即可．
【詳解】解：∵的圖象與反比例函數的圖象的兩個交點中，有一個交點的橫坐標為1，∴．令，則，．
將點和點代入，得；
將點和點代入，得．
∴，，
∴，∴．
∵，
∴，∴．
①當時，，∴不符合要求，應舍去；
②當時，，∴符合要求；
③當時，，∴不符合要求，應舍去；
④當時，，∴符合要求；
⑤當時，，∴不符合要求，應舍去．
綜上，t的取值范圍是或．故選：D．
【點睛】本題考查反比例函數與一次函數的交點，解不等式是本題的關鍵．
例4．（2023年山東省濟南市中考數學真題）綜合與實踐
如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．

【問題提出】小組同學提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？
【問題探究】小穎嘗試從“函數圖象”的角度解決這個問題：
設為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數的圖象在第一象限內點的坐標；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數的圖象在第一象限內點的坐標，同時滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數圖象交點的坐標．如圖2，反比例函數的圖象與直線：的交點坐標為和_________，因此，木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或___________m，__________m．

（1）根據小穎的分析思路，完成上面的填空．
【類比探究】（2）若，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數圖象并說明理由．
【問題延伸】當木欄總長為時，小穎建立了一次函數．發現直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，當過點時，直線與反比例函數的圖象有唯一交點．
（3）請在圖2中畫出直線過點時的圖象，并求出的值．
【拓展應用】小穎從以上探究中發現“能否圍成矩形地塊問題”可以轉化為“與圖象在第一象限內交點的存在問題”．
（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍．
【答案】（1）；4；2；（2）不能圍出，理由見解析；（3）圖見解析，；（4）
【分析】（1）聯立反比例函數和一次函數表達式，求出交點坐標，即可解答；
（2）根據得出，，在圖中畫出的圖象，觀察是否與反比例函數圖像有交點，若有交點，則能圍成，否則，不能圍成；（3）過點作的平行線，即可作出直線的圖象，將點代入，即可求出a的值；（4）根據存在交點，得出方程有實數根，根據根的判別式得出，再得出反比例函數圖象經過點，，則當與圖象在點左邊，點右邊存在交點時，滿足題意；根據圖象，即可寫出取值范圍．
【詳解】解：（1）∵反比例函數，直線：，
∴聯立得：，解得：，，
∴反比例函與直線：的交點坐標為和，
當木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或，．
故答案為：4；2．
（2）不能圍出．∵木欄總長為，∴，則，
畫出直線的圖象，如圖中所示：
∵與函數圖象沒有交點，∴不能圍出面積為的矩形；
（3）如圖中直線所示，即為圖象，
將點代入，得：，解得；

（4）根據題意可得∶ 若要圍出滿足條件的矩形地塊， 與圖象在第一象限內交點的存在問題，即方程有實數根，
整理得：，∴，解得：，
把代入得：，∴反比例函數圖象經過點，
把代入得：，解得：，∴反比例函數圖象經過點，
令，，過點，分別作直線的平行線，
由圖可知，當與圖象在點A左邊，點B右邊存在交點時，滿足題意；
把代入得：，解得：，∴．
【點睛】本題主要考查了反比例函數和一次函數綜合，解題的關鍵是正確理解題意，根據題意得出等量關系，掌握待定系數法，會根據函數圖形獲取數據．
考向三　求反比例函數中的面積問題
例1．（2023年湖北省黃石市中考數學真題）如圖，點和在反比例函數的圖象上，其中．過點A作軸于點C，則的面積為 ；若的面積為，則 ．

【答案】 2
【分析】根據，得出，根據三角形面積公式，即可求出的面積；過點B作軸于點D，交于點E，根據，，得出，進而得出，根據梯形面積公式，列出方程，化簡得，令，則，求出x的值，根據，得出，即，即可解答．
【詳解】解：∵，∴，∴，
過點B作軸于點D，交于點E，
∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，
∴，整理得：，
令，則，解得：（舍），，
∵，∴，即，∴，故答案為：，2．

【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖象和性質，解題的關鍵是是掌握反比例函數圖象上點的坐標特征，靈活運用面積關系建立方程．
例2．（2023年湖北省鄂州市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線（其中）相交于，兩點，過點B作軸，交y軸于點P，則的面積是 ．

【答案】
【分析】把代入到可求得的值，再把代入雙曲線函數的表達式中，可求得的值，進而利用三角形的面積公式進行求解即可．
【詳解】∵直線與雙曲線（其中）相交于，兩點，
∴∴，∴雙曲線的表達式為：，，
∵過點作軸，交軸于點，∴，∴，故答案為．
【點睛】本題是一次函數與反比例函數的交點問題，考查了待定系數法求反比例函數，反比例函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積，數形結合是解答此題的關鍵．
例3．（2023年四川省雅安市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是邊長為的正方形．點，在坐標軸上．反比例函數的圖象經過點．(1)求反比例函數的表達式；(2)點D在反比例函數圖象上，且橫坐標大于2，．求直線的函數表達式．

【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據四邊形是邊長為的正方形求出點的坐標，代入求出k；
（2）設，過點D作軸，根據面積列方程，求出點D坐標，再由待定系數法求出直線的函數表達式．
【詳解】（1）解：四邊形是邊長為的正方形，
，；即反比例函數的表達式為．
（2）解：設，過點D作軸，

點，，，∴
，
，
解得：，，經檢驗，是符合題意的根，即點，
設直線的函數解析式為，得∶
，解得：，即：直線的函數解析式為．
【點睛】本題考查了反比例函數的幾何意義和待定系數法求一次函數解析式，反比例函數圖象上任意一點做x軸、y軸的垂線，組成的長方形的面積等于，靈活運用幾何意義是解題關鍵．
例4．（2023年山東省棗莊市中考數學真題）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于兩點．(1)求一次函數的表達式，并在所給的平面直角坐標系中畫出這個一次函數的圖象；(2)觀察圖象，直接寫出不等式的解集；(3)設直線與x軸交于點C，若為y軸上的一動點，連接，當的面積為時，求點P的坐標．

【答案】(1)，圖見解析(2)或(3)或
【分析】（1）先根據反比例函數的解析式，求出的坐標，待定系數法，求出一次函數的解析式即可，連接，畫出一次函數的圖象即可；（2）圖象法求出不等式的解集即可；
（3）分點在軸的正半軸和負半軸，兩種情況進行討論求解．
【詳解】（1）解：∵一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于兩點，∴，∴，∴，
∴，解得：，∴，圖象如圖所示：

（2）解：由圖象可知：不等式的解集為或；
（3）解：當點在軸正半軸上時：

設直線與軸交于點，
∵，當時，，當時，，∴，∴，
∴，解得：；∴；
當點在軸負半軸上時：
，∴
解得：或（不合題意，舍去）；∴．綜上：或．
【點睛】本題考查一次函數與反比例函數的綜合應用．正確的求出函數解析式，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．
例5．（2023年廣元市中考真題數學試題）如圖，已知一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于，B兩點，與x軸交于點C，將直線沿y軸向上平移3個單位長度后與反比例函數交于點D，E．(1)求k，m的值及C點坐標；(2)連接，，求的面積．

【答案】(1)；；(2)
【分析】（1）把點代入和求出k、m的值即可；把代入的解析式，求出點C的坐標即可；（2）延長交x軸于點F，先求出平移后的關系式，再求出點D的坐標，然后求出解析式，得出點F的坐標，根據求出結果即可．
【詳解】（1）解：把點代入和得：
，，解得：，，
∴的解析式為，反比例函數解析式為，
把代入得：，解得：，∴點C的坐標為；
（2）解：延長交x軸于點F，如圖所示：

將直線沿y軸向上平移3個單位長度后解析式為：，
聯立，解得：，，∴點，
設直線的解析式為，把，代入得：
，解得：，∴直線的解析式為，
把代入得，解得：，
∴點F的坐標為，∴，∴．
【點睛】本題主要考查了一次函數和反比例函數的綜合應用，求一次函數解析式，反比例函數解析式，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握待定系數法，能求出一次函數和反比例函數的交點坐標．
一、選擇題
1．（2023·廣東·九年級期中）反比例函數與在同一坐標系的圖象可能為(　　)
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】先判斷反比例函數圖象的的符號，再判斷一次函數中的符號，判斷A，B，D選項，根據一次函數解析式可得，一次函數交與軸的正半軸即可判斷C選項，進而即可求解．
【詳解】解：A、由反比例函數的圖象可知，，一次函數圖象呈上升趨勢且交與軸的正半軸，，即，故本選項錯誤；B、由反比例函數的圖象可知，，一次函數圖象呈下降趨勢且交與軸的正半軸，，即，故本選項正確；C、由反比例函數的圖象可知，，一次函數圖象呈上升趨勢且交于軸的負半軸，又，故本選項錯誤；D、由反比例函數的圖象可知，，一次函數圖象呈下降趨勢且交與軸的正半軸，，即，故本選項錯誤．故選：B．
【點睛】此題主要考查反比例函數與一次函數圖象綜合，解題的關鍵是熟知兩函數的圖象與性質特點．
2．（2023年江蘇省淮安市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象分別與軸、軸交于兩點，且與反比例函數在第一象限內的圖象交于點．若點坐標為，則的值是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】過點作軸于點，則，可得，進而根據已知條件的，求得直線的解析式，將代入，得出點的坐標，代入反比例函數解析式，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作軸于點，則

∴∴ ∵,∴∴ 解得：
∵點在上，∴解得：
∴直線的解析式為當時，即
又反比例函數在第一象限內的圖象交于點∴,故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數的性質，待定系數法求一次函數解析式，相似三角形的性質與判定，求得點的坐標是解題的關鍵．
3．（23-24九年級上·浙江臺州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交點的橫坐標分別為和1，直線為與雙曲線交點的橫坐標分別為和1，若，則自變量x的取值范圍是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，利用數形結合是解題的關鍵．
根據圖象，找出雙曲線落在直線上方，且直線落在直線上方的部分對應的自變量x的取值范圍即可．
【詳解】解：由圖象可知，當或時，雙曲線落在直線上方，且直線落在直線上方，即，∴若，則自變量x的取值范圍是或．故選：D．
4．（2023年安徽中考數學真題）已知反比例函數在第一象限內的圖象與一次函數的圖象如圖所示，則函數的圖象可能為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設，則，，將點，代入，得出，代入二次函數，可得當時，，則，得出對稱軸為直線，拋物線對稱軸在軸的右側，且過定點，進而即可求解．
【詳解】解：如圖所示，設，則，根據圖象可得，

將點代入，∴，∴，
∵，∴，∴，
對稱軸為直線，當時，，∴拋物線經過點，
∴拋物線對稱軸在的右側，且過定點，當時，，故選：A．
【點睛】本題考查一次函數與反比例函數交點問題，二次函數圖象的性質，得出是解題關鍵．
5．（23-24九年級上·山東德州·期末）在平面直角坐標系中，函數與的圖象交于點，則代數式中的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查函數圖像的交點以及代數式求值，根據已知代數式的值將所求代數式恒等變形成相應形式是解決問題的關鍵．把點分別代入與中，可得，，再將所求的代數式變形即可求解．
【詳解】解：把點分別代入與中，
得，，即，，
，故選：B．
5．（2023年江蘇省宿遷市中考數學真題）如圖，直線、與雙曲線分別相交于點．若四邊形的面積為4，則的值是（ ）

A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】連接四邊形的對角線，過作軸，過作軸，直線與軸交于點，如圖所示，根據函數圖像交點的對稱性判斷四邊形是平行四邊形，由平行四邊形性質及平面直角坐標系中三角形面積求法，確定，再求出直線與軸交于點，通過聯立求出縱坐標，代入方程求解即可得到答案．
【詳解】解：連接四邊形的對角線，過作軸，過作軸，直線與軸交于點，如圖所示：

根據直線、與雙曲線交點的對稱性可得四邊形是平行四邊形，
，
直線與軸交于點，當時，，即，
與雙曲線分別相交于點，
聯立，即，則，由，解得，
，即，解得，故選：A．
【點睛】本題考查一次函數與反比例函數綜合，涉及平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平面直角坐標系中三角形面積求法是解決問題的關鍵．
6．（2023·廣西防城港·二模）邊長為的個正方形如圖擺放在直角坐標系中，直線平分這個正方形所組成的圖形的面積，交其中兩個正方形的邊于、兩點，過點的雙曲線的一支交其中兩個正方形的邊于、兩點，連接、、，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設，利用面積法得到，解方程得到，利用待定系數法求出直線解析式為，再確定，接著利用待定系數法確定雙曲線的解析式為，利用反比例函數圖象上點的坐標特征求出，，然后用一個矩形的面積分別減去三個三角形的面積計算．本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，若方程組無解則兩者無交點，待定系數法求函數解析式，解題的關鍵是：熟練掌握求函數交點．
【詳解】解：設，直線平分這個正方形所組成的圖形的面積，
，解得：，，
把代入直線得：，解得：，直線解析式為：，
當時，，則，
雙曲線經過點，，雙曲線的解析式為：，
當時，，解得：，則；
當時，，則，
，故選：．
7．（23-24九年級上·山東淄博·期末）如圖，直線與函數的圖象交于點B，點A為x軸正半軸上的一點，點C在線段上，且．如果函數的圖象經過點C，那么用下列坐標表示的點，在直線上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數的圖象與性質，相似三角形的判定與性質，待定系數法求函數解析式等知識；過B、C分別作x軸的垂線，垂足分別為E、F；由B點是一次函數與反比例函數的交點求得B的坐標；易證，結合點C在反比例函數圖象上，可求得點C的坐標；求出直線解析式，然后一一驗證即可．
【詳解】解：如圖，過B、C分別作x軸的垂線，垂足分別為E、F，
∵B點是一次函數與反比例函數的交點，
∴聯立兩函數解析式得：，解得：或（舍去），
∴點B的坐標為∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴即點C的縱坐標為1，
∵點C在反比例函數圖象上，∴，即，∴點C的坐標為，設直線解析式為，
把B，C兩點坐標分別代入得：，解得：，即直線解析式為，
當時，；當時，；
當時，；當時，；
即點在直線上，其它點都不在直線上，故選：C．
二、填空題
8．（2023·江蘇·二模）在平面直角坐標系中，若雙曲線與直線恰有1個交點，則的值是 ．
【答案】/
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，
聯立方程，轉化成一元二次方程利用根的判別式推出、的關系即可．
【詳解】解：∵雙曲線與直線恰有1個交點，
∴只有一個解，整理方程得：，
，∴，∴，∴，故答案為：．
9．（23-24九年級上·內蒙古通遼·期末）定義：一次函數的特征數是．若一次函數的圖象向下平移3個單位長度后與反比例函數的圖象的其中一個交點A的坐標為，則一次函數的特征數是 ．
【答案】
【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的綜合，一次函數的平移，新定義問題，熟練掌握一次函數的平移規律，靈活運用交點的意義是解題的關鍵．根據平移規律，確定解析式為，由反比例函數經過點，確定交點坐標，代入一次函數解析式，確定m值，后根據定義計算即可．
【詳解】解：∵一次函數的圖象向下平移3個單位長度，
∴一次函數的解析式為，
∵反比例函數經過點，∴，∴，
∴，解得，∴一次函數的特征數是，
故答案為：．
10．（2023年山東省日照市中考數學真題）已知反比例函數（且）的圖象與一次函數的圖象共有兩個交點，且兩交點橫坐標的乘積，請寫出一個滿足條件的k值 ．
【答案】（滿足都可以）
【分析】先判斷出一次函數的圖象必定經過第二、四象限，再根據判斷出反比例函數圖象和一次函數圖象的兩個交點在同一象限，從而可以得到反比例函數的圖象經過第二、四象限，即，最終選取一個滿足條件的值即可．
【詳解】解：，一次函數的圖象必定經過第二、四象限，
，反比例函數圖象和一次函數圖象的兩個交點在同一象限，
反比例函數（且）的函數圖象經過第一、三象限，，∴，
∵，∴，∴滿足條件的k值可以為1.5，
故答案為：1.5（滿足都可以）．
【點睛】本題考查一次函數和反比例函數的圖形性質，解題的關鍵是根據判斷出反比例函數圖象和一次函數圖象的兩個交點在同一象限．
11．（2023年江蘇省鹽城市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，點，都在反比例函數的圖象上，延長交軸于點，過點作軸于點，連接并延長，交軸于點，連接.若，的面積是，則的值為 .

【答案】6
【分析】過點B作于點F，連接，設點A的坐標為，點B的坐標為，則，證明，則，得到，根據，進一步列式即可求出k的值.
【詳解】解：過點B作于點F，連接，設點A的坐標為，點B的坐標為，則，∵，∴，

∵軸于點，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，的面積是，∴，
∴，∴，
則，即，解得，故答案為：6
【點睛】此題考查反比例函數圖象和性質、相似三角形的判定和性質等知識，求出是解題關鍵.
12．（2023年山東省淄博市中考數學真題）如圖，在直線：上方的雙曲線上有一個動點，過點作軸的垂線，交直線于點，連接，，則面積的最大值是 ．

【答案】3
【分析】設，則，將三角形面積用代數式的形式表示出來，然后根據二次函數的最值，即可求解．
【詳解】解：依題意，設，則，則
∴
∵，二次函數圖象開口向下，有最大值，∴當時面積的最大值是，故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，反比例數與一次函數的性質，根據題意列出函數關系式是解題的關鍵．
13．（2023年遼寧省鞍山市中考數學真題）如圖，在中，，頂點C，B分別在x軸的正、負半軸上，點A在第一象限，經過點A的反比例函數的圖象交AC于點E，過點E作軸，垂足為點F．若點E為的中點，，，則k的值為 ．

【答案】4
【分析】過點作軸于點，證明，得，再根據，可得，再證明，得到的長，設，，得到的坐標，根據兩點在同一反比例函數上，可解得的值，從而可得，再利用勾股定理解得，從而求得的值．
【詳解】解：如圖，過點作軸于點，

軸， ，，，
是的中點，，，
，，即，同理可得，
，，，
設，則，，，
都在反比例函數上，，解得，
，在中，，
，，故答案為：4．
【點睛】本題考查了反比例函數的圖像，相似三角形的判定及性質，勾股定理，理解反比例函數圖像上的點橫坐標與縱坐標的乘積相同，是解題的關鍵．
14．（2023·四川成都·中考模擬預測）在平面直角坐標系中，已知直線（）與雙曲線交于，兩點（點在第一象限），直線（）與雙曲線交于，兩點．當這兩條直線互相垂直，且四邊形的周長為時，點的坐標為_________．
【答案】或
【分析】首先根據題意求出點A坐標為(，)，從而得出，然后分兩種情況：①當點B在第二象限時求出點B坐標為(，)，從而得出，由此可知，再利用平面直角坐標系任意兩點之間的距離公式可知：，所以，據此求出，由此進一步通過證明四邊形ABCD是菱形加以分析求解即可得出答案；②當點B在第四象限時，方法與前者一樣，具體加以分析即可.
【詳解】∵直線()與雙曲線交于，兩點（點在第一象限），
∴聯立二者解析式可得：，由此得出點A坐標為(，)，∴，
①當點B在第二象限時，如圖所示：
∵直線（）與雙曲線交于，兩點，
∴聯立二者解析式可得：，由此得出點B坐標為(，)，∴，
∵AC⊥BD，∴，
根據平面直角坐標系任意兩點之間的距離公式可知：
，
∴，解得：，∴，
根據反比例函數圖象的對稱性可知：OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，∴，
∴，解得：或2，∴A點坐標為(，)或(，)，
②當點B在第四象限時，如圖所示：∵直線（）與雙曲線交于，兩點，
∴聯立二者解析式可得：，由此得出點B坐標為(，)，∴，
∵AC⊥BD，∴，
根據平面直角坐標系任意兩點之間的距離公式可知：
，
∴，解得：，∴，
根據反比例函數圖象的對稱性可知：OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，∴，∴，
解得：或2，∴A點坐標為(，)或(，)，
綜上所述，點A坐標為：(，)或(，)，故答案為：(，)或(，).
【點睛】本題主要考查了反比例函數與一次函數圖象及性質和菱形性質的綜合運用，熟練掌握相關方法是解題關鍵.
15．（2023·浙江·二模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于A，B兩點，若點P是第一象限內反比例函數圖象上一點，且的面積是的面積的2倍，則點P的橫坐標為________．
【答案】2或．
【分析】分兩種情況討論，（1）當點P在AB下方時，作，使點O到直線AB和到直線的距離相等；（2）當點P在AB上方時，作，使點O到直線AB的距離的2倍，是到點O到直線的距離，再分別求得直線AB與x軸的交點坐標為，從而得到直線與x軸的交點坐標C，再分別求出直線的解析式，聯立直線的解析式與反比例函數，轉化為解二元一次方程組，即可得到交點P的坐標從而解題．
【詳解】分兩種情況討論：（1）當點P在AB下方時，作，使點O到直線AB和到直線的距離相等，則的面積是的面積的2倍，對于y=x+1，當x=0時，y=1；當y=0時，x=-1；
即直線AB與x軸的交點坐標為，直線與x軸的交點坐標為，
設直線的表達式為：，將點代入得，
直線的表達式為：
聯立方程組解得，（舍去），，此時點；
（2）當點P在AB上方時，如圖，
作，使點O到直線AB的距離的2倍，是到點O到直線的距離，
直線AB與x軸的交點坐標為，直線與x軸的交點坐標為，
設直線的表達式為：，將點代入得，直線的表達式為：
聯立方程組解得，，（舍去） ，
此時點P橫坐標為∴點P的橫坐標為：2或．故答案為：2或．
【點睛】本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題，涉及解二元一次方程組、分類討論、數形結合等數學思想，正確作出輔助圖形、掌握相關知識是解題的關鍵．
16．（23-24九年級上·四川成都·期末）對于平面直角坐標系中的圖形M和直線m，給出如下定義：若圖形M上有點到直線m的距離為d，那么稱這個點為圖形M到直線m的“d距點”．如圖，雙曲線C：和直線：，若圖形C到直線l的“距點”只有2個，則n的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】由直線：可知是等腰直角三角形，則，設點為圖形到直線的“距點”，作交于，則，作軸交于，則，，則是等腰直角三角形，先找圖形到直線的“距點”只有1個時，即只有1個解，亦即：或只有1個解，分兩種情況來討論可得當，時，為圖形到直線的“距點”作出當，時的草圖，通過作圖發現，當時圖形在直線上方必定還有兩個點到直線的距離為，再根據這兩個臨界點求解即可．
【詳解】解：令直線：與軸，軸分別交于點，點，
對于直線：，當時，，當時，，
∴，，則，∴是等腰直角三角形，則，
設點為圖形到直線的“距點”，作交于，則，
作軸交于，則，，
則是等腰直角三角形，∴，則，
即：，先找圖形到直線的“距點”只有1個時，
即：只有1個解，亦即：或只有1個解，
∵，則，∴，若，即，
則，解得：，
此時，，解得，即為圖形到直線的“距點”
若，即，則，解得：，
此時，，解得，即為圖形到直線的“距點”
作出當，時的草圖，如下：
通過作圖發現，當時圖形在直線上方必定還有兩個點到直線的距離為，
∴當圖形到直線的“距點”只有1個，當圖形到直線的“距點”只有3個，
則當圖形到直線的“距點”只有2個時，的取值范圍，故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數的性質，勾股定理，一元二次方程根的問題，利用數形結合的數學思想作出草圖，找到滿足條件的臨界點是解決問題的關鍵．
三、解答題
17．（2023年四川省自貢市中考數學真題）如圖，點在反比例函數圖象上．一次函數的圖象經過點A，分別交x軸，y軸于點B，C，且與的面積比為．

(1)求反比例函數和一次函數的解析式；(2)請直接寫出時，x的取值范圍．
【答案】(1)反比例函數解析式為，一次函數解析式為或
(2)當一次函數解析式為時，x的取值范圍為或；當一次函數解析式為時x的取值范圍為或
【分析】（1）將代入得，，解得，可得反比例函數解析式為；當，，則，，當，，則，，由與的面積比為，可得，整理得，即，解得或，當時，將代入得，，解得，則；當時，將代入得，，解得，則；
（2）由一次函數解析式不同分兩種情況求解：①當一次函數解析式為時，如圖1，聯立，解得或，根據函數圖象判斷x的取值范圍即可；②當一次函數解析式為時，如圖2，聯立，解得或，根據函數圖象判斷x的取值范圍即可．
【詳解】（1）解：將代入得，，解得，
∴反比例函數解析式為；
當，，則，，當，，則，，
∵與的面積比為，
∴，整理得，即，解得或，
當時，將代入得，，解得，則；
當時，將代入得，，解得，則；
綜上，一次函數解析式為或；
∴反比例函數解析式為，一次函數解析式為或；
（2）解：由題意知，由一次函數解析式不同分兩種情況求解：
①當一次函數解析式為時，如圖1，

聯立，解得或，
由函數圖象可知，時，x的取值范圍為或；
②當一次函數解析式為時，如圖2，
聯立，解得或，
由函數圖象可知，時，x的取值范圍為或；
綜上，當一次函數解析式為時，x的取值范圍為或；當一次函數解析式為時x的取值范圍為或．
【點睛】本題考查了一次函數解析式，反比例函數解析式，一次函數與幾何綜合，反比例函數與一次函數綜合．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
18．（2023年山東省淄博市中考數學真題）如圖，直線與雙曲線相交于點，．(1)求雙曲線及直線對應的函數表達式；(2)將直線向下平移至處，其中點，點在軸上．連接，，求的面積；(3)請直接寫出關于的不等式的解集．

【答案】(1)，(2)(3)
【分析】將代入雙曲線，求出的值，從而確定雙曲線的解析式，再將點代入，確定點坐標，最后用待定系數法求直線的解析式即可；
由平行求出直線的解析式為過點作交于 ，設直線與軸的交點為，與軸的交點為, 可推導出, 再由 ，求出則的面積
數形結合求出x的范圍即可.
【詳解】（1）將代入雙曲線，∴,
∴雙曲線的解析式為，將點代入，∴,∴,
將代入,，解得，∴直線解析式為；
（2）∵直線向下平移至,

∴,設直線的解析式為將點代入
∴解得∴直線的解析式為∴
過點作交于,設直線與軸的交點為，與軸的交點為,∴,
∵,∴,
∵,，，∵，，
，∴的面積
（3）由圖可知時,
【點睛】本題考查反比例函數的圖象及性質，熟練掌握反比例函數的圖象及性質，直線平移是性質，數形結合是解題的關鍵.
19．（2023年遼寧省鞍山市中考數學真題）如圖，直線與反比例函數的圖象交于點，，過點A作軸交x軸于點C，在x軸正半軸上取一點D，使，連接，．若的面積是6．(1)求反比例函數的解析式．(2)點P為第一象限內直線上一點，且的面積等于面積的2倍，求點P的坐標．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根據，可得三角形面積之比，計算出的面積，面積乘2即為，解析式可得；（2）根據點的坐標求出直線的解析式為，設符合條件的點，利用面積的倍數關系建立方程解出即可．
【詳解】（1）解：∵，的面積是6，∴，∴，
∵圖象在第二象限，∴，∴反比例函數解析式為：；
（2）∵點，，在的圖象上，∴，，∴，，
設直線的解析式為，
，解得：，∴直線的解析式為，
∵軸交x軸于點C，∴，∴，
設直線上在第一象限的點，∴，
∴，∴，∴．
【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，交點坐標滿足兩個函數關系式．
20．（2023年江蘇省泰州市中考數學真題）在平面直角坐標系中，點，的位置和函數、的圖像如圖所示．以為邊在x軸上方作正方形，邊與函數的圖像相交于點E，邊與函數、的圖像分別相交于點G、H，一次函數的圖像經過點E、G，與y軸相交于點P，連接．

(1)，，求函數的表達式及的面積；
(2)當a、m在滿足的條件下任意變化時，的面積是否變化？請說明理由；
(3)試判斷直線與邊的交點是否在函數的圖像上？并說明理由．
【答案】(1)函數的表達式為，的面積為
(2)不變，理由見解析 (3)在，理由見解析
【分析】（1）由，，可得，，，，則，當，，則；當，，解得，則；當，，解得，則；待定系數法求一次函數的解析式為，當，，則，根據，計算求解即可；（2）求解過程同（1）；
（3）設直線的解析式為，將，，代入得，，解得，即，當，，則直線與邊的交點坐標為，當，，進而可得結論．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，，，，∴，
當，，則；當，，解得，則；
當，，解得，則；
設一次函數的解析式為，
將，，代入得，，解得，∴，
當，，則，∴；
∴函數的表達式為，的面積為；
（2）解：的面積不變，理由如下：
∵，，，，∴，
當，，則；當，，解得，則；
當，，解得，則；設一次函數的解析式為，
將，，代入得，，解得，
∴，當，，則，
∴；∴的面積不變；
（3）解：直線與邊的交點在函數的圖像上，理由如下：
設直線的解析式為，
將，，代入得，，解得，
∴，當，，
∴直線與邊的交點坐標為，
當，，∴直線與邊的交點在函數的圖像上．
【點睛】本題考查了正方形的性質，一次函數解析式，反比例函數解析式，交點坐標．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
21．（2023年黑龍江省大慶市中考數學真題）一次函數與反比例函數的圖象交于，兩點，點的坐標為．

(1)求一次函數和反比例函數的表達式；(2)求的面積；(3)過動點作軸的垂線，與一次函數和反比例函數的圖象分別交于，兩點，當在的上方時，請直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)一次函數的解析式為，反比例函數的解析式為(2)(3)或
【分析】（1）把分別代入一次函數和反比例函數求出的值即可得到答案；
（2）聯立求出點的坐標，令直線與交于點，由直線求出點的坐標，最后由，進行計算即可得到答案；
（3）直接由函數圖象即可得到答案．
【詳解】（1）解：把代入一次函數，
得，解得：，一次函數的解析式為：，
把代入反比例函數，得，解得：，
反比例函數的解析式為：；
（2）解：聯立，解得：或，，
令直線與交于點，如圖，當時，，解得：，，
， ，
（3）解：由圖象可得：
當在的上方時，的取值范圍為：或．
【點睛】本題考查了求反比例函數的解析式、求一次函數的解析式、反比例函數與一次函數的交點問題，熟練掌握反比例函數和一次函數的圖象與性質，是解題的關鍵．
22．（2020秋·陜西西安·九年級西安市鐵一中學?？计谥校鹃喿x理解】如圖1，在平面直角坐標系中，直線的函數關系式，，是直線上任意兩個不同的點，過點、分別作軸、軸的平行線交于點，則線段，于是有，即的值僅與的值有關，不妨稱為直線的“縱橫比”．
【直接應用】（1）直線的“縱橫比”為_______，直線的“縱橫比”為_______．
【拓展提升】（2）如圖2，已知直線與直線互相垂直，請用“縱橫比”原理以及相關的幾何知識分析與的關系，并加以證明．
【綜合應用】（3）如圖3，已知點，是軸上一動點，線段繞著點按逆時針方向旋轉至線段，設此時點的運動軌跡為直線，若另一條直線，且與有且只有一個公共點，試確定直線的函數關系式．
【答案】（1）2、；（2）k與m的關系為：，證明見詳解；（3）或．
【分析】（1）據題目中“縱橫比”的含義，答案易得；
（2）如圖2，通過證三角形相似，得，再據縱橫比的意義得到k、m的關系；
（3）先求出l的關系式，再由（2）的結論得直線m關系式的一次項系數，再由直線m和有且只有一個公共點求得直線m的關系式的常數項即可得到直線m的函數關系式．
【詳解】（1）對于直線據題意得其“縱橫比”等于|k|，易得直線的“縱橫比”為2；直線的“縱橫比”為．
（2）如下圖：P2過作y軸平行線交于P3，在P1P2上找一點H，過H作x軸的平行線交于P4，得∠P3P2M與∠P1P2G互余 由⊥l得∠MP3P2與∠P1P2G互余
∴∠MP3P2=∠P1P2G∴△P3HP4∽△P2GP1 ∴∴
又由“縱橫比”的意義得，∴
又∵，∴．
（3）點的運動軌跡為直線．取其上特殊兩點，如下圖
由題意知，當P在坐標原點時易知動點B坐標為D(0,8),
當P在點(0,-8)時，動點 B坐標為E(-8,0)；
∴直線l的“縱橫比”為∴直線l關系式的一次項系數為1
又∵，利用（2）的結論知直線m關系式的一次項系數為-1
所以可設m關系式為：（b為待定的常量）它和的交點滿足方程組
消去并整理得，由于直線m與有且只有一個公共點
∴一元二次方程有兩相等實根
∴，解之得 直線m如下圖所示
所以直線m的關系式為：或．
【點睛】此題考查一次函數和反比例函數的圖象特點及其交點的意義．其關鍵是要弄清本題目中給的“縱橫比”的概念和性質，用之求一次函數關系式中的“k”．
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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
專題03 反比例函數綜合問題-3.1與一次函數結合問題
反比例函數與一次函數綜合問題是初中《反比例函數》章節的重點內容，考查的相對比較綜合，把反比例函數與一次函數結合起來，以不等式、方程組等為核心。在中考數學中，主要是以解答題形式出現。通過熟練運用的方程、不等式與函數三者之間的關系，提升數學學科素養，提高邏輯思維推斷能力。本專題考點是中考高頻考點，在各地的中考試卷中均有出現，題目難度較大一些。
1．求函數的解析式
1）求解一次函數的解析式它一般分為四個步驟：設一次函數的解析式為 y = kx + b (k ≠ 0)，列出關于 k、b 的二元一次方程組，解方程組，求出 k、b 的值，寫出解析式。
2）反比例函數解析式的求法，是有兩種分別是：根據圖象特征求出雙曲線上某個點的坐標，然后用待定系數法求反比例函數的解析式；由 k 的幾何意義直接得反比例函數的解析式。
2．求一次函數與反比例函數的交點坐標
1）從圖象上看，一次函數與反比例函數的交點由k值的符號來決定：①k值同號，兩個函數必有兩個交點；②k值異號，兩個函數可能無交點，可能有一個交點，也可能有兩個交點；
2）從計算上看，一次函數與反比例函數的交點主要取決于兩函數所組成的方程組的解的情況．
3．涉及自變量取值范圍型
當一次函數與反比例函數相交時，聯立兩解析式，構造方程組，然后求出交點坐標。針對時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數的圖象高于反比例函數圖象的部分所對應的x的范圍.
4．涉及三角形的面積型
當一次函數與反比例函數結合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．
1）正比例函數與一次函數所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
2）如圖②，已知一次函數與反比例函數交于A、B兩點，且一次函數與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
3）如圖③，已知反比例函數的圖象上的兩點，其坐標分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
考向一　求函數的解析式問題
例1．（2023年河北省中考數學真題）如圖，已知點，反比例函數圖像的一支與線段有交點，寫出一個符合條件的k的數值： ．

例2．（2023年四川省宜賓中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的直角頂點，頂點A、恰好落在反比例函數第一象限的圖象上．
(1)分別求反比例函數的表達式和直線所對應的一次函數的表達式；
(2)在x軸上是否存在一點P，使周長的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

例3．（2023年湖南省湘潭市中考數學真題）如圖，點A的坐標是，點B的坐標是，點C為中點，將繞著點B逆時針旋轉得到．(1)反比例函數的圖像經過點，求該反比例函數的表達式；(2)一次函數圖像經過A、兩點，求該一次函數的表達式．

例4．（2023年浙江省杭州市中考數學真題）在直角坐標系中，已知，設函數與函數的圖象交于點和點．已知點的橫坐標是2，點的縱坐標是．
(1)求的值．(2)過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第二象限交于點；過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第四象限交于點．求證：直線經過原點．

考向二　求函數的交點或取值范圍問題
例1．（2023年湖南省懷化市中考數學真題）如圖，反比例函數的圖象與過點的直線相交于、兩點．已知點的坐標為，點為軸上任意一點．如果，那么點的坐標為（ ）

A． B． C．或 D．或
例2．（2023年浙江省寧波市中考數學真題）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于兩點，點的橫坐標為1，點的橫坐標為，當時，的取值范圍是( )

A．或 B．或 C．或 D．或
例3．（2023年浙江省湖州市中考數學真題）已知在平面直角坐標系中，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象的兩個交點中，有一個交點的橫坐標為1，點和點在函數的圖象上(且)，點和點在函數的圖象上．當與的積為負數時，t的取值范圍是( )
A．或 B．或
C．或 D．或
例4．（2023年山東省濟南市中考數學真題）綜合與實踐
如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．
【問題提出】小組同學提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？

【問題探究】小穎嘗試從“函數圖象”的角度解決這個問題：
設為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數的圖象在第一象限內點的坐標；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數的圖象在第一象限內點的坐標，同時滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數圖象交點的坐標．如圖2，反比例函數的圖象與直線：的交點坐標為和_________，因此，木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或___________m，__________m．
（1）根據小穎的分析思路，完成上面的填空．【類比探究】（2）若，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數圖象并說明理由．
【問題延伸】當木欄總長為時，小穎建立了一次函數．發現直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，當過點時，直線與反比例函數的圖象有唯一交點．（3）請在圖2中畫出直線過點時的圖象，并求出的值．【拓展應用】小穎從以上探究中發現“能否圍成矩形地塊問題”可以轉化為“與圖象在第一象限內交點的存在問題”．（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍．

考向三　求反比例函數中的面積問題
例1．（2023年湖北省黃石市中考數學真題）如圖，點和在反比例函數的圖象上，其中．過點A作軸于點C，則的面積為 ；若的面積為，則 ．

例2．（2023年湖北省鄂州市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線（其中）相交于，兩點，過點B作軸，交y軸于點P，則的面積是 ．

例3．（2023年四川省雅安市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是邊長為的正方形．點，在坐標軸上．反比例函數的圖象經過點．(1)求反比例函數的表達式；(2)點D在反比例函數圖象上，且橫坐標大于2，．求直線的函數表達式．

例4．（2023年山東省棗莊市中考數學真題）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于兩點．(1)求一次函數的表達式，并在所給的平面直角坐標系中畫出這個一次函數的圖象；(2)觀察圖象，直接寫出不等式的解集；(3)設直線與x軸交于點C，若為y軸上的一動點，連接，當的面積為時，求點P的坐標．

例5．（2023年廣元市中考真題數學試題）如圖，已知一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于，B兩點，與x軸交于點C，將直線沿y軸向上平移3個單位長度后與反比例函數交于點D，E．(1)求k，m的值及C點坐標；(2)連接，，求的面積．

一、選擇題
1．（2023·廣東·九年級期中）反比例函數與在同一坐標系的圖象可能為(　　)
A． B．C． D．
2．（2023年江蘇省淮安市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象分別與軸、軸交于兩點，且與反比例函數在第一象限內的圖象交于點．若點坐標為，則的值是（ ）．

A． B． C． D．
3．（23-24九年級上·浙江臺州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交點的橫坐標分別為和1，直線為與雙曲線交點的橫坐標分別為和1，若，則自變量x的取值范圍是（ ）
A． B．或 C． D．或
4．（2023年安徽中考數學真題）已知反比例函數在第一象限內的圖象與一次函數的圖象如圖所示，則函數的圖象可能為（ ）

A． B． C． D．
5．（23-24九年級上·山東德州·期末）在平面直角坐標系中，函數與的圖象交于點，則代數式中的值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023年江蘇省宿遷市中考數學真題）如圖，直線、與雙曲線分別相交于點．若四邊形的面積為4，則的值是（ ）

A． B． C． D．1
6．（2023·廣西防城港·二模）邊長為的個正方形如圖擺放在直角坐標系中，直線平分這個正方形所組成的圖形的面積，交其中兩個正方形的邊于、兩點，過點的雙曲線的一支交其中兩個正方形的邊于、兩點，連接、、，則（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24九年級上·山東淄博·期末）如圖，直線與函數的圖象交于點B，點A為x軸正半軸上的一點，點C在線段上，且．如果函數的圖象經過點C，那么用下列坐標表示的點，在直線上的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
8．（2023·江蘇·二模）在平面直角坐標系中，若雙曲線與直線恰有1個交點，則的值是 ．
9．（23-24九年級上·內蒙古通遼·期末）定義：一次函數的特征數是．若一次函數的圖象向下平移3個單位長度后與反比例函數的圖象的其中一個交點A的坐標為，則一次函數的特征數是 ．
10．（2023年山東省日照市中考數學真題）已知反比例函數（且）的圖象與一次函數的圖象共有兩個交點，且兩交點橫坐標的乘積，請寫出一個滿足條件的k值 ．
11．（2023年江蘇省鹽城市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，點，都在反比例函數的圖象上，延長交軸于點，過點作軸于點，連接并延長，交軸于點，連接.若，的面積是，則的值為 .

12．（2023年山東省淄博市中考數學真題）如圖，在直線：上方的雙曲線上有一個動點，過點作軸的垂線，交直線于點，連接，，則面積的最大值是 ．

13．（2023年遼寧省鞍山市中考數學真題）如圖，在中，，頂點C，B分別在x軸的正、負半軸上，點A在第一象限，經過點A的反比例函數的圖象交AC于點E，過點E作軸，垂足為點F．若點E為的中點，，，則k的值為 ．

14．（2023·四川成都·中考模擬預測）在平面直角坐標系中，已知直線（）與雙曲線交于，兩點（點在第一象限），直線（）與雙曲線交于，兩點．當這兩條直線互相垂直，且四邊形的周長為時，點的坐標為_________．
15．（2023·浙江·二模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于A，B兩點，若點P是第一象限內反比例函數圖象上一點，且的面積是的面積的2倍，則點P的橫坐標為________．
16．（23-24九年級上·四川成都·期末）對于平面直角坐標系中的圖形M和直線m，給出如下定義：若圖形M上有點到直線m的距離為d，那么稱這個點為圖形M到直線m的“d距點”．如圖，雙曲線C：和直線：，若圖形C到直線l的“距點”只有2個，則n的取值范圍是 ．
三、解答題
17．（2023年四川省自貢市中考數學真題）如圖，點在反比例函數圖象上．一次函數的圖象經過點A，分別交x軸，y軸于點B，C，且與的面積比為．
(1)求反比例函數和一次函數的解析式；(2)請直接寫出時，x的取值范圍．

18．（2023年山東省淄博市中考數學真題）如圖，直線與雙曲線相交于點，．(1)求雙曲線及直線對應的函數表達式；(2)將直線向下平移至處，其中點，點在軸上．連接，，求的面積；(3)請直接寫出關于的不等式的解集．

19．（2023年遼寧省鞍山市中考數學真題）如圖，直線與反比例函數的圖象交于點，，過點A作軸交x軸于點C，在x軸正半軸上取一點D，使，連接，．若的面積是6．(1)求反比例函數的解析式．(2)點P為第一象限內直線上一點，且的面積等于面積的2倍，求點P的坐標．
20．（2023年江蘇省泰州市中考數學真題）在平面直角坐標系中，點，的位置和函數、的圖像如圖所示．以為邊在x軸上方作正方形，邊與函數的圖像相交于點E，邊與函數、的圖像分別相交于點G、H，一次函數的圖像經過點E、G，與y軸相交于點P，連接．
(1)，，求函數的表達式及的面積；
(2)當a、m在滿足的條件下任意變化時，的面積是否變化？請說明理由；
(3)試判斷直線與邊的交點是否在函數的圖像上？并說明理由．

21．（2023年黑龍江省大慶市中考數學真題）一次函數與反比例函數的圖象交于，兩點，點的坐標為．(1)求一次函數和反比例函數的表達式；(2)求的面積；(3)過動點作軸的垂線，與一次函數和反比例函數的圖象分別交于，兩點，當在的上方時，請直接寫出的取值范圍．

22．（2020秋·陜西西安·九年級西安市鐵一中學?？计谥校鹃喿x理解】如圖1，在平面直角坐標系中，直線的函數關系式，，是直線上任意兩個不同的點，過點、分別作軸、軸的平行線交于點，則線段，于是有，即的值僅與的值有關，不妨稱為直線的“縱橫比”．
【直接應用】（1）直線的“縱橫比”為_______，直線的“縱橫比”為_______．
【拓展提升】（2）如圖2，已知直線與直線互相垂直，請用“縱橫比”原理以及相關的幾何知識分析與的關系，并加以證明．
【綜合應用】（3）如圖3，已知點，是軸上一動點，線段繞著點按逆時針方向旋轉至線段，設此時點的運動軌跡為直線，若另一條直線，且與有且只有一個公共點，試確定直線的函數關系式．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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