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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
專題04 圓的綜合問題-4.1 與全等三角形結合
圓在中考數學幾何模塊中占據著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本專題就圓與全等三角形綜合問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。
1.構造全等三角形
利用圓中的等弦，等半徑和角平分線等條件構造全等三角形，從而實現邊、角的轉化。
1）利用等弦構造全等三角形
條件：如圖1，PA、PB為⊙O的兩條弦，C為劣弧AB的中點，弦CD⊥PA于E，結論：AE=PE+PB。
2）利用等半徑構造全等三角形
條件：如圖2，AB是⊙O的直徑，CD是O的弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，結論：CE=DF。
2.圓中常見全等模型：燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋轉）模型、對角互補模型、半角模型等。
1） 燕尾型/蝴蝶型全等模型
條件：OA，OB是的半徑，OC=OD。 結論：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；
條件：OA，OE是的半徑，AD⊥OE，EB⊥OA。結論：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；
2）手拉手（旋轉）型全等模型
注意：圓中的手拉手模型一般是需要輔助線構造出來的（常用旋轉或截長補短法）。
條件：是△ABD的外接圓，且AD=BD，∠ADB=，C為圓O上一點。
結論：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；
特別地，當=60°時，CD=CA+CB； 當=90°時，CD=CA+CB；
考向一　利用等弦構造全等三角形
例1．（22-23九年級下·湖北武漢·期中）如圖，A，B，C，P是圓上的四個點，．
(1)判斷的形狀，并證明你的結論．(2)若，求的長

【答案】(1)是等腰三角形，理由見解析(2)．
【分析】（1）由圓周角定理得到，即可證明問題；（2）作于M，交延長線于N，推出，得到AM=AN，PN=PM，即可證明Rt△ABN≌Rt△ACM，得到，從而求出的長，得到的長，于是求出的長．
【詳解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
∵，，，
∴，∴，∴是等腰三角形；
（2）解：作于M，交延長線于N，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，

∴，∵，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴．
【點睛】本題考查圓周角定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，關鍵是通過作輔助線構造全等三角形．
例2．（2023九年級上·浙江·專題練習）已知：如圖，是的直徑，點C、D為圓上兩點，且弧弧，于點F，的延長線于點E．求證：．
【答案】見解析
【分析】由弧弧，根據圓周角定理得到，，而，，根據角平分線定理得到，于是有，即可得到結論．
【詳解】證明：∵弧弧，∴，，
又∵，，∴，∴，∴．
【點睛】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應相等．也考查了圓周角定理、角平分線的性質以及三角形全等的判定與性質．
例3．（2023·湖北武漢·模擬預測）如圖，為圓內接四邊形的對角線，且點D為的中點；(1)如圖1，若、直接寫出與的數量關系；
(2)如圖2、若、平分，，求的長度．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）如圖：繞B逆時針旋轉交于E,即，先說明是等邊三角形可得；再說明是等邊三角形可得 ，進而證明可得，最后根據即可證明結論；（2）如圖：連接,交于E，先說明為直徑,即，再運用圓周角定理和勾股定理可得，進而求得、，最后運用勾股定理即可解答
【詳解】（1）解：如圖：繞B逆時針旋轉交于E，即，
∵，∴，∴是等邊三角形，∴ ,
∵點D為的中點∴，∵，∴是等邊三角形，
∴ ，∴,即,
∴，∴,∴,即．

（2）解：如圖：連接，交于E，∵，∴為直徑,即
∵點D為的中點，∴， ∴,即,解得：,
∵平分，∴,又∵,∴垂直平分,即，∴,
∵．∴是的中位線，∴，∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質等知識點，靈活運用相關定理是解答本題的關鍵．
例4．（23-24九年級上·陜西渭南·期末）【定義新知】
定義：有一個角是其對角一半的圓內接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角．
【初步應用】（1）如圖1，四邊形是圓美四邊形，是美角．
①的度數為________；②連接，若的半徑為5，求線段的長；
【拓展提升】（2）如圖2，已知四邊形是圓美四邊形，是美角，連接，若平分，判斷、與之間的數量關系，并說明理由．
【答案】（1）①60；②（2）
【分析】（1）①根據定義列式計算即可．②根據定義求角，根據直徑對的圓周角是直角，運用勾股定理計算即可．（2）延長到點M，使得，連接，得到 是等邊三角形，證明即可．
【詳解】（1）①∵四邊形是圓美四邊形，是美角，
∴,∴,解得，故答案為：60．
②作圓的直徑,連接,則 ∵圓的半徑為5，∴,
∵，∴.∴．
（2）關系為：，理由如下：如圖，延長到點M，使得，連接，
∵四邊形是圓美四邊形，是美角，∴,
∴,解得，∴,
∵平分，∴,∴是等邊三角形，
∴,，∴，∴，
∵，∵，∴,∴,
∵,∴．
【點睛】本題考查了新定義問題，等邊三角形的判定和性質，圓的內接四邊形的性質，三角形全等的判定和性質，圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，熟練掌握圓的性質是解題的關鍵．
考向二　利用等半徑構造全等三角形
例1．（23-24九年級上·山東菏澤·期中）如圖在平面直角坐標系中，的圓心在軸上，且經過點和點，點是第二象限圓上的任意一點，且，則的圓心的坐標是 ．
【答案】
【分析】本題考查了圓周角定理和坐標與圖形性質，三角形全等的性質和判定，作輔助線，構建三角形全等，根據圓周角定理得：，再證明，根據，根據線段的和差關系即可求解，作輔助線構建三角形全等是關鍵．
【詳解】解：連接，過作軸于，過作 軸于，
則，，∵和點，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴， 故答案為：．
例2．（2023·湖北武漢·模擬預測）如圖為圓O的直徑，為圓O的弦，C為O上一點，，，垂足為D．(1)連接，判斷與的位置關系，并證明；(2)若，，求圓O的半徑；

【答案】(1)，證明見詳解(2)5
【分析】（1），理由如下：延長交于點，連接，再根據圓的基本性質及等腰三角形的性質即可；（2）由（1）中結論，，，先證明，再根據勾股定理即可．
【詳解】（1）解：，理由如下：延長交于點，連接，，

，；
（2）解：由（1）中結論，，
，，
設的半徑為，則，
在中，，即，解得：，即的半徑為5．
【點睛】本題考查圓的基本性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題，屬于中考常考題型．
考向三　燕尾型/蝴蝶型全等模型
例1．（2023·重慶九年級課時練習）如圖，以O為圓心的兩個圓中，大圓的半徑分別交小圓于點C，D，連結，下列選項中不一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據圓的基本性質，等腰三角形的性質，以及全等三角形的判定與性質逐項分析即可．
【詳解】解：由圓的基本性質可知：，，
∴，即：，故A正確；∴和均為等腰三角形，
∵和的頂角均為，
∴，，
∴，∴，故B正確；
∵當是的中位線時，滿足，由于不一定為的中點，
∴不一定等于，故C錯誤；
在和中，∴，
∴，故D正確；故選：C．
【點睛】本題考查圓的基本性質，等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等，理解圓的基本性質，熟練運用等腰三角形的判定以及全等三角形的判定是解題關鍵．
例2．（2022·河南焦作·統考一模）歐幾里得，古希臘數學家，被稱為“幾何之父”，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書．他在第Ⅲ卷中提出這樣一個命題：“由已知點作直線切于已知圓”．如圖，設A是已知點，小圓O為已知圓．具體作法是：以O為圓心，為半徑作大圓O，連接交小圓O于點B，過B作，交大圓O于點C，連接，交小圓O于點D，連接，則是小圓O的切線．
為了說明這一方法的正確性，需要對其進行證明，如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出“證明”的過程．
已知：如圖，點A，C和點B，D分別在以O為圓心的同心圓上，_________．
求證：___________．
證明：
【答案】，是小圓O的切線，證明見解析
【分析】通過證明三角形全等即可得到，從而證明切線．
【詳解】已知：如圖，點A，C和點B，D分別在以O為圓心的同心圓上，
求證：是小圓O的切線
證明：∵點A，C和點B，D分別在以O為圓心的同心圓上，∴．
在和中,∴，∴，
∵，∴，∴，∴是小圓O的切線．
【點睛】本題考查切線的證明，找準判斷切線的三個因素是解題的關鍵．
例3．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD，連結AC．
(1)△ACD為等邊三角形；(2)請證明：E是OB的中點；(3)若AB＝8，求CD的長．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)
【分析】（1）根據垂直平分線的性質證明AC＝AD＝CD即可
（2）要證明：E是OB的中點，只要求證OE＝OB＝OC，即證明∠OCE＝30°即可；
（3）在直角△OCE中，根據勾股定理就可以解得CE的長，進而求出CD的長．
【詳解】（1）證明：連接AC，如圖
∵直徑AB垂直于弦CD于點E，∴，AC＝AD，
∵過圓心O的線CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的中垂線，
∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD．即：△ACD是等邊三角形，
（2）△ACD是等邊三角形，CF是AD的中垂線，
＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴點E為OB的中點；
（3）解：在Rt△OCE中，AB=8 ∴OC＝AB＝4，
又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝，∴CD＝2CE＝．
【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理、中垂線性質、30°所對的直角邊是斜邊的一半，等邊三角形的判定和性質．解此類題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構建在一個直角三角形里，運用勾股定理求解．
例4．（2023秋·江蘇南京·九年級校聯考期末）在以為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于，兩點．
(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，則的長為______．
(2)如圖②，大圓的另一條弦交小圓于，兩點，若，求證．
【答案】(1)(2)見解析
【分析】（1）連接，，過點作，則為，的中點，得出，，根據勾股定理即可求出的長；（2）過作，作，垂足分別為、，得出，，，，連接、、、，通過證明和，即可得證．
【詳解】（1）連接，，過點作，則為，的中點，
∵，∴，，
∵，∴，，
∴，∴，
∴，∴，故答案為：
（2）過作，作，垂足分別為、，
∴，，，，
又∵，∴，連接、、、，
在和中，，∴，∴，
在和中，，∴，∴，∴．
【點睛】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識點是解此類題的關鍵．
例5．（2022·河南平頂山·統考二模）閱讀下面的材料，完成相應的任務：
在1815年某雜志上刊登了這樣一個命題：如圖，圓O中的弦AB的中點為G，過點G任作兩弦CD，EF，弦FC，ED分別交AB于P，Q，則PG=QG．由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，故稱“蝴蝶定理”、是古代歐氏平面幾何中最精彩的結果之一．
任務：(1)如圖1，AB為⊙O的任一弦．
①若G為弦AB的中點，連接OG，則OG與AB的位置關系為______；
②若OG⊥AB，判斷AG與BG之間的數量關系，并說明理由．
(2)下面是“蝴蝶定理”的證明過程（部分），請補充完整．
證明：過O作OM⊥FC于點M，ON⊥DE于點N，
連接OP，OQ，MG，NG，OG，
由任務（1）可知：CF=2MC，ED=2NE，OG⊥AB且∠OMC=∠OGP=90°，∠ONQ=∠OGQ=90°，
∵∠F=∠D，∠C=∠E，∴△FGC∽△DGE，
即，又，取PO的中點O′，在四邊形MOGP中，
∵∠OMC=∠OGP=90°，∴MO′=OO′=PO′，GO′=OO′=PO′，
即：MO′=OO′=GO′=PO′，∴M，O，G，P四點在以O′為圓心的一個圓上，
∴∠1=∠2（同弧所對的圓周角相等），同理：∠3=∠4，
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
【答案】(1)①OG⊥AB；②AG=BG，理由見解析 (2)見解析
【分析】（1）①利用“SSS”證明△AGO≌△BGO，即可解決問題；
②利用“HL”證明Rt△AGO≌Rt△BGO，即可解決問題；
（2）證明△MGC∽△NGE，推出∠1=∠4，∠2=∠3，利用“SAS”證明△PGO≌△QGO，即可證得PG=QG．
【詳解】（1）解：①OG⊥AB；連接OA、OB，∵G為弦AB的中點，∴AG=BG，
在△AGO和△BGO中，，∴△AGO≌△BGO(SSS) ，
∴∠AGO=∠BGO=90°，即OG⊥AB；
②AG=BG，理由如下，連接OA、OB，
∵OG⊥AB，∴∠AGO=∠BGO=90°，在Rt△AGO和Rt△BGO中，，
∴Rt△AGO≌Rt△BGO(HL)，∴AG=BG；
（2）補充如下：∵，又，∴△MGC∽△NGE，∴∠1=∠4，∴∠2=∠3，
在△PGO和△QGO中，，∴△PGO≌△QGO(SAS) ，∴PG=QG．
【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，熟記各圖形的性質并準確識圖是解題的關鍵．
考向四　手拉手（旋轉）型全等模型
例1．（23-24九年級上·重慶沙坪壩·階段練習）如圖，是圓的直徑，為圓的弦，且平分，若，則的長為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了角平分線的性質、三角形全等的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、圓周角定理，作交的延長線于，作交于，由角平分線的性質可得，證明可得，證明和是等腰直角三角形，從而得出，從而得到，求出，再由，求出的長即可得解，熟練掌握角平分線的性質、三角形全等的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、圓周角定理是解此題的關鍵．
【詳解】解：如圖，作交的延長線于，作交于，則，
，
平分，，，，
四邊形是圓的內接四邊形，，
，，
在和中，，，，
是圓的直徑，，平分，，
、是等腰直角三角形，
，，，
，，，，
，故選：D．
例2．（22-23九年級下·浙江·階段練習）如圖，在圓內接四邊形中，，為直徑，若四邊形的面積是，的長是，則與之間的數關系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延長到，使，連接，先證明，得到，再證明，，最后得到．
【詳解】解：如圖，延長到，使，連接，
四邊形是圓內接四邊形，，，
在和中，，
，
，
即，，故選：C．
【點睛】本題考查圓的內接四邊形，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形．
例3．（2023·貴州遵義·三模）問題背景：如圖1，是的直徑，點，點在圓上（在直徑的異側），且為弧的中點，連接，，，，．
探究思路：如圖2，將繞點順時針旋轉得到，證明，，三點共線，從而得到為等腰直角三角形，，從而得出．
(1)請你根據探究思路，寫出完整的推理過程；問題解決：(2)若點，點在直徑的同側，如圖3所示，且點為弧的中點，連接，，，直接寫出線段的長為__________（用含有，的式子表示）；拓展探究：(3)將沿翻折得到，如圖4所示，試探究：，，之間的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)推理過程如下(2)(3)
【分析】（1）根據旋轉的性質，得，可得：，，，根據勾股定理，即可；（2）將繞點點順時針得到，根據全等三角形的判定和性質，得，得到，推出，得是等腰直角三角形，根據勾股定理，等量代換，即可．（3）將繞點點順時針得到，沿翻折得到，則，得，根據全等三角形的判定和性質，勾股定理，即可．
【詳解】（1）∵繞點順時針旋轉得到，
∴，，∴，，，
∴，∴，
∵，∴，∵，∴．
（2）繞點點順時針得到，∴，
∴，，，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，，∴，∴．
（3）∵繞點點逆時針得到，點在上，∴，
∵沿翻折得到，∴，∴，
∴，，，
∵，∴，∴，
∵是圓的直徑，∴，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴．
【點睛】本題考查圓的基本性質，全等三角形，旋轉和折疊的知識，解題的關鍵是掌握圓的基本性質，全等三角形的判定和性質，旋轉和折疊的性質，勾股定理的運用．
一、選擇題
1．（23-24九年級上·河南漯河·期末）定義：圓中有公共端點的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．如圖，和 組成圓的折弦，，是的中點，于，則下列結論一定成立的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查圓周角定理，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，在上截取，證明，推出，利用等腰三角形“三線合一”可證，等量代換可得．
【詳解】解：如圖，在上截取，連接，，，，
是的中點，，，
和都是所對的圓周角，，
在和中，，，，
又，，，故C選項正確，
現有條件不能證明選項A，B，D中的結論一定成立，故選C．
2．（2023九年級上·廣東·專題練習）如圖，在梯形中，，，，，以上一點O為圓心的圓經過A，D兩點，且，則圓心O到弦的距離為（　　）

A．5 B． C． D．
【答案】C
【分析】證明，得出，根據勾股定理求出，，過O作，垂足為F，根據是等腰直角三角形，求出，即可得出答案．
【詳解】解：∵，，∴，
在與中，，∴，∴，
根據勾股定理得，∴，過O作，垂足為F，

∵，，∴是等腰直角三角形，
∴，即O到距離為．故選：C．
【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，等腰三角形的性質，點到直線的距離，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法證明．
3．（23-24九年級上·河南新鄉·階段練習）如圖，是的直徑，點C為圓上一點， ，D是弧的中點，與交于點E．若E是的中點，則的長為（　　）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】連接交于F，由垂徑定理得，，可證，接著證明得到，計算得，然后設，則，，最后利用勾股定理計算得到的長．
【詳解】解：連接交于F，如圖，D是弧的中點，，，
是直徑，，，，
E是的中點，，，，，
∵，，∴，，，
設，則，，在中，，
，解得，負值舍去，即，故選：B．
【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等，也考查了垂徑定理．
4．（23-24九年級·廣東廣州·階段練習）如圖，圓內接四邊形，，對角線平分，過點作交的延長線于點，若．，則的面積為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在上截取，由題意可得，進一步得和為等邊三角形，由圓周角定理可得，證得，則有，得到等邊的邊長為5，即可求得面積．
【詳解】解：在上截取，如圖，
∵四邊形為的內接四邊形，∴，則，
∵平分，∴，
∵，∴，∴為等邊三角形，
∵，，∴為等邊三角形，
∴，，則，
∵，∴，∴為等邊三角形，則，
在和中∴∴，
則，即等邊的邊長為5，那么，故選：B．
【點睛】本題考查了圓內接四邊形的對角互補、圓周角定理、平行線的性質、等邊三角形的判定與性質和全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是找到輔助線，并熟練等邊三角形相關知識．
5．（23-24九年級·江蘇·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，的圓心在軸上，且經過點和點，點是第一象限圓上的任意一點，且，則的圓心的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如圖所示，連接，過點作于點，過點作于點，根據圓周角定理可得，運用直角三角形兩銳角互余，可證，由此可證，可得點的坐標，由此即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，過點作于點，過點作于點，
∵，，，∴，，
∵，∴，∴，
∵軸，軸，即，，∴，∴，
在中，，∴，∴，
∵，∴，∴，故選：．
【點睛】本題主要考查圓周角定理，全等三角形的判定和性質，掌握以上知識，構造全等三角形是解題的關鍵．
6．（22-23九年級上·安徽淮南·階段練習）如圖，點 和C、D分別在以點O為圓心的兩個同心圓上，若，，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由得，證，利用全等的性質可得結果．
【詳解】解：，，，
在和中，，，，故選：B．
【點睛】本題考查了圓的半徑相等，全等三角形的判定和性質；證明三角形全等是解題的關鍵．
二、填空題
7．（23-24九年級上·浙江杭州·期末）如圖，是圓內接三角形，點是圓上一點，連結，，與交于點，且滿足，．若，，則 ．
【答案】1
【分析】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．
由圓周角定理得，利用證明得到，再證明，利用相似三角形對應邊成比例計算即可．
【詳解】解：∵，∴，
在和中，，，，
，，，
，，，
，，或（舍去）．故答案為：1．
8．（2023·安徽·模擬預測）如圖，點在反比例函數的圖象上，以點為圓心的與兩坐標軸都相切，為軸負半軸上的一點，交軸于點，連接．
（1）點的坐標為 ；（2）若，則的長為 ．
【答案】
【分析】（1）過點分別向軸、軸作垂線，垂足分別為點，根據且，求出，即可得出答案；
（2）先證明，得出，根據，得出，求出，即可得出．
【詳解】解：（1）過點分別向軸、軸作垂線，垂足分別為點，如圖所示：
由題意，得且，∴，即點的坐標為．故答案為：．
（2）∵，∴四邊形為矩形，
∵，∴四邊形為正方形，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，，∴，，
∴，
，，
即，負值舍去．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了反比例函數的應用，切線的性質，正方形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的性質和判定．
9．（23-24九年級上·湖北武漢·期末）古代數學家阿基米德曾經提出一個定理：一個圓中一條由兩條長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點．如圖（1），弦，是的一條折弦，點是的中點，過點作于，則．根據這個定理解決問題：如圖（2），邊長為的等邊內接于，點為優弧上的一點．，則的周長是 ．
【答案】/
【分析】過點Q作于T，在上截取，連接，，先求出，得到等腰直角，利用勾股定理求得，再證明，得，從而利用等腰三角形三線合一性質得出，即可得出，則，即可由三角形周長公式求解．
【詳解】解：如圖，過點Q作于T，在上截取，連接，，
∵等邊∴，，∵∴
∵∴∴
∵∴，由題意可得：，，
在和中，，，，
，， ∴
∴∴的周長，
故答案為：．
【點睛】本題考查全等三角形判定和性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理，圓周角定理，合理添加輔助線構造全等三角形是解題關鍵．
10．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，圓的直徑為，弦為，的平分線交圓于點，則的長是 ．
【答案】
【分析】本題考查了圓周角的性質，圓心角、弧、弦的對等關系，全等三角形的判定，角平分線的性質等知識點的運用，首先作，交的延長線于點，作于點，連接，，由平分，根據角平分線的性質得出， 由證明，得出的長, 又是等腰直角三角形，從而求出的長，準確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】如圖，作，交的延長線于點，作于點，連接，，
∵平分，∴，∴，，∴，
∵，在和， ∴,
∴，同理:，∴，
∵是直徑，∴，∵， ，
∴，∴，∴ ，∴，
∵平分，∴，∵是等腰直角三角形，∴，
故答案為：．
11．（23-24九年級上·江蘇常州·期中）如圖，中，四邊形內接于圓， 是直徑，，若，則 ．

【答案】
【分析】過A點作，交的延長線與點E，證明，從而得到四邊形的面積等于的面積，然后證明出是等腰直角三角形，根據三角形的面積公式即可求出的長度．
【詳解】解：如圖，過A點作，交的延長線與點E，，
為的直徑，，，，

，，，
，，，，
在和中，，，，
，，．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了圓周角定理和全等三角形的判定與性質，關鍵在于運用轉化思想，將四邊形的面積轉化為的面積．
12．（22-23九年級上·江蘇泰州·期中）如圖，已知圓的直徑，為圓上一點（不與、重合），連接、．弦平分，交于點，過點作于點，交圓于點，連接，若，則的度數為 ．

【答案】
【分析】設交于，如圖，根據圓周角定理得到，則，再證明，，則可判斷，所以，接著證明，則根據垂徑定理得到，然后根據圓周角定理得到，最后利用互余可計算出的度數．
【詳解】解：設交于，如圖，
的直徑，，弦平分，，
，，，，

在和中，，，，
，，，，
，．故答案為：．
【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理．
13．（23-24九年級·江蘇·假期作業）如圖，E為正方形的邊上一點（不與重合），將沿直線翻折到，延長交于點G，點O是過B、E、G三點的圓劣弧上一點，則 ．
【答案】135
【分析】連接，由折疊的性質得出，，，由正方形的性質得出，，證明，證出，求出，則可得出答案．
【詳解】解：連接，
∵將沿直線翻折到，∴，
∵四邊形為正方形，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，
∵四邊形為圓內接四邊形，∴，
∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質，折疊的性質，圓內接四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．
14．（22-23九年級上·江蘇泰州·期中）如圖，在圓內接四邊形在中，弦，，連接對角線，、分別是和上的兩點，且，連接、相交于點，已知，，則的面積為 ．
【答案】
【分析】過點作，交于點，根據圓內接四邊形的對角互補，得到，推出是等邊三角形，證明，得到，推出，進而求出，利用三角形面積公式進行求解即可．
【詳解】解：過點作，交于點，
∵在圓內接四邊形在中，，∴，
∵，∴是等邊三角形，∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴；故答案為：．
【點睛】本題考查圓內接四邊形，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理．熟練掌握圓內接四邊形的內對角互補，證明三角形全等，是解題的關鍵．
三、解答題
15．（2023·廣西梧州·二模）如圖，在中，為上一點，以點為圓心，為半徑作圓，與相切于點，過點作交的延長線于點，且．
(1)求證：為的切線；(2)若，sin，求的長．
【答案】(1)見解析(2)的長為
【分析】（1）作于點，由得到，根據角平分線定理，即可得到，即可得證，（2）先根據銳角三角函數，求出、的長，由，可求、、的長，根據，即可求解，本題考查了切線的性質與判定，角平分線定理，銳角三角函數，勾股定理，解題的關鍵是：熟練掌握相關性質定理．
【詳解】（1）證明：作于點，則，
∵與相切于點，∴，∵交的延長線于點，∴，
∵，，，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴點在上，
∵是的半徑，且，∴是的切線，
（2）解：∵，，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，，
∵，∴．
16．（23-24九年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，在以點為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦切小圓于點．(1)求證；(2)若兩圓半徑分別為3和5，則_________．
【答案】(1)見解析(2)9.6
【分析】本題考查切線的性質，垂徑定理，全等三角形的判定和性質，掌握切線的性質，是解題的關鍵．（1）連接 ，根據切線的性質結合垂徑定理，得到，證明，得到，即可得證；
（2）延長交于點，連接，得到，設，得到，根據，列出方程進行求解即可．
【詳解】（1）證明：連接 ，
∵ 大圓的弦 分別切小圓于點， ∴．
∴．
∵， ∴． ∴． ∴．
（2）延長交于點，連接，
∵，∴，∵，∴，，
∵∴，∴，
設，則：，∵，
∴，解得：，∴，∴．
17．（23-24九年級上·江蘇蘇州·階段練習）如圖，在以點為圓心的兩個同心圓中，大圓的半徑，分別交小圓于點，，連接，，交點為，連接并延長，交于點，交大圓于點．(1)求證：；(2)與有怎樣的位置關系？請說明理由．
【答案】(1)見解析(2)，理由見解析
【分析】（1）根據同圓半徑相等得到為等腰三角形，即可得出結論；（2）通過證明，推出進而證明，得到，再通過證明，得到，根據等腰三角形性質即可得出．
【詳解】（1）證明：，為以點為圓心的大圓半徑，
，為等腰三角形，；
（2），為以點為圓心的大圓半徑，，為以點為圓心的小圓半徑，
，，，即，
在與中，，，
，，即，
在與中，，，，
在與中，，，，
又為等腰三角形，．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握相關性質定理是解答本題的關鍵．
18．（23-24九年級上·江蘇泰州·階段練習）已知，在扇形中，，，點P在半徑上，連接．(1)把沿翻折，點O的對稱點為點Q．①如圖1，當點Q剛好落在弧上，求弧的長；②如圖2，點Q落在扇形內部，的延長線與弧交于點C，過點Q作，垂足為H，，求的長；(2)如圖3，記扇形在直線上方的部分為圖形W，把圖形W沿著翻折，點B的對稱點為點E，弧所在的圓與的延長線交于點F，若，求的長．
【答案】(1)①；②16(2)
【分析】（1）①連接，證明為等邊三角形，得根據得，利用弧長公式即可解答；②過O作，證，即可解答；
（2）將沿著翻折得，過點Q作，垂足為點H，過點P作，垂足為點D，得四邊形是矩形，結合（1）②的結論以及折疊的性質可得，，根據勾股定理求，設，，，由，得，解方程即可
【詳解】（1）①連接，由翻折得，
，為等邊三角形，，，，
弧的長：；
②過O作，，
，，由翻折得，
在與中，，
，；
（2）如圖所示，將沿著翻折得，
過點Q作，垂足為點H，過點P作，垂足為點D，
∵，∴四邊形是矩形，由折疊和 (1) 可知，，，
，，，
在中，
設，則，，
在中，，解得：的長為．
【點睛】本題考查弧長公式，垂徑定理，勾股定理，折疊的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質等知識，熟練掌握折疊的性質以及垂徑定理，構造合理的輔助線，是解答本題關鍵．
19．（23-24九年級上·廣東湛江·期末）綜合運用：
【問題呈現】阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點M是的中點，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．下面是運用“截長法”證明的部分證明過程．
證明：如圖2，在上截取，連接和，
∵M是的中點，∴，∴（相等的弧所對的弦相等），
又∵（同弧所對的圓周角相等），∴，∴，
又∵，∴，∴，即．
(1)【理解運用】如圖1，是的兩條弦，，，點M是的中點，于點D，則的長為________；(2)【變式探究】如圖3，若點M是的中點，【問題呈現】中的其他條件不變，判斷之間存在怎樣的數量關系？并加以證明；(3)【實踐應用】根據你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：如圖4，是的直徑，點A圓上一定點，點D圓上一動點，且滿足，若，的半徑為10，求長．
【答案】(1)2(2)，理由見解析(3)的長為或．
【分析】（1）由“問題”呈現結論即可求解；（2）在上截取，連接、、、，證明可得，由等腰三角形的性質可得，可得結論；
（3）分兩種情況討論，由（1）結論可求解．
【詳解】（1）解：由題意得：，即，
，，，故答案為：2；
（2）解：，證明：在上截取，連接、、、，如圖3，

是弧的中點，，，
又，，，，
又，，，即；
（3）解：如圖4，當點在下方時，過點作于點，連接，
是圓的直徑，，
，圓的半徑為10，，，
，，，，
當點在上方時，，同理得，綜上所述：的長為或．
【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關知識，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，理解題意是解本題的關鍵．
20．（23-24九年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖1，在中，弦平分圓周角，我們將圓中以A為公共點的三條弦，，構成的圖形稱為圓中“爪形A”，弦，，稱為“爪形A”的爪．(1)如圖2，四邊形內接于，；①證明：圓中存在“爪形D”；②若，求證：．(2)如圖3，四邊形內接于圓，其中，連接．若“爪形D”的爪之間滿足，則 ．

【答案】(1)①見解析，②見解析(2)
【分析】（1）①由圓周角的性質直接證明即可；②延長至點E，使得，連接，證明，由全等三角形的性質得出，，證出是等腰直角三角形，由勾股定理及等腰直角三角形的性質可得出結論；（2）延長至點E，使得，連接，證明，由全等三角形的性質得出，，證出是等邊三角形，即可求解．
【詳解】（1）①證明：∵，，，
平分圓周角，∴圓中存在“爪形D”．
②如圖所示，延長至點E，使得，連接，

，，，
在和中，，，，，
，，，為等腰直角三角形，
由勾股定理得：，即，，．
（2）解：延長至點E，使得，連接，
，，，
在和中，，，，，
，，，是等邊三角形，
，．故答案為：．
【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，全等三角形的判定及性質，等腰直角三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
21．（23-24九年級上·湖南長沙·期中）新定義：同一個圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦．
(1)如圖1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分別為，．求證：四邊形是正方形；(2)如圖2，弦與弦交于點，，．①求證：，是⊙的等垂弦；②連接，若，，求的長度．

【答案】(1)見解析(2)①見解析；②
【分析】（1）根據垂直的定義及等垂弦定義推出四邊形是矩形，根據垂徑定理得出，即可判定矩形是正方形；（2）①連接，由圓心角、弦的關系及全等三角形的判定和性質可得，由圓周角定理可得，，可得結論；②連接并雙向延長交于點F，交于點G，根據題意得出為等腰直角三角形，再由垂直平分線的判定和性質得出，利用平行線的判定和性質及全等三角形的判定和性質即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，是的等垂弦，，，
∴，∴四邊形是矩形，∵，是的等垂弦，∴，
∵，，∴，∴矩形是正方形；
（2）①證明：連接，∵，，∴，∴，

∵，∴∴，
∵，，∴，∴，
∵，，∴、是的等垂弦．
②連接并雙向延長交于點F，交于點G，如圖所示：
由①得，，∴為等腰直角三角形，
∵，∴，，
∵，∴垂直平分，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴垂直平分，∴，
∵，∴∴，
∵，∴∴，∴．
【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，線段垂直平分線的判定和性質及勾股定理解三角形，全等三角形的判定和性質等，理解題意，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關鍵．
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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
專題04 圓的綜合問題-4.1 與全等三角形結合
圓在中考數學幾何模塊中占據著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本專題就圓與全等三角形綜合問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。
1.構造全等三角形
利用圓中的等弦，等半徑和角平分線等條件構造全等三角形，從而實現邊、角的轉化。
1）利用等弦構造全等三角形
條件：如圖1，PA、PB為⊙O的兩條弦，C為劣弧AB的中點，弦CD⊥PA于E，結論：AE=PE+PB。
2）利用等半徑構造全等三角形
條件：如圖2，AB是⊙O的直徑，CD是O的弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，結論：CE=DF。
2.圓中常見全等模型：燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋轉）模型、對角互補模型、半角模型等。
1） 燕尾型/蝴蝶型全等模型
條件：OA，OB是的半徑，OC=OD。 結論：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；
條件：OA，OE是的半徑，AD⊥OE，EB⊥OA。結論：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；
2）手拉手（旋轉）型全等模型
注意：圓中的手拉手模型一般是需要輔助線構造出來的（常用旋轉或截長補短法）。
條件：是△ABD的外接圓，且AD=BD，∠ADB=，C為圓O上一點。
結論：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；
特別地，當=60°時，CD=CA+CB； 當=90°時，CD=CA+CB；
考向一　利用等弦構造全等三角形
例1．（22-23九年級下·湖北武漢·期中）如圖，A，B，C，P是圓上的四個點，．
(1)判斷的形狀，并證明你的結論．(2)若，求的長

例2．（2023九年級上·浙江·專題練習）已知：如圖，是的直徑，點C、D為圓上兩點，且弧弧，于點F，的延長線于點E．求證：．
例3．（2023·湖北武漢·模擬預測）如圖，為圓內接四邊形的對角線，且點D為的中點；(1)如圖1，若、直接寫出與的數量關系；
(2)如圖2、若、平分，，求的長度．
例4．（23-24九年級上·陜西渭南·期末）【定義新知】
定義：有一個角是其對角一半的圓內接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角．
【初步應用】（1）如圖1，四邊形是圓美四邊形，是美角．
①的度數為________；②連接，若的半徑為5，求線段的長；
【拓展提升】（2）如圖2，已知四邊形是圓美四邊形，是美角，連接，若平分，判斷、與之間的數量關系，并說明理由．
考向二　利用等半徑構造全等三角形
例1．（23-24九年級上·山東菏澤·期中）如圖在平面直角坐標系中，的圓心在軸上，且經過點和點，點是第二象限圓上的任意一點，且，則的圓心的坐標是 ．
例2．（2023·湖北武漢·模擬預測）如圖為圓O的直徑，為圓O的弦，C為O上一點，，，垂足為D．(1)連接，判斷與的位置關系，并證明；(2)若，，求圓O的半徑；

考向三　燕尾型/蝴蝶型全等模型
例1．（2023·重慶九年級課時練習）如圖，以O為圓心的兩個圓中，大圓的半徑分別交小圓于點C，D，連結，下列選項中不一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·河南焦作·統考一模）歐幾里得，古希臘數學家，被稱為“幾何之父”，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書．他在第Ⅲ卷中提出這樣一個命題：“由已知點作直線切于已知圓”．如圖，設A是已知點，小圓O為已知圓．具體作法是：以O為圓心，為半徑作大圓O，連接交小圓O于點B，過B作，交大圓O于點C，連接，交小圓O于點D，連接，則是小圓O的切線．
為了說明這一方法的正確性，需要對其進行證明，如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出“證明”的過程．
已知：如圖，點A，C和點B，D分別在以O為圓心的同心圓上，_________．
求證：___________．
證明：
例3．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD，連結AC．
(1)△ACD為等邊三角形；(2)請證明：E是OB的中點；(3)若AB＝8，求CD的長．
例4．（2023秋·江蘇南京·九年級校聯考期末）在以為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于，兩點．(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，則的長為______．
(2)如圖②，大圓的另一條弦交小圓于，兩點，若，求證．
例5．（2022·河南平頂山·統考二模）閱讀下面的材料，完成相應的任務：
在1815年某雜志上刊登了這樣一個命題：如圖，圓O中的弦AB的中點為G，過點G任作兩弦CD，EF，弦FC，ED分別交AB于P，Q，則PG=QG．由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，故稱“蝴蝶定理”、是古代歐氏平面幾何中最精彩的結果之一．
任務：(1)如圖1，AB為⊙O的任一弦．
①若G為弦AB的中點，連接OG，則OG與AB的位置關系為______；
②若OG⊥AB，判斷AG與BG之間的數量關系，并說明理由．
(2)下面是“蝴蝶定理”的證明過程（部分），請補充完整．
證明：過O作OM⊥FC于點M，ON⊥DE于點N，
連接OP，OQ，MG，NG，OG，
由任務（1）可知：CF=2MC，ED=2NE，OG⊥AB且∠OMC=∠OGP=90°，∠ONQ=∠OGQ=90°，
∵∠F=∠D，∠C=∠E，∴△FGC∽△DGE，
即，又，取PO的中點O′，在四邊形MOGP中，
∵∠OMC=∠OGP=90°，∴MO′=OO′=PO′，GO′=OO′=PO′，
即：MO′=OO′=GO′=PO′，∴M，O，G，P四點在以O′為圓心的一個圓上，
∴∠1=∠2（同弧所對的圓周角相等），同理：∠3=∠4，
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
考向四　手拉手（旋轉）型全等模型
例1．（23-24九年級上·重慶沙坪壩·階段練習）如圖，是圓的直徑，為圓的弦，且平分，若，則的長為（ ）
A．2 B． C． D．
例2．（22-23九年級下·浙江·階段練習）如圖，在圓內接四邊形中，，為直徑，若四邊形的面積是，的長是，則與之間的數關系式是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·貴州遵義·三模）問題背景：如圖1，是的直徑，點，點在圓上（在直徑的異側），且為弧的中點，連接，，，，．
探究思路：如圖2，將繞點順時針旋轉得到，證明，，三點共線，從而得到為等腰直角三角形，，從而得出．
(1)請你根據探究思路，寫出完整的推理過程；問題解決：(2)若點，點在直徑的同側，如圖3所示，且點為弧的中點，連接，，，直接寫出線段的長為__________（用含有，的式子表示）；拓展探究：(3)將沿翻折得到，如圖4所示，試探究：，，之間的數量關系，并說明理由．
一、選擇題
1．（23-24九年級上·河南漯河·期末）定義：圓中有公共端點的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．如圖，和 組成圓的折弦，，是的中點，于，則下列結論一定成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023九年級上·廣東·專題練習）如圖，在梯形中，，，，，以上一點O為圓心的圓經過A，D兩點，且，則圓心O到弦的距離為（　　）

A．5 B． C． D．
3．（23-24九年級上·河南新鄉·階段練習）如圖，是的直徑，點C為圓上一點， ，D是弧的中點，與交于點E．若E是的中點，則的長為（　　）
A．5 B．3 C．2 D．1
4．（23-24九年級·廣東廣州·階段練習）如圖，圓內接四邊形，，對角線平分，過點作交的延長線于點，若．，則的面積為（）
A． B． C． D．
5．（23-24九年級·江蘇·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，的圓心在軸上，且經過點和點，點是第一象限圓上的任意一點，且，則的圓心的坐標是（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23九年級上·安徽淮南·階段練習）如圖，點 和C、D分別在以點O為圓心的兩個同心圓上，若，，則（　　）
A． B． C． D．
二、填空題
7．（23-24九年級上·浙江杭州·期末）如圖，是圓內接三角形，點是圓上一點，連結，，與交于點，且滿足，．若，，則 ．
8．（2023·安徽·模擬預測）如圖，點在反比例函數的圖象上，以點為圓心的與兩坐標軸都相切，為軸負半軸上的一點，交軸于點，連接．
（1）點的坐標為 ；（2）若，則的長為 ．
9．（23-24九年級上·湖北武漢·期末）古代數學家阿基米德曾經提出一個定理：一個圓中一條由兩條長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點．如圖（1），弦，是的一條折弦，點是的中點，過點作于，則．根據這個定理解決問題：如圖（2），邊長為的等邊內接于，點為優弧上的一點．，則的周長是 ．
10．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，圓的直徑為，弦為，的平分線交圓于點，則的長是 ．
11．（23-24九年級上·江蘇常州·期中）如圖，中，四邊形內接于圓， 是直徑，，若，則 ．

12．（22-23九年級上·江蘇泰州·期中）如圖，已知圓的直徑，為圓上一點（不與、重合），連接、．弦平分，交于點，過點作于點，交圓于點，連接，若，則的度數為 ．

13．（23-24九年級·江蘇·假期作業）如圖，E為正方形的邊上一點（不與重合），將沿直線翻折到，延長交于點G，點O是過B、E、G三點的圓劣弧上一點，則 ．
14．（22-23九年級上·江蘇泰州·期中）如圖，在圓內接四邊形在中，弦，，連接對角線，、分別是和上的兩點，且，連接、相交于點，已知，，則的面積為 ．
三、解答題
15．（2023·廣西梧州·二模）如圖，在中，為上一點，以點為圓心，為半徑作圓，與相切于點，過點作交的延長線于點，且．
(1)求證：為的切線；(2)若，sin，求的長．
16．（23-24九年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，在以點為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦切小圓于點．(1)求證；(2)若兩圓半徑分別為3和5，則_________．
17．（23-24九年級上·江蘇蘇州·階段練習）如圖，在以點為圓心的兩個同心圓中，大圓的半徑，分別交小圓于點，，連接，，交點為，連接并延長，交于點，交大圓于點．(1)求證：；(2)與有怎樣的位置關系？請說明理由．
18．（23-24九年級上·江蘇泰州·階段練習）已知，在扇形中，，，點P在半徑上，連接．(1)把沿翻折，點O的對稱點為點Q．①如圖1，當點Q剛好落在弧上，求弧的長；②如圖2，點Q落在扇形內部，的延長線與弧交于點C，過點Q作，垂足為H，，求的長；(2)如圖3，記扇形在直線上方的部分為圖形W，把圖形W沿著翻折，點B的對稱點為點E，弧所在的圓與的延長線交于點F，若，求的長．
19．（23-24九年級上·廣東湛江·期末）綜合運用：
【問題呈現】阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點M是的中點，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．下面是運用“截長法”證明的部分證明過程．
證明：如圖2，在上截取，連接和，
∵M是的中點，∴，∴（相等的弧所對的弦相等），
又∵（同弧所對的圓周角相等），∴，∴，
又∵，∴，∴，即．
(1)【理解運用】如圖1，是的兩條弦，，，點M是的中點，于點D，則的長為________；(2)【變式探究】如圖3，若點M是的中點，【問題呈現】中的其他條件不變，判斷之間存在怎樣的數量關系？并加以證明；(3)【實踐應用】根據你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：如圖4，是的直徑，點A圓上一定點，點D圓上一動點，且滿足，若，的半徑為10，求長．
20．（23-24九年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖1，在中，弦平分圓周角，我們將圓中以A為公共點的三條弦，，構成的圖形稱為圓中“爪形A”，弦，，稱為“爪形A”的爪．(1)如圖2，四邊形內接于，；①證明：圓中存在“爪形D”；②若，求證：．(2)如圖3，四邊形內接于圓，其中，連接．若“爪形D”的爪之間滿足，則 ．

21．（23-24九年級上·湖南長沙·期中）新定義：同一個圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦．
(1)如圖1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分別為，．求證：四邊形是正方形；(2)如圖2，弦與弦交于點，，．①求證：，是⊙的等垂弦；②連接，若，，求的長度．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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