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2024年高考數學知識精講+針對性訓練：直線和圓的方程
知識精講
直線的傾斜角與斜率
(1)傾斜角α的取值范圍：0°≤α<180°.
(2)傾斜角為α(α≠90°)的直線的斜率k＝tanα，傾斜角為90°的直線斜率不存在．
(3)
直線的方程
(1)點斜式: y－y0＝k(x－x0) (2)斜截式:y＝kx＋b
(2)兩點式: (4)截距式:
(3)一般式：
兩條直線的位置關系
斜截式 一般式
方程 l1 : y = k1x + b1 l2 : y = k2x + b2
相交 k1 k2
垂直 k1k2= 1 A1A2 + B1B2= 0
平行 k1 = k2 且b1 b2 或
平面上的距離公式
(1)任意兩點間的距離： 若 P1(x1，y1) ，P2(x2，y2) ，則
(2)點到直線的距離：點 P0(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0 的距離為
(3)兩條平行直線間的距離： 直線Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A 與 B 不同時為0 ，且 C1≠C2)間的距離
針對性訓練
一、選擇題
1．已知直線，若，則實數（　　）
A．或1 B．0或1 C．1 D．
2．傾斜角為的直線經過拋物線的焦點，與拋物線相交于兩點，其中點位于第一象限，若，則的值為（　　）
A． B． C． D．
3．直線分別與x軸、y軸交于A，B兩點，點P在圓上運動，則面積的最小值為（　　）
A．6 B．4 C．2 D．
4．數學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點）、重心（三邊中線的交點）、垂心（三邊高的交點）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點為，，，則該三角形的歐拉線方程為（　　）
A． B．
C． D．
5．原點到直線的距離的最大值為（　　）
A． B． C． D．
6．如圖，在Rt中，是直角，的內切圓與分別切于點，點是圖中陰影區域內的一點（不包含邊界）.若，則至少滿足（　　）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐標系中，，是上一動點，則直線的斜率的取值范圍為 （　　）
A． B．
C． D．
8． 圓，過點作圓的所有弦中，以最長弦和最短弦為對角線的四邊形的面積是（　　）
A． B． C． D．
二、多項選擇題
9．已知為直線上的一點，動點與兩個定點，的距離之比為2，則（　　）
A．動點的軌跡方程為
B．
C．的最小值為
D．的最大角為
10．已知圓，則下列命題是真命題的是
A．若圓關于直線對稱，則
B．存在直線與所有的圓都相切
C．當時，為圓上任意一點，則的最大值為
D．當時，直線，為直線上的動點．過點作圓的切線，，切點為，，則最小值為4
11．已知直線，則下列表述正確的是（　　）
A．當時，直線的傾斜角為
B．當實數變化時，直線恒過點
C．當直線與直線平行時，則兩條直線的距離為1
D．直線與兩坐標軸正半軸圍成的三角形面積的最小值為4
三、填空題
12．已知圓M：和點P，過點P作圓M的切線，切點分別為A，B，則三角形PAB外接圓的方程為　 　
13．月球背面指月球的背面，從地球上始終不能完全看見．某學習小組通過單光源實驗來演示月球背面．由光源點射出的兩條光線與圓分別相切于點，稱兩射線的切點上方部分與優弧上方所夾的平面區域（含邊界）為圓的“背面”．若以點為圓心，為半徑的圓處于的“背面”，當取得最大值時的值為　 　．
14．已知為正實數，設直線的斜率為，直線的斜率為，且與交于軸外一點，若，與軸圍成一個等腰三角形，則的所有可能的取值為　 　.
四、解答題
15． 已知直線：，：ax+y-a=0，且直線與垂直．
（1）求a的值：
（2）若直線l過直線與的交點P，且原點到該直線的距離為3，求直線l的方程．
16．已知經過原點的直線與圓相交于兩點.
（1）若，求的斜率；
（2）已知存在軸上的點，使直線的斜率之和恒為0，求的值.
17．已知圓．
（1）求直線被圓截得弦長；
（2）已知為圓C上一點，求與圓C外切于點A，且半徑為6的圓的方程．
18．已知曲線C是到兩個定點，的距離之比等于常數的點組成的集合．
（1）求曲線C的方程；
（2）設過點B的直線l與C交于M，N兩點；問在x軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點Q的坐標及定值；若不存在，請說明理由．
19．已知半徑為3的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線相切．
（1）求圓的方程；
（2）設直線與圓相交于A，B兩點，求實數a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數a，使得弦AB的垂直平分線l過點？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】A,C,D
10．【答案】B,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由直線與垂直，得，即，解得；
（2）解：由（1）得，直線的方程為，即，
由，得，即點P坐標為
①當直線l的斜率不存在時，其直線方程為，滿足題意；
②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，即，
因為原點到該直線的距高為3，所以，所以，
則直線l的方程為．
綜上所述，直線l的方程為或．
16．【答案】（1）解：由圓，知圓心坐標為，半徑為2，
因為，所以點到的距離為，
因為直線經過原點，且由題意易知斜率不可能為0，可設其方程為，
由點到直線的距離公式可得：，
解得
（2）解：設，聯立
，
得，
所以，，
由題意得，即，
因為，所以，即，
解得.
17．【答案】（1）解：的圓心為，半徑，
圓心到直線的距離為，
故弦長為，
（2）解：由題意可知在直線上，由于，，
所以直線方程為，
設，則，
化簡可得，解得或，
由于兩圓外切，且點為切點，所以不符合，舍去，
故，圓心為則圓的方程為
18．【答案】（1）解：設點，由題意可知，則有，整理得，故曲線C的方程為.
（2）解：
設直線l方程為，點，，
聯立，得，
所以，
因此
若，即時，，所以定值為，
當斜率不存在時，直線l為，
聯立可求得，，
所以，符合題意.
故存在定點，使得為定值-4.
19．【答案】（1）解：設圓心為，且是整數．則點到直線的距離為3．
得，所以或（舍去），
軌跡方程：
（2）解：聯立圓的方程與直線方程，，得到
因為直線與圓有兩個交點，所以，
解得.
（3）解：當時顯然不符合題意；
當時，設l的方程為，
由于直線l垂直平分弦AB，故圓心必在l上，
符合（2）的范圍，
所以.

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