資源簡介

微專題01平面向量與三角形“四心”問題
研考題·聚焦關鍵詞
題型一 三角形四心的判別
例1.(1)已知點是的內心、外心、重心、垂心之一，且滿足，則點一定是的（ ）
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】設中點為，所以，
所以，
即，所以，
又由為中點可得點在的垂直平分線上，所以點是的外心，
故選：B
(2)已知O是平面上的一個定點，A B C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【答案】C
【解析】因為為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，
則的方向與的角平分線一致，
由，可得，即，
所以點P的軌跡為的角平分線所在直線，故點P的軌跡一定經過的內心.
故選：C.
變式:（2023·河南安陽·安陽一中?？迹┰谥?，設，那么動點的軌跡必通過的（ ）
A．垂心 B．內心 C．外心 D．重心
【答案】C
【解析】設的中點是，
，
即，所以，
所以動點在線段的中垂線上，故動點的軌跡必通過的外心，
故選：C.

題型二 三角形四心的應用
例2.(1)（2023·全國·高三專題練習）記內角的對邊分別為，點是的重心，若則的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意，作出圖形，
因為點析是的重心，所以是的中點，故，
由已知得，
因為，所以，
又因為點是的重心，所以，則，
又因為，所以，則，
又由余弦定理得，所以，整理得，
因為，令，則，
所以，
則.
故選：D.
.
(2)（2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，，O為△ABC的內心，若，則x＋y的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，根據三點共線可得，結合圖像分析運算．
【詳解】如圖：圓O在邊上的切點分別為，連接，延長交于點
設，則，則
設
∵三點共線，則，即
即
故選：D．
變式:（2022秋·安徽黃山·高三第一次質量檢測試題改編）在中,,O是的外心,則的最大值為_____________
【答案】3
【解析】:由題知,記的三邊為,
因為O是的外心,
記中點為,
則有,
所以
且,
所以
①,
在中,由余弦定理得:
,
即,即,
代入①中可得:,
在中,由正弦定理得:,
所以,
所以,
當時取等,
故的最大值為3.
故答案為:3
鞏固能力·突破高分
1.（2024屆湖南省高三九校聯盟第一次聯考）在中，點滿足為重心，設，則可表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】.
.
故選：C
2.已知為的外心，若且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】過點作于，過點作于，
過點作交的延長線于，交的延長線于，
因為則，從而有,
而三角形的外接圓的半徑為，所以,
且，所以，所以,
所以,故，由于，因此.
故選：D
3.（2023·全國·高三校考）已知H為的垂心，，，M為邊BC的中點，則（ ）
A．20 B．10 C． D．
【答案】B
【解析】由題意，，，
．
故選：B．
4.（2023春·廣東佛山·高三佛山市第一中學4月統考）在中，設，那么動點的軌跡必通過的（ ）
A．垂心 B．內心 C．重心 D．外心
【答案】D
【解析】設線段的中點為，
則、互為相反向量，所以，
因為，即，
所以，，即，
即，即，所以，垂直且平分線段，
因此動點的軌跡是的垂直平分線，必通過的外心.
故選：D.
5.（2023·全國·高三專題練習）圓為銳角的外接圓，，點在圓上，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由為銳角三角形，則外接圓圓心在三角形內部，如下圖示，
又，而，若外接圓半徑為r，
則，故，且，即，
由，
對于且在圓上，當為直徑時，當重合時，
所以，
綜上，，
銳角三角形中，則，即恒成立，
所以，則恒成立，
綜上，.
故選: C
6.（2023春·江蘇南京·高三南京師范大學附屬中學江寧分校?？迹?多選)設點是的外心，且，下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若是正三角形，則
D．若，，，則四邊形的面積是
【答案】ACD
【解析】對選項A：因為，則，，三點共線，且點是的外心，
所以，所以為中點，所以是以為直角頂點的直角三角形，故A對；
對選項B：因為，則，，三點共線，
易知是以為直角頂點的直角三角形，且為的中點，則，，故B錯；
對選項C：因為是正三角形，故，則，故C對；
對選項D：因為，故在外，又，
所以，又，，則，故D對.
故選:：ACD.
7.（2023·全國·高三專題練習）已知中，，，，為的外心，若，則的值為____________.
【答案】
【解析】由題意可知，為的外心，
設半徑為r，在圓O中，過O作，垂足分別為,
因為 ，兩邊乘以，即，
的夾角為，而，
則 ，得①，
同理兩邊乘 ，即，，
則 得②，
①②聯立解得，，
所以，
故答案為：
8.（2023·全國·高三?？几木帲┑耐庑臐M足，，則的面積為____________.
【答案】
【解析】設的中點為，則可化為
即為， 三點共線且，為等腰三角形，
由垂徑定理得，代入數據得,
解之：，.
故答案為：
9.（2023·全國·高三專題練習）如圖，圓為的外接圓，，，為邊的中點，則______.
【答案】
【解析】是BC中點，
，
M為的外接圓的圓心，即三角形三邊中垂線交點，
，
同理可得，
.
故答案為：.
10.（2023·湖北·高三校考）在中，，，，且，若為的內心，則 ．
【答案】
【解析】因為，所以，因為，所以，
所以，又，，所以，所以，
由余弦定理可得，又，
所以，又，所以，所以為以為斜邊的直角三角形，
設的內切圓與邊相切于點，內切圓的半徑為，
由直角三角形的內切圓的性質可得，故，
因為，所以，因為，所以，所以
所以.
故答案為：.微專題01平面向量與三角形“四心”問題
研考題·聚焦關鍵詞
題型一 三角形四心的判別
例1.(1)已知點是的內心、外心、重心、垂心之一，且滿足，則點一定是的（ ）
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
(2)已知O是平面上的一個定點，A B C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
變式:（2023·河南安陽·安陽一中?？迹┰谥?，設，那么動點的軌跡必通過的（ ）
A．垂心 B．內心 C．外心 D．重心
題型二 三角形四心的應用
例2.(1)（2023·全國·高三專題練習）記內角的對邊分別為，點是的重心，若則的取值是（ ）
A． B． C． D．
(2)（2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，，O為△ABC的內心，若，則x＋y的最大值為（ ）
A． B． C． D．
變式:（2022秋·安徽黃山·高三第一次質量檢測試題改編）在中,,O是的外心,則的最大值為_____________
鞏固能力·突破高分
1.（2024屆湖南省高三九校聯盟第一次聯考）在中，點滿足為重心，設，則可表示為（ ）
A. B.
C. D.
2.已知為的外心，若且，則（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·全國·高三?？迹┮阎狧為的垂心，，，M為邊BC的中點，則（ ）
A．20 B．10 C． D．
4.（2023春·廣東佛山·高三佛山市第一中學4月統考）在中，設，那么動點的軌跡必通過的（ ）
A．垂心 B．內心 C．重心 D．外心
5.（2023·全國·高三專題練習）圓為銳角的外接圓，，點在圓上，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6.（2023春·江蘇南京·高三南京師范大學附屬中學江寧分校?？迹?多選)設點是的外心，且，下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若是正三角形，則
D．若，，，則四邊形的面積是
7.（2023·全國·高三專題練習）已知中，，，，為的外心，若，則的值為____________.
8.（2023·全國·高三?？几木帲┑耐庑臐M足，，則的面積為____________.
9.（2023·全國·高三專題練習）如圖，圓為的外接圓，，，為邊的中點，則______.
10.（2023·湖北·高三校考）在中，，，，且，若為的內心，則 ．

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