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微專題02解三角形最值、范圍與圖形題型歸類
研考題·聚焦關鍵詞
題型一 與三角形中特數線段有關的最值、范圍問題
例1.（2023秋·江蘇鹽城·高三聯盟五校第一次聯考改編）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則角B=___________；若，D為AC的中點，求線段BD長度的取值范圍為___________．
【答案】
【解析】因為
所以，
則，
即，
所以，
又，則，
所以，即，
由，得，
所以，
所以；
因為，
所以，
因為D為AC的中點，
所以，
則，
因為，
所以，
，
則
，
因為，所以，
所以，
則，所以，
所以
故答案為：
變式:（2023上·河北保定·高三校聯考開學考試）在中，角，，的對邊分別為，，，若.
(1)求角的大小；
(2)若為上一點，，，求的最小值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）依題意，，
由正弦定理得，
，所以，
所以是鈍角，所以.
（2），
，所以，
即，
所以，
當且僅當時等號成立.
題型二 與三角形周長、面積有關的最值問題、范圍問題
例2.（2023·全國·河南省實驗中學校考模擬預測）已知三角形中，，角的平分線交于點，若，則三角形面積的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】在中，在中，
故，，
因為，故，
又角的平分線交于點，則，故.
故.
以為坐標原點建立如圖平面直角坐標系，則因為，，
故，，設，則，
即，故，
化簡可得，即，故點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓（除去）.
故當縱坐標最大，即時面積取最大值為.

故選：C
變式:（2023上·湖北武漢·高三華中師大一附中校考期中）記的內角的對邊分別為，已知.
(1)求A的值；
(2)若的平分線與交于點，求面積的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因為，由正弦定理可得，
則，
，
即，
可得，
因為，則，則，
整理得，
又因為，則，
可得，所以.
（2）因為平分且，所以，
由，可得，
整理得，則，當且僅當時，等號成立，
故面積的最小值為．
例3.（2023·河北邯鄲·統考二模）已知條件：①；②；③.
從三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.
問題：在中，角，，所對的邊分別為，，，滿足：___________.
(1)求角的大小；
(2)若，與的平分線交于點，求周長的最大值.
注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分
【答案】(1)條件選擇見解析，；(2).
【解析】（1）選擇條件①，，
在中，由余弦定理得，
整理得，則，又，
所以.
選擇條件②，，
于是，
在中，由正弦定理得，，
因為，則，即，
因為，因此，即，又，
所以.
選擇條件③，，
在中，因為，即，
則，又，即有，則，
所以.
（2）由（1）知，，有，
而與的平分線交于點，即有，于是，
設，則，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，，
所以的周長為
，由，得，
則當，即時，的周長取得最大值，
所以周長的最大值為.
題型三 組合圖形中線段、周長、面積有關的最值、范圍問題
例4.（湖北省黃岡市部分普通高中2024屆高三上學期階段性教學質量監測數學試題）已知的內角，，所對的邊分別為，，，且．
（1）求角的大小；
（2），，點為線段的中點，點、分別在線段和上，滿足，求面積的最小值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因為，
所以，
即，
由正弦定理，可得，
因為，可得且，
所以，則，所以，
因為，所以，
則.
（2）設
在中，，
在中，，
由得，
，
令，
其中，
所以當即時，，
所以.
變式:（廣東省2024屆普通高中畢業班第二次調研考試數學試題）如圖，在平面內，四邊形的對角線交點位于四邊形內部，，，為正三角形，設.
（1）求的取值范圍；
（2）當變化時，求四邊形面積的最大值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因為四邊形的對角線交點位于四邊形內部，
所以，又因為為正三角形，，所以.
在中，由余弦定理得，
又因，
將，代入并整理得且，解得，
所以的取值范圍是；
（2）在中，由余弦定理可得，，
由（1）知，所以，
又因為為正三角形，所以，
又，
所以
，
所以當，即時，且成立，
四邊形的面積取得最大值，最大值為.
例5.（2023·重慶·統考模擬預測）如圖所示，已知圓是的外接圓，圓的直徑.設，，，在下面給出條件中選一個條件解答后面的問題，
①；
②；
③的面積為.選擇條件______.
(1)求的值；
(2)求的周長的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若選①，因為，
由正弦定理可得，
顯然，所以，
即，所以，所以，又，所以，
因為外接圓的半徑，所以.
若選②，因為，
所以，
即，
所以，
所以，所以，又，所以，
因為外接圓的半徑，所以.
若選③，的面積為，則，
由余弦定理可得，所以，所以，又，所以，
因為外接圓的半徑，所以.
（2）由題知，設，，
由正弦定理，
所以，，
所以
，
因為，所以，所以，
所以
鞏固能力·突破高分
1.（2023·陜西寶雞·統考二模）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為是銳角三角形，所以，，所以，，
由正弦定理得，所以．
故選：C．
2.（2023·湖南益陽·統考模擬預測改編）中，角 的對邊分別為，從下列三個條件中任選一個作為已知條件，并解答問題.①；②；③的面積為.
則的取值范圍為_______________.
【答案】
【解析】選擇①由正弦定理可得，，
因為，所以 ，即，
因為，所以，所以，
所以，即；
選擇②，則，
由正弦定理得 ，
因為，所以 ，即，
因為，所以，所以，即；
選擇③由，
可得 ，即，
所以，由于，故.
因為，所以，
所以，
所以，
即的取值范圍為
故答案為：
3.（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預測）的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，點O為的內心，記△OBC，的面積分別為，，，已知，,若為銳角三角形，則 AC的取值范圍為_______________.；
【答案】
【解析】設的內切圓半徑為r，因為，
所以，化簡得：，
所以，因為，所以，所以，
因為，所以，
因為為銳角三角形，
所以，，解得：，
所以，所以AC的取值范圍為．
故答案為：
4.（2023秋·江蘇蘇州常熟·高三常熟中學第一次月考改編）已知的內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且，若為銳角三角形，，則周長的取值范圍為___________．
【答案】
【解析】，
由正弦定理得，
中，，所以，得，即，
∵，則， ∴，∴.
為銳角三角形，，，
由正弦定理得，
∴，，，
周長
，
∵為銳角三角形， ∴，
∴， ∴， ∴，
∴，即周長的取值范圍為.
故答案為：
5.（安徽省“皖江名校聯盟”2024屆高三上學期12月月考數學試題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足.
（1）求；
（2）若角的平分線交于點，且，求面積的最小值.
【答案】（1） （2）.
【解析】（1）由已知和正弦定理可得：，
所以.
又因為，，所以或者.
當時，，；
當時，與題設不符.
綜上所述，.
（2）面積，
由是角平分線，，
因為，得，
即，由基本不等式，，
當且僅當時等號成立.
所以面積.
故面積的最小值.
6.(江蘇省揚州市儀征中學、江都中學2024屆高三12月聯考數學試題)在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若D是BC邊上一點，AD是的平分線，且，，求的面積.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因為，
由二倍角公式和誘導公式可得，
整理得，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）如圖所示，， D是BC邊上一點，AD是的平分線，且，，
由于，則，
得，又，所以，
解得或（舍去），
所以.
7.(江蘇省常州市華羅庚中學2024屆高三上學期12月階段檢測數學試題)記銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1），
由余弦定理得，因故，
因為是銳角三角形，所以．
（2）由正弦定理知，得，故．
由余弦定理得，
故，
當，，時，是銳角三角形，所以的最小值是．
8.（山東省實驗中學2024屆學年高三第二次診斷考試數學試題）如圖，在中，，，，點在邊的延長線上.
（1）求的面積；
（2）若，為線段上靠近的三等分點，求的長.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）中，，
因為，，
所以
因為
，
所以.
（2）方法1：因為為線段上靠近的三等分點，
所以,
所以,
所以
，
則.
方法2：在中，由余弦定理得
，
因為為線段上靠近的三等分點，
所以，
因為，
所以，
因為為銳角，
所以，
在中，由余弦定理得，
，
所以.
9.（安徽師范大學附屬中學2023屆高三上學期1月月考數學試題）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由，
則根據正弦定理有，即，
又由余弦定理有，得，
所以在中，得；
（2）由為銳角三角形，且，
則有，得，即，即，
所以根據正弦定理有．微專題02解三角形最值、范圍與圖形題型歸類
研考題·聚焦關鍵詞
題型一 與三角形中特數線段有關的最值、范圍問題
例1.（2023秋·江蘇鹽城·高三聯盟五校第一次聯考改編）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則角B=___________；若，D為AC的中點，求線段BD長度的取值范圍為___________．
變式:（2023上·河北保定·高三校聯考開學考試）在中，角，，的對邊分別為，，，若.
(1)求角的大小；
(2)若為上一點，，，求的最小值.
題型二 與三角形周長、面積有關的最值問題、范圍問題
例2.（2023·全國·河南省實驗中學校考模擬預測）已知三角形中，，角的平分線交于點，若，則三角形面積的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式:（2023上·湖北武漢·高三華中師大一附中校考期中）記的內角的對邊分別為，已知.
(1)求A的值；
(2)若的平分線與交于點，求面積的最小值.
例3.（2023·河北邯鄲·統考二模）已知條件：①；②；③.
從三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.
問題：在中，角，，所對的邊分別為，，，滿足：___________.
(1)求角的大小；
(2)若，與的平分線交于點，求周長的最大值.
注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分
題型三 組合圖形中線段、周長、面積有關的最值、范圍問題
例4.（湖北省黃岡市部分普通高中2024屆高三上學期階段性教學質量監測數學試題）已知的內角，，所對的邊分別為，，，且．
（1）求角的大小；
（2），，點為線段的中點，點、分別在線段和上，滿足，求面積的最小值．
變式:（廣東省2024屆普通高中畢業班第二次調研考試數學試題）如圖，在平面內，四邊形的對角線交點位于四邊形內部，，，為正三角形，設.
（1）求的取值范圍；
（2）當變化時，求四邊形面積的最大值.
例5.（2023·重慶·統考模擬預測）如圖所示，已知圓是的外接圓，圓的直徑.設，，，在下面給出條件中選一個條件解答后面的問題，
①；
②；
③的面積為.選擇條件______.
(1)求的值；
(2)求的周長的取值范圍.
鞏固能力·突破高分
1.（2023·陜西寶雞·統考二模）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
2.（2023·湖南益陽·統考模擬預測改編）中，角 的對邊分別為，從下列三個條件中任選一個作為已知條件，并解答問題.①；②；③的面積為.
則的取值范圍為_______________.
3.（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預測）的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，點O為的內心，記△OBC，的面積分別為，，，已知，,若為銳角三角形，則 AC的取值范圍為_______________.；
4.（2023秋·江蘇蘇州常熟·高三常熟中學第一次月考改編）已知的內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且，若為銳角三角形，，則周長的取值范圍為___________．
5.（安徽省“皖江名校聯盟”2024屆高三上學期12月月考數學試題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足.
（1）求；
（2）若角的平分線交于點，且，求面積的最小值.
6.(江蘇省揚州市儀征中學、江都中學2024屆高三12月聯考數學試題)在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若D是BC邊上一點，AD是的平分線，且，，求的面積.
7.(江蘇省常州市華羅庚中學2024屆高三上學期12月階段檢測數學試題)記銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，求的最小值．
8.（山東省實驗中學2024屆學年高三第二次診斷考試數學試題）如圖，在中，，，，點在邊的延長線上.
（1）求的面積；
（2）若，為線段上靠近的三等分點，求的長.
9.（安徽師范大學附屬中學2023屆高三上學期1月月考數學試題）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．

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