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微專題03 數列中的增項和減項問題
研考題·聚焦關鍵詞
題型一 數列的增項問題
例1.（2023·江蘇南通·二模）已知正項數列的前n項和為，且 ，， ．
(1)求；
(2)在數列的每相鄰兩項之間依次插入，得到數列 ，求的前100項和.
【答案】(1)，(2)186
【解析】（1）因為，當時，
，
因為，所以，故．
當時，適合上式，
所以，.
（2）（方法1）因為，，
所以當時，．
所以
所以數列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，
設，則，
因為，所以.
所以的前100項是由14個1與86個2組成．
所以.
（方法2）設，則，
因為，所以.
根據數列的定義，知
.
變式:(2022·汕頭三模）已知各項均為正數的數列中，且滿足，數列的前n項和為，滿足．
（1）求數列，的通項公式；
（2）若在與之間依次插入數列中的k項構成新數列：，，，，，，，，，，……，求數列中前50項的和．
【答案】（1）， （2）11522
【解析】（1）由
得：
∵
是首項，公差為2的等差數列
∴
又當時，得
當，由…①
…②
由①－②整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴數列是首項為1，公比為3等比數列，故；
（2）依題意知：新數列中，（含）前面共有：項．
由，（）得：，
∴新數列中含有數列的前9項：，，……，，含有數列的前41項：，，，……，；
∴．
題型二 數列的減項問題
例2.（2023·河北衡水·河北衡水中學校考模擬預測）已知是首項為1的等差數列，公差是首項為2的等比數列，．
(1)求的通項公式；
(2)若數列的第項，滿足__________（在①②中任選一個條件），，則將其去掉，數列剩余的各項按原順序組成一個新的數列，求的前20項和．
①②．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）設的公差為的公比為，
因為，所以，
聯立消得，解得或與矛盾，
故，代回計算得，
所以
（2）若選①，則有，
所以剩余的項就是原數列的奇數項，
相當于剩余的項以2為首項，4為公比的等比數列，
所以；
若選②，則有，
因為，
所以當時，對應的為整數，滿足，
當時，對應的不為整數，不滿足，
所以剩余的項就是原數列的奇數項，
相當于剩余的項以2為首項，4為公比的等比數列，
所以；
變式:（江蘇省南通市2023屆高三高考前練習）已知數列是公差為3的等差數列，數列是公比為2的等比數列，且滿足． 將數列與的公共項按照由小到大的順序排列，構成新數列．
(1)證明：
(2)求數列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】（1）由，得，
由，得，
解得，
因為數列{}的公差為3，數列{}的公比為2，
所以
不是數列{}的項，是數列{}的第1項．
設，則
所以不是數列{}的項．
因為，
所以是數列{}的項．
所以
（2）由（1）可知，．
=
所以
所以．
鞏固能力·突破高分
1.（2023·江蘇常州·統考模擬預測）已知數列滿足，在之間插入n個1，構成數列：，則數列的前100項的和為（ ）
A．178 B．191 C．206 D．216
【答案】A
【解析】數列滿足，在，之間插入個1，構成數列，1，，1，1，，1，1，1，，，
所以共有個數，
當時，，
當時，，
由于，
所以．
故選：A．
2.（2022·江蘇鎮江·揚中市第二高級中學校考模擬預測）我國古代數學名著《孫子算經》載有一道數學問題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩二，七七數之剩二，問物幾何 ”根據這一數學思想，所有被3除余2的整數從小到大組成數列，所有被5除余2的正整數從小到大組成數列，把數與的公共項從小到大得到數列，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據題意數列是首項為2，公差為3的等差數列， ，
數列是首項為2，公差為5的等差數列，，
數列與的公共項從小到大得到數列，故數列是首項為2，公差為15的等差數列，，
對于A， ， ，錯誤；
對于B， ，，錯誤；
對于C， ，，正確；
對于D， ，，錯誤.
故選：C.
（2022·山東日照·高三期末改編）數列中，已知，數列{bn}滿足，點在直線上,若數列中滿足：①；②存在使的項組成新數列{cn}，則數列cn=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，
①，，，滿足①，
所以是以1為首項2為公比的等比數列，
所以.
因為點在直線上，
所以，，是首項為1公差為3的等差數列，所以.
且滿足的中項一定是除3余1的數，即形如的數，
同時滿足，所以，，，，
cn=
故選：B.
4.（2022·廣東東莞·高三期末改編）設等差數列的前項和為，且，.
則數列的通項公式為___________；在任意相鄰兩項和之間插入個1，使它們和原數列的項構成一個新的數列，則數列的前200項的和為_______________.
【答案】；
【解析】設等差數列的公差為，
由題得，即，
整理得，
解得.
所以.
由題意可知，的各項為
即，
因為，
且，
所以，，，，，，會出現在數列的前200項中，
所以前面（包括）共有126+7=133項，所以后面（不包括）還有67個1，
所以，
故答案為：；
5.(2022·青島期初考試)已知等差數列{An}的首項A1為4，公差為6，在{An}中每相鄰兩項之間都插入兩個數，使它們和原數列的項一起構成一個新的等差數列{an}，則數列{an}的通項公式為___________；若，，…，，…是從{an}中抽取的部分項按原來的順序排列組成的一個等比數列，，令，則數列{bn}的前n項和Tn=_______________．
【答案】2n＋2；
【解析】設數列{an}的公差為d，
由題意可知，＝A2＝4＋6＝10，
所以，
解得d＝2，
所以＝2n＋2；
設等比數列，，…，，…的公比為q，
則q＝＝＝＝3，所以＝，
又＝，
所以，
，
因為，
所以4×31，
相減得：
故答案為：2n＋2；
6.（2023春·江蘇南通·高三校考開學考試）“0，1數列”是每一項均為0或1的數列，在通信技術中應用廣泛.設是一個“0，1數列”，定義數列：數列中每個0都變為“1，0，1”，中每個1都變為“0，1，0”，所得到的新數列.例如數列：1，0，則數列：0，1，0，1，0，1.已知數列：1，0，1，0，1，記數列，，2，3，…，則數列的所有項之和為______.
【答案】
【解析】依題意，可知經過一次變換，每個1變成3項，其中2個0，1個1；每個0變成3項，其中2個1，1個0，
因為數列：1，0，1，0，1，共有5項，3個1，2個0，
所以有項，3個1變為6個0，3個1；2個0變為4個1，2個0；故數列中有7個1，8個0；
有項，7個1變為14個0，7個1；8個0變為16個1，8個0；故數列中有23個1，22個0；
有項，23個1變為46個0，23個1；22個0變為44個1，22個0；故數列中有67個1，68個0；
所以數列的所有項之和為.
故答案為：67
7.（2022·山東煙臺·一模）己知等差數列的前n項和為，，．
(1)求的通項公式；
(2)保持數列中各項先后順序不變，在與之間插入個1，使它們和原數列的項構成一個新的數列，記的前n項和為，求的值．
【答案】（1）；（2）142
【解析】 (1)設的公差為d，由已知，．
解得，d＝2．所以；
(2)因為與之間插入個1，
所以在中對應的項數為
，
當k＝6時，，當k＝7時，，
所以，，且．
因此
.
8.（2022·永州三模）已知各項均為正數的數列滿足，，其中是數列的前項和.
（1）求數列的通項公式；
（2）在和中插入個相同的數構成一個新數列：．求的前90項和．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）當時，，當時，遞推得，
∴，，因為數列各項均為正數，所以，又∵ ，
∴數列為等差數列，故.
（2）在數列中，在之前的所有項數為
故時，當時，數列中，之前的所有項數恰好為90
∴
令，則
∴
∴,
∴.
9.（2020屆陜西省西安中學高三第一次模擬）已知數列的前n項和為，且n、、成等差數列，.
（1）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（2）若數列中去掉數列的項后余下的項按原順序組成數列，求的值.
【答案】（1）證明見解析，；（2）11202.
【解析】（1）證明：因為n，，成等差數列，所以，①
所以.②
①－②，得，所以.
又當時，，所以，所以，
故數列是首項為2，公比為2的等比數列，
所以，即.
（2）根據（1）求解知，，，所以，
所以數列是以1為首項，2為公差的等差數列.
又因為，，，，，，，，
，，，
所以
.
10.已知是遞增的等差數列，，，，分別為等比數列的前三項.
（1）求數列和的通項公式；
（2）刪去數列中的第項（其中 ），將剩余的項按從小到大的順序排成新數列，求數列的前n項和.
【答案】（1）， （2）
【解析】（1）設數列的公差為，數列的公比為q，
由已知得，解得， ，所以；
所以，，所以.
（2）由題意可知新數列為：，，，，…，
則當n為偶數時
，
則當n為奇數時,
，
綜上：微專題03 數列中的增項和減項問題
研考題·聚焦關鍵詞
題型一 數列的增項問題
例1.（2023·江蘇南通·二模）已知正項數列的前n項和為，且 ，， ．
(1)求；
(2)在數列的每相鄰兩項之間依次插入，得到數列 ，求的前100項和.
變式:(2022·汕頭三模）已知各項均為正數的數列中，且滿足，數列的前n項和為，滿足．
（1）求數列，的通項公式；
（2）若在與之間依次插入數列中的k項構成新數列：，，，，，，，，，，……，求數列中前50項的和．
題型二 數列的減項問題
例2.（2023·河北衡水·河北衡水中學校考模擬預測）已知是首項為1的等差數列，公差是首項為2的等比數列，．
(1)求的通項公式；
(2)若數列的第項，滿足__________（在①②中任選一個條件），，則將其去掉，數列剩余的各項按原順序組成一個新的數列，求的前20項和．
①②．
變式:（江蘇省南通市2023屆高三高考前練習）已知數列是公差為3的等差數列，數列是公比為2的等比數列，且滿足． 將數列與的公共項按照由小到大的順序排列，構成新數列．
(1)證明：
(2)求數列的前n項和．
鞏固能力·突破高分
1.（2023·江蘇常州·統考模擬預測）已知數列滿足，在之間插入n個1，構成數列：，則數列的前100項的和為（ ）
A．178 B．191 C．206 D．216
2.（2022·江蘇鎮江·揚中市第二高級中學校考模擬預測）我國古代數學名著《孫子算經》載有一道數學問題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩二，七七數之剩二，問物幾何 ”根據這一數學思想，所有被3除余2的整數從小到大組成數列，所有被5除余2的正整數從小到大組成數列，把數與的公共項從小到大得到數列，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
（2022·山東日照·高三期末改編）數列中，已知，數列{bn}滿足，點在直線上,若數列中滿足：①；②存在使的項組成新數列{cn}，則數列cn=（ ）
A． B． C． D．
4.（2022·廣東東莞·高三期末改編）設等差數列的前項和為，且，.
則數列的通項公式為___________；在任意相鄰兩項和之間插入個1，使它們和原數列的項構成一個新的數列，則數列的前200項的和為_______________.
5.(2022·青島期初考試)已知等差數列{An}的首項A1為4，公差為6，在{An}中每相鄰兩項之間都插入兩個數，使它們和原數列的項一起構成一個新的等差數列{an}，則數列{an}的通項公式為___________；若，，…，，…是從{an}中抽取的部分項按原來的順序排列組成的一個等比數列，，令，則數列{bn}的前n項和Tn=_______________．
6.（2023春·江蘇南通·高三校考開學考試）“0，1數列”是每一項均為0或1的數列，在通信技術中應用廣泛.設是一個“0，1數列”，定義數列：數列中每個0都變為“1，0，1”，中每個1都變為“0，1，0”，所得到的新數列.例如數列：1，0，則數列：0，1，0，1，0，1.已知數列：1，0，1，0，1，記數列，，2，3，…，則數列的所有項之和為______.
7.（2022·山東煙臺·一模）己知等差數列的前n項和為，，．
(1)求的通項公式；
(2)保持數列中各項先后順序不變，在與之間插入個1，使它們和原數列的項構成一個新的數列，記的前n項和為，求的值．
8.（2022·永州三模）已知各項均為正數的數列滿足，，其中是數列的前項和.
（1）求數列的通項公式；
（2）在和中插入個相同的數構成一個新數列：．求的前90項和．
9.（2020屆陜西省西安中學高三第一次模擬）已知數列的前n項和為，且n、、成等差數列，.
（1）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（2）若數列中去掉數列的項后余下的項按原順序組成數列，求的值.
10.已知是遞增的等差數列，，，，分別為等比數列的前三項.
（1）求數列和的通項公式；
（2）刪去數列中的第項（其中 ），將剩余的項按從小到大的順序排成新數列，求數列的前n項和.

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