資源簡介

微專題04體育比賽與闖關問題
研考題·聚焦關鍵詞
題型一 n局m勝制
例1.(江蘇省連云港市2023屆高三下學期2月調研)為了豐富在校學生的課余生活，某校舉辦了一次趣味運動會活動，學校設置項目A“毛毛蟲旱地龍舟”和項目B“袋鼠接力跳”．甲、乙兩班每班分成兩組，每組參加一個項目，進行班級對抗賽．每一個比賽項目均采取五局三勝制（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結束），假設在項目A中甲班每一局獲勝的概率為，在項目B中甲班每一局獲勝的概率為，且每一局之間沒有影響．
(1)求甲班在項目A中獲勝的概率；
(2)設甲班獲勝的項目個數為X，求X的分布列及數學期望．
【答案】(1)；(2)分布列見解析，
【解析】（1）記“甲班在項目A中獲勝”為事件A，
則，
所以甲班在項目A中獲勝的概率為
（2）記“甲班在項目B中獲勝”為事件B，
則，
X的可能取值為0，1，2，
則，
，
．
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
．
所以甲班獲勝的項目個數的數學期望為
變式:甲、乙兩所學校之間進行排球比賽，采用五局三勝制(先贏3局的學校獲勝，比賽結束)，約定比賽規則如下:先進行男生排球比賽，共比賽兩局，后進行女生排球比賽，直到分出勝負．按照以往比賽經驗，在男生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為，在女生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為，每局比賽結果相互獨立．
（1）求甲校以3:1獲勝的概率；
（2）記比賽結束時女生比賽的局數為，求的分布列及期望．
【答案】（1） （2）分布列見解析，
【解析】（1）甲校以獲勝的情況有：
①前兩局男排比賽中甲全勝，第三局比賽中甲負，第四局比賽甲勝，概率為：
，
②前兩局男排比賽中甲1勝1負，第三局比賽中甲勝，第四局比賽甲勝，概率為：
，
甲校以獲勝的概率為：；
（2）記比賽結束時女生比賽的局數為，則的可能取值為1，2，3，
，
，
，
的概率分布為：
1 2 3
所以.
題型二 連勝制
例2.(2023年新課標全國Ⅰ卷·第21題)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0．6，乙每次投籃的命中率均為0．8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0．5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次(即從第1次到第次投籃)中甲投籃的次數為，求．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
所以，
．
(2)設，依題可知，，則
，
即，
構造等比數列，
設，解得，則，
又，所以是首項為，公比為的等比數列，
即．
(3)因為，，
所以當時，，
故．
變式:（江蘇省常州市前黃高級中學2023屆高三下學期二模)2022年12月初某省青少年乒乓球培訓基地舉行了混雙選拔賽，其決賽在韓菲/陳宇和黃政/孫藝兩對組合間進行，每場比賽均能分出勝負．已知本次比賽的贊助商提供了10000元獎金，并規定：①若其中一對贏的場數先達到4場，則比賽終止，同時這對組合獲得全部獎金；②若比賽意外終止時無組合先贏4場，則按照比賽繼續進行各自贏得全部獎金的概率之比給兩對組合分配獎金．已知每場比賽韓菲/陳宇組合贏的概率為，黃政/孫藝贏的概率為，且每場比賽相互獨立．
(1)若在已進行的5場比賽中韓菲/陳宇組合贏3場、黃政/孫藝組合贏2場，求比賽繼續進行且韓菲/陳宇組合贏得全部獎金的概率；
(2)若比賽進行了5場時終止（含自然終止與意外終止），則這5場比賽中兩對組合之間的比賽結果共有多少不同的情況？
(3)若比賽進行了5場時終止（含自然終止與意外終止），設，若贊助商按規定頒發獎金，求韓菲/陳宇組合獲得獎金數X的分布列．
【答案】(1)；(2)28；(3)分布列見詳解
【解析】（1）“比賽繼續進行且韓菲/陳宇組合贏得全部獎金”的對立事件為“黃政/孫藝組合再連贏2場”，
故比賽繼續進行且韓菲/陳宇組合贏得全部獎金的概率.
（2）設5場比賽中韓菲/陳宇組合贏場、黃政/孫藝組合贏場，用表示比賽結果，
若比賽進行了5場時終止（含自然終止與意外終止），則有：，
故共有種不同的情況.
（3）若韓菲/陳宇組合贏1場、黃政/孫藝組合贏4場，則韓菲/陳宇組合獲得獎金數為0元；
若韓菲/陳宇組合贏2場、黃政/孫藝組合贏3場，則韓菲/陳宇組合需再連贏2場，其概率為，故韓菲/陳宇組合獲得獎金數為元；
若韓菲/陳宇組合贏3場、黃政/孫藝組合贏2場，則韓菲/陳宇組合需再贏1場，其概率為，故韓菲/陳宇組合獲得獎金數為元；
若韓菲/陳宇組合贏4場、黃政/孫藝組合贏1場，則韓菲/陳宇組合獲得獎金數為10000元；
即獎金數X的可能取值有，則有
，
故獎金數X的分布列為：
0 2500 7500 10000
題型三 積分制
例3.（江蘇省徐州市2023屆高考模擬）5月25日是全國大、中學生心理健康日，“5.25”的諧音即為“我愛我”，意在提醒孩子們“珍惜生命、關愛自己”.學校將舉行心理健康知識競賽.第一輪選拔共設有A，B，C三個問題，規則如下：①每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題A，B，C分別加2分，4分，5分，答錯任一題減2分；②每回答一題，計分器顯示累計分數，當累計分數小于8分時，答題結束，淘汰出局；當累計分數大于或等于14分時，答題結束，進入下一輪；當答完三題，若累計分數仍不足14分時，答題結束，淘汰出局，若累計分數大于或等于14分時，答題結束，進入下一輪；③每位參加者按問題A，B，C順序作答，直至答題結束.假設甲同學對問題A，B，C回答正確的概率依次為，，，且各題回答正確與否相互之間沒有影響.
(1)求在甲同學進入下一輪的條件下，答了兩題的概率；
(2)用表示甲同學本輪答題結束時答對的個數，求的分布列和數學期望.
【答案】(1)；(2)分布列見解析，
【解析】（1）記答對A，B，C分別為事件，，，
甲同學進入下一輪為事件E，答了兩題為事件F，
則，
，所以，
即在甲同學進入下一輪的條件下，答了兩題的概率為.
（2）由題意知的可能取值為0，1，2.
，
，
，
所以的分布列為
0 1 2
P
數學期望.
變式:（江蘇省南通市如皋中學2022-2023學年高三下學期4月階段測試)某校為減輕暑假家長的負擔，開展暑期托管，每天下午開設一節投籃趣味比賽．比賽規則如下：在A，B兩個不同的地點投籃．先在A處投籃一次，投中得2分，沒投中得0分；再在B處投籃兩次，如果連續兩次投中得3分，僅投中一次得1分，兩次均沒有投中得0分．小明同學準備參賽，他目前的水平是在A處投籃投中的概率為p，在B處投籃投中的概率為．假設小明同學每次投籃的結果相互獨立．
(1)若小明同學完成一次比賽，恰好投中2次的概率為，求p；
(2)若，記小明同學一次比賽結束時的得分為X，求X的分布列及數列期望．
【答案】(1)(2)分布列見解析；
【解析】（1）設小明在處投籃為事件，在處投籃分別為
已知小明同學恰好投中2次，分三種情況
中中不中；
中不中中；
不中中中；
其概率為：，解得：.
（2）由題意可得得分的可能取值分別為，，，，
；
；
；
；
.
綜上所述可得的分布列為
5 3 2 1 0
鞏固能力·突破高分
1.（2023·高三校考）.投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學每次投籃投中的概率為0．6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為（ ）
A．0．648 B．432 C．0．36 D．0．312
【答案】A
【解析】根據獨立重復試驗公式得，該同學通過測試的概率為=0．648，
故選：A．
2.甲，乙，丙，丁四支足球隊進行單循環比賽（每兩個球隊都要比賽一場），每場比賽的計分方法是﹔勝者得3分，負者得0分，平局兩隊各得1分，全部比賽結束后，四隊的得分為：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，則（ ）
A. 甲勝乙 B. 乙勝丙 C. 乙平丁 D. 丙平丁
【答案】C
【解析】甲，乙，丙，丁四支足球隊總比賽場次6場，總得分為6+5+4+1=16分，
由比賽計分規則：勝者得3分，負者得0分，平局兩隊各得1分，所以在6場比賽中有2場比賽是平局，即，
丁得1分，即1+0+0=1，所以丁在3場比賽中有1場是平局，
丙得4分，即3+1+0=4，所以丙在3場比賽中有1場是平局，
而乙得分5分，即3+1+1=5，所以乙在3場比賽中有2局是平局，所以乙可能平丙，乙可能平丁，
故選：C.
3.（江蘇省鎮江第一中學2023屆高三下學期4月檢測）甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結果相互獨立，則甲獲得冠軍的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若比賽兩場甲獲勝，則概率為；
若比賽三場甲獲勝，則概率為；
甲獲得冠軍的概率.
故選：D.
4.(2022年高考全國乙卷數學(理)·第10題)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關 B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
【答案】D
【解析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，
記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序為乙甲丙及丙甲乙的概率均為，
則此時連勝兩盤的概率為
則
；
記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為，
則
記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為
則
則
即，，
則該棋手在第二盤與丙比賽，最大．選項D判斷正確；選項BC判斷錯誤；
與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關．選項A判斷錯誤．
故選：D
5.（2023·湖北黃石·統考模擬預測）（多選）乒乓球，被稱為中國的“國球”.某次比賽采用五局三勝制，當參賽甲 乙兩位中有一位贏得三局比賽時，就由該選手晉級而比賽結束.每局比賽皆須分出勝負，且每局比賽的勝負不受之前比賽結果影響.假設甲在任一局贏球的概率為，實際比賽局數的期望值記為，則下列說法中正確的是（ ）
A．三局就結束比賽的概率為 B．的常數項為3
C．函數在上單調遞減 D．
【答案】ABD
【解析】設實際比賽局數為，則的可能取值為，
所以，
，
，
因此三局就結束比賽的概率為，則A正確；
故
，
由知常數項為3，故B正確；
由，故D正確；
由，
，所以，
令，則；令，則，
則函數在上單調遞增，則C不正確.
故選：ABD.
6.(2021高考天津·第14題)甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為____________，3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為______________．
【答案】①． ②．
【解析】由題可得一次活動中，甲獲勝的概率為；
則在3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為．
故答案為：；．
7.(2022年高考全國甲卷數學(理)·第19題)甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0．5，0．4，0．8，各項目的比賽結果相互獨立．
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．
【答案】(1)； (2)分布列見解析，．
【解析】(1)設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學校獲得冠軍的概率為
．
(2)依題可知，的可能取值為，所以，
,
，
，
．
即的分布列為
0 10 20 30
0．16 0．44 0．34 0．06
期望．
8.（江蘇省常州市前黃高級中學2023屆高三考前攀登行動（一）)中日圍棋擂臺賽是由中國圍棋隊與日本圍棋隊各派若干名棋手，以擂臺制形式舉行的圍棋團體賽.這是中國和國外開設的最早的圍棋對抗賽，由中國圍棋協會、日本棋院和中國《新體育》雜志社聯合舉辦，日本電器公司（NEC）贊助，因此也稱NEC杯中日圍棋擂臺賽.該賽事從1984年開始至1996年停辦，共進行了11屆，結果中國隊以7比4的總比分獲勝.該賽事對中國圍棋甚至世界圍棋發展產生了很大影響，被認為是現代圍棋最成功的比賽之一.中日圍棋擂臺賽由中日雙方各派同樣數量的若干名棋手組成隊伍，兩隊各設一名主帥，采用打擂臺的形式，決出最后的勝負.比賽事先排定棋手的上場順序（主帥最后上場），按順序對局，勝者坐擂，負方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帥”被擊敗為止.設中、日兩國圍棋隊各有名隊員，按事先排好的順序進行擂臺賽，中國隊的名隊員按出場的先后順序記為；日本隊的名隊員按出場的先后順序記為.假設勝的概率為（為常數）.
(1)當時，若每個隊員實力相當，求中國隊有四名隊員被淘汰且最后戰勝日本隊的概率；
(2)記中國隊被淘汰人且中國隊獲得擂臺賽勝利的概率為，求的表達式；
(3)寫出中國隊獲得擂臺賽勝利的概率的表達式（不用說明理由）.
【答案】(1)；(2)；(3).
【解析】（1）方法一：由于每個隊員實力相當，則每場比賽勝的概率均為，
列舉出中國隊的出場且獲得勝利的所有對陣形式，共分五種情況：
①負于，只有一種情況，獲勝的概率為；
②負于，此前共淘汰4人，及，共進行4場比賽，而日本隊負1場，有種情況，獲勝的概率為；
③負于，此前共進行5場比賽，日本隊負2場，共有種情況，獲勝的概率為；
④負于，此前共進行6場比賽，日本隊負3場，共有種情況，獲勝的概率為；
⑤負于，此前共進行7場比賽，日本隊負4場，共有種情況，獲勝的概率為，
這五種情況是互斥的，所以所求事件的概率為：.
方法二：由于兩隊的實力相當，則可認為與（）比賽時，獲勝的概率為，
而每進行一場比賽淘汰一人，中國隊的出場且獲得勝利，就有9人被淘汰，則共進行了9場比賽，
且最后一場是中國隊勝，在此之前的8場比賽中，中國隊必勝4場，負4場（若勝5場，則不必出場），
所以所求事件的概率為.
（2）中國隊被淘汰人且中國隊獲得擂臺賽勝利，則共進行了場比賽，
前場比賽中，中國隊被淘汰了人，負了場，
所以.
（3）中國隊獲得擂臺賽勝利的事件是勝的個互斥事件的和，
由（2）知，勝的概率為，
所以中國隊獲得擂臺賽勝利的概率.
9.(江蘇省南通市崇川區等5地2023屆高三下學期3月高考適應性考試（一）)隨著科技的發展，手機的功能已經非常強大，各類APP讓用戶的生活質量得到極大的提升，但是大量的青少年卻沉迷于手機游戲，極大地毒害了青少年的身心健康.為了引導青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開發了一款益腦游戲APP，在內測時收集了玩家對每一關的平均過關時間，如下表：
關卡x 1 2 3 4 5 6
平均過關時間y （單位：秒） 50 78 124 121 137 352
(1)通過散點圖分析，可用模型擬合y與x的關系，試求y與x的經驗回歸方程；
(2)甲和乙約定舉行對戰賽，每局比賽通關用時少的人獲勝（假設甲 乙都能通關），兩人約定先勝4局者贏得比賽.已知甲每局獲勝的概率為，乙每局獲勝的概率為，若前3局中甲已勝2局，乙勝1局，求甲最終贏得比賽的概率.
參考公式：對于一組數據（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），其經驗回歸直線 =x+的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.
參考數據：，其中.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）令，由，即，
，，
，
，
.
（2）記“甲最終贏得比賽”為事件，
則事件包含三種情況：
一是接下去進行兩局比賽，甲都贏了；
二是接下去進行三局比賽，乙在前兩局勝了其中一局，甲贏了剩余兩局；
三是接下去進行四局比賽，乙在前三局勝了其中兩局，甲贏了剩余兩局；
故，
所以甲最終贏得比賽的概率為.
10.(江蘇省四校（無錫市輔仁高級中學、江陰高中、宜興一中、常州市北郊中學）2022-2023學年高三下學期4月階段性測試)互花米草是禾本科草本植物，其根系發達，具有極高的繁殖系數，對近海生態具有較大的危害．為盡快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印發了《莆田市互花米草除治攻堅實施方案》，對全市除治攻堅行動做了具體部署．某研究小組為了解甲、乙兩鎮的互花米草根系分布深度情況，采用按比例分層抽樣的方法抽取樣本．已知甲鎮的樣本容量，樣本平均數，樣本方差；乙鎮的樣本容量，樣本平均數，樣本方差．
(1)求由兩鎮樣本組成的總樣本的平均數及其方差；
(2)為營造“廣泛發動、全民參與”的濃厚氛圍，甲、乙兩鎮決定進行一次“互花米草除治大練兵”比賽，兩鎮各派一支代表隊參加，經抽簽確定第一場在甲鎮舉行．比賽規則：
每場比賽直至分出勝負為止，勝方得1分，負方得0分，下一場在負方舉行，先得2分的代表隊獲勝，比賽結束．
當比賽在甲鎮舉行時，甲鎮代表隊獲勝的概率為，當比賽在乙鎮舉行時，甲鎮代表隊獲勝的概率為．假設每場比賽結果相互獨立.甲鎮代表隊的最終得分記為X，求．
參考數據：．
【答案】(1)，；(2)
【解析】（1）根據題意，得，
因為，
同理，
所以
，
所以總樣本的平均數為，方差.
（2）依題意可知，的所有可能取值為，
設“第場比賽在甲鎮舉行，甲鎮代表隊獲勝”為事件，“第場比賽在乙鎮舉行，甲鎮代表隊獲勝”為事件，
則，
所以，
，
，
所以.微專題04體育比賽與闖關問題
研考題·聚焦關鍵詞
題型一 n局m勝制
例1.(江蘇省連云港市2023屆高三下學期2月調研)為了豐富在校學生的課余生活，某校舉辦了一次趣味運動會活動，學校設置項目A“毛毛蟲旱地龍舟”和項目B“袋鼠接力跳”．甲、乙兩班每班分成兩組，每組參加一個項目，進行班級對抗賽．每一個比賽項目均采取五局三勝制（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結束），假設在項目A中甲班每一局獲勝的概率為，在項目B中甲班每一局獲勝的概率為，且每一局之間沒有影響．
(1)求甲班在項目A中獲勝的概率；
(2)設甲班獲勝的項目個數為X，求X的分布列及數學期望．
變式:甲、乙兩所學校之間進行排球比賽，采用五局三勝制(先贏3局的學校獲勝，比賽結束)，約定比賽規則如下:先進行男生排球比賽，共比賽兩局，后進行女生排球比賽，直到分出勝負．按照以往比賽經驗，在男生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為，在女生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為，每局比賽結果相互獨立．
（1）求甲校以3:1獲勝的概率；
（2）記比賽結束時女生比賽的局數為，求的分布列及期望．
題型二 連勝制
例2.(2023年新課標全國Ⅰ卷·第21題)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0．6，乙每次投籃的命中率均為0．8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0．5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次(即從第1次到第次投籃)中甲投籃的次數為，求．
變式:（江蘇省常州市前黃高級中學2023屆高三下學期二模）2022年12月初某省青少年乒乓球培訓基地舉行了混雙選拔賽，其決賽在韓菲/陳宇和黃政/孫藝兩對組合間進行，每場比賽均能分出勝負．已知本次比賽的贊助商提供了10000元獎金，并規定：①若其中一對贏的場數先達到4場，則比賽終止，同時這對組合獲得全部獎金；②若比賽意外終止時無組合先贏4場，則按照比賽繼續進行各自贏得全部獎金的概率之比給兩對組合分配獎金．已知每場比賽韓菲/陳宇組合贏的概率為，黃政/孫藝贏的概率為，且每場比賽相互獨立．
(1)若在已進行的5場比賽中韓菲/陳宇組合贏3場、黃政/孫藝組合贏2場，求比賽繼續進行且韓菲/陳宇組合贏得全部獎金的概率；
(2)若比賽進行了5場時終止（含自然終止與意外終止），則這5場比賽中兩對組合之間的比賽結果共有多少不同的情況？
(3)若比賽進行了5場時終止（含自然終止與意外終止），設，若贊助商按規定頒發獎金，求韓菲/陳宇組合獲得獎金數X的分布列．
題型三 積分制
例3.（江蘇省徐州市2023屆高考模擬）5月25日是全國大、中學生心理健康日，“5.25”的諧音即為“我愛我”，意在提醒孩子們“珍惜生命、關愛自己”.學校將舉行心理健康知識競賽.第一輪選拔共設有A，B，C三個問題，規則如下：①每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題A，B，C分別加2分，4分，5分，答錯任一題減2分；②每回答一題，計分器顯示累計分數，當累計分數小于8分時，答題結束，淘汰出局；當累計分數大于或等于14分時，答題結束，進入下一輪；當答完三題，若累計分數仍不足14分時，答題結束，淘汰出局，若累計分數大于或等于14分時，答題結束，進入下一輪；③每位參加者按問題A，B，C順序作答，直至答題結束.假設甲同學對問題A，B，C回答正確的概率依次為，，，且各題回答正確與否相互之間沒有影響.
(1)求在甲同學進入下一輪的條件下，答了兩題的概率；
(2)用表示甲同學本輪答題結束時答對的個數，求的分布列和數學期望.
變式:（江蘇省南通市如皋中學2022-2023學年高三下學期4月階段測試）某校為減輕暑假家長的負擔，開展暑期托管，每天下午開設一節投籃趣味比賽．比賽規則如下：在A，B兩個不同的地點投籃．先在A處投籃一次，投中得2分，沒投中得0分；再在B處投籃兩次，如果連續兩次投中得3分，僅投中一次得1分，兩次均沒有投中得0分．小明同學準備參賽，他目前的水平是在A處投籃投中的概率為p，在B處投籃投中的概率為．假設小明同學每次投籃的結果相互獨立．
(1)若小明同學完成一次比賽，恰好投中2次的概率為，求p；
(2)若，記小明同學一次比賽結束時的得分為X，求X的分布列及數列期望．
鞏固能力·突破高分
1（2023·高三校考）.投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學每次投籃投中的概率為0．6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為（ ）
A．0．648 B．432 C．0．36 D．0．312
2.甲，乙，丙，丁四支足球隊進行單循環比賽（每兩個球隊都要比賽一場），每場比賽的計分方法是﹔勝者得3分，負者得0分，平局兩隊各得1分，全部比賽結束后，四隊的得分為：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，則（ ）
A. 甲勝乙 B. 乙勝丙 C. 乙平丁 D. 丙平丁
3.（江蘇省鎮江第一中學2023屆高三下學期4月檢測）甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結果相互獨立，則甲獲得冠軍的概率為（ ）
A． B． C． D．
4.(2022年高考全國乙卷數學(理)·第10題)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關 B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
5.（2023·湖北黃石·統考模擬預測）（多選）乒乓球，被稱為中國的“國球”.某次比賽采用五局三勝制，當參賽甲 乙兩位中有一位贏得三局比賽時，就由該選手晉級而比賽結束.每局比賽皆須分出勝負，且每局比賽的勝負不受之前比賽結果影響.假設甲在任一局贏球的概率為，實際比賽局數的期望值記為，則下列說法中正確的是（ ）
A．三局就結束比賽的概率為 B．的常數項為3
C．函數在上單調遞減 D．
6.(2021高考天津·第14題)甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為____________，3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為______________．
7.(2022年高考全國甲卷數學(理)·第19題)甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0．5，0．4，0．8，各項目的比賽結果相互獨立．
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．
8.（江蘇省常州市前黃高級中學2023屆高三考前攀登行動（一））中日圍棋擂臺賽是由中國圍棋隊與日本圍棋隊各派若干名棋手，以擂臺制形式舉行的圍棋團體賽.這是中國和國外開設的最早的圍棋對抗賽，由中國圍棋協會、日本棋院和中國《新體育》雜志社聯合舉辦，日本電器公司（NEC）贊助，因此也稱NEC杯中日圍棋擂臺賽.該賽事從1984年開始至1996年停辦，共進行了11屆，結果中國隊以7比4的總比分獲勝.該賽事對中國圍棋甚至世界圍棋發展產生了很大影響，被認為是現代圍棋最成功的比賽之一.中日圍棋擂臺賽由中日雙方各派同樣數量的若干名棋手組成隊伍，兩隊各設一名主帥，采用打擂臺的形式，決出最后的勝負.比賽事先排定棋手的上場順序（主帥最后上場），按順序對局，勝者坐擂，負方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帥”被擊敗為止.設中、日兩國圍棋隊各有名隊員，按事先排好的順序進行擂臺賽，中國隊的名隊員按出場的先后順序記為；日本隊的名隊員按出場的先后順序記為.假設勝的概率為（為常數）.
(1)當時，若每個隊員實力相當，求中國隊有四名隊員被淘汰且最后戰勝日本隊的概率；
(2)記中國隊被淘汰人且中國隊獲得擂臺賽勝利的概率為，求的表達式；
(3)寫出中國隊獲得擂臺賽勝利的概率的表達式（不用說明理由）.
9.（江蘇省南通市崇川區等5地2023屆高三下學期3月高考適應性考試（一））隨著科技的發展，手機的功能已經非常強大，各類APP讓用戶的生活質量得到極大的提升，但是大量的青少年卻沉迷于手機游戲，極大地毒害了青少年的身心健康.為了引導青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開發了一款益腦游戲APP，在內測時收集了玩家對每一關的平均過關時間，如下表：
關卡x 1 2 3 4 5 6
平均過關時間y （單位：秒） 50 78 124 121 137 352
(1)通過散點圖分析，可用模型擬合y與x的關系，試求y與x的經驗回歸方程；
(2)甲和乙約定舉行對戰賽，每局比賽通關用時少的人獲勝（假設甲 乙都能通關），兩人約定先勝4局者贏得比賽.已知甲每局獲勝的概率為，乙每局獲勝的概率為，若前3局中甲已勝2局，乙勝1局，求甲最終贏得比賽的概率.
參考公式：對于一組數據（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），其經驗回歸直線 =x+的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.
參考數據：，其中.
10.（江蘇省四校（無錫市輔仁高級中學、江陰高中、宜興一中、常州市北郊中學）2022-2023學年高三下學期4月階段性測試）互花米草是禾本科草本植物，其根系發達，具有極高的繁殖系數，對近海生態具有較大的危害．為盡快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印發了《莆田市互花米草除治攻堅實施方案》，對全市除治攻堅行動做了具體部署．某研究小組為了解甲、乙兩鎮的互花米草根系分布深度情況，采用按比例分層抽樣的方法抽取樣本．已知甲鎮的樣本容量，樣本平均數，樣本方差；乙鎮的樣本容量，樣本平均數，樣本方差．
(1)求由兩鎮樣本組成的總樣本的平均數及其方差；
(2)為營造“廣泛發動、全民參與”的濃厚氛圍，甲、乙兩鎮決定進行一次“互花米草除治大練兵”比賽，兩鎮各派一支代表隊參加，經抽簽確定第一場在甲鎮舉行．比賽規則：
每場比賽直至分出勝負為止，勝方得1分，負方得0分，下一場在負方舉行，先得2分的代表隊獲勝，比賽結束．
當比賽在甲鎮舉行時，甲鎮代表隊獲勝的概率為，當比賽在乙鎮舉行時，甲鎮代表隊獲勝的概率為．假設每場比賽結果相互獨立.甲鎮代表隊的最終得分記為X，求．
參考數據：．
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