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微專題06圓錐曲線中非對稱韋達(dá)定理問題的處理
研考題·聚焦關(guān)鍵詞
解析幾何問題中的一些定值、定點(diǎn)、定線，經(jīng)常出現(xiàn)需要證明類似，通過直線代換可得：，但此時的式子并不能完全整理為韋達(dá)定理的形式，這種式子一般稱為“非對稱韋達(dá)定理”
題型一 定直線
例1.【2023年新高考2卷21】已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.
【答案】(1)(2)證明見解析.
【解析】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，
則由可得，，
雙曲線方程為.
（2）由(1)可得，設(shè)，
顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，
與聯(lián)立可得，且，
則，

直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程可得：
，
由可得，即，
據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動.
變式:已知點(diǎn)A、分別是橢圓：的上、下頂點(diǎn)，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、（、與橢圓上、下頂點(diǎn)均不重合），證明：直線、的交點(diǎn)在一條定直線上．
【答案】（1） （2）答案見解析.
【解析】（1）由，，
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）如圖：過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，因為、不與A、重合，故直線的斜率一定存在.
設(shè)直線方程為：，聯(lián)立方程組：，消去得：.
設(shè)，，則，.所以.
直線：；
直線:.
所以：.
所以：.即直線與的交點(diǎn)在定直線上.
題型二 定點(diǎn)
例2.（安徽省六校教育研究會2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期下學(xué)期第二次素養(yǎng)測試（2月）數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，線段的中垂線與直線相交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）若點(diǎn)，直線，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)．證明：的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
【答案】（1） （2）證明見解析
【解析】（1）由題意可得，且為的中點(diǎn)，
又為的中點(diǎn)，
所以，且．
因為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，線段的中垂線與直線相交于點(diǎn)，
由垂直平分線的性質(zhì)可得，
所以，
所以由雙曲線的定義可得，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線．
，
故曲線的方程為；
（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，
聯(lián)立方程，消去得：，
則，
解得，且
，①
由，得直線，
令，解得，即，
同理可得，
則
，
所以的中點(diǎn)為定點(diǎn).
變式:【江蘇省揚(yáng)州市高郵中學(xué)2023屆高考前熱身訓(xùn)練（二）】設(shè)直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，且三角形的面積為.
(1)求的值；
(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0，與交于兩個不同的點(diǎn)，，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，為的右焦點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線，證明：直線經(jīng)過軸上的一個定點(diǎn).
【答案】(1);(2)證明見解析
【解析】（1）雙曲線：的漸近線方程為，
不妨設(shè)，
因為三角形的面積為，所以，
所以，又，所以.
（2）雙曲線的方程為：，所以右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
依題意，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為，
設(shè)，，則，
聯(lián)立，得，
且，
化簡得且，
所以，，
因為直線的斜率存在，所以直線的斜率也存在，
因為，，三點(diǎn)共線，所以，
即，即，
所以，
因為，所以，
所以，
所以，
化簡得，所以經(jīng)過軸上的定點(diǎn).

題型三 定值
例3.（湖南省2024屆高三數(shù)學(xué)新改革提高訓(xùn)練一）已知圓的方程,,，拋物線過兩點(diǎn)，且以圓的切線為準(zhǔn)線.
（1）求拋物線焦點(diǎn)的軌跡C的方程；
（2）已知， 設(shè)x軸上一定點(diǎn)， 過T的直線交軌跡C于 兩點(diǎn)（直線與軸不重合），求證：為定值.
【答案】（1）； （2）證明見解析．
【解析】（1）如圖，是圓切線，分別過作直線的垂直，垂足分別為，又是中點(diǎn)，則是直角梯形的中位線，，
設(shè)是以為準(zhǔn)線的拋物線的焦點(diǎn)，則，，
所以，
所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，橢圓長軸長為8，
，則，因此，
所以拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程為；
（2）由題意設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由得，
，，
，
代入，，得
為常數(shù)．
變式:【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2023屆高三下學(xué)期模擬檢測六】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，斜率為的直線l與雙曲線C交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線C上，且.
(1)求的面積；
(2)若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)，記直線的斜率分別為，問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【答案】(1); (2)為定值.·
【解析】（1）依題意可知，，
則，
，
又，所以，
解得（舍去），
又，所以，
則，
所以的面積.
（2）由（1）可，解得，
所以雙曲線C的方程為，
設(shè)，則，則，，
設(shè)直線l的方程為，與雙曲線C的方程聯(lián)立，消去y得：，
由，得，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，
所以，
，
則，
故為定值.·
鞏固能力·突破高分
1.（廣東省潮州市2022屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)A，B為動直線y=k(x-2)(k≠0)與橢圓C的兩個交點(diǎn)，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)E，使得為定值？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1） （2）存在定點(diǎn)，使得為定值
【解析】（1）由離心率為，得，及，
又以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓為，
且與直線相切，
所以，
所以，，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）假設(shè)存在，設(shè)，
聯(lián)立,消整理得，
，
設(shè)，
則，
由，
則
，
要使上式為定值，即與無關(guān)，
則應(yīng)，即，
此時定值，
所以在x軸上存在定點(diǎn)，使得為定值.
2.(江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)2023屆高三下學(xué)期4月（二模）)已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2，斜率為的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，直線，分別與直線相交于，兩點(diǎn)，試問：以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn) 若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．
【答案】(1)
(2)以線段為直徑的圓過定點(diǎn)和．
【解析】（1）∵雙曲線的左焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為，而，∴．
∴雙曲線的方程為．
依題意直線的方程為．
由 消去y整理得：，
依題意：，，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為，
則．
∵，∴．
∴，∴．
即，解得或（舍去），且時，，
∴雙曲線的方程為．
（2）依題意直線的斜率不等于0，設(shè)直線的方程為．
由消去整理得：，
∴，．
設(shè)，，則，．
直線的方程為，令得：，∴．
同理可得．由對稱性可知，若以線段為直徑的圓過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)一定在軸上，
設(shè)該定點(diǎn)為，則，，
故
．
解得或．
故以線段為直徑的圓過定點(diǎn)和．
3.（2021年新高考1卷21）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】因為，
所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，
所以，軌跡的方程為；
（2）設(shè)點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線無公共點(diǎn)，
不妨直線的方程為，即，
聯(lián)立，消去并整理可得，
設(shè)點(diǎn)、，則且.
由韋達(dá)定理可得，，
所以，，
設(shè)直線的斜率為，同理可得，
因為，即，整理可得，
即，顯然，故.
因此，直線與直線的斜率之和為.
4.（江蘇省徐州市第七中學(xué)2023屆高三上學(xué)期一檢）已知雙曲線的實軸長為4，左 右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與的右支分別交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方.當(dāng)軸時，
(1)設(shè)直線的斜率分別為，求的值；
(2)若，求的面積.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）法一：因為，所以，令得，
所以，解得，
所以的方程為
顯然直線與軸不垂直，設(shè)其方程為，
聯(lián)立直線與的方程，消去得，
當(dāng)時，，
設(shè)，則.
因為，
所以.
法二：
由題意得，解得，
雙曲線的方程為.
設(shè)方程為，
聯(lián)立，可得，
，，
，
.
（2）法一：
因為，
所以，
又因為，
所以，即，（※）
將代入（※）得，
因為在軸上方，所以，所以直線方程為，
聯(lián)立與直線方程，消去得，，
解得或（舍），所以，
代入，得，所以直線方程為，
聯(lián)立與直線方程，消去得，，
解得或，
所以的面積為.
法二：
設(shè)，由，可得，
，解得，
方程，
聯(lián)立，可得，解得，
同理聯(lián)立，解得，
.
5.已知為的兩個頂點(diǎn)，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為.
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過作不平行于坐標(biāo)軸的直線交于D，E兩點(diǎn)，若軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N，直線DN與EM交于點(diǎn)Q.
①求證：點(diǎn)Q在一條定直線上，并求此定直線；
②求面積的最大值.
【答案】（1） （2）①證明見解析，；②
【解析】（1）因為為的重心，且邊上的兩條中線長度之和為，
所以，
故由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓（不包括長軸的端點(diǎn)），
且，所以，
所以的軌跡的方程為.
（2）①依題意，設(shè)直線DE方程為.
聯(lián)立，得，
易知
設(shè)，，則，.
因為軸，軸，
所以，.
所以直線DN：，
直線EM：，
聯(lián)立解得
從而點(diǎn)Q在定直線上.
②因為，
又，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故面積的最大值為.微專題06圓錐曲線中非對稱韋達(dá)定理問題的處理
研考題·聚焦關(guān)鍵詞
解析幾何問題中的一些定值、定點(diǎn)、定線，經(jīng)常出現(xiàn)需要證明類似，通過直線代換可得：，但此時的式子并不能完全整理為韋達(dá)定理的形式，這種式子一般稱為“非對稱韋達(dá)定理”
題型一 定直線
例1.【2023年新高考2卷21】已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.
變式:已知點(diǎn)A、分別是橢圓：的上、下頂點(diǎn)，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、（、與橢圓上、下頂點(diǎn)均不重合），證明：直線、的交點(diǎn)在一條定直線上．
題型二 定點(diǎn)
例2.（安徽省六校教育研究會2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期下學(xué)期第二次素養(yǎng)測試（2月）數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，線段的中垂線與直線相交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）若點(diǎn)，直線，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)．證明：的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
變式:【江蘇省揚(yáng)州市高郵中學(xué)2023屆高考前熱身訓(xùn)練（二）】設(shè)直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，且三角形的面積為.
(1)求的值；
(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0，與交于兩個不同的點(diǎn)，，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，為的右焦點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線，證明：直線經(jīng)過軸上的一個定點(diǎn).
題型三 定值
例3.（湖南省2024屆高三數(shù)學(xué)新改革提高訓(xùn)練一）已知圓的方程,,，拋物線過兩點(diǎn)，且以圓的切線為準(zhǔn)線.
（1）求拋物線焦點(diǎn)的軌跡C的方程；
（2）已知， 設(shè)x軸上一定點(diǎn)， 過T的直線交軌跡C于 兩點(diǎn)（直線與軸不重合），求證：為定值.
變式:【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2023屆高三下學(xué)期模擬檢測六】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，斜率為的直線l與雙曲線C交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線C上，且.
(1)求的面積；
(2)若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)，記直線的斜率分別為，問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
鞏固能力·突破高分
1.（廣東省潮州市2022屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)A，B為動直線y=k(x-2)(k≠0)與橢圓C的兩個交點(diǎn)，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)E，使得為定值？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由．
2.(江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)2023屆高三下學(xué)期4月（二模）)已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2，斜率為的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，直線，分別與直線相交于，兩點(diǎn)，試問：以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn) 若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．
3.（2021年新高考1卷21）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.
4.（江蘇省徐州市第七中學(xué)2023屆高三上學(xué)期一檢）已知雙曲線的實軸長為4，左 右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與的右支分別交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方.當(dāng)軸時，
(1)設(shè)直線的斜率分別為，求的值；
(2)若，求的面積.
5.已知為的兩個頂點(diǎn)，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為.
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過作不平行于坐標(biāo)軸的直線交于D，E兩點(diǎn)，若軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N，直線DN與EM交于點(diǎn)Q.
①求證：點(diǎn)Q在一條定直線上，并求此定直線；
②求面積的最大值.

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