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微專題07 直線與圓錐曲線的相切問題
研考題·聚焦關鍵詞
過拋物線上任意兩點A、B分別作兩條切線相交于點P，ΔPAB稱為阿基米德三角形。
常見性質：
如圖所示，為拋物線的弦，，，分別過作的拋物線的切線交于點，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊．
1.阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸．
2.若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內定點，則另一頂點的軌跡為一條直線．
3.若直線與拋物線沒有公共點，以上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點．
4.底邊長為的阿基米德三角形的面積的最大值為．
5.若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積的最小值為．
6.點的坐標為；
7.底邊所在的直線方程為
8.的面積為．
9.若點的坐標為，則底邊的直線方程為．
10.如圖，若為拋物線弧上的動點，點處的切線與，分別交于點C，D，則.
11.若為拋物線弧上的動點，拋物線在點處的切線與阿基米德三角形的邊，分別交于點C，D，則．
12.拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的．
題型一 阿基米德三角形
例1.（2023·高三校考）已知中心在原點的橢圓C1和拋物線C2有相同的焦點(1，0)，橢圓C1過點，拋物線的頂點為原點．
(1)求橢圓C1和拋物線C2的方程；
(2)設點P為拋物線C2準線上的任意一點，過點P作拋物線C2的兩條切線PA，PB，其中A、B為切點．
設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值；
②若直線AB交橢圓C1于C，D兩點，S△PAB，S△PCD分別是△PAB，△PCD的面積，試問：是否有最小值 若有，求出最小值；若沒有，請說明理由.
【答案】(1) 拋物線的標準方程為,橢圓的方程為:,(2)①證明見解析,②有,最小值為
【解析】(1)因為拋物線C2有相同的焦點(1，0),且頂點為原點,所以,所以,
所以拋物線的標準方程為,
設橢圓方程為,則且,解得,
所以橢圓的方程為:.
(2)①證明:設,過點與拋物線相切的直線為,
由,消去得,
由△=,得,
則.
②設
由①得,則,
所以直線的方程為,所以,
即,即直線恒過定點,
設點到直線的距離為,
所以,
當直線的斜率存在時,設直線的方程為,
設,
由,消去得,
時,△恒成立,
,
由消去得,△恒成立,
則
.
所以,
當直線的斜率不存在時,直線的方程為,
此時,,,
所以的最小值為.
變式:(2023·開封模擬)如圖，過點P(m，n)作拋物線C：x2＝2py(p>0)的兩條切線PA，PB，切點分別是A，B，動點Q為拋物線C上在A，B之間的任意一點，拋物線C在點Q處的切線分別交PA，PB于點M，N.
(1)若AP⊥PB，證明：直線AB經過點；
(2)若分別記△PMN，△ABQ的面積為S1，S2，求的值．
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】(1)證明　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋b，
由
消去y并整理得x2－2pkx－2pb＝0，有x1x2＝－2pb，
令拋物線C：x2＝2py在點A處切線方程為y－y1＝t(x－x1)，
由
消去y并整理得x2－2ptx＋2ptx1－2py1＝0，
則有Δ＝4p2t2－4(2ptx1－2py1)＝4p2t2－4(2ptx1－x)＝0，解得t＝，
同理，拋物線C：x2＝2py在點B處切線斜率為，
因為AP⊥PB，
則有·＝＝－1，
解得b＝，
所以直線AB：y＝kx＋恒過定點.
(2)解　由(1)知，切線PA的方程為y－y1＝(x－x1)，
整理得y＝x－y1，
同理切線PB的方程為y＝x－y2，
設點Q(x0，y0)，則切線MN的方程為y＝x－y0，
而點P(m，n)，
即有n＝m－y1，n＝m－y2，
因此直線AB的方程為y＝x－n，
有|AB|＝|x1－x2|，
點Q(x0，y0)到直線AB的距離是
d2＝，
則S2＝|x1－x2|，
由
解得點M的橫坐標xM＝，
同理點N的橫坐標xN＝，
有|MN|＝，點P(m，n)到直線MN的距離
d1＝，
則S1＝|x1－x2|，
所以＝.
蒙日圓：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為蒙日圓，其半徑等于橢圓長半軸和短半軸平方和的算術平方根，具體結論及證明如下：
結論一：曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓：．
結論二：雙曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓．
結論三：拋物線的兩條互相垂直的切線的交點在該拋物線的準線上．
題型二 蒙日圓
例2.（2023·高三校考）已知橢圓0)．稱圓心在原點，半徑為的圓為橢圓的“準圓”．若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為．
(1)求橢圓的方程及其“準圓”方程．
(2)點是橢圓的“準圓”上的動點，過點作橢圓的切線交“準圓”于點．
①當點為“準圓”與軸正半軸的交點時，求直線的方程并證明．
②求證：線段的長為定值．
【答案】(1)證明見解析；(2)①直線PM：，直線； ②
【解析】(1)依題意可得，∴，∴．．
(2)證明：①由(1)題可得，設切線方程為：．聯立，消去可得，整理可得．
∴，解得．
∴設直線PM：，直線．∴，即．
②設，直線．
則，消去可得．
即．
∴．整理得．
同理，設切線的斜率為，則有．∴．∴在“準圓”上．∴，∴．∴為“準圓”的直徑．∴為定值，．
變式:（2023·高三校考）經過圓上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別記為，直線分別與圓相交于異于點的兩點．
(1)求證：．
(2)求的面積的取值范圍．
【答案】(1)，；(2)
【解析】(1)證明：設點．
(1)當直線的斜率都存在時，設過點與橢圓相切的直線方程為．
聯立，消去得．
．
令，整理得：．
設直線的斜率分別為．
∴．
又．
∴．
∴，即為圓的直徑，
∴．
②當直線或的斜率不存在時，不妨設，
則直線的方程為．
∴點，點，也滿足．
綜上，有．
(2)設點，點．
當直線的斜率存在時，設直線的方程為．
聯立，消去得
．
令，整理得．
則．
∴直線的方程為．
化簡可得，即．
經驗證，當直線的斜率不存在時，
直線的方程為或，也滿足．
同理，可得直線的方程為．
∵在直線上，
∴，．
∴直線的方程為．
聯立，消去得．
∴，，
∴
．
又點到直線的距離．
令，．則．
又，
∴的面積的取值范圍為
鞏固能力·突破高分
1.（2023·高三校考）在平面直角坐標系中，若直線上存在動點，使得過點的橢圓的兩條切線相互垂直，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設，則過得切線方程為
聯立，得，
所以有，
化簡得，兩個切線得斜率為該方程的兩個根，
所以有，由韋達定理可得，化簡得，
所以點的軌跡方程為圓，
要使直線上存在動點，使得過點P的橢圓的兩條切線相互垂直，
只需直線與有交點即可，得，
解得.
故選：B
2.（2023·高三校考）(多選)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，A，B為橢圓上兩個動點．直線l的方程為bx＋ay－a2－b2＝0.下列說法正確的是(　　)
A．C的蒙日圓的方程為x2＋y2＝3b2
B．對直線l上任意一點P，·>0
C．記點A到直線l的距離為d，則d－的最小值為b
D．若矩形MNGH的四條邊均與C相切，則矩形MNGH面積的最大值為6b2
【答案】AD
【解析】對于A，過Q(a，b)可作橢圓的兩條互相垂直的切線x＝a，y＝b，
∴Q(a，b)在蒙日圓上，
∴蒙日圓方程為x2＋y2＝a2＋b2，
由e＝＝＝得a2＝2b2，
∴C的蒙日圓方程為x2＋y2＝3b2，A正確；
對于B，由l方程知l過P(b，a)，又P滿足蒙日圓方程，
∴P(b，a)在圓x2＋y2＝3b2上，當A，B恰為過P作橢圓兩條互相垂直切線的切點時，·＝0，B錯誤；
對于C，∵A在橢圓上，
∴|AF1|＋|AF2|＝2a，
∴d－|AF2|＝d－(2a－|AF1|)
＝d＋|AF1|－2a；
當F1A⊥l時，d＋|AF1|取得最小值，最小值為F1到直線l的距離，
又F1到直線l的距離
d′＝＝
＝b，
∴(d－|AF2|)min＝b－2a，C錯誤；
對于D，當矩形MNGH的四條邊均與C相切時，蒙日圓為矩形MNGH的外接圓，
∴矩形MNGH的對角線為蒙日圓的直徑，設矩形MNGH的長和寬分別為x，y，則x2＋y2＝12b2，
∴矩形MNGH的面積S＝xy≤＝6b2(當且僅當x＝y＝b時取等號)，即矩形MNGH面積的最大值為6b2，D正確．
故選：AD
3.(2023·廊坊模擬)(多選)如圖，△PAB為阿基米德三角形．拋物線x2＝2py(p>0)上有兩個不同的點A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B為切點的拋物線的切線PA，PB相交于點P.給出如下結論，其中正確的為(　　)
A．若弦AB過焦點，則△ABP為直角三角形且∠APB＝90°
B．點P的坐標是
C．△PAB的邊AB所在的直線方程為(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0
D．△PAB的邊AB上的中線與y軸平行(或重合)
【答案】ACD
【解析】由題意設A，
B，x1由x2＝2py，得 y＝，則y′＝，
所以kPA＝，kPB＝，
若弦AB過焦點，設AB所在直線為
y＝kx＋，聯立x2＝2py，
得x2－2pkx－p2＝0，
則x1x2＝－p2，
所以kPA·kPB＝＝－1，
所以PA⊥PB，故A正確；
以點A為切點的切線方程為y－＝(x－x1)，以點B為切點的切線方程為y－＝(x－x2)，
聯立消去y得x＝，
將x＝代入y－＝(x－x1)，
得y＝，
所以P，故B錯誤；
設N為拋物線弦AB的中點，N的橫坐標為xN＝，因此直線PN平行于y軸(或與y軸重合)，即平行于拋物線的對稱軸(或與對稱軸重合)，故D正確；
設直線AB的斜率為
k＝＝＝，
故直線AB的方程為
y－＝(x－x1)，
化簡得(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0，故C正確
故選：ACD
4.（2022·全國·模擬預測）（多選）法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”、“微分幾何之父”．他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于，兩點，直線交于，兩點，則（ ）
A．橢圓的離心率為
B．面積的最大值為
C．到的左焦點的距離的最小值為
D．若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則
【答案】ABD
【解析】依題意，過橢圓的上頂點作軸的垂線，過橢圓的右頂點作軸的垂線，則這兩條垂線的交點在圓上，
所以，得，所以橢圓的離心率，故A正確；
因為點，，都在圓上，且，所以為圓的直徑，所以，所以面積的最大值為，故B正確；
設，的左焦點為，連接，因為，所以，又，所以，
則到的左焦點的距離的最小值為，故C不正確；
由直線經過坐標原點，易得點，關于原點對稱，設，，則，，，又，所以，所以，所以，
故D正確
故選：ABD．
5.（2023·高三校考）已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線與拋物線交于兩點，過點作拋物線的切線，若交于點，則點的軌跡方程為 .
【答案】或
【解析】由焦點到準線的距離為2，可得拋物線.
由可得，故，
故在處的切線方程為，即，
同理在點處的切線方程為，
聯立，即.
聯立直線與拋物線方程：，消去得，
由題或.
由韋達定理，，
得，其中或，故點的軌跡方程為：或.
故答案為：或
6.（2023·高三校考）已知拋物線的焦點為F，點E在C上，以點E為圓心，為半徑的圓的最小面積為．
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)過點F的直線與C交于M，N兩點，過點M，N分別作C的切線，，兩切線交于點P，求點P的軌跡方程．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）設點，，則，
因為以E為圓心，以為半徑的圓的最小面積為，
所以，
所以（負值舍去），解得，
所以拋物線C的標準方程為．
（2）設，，
易得，由題意知直線MN的斜率一定存在，
則設直線MN的方程為，
聯立得，
，所以，．
由，得，則切線的斜率為，
則切線的方程為，即①．
同理可得切線的方程為②．
①②得，
代入①得，，
所以點P的軌跡方程為．
7.（2023·高三校考）已知橢圓的一個焦點為，離心率為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由題意知，且有，即，解得，
因此橢圓的標準方程為；
（2）①設從點所引的直線的方程為，即，
當從點所引的橢圓的兩條切線的斜率都存在時，分別設為、，則，
將直線的方程代入橢圓的方程并化簡得，
，
化簡得，即，
則、是關于的一元二次方程的兩根，則，
化簡得；
②當從點所引的兩條切線均與坐標軸垂直，則的坐標為，此時點也在圓上.
綜上所述，點的軌跡方程為.
8.（2023·高三校考）已知拋物線的焦點為F，且F與圓上的點的距離的最小值為4.
（1）求p；
（2）若點P在M上，PA、PB是拋物線C的兩條切線，A、B是切點，求面積的最大值.
【答案】（1）2；（2）.
【解析】（1）由題意，，F與圓M上的點的距離的最小值為，所以解得：
（2）解法1：設，則
設過點P與拋物線C相切的直線為，即①，
聯立消去y整理得：②，
判別式，化簡得：③，
設PA、PB的斜率分別為、，則、是方程③的兩個解，所以④，
，
方程②有唯一的實數解，則該解為，所以，
故直線AB的斜率，直線AB的方程為，即，將④代入得直線AB的方程為，即，所以點P到直線AB的距離，顯然點P在拋物線C的下方，所以，故，
而
所以
由可得：
所以，，
故當時，取得最大值20，從而的最大值為.
解法2：由（1）知拋物線的方程為，故可設，
由得，所以，故切線PA的方程為，即
同理可得切線PB的方程為，
聯立解得：，所以
如圖，作軸交AB于點Q，則點Q的橫坐標為，
所以Q為AB中點，即，
從而，所以
不妨設，，則，，且，代入圓M的方程得，
所以
，，
故當時，取得最大值，此時也取得最大值.
9.（江蘇省蘇州市八校聯盟2023屆高三下學期5月適應性檢測（三模））已知點是圓上一動點，點，線段的垂直平分線交線段于點.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)定義：兩個離心率相等的圓錐曲線為“相似”曲線.若關于坐標軸對稱的曲線與曲線相似，且焦點在同一條直線上，曲線經過點.過曲線上任一點作曲線的切線，切點分別為，這兩條切線分別與曲線交于點（異于點），證明：.
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【解析】（1）依題意，，

由橢圓的定義知，交點的軌跡是以點為左右焦點的橢圓，且長軸長，焦距，
則，
所以曲線的方程為.
（2）由（1）知，曲線的離心率為，且焦點在x軸上，則曲線的離心率為，
曲線的焦點在x軸上，而曲線經過點，，
因此曲線的長半軸長，半焦距，短半軸長有，
于是曲線的方程為，設，

當切線的斜率不存在時，的方程為，代入得，
此時、與曲線都相切，為的中點，為的中點，則；
當切線的斜率不存在時，同理有；
當切線和的斜率都存在時，設切線的方程為，分別代入和，
化簡得①，②，
依題意，方程①有兩個相等的實數根，方程②有兩個不相等的實數根，
于是，即，
則，此時為的中點.
同理可證，為的中點，因此，
所以.
10.(2021年高考全國乙卷理科·第21題)已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．
(1)求；
(2)若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)拋物線的焦點為，，
所以，與圓上點的距離的最小值為，解得；
(2)拋物線的方程為，即，對該函數求導得，
設點、、，
直線的方程為，即，即，
同理可知，直線的方程為，
由于點為這兩條直線的公共點，則，
所以，點、的坐標滿足方程，
所以，直線的方程為，
聯立，可得，
由韋達定理可得，，
所以，，
點到直線的距離為，
所以，，
，
由已知可得，所以，當時，的面積取最大值．微專題07 直線與圓錐曲線的相切問題
研考題·聚焦關鍵詞
過拋物線上任意兩點A、B分別作兩條切線相交于點P，ΔPAB稱為阿基米德三角形。
常見性質：
如圖所示，為拋物線的弦，，，分別過作的拋物線的切線交于點，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊．
1.阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸．
2.若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內定點，則另一頂點的軌跡為一條直線．
3.若直線與拋物線沒有公共點，以上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點．
4.底邊長為的阿基米德三角形的面積的最大值為．
5.若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積的最小值為．
6.點的坐標為；
7.底邊所在的直線方程為
8.的面積為．
9.若點的坐標為，則底邊的直線方程為．
10.如圖，若為拋物線弧上的動點，點處的切線與，分別交于點C，D，則.
11.若為拋物線弧上的動點，拋物線在點處的切線與阿基米德三角形的邊，分別交于點C，D，則．
12.拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的．
題型一 阿基米德三角形
例1.（2023·高三校考）已知中心在原點的橢圓C1和拋物線C2有相同的焦點(1，0)，橢圓C1過點，拋物線的頂點為原點．
(1)求橢圓C1和拋物線C2的方程；
(2)設點P為拋物線C2準線上的任意一點，過點P作拋物線C2的兩條切線PA，PB，其中A、B為切點．
設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值；
②若直線AB交橢圓C1于C，D兩點，S△PAB，S△PCD分別是△PAB，△PCD的面積，試問：是否有最小值 若有，求出最小值；若沒有，請說明理由.
變式:(2023·開封模擬)如圖，過點P(m，n)作拋物線C：x2＝2py(p>0)的兩條切線PA，PB，切點分別是A，B，動點Q為拋物線C上在A，B之間的任意一點，拋物線C在點Q處的切線分別交PA，PB于點M，N.
(1)若AP⊥PB，證明：直線AB經過點；
(2)若分別記△PMN，△ABQ的面積為S1，S2，求的值．
蒙日圓：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為蒙日圓，其半徑等于橢圓長半軸和短半軸平方和的算術平方根，具體結論及證明如下：
結論一：曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓：．
結論二：雙曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓．
結論三：拋物線的兩條互相垂直的切線的交點在該拋物線的準線上．
題型二 蒙日圓
例2.（2023·高三校考）已知橢圓0)．稱圓心在原點，半徑為的圓為橢圓的“準圓”．若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為．
(1)求橢圓的方程及其“準圓”方程．
(2)點是橢圓的“準圓”上的動點，過點作橢圓的切線交“準圓”于點．
①當點為“準圓”與軸正半軸的交點時，求直線的方程并證明．
②求證：線段的長為定值．
變式:（2023·高三校考）經過圓上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別記為，直線分別與圓相交于異于點的兩點．
(1)求證：．
(2)求的面積的取值范圍．
鞏固能力·突破高分
1.（2023·高三校考）在平面直角坐標系中，若直線上存在動點，使得過點的橢圓的兩條切線相互垂直，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2023·高三校考）(多選)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，A，B為橢圓上兩個動點．直線l的方程為bx＋ay－a2－b2＝0.下列說法正確的是(　　)
A．C的蒙日圓的方程為x2＋y2＝3b2
B．對直線l上任意一點P，·>0
C．記點A到直線l的距離為d，則d－的最小值為b
D．若矩形MNGH的四條邊均與C相切，則矩形MNGH面積的最大值為6b2
3.(2023·廊坊模擬)(多選)如圖，△PAB為阿基米德三角形．拋物線x2＝2py(p>0)上有兩個不同的點A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B為切點的拋物線的切線PA，PB相交于點P.給出如下結論，其中正確的為(　　)
A．若弦AB過焦點，則△ABP為直角三角形且∠APB＝90°
B．點P的坐標是
C．△PAB的邊AB所在的直線方程為(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0
D．△PAB的邊AB上的中線與y軸平行(或重合)
4.（2022·全國·模擬預測）（多選）法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”、“微分幾何之父”．他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于，兩點，直線交于，兩點，則（ ）
A．橢圓的離心率為
B．面積的最大值為
C．到的左焦點的距離的最小值為
D．若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則
5.（2023·高三校考）已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線與拋物線交于兩點，過點作拋物線的切線，若交于點，則點的軌跡方程為 .
6.（2023·高三校考）已知拋物線的焦點為F，點E在C上，以點E為圓心，為半徑的圓的最小面積為．
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)過點F的直線與C交于M，N兩點，過點M，N分別作C的切線，，兩切線交于點P，求點P的軌跡方程．
7.（2023·高三校考）已知橢圓的一個焦點為，離心率為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程.
8.（2023·高三校考）已知拋物線的焦點為F，且F與圓上的點的距離的最小值為4.
（1）求p；
（2）若點P在M上，PA、PB是拋物線C的兩條切線，A、B是切點，求面積的最大值.
9.（江蘇省蘇州市八校聯盟2023屆高三下學期5月適應性檢測（三模））已知點是圓上一動點，點，線段的垂直平分線交線段于點.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)定義：兩個離心率相等的圓錐曲線為“相似”曲線.若關于坐標軸對稱的曲線與曲線相似，且焦點在同一條直線上，曲線經過點.過曲線上任一點作曲線的切線，切點分別為，這兩條切線分別與曲線交于點（異于點），證明：.
10.(2021年高考全國乙卷理科·第21題)已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．
(1)求；
(2)若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．

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