資源簡介

微專題08 極值點偏移問題
研考題·聚焦關鍵詞
對稱化構造解決極值點偏移:
1、和型（或）問題的基本步驟：
①首先構造函數，求導，確定函數和函數的單調性；
②確定兩個零點，且，由函數值與的大小關系，
得與零進行大小比較；
③再由函數在區間上的單調性得到與的大小，從而證明相應問題；
2、積型問題的基本步驟：
①求導確定的單調性，得到的范圍；
②構造函數，求導可得恒正或恒負；
③得到與的大小關系后，將置換為；
④根據與的范圍，結合的單調性，可得與的大小關系，由此證得結論.
題型一 構造函數
例1.（2024·云南昭通·高三統考）已知函數.
（1）討論的單調區間；
（2）已知在上單調遞增，且，求證：.
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析
【解析】（1）的定義域為.
.
①當時，由得，單調遞增，
由得，單調遞減，
在區間上單調遞增，在區間上單調遞減；
②當時，由得，或，
在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；
③當時，在上單調遞增；
④當時，由得，或，
由得，，
在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.
綜上，當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減
當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；
當時，在上單調遞增；
當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.
（2）由（1）知，當且僅當時，在上單調遞增，
即：.
，
又且在上單調遞增，
和均不成立.
故不妨設，
因此要證，即證，
因為在上單調遞增，
所以即證.
又，
故只需證，即證.
設，
.
，
故.
因此在上單調遞增，所以.
故，
又因為在上單調遞增，.
變式:（2024·山西晉城·高三統考）已知函數．
（1）若恒成立，求的取值范圍；
（2）若有兩個零點，證明：．
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）．
令，易知單調遞增，且．
當時，,即，單調遞減；
當時，,即，單調遞增．
所以，即，
所以的取值范圍是．
（2）由的單調性可設．
令．
令，則，
所以在上單調遞增，則，所以．
所以，即，即．
因為當時，單調遞減，且，所以，即．
例2.（2023·高三校考）已知是函數的導函數．
（1）討論方程的實數解個數；
（2）設為函數的兩個零點且，證明：．
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.
【解析】（1）函數，，令，，
（i）當時，，則在上單調遞減，有且僅有1個零點；
（ii）當時，，則在上單調遞減，
，則在上有一個零點；
（iii）當時，令，，
當時，，在上單調遞減，
當時，，在上單調遞增，
因此的最小值為，令，解得，
又因為，，
令函數，求導得，函數在上單調遞增，
于是，而，因此，
由函數零點存在定理得，在區間和上各有一個零點，
當，即時，在上只有一個零點，當時，在上沒有零點，
所以當時，在上有兩個零點，即方程的有兩個實數解；
當或時，在上有一個零點，即方程的有一個實數解；
當時，在上沒有零點，即方程的無實數解.
（2）由（1）知有兩個零點，，
，，則，
由是的兩個零點，得，，
即，，兩式相減得，
令，則，，，
于是，，，
要證，即證，即證，只需證：，
令，，，
令,故在上單調遞減，
因此，則在上單調遞增，
所以，從而得證，即.
變式:（2024·高三校考）設函數.
（1）若，求函數的最值；
（2）若函數有兩個不同的極值點，記作，且，求證：.
【答案】（1）無最小值，最大值為；（2）證明見解析
【解析】（1）由題意得，則.
令，解得；令，解得，
在上單調遞增，在上單調遞減，
，
無最小值，最大值為.
（2），則，
又有兩個不同的極值點，
欲證，即證，
原式等價于證明①.
由，得，則②.
由①②可知原問題等價于求證，
即證.
令，則，上式等價于求證.
令，則，
恒成立，在上單調遞增，
當時，，即，
原不等式成立，即.
對數平均數算術平均數平方平均數, 簡記為:調幾對算方.
證明：證法 1
(比值代換) 令 , 則
, 構造函數可證.
證法 2
(主元法) 不妨設 ,
記 , 則 , 得 在 上單調遞減, 有 , 左邊得證, 右邊同理可證.
證法 3 (構造函數法)
先證 :
要證 , 只需證 , 令 , 只需證 , 設 , 則 , 可得 在 上單 調遞減, .
再證:
要證 , 只需證 , 令 , 只需證 。設 , 則 , 故 在 上單調遞減, .
常見等價變形:
用對數平均數求證極值點偏移問題的步驟 :
(1) 根據 建立等量關系;
(2)等量關系中如果含有參數, 可考慮消參; 如果含有指數式, 可考慮兩邊取對數;
(3) 通過恒等變形轉化出對數平均數, 代人對數平均不等式求解.
題型二 對數均值不等式
例2.（2024·福建廈門·統考一模）已知函數有兩個極值點，．
（1）求實數的取值范圍；
（2）證明：．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）由題設且，
若，則在上恒成立，即遞增，不可能有兩個極值點，不符；
故，又有兩個極值點，則，是的兩個不同正根，
所以，可得，即實數的取值范圍是.
（2）由（1）且，，不妨設，
則
，
要證，需證，即，
只需證，即，令，則證，
由（1），時，即，
所以在上遞增，又，故，即，
綜上，.
變式:（2023·高三校考）已知是實數，函數．
(1)討論的單調性；
(2)若有兩個相異的零點且，求證：．
【答案】(1)當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
(2)證明過程見解析.
【解析】(1)的定義域為，，當時，恒成立，故在上單調遞減；當時，令得：，令得：，故在上單調遞增，在上單調遞減；綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
(2)由（1）可知，要想有兩個相異的零點，則，不妨設，因為，所以，所以，要證，即證，等價于，而，所以等價于證明，即，
令，則，于是等價于證明成立，設，
，所以在上單調遞增，
故，即成立，所以，結論得證.
鞏固能力·突破高分
1.（2023·河南駐馬店·高三統考期末）已知函數有兩個零點.
（1）求的取值范圍；
（2）設，是的兩個零點，，證明：.
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）由且，可得.
設，，則，
令，解得.
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減.
又當趨向于0時，趨向于，當趨向于時，趨向于0，
所以要使的圖象與直線有兩個交點，則，
故的取值范圍是.
（2）證明：，由（1）得，
則，.
設，則，即，
.
設，則.
設，則，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增.
又，，，
所以存在唯一的，使得，即，
所以的最小值為，，
所以，故.
2.（2024·高三校考）已知函數（其中e為自然對數的底）
(1)若，是的極值點且.若，且. 證明：.
【答案】（1）證明見解析
【解析】（1），，
因為是的極值點，所以滿足，
要證明，即證明，
化簡得，由于在上單調遞減，
且由，，可知.故，
從而可推得，而，
因此.令，
則，
，而，所以，
故單調遞增，從而，即，
從而，即證得.
3.（2023·高三校考）已知，當時，若有兩個極值點，求證：.
【答案】(1證明見解析
【解析】(1)方法一：當時，，，，
則，令，，
令，下證恒成立，
，設分子為，
，所以在上單調遞增，，
所以在上恒大于，即在上恒大于，
所以，取，則，
所以，即.
方法二：當時，，
因為有兩個極值點，
所以，即，從而，
令，則，
當時，，當時，，
所以函數在上遞增，在上遞減，
所以，
又因當時，，當時，，
所以，由對數均值不等式得，從而，
所以.
4.（2023·云南昆明·高三云南民族大學附屬中學校考階段練習）已知函數．
（1）討論函數的單調性；
（2）當時，若且，求證：．
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析
【解析】（1）由題意得函數定義域為，
當時，，
則令，得，故在上單調遞增；
令，得，故在上單調遞減；
當時，，
則當時，，故在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減；
當時，，則當時，，
故在上均單調遞增；
當時，，在上單調遞減；
當時，，等號僅在時取到，在上單調遞增；
當時，，則當時，，故在上均單調遞增；
當時，，在上單調遞減；
綜上，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
當時， 在上均單調遞增，在上單調遞減；
當時， 在上單調遞增；
當時， 在上均單調遞增，在上單調遞減；
（2）當時，在上單調遞增，在上單調遞減，為函數的最大值點；
若且，不妨設，則可得，
要證明，只需證，此時，
故只需證，即證；
令，而，
則
，
因為，
所以恒成立，故在上單調遞減，
故，
即，即，
故得證.
5.（2024··高三期初）已知函數，．
（1）求的單調區間；
（2）設是函數的兩個極值點，證明：．
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析
【解析】（1），
當時，恒成立，在上單調遞增，無減區間，
當時，令，得，單調遞增，
令，得，單調遞減，
綜合得：當時，的單調遞增區間為，無減區間；
當時，的單調遞增區間為，的單調遞減區間為；
（2），
則，
因為是函數的兩個極值點，
即是方程的兩不等正根，
所以，得，
令，則，
得，
則，
所以
，
則，
令，則，
所以在上單調遞增，
所以，
所以，即.
6.（2023·高三校考）已知函數，其中a，b為常數，為自然對數底數，．
(1)當時，若函數，求實數b的取值范圍；
(2)當時，若函數有兩個極值點，，現有如下三個命題：
①；②；③；
請從①②③中任選一個進行證明．
（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】(1)當時，，
當時，因為，所以此時不合題意；
當時，當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，所以，
要，只需，令，則，
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，
所以，則由得，
所以，故實數b的取值范圍為．
(2)當時，，，
令，則，
因為函數有兩個極值點，，所以有兩個零點，
若，則，單調遞增，不可能有兩個零點，所以，
令得，當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；所以，
因為有兩個零點，所以，則，
設，因為，，則，
因為，所以，，
則，取對數得，
令，，則，即
①令，則，因為，所以在上單調遞減，在上單調遞增，令，
則，在上單調遞減，
因為，所以，即，亦即，
因為，，在上單調遞增，所以，
則，整理得，所以，故①成立
②令，則，
因為，所以在上單調遞減，在上單調遞增，
令，則，在上單調遞增，
又，所以當時，，即，
因為，，在上單調遞增，所以，
所以，即，所以，
即，故②成立．
③令，，則，
令，則，
∴在上單調遞增，則，
∴，則，
兩邊約去后化簡整理得，即，故③成立．微專題08 極值點偏移問題
研考題·聚焦關鍵詞
對稱化構造解決極值點偏移:
1、和型（或）問題的基本步驟：
①首先構造函數，求導，確定函數和函數的單調性；
②確定兩個零點，且，由函數值與的大小關系，
得與零進行大小比較；
③再由函數在區間上的單調性得到與的大小，從而證明相應問題；
2、積型問題的基本步驟：
①求導確定的單調性，得到的范圍；
②構造函數，求導可得恒正或恒負；
③得到與的大小關系后，將置換為；
④根據與的范圍，結合的單調性，可得與的大小關系，由此證得結論.
題型一 構造函數
例1.（2024·云南昭通·高三統考）已知函數.
（1）討論的單調區間；
（2）已知在上單調遞增，且，求證：.
變式:（2024·山西晉城·高三統考）已知函數．
（1）若恒成立，求的取值范圍；
（2）若有兩個零點，證明：．
例2.（2023·高三校考）已知是函數的導函數．
（1）討論方程的實數解個數；
（2）設為函數的兩個零點且，證明：．
變式:（2024·高三校考）設函數.
（1）若，求函數的最值；
（2）若函數有兩個不同的極值點，記作，且，求證：.
對數平均數算術平均數平方平均數, 簡記為:調幾對算方.
證明：證法 1
(比值代換) 令 , 則
, 構造函數可證.
證法 2
(主元法) 不妨設 ,
記 , 則 , 得 在 上單調遞減, 有 , 左邊得證, 右邊同理可證.
證法 3 (構造函數法)
先證 :
要證 , 只需證 , 令 , 只需證 , 設 , 則 , 可得 在 上單 調遞減, .
再證:
要證 , 只需證 , 令 , 只需證 。設 , 則 , 故 在 上單調遞減, .
常見等價變形:
用對數平均數求證極值點偏移問題的步驟 :
(1) 根據 建立等量關系;
(2)等量關系中如果含有參數, 可考慮消參; 如果含有指數式, 可考慮兩邊取對數;
(3) 通過恒等變形轉化出對數平均數, 代人對數平均不等式求解.
題型二 對數均值不等式
例2.（2024·福建廈門·統考一模）已知函數有兩個極值點，．
（1）求實數的取值范圍；
（2）證明：．
變式:（2023·高三校考）已知是實數，函數．
(1)討論的單調性；
(2)若有兩個相異的零點且，求證：．
鞏固能力·突破高分
1.（2023·河南駐馬店·高三統考期末）已知函數有兩個零點.
（1）求的取值范圍；
（2）設，是的兩個零點，，證明：.
2.（2024·高三校考）已知函數（其中e為自然對數的底）
(1)若，是的極值點且.若，且. 證明：.
3.（2023·高三校考）已知，當時，若有兩個極值點，求證：.
4.（2023·云南昆明·高三云南民族大學附屬中學校考階段練習）已知函數．
（1）討論函數的單調性；
（2）當時，若且，求證：．
5.（2024··高三期初）已知函數，．
（1）求的單調區間；
（2）設是函數的兩個極值點，證明：．
6.（2023·高三校考）已知函數，其中a，b為常數，為自然對數底數，．
(1)當時，若函數，求實數b的取值范圍；
(2)當時，若函數有兩個極值點，，現有如下三個命題：
①；②；③；
請從①②③中任選一個進行證明．
（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）

展開更多......

收起↑