資源簡介

微專題09 隱零點問題
研考題·聚焦關鍵詞
不含參函數的“隱零點”問題的解策略：
已知不含參函數，導函數方程的根存在，卻無法求出，
設方程的根為，則有：①關系式成立；②注意確定的合適范圍.
題型一 不含參函數
例1.（2024·河北邢臺·高三統考期末）已知函數．證明：．
【答案】證明見解析
【解析】
令函數，則，所以是增函數．
因為，，
所以存在，使得，即．
所以當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
．
因為，所以，
所以．
故．
變式:（2024·高三?？迹┮阎瘮担敃r，證明：.
【答案】證明見解析.
【解析】當時，令，，求導得，
顯然函數在上單調遞增，令，，，即函數在上單調遞增，而，則存在唯一，使得，即，因此存在唯一，使得，當時，，當時，，因此函數在上遞減，在上遞增，當時，，則，（當且僅當即時，取等號，故式子取不到等號）所以當時，.
含參函數的“隱零點”問題解題策略：
已知含參函數，其中為參數，導函數方程的根存在，卻無法求出，
設方程的根為，則有①有關系式成立，該關系式給出了的關系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關.
題型二 含參函數
例2.（重慶市西南大學附中、重慶育才中學、萬州中學拔尖強基聯盟2024屆高三下學期二月聯合考試數學試題）已知函數，其中．
（1）若，求證：在定義域內有兩個不同的零點；
（2）若恒成立，求的值．
【答案】（1）證明過程見詳解； （2）
【解析】（1）時，，
①時，在上單調遞減，所以，
所以在上單調遞增，又，，
所以，使得，即在上有且僅有1個零點；
②時，由（1）知在上單調遞減，
即，所以，
所以在上沒有零點；
③時，，所以，
即在上單調遞減，又，，
所以在上有且僅有1個零點；
綜上所述，在內有兩個不同的零點，.
（2）令，
由于恒成立，且，同時在上連續，
所以是的一個極大值點.
因為，所以即，
下面證明時，在上恒成立，
由（1）知，時，在上單調遞增，在上單調遞減；
所以，又，
故恒成立.
變式:（2024·吉林長春·東北師大附中校聯考模擬預測）已知（其中為自然對數的底數）,，求實數的取值范圍.
【答案】
【解析】由，可得，
由，因為，可得，
令，則在上遞減，
當時，可得，則，所以，
則，
又因為，使得，即
且當時，，即；
當時，，即，
所以在遞增，在遞減，所以，
由，可得，
由，可得，即，
由，可得，所以，
因為，設，則，
可知在上遞增，且，
所以實數的取值范圍是.
鞏固能力·突破高分
1.（2023·高三校考）已知函數.當時，求證在上存在極值點，且.
【答案】證明見解析
【解析】，則，令，，由可知，時，，遞增，時，，遞減，在處取得最小值，
而，又記，，
故在上單調遞減，故，于是，即；
，令，，記，則，則在單增，，
故在上遞增，，取，則；
記，，于是時，，遞減，時，，遞增，故在處取得最大值，故，取得等號，于是. 于是，
由和零點存在定理可知，，使得，且，，，，所以是極小值點；由可得，，令，代入，整理，，
于是時，，遞減，時，，遞增，故在處取得最大值，故，取，故，原命題得證.
2.（廣東省2024屆高三上學期元月期末統一調研測試數學試卷）若函數在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數”.若為上的“2類函數”，求實數的取值范圍；
【答案】
【解析】因為，
由題意知，對于任意不同的，都有，
可轉化為對于任意，都有，
由可轉化為，令，只需
，令，在單調遞減，
所以，，故在單調遞減，
，
由可轉化為，令，只需
，令，在單調遞減，
且，，所以使，即，
即，
當時，，，故在單調遞增，
當時，，，故在單調遞減，
，
故.
3.（2024·高三?？迹┮阎瘮担渲校懻摰臉O值點的個數．
【答案】有且僅有一個極值點.
【解析】由題意知，函數的定義域為，
，
設，，顯然函數在上單調遞增，與同號，
①當時，，，
所以函數在內有一個零點，且，，，，
故在單調遞減，在單調遞增；
所以函數在上有且僅有一個極值點；
②當時，由（1）知，函數在上有且僅有一個極值點；
③當時，，，
因為，所以，，
又，所以函數在內有一個零點，
且，，，，
故在單調遞減，在單調遞增；
所以函數在上有且僅有一個極值點；
綜上所述，函數在上有且僅有一個極值點．
4.（2024·陜西安康·安康中學校聯考模擬預測）已知函數．當時，不等式恒成立，求整數的最大值．
【答案】2
【解析】由題意，知對任意恒成立，
可知對任意恒成立．
設函數，只需．
對函數求導，得．
設函數，對函數求導，得，
所以函數在上單調遞增．
又，
所以存在，使，即，
所以當時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增，
所以，
所以．又，所以，
所以整數的最大值為2．
5.（2023·湖北黃岡·黃岡中學?？既＃┮阎瘮担?br/>（1）當時，求函數在上的極值；
（2）用表示中的最大值，記函數，討論函數在上的零點個數．
【答案】答案見解析
【解析】由，知．
（?。┊敃r，，∴，故在上無零點．
（ⅱ）當時，．
故當時，即時，是的零點；
當時，即時，不是的零點．
（ⅲ）當時，．
故在的零點就是在的零點，
．
①當時，，故時，在是減函數，
結合，可知，在有一個零點，
故在上有1個零點．
②當時，，故時，在是增函數，
結合可知，在無零點，故在上無零點．
③當時，，使得時，在是增函數；
時，在是減函數；
由知，．
當，即時，在上無零點，
故在上無零點．
當，即時，在上有1個零點，
故在上有1個零點．
綜上所述，時，有2個零點；
時，有1個零點；時，無零點
6.（浙江省溫州市溫州中學2024屆高三第一次模擬考試數學試題）已知.
（1）若過點作曲線的切線，切線的斜率為2，求的值；
（2）當時，討論函數的零點個數.
【答案】（1）1 （2）答案見解析
【解析】（1）由題意可得：，
設切點坐標為，
則切線斜率為，即，
可得切線方程為，
將，代入可得，
整理得，
因為在內單調遞增，
則在定義域內單調遞增，且當時，，
可知關于的方程的根為1，即，
所以.
（2）因為，
則，
可知在內單調遞減，
且，則，且在內單調遞減，
可知在內單調遞減，所以在內單調遞減，
且，
（i）若，即時，則在內恒成立，
可知在內單調遞增，則，當且僅當時，等號成立，
所以在內有且僅有1個零點；
（ⅱ）若，即時，則在內恒成立，
可知在內單調遞減，則，當且僅當時，等號成立，
所以在內有且僅有1個零點；
（ⅲ）若，即時，則在內存在唯一零點，
可知當時，；當時，；
則在內單調遞增，在內單調遞減，
且，可知，可知在內有且僅有1個零點，
且，
①當，即時，則在內有且僅有1個零點；
②當，即時，則在內沒有零點；
綜上所述：若時，在內有且僅有1個零點；
若時，在內有且僅有2個零點.
7.（2024·高三?？迹┮阎瘮?br/>（1）若1是的極值點，求a的值；
（2）求的單調區間：
（3） 已知有兩個解，
（i）直接寫出a的取值范圍；（無需過程）
（ii）λ為正實數，若對于符合題意的任意，當時都有，求λ的取值范圍.
【答案】（1）； （2）答案見解析； （3）（i）；（ii）.
【解析】（1）
因為，所以，
因為1是的極值點，所以，故，故.
此時，則時，時，
所以上遞增，上遞減，則1是的極值點，滿足題設.
綜上，.
（2）由（1）知，
當時，，故在上單調遞增；
當時，令得；令得；
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
綜上：當時，在上單調遞增；
當時，上單調遞增，在上單調遞減，
（3）（i）由得，即有兩個解，
令，則，且在上兩個零點，
當時，，故在上單調遞增，則在上沒有兩個零點，不滿足題意；
當時，令，得；令，得；
所以在上單調遞增，在上單調遞減，即的極大值為，
為使在上有兩個零點，則，即，解得，
當時，易知，因為，故，
又在上單調遞增，所以在有唯一零點；
當時，
令，則，
再令，則，故在上單調遞增，
所以，即，故在上單調遞增，
所以，因為，
所以，即，即，即，故，
所以，故，
又在上單調遞減，所以在有唯一零點；
綜上：當時，在上兩個零點，即有兩個解時，，即；
（ii）由（i）得，，，故，
又，所以，即，即，故，
令，則， 故，
設，則，
當時，，
故當時，恒成立，故在上為增函數，
故即在上恒成立.
當時，，而
當時，
故存在，使得，使得，
故在為減函數，故，矛盾，舍；
綜上：，即.微專題09 隱零點問題
研考題·聚焦關鍵詞
不含參函數的“隱零點”問題的解策略：
已知不含參函數，導函數方程的根存在，卻無法求出，
設方程的根為，則有：①關系式成立；②注意確定的合適范圍.
題型一 不含參函數
例1.（2024·河北邢臺·高三統考期末）已知函數．證明：．
變式:（2024·高三?？迹┮阎瘮?，當時，證明：.
含參函數的“隱零點”問題解題策略：
已知含參函數，其中為參數，導函數方程的根存在，卻無法求出，
設方程的根為，則有①有關系式成立，該關系式給出了的關系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關.
題型二 含參函數
例2.（重慶市西南大學附中、重慶育才中學、萬州中學拔尖強基聯盟2024屆高三下學期二月聯合考試數學試題）已知函數，其中．
（1）若，求證：在定義域內有兩個不同的零點；
（2）若恒成立，求的值．
變式:（2024·吉林長春·東北師大附中校聯考模擬預測）已知（其中為自然對數的底數）,，求實數的取值范圍.
鞏固能力·突破高分
1.（2023·高三校考）已知函數.當時，求證在上存在極值點，且.
2.（廣東省2024屆高三上學期元月期末統一調研測試數學試卷）若函數在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數”.若為上的“2類函數”，求實數的取值范圍；
3.（2024·高三?？迹┮阎瘮?，其中．討論的極值點的個數．
4.（2024·陜西安康·安康中學校聯考模擬預測）已知函數．當時，不等式恒成立，求整數的最大值．
5.（2023·湖北黃岡·黃岡中學?？既＃┮阎瘮担?br/>（1）當時，求函數在上的極值；
（2）用表示中的最大值，記函數，討論函數在上的零點個數．
6.（浙江省溫州市溫州中學2024屆高三第一次模擬考試數學試題）已知.
（1）若過點作曲線的切線，切線的斜率為2，求的值；
（2）當時，討論函數的零點個數.
7.（2024·高三?？迹┮阎瘮?br/>（1）若1是的極值點，求a的值；
（2）求的單調區間：
（3） 已知有兩個解，
（i）直接寫出a的取值范圍；（無需過程）
（ii）λ為正實數，若對于符合題意的任意，當時都有，求λ的取值范圍.

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