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微專題10 導數中常見的放縮問題
研考題·聚焦關鍵詞
證明以下不等式：
(1)；(2)；(3).
【解析】（1）解：令，則有.令，即，解得；
令，即，解得，所以在單調遞減，上單調遞增，所以，即.所以.
（2）解：令，則.令，即，解得；
令，即，解得，所以在單調遞增，上單調遞減，所以，即，所以.
（3）解：由（1）得，所以（當且僅當時取等號）①.由（2）得，所以（當且僅當時取等號）②，因為①式與②式取等號的條件不同，所以.
題型一 與有關的放縮
例1.（安徽省“皖江名校聯盟”2024屆高三上學期12月月考數學試題）設函數.
（1）討論函數的單調性.
（2）設數列滿足，證明：數列是單調遞增數列，且，（其中為自然對數的底）.
【答案】（1） 在區間和上都是單調遞增 （2）證明見解析
【解析】（1） 函數的定義域是，先證明，
設，
則，在上，單調遞增，
在上，單調遞減，，所以.
可得，得到，等號當且僅當時成立，
所以，
注意，所以恒成立.
因此在區間，上都單調遞增.
（2） 由題設，，
，，
只需證明，
因為在上單調遞增，顯然成立.
下面證明，等價于證明，
也即證明，由（1）過程可知，當且僅當時等號成立，
，所以，故原不等式得證.
變式:（2024·高三校考）已知函數.
(1)若在上單調遞增，求的值；
(2)證明：（且）.
【答案】(1)1；(2)證明見解析.
【解析】（1）函數，求導得，由于函數在R上單調遞增，則恒成立，令，則，當時，，當時，，不滿足條件；當時，，在R上單調遞增，又，即，不滿足條件； 當時，令，得，則當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，于是當時，取得最小值，
于是，即，令，則，當時，，單調遞增；時，，單調遞減，則，由于恒成立，因此，則有，所以單調遞增時，的值為1.
（2）由（1）知，當時，，即有，當且僅當時取等號，即當時，，
因此當且時，，
而當時，，所以，
則，所以，.
題型二 與有關的放縮
例2.（2022·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為當，
取得：，故
，其中，且
當時，，及
此時，
故，故
所以，所以，
故選：A
變式:（2023·湖南長沙·高三校考）設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，所以，
所以，
令，則，
所以在上單調遞增，
所以，即，所以，
令，則，
所以函數在上遞增，
所以，即，即，
所以，即，
綜上，.
故選：A.
鞏固能力·突破高分
1.（2023·福建福州·高三校考），則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，，則，
所以當時，即在上單調遞增，
所以，即，即，即，
令，則，
在時，，則為減函數，
∴，即；
令，，則，
故在為減函數，
∴，即；
∴，
令，則，即，∴，
所以．
故選：D．
2.（2022·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，
所以，即
因為，
所以，即
綜上所述：，
故選：C
3.（2023·山西大同·高三校考）已知，，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
設，函數定義域為，
則，
故在上為增函數，有，即，
所以，故.
設，函數定義域為，則，
，解得；，解得，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.
當時，取最大值，所以，即，時等號成立，
所以，即，
又，所以.
故選：D
4.（2023·貴州遵義·高三統考）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，則，，
即在上單調遞增，在上單調遞減，所以，
故在R上恒成立，即，
令，
則，，
即在上單調遞減，在上單調遞增，所以，
故在上恒成立，即，
而，，即，
令，則，，
即在上單調遞增，在上單調遞減，所以，
故在上恒成立，即
令，由上知恒成立，即在R上單調遞增，而，故，
所以，
故.
故選：D
5.（2023·全國·高三校考）當時，證明：恒成立.
【答案】證明見解析
【解析】由題意可知，函數的定義域為，
先證明，令，
則，
令，其中，則，
當時，，此時函數單調遞減，
當時，，此時函數單調遞增，
所以，，即，
所以，，
設，其中，則且不恒為零，
所以，在上為增函數，故當時，，
所以，，
因為，故，故原不等式得證.
6.（2024·高三統考）已知函數．
（1）求函數的極值；
（2）證明：．
【答案】（1）極小值0，無極大值；（2）證明見解析.
【解析】（1）函數的定義域為，求導得，
當時，，當時，，
則函數在上遞減，在上遞增，
所以函數在處取得極小值，無極大值.
（2）證明：由（1）知，，即，，
因此，當且僅當時取等號，
令，，則，
，而，
所以.
7.（2023·江蘇常州·高三校考）已知函數.
（1）若，求的值；
（2）證明：當時，成立.
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）解法一：由，得，
又，所以是的極小值點，
故，而，故，
若，則，
當；當，
所以在單調遞減，在單調遞增，
故是唯一的極小值點，也是最小值點，
由，所以當且僅當時，
解法二：由，得，又，
當時，有恒成立，所以在上單調遞減，
又，則不成立，
當時，令，得，
則時，有時，有，
即在單調遞減，在單調遞增，
所以的最小值為，
，
函數在單調遞減，單調遞增，
，當且僅當取等號，故；
（2）當時，，
設，
當時，，
又由（1）知，故，
當時，，
設，則，
則在單調遞增，，
所以，則在單調遞增，
，
綜上，，即當時，.
8.（2024·高三校考）已知函數．
（1）討論函數在上的單調性；
（2）當時，
①判斷函數的零點個數，并證明．
②求證：．
【答案】（1）答案見解析 （2）①零點個數是2，證明見解析；②證明見解析
【解析】（1）的定義域為，對求導得：．
當時，，，，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
當時，，，，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減．
當時，，，
所以在上單調遞減．
當時，，，
，，，，
所以在，上單調遞減，在上單調遞增．
當時，，，，，
，，
所以在，上單調遞減，在上單調遞增．
（2）①由（1）可知，且，當時，，
令，
所以在上單調遞增，在區間上單調遞減，
所以，所以，所以．
當時，
，
即，
所以存在，使得，
根據零點存在性定理，當時，函數的零點個數是2．
另解：令，
令，
所以在上單調遞增，在區間上單調遞減，
所以，所以，所以．
當時，
，
即，所以存在，使得，
根據零點存在性定理，當時，函數的零點個數是2．
②由，所以，
即令，所以，
所以，，…，，
所以.微專題10 導數中常見的放縮問題
研考題·聚焦關鍵詞
證明以下不等式：
；(2)；(3).
題型一 與有關的放縮
例1.（安徽省“皖江名校聯盟”2024屆高三上學期12月月考數學試題）設函數.
（1）討論函數的單調性.
（2）設數列滿足，證明：數列是單調遞增數列，且，（其中為自然對數的底）.
變式:（2024·高三校考）已知函數.
(1)若在上單調遞增，求的值；
(2)證明：（且）.
題型二 與有關的放縮
例2.（2022·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
變式:（2023·湖南長沙·高三校考）設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
鞏固能力·突破高分
1.（2023·福建福州·高三校考），則（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·山西大同·高三校考）已知，，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
4.（2023·貴州遵義·高三統考）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
5.（2023·全國·高三校考）當時，證明：恒成立.
6.（2024·高三統考）已知函數．
（1）求函數的極值；
（2）證明：．
7.（2023·江蘇常州·高三校考）已知函數.
（1）若，求的值；
（2）證明：當時，成立.
8.（2024·高三校考）已知函數．
（1）討論函數在上的單調性；
（2）當時，
①判斷函數的零點個數，并證明．
②求證：．

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