資源簡(jiǎn)介

專(zhuān)題04 平面向量
01專(zhuān)題網(wǎng)絡(luò)·思維腦圖（含基礎(chǔ)知識(shí)梳理、常用結(jié)論與技巧）
02考情分析·解密高考
03高頻考點(diǎn)·以考定法
考點(diǎn)一 平面向量的概念及線性運(yùn)算
命題點(diǎn)1 平面向量的概念及線性運(yùn)算
命題點(diǎn)2 向量共線定理及平面向量基本定理
考點(diǎn)二 平面向量的數(shù)量積
命題點(diǎn)一 平面向量的數(shù)量積的簡(jiǎn)單運(yùn)算
命題點(diǎn)二 平面向量的數(shù)量積的最值與范圍
04創(chuàng)新好題·分層訓(xùn)練（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯(cuò)提升）
02考情分析·解密高考
平面向量作為高考必考題，高考題型一般作為客觀題出現(xiàn)，偶爾也會(huì)出現(xiàn)解答題。
高考要求：1．平面向量的實(shí)際背景及基本概念：
（1）了解向量的實(shí)際背景；（2）理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義；（3）理解向量的幾何表示；2．向量的線性運(yùn)算：（1）掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；（2）掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義；（3）了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義；
3.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示：（1）了解平面向量的基本定理及其意義；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；（3）會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；（4）理解用坐標(biāo)表示的平面向量的貢獻(xiàn)的條件。
4．平面向量的數(shù)量積：（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；（2）了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；（4）能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；5．向量的應(yīng)用：（1）會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.（2）會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題.
真題多維細(xì)目表
考點(diǎn) 考向 考題
平面向量 ①平面向量的概念及線性運(yùn)算 ②平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 ③平面向量的數(shù)量積及夾角問(wèn)題 ④平面向量的綜合應(yīng)用 2023年全國(guó)乙卷·T12,2023年全國(guó)甲卷·T4，2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷·T15，2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷·T13，2022新高考全國(guó)I卷·T6，2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)，2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)·T3，2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷，2021年高考全國(guó)乙卷·T16，2020年新高考全國(guó)卷Ⅱ數(shù)學(xué)·T7,2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷·2020年高考課標(biāo)Ⅲ卷·T6，2019·全國(guó)Ⅰ·T9，2019·全國(guó)Ⅱ·理·T3，2019·全國(guó)Ⅰ·T7
考點(diǎn)一 平面向量的概念及線性運(yùn)算
命題點(diǎn)1 平面向量的概念及線性運(yùn)算
典例01 (2021年高考浙江卷·第3題)已知非零向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】若，則，推不出；若，則必成立，故“”是“”的必要不充分條件,
故選：B．
典例02 (2022新高考全國(guó)I卷·)在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因點(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，
所以．
故選：B．
典例03 (2023年天津卷·)在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，則可用表示為_(kāi)________；若，則的最大值為_(kāi)________．
【答案】①． ②．
【解析】空1：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，可得，
兩式相加，可得到，即，則；
空2：略
故答案為：．
(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解．
(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解．
命題點(diǎn)2 向量共線定理及平面向量基本定理
典例01 （2020年江蘇卷13）在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是________．
【答案】
【解析】∵三點(diǎn)共線
∴可設(shè)
∵
∴，即
∵三點(diǎn)共線
∴，即
∵
∴
∵,,
∴
設(shè)，，則，.
∴根據(jù)余弦定理可得，
∵
∴，解得.
∴的長(zhǎng)度為.
故答案為：.
典例02 (2023年天津卷·)在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，則可用表示為_(kāi)________；若，則的最大值為_(kāi)________．
【答案】①． ②．
【解析】空1：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，可得，
兩式相加，可得到，即，則；
：因?yàn)椋瑒t，可得，
得到，即，即．于是．記，
則，
在中，根據(jù)余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，則時(shí)，有最大值．
故答案為：；．
典例03 (2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第12題)在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖
則，，，，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)
在中，有
即
所以圓的方程為
可設(shè)
由可得
所以，所以
其中，
所以的最大值為，故選A．
法二：通過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由，，可求得
又由，可求得
由等和線定理可知，當(dāng)點(diǎn)的切線(即)與平行時(shí)，取得最大值
又點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到直線的距離相等，均為
而此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為
所以，所以的最大值為，故選A．
另一種表達(dá)：如圖，由“等和線”相關(guān)知識(shí)知，當(dāng)點(diǎn)在如圖所示位置時(shí)，最大，且此時(shí)若，則有，由三角形全等可得，知，所以選A．
法三：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系
設(shè)
根據(jù)等面積公式可得圓的半徑是，即圓的方程是
，若滿(mǎn)足
即 ， ，所以，設(shè) ，即，點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離，即 ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，
故選：A．
法四：由題意，畫(huà)出右圖．
設(shè)與切于點(diǎn)，連接．以為原點(diǎn)，為軸正半軸，為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系
則點(diǎn)坐標(biāo)為．∵，．∴．切于點(diǎn)．
∴⊥．∴是中斜邊上的高．
即的半徑為．∵在上．∴點(diǎn)的軌跡方程為．
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，可以設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足的參數(shù)方程如下：
而，，．
∵
∴，．
兩式相加得：
(其中，)
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最大值3．
預(yù)計(jì)2024年高考仍會(huì)從平面向量的線性運(yùn)算向進(jìn)行命制.
1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，如果，那么（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
故選：B．
2．（2023秋·湖北鄂東南·高三省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校期中聯(lián)考）已知向量，，若向量與向量共線，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____.
【答案】0或
【解析】向量，，若向量與向量共線
則，解得0或.
故答案為：0或2.
考點(diǎn)二 平面向量的數(shù)量積
命題點(diǎn)一 平面向量的數(shù)量積的簡(jiǎn)單運(yùn)算
典例01 (2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷·)已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋裕?br/>由可得，，
即，整理得：．
故選：D．
典例02 (2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷·第13題) 已知向量，滿(mǎn)足，，則______．
【答案】
【解析】設(shè)，則，
由題意可得：，則，
整理得：，即
故答案為：．
典例03 (2023年全國(guó)甲卷·第4題) 已知向量滿(mǎn)足，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?所以,
即,即,所以．
如圖,設(shè),
由題知,是等腰直角三角形,
AB邊上的高,
所以,,
．
故選:D．
命題點(diǎn)二 平面向量的數(shù)量積的最值與范圍
典例01 (2023年全國(guó)乙卷·第12題) 已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A．直線PB與交于B．C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示，，則由題意可知:，
由勾股定理可得
當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時(shí)，設(shè)，
則：
，則當(dāng)時(shí)，有最大值．
當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)，設(shè)，
則：
，則
當(dāng)時(shí)，有最大值．綜上可得，的最大值為．
故選：A．
典例02 【2022年北京卷10】在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，
因?yàn)椋栽谝詾閳A心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
設(shè)，，
所以，，
所以
，其中，，
因?yàn)椋裕矗?br/>故選：D
（1）處理向量數(shù)量積的三種方法運(yùn)用區(qū)別：①定義法：已知向量的模與夾角時(shí)，可直接使用數(shù)量積的定義求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)．②基向量法（利用數(shù)量積的幾何意義）：計(jì)算由基底表示的向量的數(shù)量積時(shí)，應(yīng)用相應(yīng)運(yùn)算律，最終轉(zhuǎn)化為基向量的數(shù)量積，進(jìn)而求解．③坐標(biāo)法：若向量選擇坐標(biāo)形式，則向量的數(shù)量積可應(yīng)用坐標(biāo)的運(yùn)算形式進(jìn)行求解。
（2）注意向量夾角的大小抓住共起點(diǎn)
預(yù)計(jì)2024年高考仍會(huì)從平面向量數(shù)量積綜合進(jìn)行命制
1．（2023秋·江蘇蘇州·高三期中統(tǒng)測(cè)）已知是兩個(gè)單位向量，且，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知是兩個(gè)單位向量，，
若，則，
，
故.
故選：B
2．（2023秋·湖南·高三湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)月考）已知正的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍為_(kāi)___________．
【答案】
【解析】由已知，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓．取線段的中點(diǎn)，
則，
又因?yàn)椋裕?br/>則．
故答案為：.
（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯(cuò)提升）
1．（2023秋·江蘇南通如皋·高三統(tǒng)測(cè)）在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則（ ）
A. 1 B. C. D. -1
【答案】B
【解析】點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，如圖所示，
所以.
故選：B.
2．（2023秋·廣東廣州中山·高三中山大學(xué)附屬中學(xué)期中檢測(cè)）如圖，在平行四邊形中，是邊的中點(diǎn)，是的一個(gè)三等分點(diǎn)（），若存在實(shí)數(shù)和，使得，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)槭堑囊粋€(gè)三等分點(diǎn)（），所以.因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，所以.
又，所以.
故選：C
3．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三雅禮中學(xué)月考）在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E滿(mǎn)足，則（ ）
A. 3 B. C. D. 4
【答案】A
【解析】以B為原點(diǎn)，BC，BA所在直線分別為x，y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，
由題意得，
所以，，
所以.
故選：A.
4.（江蘇省南通市2023屆高三高考前練習(xí)）在平行四邊形中，，，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在平行四邊形中，，，，，
則，，

所以，
，可得，
，，
所以，.
故選：B.
5．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)校考一模）（多選）下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．若，則與的方向相同或者相反
B．若，為非零向量，且，則與共線
C．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得
D．若，是兩個(gè)單位向量，且．則
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，與的方向可以既不相同也不相反，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，為非零向量，表示與方向相同的單位向量，表示與方向相同的單位相同，由于，所以與共線，所以該選項(xiàng)正確；
對(duì)于C，當(dāng)，為非零向量時(shí)，不存在，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由得，所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：ACD．
6．（2023秋·福建廈門(mén)·高三廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中）（多選）已知非零單位向量和，若，向量在向量上的投影向量為，向量在向量上的投影向量為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】，
，
對(duì)選項(xiàng)A：，正確；
對(duì)選項(xiàng)B：，正確；
對(duì)選項(xiàng)C：，，不共線，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D：，正確.
故選：ABD.
7．（2023秋·湖北鄂東南·高三省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校期中聯(lián)考）已知向量，，若向量與向量共線，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____.
【答案】0或
【解析】向量，，若向量與向量共線
則，解得0或.
故答案為：0或.
8．（2023春·江蘇南京、鹽城·高三一模）已知向量，滿(mǎn)足，，.設(shè)，則 .
【答案】/-0.8
【解析】法一：設(shè)，，則，
所以.
法二：，又，
則.
故答案為：
9．（2023春·江蘇·高三校考）在平行四邊形ABCD中，＝6，＝5，則＝ .
【答案】
【解析】
由題設(shè)，則，
所以，
而，則，
則，故.
故答案為：
1．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)月考）已知非零向量，滿(mǎn)足，，若，則向量在向量方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)椋裕?br/>∴，又，所以，∴或（舍去），
所以，
所以在方向上的投影向量為.
故選：A.
2．（2023秋·湖南·高三湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)月考）中，為上一點(diǎn)且滿(mǎn)足，若為上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的最小值為 B. 的最大值為1
C. 的最小值為4 D. 的最大值為16
【答案】C
【解析】為正實(shí)數(shù)，，
，而共線，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，結(jié)合，即時(shí)取等號(hào)，A，B錯(cuò)誤；
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，
即的最小值為4，C正確；
又，
由于為正實(shí)數(shù)，，則，
則，時(shí)取最大值，
當(dāng)趨近于0時(shí)，可無(wú)限趨近于0，
故，故無(wú)最大值，D錯(cuò)誤，
故選：C.
3．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三3月校考）已知半徑為1的圓O上有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，C，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋郑裕裕?br/>以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系：

則，，設(shè)，則，
，，
所以，
設(shè)，即，
依題意直線與圓有公共點(diǎn)，
所以，得，
所以的最小值為.
故選：A
4.（2023春·江蘇南通如皋·高三4月校考）單位圓上有兩定點(diǎn)，及兩動(dòng)點(diǎn)，且.則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，則，.
由已知，可知，
所以，所以為等邊三角形，所以.
同理可得，.
.
如圖，當(dāng)、方向相反時(shí)，有最大值為，
即的最大值是.
故選：A.
5．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江丹陽(yáng)·高三呂叔湘中學(xué)10月月考）如圖，在梯形中，，，，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. B. 若為線段的中點(diǎn)，則
C. D. 的最小值為6
【答案】AC
【解析】選項(xiàng)A，過(guò)作的垂直，交于，所以，又，，，，，
所以，故選項(xiàng)A正確；
建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，，
選項(xiàng)B，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則，，，
所以，由，得到，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
設(shè)，則，，
選項(xiàng)C，由，得到，解得，故選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)D，，，所以，
令，對(duì)稱(chēng)軸為，又，當(dāng)時(shí)，所以的最小值為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：AC.
6.（2023春·江蘇南通·高三下學(xué)期第二次調(diào)研測(cè)試）重慶榮昌折扇是中國(guó)四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛(ài).古人曾有詩(shī)贊曰：“開(kāi)合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長(zhǎng)”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD，其中，，動(dòng)點(diǎn)P在上（含端點(diǎn)），連結(jié)OP交扇形OAB的弧于點(diǎn)Q，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C． D．
【答案】ABD
【解析】如圖，作,分別以為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則，
由可得 ，且，
若，則，
解得，（負(fù)值舍去），故，A正確；
若，則，，所以，
所以，故B正確；
，由于，故，
故，故C錯(cuò)誤；
由于，
故
，而，所以，
所以，故D正確，
故選：ABD
7．（2023秋·江蘇蘇州·高三期中統(tǒng)測(cè)）如圖，一個(gè)半徑為的半圓，、兩點(diǎn)為直徑的三等分點(diǎn)，、兩點(diǎn)為弧上的三等分點(diǎn)，則________.
【答案】
【解析】以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，
過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，連接、，
由題意可知，，，
則、、、，
所以，，，故.
故答案為：.
8．（2023求·江蘇校考）已知P是半徑為1圓心角為的一段圓弧AB上的一點(diǎn)，若，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
因?yàn)椋遥裕郑?br/>所以，在中，因?yàn)椋裕?br/>，則，所以，設(shè)，
則
，又，所以，則，
即的取值范圍是
故答案為：專(zhuān)題04 平面向量
01專(zhuān)題網(wǎng)絡(luò)·思維腦圖（含基礎(chǔ)知識(shí)梳理、常用結(jié)論與技巧）
02考情分析·解密高考
03高頻考點(diǎn)·以考定法
考點(diǎn)一 平面向量的概念及線性運(yùn)算
命題點(diǎn)1 平面向量的概念及線性運(yùn)算
命題點(diǎn)2 向量共線定理及平面向量基本定理
考點(diǎn)二 平面向量的數(shù)量積
命題點(diǎn)一 平面向量的數(shù)量積的簡(jiǎn)單運(yùn)算
命題點(diǎn)二 平面向量的數(shù)量積的最值與范圍
04創(chuàng)新好題·分層訓(xùn)練（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯(cuò)提升）
02考情分析·解密高考
平面向量作為高考必考題，高考題型一般作為客觀題出現(xiàn)，偶爾也會(huì)出現(xiàn)解答題。
高考要求：1．平面向量的實(shí)際背景及基本概念：
（1）了解向量的實(shí)際背景；（2）理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義；（3）理解向量的幾何表示；2．向量的線性運(yùn)算：（1）掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；（2）掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義；（3）了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義；
3.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示：（1）了解平面向量的基本定理及其意義；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；（3）會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；（4）理解用坐標(biāo)表示的平面向量的貢獻(xiàn)的條件。
4．平面向量的數(shù)量積：（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；（2）了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；（4）能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；5．向量的應(yīng)用：（1）會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.（2）會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題.
真題多維細(xì)目表
考點(diǎn) 考向 考題
平面向量 ①平面向量的概念及線性運(yùn)算 ②平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 ③平面向量的數(shù)量積及夾角問(wèn)題 ④平面向量的綜合應(yīng)用 2023年全國(guó)乙卷·T12,2023年全國(guó)甲卷·T4，2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷·T15，2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷·T13，2022新高考全國(guó)I卷·T6，2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)，2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)·T3，2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷，2021年高考全國(guó)乙卷·T16，2020年新高考全國(guó)卷Ⅱ數(shù)學(xué)·T7,2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷·2020年高考課標(biāo)Ⅲ卷·T6，2019·全國(guó)Ⅰ·T9，2019·全國(guó)Ⅱ·理·T3，2019·全國(guó)Ⅰ·T7
考點(diǎn)一 平面向量的概念及線性運(yùn)算
命題點(diǎn)1 平面向量的概念及線性運(yùn)算
典例01 (2021年高考浙江卷·第3題)已知非零向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
典例02 (2022新高考全國(guó)I卷·)在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
典例03 (2023年天津卷·)在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，則可用表示為_(kāi)________；若，則的最大值為_(kāi)________．
(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解．
(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解．
命題點(diǎn)2 向量共線定理及平面向量基本定理
典例01 （2020年江蘇卷13）在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是________．
典例02 (2023年天津卷·)在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，則可用表示為_(kāi)________；若，則的最大值為_(kāi)________．
典例03 (2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第12題)在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
預(yù)計(jì)2024年高考仍會(huì)從平面向量的線性運(yùn)算向進(jìn)行命制.
1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，如果，那么（ ）

A． B．
C． D．
2．（2023秋·湖北鄂東南·高三省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校期中聯(lián)考）已知向量，，若向量與向量共線，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____.
考點(diǎn)二 平面向量的數(shù)量積
命題點(diǎn)一 平面向量的數(shù)量積的簡(jiǎn)單運(yùn)算
典例01 (2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷·)已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
典例02 (2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷·第13題) 已知向量，滿(mǎn)足，，則______．
典例03 (2023年全國(guó)甲卷·第4題) 已知向量滿(mǎn)足，且，則（ ）
A． B． C． D．
命題點(diǎn)二 平面向量的數(shù)量積的最值與范圍
典例01 (2023年全國(guó)乙卷·第12題) 已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A．直線PB與交于B．C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
典例02 【2022年北京卷10】在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（1）處理向量數(shù)量積的三種方法運(yùn)用區(qū)別：①定義法：已知向量的模與夾角時(shí)，可直接使用數(shù)量積的定義求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)．②基向量法（利用數(shù)量積的幾何意義）：計(jì)算由基底表示的向量的數(shù)量積時(shí)，應(yīng)用相應(yīng)運(yùn)算律，最終轉(zhuǎn)化為基向量的數(shù)量積，進(jìn)而求解．③坐標(biāo)法：若向量選擇坐標(biāo)形式，則向量的數(shù)量積可應(yīng)用坐標(biāo)的運(yùn)算形式進(jìn)行求解。
（2）注意向量夾角的大小抓住共起點(diǎn)
預(yù)計(jì)2024年高考仍會(huì)從平面向量數(shù)量積綜合進(jìn)行命制
1．（2023秋·江蘇蘇州·高三期中統(tǒng)測(cè)）已知是兩個(gè)單位向量，且，若，則（ ）
A. B. C. D.
2．（2023秋·湖南·高三湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)月考）已知正的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍為_(kāi)___________．
（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯(cuò)提升）
1．（2023秋·江蘇南通如皋·高三統(tǒng)測(cè)）在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則（ ）
A. 1 B. C. D. -1
2．（2023秋·廣東廣州中山·高三中山大學(xué)附屬中學(xué)期中檢測(cè)）如圖，在平行四邊形中，是邊的中點(diǎn)，是的一個(gè)三等分點(diǎn)（），若存在實(shí)數(shù)和，使得，則（ ）
A. B. C. D.
3．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三雅禮中學(xué)月考）在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E滿(mǎn)足，則（ ）
A. 3 B. C. D. 4
4.（江蘇省南通市2023屆高三高考前練習(xí)）在平行四邊形中，，，，，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)校考一模）（多選）下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．若，則與的方向相同或者相反
B．若，為非零向量，且，則與共線
C．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得
D．若，是兩個(gè)單位向量，且．則
6．（2023秋·福建廈門(mén)·高三廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中）（多選）已知非零單位向量和，若，向量在向量上的投影向量為，向量在向量上的投影向量為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
7．（2023秋·湖北鄂東南·高三省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校期中聯(lián)考）已知向量，，若向量與向量共線，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____.
8．（2023春·江蘇南京、鹽城·高三一模）已知向量，滿(mǎn)足，，.設(shè)，則 .
9．（2023春·江蘇·高三校考）在平行四邊形ABCD中，＝6，＝5，則＝ .
1．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)月考）已知非零向量，滿(mǎn)足，，若，則向量在向量方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
2．（2023秋·湖南·高三湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)月考）中，為上一點(diǎn)且滿(mǎn)足，若為上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的最小值為 B. 的最大值為1
C. 的最小值為4 D. 的最大值為16
3．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三3月校考）已知半徑為1的圓O上有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，C，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
4.（2023春·江蘇南通如皋·高三4月校考）單位圓上有兩定點(diǎn)，及兩動(dòng)點(diǎn)，且.則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江丹陽(yáng)·高三呂叔湘中學(xué)10月月考）如圖，在梯形中，，，，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. B. 若為線段的中點(diǎn)，則
C. D. 的最小值為6
6.（2023春·江蘇南通·高三下學(xué)期第二次調(diào)研測(cè)試）重慶榮昌折扇是中國(guó)四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛(ài).古人曾有詩(shī)贊曰：“開(kāi)合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長(zhǎng)”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD，其中，，動(dòng)點(diǎn)P在上（含端點(diǎn)），連結(jié)OP交扇形OAB的弧于點(diǎn)Q，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C． D．
7．（2023秋·江蘇蘇州·高三期中統(tǒng)測(cè)）如圖，一個(gè)半徑為的半圓，、兩點(diǎn)為直徑的三等分點(diǎn)，、兩點(diǎn)為弧上的三等分點(diǎn)，則________.
8．（2023求·江蘇校考）已知P是半徑為1圓心角為的一段圓弧AB上的一點(diǎn)，若，則的取值范圍是______.

展開(kāi)更多......

收起↑