資源簡介

專題05 數列
第二講 數列的求和
01專題網絡·思維腦圖（含基礎知識梳理、常用結論與技巧）
02考情分析·解密高考
03高頻考點·以考定法
考點一 分組求和法
考點二 錯位相減法
考點三 裂項相消法
考點四 奇偶項并項求和
04創新好題·分層訓練（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯提升）
02考情分析·解密高考
數列作為高考必考題，高考題型一般作為客觀題、解答題出現，數列求和經常在考題中出現。
高考要求：掌握等差、等比數列的前n項和公式；掌握特殊的非等差、等比數列的幾種常見的求和方法。
考點 考向 考題
數列求和 ①分組求和法 ②錯位相減法 ③裂項相消法 2023年全國甲卷·T17，2023年新課標全國Ⅰ卷·T7、T20，2023年新課標全國Ⅱ卷·T8、T18，2022新高考全國I卷·T17，2022年新課標全國Ⅱ卷·T17、T3，2022年高考全國甲卷數學·T17，2021年新課標全國Ⅰ卷·T16、T17，2021年新高考全國Ⅱ卷T12、T17，2020年高考課標ⅢT17卷，2020·全國Ⅱ·理·T4、T6，2019·全國Ⅰ·T9
考點一 分組求和法
典例01 【2023年新高考2卷18】已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【解析】（1）設等差數列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數列的通項公式是.
（2）由（1）知，，，
當為偶數時，，
當時，，因此，
當為奇數時，若，則
，顯然滿足上式，因此當為奇數時，，
當時，，因此，
所以當時，.
數列通項為分段型，注意對n奇偶性的討論分析
預計2024年高考仍會從分組求和的方向進行命制.
1．（2022·安徽·高三期末（理））已知數列的前n項和．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：當時，，
當時，，
當時，上式也成立，
所以；
(2)解：，
設數列的前項和為，
則
.
2．（2020屆陜西省西安中學高三第一次模擬）已知數列的前n項和為，且n、、成等差數列，.
（1）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（2）若數列中去掉數列的項后余下的項按原順序組成數列，求的值.
【答案】（1）證明見解析，；（2）11202.
【解析】（1）證明：因為n，，成等差數列，所以，①
所以.②
①－②，得，所以.
又當時，，所以，所以，
故數列是首項為2，公比為2的等比數列，
所以，即.
（2）根據（1）求解知，，，所以，
所以數列是以1為首項，2為公差的等差數列.
又因為，，，，，，，，
，，，
所以
.
考點二 錯位相減法
典例01 (2023年全國甲卷理科·第17題) 設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)因為，
當時，，即；
當時，，即，
當時，，所以，
化簡得：，當時，，即，
當時都滿足上式，所以．
(2)因為，所以，
，
兩式相減得，
，
，即，．
典例02 (2021年高考浙江卷·第20題) 已知數列前n項和為，，且．
(1)求數列通項；
(2)設數列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求的范圍．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)當時，，，
當時，由①，得②，①②得
，又是首項為，公比為的等比數列，
；
(2)由，得，
所以，
，
兩式相減得
，
所以，由得恒成立，
即恒成立，
時不等式恒成立；
時，，得；
時，，得；
所以．
（1）處理錯位相減法求數列和，注意相減之后的項數；
（2）注意代入n=1檢驗結果是否符合
預計2024年高考如果考查數列求和仍會從錯位相減法的方向進行命制
1．(江蘇省南京市臨江高級中學2023屆高三下學期二模拉練)已知數列的前項和為，滿足.
(1)求的值，并求數列的通項公式.
(2)令，求數列的前項和.
【答案】(1)，，
(2)
【解析】（1），
當時，；當時，，
，
，
，
又
（2）由（1）得，
，
，
，
2．（江蘇省蘇錫常鎮四市2023屆高三下學期3月教學情況調研（一））已知等比數列的各項均為正數，且，.
(1)求的通項公式；
(2)數列滿足，求的前n項和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）設數列的公比為，則，，解得，
所以，即的通項公式為；
（2）方法一：由題可知，
則，
，
所以，
.
方法二：，
所以
考點三 裂項相消法
典例01 (2022新高考全國I卷·第17題) 記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【答案】(1) (2)見解析
【解析】(1)∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數列，
∴,∴,∴當時，，
∴,整理得：,
即,∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項公式；
(2)
∴
典例02 (2020天津高考·第19題) 已知為等差數列，為等比數列，．
(Ⅰ)求和的通項公式；
(Ⅱ)記的前項和為，求證：；
(Ⅲ)對任意的正整數，設求數列的前項和．
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)．
【解析】(Ⅰ)設等差數列的公差為，等比數列的公比為．由，，可得．
從而的通項公式為．由，又，可得，解得，
從而的通項公式為．
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，
故，，
從而，所以．
(Ⅲ)當為奇數時，，
當為偶數時，，
對任意的正整數，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
從而得：．
因此，．所以，數列的前項和為．
預計2024年高考如果考查數列求和仍會從裂項相消法的方向進行命制
1.（江蘇省南京市2023屆高三二模）已知數列的前項和為，，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)求證：．
【答案】(1)；(2)證明見解析
【解析】（1），則，
整理得到，故，
故是常數列，故，即，
當時，，
驗證時滿足，故
（2），
故
.
2.【江蘇省泰州市2023屆高三下學期第一次調研測試】在①成等比數列，②，③這三個條件中任選兩個，補充在下面問題中，并完成解答.
已知數列是公差不為0的等差數列，其前項和為，且滿足__________，__________.
(1)求的通項公式；
(2)求.
注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案計分.
【答案】(1)選①②，①③或②③均可得；(2)
【解析】（1）若選①②，設公差為，
則，
解得：，
；
選①③，設公差為，
，
解得：，
；
選②③，設公差為，
，
解得：，
；
，
.
（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯提升）
1．（2023·高三校考）已知數列滿足，，，為數列的前項和，則下列說法不正確的有（ ）
A． B．
C． D．的最大值為
【答案】B
【解析】對于A，當為奇數時，，又，
，則，A正確；
對于B，當為偶數時，，又，；
由A知：當為奇數時，；
則當為偶數時，；
當為奇數時，；
，B錯誤；
對于C，，C正確；
對于D，當時，，
當為偶數時，；當為奇數時，；
當時，，
當為偶數時，；當為奇數時，；
綜上所述：，D正確.
故選：B
2．（2023秋·山東聊城·高三期中統測改編）已知數列的前項和為，，，，下列說法不正確的是（ ）
A. B. 為常數列
C. D.
【答案】C
【解析】，則，
整理得，即，
故是常數列，
所以，即，故D選項正確.
當時，，
經檢驗時滿足，故.
對于A選項，由，知，故A選項正確.
對于B選項，由，知，所以為常數列，故B選項正確.
對于C選項，由，知，故C選項錯誤.
故選:C
3．（2023春·湖南長沙·高三長郡中學校考）已知數列滿足：.則的前60項的和為（ ）
A．1240 B．1830 C．2520 D．2760
【答案】D
【解析】由，
故，，，，….
故，，，….
從第一項開始，依次取2個相鄰奇數項的和都等于3；
，，，….
從第二項開始，依次取2個相鄰偶數項的和構成以13為首項，
以24為公差的等差數列.
故.
故選：D.
4.（2023秋·高三校考）已知數列的前n項和為，且，記數列的前n項和為若對于任意的，不等式恒成立，則實數t的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】對于，
當n=1時，
當n≥2時，
經檢驗：對n=1也成立，
∴
所以
∴
，
兩式相減得，，
，
所以 所以， 令 ，
，
故當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以，t的最小值為．
故選：B．
5．（2023秋·湖南長沙·高三長郡中學月考）（多選）已知數列滿足，數列滿足，記數列的前項和為，則下列結論正確的是（ ）
A. 數列是等差數列 B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】因為，所以，
所以，且，
所以數列是等差數列，且該數列的首項為1，公差為，
所以，所以選項AB正確；
因為，所以，
所以，
所以
，所以選項C正確，D錯誤．
故選：ABC．
6．（2023·河南安陽·安陽一中校聯考）在數列中，且，______．
【答案】2600
【解析】當為奇數，即時，設，，，
則，即數列是以為首項，以為公差的等差數列，則，
故；
當為偶數，即時，設，，，
則，顯然數列為常數列，則，即；
.
故答案為：2600
7.（2023秋·高三校考）若數列的前項和為，，則稱數列是數列的“均值數列”.已知數列是數列的“均值數列”且通項公式為，設數列的前項和為，若對一切恒成立，則實數的取值范圍為______．
【答案】
【解析】由題意，數列的前項和為，由“均值數列”的定義可得，所以，
當時，；
當時，，
也滿足，所以，
所以，
所以，
又對一切恒成立，
所以，整理得，解得或.
即實數的取值范圍為.
故答案為：
8.（廣東省執信、深外、育才等學校2024屆高三上學期12月聯考數學試題）已知正項數列的前n項和為，且，．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，若數列滿足，求的前n項和．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因為，且，則，
可知數列為常數列，且，
則，即，
當時，，
且也符合上式，所以.
（2）由（1）可得，則，
設的前n項和為，
則，
所以的前n項和為.
9.（2022·江蘇南通·模擬預測）已知正項數列{}中，，是其前n項和，且滿足
(1)求數列{}的通項公式：
(2)已知數列{}滿足，設數列{}的前n項和為，求的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)正項數列{}，，滿足，所以，
所以數列{}是以1為首項1為公差的等差數列，
所以，所以，
當時，，
當時也成立，
所以.
(2)因為
所以，
所以當為奇數時，；
當為偶數時，，
由{}遞增，得，
所以的最小值為.
1．（2023·湖南郴州·統考三模）已知函數的圖象在點處的切線的斜率為，則數列的前項和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，則，
所以，
所以.
故選：C.
2．（2023·廣東廣州·統考一模）若數列滿足，則的前2022項和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】當為奇數時，，當為偶數時，，
.
故選：D
3.（2023秋·江蘇南通海安·高三期中統測）（多選）已知數列滿足，且，則（ ）
A. 為遞增數列
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】顯然，而，則，，
又，即有與同號，而，則，
對于A，，即，為遞增數列，A正確；
對于B，，則，
因此，B正確；
對于C，由，得，即，
因此，C正確；
對于D，，因此（當且僅當時取等號），
所以，D錯誤.
故選：ABC
4.（2023秋·高三校考）設等比數列的前項和為，公比，,則數列的前項和為為 .
【答案】
【解析】，解得，
；


.
故答案為：
5.（2023秋·高三校考）在數列中，已知，且，則數列的前n項和 .
【答案】
【解析】依題意，，
所以
.
故答案為：
6.（2023秋·高三校考）已知數列的前項即為，且，若對任意，都有，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】數列的前項即為，且
，
，
兩式相減可得：，
. ，單調遞增，即 .
，，.
又若對任意，都有，即， .
故答案為： .
7．（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市八中校考開學考試）已知數列的前項和為，滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，證明：.
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】（1）因為，則化為，
即，所以，所以是首項為，公差為的等差數列，
所以，解得，
當時，，
不滿足上式，
所以.
（2）結合（1）得，，
所以，
因為，所以．
8.（2022·天津三中三模）已知在各項均不相等的等差數列中，，且、、成等比數列，數列中，，，.
(1)求的通項公式及其前項和；
(2)求證：是等比數列，并求的通項公式；
(3)設求數列的前項的和.
【答案】(1)，(2)證明見解析，(3)
【解析】(1)解：設等差數列的公差為，則，
由已知可得，即，解得，故，
.
(2)證明：因為，，則，
因為，故數列是以為首項和公比的等比數列，
因此，，因此，.
(3)解：設數列的前項和中，奇數項的和記為，偶數項的和記為.
當，，
則，
，
上式下式得
，
故.
當時，
，
所以，
，
因此，
9.（2022·廣東佛山·模擬預測）已知數列滿足，，且對任意，都有．
(1)求證：是等比數列，并求的通項公式；
(2)求使得不等式成立的最大正整數m．
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】(1)由，得，
所以是等比數列.
所以
從而
所以，．
(2)設
即，所以，，
于是，．
因為，且，
所以，使成立的最大正整數．專題05 數列
第二講 數列的求和
01專題網絡·思維腦圖（含基礎知識梳理、常用結論與技巧）
02考情分析·解密高考
03高頻考點·以考定法
考點一 分組求和法
考點二 錯位相減法
考點三 裂項相消法
考點四 奇偶項并項求和
04創新好題·分層訓練（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯提升）
02考情分析·解密高考
數列作為高考必考題，高考題型一般作為客觀題、解答題出現，數列求和經常在考題中出現。
高考要求：掌握等差、等比數列的前n項和公式；掌握特殊的非等差、等比數列的幾種常見的求和方法。
考點 考向 考題
數列求和 ①分組求和法 ②錯位相減法 ③裂項相消法 2023年全國甲卷·T17，2023年新課標全國Ⅰ卷·T7、T20，2023年新課標全國Ⅱ卷·T8、T18，2022新高考全國I卷·T17，2022年新課標全國Ⅱ卷·T17、T3，2022年高考全國甲卷數學·T17，2021年新課標全國Ⅰ卷·T16、T17，2021年新高考全國Ⅱ卷T12、T17，2020年高考課標ⅢT17卷，2020·全國Ⅱ·理·T4、T6，2019·全國Ⅰ·T9
考點一 分組求和法
典例01 【2023年新高考2卷18】已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
預計2024年高考仍會從分組求和的方向進行命制.
1．（2022·安徽·高三期末（理））已知數列的前n項和．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
2．（2020屆陜西省西安中學高三第一次模擬）已知數列的前n項和為，且n、、成等差數列，.
（1）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（2）若數列中去掉數列的項后余下的項按原順序組成數列，求的值.
考點二 錯位相減法
典例01 (2023年全國甲卷理科·第17題) 設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
典例02 (2021年高考浙江卷·第20題) 已知數列前n項和為，，且．
(1)求數列通項；
(2)設數列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求的范圍．
（1）處理錯位相減法求數列和，注意相減之后的項數；
（2）注意代入n=1檢驗結果是否符合
預計2024年高考如果考查數列求和仍會從錯位相減法的方向進行命制
1．(江蘇省南京市臨江高級中學2023屆高三下學期二模拉練)已知數列的前項和為，滿足.
(1)求的值，并求數列的通項公式.
(2)令，求數列的前項和.
2．（江蘇省蘇錫常鎮四市2023屆高三下學期3月教學情況調研（一））已知等比數列的各項均為正數，且，.
(1)求的通項公式；
(2)數列滿足，求的前n項和.
考點三 裂項相消法
典例01 (2022新高考全國I卷·第17題) 記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
典例02 (2020天津高考·第19題) 已知為等差數列，為等比數列，．
(Ⅰ)求和的通項公式；
(Ⅱ)記的前項和為，求證：；
(Ⅲ)對任意的正整數，設求數列的前項和．
預計2024年高考如果考查數列求和仍會從裂項相消法的方向進行命制
1.（江蘇省南京市2023屆高三二模）已知數列的前項和為，，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)求證：．
2.【江蘇省泰州市2023屆高三下學期第一次調研測試】在①成等比數列，②，③這三個條件中任選兩個，補充在下面問題中，并完成解答.
已知數列是公差不為0的等差數列，其前項和為，且滿足__________，__________.
(1)求的通項公式；
(2)求.
注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案計分.
（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯提升）
1．（2023·高三校考）已知數列滿足，，，為數列的前項和，則下列說法不正確的有（ ）
A． B．
C． D．的最大值為
2．（2023秋·山東聊城·高三期中統測改編）已知數列的前項和為，，，，下列說法不正確的是（ ）
A. B. 為常數列
C. D.
3．（2023春·湖南長沙·高三長郡中學校考）已知數列滿足：.則的前60項的和為（ ）
A．1240 B．1830 C．2520 D．2760
4.（2023秋·高三校考）已知數列的前n項和為，且，記數列的前n項和為若對于任意的，不等式恒成立，則實數t的最小值為（ ）
A. B. C. D.
5．（2023秋·湖南長沙·高三長郡中學月考）（多選）已知數列滿足，數列滿足，記數列的前項和為，則下列結論正確的是（ ）
A. 數列是等差數列 B.
C. D.
6．（2023·河南安陽·安陽一中校聯考）在數列中，且，______．
7.（2023秋·高三校考）若數列的前項和為，，則稱數列是數列的“均值數列”.已知數列是數列的“均值數列”且通項公式為，設數列的前項和為，若對一切恒成立，則實數的取值范圍為______．
8.（廣東省執信、深外、育才等學校2024屆高三上學期12月聯考數學試題）已知正項數列的前n項和為，且，．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，若數列滿足，求的前n項和．
9.（2022·江蘇南通·模擬預測）已知正項數列{}中，，是其前n項和，且滿足
(1)求數列{}的通項公式：
(2)已知數列{}滿足，設數列{}的前n項和為，求的最小值.
1．（2023·湖南郴州·統考三模）已知函數的圖象在點處的切線的斜率為，則數列的前項和為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·廣東廣州·統考一模）若數列滿足，則的前2022項和為（ ）
A． B． C． D．
3.（2023秋·江蘇南通海安·高三期中統測）（多選）已知數列滿足，且，則（ ）
A. 為遞增數列 B.
C. D.
4.（2023秋·高三校考）設等比數列的前項和為，公比，,則數列的前項和為為 .
5.（2023秋·高三校考）在數列中，已知，且，則數列的前n項和 .
6.（2023秋·高三校考）已知數列的前項即為，且，若對任意，都有，則的取值范圍是 .
7．（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市八中校考開學考試）已知數列的前項和為，滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，證明：.
8.（2022·天津三中三模）已知在各項均不相等的等差數列中，，且、、成等比數列，數列中，，，.
(1)求的通項公式及其前項和；
(2)求證：是等比數列，并求的通項公式；
(3)設求數列的前項的和.
9.（2022·廣東佛山·模擬預測）已知數列滿足，，且對任意，都有．
(1)求證：是等比數列，并求的通項公式；
(2)求使得不等式成立的最大正整數m．

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