資源簡(jiǎn)介

專題05 數(shù)列
第三講 數(shù)列與不等關(guān)系
01專題網(wǎng)絡(luò)·思維腦圖（含基礎(chǔ)知識(shí)梳理、常用結(jié)論與技巧）
02考情分析·解密高考
03高頻考點(diǎn)·以考定法
考點(diǎn)一 作差法與先求和再放縮
命題點(diǎn)1 并項(xiàng)求和
命題點(diǎn)2 裂項(xiàng)求和
命題點(diǎn)3 錯(cuò)位相減求和
考點(diǎn)二 先放縮再求和
命題點(diǎn)1由累加法及裂項(xiàng)求和
命題點(diǎn)2 由累乘法及裂項(xiàng)求和
考點(diǎn)三 恒成立問題
04創(chuàng)新好題·分層訓(xùn)練（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯(cuò)提升）
02考情分析·解密高考
數(shù)列作為高考必考題，高考題型一般作為客觀題、解答題出現(xiàn)，數(shù)列與不等關(guān)系經(jīng)常在考題中出現(xiàn)。
高考要求：證明數(shù)列不等式，有時(shí)需要應(yīng)用放縮法結(jié)合數(shù)列的求和解決，求解的方法有先放縮再求和或先求和再放縮；數(shù)列中的不等式問題需要掌握常見的三種方法：（1）分離參數(shù)法，（2）單調(diào)性法，（3）最值（有界性）法。
考點(diǎn) 考向 考題
數(shù)列 證明數(shù)列不等式 2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷T18，2022新高考全國I卷·T17，2021年新課標(biāo)全國Ⅰ卷·T16、T17，2021年新高考全國Ⅱ卷T12、T17，2020年高考課標(biāo)ⅢT17卷，2020·全國Ⅱ·理·T4、T6，2019·全國Ⅰ·T9
考點(diǎn)一 作差法與利用求和結(jié)論進(jìn)行放縮
命題點(diǎn)1 并項(xiàng)求和
典例01 【2023年新高考2卷18】已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（2）由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則
，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
所以當(dāng)時(shí)，.
典例02 (2021年新高考全國Ⅱ卷·第17題) 記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求使成立的n的最小值．
【答案】(1)=;(2)7
【解析】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，
，
從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．
(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，
則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為．
對(duì)于分段數(shù)列求和需要對(duì)n分奇偶性討論，證明數(shù)列不等式可以通過作差法進(jìn)行證明。
命題點(diǎn)2 裂項(xiàng)相消求和
典例01 (2022新高考全國I卷·第17題) 記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
【答案】(1), (2)見解析
【解析】(1)∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，
∴,整理得：,
即,∴
，
顯然對(duì)于也成立，
∴的通項(xiàng)公式；
(2)
∴
命題點(diǎn)3 錯(cuò)位相減求和
典例01 （2022·安徽合肥·二模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列滿足________，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．
從① ②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在第（2）問中的橫線上并作答.
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】(1)①，
當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，②①-②得，即
又，∴數(shù)列是從第2項(xiàng)起的等比數(shù)列，即當(dāng)時(shí)，．．
(2)若選擇①：，
．
若選擇②，則③，④，
③-④得，．
預(yù)計(jì)2024年高考數(shù)列與不等關(guān)系仍會(huì)從作差法與利用求和結(jié)論進(jìn)行放縮方向進(jìn)行命制.
1．（2023秋·高三校考）若正整數(shù)m，n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互素，歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)k，且與k互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：，，，．下列說法正確的是（ ）
A． B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列
C． D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，則
【答案】ACD
【解析】與互素的正整數(shù)有，所以，故A正確；因?yàn)?，所以?shù)列不為遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；與互素的正整數(shù)有，共有個(gè)，所以，因?yàn)椋?br/>所以，所以，兩式相減得，所以，故D正確，
故選：ACD
2．（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．
【答案】(1),(2)證明見解析
【解析】(1)解：由題意，，解得或，
因?yàn)榈缺葦?shù)列為遞增數(shù)列，所以，所以；
(2)解：由（1）知，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為，①
，②
① ② 得，
所以，
又因?yàn)?，所以，所?
考點(diǎn)二 先放縮再求和
命題點(diǎn)一 由累加法及裂項(xiàng)求和
典例01 （2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，易得，依次類推可得
由題意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
綜上：．
故選：B．
命題點(diǎn)二 由累乘法及裂項(xiàng)求和
典例01 （2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋裕?br/>由
，即
根據(jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，
由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
由裂項(xiàng)求和法得：
所以，即．
故選：A．
（1）處理累加累乘法求通項(xiàng)，注意遞推公式的形式特點(diǎn)；
（2）注意檢驗(yàn)是否符合
預(yù)計(jì)2024年高考數(shù)列與不等關(guān)系仍會(huì)從先放縮再求和方向進(jìn)行命制
1．(2023·鹽城質(zhì)檢)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝2，4Sn＝anan＋1(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：【答案】(1)an＝2n，n∈N*,(2)證明見解析
【解析】(1)解　∵4Sn＝anan＋1，n∈N*，
∴4a1＝a1·a2，又a1＝2，∴a2＝4，
當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn－1＝an－1an，得4an＝anan＋1－an－1an.
由題意知an≠0，∴an＋1－an－1＝4，
∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列，公差都為4，
∴a2k－1＝2＋4(k－1)＝2(2k－1)，
a2k＝4＋4(k－1)＝2·2k，
∴該數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為2.
綜上可知，an＝2n，n∈N*.
(2)證明　∵＝>＝，
∴Tn＝＋＋…＋>
＝＝.
又∵＝<＝＝.
∴Tn＝＋＋…＋
<＝<.
即得2．（2023秋·高三校考）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，且滿足．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，證明：．
【答案】(1)證明見解析，；(2)證明見解析
【解析】（1）方法一：當(dāng)，得，當(dāng)時(shí)，①②
兩式相除可得：即，又，
故，變形為：，因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，1為公差的等比數(shù)列．所以化簡(jiǎn)可得
法二：因?yàn)?，，所以?br/>令，則，所以以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
所以，即，所以．又因?yàn)闈M足上式，
所以，所以，故，
故數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）
因?yàn)椋?br/>所以
考點(diǎn)三 恒成立問題
典例01 （2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，由①，
得②，①②得
，
又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
；
（2）由，得，
所以，
，
兩式相減得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
時(shí)不等式恒成立；
時(shí)，，得；
時(shí)，，得；
所以.
典例02 (2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題·第20題) 已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．
(1)若，求；
(2)若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．
【答案】(1),(2)
【解析】(1)因?yàn)椋?br/>所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
(2)因?yàn)?，，成等比?shù)列，
所以，
，
，
由已知方程的判別式大于等于0，
所以，
所以對(duì)于任意的恒成立，
所以對(duì)于任意的恒成立，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由，可得
當(dāng)時(shí)，，
又
所以
預(yù)計(jì)2024年高考數(shù)列與不等關(guān)系仍會(huì)從恒成立問題方向進(jìn)行命制.
1.（2022·江西鷹潭·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)；(2)或.
【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，
∴，即，又，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故，
又由（），
當(dāng)時(shí)，也適合，所以.
(2)∵，
∴，
又∵對(duì)任意的，不等式恒成立，，
∴，解得或.即所求實(shí)數(shù)的范圍是或.
2.（2022·重慶）數(shù)列滿足：，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)，(2)或
【解析】(1)解：當(dāng)，，①
，，②
①－②得（*）
在①中令，得，也滿足（*），所以，，
(2)解：由（1）知，，
故，
于是，
因?yàn)殡Sn的增大而增大，
所以，解得或
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是或.
（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯(cuò)提升）
1．（2023 甲卷（理）改編）已知數(shù)列中，，設(shè)為前項(xiàng)和，．
若數(shù)列的前項(xiàng)和，則若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，
，，
當(dāng)時(shí)，可得，
，
當(dāng)或時(shí)，，適合上式，
的通項(xiàng)公式為；
由可得，
，，
，
，所以
故選：C.
2．（2023·高三?？迹┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，所以，解得或.
故選：A.
3．（2023秋·湖南長沙·高三長郡中學(xué)月考）（多選）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 數(shù)列是等差數(shù)列 B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】因?yàn)?，所以?br/>所以，且，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為，
所以，所以選項(xiàng)AB正確；
因?yàn)?，所以?br/>所以，
所以
，所以選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
4.（2023·云南·統(tǒng)考一模改編）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)任意，，則m的最小值為___________．
【答案】7
【解析】因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)時(shí)，，故，
且不滿足上式，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，
故，
于是．
整理可得，所以，
又，所以符合題設(shè)條件的m的最小值為7．
故答案為：7
5．（2023秋·高三校考）黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想涉及到很多領(lǐng)域的應(yīng)用，有些數(shù)學(xué)家將黎曼猜想的攻堅(jiān)之路趣稱為：“各大行長躲在銀行保險(xiǎn)柜前瑟瑟發(fā)抖，不少黑客則潛伏敲著鍵盤蓄勢(shì)待發(fā)”.黎曼猜想研究的是無窮級(jí)數(shù)，我們經(jīng)常從無窮級(jí)數(shù)的部分和入手.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則______（其中表示不超過的最大整數(shù)）.
【答案】38
【解析】當(dāng)時(shí)，，，，∵，∴，
當(dāng)時(shí)，，∴，，
∴，∴是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，∴，
∵，∴，∴，，即，
又時(shí)，，即，
令，，
，即，從而.
故答案為：38
6．（2023秋·高三校考）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”.已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且通項(xiàng)公式為，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
【答案】
【解析】由題意，數(shù)列的前項(xiàng)和為，由“均值數(shù)列”的定義可得，所以，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
也滿足，所以，
所以，
所以，
又對(duì)一切恒成立，
所以，整理得，解得或.
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
7.（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
【答案】(1)，(2)證明見解析
【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，
所以，則，得（），
兩式相減得：，則，
（），
又適合上式，故．
另解：由得（），
故為常數(shù)列，
則，故．
（2）由（1）得，
所以，
則.
8.（2023·廣東揭陽·?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列、滿足，，，
(1)求證：為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；
(2)若，記前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的正自然數(shù)n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）∵，，兩邊同除以得：
，從而，，
是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，
∴；
（2）由，，
∴，∴，
∴，
∴，
，
兩式相減得，，
∴
＝，
中每一項(xiàng)，為遞增數(shù)列，∴，
∵，∴，
，
9．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（為非零常數(shù)），且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的前項(xiàng)和，并證明：.
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】(1)數(shù)列的前項(xiàng)和為 時(shí), ,解得0 ①
當(dāng)時(shí)， ②①-②得 ,則即 (常數(shù))
所以數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.則
又，則，所以或（舍）故.
(2)由于所以=
則
因?yàn)?，所以，所?br/>又所以隨的增大而減小
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值故
1．（2022秋·江蘇南通·高三期末改編）設(shè)數(shù)列首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且滿足，則滿足的所有n的和為（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【解析】由，得，
兩式相減得，
則，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列，
則，，
故，
由，得，
所以，所以或5，
即所有n的和為.
故選：A
2．（2023秋·高三?？迹┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則使得成立的n的最小值為（ ）
A．32 B．33 C．44 D．45
【答案】D
【解析】①，當(dāng)時(shí)，②，兩式相減得，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為4，所以，
中，令得，故，故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為4，所以，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，解得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，解得，
所以成立的n的最小值為.
故選：D
3.（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.若對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，則滿足等式的所有正整數(shù)為（ ）
A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4
【答案】A
【解析】，
時(shí)，，
相減可得：，即
又時(shí)，，解得，滿足，
數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以．
對(duì)任意正整數(shù)n，都有成立，
得①，
又②，
②－①×3得：，
又，所以，得，
進(jìn)而，
由，得，即，
記，則，
以下證明時(shí)，，
因?yàn)椋?br/>即時(shí)，單調(diào)遞減，，
綜上可得，滿足等式的所有正整數(shù)的取值為1或3．
故選：A．
4．（2023秋·高三學(xué)校聯(lián)考改編）（多選）已知數(shù)列的首項(xiàng)為,數(shù)列的前項(xiàng)和小于實(shí)數(shù)，則的取值可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】當(dāng)時(shí)，，即.所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，是常數(shù)列.又，
所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.
設(shè)，則，故的前項(xiàng)和為
，當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，前和趨向于.所以的最小值為.
故選：AC.
5.（2023秋·高三?？迹ǘ噙x）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 C． D．
【答案】AD
【解析】對(duì)于A項(xiàng)， 由，得，兩式相減，得，整理可得，所以，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以，所以，，顯然數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由B知，，所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，，所以，故D正確.
故選：AD.
6．（2023秋·高三校考）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，解得.所以.
因?yàn)椋?br/>則，
兩式相減，可得，
即，
則.兩式相減，
可得.
所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，
所以，則.
令，則.
當(dāng)時(shí)，，數(shù)列單調(diào)遞減，
而，，，
故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：。
7.（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）已知數(shù)列前項(xiàng)和，數(shù)列滿足為數(shù)列的前項(xiàng)和．若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，將代入上式，可得，則；
，
，
代入不等式，可得，整理可得，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不等式為，
令，，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
由于，故，此時(shí)；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不等式為，
令，（為奇數(shù)且），易知在單調(diào)遞增，則，此時(shí)，
綜上所述，.
故答案為：
8．（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市八中校考開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】（1）因?yàn)?，則化為，
即，所以，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，解得，
當(dāng)時(shí)，，
不滿足上式，
所以.
（2）結(jié)合（1）得，，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>9.（2023秋·高三?？迹┮阎獢?shù)列前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）時(shí)，有，時(shí)有，
又，也符合上式，
故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，.
（2）由（1）知，
，①
，② 由①-②有：
（3），記則
所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即
所以當(dāng)時(shí)，有最大值，故實(shí)數(shù)的范圍為專題05 數(shù)列
第三講 數(shù)列與不等關(guān)系
01專題網(wǎng)絡(luò)·思維腦圖（含基礎(chǔ)知識(shí)梳理、常用結(jié)論與技巧）
02考情分析·解密高考
03高頻考點(diǎn)·以考定法
考點(diǎn)一 作差法與先求和再放縮
命題點(diǎn)1 并項(xiàng)求和
命題點(diǎn)2 裂項(xiàng)求和
命題點(diǎn)3 錯(cuò)位相減求和
考點(diǎn)二 先放縮再求和
命題點(diǎn)1由累加法及裂項(xiàng)求和
命題點(diǎn)2 由累乘法及裂項(xiàng)求和
考點(diǎn)三 恒成立問題
04創(chuàng)新好題·分層訓(xùn)練（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯(cuò)提升）
02考情分析·解密高考
數(shù)列作為高考必考題，高考題型一般作為客觀題、解答題出現(xiàn)，數(shù)列與不等關(guān)系經(jīng)常在考題中出現(xiàn)。
高考要求：證明數(shù)列不等式，有時(shí)需要應(yīng)用放縮法結(jié)合數(shù)列的求和解決，求解的方法有先放縮再求和或先求和再放縮；數(shù)列中的不等式問題需要掌握常見的三種方法：（1）分離參數(shù)法，（2）單調(diào)性法，（3）最值（有界性）法。
考點(diǎn) 考向 考題
數(shù)列 證明數(shù)列不等式 2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷T18，2022新高考全國I卷·T17，2021年新課標(biāo)全國Ⅰ卷·T16、T17，2021年新高考全國Ⅱ卷T12、T17，2020年高考課標(biāo)ⅢT17卷，2020·全國Ⅱ·理·T4、T6，2019·全國Ⅰ·T9
考點(diǎn)一 作差法與利用求和結(jié)論進(jìn)行放縮
命題點(diǎn)1 并項(xiàng)求和
典例01 【2023年新高考2卷18】已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
典例02 (2021年新高考全國Ⅱ卷·第17題) 記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求使成立的n的最小值．
對(duì)于分段數(shù)列求和需要對(duì)n分奇偶性討論，證明數(shù)列不等式可以通過作差法進(jìn)行證明。
命題點(diǎn)2 裂項(xiàng)相消求和
典例01 (2022新高考全國I卷·第17題) 記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
命題點(diǎn)3 錯(cuò)位相減求和
典例01 （2022·安徽合肥·二模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列滿足________，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．
從① ②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在第（2）問中的橫線上并作答.
預(yù)計(jì)2024年高考數(shù)列與不等關(guān)系仍會(huì)從作差法與利用求和結(jié)論進(jìn)行放縮方向進(jìn)行命制.
1．（2023秋·高三?？迹┤粽麛?shù)m，n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互素，歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)k，且與k互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：，，，．下列說法正確的是（ ）
A． B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列
C． D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，則
2．（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．
考點(diǎn)二 先放縮再求和
命題點(diǎn)一 由累加法及裂項(xiàng)求和
典例01 （2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
命題點(diǎn)二 由累乘法及裂項(xiàng)求和
典例01 （2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A． B． C． D．
（1）處理累加累乘法求通項(xiàng)，注意遞推公式的形式特點(diǎn)；
（2）注意檢驗(yàn)是否符合
預(yù)計(jì)2024年高考數(shù)列與不等關(guān)系仍會(huì)從先放縮再求和方向進(jìn)行命制
1．(2023·鹽城質(zhì)檢)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝2，4Sn＝anan＋1(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：2．（2023秋·高三?？迹┰O(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，且滿足．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，證明：．
考點(diǎn)三 恒成立問題
典例01 （2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
典例02 (2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題·第20題) 已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．
(1)若，求；
(2)若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．
預(yù)計(jì)2024年高考數(shù)列與不等關(guān)系仍會(huì)從恒成立問題方向進(jìn)行命制.
1.（2022·江西鷹潭·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
2.（2022·重慶）數(shù)列滿足：，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯(cuò)提升）
1．（2023 甲卷（理）改編）已知數(shù)列中，，設(shè)為前項(xiàng)和，．
若數(shù)列的前項(xiàng)和，則若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·高三校考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
3．（2023秋·湖南長沙·高三長郡中學(xué)月考）（多選）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 數(shù)列是等差數(shù)列 B.
C. D.
4.（2023·云南·統(tǒng)考一模改編）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)任意，，則m的最小值為___________．
5．（2023秋·高三校考）黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想涉及到很多領(lǐng)域的應(yīng)用，有些數(shù)學(xué)家將黎曼猜想的攻堅(jiān)之路趣稱為：“各大行長躲在銀行保險(xiǎn)柜前瑟瑟發(fā)抖，不少黑客則潛伏敲著鍵盤蓄勢(shì)待發(fā)”.黎曼猜想研究的是無窮級(jí)數(shù)，我們經(jīng)常從無窮級(jí)數(shù)的部分和入手.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則______（其中表示不超過的最大整數(shù)）.
6．（2023秋·高三?？迹┤魯?shù)列的前項(xiàng)和為，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”.已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且通項(xiàng)公式為，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
7.（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
8.（2023·廣東揭陽·校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列、滿足，，，
(1)求證：為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；
(2)若，記前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的正自然數(shù)n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍．
9．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（為非零常數(shù)），且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的前項(xiàng)和，并證明：.
1．（2022秋·江蘇南通·高三期末改編）設(shè)數(shù)列首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且滿足，則滿足的所有n的和為（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．（2023秋·高三?？迹┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則使得成立的n的最小值為（ ）
A．32 B．33 C．44 D．45
3.（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.若對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，則滿足等式的所有正整數(shù)為（ ）
A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4
4．（2023秋·高三學(xué)校聯(lián)考改編）（多選）已知數(shù)列的首項(xiàng)為,數(shù)列的前項(xiàng)和小于實(shí)數(shù)，則的取值可以為（ ）
A． B． C． D．
5.（2023秋·高三?？迹ǘ噙x）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 C． D．
6．（2023秋·高三校考）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.
7.（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列前項(xiàng)和，數(shù)列滿足為數(shù)列的前項(xiàng)和．若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
8．（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市八中?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
9.（2023秋·高三?？迹┮阎獢?shù)列前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.

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