資源簡介

專題06 立體幾何
第二講 圓錐曲線中的定點、定直線與定值問題
01專題網絡·思維腦圖（含基礎知識梳理、常用結論與技巧）
02考情分析·解密高考
03高頻考點·以考定法
考點一 定點、定直線問題
考點二 定值問題
04創新好題·分層訓練（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯提升）
02考情分析·解密高考
圓錐曲線作為高考必考題，高考題型一般作為客觀題、解答題出現，圓錐曲線中的定點與定值問題經常在考題中出現。
高考要求：.（1）理解、掌握圓錐曲線的定點問題及其相關計算；（2）理解、掌握圓錐曲線的定值問題，
會定值相關的計算
考點 考向 考題
圓錐曲線 方程與性質 2023新高考全國ⅠT16 ,2023新高考全國ⅡT16,2023全國乙T12,2023全國甲T9,2022新高考全國ⅠT16,2022新高考全國ⅡT16,2022全國甲卷T15,2022全國乙卷T11,2021全國乙卷T14, 2021全國甲卷T5 ,2021全國ⅠT5,2021全國ⅡT13, T20,2020新高考全國ⅠT9 、T20,2020新高考全國ⅡT10、T21
考點一 定點、定直線問題
典例01 （2023·全國·統考高考真題）已知橢圓的離心率是，點在上．
(1)求的方程；
(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．
【答案】(1)(2)證明見詳解
【解析】（1）由題意可得，解得，
所以橢圓方程為.
（2）由題意可知：直線的斜率存在，設，
聯立方程，消去y得：，
則，解得，
可得，
因為，則直線，
令，解得，即,
同理可得，
則
，
所以線段的中點是定點.

典例02 （2023年新高考2卷21）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
【答案】(1)，(2)證明見解析.
【解析】（1）設雙曲線方程為，由焦點坐標可知，
則由可得，，
雙曲線方程為.
（2）由(1)可得，設，
顯然直線的斜率不為0，所以設直線的方程為，且，
與聯立可得，且，
則，

直線的方程為，直線的方程為，
聯立直線與直線的方程可得：
，
由可得，即，
據此可得點在定直線上運動.
典例03 （2024年1月普通高等學校招生全國統一考試適應性測試（九省聯考）數學試題）已知拋物線的焦點為，過的直線交于兩點，過與垂直的直線交于兩點，其中在軸上方，分別為的中點．
（1）證明：直線過定點；
（2）設為直線與直線的交點，求面積的最小值．
【答案】（1）證明見解析 （2）
【解析】（1）【方法一】：由，故，由直線與直線垂直，
故兩只直線斜率都存在且不，
設直線、分別為、，有，
、、、，
聯立與直線，即有，
消去可得，，
故、，
則，
故，，
即，同理可得，
當時，
則，
即
，
由，即，
故時，有，
此時過定點，且該定點為，
當時，即時，由，即時，
有，亦過定點，
故直線過定點，且該定點為；
【方法二】：設，，不妨設．
設，則．由，得，
故，，，．
所以．
同理可得．
若，則直線，MN過點．
若，則直線，MN過點．
綜上，直線MN過定點．
（2）法1：由、、、，
則，由、，
故，
同理可得，聯立兩直線，即，
有，
即，
有，由，同理，
故
，
故，
過點作軸，交直線于點，則，
由、，
故，
當且僅當時，等號成立，
下證：
由拋物線的對稱性，不妨設，則，
當時，有，則點在軸上方，點亦在軸上方，
有，由直線過定點，
此時，
同理，當時，有點在軸下方，點亦在軸下方，
有，故此時，
當且僅當時，，
故恒成立，且時，等號成立，
故，
法2：設H為AD的中點，S為直線GM與AD的交點．
由M，H分別為AB，AD的中點知，所以，故．
設T為直線GN與AD的交點，同理可得．
所以．
由（1）中的法2可得，同理可得．
所以，
當且僅當時等號成立．
因此的面積的最小值為8．
求定點、定值問題常見的方法有兩種：
①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值。
預計2024年高考數列與不等關系仍會從作差法與利用求和結論進行放縮方向進行命制.
1．（2023·湖北襄陽·高三校考）過拋物線內部一點作任意兩條直線，如圖所示，連接延長交于點，當為焦點并且時，四邊形面積的最小值為32

(1)求拋物線的方程；
(2)若點，證明在定直線上運動，并求出定直線方程.
【答案】(1)；(2)證明見解析，
【解析】（1）解：設，
設直線，聯立方程組，整理得，
可得，
所以，
同理可得，
所以，當且僅當時取等號，
所以，所以拋物線的方程為.
（2）解：當為時，，
由共線，可得，可得 ①，
同理由共線 ②
又由共線，可得，所以 ③
同理由共線，可得 ④
由①③得，
即 ⑤
又由②④得，
即 ⑥
由⑤⑥得，
即，即，所以在上.

2．（2023·浙江·高三校聯考）已知點，在橢圓 上.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于兩個不同的點（異于），過作軸的垂線分別交直線于點，當是中點時，證明．直線過定點.
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】（1）由題知，又橢圓經過，代入可得，解得，
故橢圓的方程為：
（2）
由題意知，當軸時，不符合題意，故的斜率存在，設的方程為，
聯立消去得，
則，
即
設 ，，，
的方程為，令得，
的方程為，令得，
由是中點，得，即，
即，
即，
即，所以 ，
得或，
當，此時由，得，符合題意；
當，此時直線經過點，與題意不符，舍去.
所以的方程為，即，
所以過定點.
考點二 定值問題
典例01 （2020年山東卷22）已知橢圓C：的離心率為，且過點A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．
【答案】（1）；（2）詳見解析.
【解析】(1)由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.
(2)設點.
因為AM⊥AN，∴，即,①
當直線MN的斜率存在時，設方程為,如圖1.
代入橢圓方程消去并整理得：,
②,
根據,代入①整理可得：
將②代入，，
整理化簡得,
∵不在直線上，∴，
∴，
于是MN的方程為，
所以直線過定點直線過定點.
當直線MN的斜率不存在時，可得,如圖2.
代入得,
結合,解得,
此時直線MN過點,
由于AE為定值，且△ADE為直角三角形，AE為斜邊，
所以AE中點Q滿足為定值（AE長度的一半）.
由于，故由中點坐標公式可得.
故存在點，使得|DQ|為定值.
典例02 （2021年新高考1卷21改編）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，證明直線的斜率與直線的斜率之和為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）因為，
所以，軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，
設軌跡的方程為，則，可得，，
所以，軌跡的方程為；
（2）設點，若過點的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線無公共點，
不妨直線的方程為，即，
聯立，消去并整理可得，
設點、，則且.
由韋達定理可得，，
所以，，
設直線的斜率為，同理可得，
因為，即，整理可得，
即，顯然，故.
因此，直線的斜率與直線的斜率之和為定值.
典例03 （北京·統考高考真題）已知橢圓過點，且．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.
【解析】(Ⅰ)設橢圓方程為：，由題意可得：
，解得：，
故橢圓方程為：.
(Ⅱ)設，，直線的方程為：，
與橢圓方程聯立可得：，
即：，
則：.
直線MA的方程為：，
令可得：，
同理可得：.
很明顯，且，注意到，
，
而
，
故.
從而.
（1）處理累加累乘法求通項，注意遞推公式的形式特點；
（2）注意檢驗是否符合
預計2024年高考數列與不等關系仍會從先放縮再求和方向進行命制
1．（2023·福建廈門·廈門一中校考三模）已知點，關于坐標原點對稱，，過點，且與直線相切，若存在定點，使得當運動時，為定值，則點的坐標為 .
【答案】
【解析】為圓的一條弦，是弦的中點，所以圓心在線段的中垂線上，
設，因為與直線相切，所以的半徑為，
因為，所以，
因為，即，
化簡得的軌跡方程為.
因為曲線：是以點為焦點，以直線為準線的拋物線，
若為焦點，則.
因為，
所以存在滿足條件的定點，其坐標為.
故答案為：.

2.（2024·高三校考）在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點在一個定圓：上，稱此圓為橢圓的蒙日圓.橢圓過，.
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓的蒙日圓上一點，作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于另一點，若，存在，證明：為定值.
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】（1）將，代入到，
可得，解得，，
所以橢圓的方程為：.
（2）由題意可知，蒙日圓方程為：.
（ⅰ）若直線斜率不存在，則直線的方程為：或.
不妨取，易得，，，，
.
（ⅱ）若直線斜率存在，設直線的方程為：.
聯立，化簡整理得：，
據題意有，于是有：.
設（），（）.
化簡整理得：，
，
，.
則
，
，所以.
綜上可知，為定值.

（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯提升）
1．（2023·高三校考）設F為橢圓的右焦點，過點的直線與橢圓C交于兩點,設直線的斜率分別為，，則為（ ）
A．-1 B．1 C．4 D．-4
【答案】B
【解析】設，設直線，代入橢圓方程可得：.
所以.故
.又均不為0，故，即為定值
故選：B.
2．（2023·高三校考）若AB是過橢圓中心的一條弦，M是橢圓上任意一點，且AM BM與兩坐標軸均不平行，kAM kBM分別表示直線AM BM的斜率，則kAM·kBM=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，，，，則，，則,，在橢圓上，，，兩式相減得，即，所以，所以，
即.
故選：B.
3．（2023秋·高三校考）（多選）已知為坐標原點，過點作兩條直線分別與拋物線：相切于點、，的中點為，則下列結論正確的是（ ）
A．直線過定點；
B．的斜率不存在；
C．軸上存在一點，使得直線與直線關于軸對稱；
D．、兩點到拋物線準線的距離的倒數和為定值.
【答案】BCD
【解析】設，，∵，∴，∴過點的切線方程為，即，∴，同理過點的切線方程為，將分別代入上式，得，，∴直線的方程為，∴直線過定點，故A錯誤；
聯立方程得：，，則，，∴點的橫坐標為，∴軸，故B正確；
設，由題意得，，設直線、的斜率分別為、，
則，當時，，即直線與直線關于軸對稱，故C正確；
∵點到準線的距離為，點到準線的距離為，
∴，D選項正確，不符合題意.
故選:BCD
4.（2024·高三校考）已知點為橢圓上任一點,點是拋物線的準線上的任意一點，以為直徑的圓過原點，試判斷=_____________
【答案】為定值，且定值為1．
【解析】拋物線的標準方程為，其準線方程為：，
設，，
因為以為直徑的圓過原點，所以，所以，
所以，即，
所以，
又因為，，
所以，
所以為定值，且定值為1．
故答案為:1
5．（2023·高三校考）已知雙曲線，點，在雙曲線上任取兩點、滿足，則直線恒過定點__________；
【答案】
【解析】設的方程為,則由.
設,則是該方程的兩根,∴,.
又,,故,∴,
又,,∴,
代入,得：
整理得：,∴,
∴或.當時,過與題意不符,故舍去。當時,過定點.
故答案為:
6．（2023·山西呂梁·統考二模改編）已知拋物線：過點，，是拋物線上的兩個動點，直線的斜率與直線的斜率之和為4，則直線恒過定點__________．
【答案】
【解析】坐標代入拋物線方程得，解得，
∴拋物線方程為．
顯然直線斜率不為0，故可設：，將的方程與聯立得，
設，，則，，
所以，
，同理：，
由題意：，
∴，
∴，即，
代入直線得，
故直線恒過定點．

7.（2023·安徽馬鞍山·統考三模）已知橢圓：（）的離心率為，其左 右焦點分別為，，為橢圓上任意一點，面積的最大值為1.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)已知，過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，直線，與軸的交點分別為，，證明：以為直徑的圓過定點.
【答案】(1)，(2)證明見解析
【解析】(1)解：因為橢圓的離心率為，所以.又當位于上頂點或者下頂點時，面積最大，即.
又，所以，.所以橢圓的標準方程為.
(2)解：由題知，直線的斜率存在，所以設直線的方程為，設，，將直線代入橢圓的方程得：，由韋達定理得：，，
直線的方程為，直線的方程為，所以，，
所以以為直徑的圓為，整理得：.①因為，
令①中的，可得，所以，以為直徑的圓過定點.
8.（2023·江蘇淮安·高三校考）已知橢圓右焦點分別為，是上一點，點與關于原點對稱，的面積為.
(1)求的標準方程；
(2)直線，且交于點，，直線與交于點.
證明：①直線與的斜率乘積為定值；
②點在定直線上.
【答案】(1)(2)①證明見解析；②證明見解析
【解析】（1）設為，，
則，即，
又點在曲線上，∴，
將代入，整理得，，
解得，，
∴橢圓的標準方程為.
（2）①設，，直線方程為：，，
聯立直線與橢圓方程，消去得，
當，即且時，
，，
∴，
，
∴，
.
②直線方程為：，即，
直線的方程為，即，
聯立直線與直線方程得，
∴，，
∴.
∴，即點在定直線上.

9．（江蘇省蘇錫常鎮四市2023屆高三下學期3月教學情況調研（一）改編）已知直線與拋物線交于兩點，，與拋物線交于兩點，，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限，設，的面積分別為，，（O為坐標原點），若，證明為定值
【答案】
【解】（1）設，，，，其中，，
設，聯立，整理得，
則，，
，
解得，則.
（2）設，①聯立，整理得，
則，，
聯立，整理得，則，，
則，即證.
②，
則，
，
其中，，解得，
則，，，則，所以為定值
1．（2023秋·高三校考）過原點的直線與雙曲線交于A,B兩點，點P為雙曲線上一點，若直線PA的斜率為2，則直線PB的斜率為（ ）
A．4 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】由題意可設，，，
則，，即有，即，
由，，可得，
因為，所以.
故選：C.
2．（2024·高三校考）設拋物線：的焦點為，點是拋物線上一點，且．
設直線與拋物線交于、兩點，若（為坐標原點）．則直線過定點（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵是拋物線上一點，且．∴，
解得，即拋物線的方程為.
設直線的方程為，，，
由消去得，則，．
因為，所以，即．
化簡得．由得，所以直線的方程為，
所以直線經過定點．
故選:C
3.（2024·高三校考）已知離心率為的橢圓內有個內接三角形，為坐標原點，邊的中點分別為，直線的斜率分別為，且均不為0，若直線斜率之和為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可得，所以不妨設為.設，，，，，，，兩式作差得，則，，同理可得，所以，
故選：C.
4．（2023秋·高三學校聯考改編）（多選）已知為坐標原點，過點作兩條直線分別與拋物線：相切于點、，的中點為，則下列結論正確的是（ ）
A．直線過定點；
B．的斜率不存在；
C．軸上存在一點，使得直線與直線關于軸對稱；
D．、兩點到拋物線準線的距離的倒數和為定值.
【答案】BCD
【解析】設，，∵，∴，∴過點的切線方程為，即，∴，同理過點的切線方程為，將分別代入上式，得，，∴直線的方程為，∴直線過定點，故A選項錯誤，符合題意；
聯立方程得：，，則，，∴點的橫坐標為，∴軸，故B選項正確，不符合題意；設，由題意得，，設直線、的斜率分別為、，
則，當時，，即直線與直線關于軸對稱，C選項正確，不符合題意；∵點到準線的距離為，點到準線的距離為，
∴，D選項正確，不符合題意.
故選：BCD
5.（2023秋·高三校考）（多選）過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點（點在第一象限），為線段的中點.若，則下列說法正確的是（ ）
A. 拋物線的準線方程為
B. 過兩點作拋物線的切線，兩切線交于點，則點在以為直徑的圓上
C. 若為坐標原點，則
D. 若過點且與直線垂直的直線交拋物線于，兩點，則為定值
【答案】BD
【解析】對于A：由已知設過點的直線方程為，，
聯立方程，消去得，
可得，
又因為，所以，
則，解得,
所以拋物線方程為，準線方程為，A錯誤；
對于B：拋物線，即，，
易得，
所以，
故直線垂直，所以點在以為直徑的圓上，B正確；
對于C：由A項知，拋物線，直線的方程為，
，
聯立方程，消去得，
可得，，
，
解得，
所以，
所以，
所以，即，
所以，C錯誤；
對于D：由C選項知，，
因為直線垂直于直線，
所以
則，D正確.
故選：BD.
6．（江蘇省蘇錫常鎮四市2022-2023學年高三下學期5月教學情況調研（二））已知雙曲線：的漸近線為，右焦點到漸近線的距離為，設是雙曲線：上的動點，過的兩條直線，分別平行于的兩條漸近線，與分別交于P，Q兩點.
(1)求的標準方程：
(2)證明：直線PQ過定點，并求出該定點的坐標.
【答案】(1)(2)證明見解析，定點.
【解析】（1）解：因為的漸近線方程為，所以，所以.
又右焦點到漸近線的距離為，所以，得.
又因為，所以，所以.
所以雙曲線的標準方程為；
（2）解：由（1）可知的方程為，
設，所以有，
過點作與平行的直線分別與雙曲線交于點，
由，得，
整理得，所以，
由于，故，
則，故，
所以.
同理可得.
所以直線：恒過定點.
7.（2024·高三校考）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓：過點，離心率為，其左右焦點分別為，．
(1)若點P與，的距離之比為，求直線被點P所在的曲線截得的弦長；
(2)設，分別為橢圓的左、右頂點，Q為上異于，的任意一點，直線，分別與橢圓的右準線交于點M，N，求證：以為直徑的圓經過x軸上的定點．
【答案】(1)；(2)證明見解析
【解析】（1）因為橢圓：過點，所以．
又因為離心率，即，故，
所以，即，所以，則，．
設，則，即，
所以點的軌跡為圓心，半徑的圓．

其圓心到直線的距離為，
所以弦長．
故直線被點P所在的曲線截得的弦長為.
（2）證明：由（1）知，所以，，右準線．
設，，
由：，則，
同理．
假設軸上存在點在以為直徑的圓上，則
因為
，
因為Q點在橢圓上，所以，即，
所以，即，解得或，
點和都滿足題意.

所以以MN為直徑的圓經過x軸上的定點和
8．（2023秋·高三校考）已知是圓上一動點，定點，線段的垂直平分線與直線交于點，記點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)若直線與曲線恰有一個共點，且與直線，分別交于、兩點，的面積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由可知，，
因為線段的垂直平分線與直線交于點，
，所以或，
所以，所以，
所以，
所以由雙曲線的定義可知，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線，
所以點的方程為．

（2）設直線斜率為，設直線方程為，
因為與直線，分別交于、兩點，所以，
聯立方程組得，
因為，所以，
因為直線與曲線恰有一個公共點，所以直線與曲線相切，
由，得，
聯立方程組得.
不直線與的交點為，則.
同理可求，所以.
因為原點到直線的距離，
所以，又因為，所以，
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，又漸近線方程為：，
此時，.
故的面積為定值，且定值為.

9.（2023秋·高三校考）設拋物線的焦點為，動直線與拋物線交于，兩點，且當時，.
(1)求拋物線的方程；
(2)連接，并延長分別交拋物線于兩點，，設直線的斜率為，直線的斜率為，求證：是定值，并求出該值.
【答案】(1)(2)證明見解析，
【解析】（1）聯立，得，
則，設，則，
當時，，
所以，
解得或(舍)，
故拋物線的方程為.
（2）由題意知,由（1）得，且，
設直線,
聯立，得，
則，所以，所以，
同理可得，，所以,
所以，
又，所以,即是定值，且定值為.專題06 立體幾何
第二講 圓錐曲線中的定點、定直線與定值問題
01專題網絡·思維腦圖（含基礎知識梳理、常用結論與技巧）
02考情分析·解密高考
03高頻考點·以考定法
考點一 定點、定直線問題
考點二 定值問題
04創新好題·分層訓練（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯提升）
02考情分析·解密高考
圓錐曲線作為高考必考題，高考題型一般作為客觀題、解答題出現，圓錐曲線中的定點與定值問題經常在考題中出現。
高考要求：.（1）理解、掌握圓錐曲線的定點問題及其相關計算；（2）理解、掌握圓錐曲線的定值問題，
會定值相關的計算
考點 考向 考題
圓錐曲線 方程與性質 2023新高考全國ⅠT16 ,2023新高考全國ⅡT16,2023全國乙T12,2023全國甲T9,2022新高考全國ⅠT16,2022新高考全國ⅡT16,2022全國甲卷T15,2022全國乙卷T11,2021全國乙卷T14, 2021全國甲卷T5 ,2021全國ⅠT5,2021全國ⅡT13, T20,2020新高考全國ⅠT9 、T20,2020新高考全國ⅡT10、T21
考點一 定點、定直線問題
典例01 （2023·全國·統考高考真題）已知橢圓的離心率是，點在上．
(1)求的方程；
(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．

典例02 （2023年新高考2卷21）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
典例03 （2024年1月普通高等學校招生全國統一考試適應性測試（九省聯考）數學試題）已知拋物線的焦點為，過的直線交于兩點，過與垂直的直線交于兩點，其中在軸上方，分別為的中點．
（1）證明：直線過定點；
（2）設為直線與直線的交點，求面積的最小值．
求定點、定值問題常見的方法有兩種：
①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值。
預計2024年高考數列與不等關系仍會從作差法與利用求和結論進行放縮方向進行命制.
1．（2023·湖北襄陽·高三校考）過拋物線內部一點作任意兩條直線，如圖所示，連接延長交于點，當為焦點并且時，四邊形面積的最小值為32

(1)求拋物線的方程；
(2)若點，證明在定直線上運動，并求出定直線方程.
2．（2023·浙江·高三校聯考）已知點，在橢圓 上.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于兩個不同的點（異于），過作軸的垂線分別交直線于點，當是中點時，證明．直線過定點.
考點二 定值問題
典例01 （2020年山東卷22）已知橢圓C：的離心率為，且過點A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．
典例02 （2021年新高考1卷21改編）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，證明直線的斜率與直線的斜率之和為定值.
典例03 （北京·統考高考真題）已知橢圓過點，且．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．
（1）處理累加累乘法求通項，注意遞推公式的形式特點；
（2）注意檢驗是否符合
預計2024年高考數列與不等關系仍會從先放縮再求和方向進行命制
（2023·福建廈門·廈門一中校考三模）已知點，關于坐標原點對稱，，過點，且與直線相切，若存在定點，使得當運動時，為定值，則點的坐標為 .

2.（2024·高三校考）在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點在一個定圓：上，稱此圓為橢圓的蒙日圓.橢圓過，.
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓的蒙日圓上一點，作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于另一點，若，存在，證明：為定值.
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1．（2023·高三校考）設F為橢圓的右焦點，過點的直線與橢圓C交于兩點,設直線的斜率分別為，，則為（ ）
A．-1 B．1 C．4 D．-4
2．（2023·高三校考）若AB是過橢圓中心的一條弦，M是橢圓上任意一點，且AM BM與兩坐標軸均不平行，kAM kBM分別表示直線AM BM的斜率，則kAM·kBM=（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·高三校考）（多選）已知為坐標原點，過點作兩條直線分別與拋物線：相切于點、，的中點為，則下列結論正確的是（ ）
A．直線過定點；
B．的斜率不存在；
C．軸上存在一點，使得直線與直線關于軸對稱；
D．、兩點到拋物線準線的距離的倒數和為定值.
4.（2024·高三校考）已知點為橢圓上任一點,點是拋物線的準線上的任意一點，以為直徑的圓過原點，試判斷=_____________
5．（2023·高三校考）已知雙曲線，點，在雙曲線上任取兩點、滿足，則直線恒過定點__________；
6．（2023·山西呂梁·統考二模改編）已知拋物線：過點，，是拋物線上的兩個動點，直線的斜率與直線的斜率之和為4，則直線恒過定點__________．
7.（2023·安徽馬鞍山·統考三模）已知橢圓：（）的離心率為，其左 右焦點分別為，，為橢圓上任意一點，面積的最大值為1.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)已知，過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，直線，與軸的交點分別為，，證明：以為直徑的圓過定點.
8.（2023·江蘇淮安·高三校考）已知橢圓右焦點分別為，是上一點，點與關于原點對稱，的面積為.
(1)求的標準方程；
(2)直線，且交于點，，直線與交于點.
證明：①直線與的斜率乘積為定值；
②點在定直線上.
9．（江蘇省蘇錫常鎮四市2023屆高三下學期3月教學情況調研（一）改編）已知直線與拋物線交于兩點，，與拋物線交于兩點，，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限，設，的面積分別為，，（O為坐標原點），若，證明為定值
1．（2023秋·高三校考）過原點的直線與雙曲線交于A,B兩點，點P為雙曲線上一點，若直線PA的斜率為2，則直線PB的斜率為（ ）
A．4 B．1 C． D．
2．（2024·高三校考）設拋物線：的焦點為，點是拋物線上一點，且．
設直線與拋物線交于、兩點，若（為坐標原點）．則直線過定點（ ）
A． B． C． D．
3.（2024·高三校考）已知離心率為的橢圓內有個內接三角形，為坐標原點，邊的中點分別為，直線的斜率分別為，且均不為0，若直線斜率之和為，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·高三學校聯考改編）（多選）已知為坐標原點，過點作兩條直線分別與拋物線：相切于點、，的中點為，則下列結論正確的是（ ）
A．直線過定點；
B．的斜率不存在；
C．軸上存在一點，使得直線與直線關于軸對稱；
D．、兩點到拋物線準線的距離的倒數和為定值.
5.（2023秋·高三校考）（多選）過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點（點在第一象限），為線段的中點.若，則下列說法正確的是（ ）
A. 拋物線的準線方程為
B. 過兩點作拋物線的切線，兩切線交于點，則點在以為直徑的圓上
C. 若為坐標原點，則
D. 若過點且與直線垂直的直線交拋物線于，兩點，則為定值
6．（江蘇省蘇錫常鎮四市2022-2023學年高三下學期5月教學情況調研（二））已知雙曲線：的漸近線為，右焦點到漸近線的距離為，設是雙曲線：上的動點，過的兩條直線，分別平行于的兩條漸近線，與分別交于P，Q兩點.
(1)求的標準方程：
(2)證明：直線PQ過定點，并求出該定點的坐標.
7.（2024·高三校考）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓：過點，離心率為，其左右焦點分別為，．
(1)若點P與，的距離之比為，求直線被點P所在的曲線截得的弦長；
(2)設，分別為橢圓的左、右頂點，Q為上異于，的任意一點，直線，分別與橢圓的右準線交于點M，N，求證：以為直徑的圓經過x軸上的定點．
8．（2023秋·高三校考）已知是圓上一動點，定點，線段的垂直平分線與直線交于點，記點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)若直線與曲線恰有一個共點，且與直線，分別交于、兩點，的面積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．

9.（2023秋·高三校考）設拋物線的焦點為，動直線與拋物線交于，兩點，且當時，.
(1)求拋物線的方程；
(2)連接，并延長分別交拋物線于兩點，，設直線的斜率為，直線的斜率為，求證：是定值，并求出該值.

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