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微專題06圓錐曲線中非對稱韋達定理問題的處理
研考題·聚焦關鍵詞
解析幾何問題中的一些定值、定點、定線，經常出現需要證明類似（為常數），為定值的情形，通過直線代換可得：，但此時的式子并不能完全整理為韋達定理的形式，這種式子一般稱為“非對稱韋達定理”
題型一定直線
例1
【2023年新高考2卷21】
1．已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
變式
2．已知點A、分別是橢圓：的上、下頂點，、是橢圓的左、右焦點，，．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點的直線與橢圓交于不同兩點、（、與橢圓上、下頂點均不重合），證明：直線、的交點在一條定直線上．
題型二定點
例2
（安徽省六校教育研究會2023-2024學年高三下學期下學期第二次素養測試（2月）數學試題）
3．已知點是圓上任意一點，點關于點的對稱點為，線段的中垂線與直線相交于點，記點的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)若點，直線，過點的直線與交于兩點，直線與直線分別交于點．證明：的中點為定點．
變式
【江蘇省揚州市高郵中學2023屆高考前熱身訓練（二）】
4．設直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點，且三角形的面積為.
(1)求的值；
(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0，與交于兩個不同的點，，關于軸的對稱點為，為的右焦點，若，，三點共線，證明：直線經過軸上的一個定點.
題型三定值
例3
（湖南省2024屆高三數學新改革提高訓練一）
5．已知圓的方程,,，拋物線過兩點，且以圓的切線為準線.
(1)求拋物線焦點的軌跡C的方程；
(2)已知， 設x軸上一定點， 過T的直線交軌跡C于 兩點（直線與軸不重合），求證：為定值.
變式
【江蘇省揚州中學2023屆高三下學期模擬檢測六】
6．已知雙曲線的左、右焦點分別為，斜率為的直線l與雙曲線C交于兩點，點在雙曲線C上，且.
(1)求的面積；
(2)若（O為坐標原點），點，記直線的斜率分別為，問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
鞏固能力·突破高分
（廣東省潮州市2022屆高三上學期期末數學試題）
7．已知橢圓的離心率為，以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)已知點A，B為動直線y=k(x-2)(k≠0)與橢圓C的兩個交點，問：在x軸上是否存在定點E，使得為定值？若存在，試求出點E的坐標和定值；若不存在，請說明理由．
8．已知雙曲線的右頂點為，左焦點到其漸近線的距離為2，斜率為的直線交雙曲線于A，B兩點，且．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點的直線與雙曲線交于P，Q兩點，直線，分別與直線相交于，兩點，試問：以線段為直徑的圓是否過定點 若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由．
9．在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.
（江蘇省徐州市第七中學2023屆高三上學期一檢）
10．已知雙曲線的實軸長為4，左 右頂點分別為，經過點的直線與的右支分別交于兩點，其中點在軸上方.當軸時，
(1)設直線的斜率分別為，求的值；
(2)若，求的面積.
11．已知為的兩個頂點，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為.
(1)求點的軌跡的方程；
(2)過作不平行于坐標軸的直線交于D，E兩點，若軸于點M，軸于點N，直線DN與EM交于點Q.
①求證：點Q在一條定直線上，并求此定直線；
②求面積的最大值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)證明見解析.
【分析】
（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；
（2）設出直線方程，與雙曲線方程聯立，然后由點的坐標分別寫出直線與的方程，聯立直線方程，消去，結合韋達定理計算可得，即交點的橫坐標為定值，據此可證得點在定直線上.
【詳解】（1）
設雙曲線方程為，由焦點坐標可知，
則由可得，，
雙曲線方程為.
（2）
由(1)可得，設，
顯然直線的斜率不為0，所以設直線的方程為，且，
與聯立可得，且，
則，

直線的方程為，直線的方程為，
聯立直線與直線的方程可得：
，
由可得，即，
據此可得點在定直線上運動.
【點睛】
關鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中根據設而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數的關系可以簡化運算，是解題的關鍵.
2．(1)
(2)答案見解析.
【分析】（1）根據體積確定橢圓中、的值，得出橢圓的標準方程.
（2）先設出直線方程，與橢圓方程聯立，消去，利用一元二次方程根與系數的關系，寫出，，再表示出直線、，確定其交點，并判斷它們的交點在一條定直線上.
【詳解】（1）由，，
所以所求橢圓的標準方程為：.
（2）如圖：過點的直線與橢圓相交于、兩點，因為、不與A、重合，故直線的斜率一定存在.
設直線方程為：，聯立方程組：，消去得：.
設，，則，.所以.
直線：；
直線:.
所以：.
所以：.即直線與的交點在定直線上.
【點睛】方法點睛：求證點在定直線上的問題，一般可以采用以下方法：
（1）求出點的坐標，根據橫縱坐標的關系，寫出直線方程，得到點在定直線上；
（2）大膽猜測定直線的性質，如該題就大膽猜測兩直線的交點所在的直線與軸平行，所以直接消去x，得到y的值，從而確定交點在定直線上.
3．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由雙曲線定義得到點的軌跡是以為焦點的雙曲線，求出答案；
（2）設，聯立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，得到直線，求出的坐標，同理得到的坐標，得到的中點坐標.
【詳解】（1）由題意可得，且為的中點，
又為的中點，
所以，且．
因為點關于點的對稱點為，線段的中垂線與直線相交于點，
由垂直平分線的性質可得，
所以，
所以由雙曲線的定義可得，點的軌跡是以為焦點的雙曲線．
，
故曲線的方程為；
（2）由題意可知：直線的斜率存在，設，
聯立方程，消去得：，
則，
解得，且
，①
由，得直線，
令，解得，即，
同理可得，
則
，
所以的中點為定點.
【點睛】求軌跡方程常用的方法：直接法，相關點法，交軌法，定義法，特別重視圓錐曲線的定義在求軌跡方程中的應用，只要動點滿足已知曲線的定義，就可直接得到所求軌跡方程，求解過程中要注意一些軌跡問題中包含隱含條件，也就是曲線上的點的坐標的取值范圍，有時還要補充特殊點的坐標.
4．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，從而得到兩點的坐標，得到三角形的面積為，列出方程，求出的值；
（2）設出直線方程，聯立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據三點共線，得到斜率相等，列出方程，代入后求解出，求出直線所過的定點.
【詳解】（1）雙曲線：的漸近線方程為，
不妨設，
因為三角形的面積為，所以，
所以，又，所以.
（2）雙曲線的方程為：，所以右焦點的坐標為，
依題意，設直線與軸交于點，直線的方程為，
設，，則，
聯立，得，
且，
化簡得且，
所以，，
因為直線的斜率存在，所以直線的斜率也存在，
因為，，三點共線，所以，
即，即，
所以，
因為，所以，
所以，
所以，
化簡得，所以經過軸上的定點.

【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵是設直線的方程為，，，則，再將其與雙曲線方程聯立，從而得到韋達定理式，根據三點共線，則有，整理代入韋達定理式化簡求出值即可.
5．(1)；
(2)證明見解析．
【分析】（1）是圓的切線，分別過作直線的垂直，垂足分別為，由，利用橢圓定義可得軌跡方程；
（2）設直線的方程為，設，直線方程代入橢圓方程后應用韋達定理得，然后計算，代入化簡可得．
【詳解】（1）如圖，是圓的切線，分別過作直線的垂直，垂足分別為，又是中點，則是直角梯形的中位線，，
設是以為準線的拋物線的焦點，則，，
所以，
所以點軌跡是以為焦點的橢圓，橢圓長軸長為8，
，則，因此，
所以拋物線的焦點軌跡方程為；

（2）由題意設直線的方程為，設，
由得，
，，
，
代入，，得
為常數．

【點睛】方法點睛：本題考查橢圓中定值問題，解題方法是設交點坐標．設直線方程，直線方程與橢圓方程聯立方程組后消元應用韋達定理得（或），利用交點坐標計算出要證明常數的量，然后代入韋達定理的結果化簡變形即可得．
6．(1)
(2)為定值.·
【分析】（1）設，根據兩點間長度得出與，即可根據已知列式解出，即可得出答案；
（2）根據第一問得出雙曲線的方程，設，直線l的方程為，根據韋達定理得出，即可根據直線方程得出與，則根基兩點斜率公式得出，化簡代入即可得出答案.
【詳解】（1）依題意可知，，
則，
，
又，所以，
解得（舍去），
又，所以，
則，
所以的面積.
（2）由（1）可，解得，
所以雙曲線C的方程為，
設，則，則，，
設直線l的方程為，與雙曲線C的方程聯立，消去y得：，
由，得，
由一元二次方程根與系數的關系得，
所以，
，
則，
故為定值.·
7．(1)
(2)存在定點，使得為定值
【分析】（1）求得圓得方程，由直線與圓相切得條件，可得的值，再由離心率可求得，從而可得，即可得出答案；
（2），假設存在，設，，聯立,消，利用韋達定理求得，分析計算從而可得出結論.
【詳解】（1）解：由離心率為，得，及，
又以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓為，
且與直線相切，
所以，
所以，，
所以橢圓C的標準方程為；
（2）解：假設存在，設，
聯立,消整理得，
，
設，
則，
由，
則
，
要使上式為定值，即與無關，
則應，即，
此時為定值，
所以在x軸上存在定點，使得為定值.
【點睛】本題考查了橢圓方程的求法，考查了滿足條件的定點是否存在的判斷與方法，考查了定值定點問題，考查了學生的計算能力和數據分析能力，計算量較大.
8．(1)
(2)以線段為直徑的圓過定點和．
【分析】（1）根據點到直線的距離公式即可求解，進而聯立直線與雙曲線方程，根據弦長公式即可求解，
（2）聯立直線與曲線的方程得韋達定理，根據圓的對稱性可判斷若有定點則在軸上，進而根據垂直關系得向量的坐標運算，即可求解.
【詳解】（1）∵雙曲線的左焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為，而，∴．
∴雙曲線的方程為．
依題意直線的方程為．
由 消去y整理得：，
依題意：，，點A，B的橫坐標分別為，
則．
∵，∴．
∴，∴．
即，解得或（舍去），且時，，
∴雙曲線的方程為．
（2）依題意直線的斜率不等于0，設直線的方程為．
由消去整理得：，
∴，．
設，，則，．
直線的方程為，令得：，∴．
同理可得．由對稱性可知，若以線段為直徑的圓過定點，則該定點一定在軸上，
設該定點為，則，，
故
．
解得或．
故以線段為直徑的圓過定點和．
【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵是根據圓的對稱性可判斷定點在坐標軸上，結合向量垂直的坐標運算化簡求解就可，對計算能力要求較高.
9．（1）；（2）.
【分析】(1) 利用雙曲線的定義可知軌跡是以點、為左、右焦點雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；
(2)方法一：設出點的坐標和直線方程，聯立直線方程與曲線C的方程，結合韋達定理求得直線的斜率，最后化簡計算可得的值.
【詳解】(1) 因為，
所以，軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，
設軌跡的方程為，則，可得，，
所以，軌跡的方程為.
（2）[方法一] 【最優解】：直線方程與雙曲線方程聯立
如圖所示，設,
設直線的方程為．

聯立,
化簡得.
則．
故．
則．
設的方程為，同理．
因為，所以，
化簡得，
所以，即．
因為，所以．
[方法二] ：參數方程法
設．設直線的傾斜角為，
則其參數方程為，
聯立直線方程與曲線C的方程，
可得，
整理得．
設，
由根與系數的關系得．
設直線的傾斜角為，，
同理可得
由，得．
因為，所以．
由題意分析知．所以，
故直線的斜率與直線的斜率之和為0．
[方法三]：利用圓冪定理
因為，由圓冪定理知A，B，P，Q四點共圓．
設,直線的方程為，
直線的方程為,
則二次曲線．
又由，得過A，B，P，Q四點的二次曲線系方程為：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四點共圓，則xy項的系數為0，即.
【整體點評】(2)方法一：直線方程與二次曲線的方程聯立，結合韋達定理處理圓錐曲線問題是最經典的方法，它體現了解析幾何的特征，是該題的通性通法，也是最優解；
方法二：參數方程的使用充分利用了參數的幾何意義，要求解題過程中對參數有深刻的理解，并能夠靈活的應用到題目中.
方法三：圓冪定理的應用更多的提現了幾何的思想，二次曲線系的應用使得計算更為簡單.
10．(1)；
(2).
【分析】（1）法一：根據實軸長，求得a值，根據題意，求得，可得b值，即可得曲線C方程，設直線方程為，與雙曲線聯立，根據韋達定理，可得表達式，代入，化簡整理，即可得答案.
法二：由題意，求得a，b的值，即可得曲線C方程，設方程為，與雙曲線聯立，根據韋達定理，可得表達式，代入，化簡整理，即可得答案.
（2）法一：因為，根據二倍角的正切公式，結合及，化簡計算，可得，進而可得方程，與曲線C聯立，可得M點坐標，即可得直線的方程，根據面積公式，即可得答案.
法二：設，由，結合二倍角正切公式，可得的值，進而可得直線方程，與曲線C聯立，可得，同理可得，代入面積公式，即可得答案.
【詳解】（1）法一：
因為，所以，令得，
所以，解得，
所以的方程為
顯然直線與軸不垂直，設其方程為，
聯立直線與的方程，消去得，
當時，，
設，則.
因為，
所以.
法二：
由題意得，解得，
雙曲線的方程為.
設方程為，
聯立，可得，
，，
，
.
（2）法一：
因為，
所以，
又因為，
所以，即，（※）
將代入（※）得，
因為在軸上方，所以，所以直線方程為，
聯立與直線方程，消去得，，
解得或（舍），所以，
代入，得，所以直線方程為，
聯立與直線方程，消去得，，
解得或，
所以的面積為.
法二：
設，由，可得，
，解得，
方程，
聯立，可得，解得，
同理聯立，解得，
.
11．(1)
(2)①證明見解析，；②
【分析】（1）根據橢圓的定義求解即可；
（2）①求出直線DN與EM方程，得到Q點坐標，即可判定；②將面積表示出來，然后換元，利用基本不等式求最值.
【詳解】（1）因為為的重心，且邊上的兩條中線長度之和為，
所以，
故由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點的橢圓（不包括長軸的端點），
且，所以，
所以的軌跡的方程為.
（2）①依題意，設直線DE方程為.
聯立，得，
易知
設，，則，.
因為軸，軸，
所以，.
所以直線DN：，
直線EM：，
聯立解得.
從而點Q在定直線上.
②因為，
又，則，
設，則，
當且僅當，即時，等號成立，
故面積的最大值為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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