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微專題10 導(dǎo)數(shù)中常見的放縮問題
研考題·聚焦關(guān)鍵詞
1．證明以下不等式：
(1)；
(2)；
(3).
題型一 與有關(guān)的放縮
（安徽省“皖江名校聯(lián)盟”2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）
2．設(shè)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性.
(2)設(shè)數(shù)列滿足，證明：數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且，（其中為自然對(duì)數(shù)的底）.
變式:
（2024·高三校考）
3．已知函數(shù).
(1)若在上單調(diào)遞增，求的值；
(2)證明：（且）.
題型二 與有關(guān)的放縮
（2022·高考真題）
4．已知，則（ ）
A． B． C． D．
變式:
（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三校考）
5．設(shè)，，，則（ ）
A． B．
C． D．
鞏固能力·突破高分
（2023·福建福州·高三校考）
6．，則（ ）
A． B．
C． D．
（2022·高考真題）
7．設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·山西大同·高三校考）
8．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
（2023·貴州遵義·高三統(tǒng)考）
9．已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全國(guó)·高三校考）
10．當(dāng)時(shí)，證明：恒成立.
（2024·高三統(tǒng)考）
11．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)證明：．
（2023·江蘇常州·高三校考）
12．已知函數(shù).
(1)若，求的值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，成立.
（2024·高三校考）
13．已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，
①判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明．
②求證：．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析.
【分析】（1）令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到，即可證得；
（2）令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到，即可證得；
（3）由（1）得，由（2）得，結(jié)合①式與②式取等號(hào)的條件不同，即可證得.
【詳解】（1）解：令，則有.
令，即，解得；
令，即，解得，
所以在單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以，即.
所以.
（2）解：令，則.
令，即，解得；
令，即，解得，
所以在單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以.
（3）解：由（1）得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）①.
由（2）得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）②
因?yàn)棰偈脚c②式取等號(hào)的條件不同，所以.
2．(1)在區(qū)間和上都是單調(diào)遞增
(2)證明見解析
【分析】（1）求出定義域，先證出，得到，故，求出單調(diào)性；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，得到，故數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，由（1）得到，得到，故.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，先證明，
設(shè)，
則，在上，單調(diào)遞增，
在上，單調(diào)遞減，，所以.
可得，得到，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，
所以，
注意，所以恒成立.
因此在區(qū)間，上都是單調(diào)遞增.
（2）由題設(shè)，，
，，
只需證明，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，顯然成立.
下面證明，等價(jià)于證明，
也即證明，由（1）過程可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
，所以，故原不等式得證.
【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和（常常用到裂項(xiàng)相消法求和）達(dá)到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第一問根據(jù)特征式的特征而得到.
3．(1)1；
(2)證明見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)給定條件可得恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)分類討論求解作答.
（2）利用（1）的結(jié)論得當(dāng)時(shí)，，取，利用不等式的性質(zhì)結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和作答.
【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，
由于函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則恒成立，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，
又，即，不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，令，得，
則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
于是當(dāng)時(shí)，取得最小值，
于是，即，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，
則，由于恒成立，因此，則有，
所以單調(diào)遞增時(shí)，的值為1.
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，即有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，，
因此當(dāng)且時(shí)，
，
而當(dāng)時(shí)，，
所以，
則，所以，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，結(jié)合已知，利用換元法構(gòu)造新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，借助數(shù)形結(jié)合的思想推理求解.
4．A
【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得,即可得解.
【詳解】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)
因?yàn)楫?dāng)
故，故，所以；
設(shè)，
，所以在單調(diào)遞增，
故，所以，
所以，所以，故選A
[方法二]：不等式放縮
因?yàn)楫?dāng)，
取得：，故
，其中，且
當(dāng)時(shí)，，及
此時(shí)，
故，故
所以，所以，故選A
[方法三]：泰勒展開
設(shè)，則，，
，計(jì)算得，故選A.
[方法四]：構(gòu)造函數(shù)
因?yàn)椋驗(yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，
故選：A．
[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮
因?yàn)椋驗(yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；因?yàn)楫?dāng)，取得，故，所以．
故選：A．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點(diǎn)在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解．
5．A
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】因?yàn)椋裕裕?br/>所以，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，所以，
令，則，
所以函數(shù)在上遞增，
所以，即，即，
所以，即，
綜上，.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，，利用中間量來比較的大小是解決本題的關(guān)鍵.
6．D
【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到，即可判斷、的大小關(guān)系；構(gòu)造函數(shù)判斷與0.1的大小，構(gòu)造函數(shù)判斷0.1與大小，從而可判斷b、c大小．
【詳解】令，，則，
所以當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，
所以，即，即，即，
令，則，
在時(shí)，，則為減函數(shù)，
∴，即；
令，，則，
故在為減函數(shù)，
∴，即；
∴，
令，則，即，∴，
所以．
故選：D．
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：常用的不等式：，，，，，.
7．C
【分析】構(gòu)造函數(shù)， 導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.
【詳解】方法一：構(gòu)造法
設(shè)，因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設(shè)，則,
令，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，即，所以
故選：C.
方法二：比較法
解： ， ， ，
① ，
令
則 ，
故 在 上單調(diào)遞減，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
則 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，可得 ，即 ，所以
故
8．D
【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，比較各式的大小.
【詳解】，
設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>則，
故在上為增函數(shù)，有，即，
所以，故.
設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋瑒t，
，解得；，解得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，取最大值，所以，即，時(shí)等號(hào)成立，
所以，即，
又，所以.
故選：D．
9．D
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，利用單調(diào)性比大小即可.
【詳解】令，則，，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
故在R上恒成立，即，
令，
則，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
故在上恒成立，即，
而，，即，
令，則，，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
故在上恒成立，即
令，由上知恒成立，即在R上單調(diào)遞增，而，故，
所以，
故.
故選：D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于比大小問題構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，需要積累，，等常用的放縮不等式，同時(shí)對(duì)于本題熟記等的近似值更快捷.
10．證明見解析
【分析】利用導(dǎo)數(shù)證明出：當(dāng)時(shí)，以及成立，即可證得，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可證得所證不等式成立.
【詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>先證明，令，
則，
令，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，即，
所以，，
設(shè)，其中，則且不恒為零，
所以，在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，
所以，，
因?yàn)椋剩试坏仁降米C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
11．(1)極小值0，無極大值；
(2)證明見解析.
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值.
（2）利用（1）中信息，構(gòu)建關(guān)于的不等式，再利用累加法求和即可.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以函數(shù)在處取得極小值，無極大值.
（2）證明：由（1）知，，即，，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
令，，則，
，而，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：證明第（2）問的數(shù)列不等式，利用第（1）的結(jié)論，變形構(gòu)造不等式，再結(jié)合累加法求和是解題之關(guān)鍵.
12．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）解法一：根據(jù)，可得是的極小值點(diǎn)求出，再利用導(dǎo)數(shù)檢驗(yàn)即可；解法二：求出，分、討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可得答案；
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性可得答案.
【詳解】（1）解法一：由，得，
又，所以是的極小值點(diǎn)，
故，而，故，
若，則，
當(dāng)；當(dāng)，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故是唯一的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，
由，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
解法二：由，得，又，
當(dāng)時(shí)，有恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
又，則不成立，
當(dāng)時(shí)，令，得，
則時(shí)，有時(shí)，有，
即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以的最小值為，
，
函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，
故；
（2）當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，
又由（1）知，故，
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
則在單調(diào)遞增，，
所以，則在單調(diào)遞增，
，
綜上，，即當(dāng)時(shí)，.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在證明不等式時(shí)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性結(jié)合最值的正負(fù)是常用的方法.
13．(1)答案見解析
(2)①零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2，證明見解析；②證明見解析
【分析】（1）先求得，然后對(duì)進(jìn)行分類討論來求得的單調(diào)區(qū)間.
（2）①由（1）中的單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理、構(gòu)造函數(shù)法來求得的零點(diǎn)個(gè)數(shù). ②由進(jìn)行賦值，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算證得不等式成立.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋瑢?duì)求導(dǎo)得：．
當(dāng)時(shí)，，，，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，，，，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，，，
，，，，
所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，，，，，
，，
所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）①由（1）可知，且，當(dāng)時(shí)，，
令，
所以在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，所以，所以．
當(dāng)時(shí)，
，
即，
所以存在，使得，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2．
另解：令，
令，
所以在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，所以，所以．
當(dāng)時(shí)，
，
即，所以存在，使得，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2．
②由，所以，
即令，所以，
所以，，…，，
所以.
【點(diǎn)睛】求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，考查這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間：，則在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；，則在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.如果導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)，則需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論要做到不重不漏.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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