資源簡介

8.3 正態分布
課程標準 學習目標
（1）了解正態分布在實際生活中的意義和作用. （2）掌握正態分布的特點及正態分布曲線所表示的意義、性質. （1）利用實際問題的頻率分布直方圖，了解正態密度曲線的特點及曲線所表示的意義. （2）了解變量落在區間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)內的概率大小. （3）掌握正態分布與標準正態分布的轉換，能利用標準正態分布表求得標準正態分布在某一區間內取值的概率．
知識點01 正態分布
1、正態曲線
正態曲線沿著橫軸方向水平移動只能改變對稱軸的位置，曲線的形狀沒有改變，所得的曲線依然是正態曲線顯然對于任意，，它的圖象在軸的上方．可以證明軸和曲線之間的區域的面積為1，我們稱為正態密度函數，稱它的圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線．
若隨機變量的概率密度函數為，則稱隨機變量服從正態分布，記為，特別地，當，時，稱隨機變量服從標準正態分布．
2、由的密度函數及圖象可以發現，正態曲線還有以下特點
（1）曲線是單峰的，它關于直線對稱；
（2）曲線在處達到峰值；
（3）當|x|無限增大時，曲線無限接近軸．
3、正態分布的期望與方差
若，則，．
4、正態變量在三個特殊區間內取值的概率
（1）；
（2）；
（3）．
在實際應用中，通常認為服從于正態分布的隨機變量只取中的值，這在統計學中稱為原則．
【即學即練1】（多選題）（2024·高二·江蘇·課前預習）甲、乙兩類水果的質量(單位：kg)分別服從正態分布)，，其正態密度曲線，x∈R 如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．甲類水果的平均質量μ1＝0.4 kg
B．甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右
C．甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小
D．乙類水果的質量服從的正態分布的參數σ2＝1.99
【答案】ABC
【解析】由圖象可知甲圖象關于直線x＝0.4對稱，乙圖象關于直線x＝0.8對稱，
所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，
故A，C正確；
因為甲圖象比乙圖象更“高瘦”，所以甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右，故B正確；
因為乙圖象的最大值為1.99，即，所以，故D錯誤.
故選：ABC.
題型一：正態曲線的圖象的應用
【典例1-1】（2024·高二·江蘇·課時練習）已知正態分布密度函數，，則分別是（ ）
A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和
【答案】B
【解析】，
.
故選：B.
【典例1-2】（2024·高二·全國·課時練習）設隨機變量X服從正態分布，且相應的概率密度函數為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由正態分布密度函數，可得.
故選：C.
【變式1-1】（2024·高三·全國·競賽）已知兩個連續型隨機變量X，Y滿足條件，且服從標準正態分布．設函數，則的圖像大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】或，因為，
所以或，即或，
或或
因為服從標準正態分布，所以根據對稱性可知，所以函數關于對稱，故排除AC；
當時，，，所以或,因為，其中，，，根據原則可知，，所以排除B；
故選：D
【變式1-2】（2024·高二·全國·課時練習）給出下列函數：①；②；③；④，其中，，則可以作為正態分布密度函數的個數有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】對于①，，由于，所以，故它可以作為正態分布密度函數；
對于②，若，則應為，若，則應為，均與所給函數不相符，故它不能作為正態分布密度函數；
對于③，它就是當，時的正態分布密度函數；
對于④，它是當時的正態分布密度函數．
所以一共有3個函數可以作為正態分布密度函數．
故選：C
【變式1-3】（2024·高二·江蘇·課后作業）函數(其中)的圖象可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函數圖象的對稱軸為直線，因為，所以排除B，D；
又正態曲線位于x軸上方，因此排除C，所以A正確.
故選：A.
【方法技巧與總結】
利用圖象求正態分布密度函數的解析式，應抓住圖象的兩個實質性特點：一是對稱軸為，二是最大值為．這兩點確定以后，相應參數便確定了，代入中便可求出相應的解析式．
題型二：利用正態分布的對稱性求參數
【典例2-1】（2024·高二·廣西北海·期末）已知隨機變量，且，則（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【解析】由隨機變量，所以函數曲線關于直線對稱，
又，且，所以.
故選：B
【典例2-2】（2024·高二·山東濟寧·期中）已知隨機變量服從正態分布，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，.
故選：B.
【變式2-1】（2024·高二·遼寧鞍山·階段練習）設隨機變量X服從正態分布，若，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】由題意隨機變量X服從正態分布，即正態分布曲線關于對稱,
因為，
故，
故選：B
【變式2-2】（2024·高二·遼寧沈陽·期中）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以，
所以．
故選：D
【變式2-3】（2024·高二·湖北·期末）已知隨機變量，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，
，解得：.
故選：B.
【方法技巧與總結】
對稱法：由于正態曲線是關于直線對稱的，且概率的和為1，故關于直線對稱的區間概率相等．如：
①；
②．
題型三：正態曲線的性質
【典例3-1】（多選題）（2024·高三·山東日照·期末）數學家棣莫弗發現，如果隨機變量服從二項分布，那么當比較大時，近似服從正態分布，其密度函數為.任意正態分布，可通過變換轉化為標準正態分布.當時，對任意實數，記，則（ ）
A．
B．當時，
C．隨機變量，當減小，增大時，概率保持不變
D．隨機變量，當都增大時，概率增大
【答案】BC
【解析】對于A，根據正態曲線的對稱性可得：，即，故A不正確；
對于B, 當時，，故B正確；
對于C，D，根據正態分布的準則，在正態分布中代表標準差，代表均值,
即為圖象的對稱軸，根據原則可知數值分布在的概率是常數，
故由可知，C正確，D錯誤，
故選：BC
【典例3-2】（多選題）（2024·高三·河北·期末）若隨機變量，，X、Y的分布密度曲線如圖所示，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】觀察圖象知，的均值比的均值小，的標準差比的標準差大，即，，即A正確，B錯誤；
，，
而，則，C錯誤；
由，，得，
因此，D正確.
故選：AD
【變式3-1】（多選題）（2024·高三·全國·專題練習）某市有甲、乙兩個工廠生產同一型號的汽車零件，零件的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態分布，，其正態曲線如圖所示，則下列結論中正確的是（ ）

A．甲工廠生產零件尺寸的平均值等于乙工廠生產零件尺寸的平均值
B．甲工廠生產零件尺寸的平均值小于乙工廠生產零件尺寸的平均值
C．甲工廠生產零件尺寸的穩定性高于乙工廠生產零件尺寸的穩定性
D．甲工廠生產零件尺寸的穩定性低于乙工廠生產零件尺寸的穩定性
【答案】AC
【解析】X，Y均服從正態分布，，
結合正態密度函數的圖象可知，可得，，
故甲工廠生產零件尺寸的平均值等于乙工廠生產零件尺寸的平均值，故A正確，B錯誤；
甲工廠生產零件尺寸的穩定性高于乙工廠生產零件尺寸的穩定性，故C正確，D錯誤．
故選：AC
【變式3-2】（多選題）（2024·高三·江西·階段練習）若隨機變量，則（ ）
A．的密度曲線與軸只有一個交點 B．的密度曲線關于對稱
C． D．若，則，
【答案】ACD
【解析】若，則其密度函數，因此的密度曲線與軸只有一個交點，故A正確；
的密度曲線關于直線對稱，故B錯誤；
，故C正確；
，，故D正確.
故選：ACD.
【方法技巧與總結】
由的密度函數及圖象可以發現，正態曲線還有以下特點
（1）曲線是單峰的，它關于直線對稱；
（2）曲線在處達到峰值；
（3）當|x|無限增大時，曲線無限接近軸．
題型四：特殊區間與指定區間的概率
【典例4-1】（2024·高二·安徽滁州·期末）若隨機變量，，則 ．
【答案】
【解析】由題意知，，，所以，
，
故答案為：
【典例4-2】（2024·高二·天津濱海新·期末）如果隨機變量，且，那么 .
【答案】0.8/
【解析】因為隨機變量，
所以正態曲線的對稱軸是，
所以，
所以.
故答案為：0.8.
【變式4-1】（2024·高二·廣東佛山·期末）設隨機變量，，則 .
【答案】0.15/
【解析】因為，由對稱性可知.
故答案為：0.15
【變式4-2】（2024·高二·江西·期末）已知隨機變量，若，則 .
【答案】0.14/
【解析】因為，所以，
故答案為：0.14.
【變式4-3】（2024·高二·全國·開學考試）若隨機變量，且，則 ．
【答案】0.26/
【解析】因為，
所以．
故答案為：0.26.
【方法技巧與總結】
面積法求概率
題型五：原則
【典例5-1】（2024·高二·安徽滁州·階段練習）“民以食為天，食以安為先”．質監部門對某種袋裝面粉進行質量檢測，這種袋裝面粉質量服從正態分布，隨機抽取10000袋，其中至少有9545袋面粉的質量在內，則的最大值為 ．（質量單位：，若隨機變量服從正態分布，則，，
【答案】/
【解析】由題意可知，，即，
則，解得，故的最大值為．
故答案為：.
【典例5-2】（2024·高二·福建莆田·期末）若某工廠制造的機械零件尺寸服從正態分布，則零件尺寸介于3.5和5之間的概率約為 .
（若，則，，）
【答案】
【解析】因為服從正態分布，所以，
所以，
所以
，
故答案為：
【變式5-1】（2024·高二·河南信陽·期末）某校高二年級1200人，期末統測的數學成績，則這次統測數學及格的人數約為（滿分150分，不低于90分為及格） ．
（附：，）
【答案】190
【解析】依題意，，
，，
，
則．
故答案為：190
【變式5-2】（2024·高二·福建南平·期末）已知，且，則 .
參考數據：，，.
【答案】0.84
【解析】因為，所以，
所以，
即，
所以.
故答案為：0.84．
【變式5-3】（2024·高二·浙江臺州·期末）某省的高中數學學業水平考試，分為A，B，C，D，E五個等級，其中A，B等級的比例為16%，34%.假設某次數學學業水平考試成績服從正態分布，其中王同學得分88分等級為A，李同學得分85分等級為B.請寫出一個符合條件的值 .
（參考數據：若，則，）
【答案】7（答案不唯一，只需要填區間內的任意一個值）
【解析】由題意可知，，解得.
故答案為：（答案不唯一，只需要填區間內的任意一個值）.
【方法技巧與總結】
“”法：利用落在區間內的概率分別是0．6827，0．9545，0．9973求解．
題型六：正態分布的實際應用
【典例6-1】（2024·高三·全國·專題練習）某公司為了解市場對其開發的新產品的需求情況，共調查了250名顧客，采取100分制對產品功能滿意程度、產品外觀滿意程度分別進行評分，其中對產品功能滿意程度的評分服從正態分布，對產品外觀滿意程度評分的頻率分布直方圖如圖所示，規定評分90分以上（不含90分）視為非常滿意.

(1)本次調查對產品功能非常滿意和對產品外觀非常滿意的各有多少人？（結果四舍五入取整數）
(2)若這250人中對兩項都非常滿意的有2人，現從對產品功能非常滿意和對產品外觀非常滿意的人中隨機抽取3人，設3人中兩項都非常滿意的有X人，求X的分布列和數學期望. （附：若，則，）
【解析】（1）因為對產品功能滿意程度的評分服從正態分布，
其中，
設對產品功能滿意程度的評分為，
所以，
所以本次調查對產品功能非常滿意的顧客約有（人）.
根據頻率分布直方圖得，對產品外觀非常滿意的頻率為，
則本次調查對產品外觀非常滿意的顧客約有（人）.
（2）根據題意，這人中對兩項都非常滿意的有人，則只對產品功能非常滿意的有人，
只對產品外觀非常滿意的有人，的可能取值為
，，，
則的分布列為
數學期望.
【典例6-2】（2024·高三·江蘇·專題練習）2023年，全國政協十四屆一次會議于3月4日下午3時在人民大會堂開幕，3月11日下午閉幕，會期7天半；十四屆全國人大一次會議于3月5日上午開幕，13日上午閉幕，會期8天半.為調查居民對兩會相關知識的了解情況，某小區開展了兩會知識問答活動，現將該小區參與該活動的240位居民的得分（滿分100分）進行了統計，得到如下的頻率分布直方圖.

(1)若此次知識問答的得分X服從，其中近似為參與本次活動的240位居民的平均得分（同一組中的數據用該組區間的中點值代表），求的值；
(2)中國移動為支持本次活動提供了大力支持，制定了如下獎勵方案：參與本次活動得分低于的居民獲得一次抽獎機會，參與本次活動得分不低于的居民獲得兩次抽獎機會，每位居民每次有的機會抽中一張10元的話費充值卡，有的機會抽中一張20元的話費充值卡，假設每次抽獎相互獨立，假設該小區居民王先生參與本次活動，求王先生獲得的話費充值卡的總金額Y（單位：元）的概率分布列，并估計本次活動中國移動需要準備的話費充值卡的總金額（單位：元）
參考數據：，，.
【解析】（1）
依題意，，
所以，
故
．
（2）參與活動的每位居民得分低于74分的概率為，得分不低于74分的概率為．
Y的所有可能取值分別為10，20，30，40．
，，
，，
所以Y的概率分布為
Y 10 20 30 40
P
所以，
所以本次活動中國移動需要準備的話費充值卡的總金額為元．
【變式6-1】（2024·安徽安慶·二模）樹人高中擬組織學生到某航天基地開展天宮模擬飛行器體驗活動，該項活動對學生身體體能指標和航天知識素養有明確要求．學校所有3000名學生參加了遴選活動，遴選活動分以下兩個環節，當兩個環節均測試合格可以參加體驗活動．
第一環節：對學生身體體能指標進行測試，當測試值時體能指標合格；
第二環節：對身體體能指標符合要求的學生進行航天知識素養測試，測試方案為對A，B兩類試題依次作答，均測試合格才能符合遴選要求．每類試題均在題庫中隨機產生，有兩次測試機會，在任一類試題測試中，若第一次測試合格，不再進行第二次測試．若第一次測試不合格，則進行第二次測試，若第二次測試合格，則該類試題測試合格，若第二次測試不合格，則該類試題測試不合格，測試結束．
經過統計，該校學生身體體能指標服從正態分布．
參考數值：，，．
(1)請估計樹人高中遴選學生符合身體體能指標的人數（結果取整數）；
(2)學生小華通過身體體能指標遴選，進入航天知識素養測試，作答A類試題，每次測試合格的概率為，作答B類試題，每次測試合格的概率為，且每次測試相互獨立．
①在解答A類試題第一次測試合格的條件下，求測試共進行3次的概率．
②若解答A、B兩類試題測試合格的類數為X，求X的分布列和數學期望．
【解析】（1）
．
所以符合該項指標的學生人數為：人．
（2）①記表示解答A類試題第一次測試合格，
，分別表示解答B類試題第一次和第二次測試合格，測試共進行3次記為事件M，
則，．
②設X的取值為0，1，2，
，，，
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
數學期望．
【變式6-2】（2024·四川瀘州·二模）統計學中有如下結論：若，從的取值中隨機抽取個數據，記這個數據的平均值為，則隨機變量．據傳德國數學家希爾伯特喜歡吃披薩．他每天都會到同一家披薩店購買一份披薩．該披薩店的老板聲稱自己所出售的披薩的平均質量是500g，上下浮動不超過25g，這句話用數學語言來表達就是：每個披薩的質量服從期望為500g，標準差為25g的正態分布．
(1)假設老板的說法是真實的，隨機購買份披薩，記這份披薩的平均值為，利用上述結論求；
(2)希爾伯特每天都會將買來的披薩稱重并記錄，天后，得到的數據都落在上，并經計算得到份披薩質量的平均值為，希爾伯特通過分析舉報了該老板．試從概率角度說明希爾伯特舉報該老板的理由．
附：①隨機變量服從正態分布，則，，；
②通常把發生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發生．
【解析】（1）依題意，又，
所以，，
且，
所以.
（2）由（1）可得，
又希爾伯特計算份披薩質量的平均值為，，
而，
所以份披薩質量的平均值為為小概率事件，小概率事件基本不會發生，
所以希爾伯特認為老板的說法不真實，這就是他舉報該老板的理由.
【變式6-3】（2024·福建莆田·二模）某商場將在“周年慶”期間舉行“購物刮刮樂，龍騰旺旺來”活動，活動規則：顧客投擲3枚質地均勻的股子．若3枚骰子的點數都是奇數，則中“龍騰獎”，獲得兩張“刮刮樂”；若3枚骰子的點數之和為6的倍數，則中“旺旺獎”，獲得一張“刮刮樂”；其他情況不獲得“刮刮樂”．
(1)據往年統計，顧客消費額（單位：元）服從正態分布．若某天該商場有20000位顧客，請估計該天消費額在內的人數；
附：若，則．
(2)已知每張“刮刮樂”刮出甲獎品的概率為，刮出乙獎品的概率為．
①求顧客獲得乙獎品的概率；
②若顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率．
【解析】（1）由題意
，
若某天該商場有20000位顧客，
估計該天消費額在內的人數為；
（2）設事件“顧客中龍騰獎”， 事件“顧客中旺旺獎”， 事件“顧客獲得乙獎品”，
由題意知，
事件包括的事件是：“3枚骰子的點數之和為6”，“3枚骰子的點數之和為12”，“3枚骰子的點數之和為18”，
則（i）若“3枚骰子的點數之和為6”，則有“1點，1點，4點”， “1點，2點，3點”， “2點，2點，2點”，三類情況，
共有種；
（ii）若“3枚骰子的點數之和為12”，則有“1點，5點，6點”， “2點，5點，5點”， “2點，4點，6點”， “3點，4點，5點”， “3點，3點，6點”， “4點，4點，4點”，六類情況，
共有種；
（iii）若“3枚骰子的點數之和為18”，則有“6點，6點，6點”，一類情況，
共有1種；
所有，
①由全概率公式可得，
即顧客獲得乙獎品的概率為；
②若顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率是，
所以顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率是.
【變式6-4】（2024·高三·江西·開學考試）已知某客運輪渡最大載客質量為，且乘客的體重（單位：）服從正態分布．
(1)記為任意兩名乘客中體重超過的人數，求的分布列及數學期望（所有結果均精確到0.001）；
(2)設隨機變量相互獨立，且服從正態分布，記，則當時，可認為服從標準正態分布．若保證該輪渡不超載的概率不低于，求最多可運載多少名乘客．
附：若隨機變量服從正態分布，則；若服從標準正態分布，則；，，．
【解析】（1）由乘客的體重（單位：）服從正態分布可得，
則可得，
即任意一名乘客體重大于的概率為，
則的所有可能取值為，
，
，
所以的分布列為
0 1 2
期望值為
（2）設為第位乘客的體重，則，其中，
所以，
由可得，
即，可得，即，.
所以保證該輪渡不超載的概率不低于，最多可運載64名乘客.
【方法技巧與總結】
解題時，應當注意零件尺寸應落在之內，否則可以認為該批產品不合格．判斷的根據是小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發生的，而一旦發生了，就可以認為這批產品不合格．
題型七：標準正態分布
【典例7-1】（2024·山東濰坊·模擬預測）2023年3月某學校舉辦了春季科技體育節，其中安排的女排賽事共有12個班級作為參賽隊伍，本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質量指標（單位：g）服從正態分布，其中，.比賽賽制采取單循環方式，即每支球隊進行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊積3分，負隊積0分；而在比賽中以3：2取勝的球隊積2分，負隊積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊和2班排球隊，1班排球隊積26分，2班排球隊積22分.第10輪1班排球隊對抗3班排球隊，設每局比賽1班排球隊取勝的概率為.
(1)令，則，且，求，并證明：；
(2)第10輪比賽中，記1班排球隊3：1取勝的概率為，求出的最大值點，并以作為的值，解決下列問題.
（ⅰ）在第10輪比賽中，1班排球隊所得積分為，求的分布列；
（ⅱ）已知第10輪2班排球隊積3分，判斷1班排球隊能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結果如何，1班排球隊積分最多）？若能，求出相應的概率；若不能，請說明理由.
參考數據：，則，，.
【解析】（1），又，
所以.
因為，根據正態曲線對稱性，，
又因為，所以.
（2），
.
令，得.
當時，，在上為增函數；
當時，，在上為減函數.
所以的最大值點，從而.
（ⅰ）的可能取值為3，2，1，0.
，，
，，
所以的分布列為
3 2 1 0
（ⅱ）若，則1班10輪后的總積分為29分，2班即便第10輪和第11輪都積3分，
則11輪過后的總積分是28分，，所以，1班如果第10輪積3分，
則可提前一輪奪得冠軍，其概率為.
【典例7-2】（2024·河南開封·模擬預測）《山東省高考改革試點方案》規定：年高考總成績由語文、數學、外語三門統考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個等級，參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為、、、、、、、，選擇科目成績計入考生總成績時，將至等級內的考生原始成績，依照（、分別為正態分布的均值和標準差）分別轉換到、、、、、、、八個分數區間，得到考生的等級成績．如果山東省年某次學業水平模擬考試物理科目的原始成績，．
(1)若規定等級、、、、、為合格，、為不合格，需要補考，估計這次學業水平模擬考試物理合格線的最低原始分是多少；
(2)現隨機抽取了該省名參加此次物理學科學業水平測試的原始分，若這些學生的原始分相互獨立，記為被抽到的原始分不低于分的學生人數，求的數學期望和方差．
附：當時，，．
【解析】（1）由題意可知，學業水平模擬考試物理科目合格的比例為，
由且，可得，
由，可得，
估計這次學業水平模擬考試物理合格線的最低原始分為分.
（2）若，則，，
由題意可知，
，.
【變式7-1】已知某高校共有10000名學生，其圖書館閱覽室共有994個座位，假設學生是否去自習是相互獨立的，且每個學生在每天的晚自習時間去閱覽室自習的概率均為0.1．
（1）將每天的晚自習時間去閱覽室自習的學生人數記為，求的期望和方差；
（2）18世紀30年代，數學家棣莫弗發現，當比較大時，二項分布可視為正態分布．此外，如果隨機變量，令，則．當時，對于任意實數，記．已知下表為標準正態分布表（節選），該表用于查詢標準正態分布對應的概率值．例如當時，由于，則先在表的最左列找到數字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到數字0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數字0.5636便是的值．
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6404 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808， 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157' 0.7190 0.7224
①求在晚自習時間閱覽室座位不夠用的概率；
②若要使在晚自習時間閱覽室座位夠用的概率高于0.7，則至少需要添加多少個座位？
【解析】（1）由題意可得，隨機變量X服從二項分布，
則，
，
（2）①由于（1）中二項分布的n值增大，
故可以認為隨機變量X服從二項分布，
由（1）可得，，
可得，則，
則，
由標準正態分布性質可得，，
故，
故，
在晚自習時間閱覽室座位不夠用的概率為；
②查表可得，，則，
即，
又，
故座位數至少要1016個，
，
【變式7-2】（2024·河南平頂山·二模）2020年某地在全國志愿服務信息系統注冊登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個志愿服務項目，8900多名志愿者開展志愿服務活動累計超過150萬小時．為了了解此地志愿者對志愿服務的認知和參與度，隨機調查了500名志愿者每月的志愿服務時長（單位：小時），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求這500名志愿者每月志愿服務時長的樣本平均數和樣本方差（同一組中的數據用該組區間的中間值代表）；
（2）由直方圖可以認為，目前該地志愿者每月服務時長服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差．一般正態分布的概率都可以轉化為標準正態分布的概率進行計算：若，令，則，且．
（ⅰ）利用直方圖得到的正態分布，求；
（ⅱ）從該地隨機抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務時長超過10小時的人數，求（結果精確到0.001）以及的數學期望．
參考數據：，．若，則．
【解析】（1）．
．
（2）（ⅰ）由題知，，所以，．
所以．
（ⅱ）由（ⅰ）知，可得．
．
故的數學期望．
【方法技巧與總結】
變換法
一、單選題
1．（2024·高二·上海·階段練習）下列命題正確的是（ ）
A．數據，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位數是1
B．若隨機變量滿足，則
C．已知隨機變量，若，則
D．若隨機變量，，則
【答案】D
【解析】對于選項A，8個數據從小到大排列，由于，
所以第25百分位數應該是第二個與第三個的平均數，故A錯誤；
對于選項B，，故B錯誤；
對于選項C，因為，則，故C錯誤；
對于選項D，因為隨機變量，由正態曲線的對稱性可得：，
則，所以，故D正確.
故選：D.
2．（2024·高三·全國·階段練習）一般來說，輸出信號功率用高斯函數來描述，定義為，其中為輸出信號功率最大值（單位：），為頻率（單位：），為輸出信號功率的數學期望，為輸出信號的方差，帶寬是光通信中一個常用的指標，是指當輸出信號功率下降至最大值一半時，信號的頻率范圍，即對應函數圖象的寬度。現已知輸出信號功率為（如圖所示），則其帶寬為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意，由，，得，即，
則有，解得，，
所以帶寬為.
故選：D
3．（2024·高三·浙江金華·期末）某次數學聯考成績的數據分析，20000名考生成績服從正態分布，則80分以上的人數大約是（ ）
參考數據：若，則
A．3173 B．6346 C．6827 D．13654
【答案】A
【解析】由題意可得，又，
故，
則80分以上的人數大約是人.
故選：A.
4．（2024·高三·湖南常德·期末）某校高三年級800名學生在高三的一次考試中數學成績近似服從正態分布，若某學生數學成績為102分，則該學生數學成績的年級排名大約是（ ）
（附：，，）
A．第18名 B．第127名 C．第245名 D．第546名
【答案】B
【解析】因為成績近似服從正態分布,，則，
且，
所以，
因此該校數學成績不低于102分的人數即年級排名大約是．
故選：B．
5．（2024·高二·遼寧·開學考試）某校高三學生的一次期中考試的數學成績（單位：分）近似服從正態分布，從中抽取一個同學的數學成績，記該同學的成績為為事件，記該同學的成績為為事件，則在事件發生的條件下，事件發生的概率為（ ）（附參考數據：，，）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題知，事件為“該同學的成績滿足”，
因為，
所以
，
又，所以，
故選：A．
6．（2024·高三·全國·開學考試）某校高三數學摸底考試成績（單位：分）近似服從正態分布，且，該校高三數學摸底考試成績超過90分的人數有930人，則（ ）
A．估計該校高三學生人數為1200
B．估計該校學生中成績不超過90分的人數為70．
C．估計該校學生中成績介于90到110分之間的人數為425．
D．估計該校學生中成績不超過90分的人數比超過130分的人數多．
【答案】B
【解析】由，得，
．
估計該校學生人數為：人，A不正確；
估計該校學生中成績不超過90分的人數為，B正確；
估計該校學生中成績介于90到110分之間的人數為，C錯誤；
由，
估計該校學生中成績不超過90分的人數與超過130分的人數相等，D錯誤，
故選：B．
7．（2024·高二·河南南陽·期末）為了檢測自動包裝線生產的罐裝咖啡，檢驗員每天從生產線上隨機抽取罐咖啡，并測量其質量（單位：）.由于存在各種不可控制的因素，任意抽取的1罐咖啡的質量與標準質量之間存在一定的誤差，已知這條包裝線在正常狀態下，每罐咖啡的質量服從正態分布.假設生產狀態正常，記表示每天抽取的罐咖啡中質量在之外的罐數，若的數學期望，則的最小值為（ ）
附：若隨機變量服從正態分布，則.
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【解析】因為，所以，
故，
所以，解得，
因為，故的最小值為11.
故選：B.
8．（2024·高三·河北保定·期末）我們將服從二項分布的隨機變量稱為二項隨機變量，服從正態分布的隨機變量稱為正態隨機變量.概率論中有一個重要的結論：若隨機變量，當充分大時，二項隨機變量可以由正態隨機變量來近似地替代，且正態隨機變量的期望和方差與二項隨機變量的期望和方差相同.法國數學家棣莫弗（1667-1754）在1733年證明了時這個結論是成立的，法國數學家 物理學家拉普拉斯（1749-1827）在1812年證明了這個結論對任意的實數都成立，因此人們把這個結論稱為棣莫弗—拉普拉斯極限定理.現拋擲一枚質地均勻的硬幣2500次，利用正態分布估算硬幣正面向上次數不少于1200次的概率為（ ）
（附：若，則，
A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865
【答案】B
【解析】拋擲一枚質地均勻的硬幣2500次，設硬幣正面向上的次數為，
則.
由題意，且，
因為，即，
所以利用正態分布估算硬幣正面向上次數不少于1200次的概率為.
故選：B.
二、多選題
9．（2024·高二·江蘇·課前預習）甲、乙兩類水果的質量(單位：kg)分別服從正態分布)，，其正態密度曲線，x∈R 如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．甲類水果的平均質量μ1＝0.4 kg
B．甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右
C．甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小
D．乙類水果的質量服從的正態分布的參數σ2＝1.99
【答案】ABC
【解析】由圖象可知甲圖象關于直線x＝0.4對稱，乙圖象關于直線x＝0.8對稱，
所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，
故A，C正確；
因為甲圖象比乙圖象更“高瘦”，所以甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右，故B正確；
因為乙圖象的最大值為1.99，即，所以，故D錯誤.
故選：ABC.
10．（2024·高二·遼寧·開學考試）隨機變量，且，隨機變量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】對于A，，
且，故A正確；
對于C，，
，故C正確；
對于B，，，故B正確；
對于D，，故D錯誤．
故選：ABC.
11．（2024·高三·山東日照·期末）數學家棣莫弗發現，如果隨機變量服從二項分布，那么當比較大時，近似服從正態分布，其密度函數為.任意正態分布，可通過變換轉化為標準正態分布.當時，對任意實數，記，則（ ）
A．
B．當時，
C．隨機變量，當減小，增大時，概率保持不變
D．隨機變量，當都增大時，概率增大
【答案】BC
【解析】對于A，根據正態曲線的對稱性可得：，即，故A不正確；
對于B, 當時，，故B正確；
對于C，D，根據正態分布的準則，在正態分布中代表標準差，代表均值,
即為圖象的對稱軸，根據原則可知數值分布在的概率是常數，
故由可知，C正確，D錯誤，
故選：BC
三、填空題
12．（2024·新疆烏魯木齊·一模）在工業生產中軸承的直徑服從，購買者要求直徑為，不在這個范圍的將被拒絕，要使拒絕的概率控制在之內，則至少為 ；（若，則）
【答案】0.1/
【解析】若，則）
因為工業生產中軸承的直徑服從，
所以，則，
由，
得，
則要使拒絕的概率控制在之內，則至少為.
故答案為：
13．（2024·高三·山西·期末）已知隨機變量，設函數，且滿足，則 .
【答案】2
【解析】，，
又，，
，有與關于對稱，
則.
故答案為：2.
14．（2024·高三·全國·階段練習）某公司定期對流水線上的產品進行質量檢測，以此來判定產品是否合格可用．已知某批產品的質量指標服從正態分布，其中的產品為“可用產品”，則在這批產品中任取1件，抽到“可用產品”的概率約為 ．
參考數據：若，則，，．
【答案】0.84/
【解析】由題意知，該產品服從，則，
所以
，
又，
，
所以，
所以，
即.
所以抽到“可用產品”的概率為.
故答案為：0.84.
四、解答題
15．（2024·高三·重慶·開學考試）從某企業生產的某種產品中隨機抽取1000件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：
(1)求這1000件產品質量指標值的樣本平均數和樣本方差（同一組的數據用該組區間的中點值作為代表）；
(2)由直方圖可以認為，這種產品的質量指標值服從正態分布，其中近似為樣本平均數近似為樣本方差，為監控該產品的生產質量，每天抽取10個產品進行檢測，若出現了質量指標值在之外的產品，就認為這一天的生產過程中可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．
①假設生產狀態正常，記表示一天內抽取的10個產品中尺寸在之外的產品數，求
②請說明上述監控生產過程方法的合理性．
附：
【解析】（1）由題意可知：（
），
[
]，
（2）①由題意可知生產狀態正常，此時一個產品尺寸在之內的概率為，
所以；
②如果生產狀態正常，此時一個產品尺寸在之外的概率只有，
一天內抽取10個零件中，發現尺寸在之外的概率只有，發生的概率很小，因此一旦發生這種情況，就有理由認為生產線在這一天的生產過程中可能出現異常，需要對當天的生產過程進行檢查，可見這種監管過程方法合理.
16．（2024·全國·模擬預測）大氣污染是指大氣中污染物質的濃度達到有害程度，以至破壞生態系統和人類正常生存和發展的條件，對人和物造成危害的現象．某環境保護社團組織“大氣污染的危害以及防治措施”講座，并在講座后對參會人員就講座內容進行知識測試，從中隨機抽取了100份試卷，將這100份試卷的成績（單位：分，滿分100分）整理得如下頻率分布直方圖（同一組中的數據以該組區間的中點值為代表）．

(1)根據頻率分布直方圖確定的值，再求出這100份樣本試卷成績的眾數和75%分位數（精確到0.1）；
(2)根據頻率分布直方圖可認為此次測試的成績近似服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本的標準差，約為6.75．用樣本估計總體，假設有84.14%的參會人員的測試成績不低于測試前預估的平均成績，求測試前預估的平均成績大約為多少分（精確到0.1）
參考數據：若，則，，．
【解析】（1）根據頻率分布直方圖，可得：
，解得，
這組數據的眾數為，
由，
則這100份樣本試卷成績的75%分位數是.
（2）由，
所以，
因為，
所以，
所以測試前預估的平均成績大約為分．
17．（2024·高二·江蘇·專題練習）法國數學家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包．該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質量是1 000 g，上下浮動不超過50 g．這句話用數學語言來表達就是：每個面包的質量服從期望為1 000 g，標準差為50 g的正態分布．
(1)已知如下結論：若X～N（μ，σ2），從X的取值中隨機抽取k（k∈N*，k≥2）個數據，記這k個數據的平均值為Y，則隨機變量Y～N.利用該結論解決下面問題．
①假設面包師的說法是真實的，隨機購買25個面包，記隨機購買25個面包的平均值為Y，求P（Y≤980）；
②龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數據都落在區間（950，1 050）內，并得出計算25個面包的平均質量為978.72 g．龐加萊通過分析舉報了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報該面包師的理由；
(2)假設有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黑色面包2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黑色面包3個．現隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包，求取出黑色面包個數的分布列及數學期望．
附：①若隨機變量η服從正態分布N（μ，σ2），則P（μ－σ≤η≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ≤η≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤η≤μ＋3σ）≈0.997 3；②通常把發生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發生．
【解析】（1）①因為，所以，
又因為，所以，
因為，所以.
②由①知，
又由這25個面包的平均質量為，
因為，而為小概率事件，
小概率事件基本不會發生，這就是龐加萊舉報該面包的理由.
（2）設取出黑色面包的個數為，則的所有可能取值為，
可得，，
，
所以分布列為
0 1 2
所以期望為.
18．（2024·全國·模擬預測）某校隨機抽取了100名本校高一男生進行立定跳遠測試，根據測試成績得到如下的頻率分布直方圖.
(1)若該校高一男生的立定跳遠成績X（單位：厘米）服從正態分布，其中為上面樣本數據的平均值（每組數據用該組數據的中間值代替）.在該校所有高一男生中任意選取4人，記立定跳遠成績在厘米以上（包含）的人數為，求隨機變量的分布列和數學期望；
(2)已知該校高二男生有800名，男生立定跳遠成績在250厘米以上得滿分.若認為高二男生立定跳遠成績也服從（1）中所求的正態分布，請估計該校高二男生立定跳遠得滿分的人數（結果保留整數）.
附：若，則，
，.
【解析】（1），
∴，∴，
∴，，
，，
∴的分布列為：
0 1 2 3 4
∴.
（2）記該校高二男生立定跳遠成績為Y厘米，則，
∴
，
∴估計該校高二男生立定跳遠得滿分的人數為.
19．（2024·高三·江蘇常州·期末）某制造商生產的5000根金屬棒的長度近似服從正態分布，其中恰有114根金屬棒長度不小于6.04．
(1)求；
(2)如果允許制造商生產這種金屬棒的長度范圍是（5.95，6.05），那么這批金屬棒中不合格的金屬棒約有多少根？
說明：對任何一個正態分布來說，通過轉化為標準正態分布，從而查標準正態分布表得到．
可供查閱的（部分）標準正態分布表
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974
【解析】（1），，
，
，，
；
（2）
，
不合格的金屬棒有：根．8.3 正態分布
課程標準 學習目標
（1）了解正態分布在實際生活中的意義和作用. （2）掌握正態分布的特點及正態分布曲線所表示的意義、性質. （1）利用實際問題的頻率分布直方圖，了解正態密度曲線的特點及曲線所表示的意義. （2）了解變量落在區間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)內的概率大小. （3）掌握正態分布與標準正態分布的轉換，能利用標準正態分布表求得標準正態分布在某一區間內取值的概率．
知識點01 正態分布
1、正態曲線
正態曲線沿著橫軸方向水平移動只能改變對稱軸的位置，曲線的形狀沒有改變，所得的曲線依然是正態曲線顯然對于任意，，它的圖象在軸的上方．可以證明軸和曲線之間的區域的面積為1，我們稱為正態密度函數，稱它的圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線．
若隨機變量的概率密度函數為，則稱隨機變量服從正態分布，記為，特別地，當，時，稱隨機變量服從標準正態分布．
2、由的密度函數及圖象可以發現，正態曲線還有以下特點
（1）曲線是單峰的，它關于直線對稱；
（2）曲線在處達到峰值；
（3）當|x|無限增大時，曲線無限接近軸．
3、正態分布的期望與方差
若，則，．
4、正態變量在三個特殊區間內取值的概率
（1）；
（2）；
（3）．
在實際應用中，通常認為服從于正態分布的隨機變量只取中的值，這在統計學中稱為原則．
【即學即練1】（多選題）（2024·高二·江蘇·課前預習）甲、乙兩類水果的質量(單位：kg)分別服從正態分布)，，其正態密度曲線，x∈R 如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．甲類水果的平均質量μ1＝0.4 kg
B．甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右
C．甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小
D．乙類水果的質量服從的正態分布的參數σ2＝1.99
題型一：正態曲線的圖象的應用
【典例1-1】（2024·高二·江蘇·課時練習）已知正態分布密度函數，，則分別是（ ）
A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和
【典例1-2】（2024·高二·全國·課時練習）設隨機變量X服從正態分布，且相應的概率密度函數為，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2024·高三·全國·競賽）已知兩個連續型隨機變量X，Y滿足條件，且服從標準正態分布．設函數，則的圖像大致為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·高二·全國·課時練習）給出下列函數：①；②；③；④，其中，，則可以作為正態分布密度函數的個數有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1-3】（2024·高二·江蘇·課后作業）函數(其中)的圖象可能為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
利用圖象求正態分布密度函數的解析式，應抓住圖象的兩個實質性特點：一是對稱軸為，二是最大值為．這兩點確定以后，相應參數便確定了，代入中便可求出相應的解析式．
題型二：利用正態分布的對稱性求參數
【典例2-1】（2024·高二·廣西北海·期末）已知隨機變量，且，則（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【典例2-2】（2024·高二·山東濟寧·期中）已知隨機變量服從正態分布，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·高二·遼寧鞍山·階段練習）設隨機變量X服從正態分布，若，則（ ）
A． B． C． D．1
【變式2-2】（2024·高二·遼寧沈陽·期中）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2024·高二·湖北·期末）已知隨機變量，且，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
對稱法：由于正態曲線是關于直線對稱的，且概率的和為1，故關于直線對稱的區間概率相等．如：
①；
②．
題型三：正態曲線的性質
【典例3-1】（多選題）（2024·高三·山東日照·期末）數學家棣莫弗發現，如果隨機變量服從二項分布，那么當比較大時，近似服從正態分布，其密度函數為.任意正態分布，可通過變換轉化為標準正態分布.當時，對任意實數，記，則（ ）
A．
B．當時，
C．隨機變量，當減小，增大時，概率保持不變
D．隨機變量，當都增大時，概率增大
【典例3-2】（多選題）（2024·高三·河北·期末）若隨機變量，，X、Y的分布密度曲線如圖所示，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式3-1】（多選題）（2024·高三·全國·專題練習）某市有甲、乙兩個工廠生產同一型號的汽車零件，零件的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態分布，，其正態曲線如圖所示，則下列結論中正確的是（ ）

A．甲工廠生產零件尺寸的平均值等于乙工廠生產零件尺寸的平均值
B．甲工廠生產零件尺寸的平均值小于乙工廠生產零件尺寸的平均值
C．甲工廠生產零件尺寸的穩定性高于乙工廠生產零件尺寸的穩定性
D．甲工廠生產零件尺寸的穩定性低于乙工廠生產零件尺寸的穩定性
【變式3-2】（多選題）（2024·高三·江西·階段練習）若隨機變量，則（ ）
A．的密度曲線與軸只有一個交點 B．的密度曲線關于對稱
C． D．若，則，
【方法技巧與總結】
由的密度函數及圖象可以發現，正態曲線還有以下特點
（1）曲線是單峰的，它關于直線對稱；
（2）曲線在處達到峰值；
（3）當|x|無限增大時，曲線無限接近軸．
題型四：特殊區間與指定區間的概率
【典例4-1】（2024·高二·安徽滁州·期末）若隨機變量，，則 ．
【典例4-2】（2024·高二·天津濱海新·期末）如果隨機變量，且，那么 .
【變式4-1】（2024·高二·廣東佛山·期末）設隨機變量，，則 .
【變式4-2】（2024·高二·江西·期末）已知隨機變量，若，則 .
【變式4-3】（2024·高二·全國·開學考試）若隨機變量，且，則 ．
【方法技巧與總結】
面積法求概率
題型五：原則
【典例5-1】（2024·高二·安徽滁州·階段練習）“民以食為天，食以安為先”．質監部門對某種袋裝面粉進行質量檢測，這種袋裝面粉質量服從正態分布，隨機抽取10000袋，其中至少有9545袋面粉的質量在內，則的最大值為 ．（質量單位：，若隨機變量服從正態分布，則，，
【典例5-2】（2024·高二·福建莆田·期末）若某工廠制造的機械零件尺寸服從正態分布，則零件尺寸介于3.5和5之間的概率約為 .
（若，則，，）
【變式5-1】（2024·高二·河南信陽·期末）某校高二年級1200人，期末統測的數學成績，則這次統測數學及格的人數約為（滿分150分，不低于90分為及格） ．
（附：，）
【變式5-2】（2024·高二·福建南平·期末）已知，且，則 .
參考數據：，，.
【變式5-3】（2024·高二·浙江臺州·期末）某省的高中數學學業水平考試，分為A，B，C，D，E五個等級，其中A，B等級的比例為16%，34%.假設某次數學學業水平考試成績服從正態分布，其中王同學得分88分等級為A，李同學得分85分等級為B.請寫出一個符合條件的值 .
（參考數據：若，則，）
【方法技巧與總結】
“”法：利用落在區間內的概率分別是0．6827，0．9545，0．9973求解．
題型六：正態分布的實際應用
【典例6-1】（2024·高三·全國·專題練習）某公司為了解市場對其開發的新產品的需求情況，共調查了250名顧客，采取100分制對產品功能滿意程度、產品外觀滿意程度分別進行評分，其中對產品功能滿意程度的評分服從正態分布，對產品外觀滿意程度評分的頻率分布直方圖如圖所示，規定評分90分以上（不含90分）視為非常滿意.

(1)本次調查對產品功能非常滿意和對產品外觀非常滿意的各有多少人？（結果四舍五入取整數）
(2)若這250人中對兩項都非常滿意的有2人，現從對產品功能非常滿意和對產品外觀非常滿意的人中隨機抽取3人，設3人中兩項都非常滿意的有X人，求X的分布列和數學期望. （附：若，則，）
【典例6-2】（2024·高三·江蘇·專題練習）2023年，全國政協十四屆一次會議于3月4日下午3時在人民大會堂開幕，3月11日下午閉幕，會期7天半；十四屆全國人大一次會議于3月5日上午開幕，13日上午閉幕，會期8天半.為調查居民對兩會相關知識的了解情況，某小區開展了兩會知識問答活動，現將該小區參與該活動的240位居民的得分（滿分100分）進行了統計，得到如下的頻率分布直方圖.

(1)若此次知識問答的得分X服從，其中近似為參與本次活動的240位居民的平均得分（同一組中的數據用該組區間的中點值代表），求的值；
(2)中國移動為支持本次活動提供了大力支持，制定了如下獎勵方案：參與本次活動得分低于的居民獲得一次抽獎機會，參與本次活動得分不低于的居民獲得兩次抽獎機會，每位居民每次有的機會抽中一張10元的話費充值卡，有的機會抽中一張20元的話費充值卡，假設每次抽獎相互獨立，假設該小區居民王先生參與本次活動，求王先生獲得的話費充值卡的總金額Y（單位：元）的概率分布列，并估計本次活動中國移動需要準備的話費充值卡的總金額（單位：元）
參考數據：，，.
【變式6-1】（2024·安徽安慶·二模）樹人高中擬組織學生到某航天基地開展天宮模擬飛行器體驗活動，該項活動對學生身體體能指標和航天知識素養有明確要求．學校所有3000名學生參加了遴選活動，遴選活動分以下兩個環節，當兩個環節均測試合格可以參加體驗活動．
第一環節：對學生身體體能指標進行測試，當測試值時體能指標合格；
第二環節：對身體體能指標符合要求的學生進行航天知識素養測試，測試方案為對A，B兩類試題依次作答，均測試合格才能符合遴選要求．每類試題均在題庫中隨機產生，有兩次測試機會，在任一類試題測試中，若第一次測試合格，不再進行第二次測試．若第一次測試不合格，則進行第二次測試，若第二次測試合格，則該類試題測試合格，若第二次測試不合格，則該類試題測試不合格，測試結束．
經過統計，該校學生身體體能指標服從正態分布．
參考數值：，，．
(1)請估計樹人高中遴選學生符合身體體能指標的人數（結果取整數）；
(2)學生小華通過身體體能指標遴選，進入航天知識素養測試，作答A類試題，每次測試合格的概率為，作答B類試題，每次測試合格的概率為，且每次測試相互獨立．
①在解答A類試題第一次測試合格的條件下，求測試共進行3次的概率．
②若解答A、B兩類試題測試合格的類數為X，求X的分布列和數學期望．
【變式6-2】（2024·四川瀘州·二模）統計學中有如下結論：若，從的取值中隨機抽取個數據，記這個數據的平均值為，則隨機變量．據傳德國數學家希爾伯特喜歡吃披薩．他每天都會到同一家披薩店購買一份披薩．該披薩店的老板聲稱自己所出售的披薩的平均質量是500g，上下浮動不超過25g，這句話用數學語言來表達就是：每個披薩的質量服從期望為500g，標準差為25g的正態分布．
(1)假設老板的說法是真實的，隨機購買份披薩，記這份披薩的平均值為，利用上述結論求；
(2)希爾伯特每天都會將買來的披薩稱重并記錄，天后，得到的數據都落在上，并經計算得到份披薩質量的平均值為，希爾伯特通過分析舉報了該老板．試從概率角度說明希爾伯特舉報該老板的理由．
附：①隨機變量服從正態分布，則，，；
②通常把發生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發生．
【變式6-3】（2024·福建莆田·二模）某商場將在“周年慶”期間舉行“購物刮刮樂，龍騰旺旺來”活動，活動規則：顧客投擲3枚質地均勻的股子．若3枚骰子的點數都是奇數，則中“龍騰獎”，獲得兩張“刮刮樂”；若3枚骰子的點數之和為6的倍數，則中“旺旺獎”，獲得一張“刮刮樂”；其他情況不獲得“刮刮樂”．
(1)據往年統計，顧客消費額（單位：元）服從正態分布．若某天該商場有20000位顧客，請估計該天消費額在內的人數；
附：若，則．
(2)已知每張“刮刮樂”刮出甲獎品的概率為，刮出乙獎品的概率為．
①求顧客獲得乙獎品的概率；
②若顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率．
【變式6-4】（2024·高三·江西·開學考試）已知某客運輪渡最大載客質量為，且乘客的體重（單位：）服從正態分布．
(1)記為任意兩名乘客中體重超過的人數，求的分布列及數學期望（所有結果均精確到0.001）；
(2)設隨機變量相互獨立，且服從正態分布，記，則當時，可認為服從標準正態分布．若保證該輪渡不超載的概率不低于，求最多可運載多少名乘客．
附：若隨機變量服從正態分布，則；若服從標準正態分布，則；，，．
【方法技巧與總結】
解題時，應當注意零件尺寸應落在之內，否則可以認為該批產品不合格．判斷的根據是小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發生的，而一旦發生了，就可以認為這批產品不合格．
題型七：標準正態分布
【典例7-1】（2024·山東濰坊·模擬預測）2023年3月某學校舉辦了春季科技體育節，其中安排的女排賽事共有12個班級作為參賽隊伍，本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質量指標（單位：g）服從正態分布，其中，.比賽賽制采取單循環方式，即每支球隊進行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊積3分，負隊積0分；而在比賽中以3：2取勝的球隊積2分，負隊積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊和2班排球隊，1班排球隊積26分，2班排球隊積22分.第10輪1班排球隊對抗3班排球隊，設每局比賽1班排球隊取勝的概率為.
(1)令，則，且，求，并證明：；
(2)第10輪比賽中，記1班排球隊3：1取勝的概率為，求出的最大值點，并以作為的值，解決下列問題.
（ⅰ）在第10輪比賽中，1班排球隊所得積分為，求的分布列；
（ⅱ）已知第10輪2班排球隊積3分，判斷1班排球隊能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結果如何，1班排球隊積分最多）？若能，求出相應的概率；若不能，請說明理由.
參考數據：，則，，.
【典例7-2】（2024·河南開封·模擬預測）《山東省高考改革試點方案》規定：年高考總成績由語文、數學、外語三門統考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個等級，參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為、、、、、、、，選擇科目成績計入考生總成績時，將至等級內的考生原始成績，依照（、分別為正態分布的均值和標準差）分別轉換到、、、、、、、八個分數區間，得到考生的等級成績．如果山東省年某次學業水平模擬考試物理科目的原始成績，．
(1)若規定等級、、、、、為合格，、為不合格，需要補考，估計這次學業水平模擬考試物理合格線的最低原始分是多少；
(2)現隨機抽取了該省名參加此次物理學科學業水平測試的原始分，若這些學生的原始分相互獨立，記為被抽到的原始分不低于分的學生人數，求的數學期望和方差．
附：當時，，．
【變式7-1】已知某高校共有10000名學生，其圖書館閱覽室共有994個座位，假設學生是否去自習是相互獨立的，且每個學生在每天的晚自習時間去閱覽室自習的概率均為0.1．
（1）將每天的晚自習時間去閱覽室自習的學生人數記為，求的期望和方差；
（2）18世紀30年代，數學家棣莫弗發現，當比較大時，二項分布可視為正態分布．此外，如果隨機變量，令，則．當時，對于任意實數，記．已知下表為標準正態分布表（節選），該表用于查詢標準正態分布對應的概率值．例如當時，由于，則先在表的最左列找到數字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到數字0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數字0.5636便是的值．
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6404 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808， 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157' 0.7190 0.7224
①求在晚自習時間閱覽室座位不夠用的概率；
②若要使在晚自習時間閱覽室座位夠用的概率高于0.7，則至少需要添加多少個座位？
【變式7-2】（2024·河南平頂山·二模）2020年某地在全國志愿服務信息系統注冊登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個志愿服務項目，8900多名志愿者開展志愿服務活動累計超過150萬小時．為了了解此地志愿者對志愿服務的認知和參與度，隨機調查了500名志愿者每月的志愿服務時長（單位：小時），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求這500名志愿者每月志愿服務時長的樣本平均數和樣本方差（同一組中的數據用該組區間的中間值代表）；
（2）由直方圖可以認為，目前該地志愿者每月服務時長服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差．一般正態分布的概率都可以轉化為標準正態分布的概率進行計算：若，令，則，且．
（ⅰ）利用直方圖得到的正態分布，求；
（ⅱ）從該地隨機抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務時長超過10小時的人數，求（結果精確到0.001）以及的數學期望．
參考數據：，．若，則．
【方法技巧與總結】
變換法
一、單選題
1．（2024·高二·上海·階段練習）下列命題正確的是（ ）
A．數據，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位數是1
B．若隨機變量滿足，則
C．已知隨機變量，若，則
D．若隨機變量，，則
2．（2024·高三·全國·階段練習）一般來說，輸出信號功率用高斯函數來描述，定義為，其中為輸出信號功率最大值（單位：），為頻率（單位：），為輸出信號功率的數學期望，為輸出信號的方差，帶寬是光通信中一個常用的指標，是指當輸出信號功率下降至最大值一半時，信號的頻率范圍，即對應函數圖象的寬度。現已知輸出信號功率為（如圖所示），則其帶寬為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·高三·浙江金華·期末）某次數學聯考成績的數據分析，20000名考生成績服從正態分布，則80分以上的人數大約是（ ）
參考數據：若，則
A．3173 B．6346 C．6827 D．13654
4．（2024·高三·湖南常德·期末）某校高三年級800名學生在高三的一次考試中數學成績近似服從正態分布，若某學生數學成績為102分，則該學生數學成績的年級排名大約是（ ）
（附：，，）
A．第18名 B．第127名 C．第245名 D．第546名
5．（2024·高二·遼寧·開學考試）某校高三學生的一次期中考試的數學成績（單位：分）近似服從正態分布，從中抽取一個同學的數學成績，記該同學的成績為為事件，記該同學的成績為為事件，則在事件發生的條件下，事件發生的概率為（ ）（附參考數據：，，）
A． B． C． D．
6．（2024·高三·全國·開學考試）某校高三數學摸底考試成績（單位：分）近似服從正態分布，且，該校高三數學摸底考試成績超過90分的人數有930人，則（ ）
A．估計該校高三學生人數為1200
B．估計該校學生中成績不超過90分的人數為70．
C．估計該校學生中成績介于90到110分之間的人數為425．
D．估計該校學生中成績不超過90分的人數比超過130分的人數多．
7．（2024·高二·河南南陽·期末）為了檢測自動包裝線生產的罐裝咖啡，檢驗員每天從生產線上隨機抽取罐咖啡，并測量其質量（單位：）.由于存在各種不可控制的因素，任意抽取的1罐咖啡的質量與標準質量之間存在一定的誤差，已知這條包裝線在正常狀態下，每罐咖啡的質量服從正態分布.假設生產狀態正常，記表示每天抽取的罐咖啡中質量在之外的罐數，若的數學期望，則的最小值為（ ）
附：若隨機變量服從正態分布，則.
A．10 B．11 C．12 D．13
8．（2024·高三·河北保定·期末）我們將服從二項分布的隨機變量稱為二項隨機變量，服從正態分布的隨機變量稱為正態隨機變量.概率論中有一個重要的結論：若隨機變量，當充分大時，二項隨機變量可以由正態隨機變量來近似地替代，且正態隨機變量的期望和方差與二項隨機變量的期望和方差相同.法國數學家棣莫弗（1667-1754）在1733年證明了時這個結論是成立的，法國數學家 物理學家拉普拉斯（1749-1827）在1812年證明了這個結論對任意的實數都成立，因此人們把這個結論稱為棣莫弗—拉普拉斯極限定理.現拋擲一枚質地均勻的硬幣2500次，利用正態分布估算硬幣正面向上次數不少于1200次的概率為（ ）
（附：若，則，
A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865
二、多選題
9．（2024·高二·江蘇·課前預習）甲、乙兩類水果的質量(單位：kg)分別服從正態分布)，，其正態密度曲線，x∈R 如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．甲類水果的平均質量μ1＝0.4 kg
B．甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右
C．甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小
D．乙類水果的質量服從的正態分布的參數σ2＝1.99
10．（2024·高二·遼寧·開學考試）隨機變量，且，隨機變量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·高三·山東日照·期末）數學家棣莫弗發現，如果隨機變量服從二項分布，那么當比較大時，近似服從正態分布，其密度函數為.任意正態分布，可通過變換轉化為標準正態分布.當時，對任意實數，記，則（ ）
A．
B．當時，
C．隨機變量，當減小，增大時，概率保持不變
D．隨機變量，當都增大時，概率增大
三、填空題
12．（2024·新疆烏魯木齊·一模）在工業生產中軸承的直徑服從，購買者要求直徑為，不在這個范圍的將被拒絕，要使拒絕的概率控制在之內，則至少為 ；（若，則）
13．（2024·高三·山西·期末）已知隨機變量，設函數，且滿足，則 .
14．（2024·高三·全國·階段練習）某公司定期對流水線上的產品進行質量檢測，以此來判定產品是否合格可用．已知某批產品的質量指標服從正態分布，其中的產品為“可用產品”，則在這批產品中任取1件，抽到“可用產品”的概率約為 ．
參考數據：若，則，，．
四、解答題
15．（2024·高三·重慶·開學考試）從某企業生產的某種產品中隨機抽取1000件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：
(1)求這1000件產品質量指標值的樣本平均數和樣本方差（同一組的數據用該組區間的中點值作為代表）；
(2)由直方圖可以認為，這種產品的質量指標值服從正態分布，其中近似為樣本平均數近似為樣本方差，為監控該產品的生產質量，每天抽取10個產品進行檢測，若出現了質量指標值在之外的產品，就認為這一天的生產過程中可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．
①假設生產狀態正常，記表示一天內抽取的10個產品中尺寸在之外的產品數，求
②請說明上述監控生產過程方法的合理性．
附：
16．（2024·全國·模擬預測）大氣污染是指大氣中污染物質的濃度達到有害程度，以至破壞生態系統和人類正常生存和發展的條件，對人和物造成危害的現象．某環境保護社團組織“大氣污染的危害以及防治措施”講座，并在講座后對參會人員就講座內容進行知識測試，從中隨機抽取了100份試卷，將這100份試卷的成績（單位：分，滿分100分）整理得如下頻率分布直方圖（同一組中的數據以該組區間的中點值為代表）．

(1)根據頻率分布直方圖確定的值，再求出這100份樣本試卷成績的眾數和75%分位數（精確到0.1）；
(2)根據頻率分布直方圖可認為此次測試的成績近似服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本的標準差，約為6.75．用樣本估計總體，假設有84.14%的參會人員的測試成績不低于測試前預估的平均成績，求測試前預估的平均成績大約為多少分（精確到0.1）
參考數據：若，則，，．
17．（2024·高二·江蘇·專題練習）法國數學家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包．該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質量是1 000 g，上下浮動不超過50 g．這句話用數學語言來表達就是：每個面包的質量服從期望為1 000 g，標準差為50 g的正態分布．
(1)已知如下結論：若X～N（μ，σ2），從X的取值中隨機抽取k（k∈N*，k≥2）個數據，記這k個數據的平均值為Y，則隨機變量Y～N.利用該結論解決下面問題．
①假設面包師的說法是真實的，隨機購買25個面包，記隨機購買25個面包的平均值為Y，求P（Y≤980）；
②龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數據都落在區間（950，1 050）內，并得出計算25個面包的平均質量為978.72 g．龐加萊通過分析舉報了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報該面包師的理由；
(2)假設有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黑色面包2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黑色面包3個．現隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包，求取出黑色面包個數的分布列及數學期望．
附：①若隨機變量η服從正態分布N（μ，σ2），則P（μ－σ≤η≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ≤η≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤η≤μ＋3σ）≈0.997 3；②通常把發生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發生．
18．（2024·全國·模擬預測）某校隨機抽取了100名本校高一男生進行立定跳遠測試，根據測試成績得到如下的頻率分布直方圖.
(1)若該校高一男生的立定跳遠成績X（單位：厘米）服從正態分布，其中為上面樣本數據的平均值（每組數據用該組數據的中間值代替）.在該校所有高一男生中任意選取4人，記立定跳遠成績在厘米以上（包含）的人數為，求隨機變量的分布列和數學期望；
(2)已知該校高二男生有800名，男生立定跳遠成績在250厘米以上得滿分.若認為高二男生立定跳遠成績也服從（1）中所求的正態分布，請估計該校高二男生立定跳遠得滿分的人數（結果保留整數）.
附：若，則，
，.
19．（2024·高三·江蘇常州·期末）某制造商生產的5000根金屬棒的長度近似服從正態分布，其中恰有114根金屬棒長度不小于6.04．
(1)求；
(2)如果允許制造商生產這種金屬棒的長度范圍是（5.95，6.05），那么這批金屬棒中不合格的金屬棒約有多少根？
說明：對任何一個正態分布來說，通過轉化為標準正態分布，從而查標準正態分布表得到．
可供查閱的（部分）標準正態分布表
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974

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