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命題中的“推陳出新”的探究
只要高考還存在，那對高考命題的研究就永遠就都是一個熱點。如何在已有的基礎(chǔ)上，在穩(wěn)定的前提下，隨著課改的到來，給高考也帶來一些絲絲綠意，讓高考展現(xiàn)他的風(fēng)采！命題的“新”可以來自很多方面，本文就“如何將‘新’的知識點與‘舊’的主干知識進行交匯以達到‘推陳出新’ ”的目的進行探究。以已有高考題作為引例，探索新的出題方向，力求達到高考的能力要求，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法。
一、零點存在定理、二分法
高考要求：了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解．
零點存在定理為我們解決方程“根的存在性的問題”時提供了大前提；二分法為我們提供“縮小區(qū)間”的解決方法。
引例1．（09福建省質(zhì)檢）函數(shù)
的零點所在的區(qū)間是（）
A. B. C. D.
引例只是進行零點存在定理的簡單應(yīng)用。題面是求函數(shù)的零點存在區(qū)間，只考查了零點存在定理。
例1題面是求方程的解的個數(shù)，依然在考查零點存在定理，但結(jié)合了函數(shù)與方程的思想；第一問，通過運算填寫表格，縮小范圍研究；第二問，分析數(shù)據(jù)，再次縮小范圍，是一個從特殊到一般的過程；第三問，用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)果，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴謹；最后運用數(shù)形結(jié)合，將范圍擴大到整個定義域，探究兩個圖像的交點個數(shù)。整體上體現(xiàn)探究的過程，最終完成探究。
可以看出，例1在命題的過程，不僅考慮到零點存在定理的實際應(yīng)用，還結(jié)合了合情推理、演繹推理等知識，考查了考生，運算求解、數(shù)據(jù)分析的能力，考查了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。
例1．某學(xué)習(xí)興趣小組在研究方程的實數(shù)根問題時，確定如下研究方案，請完成步驟（Ⅰ）~（Ⅳ）
（Ⅰ）填表
1
2
3
4
5
6
7
8
（Ⅱ）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)猜想：若，則當(dāng) 時，；
（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明（Ⅱ）中的猜想；
（Ⅳ）試推測結(jié)論：若，則方程的實數(shù)根個數(shù)為 。
二、三視圖
引例2．（2008山東卷6）右圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（ ）
(A)9π　　　　　　　（B）10π
(C)11π (D)12π
引例3：（2008廣東）將正三棱柱截去三個角（如圖1所示，分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ ）

引例2給出一個幾何體的三視圖，求這個幾何體的表面積；引例3給出一個幾何體，直接要求做出幾何體的三視圖。
高考要求：能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，了解空間圖形的不同表示形式．
而立體幾何作為培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的一個有利工具，它還強調(diào)對空間圖形的整體認識和把握，從實物到圖形，從三視圖、直觀圖想像空間幾何體，再從空間幾何體的整體來把握直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系．一方面，對基本的幾何圖形（平面或立體）要非常熟悉，才能正確畫圖；另一方面，正確識別圖形，了解三視圖和直觀圖的關(guān)系，分析幾何圖形中各元素在空間中的形狀、大小和位置關(guān)系，才能突破習(xí)慣看平面圖形的思維定勢．所以可以（如例2）這樣，以三視圖為載體，根據(jù)數(shù)量關(guān)系不僅可以計算幾何體的體積（或表面積），進而判斷幾何體中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系。
例2.如圖所示是一個幾何體的直觀圖、正視圖、俯視圖、側(cè)視圖（其中正視圖為直角梯形，俯視圖為正方形，側(cè)視圖為直角三角形，尺寸如圖所示）
（Ⅰ）求四棱錐的體積；
（Ⅱ）證明：∥面；
（Ⅲ） 是否存在BC上的動點G，使得．
三、算法、框圖
算法通常是指按一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟。
引例4．閱讀圖4的程序框圖，若輸入，，則輸出 ， ．
（注：框圖中的賦值符號“”也可以寫成“”或“”）
引例4為閱讀一個程序框圖，從中得出算法，計算最后結(jié)果。考查考生對算法、程序框圖的應(yīng)用能力。
高考要求：了解算法的含義，了解算法的思想，了解程序框圖．
就算法本質(zhì)而言，它是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的一個有力工具。又因為運用公理、定理、或已有的結(jié)論進行解決問題的過程就是一個算法的實施過程；所以可以將算法的考察與常考知識點進行很好的交匯，（如例3）。
例3．對于任意，，可按圖示構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：
①輸入數(shù)據(jù)，經(jīng)過數(shù)列發(fā)生器輸出；
②若，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若，
則將反饋輸入端，再輸出，并依此規(guī)律繼續(xù)下去．
現(xiàn)定義．
（I）若輸入，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列，請寫出數(shù)列的所有項；
（II）若數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)的值；
（III）若輸入時，產(chǎn)生的無窮數(shù)列滿足：對任意正整數(shù)，均有，求的取值范圍．
例3將算法（框圖）與函數(shù)、數(shù)列進行融合；由函數(shù)來產(chǎn)生數(shù)列，用算法來展現(xiàn)數(shù)列產(chǎn)生的過程，它是一個循環(huán)結(jié)構(gòu)，循環(huán)停止的條件又是來之函數(shù)的定義域，讀懂算法，才能明白其中代換過程，明白程序結(jié)束的條件是，將算法與函數(shù)的性質(zhì)緊密聯(lián)系。（I）問給定函數(shù)、給定初值，要求請寫出數(shù)列的所有項；不僅考查考生的算法以及函數(shù)的基礎(chǔ)知識，考查考生的運算求解的能力，而且為后續(xù)問題做一個臺階；（II）問，在（I）問的基礎(chǔ)提出，它其實是一個開放性題。因為給定的函數(shù)的定義域是，所以只有當(dāng)是程序才會停止；又因為此函數(shù)為反比例函數(shù)，所以會使程序停止的所有自變量所形成的數(shù)列只有一個，將這列數(shù)排除以后，其他自變量均可作為初值；還可以引用特殊數(shù)列（常數(shù)列）來解決。即令得到或。第Ⅲ問又是在第二問無窮數(shù)列的基礎(chǔ)上在添條件，表示產(chǎn)生的數(shù)列是一個遞增數(shù)列，即要求，它也是讀懂算法后才有的結(jié)論。
例4．（2008江蘇）某地區(qū)為了解歲的老人的日平均睡眠時間（單位：），隨機選擇了50位老人進行調(diào)查，下表是這50位老人睡眠時間的頻率分布表：
序號
分組（睡眠時間）
組中值（）
頻數(shù)（人數(shù)）
頻率（）
1
6
2
10
3
20
4
10
5
4
在上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析中一部分計算見算法流程圖，則輸出的S的值為 ▲
例4是以統(tǒng)計中的頻率分布表為背景，通過算法來呈現(xiàn)即將進行怎樣的數(shù)據(jù)處理——計算平均數(shù)，考生只要讀懂算法即可順利解題。
例5.某工廠有十批羊毛，在處理前后，分別測得含脂率(%)分別如下：
羊毛一
羊毛二
羊毛三
羊毛四
羊毛五
羊毛六
羊毛七
羊毛八
羊毛九
羊毛十
處理前
6
14
15
20
21
23
30
33
44
56
處理后
4
5
7
8
10
12
13
15
16
26
將處理前后的羊毛含脂率用莖葉圖表示，并由圖出發(fā)分析比較后，你有何結(jié)論；
(2)若分別在處理前與處理后從這十批羊毛中各隨機抽出1批羊毛進行檢查，求兩次檢查中至少有1批羊毛含脂率在5%到15%之間(包括5%與15%)的概率；
(3)為了檢驗羊毛抽脂機的抽脂性能，請設(shè)計一程序框圖，求出這十批羊毛處理前的含脂率%關(guān)于處理后的含脂率%的線性回歸方程中的斜率與截距。
統(tǒng)計學(xué)是一門處理數(shù)據(jù)的學(xué)科，存在著繁雜的、重復(fù)的運算，因此將它的有些內(nèi)容編制成算法程序，可以大大提高解決問題的速度，具有很強的現(xiàn)實意義。例5就在這樣的現(xiàn)實背景下，通過具體數(shù)據(jù)，考查考生對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計能力。第1設(shè)問對數(shù)據(jù)進行簡單處理（用莖葉圖表示），并進行分析，學(xué)生易于入手；第2問是一個古典概型的問題，學(xué)生可以通過列舉法得出結(jié)論；第3問，求回歸直線方程。求回歸直線方程是一個復(fù)雜的計算過程，因此本題回避計算，而通過算法進行考查，讓程序為我們服務(wù)，提高試卷的效度，也從另一個角度考查算法的思想。
算法具有三大結(jié)構(gòu)，其中順序結(jié)構(gòu)能將三段論完美呈現(xiàn)、條件結(jié)構(gòu)能將分類思想得以體現(xiàn)、循環(huán)結(jié)構(gòu)可將循環(huán)體（循環(huán)體內(nèi)部還可含有順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)）進行有限次的重復(fù)，將算法與統(tǒng)計、數(shù)列、函數(shù)等知識點結(jié)合，不僅能考查考生識圖、收集數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)的能力，并且考查考生分析問題，解決問題的能力；還可以考查考生抽象概括能力、推理論證的能力；并在一定程度上減少運算量。
四、幾何概型、隨機數(shù)、統(tǒng)計案例
引例5．（2008江蘇卷6）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值均不大于2 的點構(gòu)成的區(qū)域， E是到原點的距離不大于1 的點構(gòu)成的區(qū)域，向D 中隨機投一點，則落入E 中的概率 ．
引例5，根據(jù)條件構(gòu)成平面區(qū)域，用面積比得到概率，是一道考查幾何概型的題目。
“幾何概型、隨機數(shù)、統(tǒng)計案例”也是新課程中新增加的一個內(nèi)容，在學(xué)習(xí)的程度也只是要求把握到了解這個層次就已經(jīng)足夠，那么在高考這一選擇性考試中如何將他們?nèi)谌氤？贾R點，融入重點知識點呢？這也必將是命題的又一個亮點！
高考要求：了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率；了解幾何概型的意義；了解下列一些常見的統(tǒng)計方法（獨立性檢驗、假設(shè)檢驗、回歸分析），并能應(yīng)用這些方法解決一些實際問題．
例6．已知（），
（Ⅰ）當(dāng)，時，在右邊的坐標(biāo)系內(nèi)分別做出兩個函數(shù)的圖像，觀察圖像并判斷當(dāng)時，與的大小關(guān)系．
（Ⅱ）當(dāng)，時，任取，使得<成立的概率。
（Ⅲ）若，，
事件A={任取，<恒成立}，
請設(shè)計一個“求使得事件A發(fā)生的概率為0.5的t的最小值，其中精確度ε=0.01” 的程序框圖。
例6，以函數(shù)知識作為出發(fā)點，通過函數(shù)圖像判斷兩個函數(shù)值的大小關(guān)系作為背景，還是再考查概率的知識。第1問是一個鋪墊，提示解決問題的方法——作圖、讀圖、歸納，考查考生識圖以及對圖形的處理的能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想；第2問在第1問的基礎(chǔ)上稍作改變，引發(fā)幾何概型的產(chǎn)生；第3問的根本是一個古典概率。通過給定的概率求解參變量的最小值，是古典概型的概率求法的逆運用，存在一定的難度。經(jīng)過分析求解，可以得到最小值為方程的根，將函數(shù)的圖像、函數(shù)的交點，二分法、古典概率、幾何概率有機的融合在一起，并通過程序來體現(xiàn)概率、二分法的的思想，避免了繁雜的計算和求解過程。
滿足的數(shù)的個數(shù)
滿足的數(shù)的個數(shù)
合計
滿足的數(shù)的個數(shù)
110
1200
滿足的數(shù)的個數(shù)
550
合計
2400
則數(shù)據(jù)表中數(shù)據(jù)計算出的概率P的估計值為

例7以求在一定條件下二次函數(shù)的存在兩個相異零點為背景，考查幾何概型的知識點。本題的第一看點，通過隨機數(shù)來計算概率，第二看點，將統(tǒng)計結(jié)果以列聯(lián)表來呈現(xiàn)；第三看點，要求概率的或然性而不是必然性。它將二次函數(shù)的零點、幾何概型、隨機數(shù)、列聯(lián)表、以及用頻率來估計概率等知識進行交匯，對各知識點的要求不高，但區(qū)分度較高的一道好題。
五、推理、證明
引例6．（2008福建）設(shè)P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意，都有，，，（除數(shù)），則稱P是一個數(shù)域．例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集也是數(shù)域．有下列命題：
①整數(shù)集是數(shù)域；②若有理數(shù)集，則數(shù)集M必為數(shù)域；③數(shù)域必為無限集；④存在無窮多個數(shù)域．
其中正確的命題的序號是　　　　．（把你認為正確的命題的序號都填上）
引例6是定義型的信息遷移題。數(shù)域原本是大學(xué)的一個概念，本題目的是：在考生原有認知水平的基礎(chǔ)上，通過即時學(xué)習(xí)便可即時理解和掌握的新知識，考查考生將數(shù)學(xué)概念遷移到不同情景下的探究能力，檢測考生進一步學(xué)習(xí)的潛能。
例8．定義：平面內(nèi)兩條相交但不垂直的數(shù)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系（兩條數(shù)軸的原點重合且單位長度相同）稱為平面斜坐標(biāo)系；在平面斜坐標(biāo)系中，若（其中、分別為斜坐標(biāo)系軸、軸正方向上的單位向量，，為坐標(biāo)系的原點），則有序數(shù)對稱為點的斜坐標(biāo).在平面斜坐標(biāo)系中，若，點的斜坐標(biāo)為（1，2），則以點為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程是（）
A. B.
C. D.
例8也是在考查新概念的探究，但它是在學(xué)生已有的知識上稍作變化——即將斜二測畫法進一步一般化，建立一個斜坐標(biāo)系；并在此坐標(biāo)系中求圓的方程。考查了解析幾何的內(nèi)涵，圓的本質(zhì)；也考查了類比的思想：將直角坐標(biāo)系的亮點的距離的求法進行類比（也就是解直角三角形與解斜三角形的類比）。此題的區(qū)分度較高，有效地將解三角、求遠的方程、坐標(biāo)系的建立等知識點結(jié)合起來，形成一個新的概念，更接近與學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，更能考查考生的學(xué)習(xí)潛能。
例9．為了探究函數(shù)最值，請完成以下步驟：
（Ⅰ）先探究當(dāng)自變量x在區(qū)間上的最值情況，列表如下：
x
…
0.1
0.2
0.5
0.7
0.9
1
1.1
1.2
1.3
2
3
4
5
…
y
…
30.00
15.01
6.13
4.63
5.01
4
4.06
4.23
4.50
9.50
28
64.75
125.6
…
觀察表中y值隨x值變化的趨勢，當(dāng)x= 時，的最小值為 ；
（Ⅱ）再探究函數(shù)當(dāng)自變量x在區(qū)間和在區(qū)間上的最值情況。問：是否存在最值？若存在，是最大值或最小值？請寫出你的結(jié)論，不要求證明。
（Ⅲ）請證明你在（Ⅰ）所得到的結(jié)論是正確的。
例9的題面是求函數(shù)的最值，但它不是簡單的求解最值的題目，而是展現(xiàn)求最值的一種探究方法——用特殊來研究一般，并通過（Ⅰ）的設(shè)問考查對數(shù)據(jù)的處理能力和歸納推理的能力，（Ⅱ）問是一個函數(shù)圖像堆成性的問題（奇偶性），考生也可以再次運用（Ⅰ）問所給的方法進行探究，只需要結(jié)果，不需要過程的程現(xiàn)，是合情推理的體現(xiàn)；（Ⅲ）問才要求考生運用演繹推理的方式進行驗證；為即時解決問題的一個探究過程。確實考查學(xué)生的探究問題的能力，另一方面，將探究的過程做部分呈現(xiàn)，又降低了解題的門檻。
例10．先閱讀下列不等式的證法：
已知：函數(shù)的定義域為，其中， ．
求證：．
證明：因為函數(shù)的定義域為
所以對一切恒成立
所以，故得．
再解決下列問題：
（Ⅰ）已知：函數(shù)的定義域為，其中，，，
求證：；
（Ⅱ）試將上述命題中的參變量的個數(shù)推廣到n個，并證明你的結(jié)論．
例10，通過一個已有的命題的論證過程的呈現(xiàn)，引發(fā)看書在即時理解的基礎(chǔ)上，通過（Ⅰ）問，引導(dǎo)考生將論證方法進行簡單類比；（Ⅱ）問考查考生抽象概括能力，從有限的論證過程中尋找變化的規(guī)律，并通過演繹法對結(jié)論進行論證。考查考生即時的歸納演繹的能力，難度中，區(qū)分度高，是一個考查考生創(chuàng)新能力的題目。
后記：命題是一個長久的、永恒的話題，如何體現(xiàn)素質(zhì)教育的結(jié)果，如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)修養(yǎng)的形成過程，如何才能檢驗一個學(xué)習(xí)者的理性思維是否形成，綜合考查考生各種能力，這將是高考命題的難點與重點。
附注：
能力要求
1．空間想像能力（1）識圖與畫圖的結(jié)合（2）概念與推理的結(jié)合（3）對圖形的處理
2．抽象概括能力（1）數(shù)學(xué)語言——一是要求考生讀懂題目的敘述，把所給的文字和數(shù)學(xué)符號翻譯成數(shù)學(xué)關(guān)系輸入大腦，以便于大腦加工；二是要求考生有一定的語言表達能力，能清楚、準(zhǔn)確、流暢地表達自己的解題過程，并要求表達條理清晰，層次分明，沒有邏輯錯誤，能準(zhǔn)確規(guī)范地使用各種數(shù)學(xué)名詞、術(shù)語和數(shù)學(xué)符號．（2）對模式和方法的概括（3）從現(xiàn)實問題中概括出具體的數(shù)學(xué)模型
3．推理論證能力（1）演繹推理（2）合情推理
4．運算求解能力（1）運算的合理性（2）運算的準(zhǔn)確性（3）運算的熟練性（4）運算的簡捷性
5．?dāng)?shù)據(jù)處理能力
第一步： 將收集到的數(shù)據(jù)資料加以整理和歸納，用列表、作圖等方法，并借助于少數(shù)幾個簡單的特征數(shù)字，把這些數(shù)據(jù)的主要特點表現(xiàn)出來；
第二步：將整理、歸納后所得到的數(shù)據(jù)資料加以分析，發(fā)掘這些數(shù)據(jù)資料所遵循的規(guī)律；
第三步：依據(jù)統(tǒng)計或統(tǒng)計案例中的方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析，抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷.
6．應(yīng)用意識
在考查應(yīng)用意識時，應(yīng)注意如下若干問題：①導(dǎo)向性②有效性③綜合性④恰當(dāng)性⑤公平性
7．創(chuàng)新意識
數(shù)學(xué)思想方法
1．函數(shù)與方程思想2．?dāng)?shù)形結(jié)合思想3．分類與整合思想4．化歸與轉(zhuǎn)化思想5．特殊與一般思想6．有限與無限思想7．必然與或然思想。

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