資源簡(jiǎn)介

串講 復(fù)數(shù)
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
二、常考題型
三、知識(shí)梳理
1.復(fù)數(shù)的定義
形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是a，虛部是b．
2.復(fù)數(shù)的分類
復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)
3.復(fù)數(shù)相等
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
4.共軛復(fù)數(shù)
a＋bi與c＋di共軛 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
5.復(fù)數(shù)的模
向量的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)．
6.復(fù)數(shù)的幾何意義
（1）復(fù)數(shù)z＝a＋b與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，b∈R)一一對(duì)應(yīng)．
（2）復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)向量一一對(duì)應(yīng)．
7.復(fù)數(shù)的運(yùn)算
（1）復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
（2）復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律
復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
8.復(fù)數(shù)的常用結(jié)論
（1）(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
（2）－b＋ai＝i(a＋bi)．
（3）.
四、常考題型探究
考點(diǎn)一 復(fù)數(shù)的概念
例1. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用復(fù)數(shù)相等的條件得到方程組，求出答案.
【詳解】，故，
所以，解得.
故選：B
例2. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部是（ ）
A． B．1 C． D．i
【答案】B
【分析】
先由等式，反解出，再利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，求出復(fù)數(shù)z即可.
【詳解】
由已知，得，
所以z的虛部為1.
故選：B.
【變式探究】1 若，則z的虛部為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】
先將等式變形為，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解即可.
【詳解】
依題意，得，
，
則復(fù)數(shù)z的虛部為：，
故選：C．
【變式探究】2 以的虛部為實(shí)部，以的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的概念求解即得.
【詳解】的虛部為2，的實(shí)部為，
所以所求復(fù)數(shù)的實(shí)部為2，虛部為，復(fù)數(shù)為．
故選：A
考點(diǎn)二 復(fù)數(shù)的幾何意義
例3. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由復(fù)數(shù)確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)第二象限坐標(biāo)的特點(diǎn)，解關(guān)于的一元一次不等式組即可求出的范圍.
【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
根據(jù)第二象限坐標(biāo)的特點(diǎn)可得，從而可得.
故選：D.
例4. 已知復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的幾何意義判定選項(xiàng)即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，
所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限.
故選:C.
【變式探究】1 復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則 ；
【答案】
【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義和四則運(yùn)算，即可求解.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，
則，
則
故答案為：
【變式探究】2 已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求得結(jié)果.
【詳解】將整理成，
所以，
由復(fù)數(shù)的幾何意義可得在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故答案為：
考點(diǎn)三 復(fù)數(shù)的模
例5. 為虛數(shù)單位，若，則（ ）
A．5 B．7 C．9 D．25
【答案】A
【分析】
化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再進(jìn)行求模計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
故選：A.
例6.若，則（ ）
A．i B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，繼而直接求模即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
故選：B．
【變式探究】1 已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和除法法則計(jì)算出，進(jìn)而得到，求出.
【詳解】，
故，
故，故.
故選：D
【變式探究】2 若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】利用復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)求復(fù)數(shù)的模.
【詳解】因?yàn)椋裕?
故選：A
考點(diǎn)四 復(fù)數(shù)的加減
例7. 復(fù)數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，則（ ）
A．6 B． C． D．7
【答案】C
【分析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法，結(jié)合實(shí)數(shù)、純虛數(shù)的定義求解即得.
【詳解】復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)，則，
由為實(shí)數(shù)，得，解得，又，
顯然，由為純虛數(shù)，得，解得，
所以.
故選：C
例8. 已知復(fù)數(shù)，，則的實(shí)部與虛部分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】
應(yīng)用復(fù)數(shù)加法求，根據(jù)實(shí)部、虛部定義得答案.
【詳解】
因?yàn)椋裕鋵?shí)部與虛部分別為，.
故選：A
【變式探究】1 ，則 ； .
【答案】 /
【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得的值，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的加法可得出復(fù)數(shù).
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，，則，
.
故答案為：；.
【變式探究】2 已知復(fù)數(shù)，，則 ．
【答案】
【分析】利用復(fù)數(shù)的減法可求得復(fù)數(shù).
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，，則.
故答案為：.
考點(diǎn)五 復(fù)數(shù)的乘除
例9. 已知是虛數(shù)單位，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則即可得出結(jié)論.
【詳解】.
故選：B.
例10. 已知復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】
首先分析題意，對(duì)給定復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，再利用共軛復(fù)數(shù)知識(shí)求解即可.
【詳解】，
而，
可得.
故選：B.
【變式探究】1 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可得解.
【詳解】
．
故選：C.
【變式探究】2 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將代入利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得，再結(jié)合模長(zhǎng)公式計(jì)算可得.
【詳解】由可得，
則.
故選：B
考點(diǎn)六 共軛復(fù)數(shù)
例11. 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法計(jì)算后，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念，即可求解.
【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，
所以其共軛復(fù)數(shù)是.
故選：A.
例12. 復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)而根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義得解.
【詳解】,
,
故選：B.
【變式探究】1 若，則
【答案】
【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念寫出，然后作差運(yùn)算即得.
【詳解】∵，∴，
∴，
故答案為：.
【變式探究】2 復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是 ．
【答案】
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，由此可得出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).
【詳解】，
因此，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故答案為.串講 復(fù)數(shù)
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二、常考題型
三、知識(shí)梳理
1.復(fù)數(shù)的定義
形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是a，虛部是b．
2.復(fù)數(shù)的分類
復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)
3.復(fù)數(shù)相等
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
4.共軛復(fù)數(shù)
a＋bi與c＋di共軛 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
5.復(fù)數(shù)的模
向量的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)．
6.復(fù)數(shù)的幾何意義
（1）復(fù)數(shù)z＝a＋b與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，b∈R)一一對(duì)應(yīng)．
（2）復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)向量一一對(duì)應(yīng)．
7.復(fù)數(shù)的運(yùn)算
（1）復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
（2）復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律
復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
8.復(fù)數(shù)的常用結(jié)論
（1）(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
（2）－b＋ai＝i(a＋bi)．
（3）.
四、常考題型探究
考點(diǎn)一 復(fù)數(shù)的概念
例1. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
例2. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部是（ ）
A． B．1 C． D．i
【變式探究】1 若，則z的虛部為（ ）
A． B． C． D．1
【變式探究】2 以的虛部為實(shí)部，以的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)二 復(fù)數(shù)的幾何意義
例3. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例4. 已知復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式探究】1 復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則 ；
【變式探究】2 已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
考點(diǎn)三 復(fù)數(shù)的模
例5. 為虛數(shù)單位，若，則（ ）
A．5 B．7 C．9 D．25
例6.若，則（ ）
A．i B．1 C． D．2
【變式探究】1 已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C． D．1
【變式探究】2 若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．2
考點(diǎn)四 復(fù)數(shù)的加減
例7. 復(fù)數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，則（ ）
A．6 B． C． D．7
例8. 已知復(fù)數(shù)，，則的實(shí)部與虛部分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【變式探究】1 ，則 ； .
【變式探究】2 已知復(fù)數(shù)，，則 ．
考點(diǎn)五 復(fù)數(shù)的乘除
例9. 已知是虛數(shù)單位，則（ ）
A． B． C． D．
例10. 已知復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【變式探究】1 （ ）
A． B．
C． D．
【變式探究】2 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)六 共軛復(fù)數(shù)
例11. 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
例12. 復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)（ ）
A． B． C． D．
【變式探究】1 若，則
【變式探究】2 復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是 ．

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