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專題 隨機事件
1. 在一定條件下，發(fā)生的結(jié)果事先能夠確定的現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象，發(fā)生的結(jié)果事先不能確定的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。
2．在相同的條件下，對隨機現(xiàn)象進行的觀察試驗叫做隨機試驗，簡稱為試驗.
3．隨機試驗每一種可能出現(xiàn)的結(jié)果，都稱為樣本點，常用小寫希臘字母w表示，所有樣本點組成的集合稱為樣本空間，通常用大寫希臘字母表示。
4．如果隨機試驗的樣本空間是，那么的任意一個非空真子集稱為隨機事件，簡稱為事件，常用英文大寫字母A、B、C 等表示，事件中的每一個元素都稱為基本事件.
5. 頻率：在相同的條件 S下重復n次試驗，觀察事件 A 是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A 出現(xiàn)的次數(shù) m 為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例為事件A出現(xiàn)的頻率，其取值范圍是 [0，1]。
6.概率：
(1)定義:一般來說，隨機事件A在每次試驗中是否發(fā)生是不可預知的，但是在大量重復試驗后，隨著試驗次數(shù)的增加，事件A 發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定在區(qū)間 [0,1]中某個常數(shù)上，這個常數(shù)稱為事件 A 的概率，記為P(A) ，其取值范圍是[0,1]。通常情況下，用概率度量隨機事件發(fā)生的可能性大小。
(2)求法:由于事件A 發(fā)生的頻率隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計概率。
(3)說明:任何事件發(fā)生的概率都是區(qū)間 [0，1]上的一個確定的數(shù)，用來度量該事件發(fā)生的可能性，小概率(接近于0)事件不是不發(fā)生，而是很少發(fā)生，大概率（接近于1）事件不是一定發(fā)生，而是經(jīng)常發(fā)生。
(4)性質(zhì)：①對任意的事件A，都有；
②必然事件的概率為1，即P(Ω)＝1，P( )＝0；
③不可能事件的概率為0，即:P( )＝0。
注意：
空集也是的子集，可以看作是一個事件，但由于空集不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，因此空集稱為不可能事件。
【題型1 事件類型的判斷】
【題型2 隨機試驗的樣本空間】
【題型3 頻率與概率】
【題型1 事件類型的判斷】
知識點：判斷一個事件是隨機事件、必然事件還是不可能事件，首先一定要看條件，其次是看在該條件下所研究的事件是一定發(fā)生(必然事件)、不一定發(fā)生(隨機事件)，還是一定不發(fā)生(不可能事件).
例1. 下列事件中，隨機事件的個數(shù)為（ ）
①甲，乙兩人下棋，甲獲勝；
②小明過馬路，遇見車的車牌號尾號是奇數(shù)；
③某種彩票的中獎率為99%，某人買一張此種彩票中獎；
④用任意平面截球體，所得截面圖形是橢圓形．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】根據(jù)隨機事件的知識確定正確答案.
【詳解】根據(jù)隨機事件的知識可知：①②③是隨機事件，
④是不可能事件，所以隨機事件的個數(shù)為個.
故選：C
例2. 在12件同類產(chǎn)品中，有10件正品和2件次品，從中任意抽出3件．其中為必然事件的是（ ）．
A．3件都是正品 B．至少有1件是次品
C．3件都是次品 D．至少有1件是正品
【答案】D
【分析】根據(jù)必然事件的定義判斷．
【詳解】12件同類產(chǎn)品中，有10件正品和2件次品，從中任意抽出3件，次品的個數(shù)可能為，正品的個數(shù)分別為，因此只有“至少有1件正品”一定會發(fā)生，它是必然事件，ABC三個選項中的事件都有可能不發(fā)生．
故選：D．
例3. 下列事件中，屬于不可能事件的是（ ）
A．某個數(shù)的絕對值小于0
B．某個數(shù)的相反數(shù)等于它本身
C．某兩個數(shù)的和小于0
D．某兩個數(shù)的積大于0
【答案】A
【分析】根據(jù)不可能事件的概念，即可分析各選項的正誤.
【詳解】對于A，任何數(shù)的絕對值都大于等于0，不可能小于0，
所以某個數(shù)的絕對值小于0是不可能事件；
對于B，0的相反數(shù)等于它本身，而的相反數(shù)不等于它本身，
所以某個數(shù)的相反數(shù)等于它本身不是不可能事件；
對于C，，，
所以某兩個數(shù)的和小于0不是不可能事件；
對于D，，
所以某兩個數(shù)的積大于0不是不可能事件；
故選：A.
例4. （多選）下列現(xiàn)象中，是隨機現(xiàn)象的有（ ）
A．在一條公路上，交警記錄某一小時通過的汽車超過300輛
B．若a為整數(shù)，則a＋1為整數(shù)
C．發(fā)射一顆炮彈，命中目標
D．檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品還是次品
【答案】ACD
【分析】根據(jù)事件的分類逐項分析判斷.
【詳解】對于選項A：交警記錄某一小時通過的汽車的數(shù)量是隨機現(xiàn)象，故A正確；
對于選項B：當a為整數(shù)時，a＋1一定為整數(shù)，是確定性現(xiàn)象，故B錯誤；
對于選項C：發(fā)射一顆炮彈，可能命中目標，也可能沒有命中目標，故C正確；
對于選項D：檢查流水線上一件產(chǎn)品，可能是合格品，也可能是次品，故D正確；
故選：ACD.
例5. 在12件同類產(chǎn)品中，有10件正品，2件次品.從中任意抽出3件.下列事件中:
①3件都是正品；
②至少有1件是次品；
③3件都是次品；
④至少有1件是正品.
隨機事件有 ，必然事件有 ，不可能事件有 .
【答案】 ①② ④ ③
【分析】根據(jù)正品和次品產(chǎn)品的數(shù)目，結(jié)合事件的概念，即可得出答案.
【詳解】對于①，由題意知，抽出的3件可能都是正品，故①是隨機事件；
對于②，由題意知，抽出的3件可能包含次品，也可能不包含次品，故②是隨機事件；
對于③，由題意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，故③是不可能事件；
對于④，由題意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，即至少有一件正品，故④是必然事件.
故答案為：①②；④；③.
【題型訓練1】
1．有下列事件：①連續(xù)擲一枚硬幣兩次，兩次都出現(xiàn)正面朝上；②異性電荷相互吸引；③在標準大氣壓下，水在結(jié)冰；④買了一注彩票就得了特等獎．
其中是隨機事件的有（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②④
【答案】B
【分析】根據(jù)事件的知識求得正確答案.
【詳解】①④是隨機事件，②為必然事件，③為不可能事件.
故選：B
2.擲一個質(zhì)地均勻且六個面上分別刻有1到6的點數(shù)的正方體骰子（如圖），觀察向上的 面的點數(shù)，下列屬必然事件的是（ ）
A．出現(xiàn)的點數(shù)是7 B．出現(xiàn)的點數(shù)不會是0
C．出現(xiàn)的點數(shù)是2 D．出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)
【答案】B
【分析】根據(jù)必然事件，不可能事件，隨機事件的定義判斷即可.
【詳解】擲一個質(zhì)地均勻且六個面上分別刻有1到6的點數(shù)的正方體骰子，
是不可能出現(xiàn)0的，
所以事件出現(xiàn)的點數(shù)不會是0為必然事件，B正確；
擲一個質(zhì)地均勻且六個面上分別刻有1到6的點數(shù)的正方體骰子，
是不可能出現(xiàn)7的，
所以事件出現(xiàn)的點數(shù)是7為不可能事件，A錯誤；
擲一個質(zhì)地均勻且六個面上分別刻有1到6的點數(shù)的正方體骰子，
可能出現(xiàn)2點，也可能不出現(xiàn)3點，
所以事件出現(xiàn)的點數(shù)是2和事件出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)都為隨機事件，C，D錯誤，
故選：B.
3.在歐幾里得幾何中，下列事件中，不可能事件是（ ）
A．三角形的內(nèi)角和為 B．三角形中大角對大邊，小角對小邊
C．三角形中任兩邊之和大于第三邊 D．銳角三角形中兩內(nèi)角和小于
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】∵三角形的內(nèi)角和為，∴其為必然事件，故A錯誤；
∵三角形中大角對大邊，小角對小邊，∴其為必然事件，故B錯誤；
∵三角形中任兩邊之和大于第三邊，∴其為必然事件，故C錯誤；
∵銳角三角形中兩內(nèi)角和大于，∴“銳角三角形中兩內(nèi)角和小于”為不可能事件，故D正確.
故選：D.
4.下列現(xiàn)象中，是確定性現(xiàn)象的是 ．
①長度為3，4，5的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形；
②打開電視機，正好在播新聞；
③從裝有3個黃球、5個紅球的袋子中任意摸4個，全部都是黃球；
④下周六是晴天．
【答案】①
【分析】根據(jù)確定事件以及不可能事件和隨機事件的定義即可求解.
【詳解】長度為3，4，5恰好構(gòu)成勾股數(shù)，所以必然構(gòu)成一個直角三角形，故①是確定性現(xiàn)象，③是不可能現(xiàn)象，②④是隨機現(xiàn)象．
故答案為：①
5. 下列事件中必然事件為 ，不可能事件為 ，隨機事件為 （填序號）.
①13個人中至少有兩個人生肖相同；
②車輛隨機到達一個路口，遇到紅燈；
③函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)；
④任意買一張電影票，座位號是2的倍數(shù).
【答案】 ① ③ ②④
【分析】根據(jù)必然事件，不可能事件，隨機事件的定義判斷即可.
【詳解】因為共有12生肖，所以13個人中至少有兩個人生肖相同，故①是必然事件；
車輛隨機到達一個路口，可能遇到紅燈，也可能遇到綠燈或者黃燈，故②是隨機事件；
因為，所以函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以③是不可能事件；
買一張電影票，座位號可能是2的倍數(shù)，也可能不是2的倍數(shù)，故④是隨機事件.
故答案為：①；③；②④.
6.下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A．買一張電影票，座位號是奇數(shù) B．射擊運動員射擊一次，命中9環(huán)
C．明天會下雨 D．度量三角形的內(nèi)角和，結(jié)果是360°
【答案】D
【分析】根據(jù)“不可能事件”的知識確定正確答案.
【詳解】不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；
由于三角形內(nèi)角和為180°，故D項對應的事件是不可能事件，
ABC選項中對應的事件是隨機事件，不符合題意.
故選：D
【題型2隨機試驗的樣本空間】
知識點：隨機試驗每一種可能出現(xiàn)的結(jié)果，都稱為樣本點，常用小寫希臘字母w表示，所有樣本點組成的集合稱為樣本空間，通常用大寫希臘字母表示。
例6. 將一枚硬幣拋三次，觀察其正面朝上的次數(shù)，該試驗樣本空間為 .
【答案】
【分析】根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果求解即可.
【詳解】因為將一枚硬幣拋三次，其正面朝上的次數(shù)可能為，
所以該試驗樣本空間為.
故答案為：.
例7. 做試驗“從，1，2這3個數(shù)字中，不放回地取兩次，每次取一個數(shù)字，構(gòu)成有序數(shù)對，為第1次取到的數(shù)字，為第2次取到的數(shù)字”．
(1)寫出這個試驗的樣本空間；
(2)寫出這個試驗樣本點的總數(shù)；
(3)寫出“第1次取出的數(shù)字是2”這一事件包含的樣本點．
【答案】(1)答案見解析
(2)6
(3)，
【分析】（1）根據(jù)樣本空間的定義求解；
（2）直接計數(shù)可得；
（3）由（1）可得．
【詳解】（1）這個試驗的樣本空間．
（2）易知這個試驗的樣本點的總數(shù)是6．
（3）“第1次取出的數(shù)字是2”這一事件包含的樣本點為：，.
例8. 從含有5件次品的100件產(chǎn)品中任取3件，觀察其中的次品數(shù).
（1）選擇合適的表示方法，寫出樣本空間；
（2）寫出事件A：“取到的3件產(chǎn)品中沒有次品”的集合表示；
（3）說明事件所表示的實際意義.
【答案】（1）樣本空間.（2）事件.（3）抽取的3件產(chǎn)品中沒有次品或只有一件次品
【解析】（1）用抽取的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)表示事件，即可寫出樣本空間；
（2）因為取到的3件產(chǎn)品中沒有次品，所以次數(shù)為0，即可寫出；
（3）根據(jù)事件中的數(shù)字，即可知其表示抽取的3件產(chǎn)品中沒有次品或只有一件次品．
【詳解】用0，1，2，3表示抽取的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，則有：
（1）樣本空間.
（2）事件.
（3）表示的實際意義是：抽取的3件產(chǎn)品中沒有次品或只有一件次品
例9. 先后拋擲兩枚骰子．
(1)寫出該試驗的樣本空間．
(2)出現(xiàn)“點數(shù)相同”的結(jié)果有多少種？
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根據(jù)兩枚篩子的可能點數(shù)，即可寫出樣本空間；
（2）兩枚篩子點數(shù)相同有六種情況，由此寫出答案.
【詳解】（1）拋擲兩枚骰子，第一枚骰子可能的基本結(jié)果用x表示，第二枚骰子可能的基本結(jié)果用y表示，那么試驗的基本事件可用表示,
該試驗的樣本空間為 .
（2）“點數(shù)相同”包含、，，、、，共6種結(jié)果．
【題型訓練2】
1．隨機事件“連續(xù)擲一顆篩子直到出現(xiàn)5點停止，觀察擲的次數(shù)”的樣本空間是（ ）
A．5 B．1到6的正整數(shù) C．6 D．一切正整數(shù)
【答案】D
【分析】根據(jù)樣本空間的概念即可求解.
【詳解】連續(xù)擲一顆篩子直到出現(xiàn)5點停止，觀察投擲的次數(shù)，
由于事件發(fā)生是隨機的，投擲的次數(shù)可能無限大，樣本空間是一切正整數(shù).
故選：D.
2．拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)之差為X，則“”對應的樣本點是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用隨機事件的定義直接求解
【詳解】解：連續(xù)拋擲兩枚骰子，第一枚骰子和第二枚骰子點數(shù)之差是，則“”對應的樣本點是，
故選：D
3.設有一列北上的火車，已知停靠的站由南至北分別為S1，S2，…，S10站．若甲在S3站買票，乙在S6站買票，設樣本空間表示火車所有可能停靠的站，令A表示甲可能到達的站的集合，B表示乙可能到達的站的集合．
(1)寫出該事件的樣本空間；
(2)寫出事件A、事件B包含的樣本點；
(3)鐵路局需為該列車準備多少種北上的車票？
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)45
【分析】（1）根據(jù)樣本空間的知識寫出樣本空間.
（2）根據(jù)樣本空間寫出事件A、事件B包含的樣本點.
（3）通過各車站準備的車票種類求得正確答案.
【詳解】（1）＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．
（2）A：S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10；
B：S7，S8，S9，S10.
（3）鐵路局需要準備從S1站發(fā)車的車票共計9種，
從S2站發(fā)車的車票共計8種，……，從S9站發(fā)車的車票1種，
合計共9＋8＋…＋2＋1＝45(種)；
4.已知集合，，從兩個集合中各取一個元素構(gòu)成點的坐標．
(1)寫出這個試驗的樣本空間；
(2)求這個試驗樣本點的總數(shù)；
(3)寫出“得到的點是第一象限內(nèi)的點”這一事件所包含的樣本點；
(4)說出事件所表示的實際意義．
【答案】(1)答案見解析；
(2)
(3)
(4)得到的點是第三象限內(nèi)的點.
【分析】（1）將樣本點一一列出在花括號內(nèi)可得樣本空間；
（2）由樣本空間可得樣本點的個數(shù)；
（3）找出橫縱坐標都大于的樣本點即可；
（4）根據(jù)事件中樣本點的坐標可得實際意義.
【詳解】（1）樣本空間為：
（2）由知這個試驗樣本點的總數(shù)為.
（3）得到的點是第一象限內(nèi)的點”這一事件所包含的樣本點為.
（4）事件表示得到的點是第三象限內(nèi)的點.
5. 一只口袋內(nèi)裝有5個大小相同的球，白球3個，黑球2個，從中一次摸出2個球．
(1)共有多少個樣本點？
(2)“2個都是白球”包含幾個樣本點？
【答案】(1)10個；
(2)3個.
【分析】(1)將袋中的5個求分白球、黑球編號，用列舉法寫出所有可能結(jié)果即可得解.
(2)利用(1)寫出摸出的2個球都是白球結(jié)果即可得解.
【詳解】（1）用1，2，3表示3個白球，用a，b表示2個黑球，則從袋中一次摸出2個球的不同結(jié)果：
(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)，
所以共10個樣本點.
（2）由(1)知，“2個都是白球”含有的結(jié)果是：(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3個樣本點.
【題型3頻率與概率】
知識點：隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復試驗的情況下，隨機事件的發(fā)生呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，因而，可以從統(tǒng)計的角度，通過計算事件發(fā)生的頻率去估算概率。
例10. 下列說法正確的是（ ）
①頻數(shù)和頻率都能反映一個對象在試驗總次數(shù)中出現(xiàn)的頻繁程度；
②每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的頻數(shù)之和等于試驗的總次數(shù)；
③每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和不一定等于1；
④概率就是頻率．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)頻數(shù)、頻率、概率的定義逐項判斷即可.
【詳解】對于①：頻數(shù)是指事件發(fā)生的次數(shù)，頻率是指本次試驗中事件發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值，二者都可以反映頻繁程度，故①正確；
對于②：試驗的總次數(shù)即為各個試驗結(jié)果出現(xiàn)的頻數(shù)和，故②正確；
對于③：各個試驗結(jié)果的頻率之和一定等于，故③錯誤；
對于④：概率是大量重復試驗后頻率的穩(wěn)定值，故④錯誤；
故選：C.
例11. 從存放號碼分別為1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統(tǒng)計結(jié)果如下：
卡片號碼 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次數(shù) 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9
則取到號碼為奇數(shù)的頻率是（ ）
A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47
【答案】B
【分析】運用頻率定義計算即可.
【詳解】由題意知，取到號碼為奇數(shù)的頻率為.
故選：B.
例12. 如果將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲次，那么第次出現(xiàn)反面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)每次試驗出現(xiàn)正反面的概率是相等的即可得到結(jié)果.
【詳解】因為每次試驗出現(xiàn)正反面的概率是相等的，均為.
故選：D.
例13. 對于下列說法：
①設有一批產(chǎn)品，其次品率為0.01，則從中任取200件，必有2件次品；
②拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結(jié)果是16次，則出現(xiàn)1點的頻率是；
③做100次拋硬幣的試驗，有49次出現(xiàn)正面.因此出現(xiàn)正面的概率是0.49；
④隨機事件發(fā)生的頻率就是這個事件發(fā)生的概率；
其中正確的所有序號是
【答案】②
【分析】依據(jù)頻率與概率的基本知識進行判斷即可.
【詳解】對于①，次品率是大量產(chǎn)品的估計值，并不是必有件是次品，故①錯誤；
對于②，拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結(jié)果是16次，
則出現(xiàn)1點的頻率是，故②正確；
對于③，拋硬幣出現(xiàn)正面的概率是，而不是，故③錯誤；
對于④，頻率與概率不是同一個概念，故④錯誤.
故答案為：②.
例14. 10．為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了位老年人，結(jié)果如下（單位：人）：
性別 是否需要志愿者 男 女
需要
不需要
(1)試估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的概率；
(2)通過以上數(shù)據(jù)能否說明該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？
【答案】(1)需要志愿者提供幫助的老年人的概率約為；
(2)可以認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關.
【分析】（1）求出需要志愿者提供幫助的老年人的頻率，由頻率估計概率即可；
（2）分別估計不同性別老年人是否需要志愿者提供幫助的比例，比較后得出結(jié)論即可.
【詳解】（1）樣本抽取的位老年人中，需要志愿者提供幫助的有人，
∴樣本中需要志愿者提供幫助的老年人頻率為，
∴用樣本估計總體，由頻率估計概率，該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的概率約為.
（2）樣本抽取的位老年人中，有男性老年人人，女性老年人人，
其中需要志愿者提供幫助的男性老年人有人，女性老年人有人，
∴樣本中需要志愿者提供幫助的男性老年人頻率為，女性老年人頻率為，
∴由樣本估計總體，該地區(qū)需要志愿者提供幫助的男性老年人的比例為，女性老年人為，有較大差異，
∴可以認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關.
【題型訓練3】
1．（多選）下述關于頻率與概率的說法中，錯誤的是（ ）
A．設有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品
B．做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是
C．隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率
D．利用隨機事件發(fā)生的頻率估計隨機事件的概率，即使隨機試驗的次數(shù)超過10000，所估計出的概率也不一定很準確．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)頻率與概率的關系，結(jié)合各選項的描述判斷正誤.
【詳解】對于A: 從中任取100件，可能有10件，A錯誤；
對于B: 做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的頻率是，不是概率為，B錯誤；
對于C:多次重復試驗中事件發(fā)生的頻率在某一常數(shù)附近，此常數(shù)為概率，與描述不符，C錯誤；
對于D:10000次的界定沒有科學依據(jù)，“不一定很準確"的表達正確，試驗次數(shù)越多，頻率越穩(wěn)定在概率值附近，但并非試驗次數(shù)越多，頻率就等于概率，D正確.
故選: ABC.
2．我國古代數(shù)學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來石（古代容量單位），驗得米內(nèi)夾谷（假設一粒米與一粒谷的體積相等），抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（ ）
A．213石 B．152石 C．169石 D．196石
【答案】C
【分析】根據(jù)抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，可計算出夾谷的頻率，從而可解．
【詳解】根據(jù)題意，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則樣本中夾谷的頻率為，
則這批米內(nèi)夾谷約為（石，
故選：C
3．某人拋擲一枚硬幣80次，結(jié)果正面朝上有43次.設正面朝上為事件A，則事件A出現(xiàn)的概率為 ．
【答案】/
【分析】由題意知硬幣正反面出現(xiàn)的機會是均等的，即可得答案.
【詳解】由題意可知事件A出現(xiàn)的頻率為，而概率是大量試驗中，頻率趨于的一個穩(wěn)定值，
由于硬幣正反面出現(xiàn)的機會是均等的，故事件A出現(xiàn)的概率為，
故答案為：
4．甲同學在數(shù)學探究活動中做拋硬幣實驗，共拋擲了2000次，其中正面朝上的有1034次，則下列說法正確的是（ ）
A．拋擲一枚硬幣，正面朝上的概率為0.517
B．甲同學的實驗中，反面朝上的頻率為0.483
C．拋擲一枚硬幣，反面朝上的概率小于0.5
D．甲同學的實驗中，正面朝上的頻率接近0.517
【答案】B
【分析】根據(jù)概率與頻率的關系判斷.
【詳解】甲同學的實驗中，正面朝上的頻率為0.517，反面朝上的頻率為0.483，故B正確；
拋擲一枚硬幣，正面朝上與反面朝上的概率均為0.5，為定值，故AC錯誤；
甲同學的實驗中，正面朝上的頻率就是0.517，而不是接近0.517，故D錯誤.
故選：B
5.天氣預報預測在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用計算機產(chǎn)生了10組隨機數(shù)為180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.據(jù)此估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為 .
【答案】/0.4
【分析】分析數(shù)據(jù)得到三天中恰有兩天下雨的有417，386，196，206，得到答案.
【詳解】10組隨機數(shù)中，表示三天中恰有兩天下雨的有417，386，196，206，
故這三天中恰有兩天下雨的概率近似為.
故答案為：
6．從某校隨機抽取100名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表：
組號 分組 頻數(shù) 組號 分組 頻數(shù)
1 6 6 12
2 8 7 6
3 17 8 2
4 22 9 2
5 25
從該校隨機選取一名學生，試估計這名學生該周課外閱讀時間少于12小時的概率．
【答案】
【分析】根據(jù)頻率與概率的知識求得正確答案.
【詳解】根據(jù)頻數(shù)分布表，知100名學生中一周課外閱讀時間少于12小時的學生共有：
6＋8＋17＋22＋25＋12＝90(名)，
所以樣本中的學生一周課外閱讀時間少于12小時的頻率是.
用頻率估計概率，可得從該校隨機選取一名學生，
其該周課外閱讀時間少于小時的概率為.
1
8專題 隨機事件
1. 在一定條件下，發(fā)生的結(jié)果事先能夠確定的現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象，發(fā)生的結(jié)果事先不能確定的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。
2．在相同的條件下，對隨機現(xiàn)象進行的觀察試驗叫做隨機試驗，簡稱為試驗.
3．隨機試驗每一種可能出現(xiàn)的結(jié)果，都稱為樣本點，常用小寫希臘字母w表示，所有樣本點組成的集合稱為樣本空間，通常用大寫希臘字母表示。
4．如果隨機試驗的樣本空間是，那么的任意一個非空真子集稱為隨機事件，簡稱為事件，常用英文大寫字母A、B、C 等表示，事件中的每一個元素都稱為基本事件.
5. 頻率：在相同的條件 S下重復n次試驗，觀察事件 A 是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A 出現(xiàn)的次數(shù) m 為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例為事件A出現(xiàn)的頻率，其取值范圍是 [0，1]。
6.概率：
(1)定義:一般來說，隨機事件A在每次試驗中是否發(fā)生是不可預知的，但是在大量重復試驗后，隨著試驗次數(shù)的增加，事件A 發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定在區(qū)間 [0,1]中某個常數(shù)上，這個常數(shù)稱為事件 A 的概率，記為P(A) ，其取值范圍是[0,1]。通常情況下，用概率度量隨機事件發(fā)生的可能性大小。
(2)求法:由于事件A 發(fā)生的頻率隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計概率。
(3)說明:任何事件發(fā)生的概率都是區(qū)間 [0，1]上的一個確定的數(shù)，用來度量該事件發(fā)生的可能性，小概率(接近于0)事件不是不發(fā)生，而是很少發(fā)生，大概率（接近于1）事件不是一定發(fā)生，而是經(jīng)常發(fā)生。
(4)性質(zhì)：①對任意的事件A，都有；
②必然事件的概率為1，即P(Ω)＝1，P( )＝0；
③不可能事件的概率為0，即:P( )＝0。
注意：
空集也是的子集，可以看作是一個事件，但由于空集不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，因此空集稱為不可能事件。
【題型1 事件類型的判斷】
【題型2 隨機試驗的樣本空間】
【題型3 頻率與概率】
【題型1 事件類型的判斷】
知識點：判斷一個事件是隨機事件、必然事件還是不可能事件，首先一定要看條件，其次是看在該條件下所研究的事件是一定發(fā)生(必然事件)、不一定發(fā)生(隨機事件)，還是一定不發(fā)生(不可能事件).
例1. 下列事件中，隨機事件的個數(shù)為（ ）
①甲，乙兩人下棋，甲獲勝；
②小明過馬路，遇見車的車牌號尾號是奇數(shù)；
③某種彩票的中獎率為99%，某人買一張此種彩票中獎；
④用任意平面截球體，所得截面圖形是橢圓形．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
例2. 在12件同類產(chǎn)品中，有10件正品和2件次品，從中任意抽出3件．其中為必然事件的是（ ）．
A．3件都是正品 B．至少有1件是次品
C．3件都是次品 D．至少有1件是正品
例3. 下列事件中，屬于不可能事件的是（ ）
A．某個數(shù)的絕對值小于0
B．某個數(shù)的相反數(shù)等于它本身
C．某兩個數(shù)的和小于0
D．某兩個數(shù)的積大于0
例4. （多選）下列現(xiàn)象中，是隨機現(xiàn)象的有（ ）
A．在一條公路上，交警記錄某一小時通過的汽車超過300輛
B．若a為整數(shù)，則a＋1為整數(shù)
C．發(fā)射一顆炮彈，命中目標
D．檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品還是次品
例5. 在12件同類產(chǎn)品中，有10件正品，2件次品.從中任意抽出3件.下列事件中:
①3件都是正品；
②至少有1件是次品；
③3件都是次品；
④至少有1件是正品.
隨機事件有 ，必然事件有 ，不可能事件有 .
【題型訓練1】
1．有下列事件：①連續(xù)擲一枚硬幣兩次，兩次都出現(xiàn)正面朝上；②異性電荷相互吸引；③在標準大氣壓下，水在結(jié)冰；④買了一注彩票就得了特等獎．
其中是隨機事件的有（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②④
2.擲一個質(zhì)地均勻且六個面上分別刻有1到6的點數(shù)的正方體骰子（如圖），觀察向上的 面的點數(shù)，下列屬必然事件的是（ ）
A．出現(xiàn)的點數(shù)是7 B．出現(xiàn)的點數(shù)不會是0
C．出現(xiàn)的點數(shù)是2 D．出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)
3.在歐幾里得幾何中，下列事件中，不可能事件是（ ）
A．三角形的內(nèi)角和為 B．三角形中大角對大邊，小角對小邊
C．三角形中任兩邊之和大于第三邊 D．銳角三角形中兩內(nèi)角和小于
4.下列現(xiàn)象中，是確定性現(xiàn)象的是 ．
①長度為3，4，5的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形；
②打開電視機，正好在播新聞；
③從裝有3個黃球、5個紅球的袋子中任意摸4個，全部都是黃球；
④下周六是晴天．
5. 下列事件中必然事件為 ，不可能事件為 ，隨機事件為 （填序號）.
①13個人中至少有兩個人生肖相同；
②車輛隨機到達一個路口，遇到紅燈；
③函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)；
④任意買一張電影票，座位號是2的倍數(shù).
6.下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A．買一張電影票，座位號是奇數(shù) B．射擊運動員射擊一次，命中9環(huán)
C．明天會下雨 D．度量三角形的內(nèi)角和，結(jié)果是360°
【題型2隨機試驗的樣本空間】
知識點：隨機試驗每一種可能出現(xiàn)的結(jié)果，都稱為樣本點，常用小寫希臘字母w表示，所有樣本點組成的集合稱為樣本空間，通常用大寫希臘字母表示。
例6. 將一枚硬幣拋三次，觀察其正面朝上的次數(shù)，該試驗樣本空間為 .
例7. 做試驗“從，1，2這3個數(shù)字中，不放回地取兩次，每次取一個數(shù)字，構(gòu)成有序數(shù)對，為第1次取到的數(shù)字，為第2次取到的數(shù)字”．
(1)寫出這個試驗的樣本空間；
(2)寫出這個試驗樣本點的總數(shù)；
(3)寫出“第1次取出的數(shù)字是2”這一事件包含的樣本點．
例8. 從含有5件次品的100件產(chǎn)品中任取3件，觀察其中的次品數(shù).
（1）選擇合適的表示方法，寫出樣本空間；
（2）寫出事件A：“取到的3件產(chǎn)品中沒有次品”的集合表示；
（3）說明事件所表示的實際意義.
例9. 先后拋擲兩枚骰子．
(1)寫出該試驗的樣本空間．
(2)出現(xiàn)“點數(shù)相同”的結(jié)果有多少種？
【題型訓練2】
1．隨機事件“連續(xù)擲一顆篩子直到出現(xiàn)5點停止，觀察擲的次數(shù)”的樣本空間是（ ）
A．5 B．1到6的正整數(shù) C．6 D．一切正整數(shù)
2．拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)之差為X，則“”對應的樣本點是（ ）
A． B． C． D．
3.設有一列北上的火車，已知停靠的站由南至北分別為S1，S2，…，S10站．若甲在S3站買票，乙在S6站買票，設樣本空間表示火車所有可能停靠的站，令A表示甲可能到達的站的集合，B表示乙可能到達的站的集合．
(1)寫出該事件的樣本空間；
(2)寫出事件A、事件B包含的樣本點；
(3)鐵路局需為該列車準備多少種北上的車票？
4.已知集合，，從兩個集合中各取一個元素構(gòu)成點的坐標．
(1)寫出這個試驗的樣本空間；
(2)求這個試驗樣本點的總數(shù)；
(3)寫出“得到的點是第一象限內(nèi)的點”這一事件所包含的樣本點；
(4)說出事件所表示的實際意義．
5. 一只口袋內(nèi)裝有5個大小相同的球，白球3個，黑球2個，從中一次摸出2個球．
(1)共有多少個樣本點？
(2)“2個都是白球”包含幾個樣本點？
【題型3頻率與概率】
知識點：隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復試驗的情況下，隨機事件的發(fā)生呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，因而，可以從統(tǒng)計的角度，通過計算事件發(fā)生的頻率去估算概率。
例10. 下列說法正確的是（ ）
①頻數(shù)和頻率都能反映一個對象在試驗總次數(shù)中出現(xiàn)的頻繁程度；
②每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的頻數(shù)之和等于試驗的總次數(shù)；
③每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和不一定等于1；
④概率就是頻率．
A．0 B．1 C．2 D．3
例11. 從存放號碼分別為1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統(tǒng)計結(jié)果如下：
卡片號碼 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次數(shù) 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9
則取到號碼為奇數(shù)的頻率是（ ）
A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47
例12. 如果將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲次，那么第次出現(xiàn)反面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
例13. 對于下列說法：
①設有一批產(chǎn)品，其次品率為0.01，則從中任取200件，必有2件次品；
②拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結(jié)果是16次，則出現(xiàn)1點的頻率是；
③做100次拋硬幣的試驗，有49次出現(xiàn)正面.因此出現(xiàn)正面的概率是0.49；
④隨機事件發(fā)生的頻率就是這個事件發(fā)生的概率；
其中正確的所有序號是
例14. 10．為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了位老年人，結(jié)果如下（單位：人）：
性別 是否需要志愿者 男 女
需要
不需要
(1)試估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的概率；
(2)通過以上數(shù)據(jù)能否說明該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？
【題型訓練3】
1．（多選）下述關于頻率與概率的說法中，錯誤的是（ ）
A．設有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品
B．做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是
C．隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率
D．利用隨機事件發(fā)生的頻率估計隨機事件的概率，即使隨機試驗的次數(shù)超過10000，所估計出的概率也不一定很準確．
2．我國古代數(shù)學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來石（古代容量單位），驗得米內(nèi)夾谷（假設一粒米與一粒谷的體積相等），抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（ ）
A．213石 B．152石 C．169石 D．196石
3．某人拋擲一枚硬幣80次，結(jié)果正面朝上有43次.設正面朝上為事件A，則事件A出現(xiàn)的概率為 ．
4．甲同學在數(shù)學探究活動中做拋硬幣實驗，共拋擲了2000次，其中正面朝上的有1034次，則下列說法正確的是（ ）
A．拋擲一枚硬幣，正面朝上的概率為0.517
B．甲同學的實驗中，反面朝上的頻率為0.483
C．拋擲一枚硬幣，反面朝上的概率小于0.5
D．甲同學的實驗中，正面朝上的頻率接近0.517
5.天氣預報預測在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用計算機產(chǎn)生了10組隨機數(shù)為180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.據(jù)此估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為 .
6．從某校隨機抽取100名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表：
組號 分組 頻數(shù) 組號 分組 頻數(shù)
1 6 6 12
2 8 7 6
3 17 8 2
4 22 9 2
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從該校隨機選取一名學生，試估計這名學生該周課外閱讀時間少于12小時的概率．
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