資源簡介

第六章 圓周運動
一、思維導圖
二、考點通關
考點1描述勻速圓周運動的特有物理量
物理量 定義 單位(符號) 各物理量的聯系
周期 做勻速圓周運動的物體，運動一周所用的時間叫作周期，T＝ 國際單位：秒(s) 基本關系式：n＝，v＝ωr 導出關系式：ω＝＝2πn，v＝ωr＝＝2πnr
轉速 物體轉動的圈數與所用時間之比叫作轉速，n＝ 轉每秒(r/s)、轉每分(r/min)
頻率和轉速的比較 當單位時間取1 s時，f＝n，頻率和轉速對勻速圓周運動來說在數值上是相等的，但頻率具有更廣泛的意義，兩者的單位也不相同
①周期T和轉速n一般只能描述勻速圓周運動，對變速圓周運動一般不適用。②線速度v和角速度ω及其關系式v＝ωr不只適用于勻速圓周運動，也適用于變速圓周運動。對于變速圓周運動，線速度v和角速度ω一般指瞬時值。
【典例1】（22-23高一下·河南鄭州·期中）關于勻速圓周運動，下列說法正確的是（　　）
A．勻速圓周運動是速度不變的運動
B．勻速圓周運動的加速度不變化
C．任意相等時間內通過的位移相等
D．合力的方向指向圓心，大小不變化
規律點撥 v＝ωr適用于一切圓周運動，ω＝、v＝一般只適用于勻速圓周運動。
【變式訓練1】（22-23高一下·廣西百色·期中）詩詞“坐地日行八萬里，巡天遙看一千河”，指的是在地球赤道上的人隨地球一晝夜運行路程大約為8萬里，假設地球為半徑的球體，廣西百色市位于北緯24°，則百色市市民隨地球自轉的速度大約為（sin24°=0.4，cos24°=0.9）（ ）
A． B． C． D．419m/s
考點2同軸轉動和皮帶傳動問題
同軸轉動 皮帶傳動 齒輪傳動 摩擦傳動
裝置 A、B兩點在同軸的兩個圓盤邊緣上 兩個輪子用皮帶連接，A、B兩點分別是兩個輪子邊緣的點 兩個齒輪輪齒嚙合，A、B兩點分別是兩個齒輪邊緣上的點 兩輪靠摩擦傳動，A、B點分別是兩輪邊緣上的點，傳動時兩輪沒有相對滑動
特點 角速度、周期相同 線速度大小相同 線速度大小相同 線速度大小相同
轉動方向 相同 相同 相反 相反
規律 線速度與半徑成正比：＝ 角速度與半徑成反比：＝。周期與半徑成正比：＝ 角速度與半徑成反比：＝。周期與半徑成正比：＝ 角速度與半徑成反比：＝。周期與半徑成正比：＝
【典例2】（22-23高二下·浙江溫州·期中）如圖是一種新概念自行車，它沒有鏈條，共有三個轉輪，A、B、C轉輪半徑依次減小。輪C與輪A嚙合在一起，騎行者踩踏板使輪C轉動，輪C驅動輪A轉動，從而使得整個自行車沿路面前行。對于這種自行車轉輪A、B、C，下面說法正確的是（　　）

A．線速度關系是 B．線速度關系是
C．角速度關系是 D．角速度關系是
【變式訓練2】（23-24高二上·浙江·期中）如圖甲為某牌子的變速自行車，并將該自行車簡化為如圖乙所示，人通過腳踏板帶動鏈輪轉動，再通過鏈條使飛輪與后輪轉動，改變鏈條與不同齒數的飛輪咬合可以改變運行速度。若已知人騎車使腳踏板以恒定的角速度轉動，此時鏈輪齒數為48個，飛輪齒數為12個，后輪直徑，則下列說法正確的是（　　）
A．鏈輪與飛輪邊緣上的點的線速度大小之比為
B．鏈輪與飛輪邊緣上的點的角速度大小之比為
C．人騎自行車行進的速度大小為8m/s
D．若換成齒數更少的飛輪行進速度會變大
規律點撥 求解合運動或分運動的步驟 分析傳動問題的關鍵 分析傳動問題時，關鍵是要明確什么量相等，什么量不相等，在通常情況下，應抓住以下兩個關鍵點： (1)繞同一軸轉動的各點角速度ω、轉速n和周期T相等，而各點的線速度v＝ωr，與半徑r成正比。 (2)鏈條和鏈條連接的輪子邊緣線速度的大小相等，不打滑的摩擦傳動兩輪邊緣上各點線速度大小也相等，而角速度ω＝，與半徑r成反比。
考點3圓周運動的周期性造成的多解問題
圓周運動的周期性和多解性
勻速圓周運動的多解問題常涉及兩個物體的兩種不同的運動，其中一個做勻速圓周運動，另一個做其他形式的運動。因勻速圓周運動具有周期性，使得一個事件可能在前一個周期中發生，也可能在后一個周期中發生，這就要求我們在確定做勻速圓周運動物體的周期時，必須把各種可能都考慮進去。處理這類問題時，關鍵要把一個物體的運動時間t，與圓周運動的周期T建立起聯系，這樣才能較快地解決問題。
【典例3】（多選）（22-23高一下·黑龍江雙鴨山·期中）如圖所示，有一豎直圓筒，內壁光滑，上端開口截面水平。一小球沿水平方向由A點切入圓筒內側，沿著筒壁呈螺旋狀滑落，落地點恰好位于A點正下方。已知圓筒高5m，橫截面圓環半徑1m，，。則（　　）
A．小球下落時間為1s
B．小球進入圓筒初速度大小可能為3.14m/s
C．小球進入圓筒初速度大小可能為6.28m/s
D．小球進入圓筒初速度大小可能為12.56m/s
【變式訓練3】（22-23高一下·河南鶴壁·期中）如圖所示，半徑為R的水平圓板繞豎直軸做勻速圓周運動，當半徑OB轉到某一方向時，在圓板中心正上方h處以平行于OB方向水平拋出一小球，小球拋出時的速度及圓板轉動的角速度為多大時，小球與圓板只碰一次，且相碰點為B

規律總結 解決圓周運動的多解問題的關鍵 (1)把一個物體的運動時間t，與圓周運動的周期T建立起聯系。 (2)會利用運動規律列出兩個運動的時間相等的表達式。
考點4向心力及其方向
1．向心力的方向
無論物體所做圓周運動是否為勻速圓周運動，其所受向心力的方向總是沿著半徑指向圓心且時刻改變，故向心力是變力。
2．向心力的作用效果
向心力的作用效果是改變線速度的方向。由于向心力始終指向圓心，其方向與物體運動方向始終垂直，向心力不改變線速度的大小，只改變線速度的方向。
3．向心力的來源
向心力并不是像重力、彈力、摩擦力那樣作為具有某種性質的力來命名的。它是根據力的作用效果命名的。
(1)向心力可以由某個力來提供，也可以由某個力的分力或幾個力的合力來提供。
(2)對于勻速圓周運動，合力提供物體做圓周運動的向心力；對于非勻速圓周運動，其合力不指向圓心，它既要改變線速度大小，又要改變線速度方向，向心力是合力的一個分力。
(3)無論是勻速圓周運動還是非勻速圓周運動，物體所受各力沿半徑方向分力的合力為向心力。
【典例4】(多選)如圖所示，在粗糙水平木板上放一個物塊，使木板和物塊一起在豎直平面內沿逆時針方向做勻速圓周運動，ab為水平直徑，cd為豎直直徑，在運動中木板始終保持水平，物塊相對于木板始終靜止，則(　　)
A．物塊始終受到三個力作用
B．物塊受到的合力始終指向圓心
C．在c、d兩個位置，物塊所受支持力N＝mg，摩擦力f為零
D．在a、b兩個位置物塊所受摩擦力提供向心力，支持力N＝mg
【變式訓練4】（21-22高一下·廣東廣州·期中）如圖所示，摩天輪懸掛的座艙在豎直平面內做勻速圓周運動，座艙的質量為m，運動半徑為R，角速度大小為，重力加速度為g，則座艙（　　）
A．運動周期為
B．在與轉軸水平等高處受摩天輪作用力的大小為mg
C．線速度的大小為
D．所受合力的大小始終為
規律總結： 向心力可以是彈力、摩擦力，也可以是物體受到的幾個力的合力或某個力的分力。勻速圓周運動中合力提供向心力，合力的方向一定指向圓心。
考點5向心力的大小的計算
1．向心力的大小
(1)根據受力分析求得：圓周運動平面上，指向圓心方向的合力即為向心力。
(2)根據圓周運動規律求得：Fn＝mω2r＝m＝m2r＝m(2πn)2r＝mωv。
2．向心力公式的瞬時性
對于勻速圓周運動，向心力大小始終不變，但對非勻速圓周運動(如用一根繩拴住小球繞固定圓心在豎直平面內做的圓周運動)，其向心力大小隨速率v的變化而變化，公式表述的只是瞬時值。
【典例5】圖甲為游樂園中“空中飛椅”的游戲設施，它的基本裝置是將繩子上端固定在轉盤的邊緣上，繩子的下端連接座椅，人坐在座椅上隨轉盤旋轉而在空中飛旋。若將人和座椅看成一個質點，則可簡化為如圖乙所示的物理模型，其中P為處于水平面內的轉盤，可繞豎直轉軸OO′轉動，設繩長l＝10 m，質點的質量m＝60 kg，轉盤靜止時質點與轉軸之間的距離d＝4.0 m，轉盤逐漸加速轉動，經過一段時間后質點與轉盤一起做勻速圓周運動，此時繩與豎直方向的夾角θ＝37°，不計空氣阻力及繩重，且繩不可伸長，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2，求質點與轉盤一起做勻速圓周運動時：
(1)繩子拉力的大小；
(2)轉盤角速度的大小。
【變式訓練5】（22-23高一下·廣東梅州·期中）在做甩手動作的物理原理研究課題研究中，采用手機的加速度傳感器測定手的向心加速度。某次一高一同學先用刻度尺測量手臂長（如圖所示），然后伸直手臂，以肩為軸從水平位置加速自然下擺，當手臂擺到豎直方向時，手握住的手機顯示手的向心加速度大小約為，下列說法正確的是（ ）
A．可估算手臂擺到豎直位置時手的線速度大小約為2m/s
B．手臂擺到豎直位置時手機處于失重狀態
C．自然下擺過程中手機所受合力始終沿手臂方向
D．由可知手掌與手肘的向心加速度之比約為
規律總結： 勻速圓周運動中力學問題的解題步驟 (1)明確研究對象，確定物體在哪個平面內做勻速圓周運動，明確圓心和半徑r。 (2)對研究對象進行受力分析，明確向心力是由什么力提供的。 (3)確定v、ω、T、n等物理量中什么是已知的，選擇合適的公式列式求解。 (4)根據F合＝F向列方程，求解。
考點6變速圓周運動和一般曲線運動
1．變速圓周運動
(1)受力特點：變速圓周運動所受的合力不指向圓心，產生兩個方向的效果：
(2)變速圓周運動中某一點的向心力仍可用Fn＝m＝mω2r等公式求解，這時v、ω都是指物體運動到該點的瞬時速度。
2．一般的曲線運動的處理方法
如圖所示，可以把曲線分割成許多很短的小段，每一小段可看作一小段圓弧，只是每一小段圓弧對應的半徑不同(對應的半徑稱為該點的曲率半徑)，研究質點在這一小段的運動時，可以采用圓周運動的處理方法進行處理。
【典例6】(多選)“S路”曲線行駛是我國駕駛證考試中的一個項目。某次考試過程中，有兩名體重相等的學員分別坐在駕駛座和副駕駛座上，并且始終與汽車保持相對靜止，汽車在彎道上行駛時可視作圓周運動，行駛過程中未發生打滑。如圖所示，當汽車在水平“S路”圖示位置處減速行駛時(　　)
A．兩名學員具有相同的線速度
B．兩名學員具有相同的角速度
C．汽車受到的摩擦力與速度方向相反
D．汽車受到的摩擦力指向彎道內側偏后的方向
【變式訓練6】一般的曲線運動可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替。如圖a所示，曲線上的A點的曲率圓定義為：通過A點和曲線上緊鄰A點兩側的兩點作一圓，在極限情況下，這個圓就叫作A點的曲率圓，其半徑ρ叫作A點的曲率半徑。現將一物體沿與水平面成α角的方向以速度v0拋出，如圖b所示，則在其軌跡最高點P處的曲率半徑是(　　)
A. B．
C. D．
規律總結： (1)物體做變速圓周運動時，在任何位置均是合力沿半徑指向圓心方向的分力提供向心力。 (2)物體做變速圓周運動時必然有一個切向分力改變速度的大小。
考點7勻速圓周運動的加速度方向
1．向心加速度的方向：與向心力的方向相同，總指向圓心，方向時刻改變。
2．向心加速度的作用：向心加速度方向總是與線速度方向垂直，故向心加速度的作用只是改變速度的方向，對速度的大小無影響。
3．圓周運動的性質：圓周運動的向心加速度的方向時刻改變，所以圓周運動的加速度時刻發生變化，圓周運動是變加速曲線運動。
【典例7】（23-24高二上·浙江臺州·期中）校門口的車牌自動識別系統如圖所示，閘桿可在豎直面內繞轉軸O勻速轉動，汽車進入識別區時，閘桿在豎直面內繞轉軸O向上轉動，此過程中，關于在閘桿上的A、B兩點，下列說法正確的是（　　）
A．線速度vAωB
C．角速度ωA<ωB D．向心加速度aA>aB
【變式訓練7】下列說法中正確的是(　　)
A．向心加速度表示做圓周運動的物體速率改變的快慢
B．向心加速度描述線速度方向變化的快慢
C．在勻速圓周運動中，向心加速度是恒定的
D．勻速圓周運動是勻變速曲線運動
規律總結： 向心加速度的理解 (1)向心加速度只描述線速度方向變化的快慢，沿切線方向的加速度描述線速度大小變化的快慢。 (2)向心加速度的方向始終與線速度方向垂直，且方向在不斷改變。
考點8勻速圓周運動的加速度大小
1．向心加速度的大小
(1)公式推導：根據牛頓第二定律F＝ma，向心加速度an＝＝ω2r。
(2)向心加速度的幾種表達式：an＝＝ω2r＝r＝4π2n2r＝ωv。
(3)向心加速度與半徑的關系
①當線速度一定時，向心加速度與運動半徑成反比，如圖甲所示。
②當角速度一定時，向心加速度與運動半徑成正比，如圖乙所示。
由an r圖像可以看出：向心加速度an與r是成正比還是反比，要看ω恒定還是v恒定。
2．向心加速度的注意要點
(1)向心加速度的公式適用于所有圓周運動的向心加速度的計算，包括非勻速圓周運動，但an與v具有瞬時對應性。
(2)向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。向心加速度表示速度方向改變的快慢。
(3)無論是勻速圓周運動還是非勻速圓周運動，向心加速度的方向都指向圓心。非勻速圓周運動合加速度不指向圓心，但向心加速度一定指向圓心，是專門改變速度方向的。
【典例8】如圖所示，壓路機大輪的半徑R是小輪半徑r的2倍。壓路機勻速行駛時，大輪邊緣上A點的向心加速度是12 cm/s2，那么小輪邊緣上B點的向心加速度大小是多少？大輪上距軸心距離為的C點的向心加速度大小是多少？
【變式訓練8】(多選)如圖所示是靜止在地面上的起吊重物的吊車，某次操作過程中，液壓桿長度收縮，吊臂繞固定轉軸O順時針轉動，吊臂上的M、N兩點做圓周運動，此時M點的角速度為ω，ON＝2OM＝2L，則(　　)
A．M點的速度方向垂直于液壓桿
B．N點的角速度為ω
C．M、N兩點的線速度大小關系為vN＝4vM
D．N點的向心加速度大小為2ω2L
規律總結： 1.傳動問題中比較向心加速度大小時公式的選用 (1)皮帶傳動問題，兩輪邊緣線速度大小相等，常選擇公式an＝。 (2)同軸轉動問題，各點角速度相等，常選擇公式an＝ω2r。 2．求向心加速度的兩種角度 (1)動力學角度：an＝。 (2)運動學角度：an＝＝ω2r＝r＝4π2n2r。
考點9火車轉彎
1．彎道的特點：在實際的火車轉彎處，外軌高于內軌，若火車轉彎所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，如圖所示，即mgtanθ＝m，則v0＝ ，其中R為彎道半徑，θ為軌道平面與水平面的夾角，v0為轉彎處的規定速度。
2．速度與軌道壓力的關系
(1)當火車行駛速度v等于規定速度v0時，所需向心力僅由重力和支持力的合力提供，此時火車對內外軌無擠壓作用。
(2)當火車行駛速度v>v0時，火車對外軌有擠壓作用。
(3)當火車行駛速度v3．注意事項
(1)合力的方向：因為火車轉彎的圓周平面是水平面，不是斜面，所以火車的向心力即合力應沿水平面指向圓心，而不是沿軌道斜面向下。
(2)規定速度的唯一性：火車軌道轉彎處的規定速率一旦確定則是唯一的，火車只有按規定的速率轉彎，內外軌才不受火車的擠壓作用。速率過大時，由重力、支持力及外軌對輪緣的擠壓力的合力提供向心力；速率過小時，由重力、支持力及內軌對輪緣的擠壓力的合力提供向心力。
【典例9】有一列質量為100 t的火車，以72 km/h的速率勻速通過一個內外軌一樣高的彎道，軌道半徑為400 m。(g取10 m/s2)
(1)試計算鐵軌受到的側壓力大小；
(2)若要使火車以此速率通過彎道，且使鐵軌受到的側壓力為零，我們可以適當傾斜路基，試計算路基傾斜角度θ的正切值。
【變式訓練9】（22-23高一下·云南曲靖·期中）在高速公路的拐彎處，通常路面都是外高內低。如圖所示，在某路段汽車向左拐彎，司機左側的路面比右側的路面低一些。汽車的運動可看作是做半徑為R的圓周運動。設內外路面高度差為h，路基的水平寬度為d，路面的寬度為L。已知重力加速度為g。要使車輪與路面之間的橫向摩擦力（即垂直于前進方向）等于零，則汽車轉彎時的車速應等于（　　）

A． B．
C． D．
規律總結： 火車轉彎(或汽車轉彎)問題實際都是水平面內的勻速圓周運動問題，解決此類問題的關鍵是分析清楚向心力的來源，然后利用合力提供向心力求解。
考點10汽車過拱形橋和航天器中的失重現象
1．汽車過拱形橋
汽車在最高點滿足關系：mg－FN＝m，即FN＝mg－m，由牛頓第三定律可知，汽車對橋面壓力為FN′＝mg－m。由此可知汽車對橋面的壓力小于車的重力，汽車處于失重狀態，并且汽車的速度越大，汽車對橋面的壓力越小。當汽車對橋面的壓力為零時，處于完全失重狀態，即mg＝m，得vm＝，如果汽車的速度超過此速度，汽車將離開橋面做平拋運動，發生危險。
2．汽車過凹形路面
汽車在最低點滿足關系：FN－mg＝m，即FN＝mg＋m，由牛頓第三定律可知，汽車對路面壓力為FN′＝mg＋m。由此可知汽車對路面的壓力大于車的重力，汽車處于超重狀態，并且汽車的速度越大，汽車對路面的壓力越大，故凹形路面易被壓垮，因而現實生活中拱形橋多于凹形橋。
3．繞地球做圓周運動的衛星、飛船、空間站處于完全失重狀態
航天器繞地球做勻速圓周運動，其重力提供繞地球運動的向心力，而其重力加速度也就成為向心加速度，這個加速度也是向下的，故處于完全失重狀態。
以在近地軌道運行的航天器為例，其軌道半徑近似等于地球半徑R：
(1)質量為M的航天器：航天器的重力提供向心力，滿足關系：Mg＝M，則v＝。
(2)質量為m的航天員：航天員的重力和座艙對航天員的支持力的合力提供向心力，滿足關系：mg－FN＝。當v＝ 時，FN＝0，即航天員處于完全失重狀態。
(3)航天器內的任何物體都處于完全失重狀態。
【典例10】（23-24高一下·內蒙古通遼·期中）有一輛質量為600kg的小汽車駛上圓弧半徑為50m的拱橋。（g=10m/s2）
問∶（1）汽車到達橋頂時速度為6m/s，汽車對橋的壓力是多大？
（2）汽車以多大速度經過橋頂時便恰好對橋沒有壓力而騰空？
（3）汽車對地面的壓力過小是不安全的。因此從這個角度講，汽車過橋時的速度不能過大。對于同樣的車速，拱橋圓弧的半徑大些比較安全，還是小些比較安全？
（4）如果拱橋的半徑增大到與地球半徑R（R=6400km）一樣，汽車要在橋面上騰空，速度要多大？
【變式訓練10】（22-23高一下·四川綿陽·期中）某旅游景點新建的凹凸形“如意橋”的簡化圖如圖所示，該橋由一個凸弧和一個凹弧連接而成，凸弧的半徑，最高點為A點；凹弧的半徑，最低點為B點。現有一劇組進行拍攝取景，安排一位駕駛摩托車特技演員穿越橋面，設特技演員與摩托車總質量為，穿越過程中可將車和演員視為質點，取，忽略空氣阻力。試求：
（1）當摩托車以的速率到達凸弧最高點A時，橋面對車的支持力大小；
（2）當摩托車以的速率到達凹弧最低點B時，車對橋面的壓力大小；
（3）為使得越野摩托車始終不脫離橋面，過A點的最大速度。

規律總結： 解決汽車過拱形橋和凹形路面的問題的一般步驟 對于汽車過拱形橋和凹形路面的問題，明確汽車的運動情況是解題的關鍵。具體的解題步驟是： (1)選取研究對象，確定軌道平面、圓心位置和軌道半徑。 (2)正確分析研究對象的受力情況，明確向心力的來源。 (3)根據平衡條件和牛頓運動定律列方程求解。
考點11離心運動的理解和應用
1．離心運動的理解
(1)若F合＝mω2r或F合＝，物體做勻速圓周運動，即“提供”滿足“需要”。
(2)若F合>mω2r或F合>，物體靠近圓心，做近心運動，即“提供”大于“需要”，也就是“提供過度”。
(3)若F合2．幾種常見的離心運動
項目 示意圖 原理圖 現象及結論
洗衣機脫水 當水滴受到衣服的附著力F不足以提供向心力時，即F汽車在水平路面上轉彎 當最大靜摩擦力不足以提供向心力時，即fmax用離心機把體溫計的水銀甩回玻璃泡中 當離心機快速旋轉時，縮口處對水銀柱的阻力不足以提供向心力，水銀柱做離心運動進入玻璃泡內
【典例11】（22-23高一下·天津·期中）伴隨國民物質文化生活的日益豐富，大眾的健康意識不斷增強，對膝蓋損耗較小的騎行運動越來越受歡迎。圖中的氣嘴燈是下端安裝在自行車的氣嘴上的飾物，騎行時會自動發光，炫酷異常。一種氣嘴燈的感應裝置結構如右圖所示，一重物套在光滑桿上，并與上端固定在A點的彈簧連接，彈簧處于拉伸狀態，觸點M與觸點N未接觸。當車輪轉動，彈簧再次拉伸，當重物上的觸點M與觸點N接觸，電路連通，LED燈就會發光。關于此燈下面說法中正確的是（　　）

A．停車時也會發光，只是燈光較暗
B．騎行達到一定速度值時燈才會亮
C．無論車輪轉多快，氣嘴燈都無法在圓周運動的頂端發亮
D．此感應裝置的發光利用重物的向心運動實現
【變式訓練11】（多選）（22-23高一下·北京西城·期中）下列與離心現象有關的是（　　）
A．離心沉淀器
B．公交車突然剎車時，車上的乘客身體向前傾倒
C．轉動傘柄可以將傘上的雨滴甩出
D．家用洗衣機的甩干桶用于甩干衣服
規律總結： 離心現象的三點注意事項 (1)離心現象并不是由于存在離心力而產生的，而是由于物體所受的力不足以提供物體做圓周運動所需的向心力引起的，是慣性的一種表現形式。 (2)做離心運動的物體，并不是沿半徑方向向外遠離圓心。 (3)物體的質量越大、線速度越大(或角速度越大)時，物體做圓周運動所需要的向心力越大，物體就越容易發生離心現象。第六章 圓周運動
一、思維導圖
二、考點通關
考點1描述勻速圓周運動的特有物理量
物理量 定義 單位(符號) 各物理量的聯系
周期 做勻速圓周運動的物體，運動一周所用的時間叫作周期，T＝ 國際單位：秒(s) 基本關系式：n＝，v＝ωr 導出關系式：ω＝＝2πn，v＝ωr＝＝2πnr
轉速 物體轉動的圈數與所用時間之比叫作轉速，n＝ 轉每秒(r/s)、轉每分(r/min)
頻率和轉速的比較 當單位時間取1 s時，f＝n，頻率和轉速對勻速圓周運動來說在數值上是相等的，但頻率具有更廣泛的意義，兩者的單位也不相同
①周期T和轉速n一般只能描述勻速圓周運動，對變速圓周運動一般不適用。②線速度v和角速度ω及其關系式v＝ωr不只適用于勻速圓周運動，也適用于變速圓周運動。對于變速圓周運動，線速度v和角速度ω一般指瞬時值。
【典例1】（22-23高一下·河南鄭州·期中）關于勻速圓周運動，下列說法正確的是（　　）
A．勻速圓周運動是速度不變的運動
B．勻速圓周運動的加速度不變化
C．任意相等時間內通過的位移相等
D．合力的方向指向圓心，大小不變化
【答案】D
【詳解】A．勻速圓周運動速度方向時刻在變化，是變速運動，故A錯誤；
B．勻速圓周運動的加速度方向時刻在變化，即加速度時刻在變化，故B錯誤；
C．任意相等時間內通過的路程相等，但位移方向不同，所以位移不相等，故C錯誤；
D．勻速圓周運動合力充當向心力，大小不變，方向始終指向圓心，故D正確。
故選D。
規律點撥 v＝ωr適用于一切圓周運動，ω＝、v＝一般只適用于勻速圓周運動。
【變式訓練1】（22-23高一下·廣西百色·期中）詩詞“坐地日行八萬里，巡天遙看一千河”，指的是在地球赤道上的人隨地球一晝夜運行路程大約為8萬里，假設地球為半徑的球體，廣西百色市位于北緯24°，則百色市市民隨地球自轉的速度大約為（sin24°=0.4，cos24°=0.9）（ ）
A． B． C． D．419m/s
【答案】D
【詳解】百色市市民隨地球自轉的線速度
代入數據解得
故選D。
考點2同軸轉動和皮帶傳動問題
同軸轉動 皮帶傳動 齒輪傳動 摩擦傳動
裝置 A、B兩點在同軸的兩個圓盤邊緣上 兩個輪子用皮帶連接，A、B兩點分別是兩個輪子邊緣的點 兩個齒輪輪齒嚙合，A、B兩點分別是兩個齒輪邊緣上的點 兩輪靠摩擦傳動，A、B點分別是兩輪邊緣上的點，傳動時兩輪沒有相對滑動
特點 角速度、周期相同 線速度大小相同 線速度大小相同 線速度大小相同
轉動方向 相同 相同 相反 相反
規律 線速度與半徑成正比：＝ 角速度與半徑成反比：＝。周期與半徑成正比：＝ 角速度與半徑成反比：＝。周期與半徑成正比：＝ 角速度與半徑成反比：＝。周期與半徑成正比：＝
【典例2】（22-23高二下·浙江溫州·期中）如圖是一種新概念自行車，它沒有鏈條，共有三個轉輪，A、B、C轉輪半徑依次減小。輪C與輪A嚙合在一起，騎行者踩踏板使輪C轉動，輪C驅動輪A轉動，從而使得整個自行車沿路面前行。對于這種自行車轉輪A、B、C，下面說法正確的是（　　）

A．線速度關系是 B．線速度關系是
C．角速度關系是 D．角速度關系是
【答案】C
【詳解】AB．自行車運動過程中，前后輪A、B的線速度相等，由于A、C嚙合在一起，A、C線速度也相等，所以轉輪A、B、C線速度vA、vB、vC之間的關系是
故AB錯誤；
CD．由公式可知，在線速度相等的情況下，半徑越小角速度越大，則有轉輪A、B、C線速度ωA、ωB、ωC之間的關系是
A故C正確，D錯誤。
故選C。
【變式訓練2】（23-24高二上·浙江·期中）如圖甲為某牌子的變速自行車，并將該自行車簡化為如圖乙所示，人通過腳踏板帶動鏈輪轉動，再通過鏈條使飛輪與后輪轉動，改變鏈條與不同齒數的飛輪咬合可以改變運行速度。若已知人騎車使腳踏板以恒定的角速度轉動，此時鏈輪齒數為48個，飛輪齒數為12個，后輪直徑，則下列說法正確的是（　　）
A．鏈輪與飛輪邊緣上的點的線速度大小之比為
B．鏈輪與飛輪邊緣上的點的角速度大小之比為
C．人騎自行車行進的速度大小為8m/s
D．若換成齒數更少的飛輪行進速度會變大
【答案】D
【詳解】A．鏈輪與飛輪邊緣上的點是同緣傳動，則線速度大小相等，選項A錯誤；
B．因齒數比等于半徑比，則根據
則鏈輪與飛輪邊緣上的點的角速度大小之比
選項B錯誤；
C．人騎自行車行進的速度大小為
選項C錯誤；
D．若換成齒數更少的飛輪，則飛輪的角速度變大，后輪的角速度和線速度均變大，則行進速度會變大，選項D正確。
故選D。
規律點撥 求解合運動或分運動的步驟 分析傳動問題的關鍵 分析傳動問題時，關鍵是要明確什么量相等，什么量不相等，在通常情況下，應抓住以下兩個關鍵點： (1)繞同一軸轉動的各點角速度ω、轉速n和周期T相等，而各點的線速度v＝ωr，與半徑r成正比。 (2)鏈條和鏈條連接的輪子邊緣線速度的大小相等，不打滑的摩擦傳動兩輪邊緣上各點線速度大小也相等，而角速度ω＝，與半徑r成反比。
考點3圓周運動的周期性造成的多解問題
圓周運動的周期性和多解性
勻速圓周運動的多解問題常涉及兩個物體的兩種不同的運動，其中一個做勻速圓周運動，另一個做其他形式的運動。因勻速圓周運動具有周期性，使得一個事件可能在前一個周期中發生，也可能在后一個周期中發生，這就要求我們在確定做勻速圓周運動物體的周期時，必須把各種可能都考慮進去。處理這類問題時，關鍵要把一個物體的運動時間t，與圓周運動的周期T建立起聯系，這樣才能較快地解決問題。
【典例3】（多選）（22-23高一下·黑龍江雙鴨山·期中）如圖所示，有一豎直圓筒，內壁光滑，上端開口截面水平。一小球沿水平方向由A點切入圓筒內側，沿著筒壁呈螺旋狀滑落，落地點恰好位于A點正下方。已知圓筒高5m，橫截面圓環半徑1m，，。則（　　）
A．小球下落時間為1s
B．小球進入圓筒初速度大小可能為3.14m/s
C．小球進入圓筒初速度大小可能為6.28m/s
D．小球進入圓筒初速度大小可能為12.56m/s
【答案】ACD
【詳解】A．小球在豎直方向做自由落體運動，則有
解得小球下落時間為
故A正確；
BCD．設小球進入圓筒初速度大小為，小球在水平方向做勻速圓周運動，根據題意有
（，，）
解得
（，，）
當時，可得
當時，可得
故B錯誤，CD正確。
故選ACD。
【變式訓練3】（22-23高一下·河南鶴壁·期中）如圖所示，半徑為R的水平圓板繞豎直軸做勻速圓周運動，當半徑OB轉到某一方向時，在圓板中心正上方h處以平行于OB方向水平拋出一小球，小球拋出時的速度及圓板轉動的角速度為多大時，小球與圓板只碰一次，且相碰點為B

【答案】
【詳解】小球的運動時間
則小球的拋出速度
由題意知，圓板轉動的角速度為
規律總結 解決圓周運動的多解問題的關鍵 (1)把一個物體的運動時間t，與圓周運動的周期T建立起聯系。 (2)會利用運動規律列出兩個運動的時間相等的表達式。
考點4向心力及其方向
1．向心力的方向
無論物體所做圓周運動是否為勻速圓周運動，其所受向心力的方向總是沿著半徑指向圓心且時刻改變，故向心力是變力。
2．向心力的作用效果
向心力的作用效果是改變線速度的方向。由于向心力始終指向圓心，其方向與物體運動方向始終垂直，向心力不改變線速度的大小，只改變線速度的方向。
3．向心力的來源
向心力并不是像重力、彈力、摩擦力那樣作為具有某種性質的力來命名的。它是根據力的作用效果命名的。
(1)向心力可以由某個力來提供，也可以由某個力的分力或幾個力的合力來提供。
(2)對于勻速圓周運動，合力提供物體做圓周運動的向心力；對于非勻速圓周運動，其合力不指向圓心，它既要改變線速度大小，又要改變線速度方向，向心力是合力的一個分力。
(3)無論是勻速圓周運動還是非勻速圓周運動，物體所受各力沿半徑方向分力的合力為向心力。
【典例4】(多選)如圖所示，在粗糙水平木板上放一個物塊，使木板和物塊一起在豎直平面內沿逆時針方向做勻速圓周運動，ab為水平直徑，cd為豎直直徑，在運動中木板始終保持水平，物塊相對于木板始終靜止，則(　　)
A．物塊始終受到三個力作用
B．物塊受到的合力始終指向圓心
C．在c、d兩個位置，物塊所受支持力N＝mg，摩擦力f為零
D．在a、b兩個位置物塊所受摩擦力提供向心力，支持力N＝mg
【答案】BD
【解析】物塊在豎直平面內做勻速圓周運動，受到的重力與支持力在豎直方向上，c、d兩點物塊所受的向心力由重力和支持力的合力提供，摩擦力為零，重力與支持力不相等，其他時候要受到摩擦力的作用，故A、C錯誤；物塊在豎直平面內做勻速圓周運動，合力就是向心力，勻速圓周運動的向心力指向圓心，故B正確；在b位置受力如圖，因物塊做勻速圓周運動，故合力指向圓心，支持力N＝mg，摩擦力f提供向心力，同理可得，在a位置的情形相同，故D正確。
【變式訓練4】（21-22高一下·廣東廣州·期中）如圖所示，摩天輪懸掛的座艙在豎直平面內做勻速圓周運動，座艙的質量為m，運動半徑為R，角速度大小為，重力加速度為g，則座艙（　　）
A．運動周期為
B．在與轉軸水平等高處受摩天輪作用力的大小為mg
C．線速度的大小為
D．所受合力的大小始終為
【答案】D
【詳解】A．座艙的運動周期為
故A錯誤；
B．在與轉軸水平等高處，摩天輪對座艙水平方向分力提供向心力，對座艙豎直方向分力與座艙重力平衡，所以合作用力大于mg，故B錯誤；
C．座艙線速度的大小為
故C錯誤；
D．座艙所受合外力提供向心力，大小為
故D正確。
故選D。
規律總結： 向心力可以是彈力、摩擦力，也可以是物體受到的幾個力的合力或某個力的分力。勻速圓周運動中合力提供向心力，合力的方向一定指向圓心。
考點5向心力的大小的計算
1．向心力的大小
(1)根據受力分析求得：圓周運動平面上，指向圓心方向的合力即為向心力。
(2)根據圓周運動規律求得：Fn＝mω2r＝m＝m2r＝m(2πn)2r＝mωv。
2．向心力公式的瞬時性
對于勻速圓周運動，向心力大小始終不變，但對非勻速圓周運動(如用一根繩拴住小球繞固定圓心在豎直平面內做的圓周運動)，其向心力大小隨速率v的變化而變化，公式表述的只是瞬時值。
【典例5】圖甲為游樂園中“空中飛椅”的游戲設施，它的基本裝置是將繩子上端固定在轉盤的邊緣上，繩子的下端連接座椅，人坐在座椅上隨轉盤旋轉而在空中飛旋。若將人和座椅看成一個質點，則可簡化為如圖乙所示的物理模型，其中P為處于水平面內的轉盤，可繞豎直轉軸OO′轉動，設繩長l＝10 m，質點的質量m＝60 kg，轉盤靜止時質點與轉軸之間的距離d＝4.0 m，轉盤逐漸加速轉動，經過一段時間后質點與轉盤一起做勻速圓周運動，此時繩與豎直方向的夾角θ＝37°，不計空氣阻力及繩重，且繩不可伸長，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2，求質點與轉盤一起做勻速圓周運動時：
(1)繩子拉力的大小；
(2)轉盤角速度的大小。
【答案】(1)750N；(2)rad/s
【解析】(1)如圖所示，對人和座椅進行受力分析，圖中F為繩子的拉力。質點在水平面內做勻速圓周運動，在豎直方向上合力為零。
故Fcos37°－mg＝0
解得F＝＝750 N。
(2)人和座椅在水平面內做勻速圓周運動，重力和繩子拉力的合力提供向心力，
有mgtan37°＝mω2R
分析可知：R＝d＋lsin37°
聯立解得ω＝ ＝ rad/s。
【變式訓練5】（22-23高一下·廣東梅州·期中）在做甩手動作的物理原理研究課題研究中，采用手機的加速度傳感器測定手的向心加速度。某次一高一同學先用刻度尺測量手臂長（如圖所示），然后伸直手臂，以肩為軸從水平位置加速自然下擺，當手臂擺到豎直方向時，手握住的手機顯示手的向心加速度大小約為，下列說法正確的是（ ）
A．可估算手臂擺到豎直位置時手的線速度大小約為2m/s
B．手臂擺到豎直位置時手機處于失重狀態
C．自然下擺過程中手機所受合力始終沿手臂方向
D．由可知手掌與手肘的向心加速度之比約為
【答案】A
【詳解】A．由圖可知，手機轉動的半徑約為，根據公式
可得手臂擺到豎直位置時手機的向心加速度大小約為
故A正確；
B．手臂擺到豎直位置時，手機的加速度方向向上，處于超重狀態，故B錯誤；
C．自然下擺過程中，手機做變速圓周運動，所受合力不是始終沿手臂方向，故C錯誤；
D．由公式
可知手掌與手肘的向心加速度之比約為，故D錯誤。
故選A。
規律總結： 勻速圓周運動中力學問題的解題步驟 (1)明確研究對象，確定物體在哪個平面內做勻速圓周運動，明確圓心和半徑r。 (2)對研究對象進行受力分析，明確向心力是由什么力提供的。 (3)確定v、ω、T、n等物理量中什么是已知的，選擇合適的公式列式求解。 (4)根據F合＝F向列方程，求解。
考點6變速圓周運動和一般曲線運動
1．變速圓周運動
(1)受力特點：變速圓周運動所受的合力不指向圓心，產生兩個方向的效果：
(2)變速圓周運動中某一點的向心力仍可用Fn＝m＝mω2r等公式求解，這時v、ω都是指物體運動到該點的瞬時速度。
2．一般的曲線運動的處理方法
如圖所示，可以把曲線分割成許多很短的小段，每一小段可看作一小段圓弧，只是每一小段圓弧對應的半徑不同(對應的半徑稱為該點的曲率半徑)，研究質點在這一小段的運動時，可以采用圓周運動的處理方法進行處理。
【典例6】(多選)“S路”曲線行駛是我國駕駛證考試中的一個項目。某次考試過程中，有兩名體重相等的學員分別坐在駕駛座和副駕駛座上，并且始終與汽車保持相對靜止，汽車在彎道上行駛時可視作圓周運動，行駛過程中未發生打滑。如圖所示，當汽車在水平“S路”圖示位置處減速行駛時(　　)
A．兩名學員具有相同的線速度
B．兩名學員具有相同的角速度
C．汽車受到的摩擦力與速度方向相反
D．汽車受到的摩擦力指向彎道內側偏后的方向
【答案】BD
【解析】兩名學員繞同一點做圓周運動，則他們的角速度相等，兩名學員離圓心的距離不相等，根據v＝rω可知，他們的線速度大小不相等，故A錯誤，B正確；摩擦力的一部分分力指向軌跡圓心，提供汽車做圓周運動所需向心力，摩擦力的另一部分分力與速度方向反向，使汽車減速，所以摩擦力方向不與速度方向相反，而是指向彎道內側偏后的方向，故C錯誤，D正確。
【變式訓練6】一般的曲線運動可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替。如圖a所示，曲線上的A點的曲率圓定義為：通過A點和曲線上緊鄰A點兩側的兩點作一圓，在極限情況下，這個圓就叫作A點的曲率圓，其半徑ρ叫作A點的曲率半徑。現將一物體沿與水平面成α角的方向以速度v0拋出，如圖b所示，則在其軌跡最高點P處的曲率半徑是(　　)
A. B．
C. D．
【答案】A
【解析】物體在其軌跡最高點P處只有水平速度，其水平速度大小為v0cosα，在最高點，把物體的運動看成圓周運動的一部分，物體的重力作為向心力，由向心力的公式得mg＝，所以在其軌跡最高點P處的曲率半徑是ρ＝，故A正確。
規律總結： (1)物體做變速圓周運動時，在任何位置均是合力沿半徑指向圓心方向的分力提供向心力。 (2)物體做變速圓周運動時必然有一個切向分力改變速度的大小。
考點7勻速圓周運動的加速度方向
1．向心加速度的方向：與向心力的方向相同，總指向圓心，方向時刻改變。
2．向心加速度的作用：向心加速度方向總是與線速度方向垂直，故向心加速度的作用只是改變速度的方向，對速度的大小無影響。
3．圓周運動的性質：圓周運動的向心加速度的方向時刻改變，所以圓周運動的加速度時刻發生變化，圓周運動是變加速曲線運動。
【典例7】（23-24高二上·浙江臺州·期中）校門口的車牌自動識別系統如圖所示，閘桿可在豎直面內繞轉軸O勻速轉動，汽車進入識別區時，閘桿在豎直面內繞轉軸O向上轉動，此過程中，關于在閘桿上的A、B兩點，下列說法正確的是（　　）
A．線速度vAωB
C．角速度ωA<ωB D．向心加速度aA>aB
【答案】A
【詳解】BC．由于A、B兩點在同一桿上，則角速度相等，BC錯誤；
A．線速度
又
所以
A正確；
D．向心加速度
又
所以
D錯誤。
故選A。
【變式訓練7】下列說法中正確的是(　　)
A．向心加速度表示做圓周運動的物體速率改變的快慢
B．向心加速度描述線速度方向變化的快慢
C．在勻速圓周運動中，向心加速度是恒定的
D．勻速圓周運動是勻變速曲線運動
【答案】B
【解析】勻速圓周運動中速率不變，向心加速度只改變線速度的方向，A錯誤，B正確；勻速圓周運動中，向心加速度的大小不變，方向時刻變化，所以勻速圓周運動是變加速曲線運動，故C、D錯誤。
規律總結： 向心加速度的理解 (1)向心加速度只描述線速度方向變化的快慢，沿切線方向的加速度描述線速度大小變化的快慢。 (2)向心加速度的方向始終與線速度方向垂直，且方向在不斷改變。
考點8勻速圓周運動的加速度大小
1．向心加速度的大小
(1)公式推導：根據牛頓第二定律F＝ma，向心加速度an＝＝ω2r。
(2)向心加速度的幾種表達式：an＝＝ω2r＝r＝4π2n2r＝ωv。
(3)向心加速度與半徑的關系
①當線速度一定時，向心加速度與運動半徑成反比，如圖甲所示。
②當角速度一定時，向心加速度與運動半徑成正比，如圖乙所示。
由an r圖像可以看出：向心加速度an與r是成正比還是反比，要看ω恒定還是v恒定。
2．向心加速度的注意要點
(1)向心加速度的公式適用于所有圓周運動的向心加速度的計算，包括非勻速圓周運動，但an與v具有瞬時對應性。
(2)向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。向心加速度表示速度方向改變的快慢。
(3)無論是勻速圓周運動還是非勻速圓周運動，向心加速度的方向都指向圓心。非勻速圓周運動合加速度不指向圓心，但向心加速度一定指向圓心，是專門改變速度方向的。
【典例8】如圖所示，壓路機大輪的半徑R是小輪半徑r的2倍。壓路機勻速行駛時，大輪邊緣上A點的向心加速度是12 cm/s2，那么小輪邊緣上B點的向心加速度大小是多少？大輪上距軸心距離為的C點的向心加速度大小是多少？
【答案】0.24m/s2，0.04m/s2
【解析】大輪邊緣上A點的線速度大小與小輪邊緣上B點的線速度大小相等。由aA＝和aB＝得aB＝aA＝24 cm/s2＝0.24 m/s2；C點和A點同在大輪上，角速度相等，由aA＝ω2R和aC＝ω2·得aC＝＝4 cm/s2＝0.04 m/s2。
【變式訓練8】(多選)如圖所示是靜止在地面上的起吊重物的吊車，某次操作過程中，液壓桿長度收縮，吊臂繞固定轉軸O順時針轉動，吊臂上的M、N兩點做圓周運動，此時M點的角速度為ω，ON＝2OM＝2L，則(　　)
A．M點的速度方向垂直于液壓桿
B．N點的角速度為ω
C．M、N兩點的線速度大小關系為vN＝4vM
D．N點的向心加速度大小為2ω2L
【答案】BD
【解析】吊臂繞固定轉軸O旋轉，因此M點的速度方向垂直于吊臂，故A錯誤；M、N點在吊臂上繞同一固定轉軸O旋轉，具有相同的角速度，即ωN＝ω，故B正確；根據v＝ωr可知vN＝2vM，故C錯誤；根據a＝ω2r可知，N點的向心加速度大小為aN＝2ω2L，故D正確。
規律總結： 1.傳動問題中比較向心加速度大小時公式的選用 (1)皮帶傳動問題，兩輪邊緣線速度大小相等，常選擇公式an＝。 (2)同軸轉動問題，各點角速度相等，常選擇公式an＝ω2r。 2．求向心加速度的兩種角度 (1)動力學角度：an＝。 (2)運動學角度：an＝＝ω2r＝r＝4π2n2r。
考點9火車轉彎
1．彎道的特點：在實際的火車轉彎處，外軌高于內軌，若火車轉彎所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，如圖所示，即mgtanθ＝m，則v0＝ ，其中R為彎道半徑，θ為軌道平面與水平面的夾角，v0為轉彎處的規定速度。
2．速度與軌道壓力的關系
(1)當火車行駛速度v等于規定速度v0時，所需向心力僅由重力和支持力的合力提供，此時火車對內外軌無擠壓作用。
(2)當火車行駛速度v>v0時，火車對外軌有擠壓作用。
(3)當火車行駛速度v3．注意事項
(1)合力的方向：因為火車轉彎的圓周平面是水平面，不是斜面，所以火車的向心力即合力應沿水平面指向圓心，而不是沿軌道斜面向下。
(2)規定速度的唯一性：火車軌道轉彎處的規定速率一旦確定則是唯一的，火車只有按規定的速率轉彎，內外軌才不受火車的擠壓作用。速率過大時，由重力、支持力及外軌對輪緣的擠壓力的合力提供向心力；速率過小時，由重力、支持力及內軌對輪緣的擠壓力的合力提供向心力。
【典例9】有一列質量為100 t的火車，以72 km/h的速率勻速通過一個內外軌一樣高的彎道，軌道半徑為400 m。(g取10 m/s2)
(1)試計算鐵軌受到的側壓力大小；
(2)若要使火車以此速率通過彎道，且使鐵軌受到的側壓力為零，我們可以適當傾斜路基，試計算路基傾斜角度θ的正切值。
【答案】(1)1×105N；(2)0.1
【解析】(1)m＝100t＝1×105kg，v＝72km/h＝20m/s，
外軌對輪緣的側壓力提供火車轉彎所需要的向心力
所以有：F＝m＝1×105× N＝1×105 N
由牛頓第三定律可知鐵軌受到的側壓力大小為1×105 N。
(2)火車以此速率通過彎道時，重力和鐵軌對火車的支持力的合力正好提供向心力，如圖所示，
則mgtanθ＝m
由此可得tanθ＝＝0.1。
【變式訓練9】（22-23高一下·云南曲靖·期中）在高速公路的拐彎處，通常路面都是外高內低。如圖所示，在某路段汽車向左拐彎，司機左側的路面比右側的路面低一些。汽車的運動可看作是做半徑為R的圓周運動。設內外路面高度差為h，路基的水平寬度為d，路面的寬度為L。已知重力加速度為g。要使車輪與路面之間的橫向摩擦力（即垂直于前進方向）等于零，則汽車轉彎時的車速應等于（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由題意知，當橫向摩擦力（即垂直于前進方向）等于零時
根據數學知識可得
聯立解得
故選B。
規律總結： 火車轉彎(或汽車轉彎)問題實際都是水平面內的勻速圓周運動問題，解決此類問題的關鍵是分析清楚向心力的來源，然后利用合力提供向心力求解。
考點10汽車過拱形橋和航天器中的失重現象
1．汽車過拱形橋
汽車在最高點滿足關系：mg－FN＝m，即FN＝mg－m，由牛頓第三定律可知，汽車對橋面壓力為FN′＝mg－m。由此可知汽車對橋面的壓力小于車的重力，汽車處于失重狀態，并且汽車的速度越大，汽車對橋面的壓力越小。當汽車對橋面的壓力為零時，處于完全失重狀態，即mg＝m，得vm＝，如果汽車的速度超過此速度，汽車將離開橋面做平拋運動，發生危險。
2．汽車過凹形路面
汽車在最低點滿足關系：FN－mg＝m，即FN＝mg＋m，由牛頓第三定律可知，汽車對路面壓力為FN′＝mg＋m。由此可知汽車對路面的壓力大于車的重力，汽車處于超重狀態，并且汽車的速度越大，汽車對路面的壓力越大，故凹形路面易被壓垮，因而現實生活中拱形橋多于凹形橋。
3．繞地球做圓周運動的衛星、飛船、空間站處于完全失重狀態
航天器繞地球做勻速圓周運動，其重力提供繞地球運動的向心力，而其重力加速度也就成為向心加速度，這個加速度也是向下的，故處于完全失重狀態。
以在近地軌道運行的航天器為例，其軌道半徑近似等于地球半徑R：
(1)質量為M的航天器：航天器的重力提供向心力，滿足關系：Mg＝M，則v＝。
(2)質量為m的航天員：航天員的重力和座艙對航天員的支持力的合力提供向心力，滿足關系：mg－FN＝。當v＝ 時，FN＝0，即航天員處于完全失重狀態。
(3)航天器內的任何物體都處于完全失重狀態。
【典例10】（23-24高一下·內蒙古通遼·期中）有一輛質量為600kg的小汽車駛上圓弧半徑為50m的拱橋。（g=10m/s2）
問∶（1）汽車到達橋頂時速度為6m/s，汽車對橋的壓力是多大？
（2）汽車以多大速度經過橋頂時便恰好對橋沒有壓力而騰空？
（3）汽車對地面的壓力過小是不安全的。因此從這個角度講，汽車過橋時的速度不能過大。對于同樣的車速，拱橋圓弧的半徑大些比較安全，還是小些比較安全？
（4）如果拱橋的半徑增大到與地球半徑R（R=6400km）一樣，汽車要在橋面上騰空，速度要多大？
【答案】（1）5568N；（2）10m/s；（3）拱橋圓弧半徑越大，汽車行駛越安全；（4）8.0km/s
【詳解】（1）汽車在橋頂部做圓周運動，重力G和支持力FN的合力提供向心力，即
故汽車所受支持力
根據牛頓第三定律得，汽車對橋頂的壓力大小也是5568N
（2）根據題意，當汽車對橋頂沒有壓力時，即
FN =0
對應的速度為v，有
v= =10m/s
（3）汽車在橋頂部做圓周運動，重力和支持力FN的合力提供向心力，即
因此對于相同的行駛速度，拱橋圓弧半徑越大，橋面所受壓力越大，汽車行駛越安全
（4）根據第二問的結論，對應的速度為v0，有
v0=
即
v0=8.0km/s
【變式訓練10】（22-23高一下·四川綿陽·期中）某旅游景點新建的凹凸形“如意橋”的簡化圖如圖所示，該橋由一個凸弧和一個凹弧連接而成，凸弧的半徑，最高點為A點；凹弧的半徑，最低點為B點。現有一劇組進行拍攝取景，安排一位駕駛摩托車特技演員穿越橋面，設特技演員與摩托車總質量為，穿越過程中可將車和演員視為質點，取，忽略空氣阻力。試求：
（1）當摩托車以的速率到達凸弧最高點A時，橋面對車的支持力大小；
（2）當摩托車以的速率到達凹弧最低點B時，車對橋面的壓力大小；
（3）為使得越野摩托車始終不脫離橋面，過A點的最大速度。

【答案】（1）；（2）1800N；（3）
【詳解】（1）摩托車通過凸弧最高點A時，由牛頓第二定律有
解得
（2）摩托車通過凹弧最低點B時，由牛頓第二定律有
解得
由牛頓第三定律可知，車對橋面的壓力大小等于橋面對車的支持力大小，為1800N。
（3）越野摩托車過凹凸橋分析可知，凹橋超重，凸橋失重，過凸橋最高點與橋面的擠壓為零時，有
解得
規律總結： 解決汽車過拱形橋和凹形路面的問題的一般步驟 對于汽車過拱形橋和凹形路面的問題，明確汽車的運動情況是解題的關鍵。具體的解題步驟是： (1)選取研究對象，確定軌道平面、圓心位置和軌道半徑。 (2)正確分析研究對象的受力情況，明確向心力的來源。 (3)根據平衡條件和牛頓運動定律列方程求解。
考點11離心運動的理解和應用
1．離心運動的理解
(1)若F合＝mω2r或F合＝，物體做勻速圓周運動，即“提供”滿足“需要”。
(2)若F合>mω2r或F合>，物體靠近圓心，做近心運動，即“提供”大于“需要”，也就是“提供過度”。
(3)若F合2．幾種常見的離心運動
項目 示意圖 原理圖 現象及結論
洗衣機脫水 當水滴受到衣服的附著力F不足以提供向心力時，即F汽車在水平路面上轉彎 當最大靜摩擦力不足以提供向心力時，即fmax用離心機把體溫計的水銀甩回玻璃泡中 當離心機快速旋轉時，縮口處對水銀柱的阻力不足以提供向心力，水銀柱做離心運動進入玻璃泡內
【典例11】（22-23高一下·天津·期中）伴隨國民物質文化生活的日益豐富，大眾的健康意識不斷增強，對膝蓋損耗較小的騎行運動越來越受歡迎。圖中的氣嘴燈是下端安裝在自行車的氣嘴上的飾物，騎行時會自動發光，炫酷異常。一種氣嘴燈的感應裝置結構如右圖所示，一重物套在光滑桿上，并與上端固定在A點的彈簧連接，彈簧處于拉伸狀態，觸點M與觸點N未接觸。當車輪轉動，彈簧再次拉伸，當重物上的觸點M與觸點N接觸，電路連通，LED燈就會發光。關于此燈下面說法中正確的是（　　）

A．停車時也會發光，只是燈光較暗
B．騎行達到一定速度值時燈才會亮
C．無論車輪轉多快，氣嘴燈都無法在圓周運動的頂端發亮
D．此感應裝置的發光利用重物的向心運動實現
【答案】B
【詳解】A．停車時，車輪未轉動，重物不能做離心運動，從而使M點與N點不接觸，不能發光，故A錯誤；
B．觸點M做離心運動，轉速越大，觸點M離圓心越遠，當騎行達到一定速度值時，轉速達到一定值，觸點M與觸點N接觸，氣嘴燈可以發光，故B正確；
C．觸點M做離心運動，轉速越大，觸點M離圓心越遠，當轉速足夠大時，觸點M可以始終與觸點N接觸，氣嘴燈可以一直發光，故C錯誤；
D．離心現象是指做圓周運動的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運動所需向心力的情況下，就做逐漸遠離圓心的運動，感應裝置的原理正是利用離心現象，使兩觸點接觸而點亮LED燈，故D錯誤。
故選B。
【變式訓練11】（多選）（22-23高一下·北京西城·期中）下列與離心現象有關的是（　　）
A．離心沉淀器
B．公交車突然剎車時，車上的乘客身體向前傾倒
C．轉動傘柄可以將傘上的雨滴甩出
D．家用洗衣機的甩干桶用于甩干衣服
【答案】ACD
【詳解】A．離心沉淀器的原理屬于離心現象，故A正確；
B．公交車突然剎車時，車上的乘客身體向前傾倒是由于慣性，不屬于離心現象，故B錯誤；
C．轉動傘柄可以將傘上的雨滴甩出，當雨傘對雨滴的吸附力不足以提供雨滴所需的向心力時，雨滴做離心運動，故C正確；
D．家用洗衣機的甩干桶用于甩干衣服，當水與衣服間的附著力不足以提供水所需的向心力時，水做離心運動，故D正確。
故選ACD。
規律總結： 離心現象的三點注意事項 (1)離心現象并不是由于存在離心力而產生的，而是由于物體所受的力不足以提供物體做圓周運動所需的向心力引起的，是慣性的一種表現形式。 (2)做離心運動的物體，并不是沿半徑方向向外遠離圓心。 (3)物體的質量越大、線速度越大(或角速度越大)時，物體做圓周運動所需要的向心力越大，物體就越容易發生離心現象。

展開更多......

收起↑