資源簡介

第08講：三角恒等變換
【考點梳理】
考點一：兩角和差的三角函數公式
考點二:二倍角公式
考點三：降冪公式的化簡求值問題
考點四：輔助角公式的應用
考點五：三角恒等式變換中的（給角求值、給值求值、給值求角）問題
考點六：利用三角函數恒等式判斷三角形形狀
考點七：三角恒等式變換中化簡問題
考點八：三角恒等變換綜合問題
【知識梳理】
考點一　兩角和與差的余弦公式
名稱 簡記符號 公式 使用條件
兩角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
兩角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R
考點二　兩角和與差的正弦公式
名稱 簡記符號 公式 使用條件
兩角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R
兩角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R
考點三：　兩角和與差的正切公式
名稱 公式 簡記符號 條件
兩角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
兩角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
考點四：二倍角的正弦、余弦、正切公式
考點五　半角公式
sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝.
考點六　輔助角公式
輔助角公式：
asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).
【題型歸納】
題型一：兩角和差的三角函數公式
1．（2024上·湖南岳陽·高一統考期末）求值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據正切和差角公式即可求解.
【詳解】
,
故選：A.
2．（2023上·江西上饒·高一校考期末）若，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】兩式分別平方，相加后結合同角三角函數關系式及兩角和的余弦公式化簡可得.
【詳解】由，，
得，，
相加得，，
解得，
故選：B.
3．（2023下·山東青島·高一統考期中）下列等式成立的為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用和差角公式合并計算即可.
【詳解】A選項：，A錯誤；
B選項：，B錯誤；
C選項：，C正確；
D選項：
，D錯誤.
故選：C.
題型二:二倍角公式
4．（2024上·寧夏銀川·高一銀川二中校考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正弦差角公式和輔助角公式得到，再整體法利用誘導公式和二倍角公式求出答案.
【詳解】由題可得，，
所以.
故選：A.
5．（2023下·遼寧沈陽·高一校聯考期中）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由條件結合向量數量積的運算和三角恒等變換可得，再由誘導公式和二倍角公式即可求得．
【詳解】因為，且，
所以，
所以，所以，
所以
，
故選：B
6．（2023下·福建福州·高一校考期末）下列等式不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據二倍角的正弦公式即可判斷A；根據兩角差的正弦公式，即可判斷B；根據兩角和的正切公式即可判斷C；根據二倍角的余弦公式結合兩角差的正弦公式即可判斷D.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，
，故D正確.
故選：B
題型三：降冪公式的化簡求值問題
7．（2021下·浙江·高一期末）已知則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先根據已知求出，再化簡代入得解.
【詳解】由得，
故.
所以.
故選：B
【點睛】方法點睛：三角恒等變換求值常用的方法有：“三看三變”，“三看”指的是看角、看名、看式，“三變”指的是變角、變名、變式.要根據已知條件，靈活選擇方法求解.
8．（2020下·高一課時練習）函數是
A．最大值是的奇函數 B．最大值是的偶函數
C．最大值是的奇函數 D．最大值是的偶函數
【答案】B
【解析】先根據降冪公式以及兩角和與差余弦公式化簡，再根據余弦定理性質求最值與奇偶性.
【詳解】
因為為最大值是的偶函數，所以B正確；
故選：B
【點睛】本題考查降冪公式、兩角和與差余弦公式以及余弦定理性質，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
9．（2022下·上海普陀·高一校考期末）已知函數，若在區間上的最大值為，則m的最小值是
【答案】
【分析】先將化為，由，得到，結合正弦函數圖象可得，進而可解得結果.
【詳解】，
當時， ，依題意，有，
解得，即的最小值為.
故答案為：
題型四：輔助角公式的應用
10．（2024上·全國·高一期末）已知，且，則的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化簡為，由，可得，再利用正弦函數的性質即可求解.
【詳解】，
因為，所以，所以，
所以.
故選：D.
11．（2023下·廣東佛山·高一校考期中）函數的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用兩角和差的正余弦公式結合輔助角公式化簡函數表達式，即可求得答案.
【詳解】由題意得
，
由于的最大值為1，
故的最大值為2，
故選：D
12．（2023下·江蘇徐州·高一統考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據和差公式，輔助角公式得到，再利用誘導公式，倍角公式求出答案.
【詳解】因為，
所以，即，故，
.
故選：C
題型五：三角恒等式變換中的（給角求值、給值求值、給值求角）問題
13．（2021下·上海·高一期中）已知，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知，利用角的范圍和同角三角函數關系可求得和，分別在和兩種情況下，利用兩角和差正弦公式求得，結合的范圍可確定最終結果.
【詳解】且，，.
又，，.
當時，
，
，，不合題意，舍去；
當，同理可求得，符合題意.
綜上所述：.
故選：.
【點睛】易錯點睛：本題中求解時，易忽略的值所確定的的更小的范圍，從而誤認為的取值也有兩種不同的可能性，造成求解錯誤.
14．（2024上·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學校考期末）已知，，且滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據兩角和的余弦公式和輔助角公式可得，由題意，利用同角三角函數的關系求得，，再次利用兩角和的余弦公式計算即可求解.
【詳解】，
，得，
，，，
，，，
.
故選：A
15．（2023下·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）若，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據三角函數值確定角的范圍，再根據角的變換有，根據三角函數值確定的值.
【詳解】，符號相同，
又，，，
由可得，
又，，，
所以，，
，
由，，得，，
故選：A．
題型六：利用三角函數恒等式判斷三角形形狀
16．（2023下·陜西西安·高一校考期中）設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．銳角三角形
【答案】B
【分析】根據正弦定理邊角互化可得，進而由三角函數的性質求解.
【詳解】由得,
由二倍角公式可得或，
由于在，,所以或,故為等腰三角形或直角三角形
故選：B
17．（2022下·上海奉賢·高一校考期中）在中，若，則此三角形為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】A
【分析】首先利用三角恒等變換，得，再判斷三角形的形狀.
【詳解】因為，
所以，
，又
所以，即.
故選：A.
18．（2021下·北京海淀·高一北大附中校考期中）在△ABC中，若，則△ABC為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】利用和角正弦公式及三角形內角和性質，可得，討論、情況下，判斷△ABC對應形狀.
【詳解】由題意，，又，
∴，即，，
∴當時，；當時，，又，則；
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.
故選：D
題型七：三角恒等式變換中化簡問題
19．（2023下·四川自貢·高一統考期中）已知，則 .
【答案】
【分析】先求得，然后利用同角三角函數的基本關系式、降冪公式、二倍角公式、誘導公式等知識求得正確答案.
【詳解】.
.
故答案為：
20．（2022上·安徽宿州·高一校聯考期末）已知函數，則該函數的最小正周期是 ； 當時，關于的方程僅有一實數根，則實數的取值范圍為 .
【答案】 或
【分析】根據三角恒等變換化簡，即可周期公式求解，利用整體法即可求解范圍.
【詳解】，
所以最小正周期為，
當時，，
因為在為增函數，在為減函數，
故在上為增函數，在為減函數，
而，，，
要使得僅有一實數根，
即在上只有一個實數根，
即，或，解得或，
故答案為：；或，
21．（2024上·天津河西·高一統考期末）已知函數．
(1)求的最小正周期；
(2)求的最大值及取得最大值時自變量的集合；
(3)求在的單調區間．
【答案】(1)
(2)1；
(3)增區間為，減區間為.
【分析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡表達式，結合正弦函數的周期公式，即可得答案；
（2）結合正弦函數的最大值以及取得最大值時x的取值，即可得答案；
（3）根據x的范圍，確定的范圍，結合正弦函數的單調性，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意得
,
故的最小正周期為；
（2）由，由于的最大值為1，
故的最大值為，此時，
即，即x的集合為，
（3）當時，，
故當，即時，單調遞增，
當，即時，單調遞減，
即在上的單調增區間為，減區間為.
題型八：三角恒等變換綜合問題
22．（2024上·云南楚雄·高一統考期末）已知函數.
(1)求的單調遞減區間；
(2)將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，得到函數的圖象，若存在，使得不等式有解，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等變化為同一個角的同一個三角函數，然后利用正弦函數的單調性即可求解；
（2）由題意得，在上分別求，從而可得到求的取值范圍.
【詳解】（1）由題意利用三角恒等變進行化簡：
.
令，
得，
故的單調遞減區間為.
（2）由將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，得.
因為存在，使得不等式有解，
所以.
當時，，
所以.
當時，，
所以.
于是，即.
故的取值范圍為.
23．（2024上·天津和平·高一統考期末）已知函數，
(1)求函數的最小正周期和對稱軸方程；
(2)求函數的單調遞減區間；
(3)若函數在上最大值與最小值的和為，求實數的值.
【答案】(1)，對稱軸方程為，.
(2)，；
(3).
【分析】（1）利用二倍角公式和兩角和的余弦公式進行化簡為正弦型函數，進而求得最小正周期和對稱軸方程；
（2）根據題意得到不等式組，解出即可.
（3）當時，，再求出的最大值與最小值，然后列出方程求得的值．
【詳解】（1）函數
，
函數的最小正周期為：，
令，，解得，，
則對稱軸方程為，.
（2）令，，
解得：，，
函數的單調遞減區間為：，；
（3）當時， ，
令或，解得：或，
此時函數取得最小值為：，
令，解得：，
此時函數取得最大值為：，
又的最大值與最小值的和為，所以有：
，解之得：.
24．（2024上·天津濱海新·高一統考期末）已知函數.
(1)求函數的最小正周期；
(2)求函數在上的單調遞減區間；
(3)已知函數在上存在零點，求實數的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）應用誘導公式、倍角正弦公式及輔助角公式化簡函數式，進而求最小正周期；
（2）令，結合正弦函數性質求遞減區間；
（3）問題化為在上有解，令，，再結合二次函數性質求參數范圍.
【詳解】（1）
，
由，則的最小正周期為.
（2）由（1）知，設，，所以，
又在的單調遞減區間是，
由，得，所以在上的單調遞減區間是.
（3）由（2）知，所以.
函數在上存在零點，
即在上有解.
由（2）知在，上單調遞增，在上單調遞減.
在上，.
令，，則，
所以，解得，所以實數的取值范圍為.
【強化精練】
一、單選題
25．（2024上·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級中學校考期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由兩角和的正弦公式運算可得結果.
【詳解】由題意可得：.
故選：B.
26．（2024上·北京大興·高一統考期末）已知為第二象限角，且，則等于（ ）
A． B．1 C． D．7
【答案】A
【分析】先通過誘導公式求出，進而根據同角三角函數關系求出，展開代入的值計算即可.
【詳解】,
，即，
又為第二象限角，
，則，
.
故選：A.
27．（2024上·重慶·高一重慶八中校考期末）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】由題意，利用算得，結合同角的三角函數關系計算即可求解.
【詳解】由題意知，，，則，
，
，
得，，
所以，
所以.
故選：C
28．（2024上·四川雅安·高一校考期末）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同角公式，結合的范圍求出，再利用二倍角公式計算即得.
【詳解】由，得，由，得，
整理得，則有，
所以.
故選：C
29．（2024上·云南昆明·高一云南師大附中校考期末）已知，，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據已知條件及同角三角函數基本關系求出，；再利用已知角和來配湊；最后利用兩角差的正弦公式即可求解.
【詳解】，，
，，
，，
，.
.
故選：A.
30．（2024上·全國·高一期末）為了得到函數的圖象，可將函數的圖象（ ）
A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
【答案】D
【分析】化簡函數的解析式，再根據函數的平移變換法可得函數的變換情況.
【詳解】由已知，
設將函數向左平移個單位，得，
所以，解得，
即將函數向左平移個單位長度可得，
故選：D.
31．（2023下·甘肅臨夏·高一統考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據同角的三角函數關系，切化弦，再結合兩角和差的正弦公式化簡，即可求得答案.
【詳解】由，，
得，
即，
即，
所以，即，
所以，
故選：C
32．（2023下·四川成都·高一統考期中）下列選項中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用三角函數的關系式的恒等變換判斷各選項的結論．
【詳解】對于A：因為，
又函數在上單調遞增，所以，所以，故A錯誤；
對于B：由于，故B錯誤；
對于C：由于，所以，
則，故C錯誤；
對于D：，故D正確．
故選：D．
33．（2023下·新疆阿克蘇·高一校考期中）若函數，則下列結論不正確的是（ ）
A．函數的最小正周期為 B．函數在區間上單調遞增
C．函數圖象關于對稱 D．函數的圖象關于點對稱
【答案】A
【分析】先根據三角恒等變換化簡的表達式，然后根據三角函數的性質進行判斷.
【詳解】根據二倍角公式和誘導公式，，于是.
A選項，根據三角函數周期公式，，A選項錯誤；
B選項，令，解得，時可得在區間上單調遞增，B選項正確；
C選項，令，解得，時可得圖象關于對稱，C選項正確；
D選項，，解得，為對稱中心的橫坐標，令，解得，故的圖象關于點對稱，D選項正確.
故選：A
二、多選題
34．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知，，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由兩邊平方即可判斷A項；利用A項結論可求出，再縮小角范圍即得B項；將與的值聯立求出，再運用倍角公式和商數關系即得C，D項.
【詳解】對于選項A，由兩邊平方得：，故得，即A項正確；
對于選項B，由，可得：故，
由可得：，故B項錯誤；
對于選項C，，故C項錯誤；
對于選項D，由可解得：故得：.故D項正確.
故選：AD.
35．（2023上·河北邯鄲·高一校考期末）已知函數，則（　　）
A．函數的最大值為
B．函數的圖象關于直線對稱
C．函數的圖象關于點對稱
D．函數在區間上單調遞增
【答案】ACD
【分析】先利用輔助角公式化簡的解析式；再由三角函數的有界性判斷選項A，由三角函數的對稱性判斷選項B、C，利用整體代入法及余弦函數的單調性判斷選項D.
【詳解】.
對于選項A，的最大值為，故選項A正確；
對于選項B，令，解得，
所以函數的圖象關于直線對稱，
則函數的圖象不關于直線對稱，故選項B錯誤；
對于選項C，因為，
所以函數的圖象關于點對稱，故選項C正確；
對于選項D，令 ，
解得，
所以的單調遞增區間為.
因為當時，，
則函數在區間上單調遞增，故選項D正確．
故選：ACD．
36．（2023下·山東青島·高一統考期中）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數的圖象關于點中心對稱
C．函數的單調增區間為
D．為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象向右平行移動個單位長度
【答案】AD
【分析】化簡的解析式，根據兩角和的正弦公式、三角函數的對稱性、單調性、三角函數圖象變換等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】
.
A選項，
，A選項正確.
B選項，
，所以B選項錯誤.
C選項，由，解得，
所以的單調遞增區間是，C選項錯誤.
D選項，將函數的圖象向右平行移動個單位長度，
得到的圖象，D選項正確.
故選：AD
37．（2023上·山東菏澤·高一校聯考期末）已知函數，則下列結論正確的有（ ）
A．點為函數圖象的一個對稱中心
B．的取值范圍為
C．的一個單調遞增區間為
D．圖象關于直線對稱
【答案】AB
【分析】運用函數的對稱性的性質、單調性的定義，結合特例法、二倍角的正弦公式、降冪公式逐一判斷即可.
【詳解】選項A：因為
，
所以點為函數圖象的一個對稱中心，因此本選項正確；
選項B：因為，
所以，即的取值范圍為，所以本選項正確；
選項C：因為，
所以的一個單調遞增區間為不正確，因此本選項說法不正確；
選項D：當時，，
因為，
所以此時函數不關于直線對稱，因此本選項不正確，
故選：AB
【點睛】關鍵點睛：運用特例法、函數對稱性的性質，結合降冪公式是解題的關鍵.
三、填空題
38．（2024上·云南楚雄·高一統考期末）已知，則 .
【答案】/0.8
【分析】已知等式由同角三角函數的關系求出，通過倍角公式構造齊次式，得，代入數據計算即可.
【詳解】因為，所以，
則.
故答案為：
39．（2024上·湖南岳陽·高一統考期末）若，則的值為 .
【答案】
【分析】根據題意，結合三角函數的誘導公式和余弦的倍角公式，即可求解.
【詳解】因為，則.
故答案為：.
40．（2024上·浙江寧波·高一鎮海中學校考期末）已知，且，則 .
【答案】
【分析】根據角的范圍，確定的范圍，結合，利用二倍角公式求出的值，以及的值，再利用兩角和的余弦公式即可求得答案.
【詳解】由于，故，結合，
可得，
則，
，
所以
；
故答案為：
41．（2024上·重慶·高一統考期末）已知滿足，則 ．
【答案】
【分析】首先結合平方關系、角的范圍得，再由誘導公式以及兩角和的余弦公式即可得解.
【詳解】因為，
所以，
又因為，
所以，
所以
.
故答案為：.
42．（2024上·天津河北·高一統考期末）已知函數，將化成的形式為 ；函數在區間上的最小值是 ．
【答案】
【分析】利用三角恒等變換的知識化簡的解析式，然后根據三角函數最值的求法求得在區間上的最小值.
【詳解】
.
當時，，
所以當或，
即或時，取得最小值為.
故答案為：；
四、解答題
43．（2024上·上海·高一上海市吳淞中學校考期末）已知，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據給定條件，利用同角公式及和角的正弦公式計算即得.
（2）利用（1）的信息，利用和角的余弦公式、二倍角的正弦公式計算即得.
【詳解】（1）由，，得，，
所以.
（2）由（1）知，，
所以.
44．（2024上·廣東深圳·高一統考期末）已知函數的最大值為.
(1)求的最小正周期和圖象的對稱軸；
(2)當時，求使成立的取值范圍.
【答案】(1)最小正周期為，對稱軸方程為
(2)
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數解析式為，利用正弦型函數的最值求出的值，利用正弦型函數的周期公式可求得函數的最小正周期，利用正弦型函數的對稱性可求得函數圖象的對稱軸方程；
（2）由可求出的取值范圍，由可得出，可得出關于的不等式，即可解得的取值范圍.
【詳解】（1）解：因為
，
所以，函數的最大值為，可得，
則.
由可得.
所以，函數圖象的對稱軸方程為.
函數的最小正周期為.
（2）解：由可得，
當時，，
由可得，解得，
故當時，使成立的取值范圍為.
45．（2024上·寧夏銀川·高一銀川二中校考期末）已已知函數（其中）.
(1)若函數的最小正周期是，求的對稱中心；
(2)若在上有且僅有2個零點，求的取值范圍.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）首先化簡函數的解析式，再根據三角函數的性質確定對稱中心；
（2）根據（1）的結果，首先求的取值范圍，再結合三角函數的圖象和性質，確定端點的取值范圍，即可求解.
【詳解】（1），
，
，
由題意可知，，得，
所以，
令，，得，，
所以函數的對稱中心為，；
（2），
當，，
令，即
若在上有且僅有2個零點，
則，解得：，
所以實數的取值范圍是.
46．（2024上·重慶·高一校聯考期末）已知函數的最大值為.
(1)求常數的值，并求函數取最大值時相應的集合；
(2)求函數的單調遞增區間.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據已知條件化簡函數為，根據的最大值為，解出值即可.
（2）根據正弦型函數求單調區間的方法求出的單調遞增區間即可.
【詳解】（1）
；
當時，函數取到最大值，所以，即；
令，得，
所以當函數取到最大值時的集合為
（2）由（1）得，
所以令，
得，
所以函數的單調遞增區間為
47．（2024上·浙江寧波·高一鎮海中學校考期末）已知
(1)化簡；
(2)若，且滿足，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據誘導公式直接化簡即可；
（2）解出或，再利用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式化簡代入計算即可.
【詳解】（1）
.
（2），解得或，即或，
，
當時，且，有，解得，
此時；
當時，且，有，解得，
此時；
綜上.
48．（2023上·吉林·高一校聯考期末）已知函數．
(1)求在上的最大值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角恒等變換先化簡，再利用整體法求最大值；
（2）利用齊次式化簡求值；
（3）利用配湊角結合兩角差的余弦公式計算.
【詳解】（1）
，
，
則，故在上的最大值為；
（2）；
（3）由（1）當則，
，
故.第08講：三角恒等變換
【考點梳理】
考點一：兩角和差的三角函數公式
考點二:二倍角公式
考點三：降冪公式的化簡求值問題
考點四：輔助角公式的應用
考點五：三角恒等式變換中的（給角求值、給值求值、給值求角）問題
考點六：利用三角函數恒等式判斷三角形形狀
考點七：三角恒等式變換中化簡問題
考點八：三角恒等變換綜合問題
【知識梳理】
考點一　兩角和與差的余弦公式
名稱 簡記符號 公式 使用條件
兩角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
兩角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R
考點二　兩角和與差的正弦公式
名稱 簡記符號 公式 使用條件
兩角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R
兩角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R
考點三：　兩角和與差的正切公式
名稱 公式 簡記符號 條件
兩角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
兩角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
考點四：二倍角的正弦、余弦、正切公式
考點五　半角公式
sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝.
考點六　輔助角公式
輔助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).
【題型歸納】
題型一：兩角和差的三角函數公式
1．（2024上·湖南岳陽·高一統考期末）求值（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·江西上饒·高一校考期末）若，，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023下·山東青島·高一統考期中）下列等式成立的為（ ）
A． B．
C． D．
題型二:二倍角公式
4．（2024上·寧夏銀川·高一銀川二中校考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·遼寧沈陽·高一校聯考期中）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·福建福州·高一校考期末）下列等式不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
題型三：降冪公式的化簡求值問題
7．（2021下·浙江·高一期末）已知則（ ）
A． B． C． D．
8．（2020下·高一課時練習）函數是
A．最大值是的奇函數 B．最大值是的偶函數
C．最大值是的奇函數 D．最大值是的偶函數
9．（2022下·上海普陀·高一校考期末）已知函數，若在區間上的最大值為，則m的最小值是
題型四：輔助角公式的應用
10．（2024上·全國·高一期末）已知，且，則的值域為（ ）
A． B． C． D．
11．（2023下·廣東佛山·高一校考期中）函數的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．2
12．（2023下·江蘇徐州·高一統考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
題型五：三角恒等式變換中的（給角求值、給值求值、給值求角）問題
13．（2021下·上海·高一期中）已知，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
14．（2024上·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學校考期末）已知，，且滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
15．（2023下·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）若，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
題型六：利用三角函數恒等式判斷三角形形狀
16．（2023下·陜西西安·高一校考期中）設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．銳角三角形
17．（2022下·上海奉賢·高一校考期中）在中，若，則此三角形為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
18．（2021下·北京海淀·高一北大附中校考期中）在△ABC中，若，則△ABC為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
題型七：三角恒等式變換中化簡問題
19．（2023下·四川自貢·高一統考期中）已知，則 .
20．（2022上·安徽宿州·高一校聯考期末）已知函數，則該函數的最小正周期是 ； 當時，關于的方程僅有一實數根，則實數的取值范圍為 .
21．（2024上·天津河西·高一統考期末）已知函數．
(1)求的最小正周期；
(2)求的最大值及取得最大值時自變量的集合；
(3)求在的單調區間．
題型八：三角恒等變換綜合問題
22．（2024上·云南楚雄·高一統考期末）已知函數.
(1)求的單調遞減區間；
(2)將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，得到函數的圖象，若存在，使得不等式有解，求的取值范圍.
23．（2024上·天津和平·高一統考期末）已知函數，
(1)求函數的最小正周期和對稱軸方程；
(2)求函數的單調遞減區間；
(3)若函數在上最大值與最小值的和為，求實數的值.
24．（2024上·天津濱海新·高一統考期末）已知函數.
(1)求函數的最小正周期；
(2)求函數在上的單調遞減區間；
(3)已知函數在上存在零點，求實數的取值范圍.
【強化精練】
一、單選題
25．（2024上·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級中學校考期末）（ ）
A． B． C． D．
26．（2024上·北京大興·高一統考期末）已知為第二象限角，且，則等于（ ）
A． B．1 C． D．7
27．（2024上·重慶·高一重慶八中校考期末）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．或
28．（2024上·四川雅安·高一校考期末）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
29．（2024上·云南昆明·高一云南師大附中校考期末）已知，，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
30．（2024上·全國·高一期末）為了得到函數的圖象，可將函數的圖象（ ）
A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
31．（2023下·甘肅臨夏·高一統考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
32．（2023下·四川成都·高一統考期中）下列選項中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
33．（2023下·新疆阿克蘇·高一校考期中）若函數，則下列結論不正確的是（ ）
A．函數的最小正周期為 B．函數在區間上單調遞增
C．函數圖象關于對稱 D．函數的圖象關于點對稱
二、多選題
34．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知，，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
35．（2023上·河北邯鄲·高一校考期末）已知函數，則（　　）
A．函數的最大值為
B．函數的圖象關于直線對稱
C．函數的圖象關于點對稱
D．函數在區間上單調遞增
36．（2023下·山東青島·高一統考期中）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數的圖象關于點中心對稱
C．函數的單調增區間為
D．為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象向右平行移動個單位長度
37．（2023上·山東菏澤·高一校聯考期末）已知函數，則下列結論正確的有（ ）
A．點為函數圖象的一個對稱中心
B．的取值范圍為
C．的一個單調遞增區間為
D．圖象關于直線對稱
三、填空題
38．（2024上·云南楚雄·高一統考期末）已知，則 .
39．（2024上·湖南岳陽·高一統考期末）若，則的值為 .
40．（2024上·浙江寧波·高一鎮海中學校考期末）已知，且，則 .
41．（2024上·重慶·高一統考期末）已知滿足，則 ．
42．（2024上·天津河北·高一統考期末）已知函數，將化成的形式為 ；函數在區間上的最小值是 ．
四、解答題
43．（2024上·上海·高一上海市吳淞中學校考期末）已知，.
(1)求的值；
(2)求的值.
44．（2024上·廣東深圳·高一統考期末）已知函數的最大值為.
(1)求的最小正周期和圖象的對稱軸；
(2)當時，求使成立的取值范圍.
45．（2024上·寧夏銀川·高一銀川二中校考期末）已已知函數（其中）.
(1)若函數的最小正周期是，求的對稱中心；
(2)若在上有且僅有2個零點，求的取值范圍.
46．（2024上·重慶·高一校聯考期末）已知函數的最大值為.
(1)求常數的值，并求函數取最大值時相應的集合；
(2)求函數的單調遞增區間.
47．（2024上·浙江寧波·高一鎮海中學校考期末）已知
(1)化簡；
(2)若，且滿足，求的值.
48．（2023上·吉林·高一校聯考期末）已知函數．
(1)求在上的最大值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．

展開更多......

收起↑