資源簡介

第01講：集合與常用邏輯用語
【考點梳理】
考點一：集合的含義和表示 考點二：集合中元素的特性
考點三：集合之間的基本關系 考點四：集合的基本運算
考點五：集合的應用 考點六：充分條件和必要條件
考點七：全程量詞和存在量詞 考點八：集合和邏輯用語的綜合
【知識梳理】
1．集合與元素
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．
(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，用符號∈或 表示．
(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．
(4)常見數集的記法
集合 非負整數集 (或自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合的基本關系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A B或B A.
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱集合A是集合B的真子集，記作A B或B A.
(3)相等：若A B，且B A，則A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(5)若一個集合有n(n∈N)個元素，則它有2n個子集，2n－1個真子集，2n－1個非空子集，2n－2非空真子集．
3．集合的基本運算
表示 運算 文字語言 集合語言 圖形語言 記法
并集 所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
交集 所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
補集 全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集 {x|x∈U，且x A} UA
4．充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件 p q且q p
p是q的必要不充分條件 p q且q p
p是q的充要條件 p q
p是q的既不充分也不必要條件 p q且q p
5全稱量詞與存在量詞
(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“ ”表示．
(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“ ”表示．
6．全稱量詞命題和存在量詞命題
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結構 將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表示
對M中任意一個x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
簡記 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
【題型歸納】
題型一：集合的含義和表示
1．（2023上·西藏林芝·高一校考期中）給出下列6個關系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正確命題的個數為( )
A．4 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【分析】根據常用數集的表示符合與各自的范圍判斷各命題，即可得出答案.
【詳解】為無理數，有理數與無理數統稱為實數，所以，所以①正確；
為無理數，不屬于整數，所以，所以②錯誤；
0不是正整數，所以，所以③正確；
是正整數，屬于自然數，所以，所以④錯誤；
是無理數，所以，所以⑤正確；
是正數，所以，所以⑥錯誤；
綜上，共由3個正確命題，
故選：C.
2．（2024上·全國·高一專題練習）下列說法中正確的是（ ）
A．1與表示同一個集合
B．由1，2，3組成的集合可表示為或
C．方程的所有解的集合可表示為
D．集合可以用列舉法表示
【答案】B
【分析】根據集合的相關概念以及表示方法，對每個選項進行逐一分析，即可判斷選擇.
【詳解】對于A，1不能表示一個集合，故錯誤；
對于B，因為集合中的元素具有無序性，故正確；
對于C，因為集合的元素具有互異性，而中有相同的元素，故錯誤；
對于D，因為集合中有無數個元素，無法用列舉法表示，故錯誤.
故選：B.
3．（2024上·全國·高一專題練習）下列四組集合中表示同一集合的為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根據集合元素的性質逐一判斷即可.
【詳解】選項A：兩個集合中元素對應的坐標不同，A錯誤；
選項B：集合中的元素具有無序性，兩個集合是同一集合，B正確；
選項C：兩個集合研究的對象不同，一個是點集，一個是數集，C錯誤；
選項D：是以0為元素的集合，是數字0，D錯誤.
故選：B
題型二：集合中元素的特性
4．（2023上·廣東惠州·高一校考階段練習）若集合,集合,且,則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據集合相等的概念以及集合中元素的互異性求解即可.
【詳解】因為,根據題意,故,
所以,
則,即,
當時,與集合的互異性矛盾,故舍去;
當,時,,符合題意,
所以.
故選：B.
5．（2022上·四川宜賓·高一四川省宜賓市第四中學校校考期中）已知，若集合，則的值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】根據兩集合相等，對應元素相等，然后列出方程求出即可得到結果.
【詳解】因為
所以有，解得或
當時，不滿足集合中元素的互異性，
故
則
故選:B.
6．（2021上·江蘇常州·高一常州市第一中學校考期中）已知集合，若，則實數的值為（ ）．
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】根據元素與集合之間的關系，及集合元素的互異性即可求出的值.
【詳解】，且，或
⑴、當即或，
①、當時，，，此時，不滿足集合元素的互異性，故舍去；
②、當時，，，此時，符合題意；
⑵、當即時，此時，不滿足集合元素的互異性，故舍去；
綜上所述：實數的值為1.
故選：B
題型三：集合之間的基本關系
7．（2023上·四川瀘州·高一校考期中）如圖，已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合的子集個數為（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【分析】先求出集合B，然后確定圖中陰影部分指的集合，即可得出答案.
【詳解】，所以,
圖中陰影部分指的是在集合A中，不在集合B中的元素構成的集合，
又，所以圖中陰影部分指的集合是，有三個元素，
所以它有個子集，
故選：D.
8．（2023上·山東青島·高一統考期中）已知集合，，若，則實數的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分、兩種情況討論，分別確定集合，即可求出參數的集合.
【詳解】因為，且，
當時，符合題意；
當時，又，所以或，解得或，
綜上可得實數的取值集合為.
故選：D
9．（2023上·山西太原·高一山西實驗中學校考期中）已知集合，若，則實數組成的集合為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據分、討論可得答案.
【詳解】當時，，符合題意；
當時，，又，
所以，或，解得，或，
所以實數組成的集合為.
故選：D.
題型四：集合的基本運算
10．（2024上·廣東珠海·高一珠海市第一中學校考期末）已知集合，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據集合的交并補即可求解.
【詳解】由題知，
故選：A.
11．（2023上·山東青島·高一青島二中校考期中）設集合，，全集，且，則實數m的取值范圍為 ；
【答案】
【分析】先根據題意得，再根據求解即可得答案.
【詳解】由已知的：，則，
因為，且，
如圖：
則，即，則實數m的取值范圍為.
故答案為：
12．（2021·全國·高一期中）已知集合，設集合，，若，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】當時，，此時符合題意；當時，，求出再與集合進行交集運算，根運算的結果列不等式，解不等式即可求解.
【詳解】當時，，解得：，此時，
，符合題意；
當時，，解得，
因為集合，，
所以或，
因為，
所以，解得：，
所以時，，
綜上所述：實數的取值范圍是.
故答案為：.
題型五：集合的應用
13．（2023上·內蒙古·高一校聯考期中）某校春季舉辦了一次田徑運動會，某班有20名同學參賽，該學校秋季又舉辦了一次趣味運動會，這個班有25名同學參賽．已知該班級這兩次運動會都參賽的有12人．則這兩次運動會中，這個班參賽的同學有 人．
【答案】
【分析】直接根據集合的基本運算的定義得到答案.
【詳解】這兩次運動會中，這個班參賽的同學有人．
故答案為：.
14．（2023上·山西朔州·高一校考期中）深圳科學高中先后舉辦了多個學科的課余活動.已知高一(1)班有50名同學，其中30名同學參加了數學活動，26名同學參加了物理活動，16名同學同時參加了數學，物理兩個學科的活動，則這個班既沒有參加數學活動，也沒有參加物理活動的同學人數是 .
【答案】10
【分析】先分別求出只參加數學活動和只參加物理活動的人數，然后畫出韋恩圖，利用韋恩圖的性質求解即可.
【詳解】由題意得只參加數學活動的學生數為人，
只參加物理活動的學生數為，如圖所示的韋恩圖，
則由圖可知既沒有參加數學活動，也沒有參加物理活動的同學人數為
人，
故答案為：10
15．（2023上·山西朔州·高一校考期中）某社團有100名社員，他們至少參加了A，B，C三項活動中的一項.得知參加A活動的有51人，參加B活動的有60人，參加C活動的有50人，數據如圖，則圖中 ； ； .

【答案】 9 8 10
【分析】根據題意結合圖形列方程組求解即可.
【詳解】由題意得
，則，解得，
故答案為：9，8，10
題型六：充分條件和必要條件
16．（2024上·四川雅安·高一校考期末）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】A
【分析】由充分條件與必要條件的性質即可得.
【詳解】當時，，
當時，有、，可使，但不符合甲，
故甲是乙的充分條件但不是必要條件.
故選：A.
17．（2024上·遼寧遼陽·高一統考期末）已知函數，則“”是“的最小值大于5”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由基本不等式求的最小值，再由充分條件和必要條件的定義判斷結果.
【詳解】因為，所以，
當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.
若，則，即的最小值大于5，反之亦成立．
則“”是“的最小值大于5”的充要條件.
故選：A
18．（2024上·遼寧葫蘆島·高一葫蘆島第一高級中學校考期末）是函數且在是減函數的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】令， ，圖象的對稱軸為直線，判斷在上單調遞減，若要滿足且在單調遞減，則單調遞增，進而得到不等式組，求出的范圍，利用邏輯推理判斷選項.
【詳解】令，，
則圖象的對稱軸為直線，
所以在上單調遞減，
若要滿足且在單調遞減，
則單調遞增，
則，解得,
故，
則是函數且在單調遞減的必要不充分條件.
故選：B
題型七：全程量詞和存在量詞
19．（2024上·云南昆明·高一統考期末）設命題p：，則的否定為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據含一個量詞的命題的否定方法求得結果.
【詳解】含一個量詞的命題的否定方法：修改量詞，否定結論，
故的否定為：，
故選：C.
20．（2024上·吉林·高一統考期末）已知命題， 若命題為假命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析得，，分和討論即可.
【詳解】由題意得命題的否定為真命題，
即，，
當時，恒成立，
當時，則有，解得，
綜上，的取值范圍為.
故選：D.
21．（2023上·廣東深圳·高一校考期中）已知命題p為“，”．若p為假命題，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將問題轉化為命題“，”為真命題，令，利用二次函數的性質求解.
【詳解】解：因為命題p“，”為假命題，
所以命題“，”為真命題，
令，其對稱軸為，
當，即時，，解得，此時；
當，即時，，解得，此時無解；
當，即時，，即，此時，
綜上：實數a的取值范圍是，
故選：B
題型八：集合和邏輯用語的綜合
22．（2024上·上海·高一校考期末）已知集合.
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)若“”是“”的必要非充分條件，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式可得集合，由交集結果可求得的取值范圍為；
（2）根據必要非充分條件可知集合是集合的真子集，解不等式可得的取值范圍為；
【詳解】（1）解不等式可得，顯然
若，可得或，
解得或，
即實數的取值范圍為；
（2）若“”是“”的必要非充分條件，可得集合是集合的真子集；
可得，解得，
因為不等式兩端等號不會同時成立，
所以實數的取值范圍為.
23．（2024上·遼寧葫蘆島·高一統考期末）已知集合，集合，集合，且．
(1)求實數a的值組成的集合；
(2)若，是的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合，然后根據得到，由此分析集合并求解出的值，則結果可知；
（2）先求解出，然后將問題轉化為“是C的真子集”，由此列出關于的不等式，則結果可求.
【詳解】（1）因為，
由，知，則或或，
當時，所以，
當時，所以，
當時，所以，
所以的取值集合為．
（2）由題意得，，故，
又是的充分不必要條件，
所以是的真子集，于是，
解得：，經檢驗符合條件，
綜上，實數m的取值范圍是．
24．（2024上·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學校考期末）已知集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）解不等式得出A，代入得出B，進而根據并集的運算求解，即可得出答案；
（2）根據已知可推得 A，分以及，根據集合的包含關系列出不等式組，求解即可得出答案.
【詳解】（1）解可得，或，
所以，或.
當時，，
所以或.
（2）由“”是“”的必要不充分條件，
所以， .
又或，.
當，有，即，顯然滿足；
當時，有，即.
要使 A，
則有或，
解得或.
綜上所述，或.
【強化精練】
一：單選題
25．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，求得，結合集合交集的運算，即可求解.
【詳解】由集合，
又因為，可得.
故選：B.
26．（2024上·四川雅安·高一校考期末）命題“”的否定為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據特稱命題的否定是全稱命題進行求解即可．
【詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，
所以命題“”的否定為，.
故選：B
27．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知：，：方程有實數根，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據一元二次方程的性質，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由方程有實數根，則滿足，解得，
所以是方程有實數根的充分不必要條件，
即是的充分不必要條件.
故選：A.
28．（2024上·河北張家口·高一統考期末）函數在上單調遞增的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意結合復合函數的單調性，求出在上單調遞增時a的范圍，結合選項找出該范圍的一個充分不必要條件，即得答案.
【詳解】在上單調遞增等價于函數滿足：
①在上單調遞增，②，
即，解得，
結合選項可知是的充分不必要條件，
故選：D.
29．（2023上·全國·高一期末）已知集合，，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用集合間的關系，建立不等式求解,注意集合B中元素的互異性．
【詳解】由題意得，所以由，得，解得且，
所以實數的取值范圍是.
故選:D．
30．（2024上·上海·高一上海市行知中學校考期末）的一個充要條件是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】A
【分析】根據不等式的基本性質，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由不等式，可得，即，所以A符合題意；
由，可得或，所以選項B是的充分不必要條件；
選項C和D都為的既不充分也不必要條件.
故選：A.
31．（2024上·河南·高一南陽中學校聯考期末）“”是“不等式對任意的恒成立”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】先根據不等式恒成立得出.比較，即可得出答案.
【詳解】當時，對任意的恒成立；
當時，要使不等式對任意的恒成立，
則應有，解得.
綜上所述，的取值范圍為.
顯然“”包含的范圍包含于“”包含的范圍，
所以，“”是“不等式對任意的恒成立”的充分不必要條件.
故選：A.
32．（2024上·上海青浦·高一統考期末）已知非空集合且，設，，則對于的關系，下列問題正確的是（ ）
A． B． C． D．的關系無法確定
【答案】C
【分析】由集合與元素、集合與集合之間的關系從兩個方面推理論證即可求解.
【詳解】，有，從而有，進一步，即，所以，
，有，從而有，進一步有，即，所以，
綜上所述，有.
故選：C.
33．（2023上·四川達州·高一校考期中）若“，”是假命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求得存在量詞命題的否定，然后根據真假性以及對進行分類討論來求得的取值范圍.
【詳解】依題意，“，”是假命題，
所以“”是真命題，
當時，不等式化為恒成立；
當時，化為，
當時，取得最大值為，
所以.
當時，化為，
當時，取得最小值為，
所以.
綜上所述，的取值范圍是.
故選：A
【點睛】全稱量詞命題或存在量詞命題的否定，要點有兩點，一個是之間的轉換，另一個是否定結論，而不是否定條件.求解不等式恒成立問題，可以考慮利用分離參數法來進行求解.
34．（2024上·上海·高一上海市實驗學校校考期末）已知函數，為高斯函數，表示不超過實數的最大整數，例如，.記，，則集合，的關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據題意分別求出集合，然后利用集合的交集運算從而求解.
【詳解】由題意得，所以，
因為，所以，所以，所以，，
當時，，，此時，
當時，，，此時，
當時，，此時，
綜上：，所以，故C正確.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：根據高斯函數對分情況討論具體的取值求出集合，從而求解.
二、多選題
35．（2024上·甘肅·高一統考期末）下列敘述中正確的是（ ）
A．
B．若集合是全集的兩個子集，且，則
C．命題“”的否定是“”
D．命題“”的否定是“”
【答案】AC
【分析】根據集合間的關系可判斷選項A，B；根據全稱量詞命題的否定形式可判斷選項C，D.
【詳解】對于選項A：因為，所以，故A正確；
對于選項B：B錯誤，可舉特例說明，如，
則，
所以,故B錯誤；
全稱量詞命題的否定是：，故選項C正確；選項D錯誤.
故選：AC.
36．（2024上·云南昭通·高一校考期末）設全集為R，在下列條件中，滿足的充要條件的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根據集合的運算性質及集合間的關系逐項判斷即可.
【詳解】因為時，，不滿足題意，故A錯誤；
若，顯然只有時成立，不滿足題意，故B錯誤；
若，則，同時若時，，滿足題意，故C正確；
當時，則，同時，則滿足題意，故D正確，
故選：CD.
37．（2023上·江蘇南京·高一期末）已知命題函數在上單調遞減，則下列是命題的一個必要不充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】求出命題為真時的范圍，再根據必要不充分條件的定義判斷．
【詳解】由命題函數在上單調遞減，可得或，即，
由必要不充分條件的定義知只有C,D選項符合.
故選：CD.
38．（2023上·山東濟寧·高一統考期中）下列四個結論中，正確的結論是（ ）
A．“所有平行四邊形都是菱形”是全稱量詞命題
B．已知集合，均為實數集的子集，且，則
C．，有，則實數的取值范圍是
D．“”是“”的充分不必要條件
【答案】ACD
【分析】根據全稱量詞命題定義可判斷A；作出韋恩圖結合集合的運算可判斷B；根據命題為真列出不等式求解即可判斷C；根據充分不必要條件可判斷D.
【詳解】對于A，因為命題中含有量詞“所有”，故該命題為全稱量詞命題，故符合題意；
對于B，如圖設全集，集合，集合如圖所示，根據運算得，故B不符合題意；

對于C，，有成立，則，
解得，故C符合題意；
對于D，滿足的數一定滿足，所以充分性滿足，
而滿足的數不一定滿足，所以必要性不滿足，
即“”是“”的充分不必要條件，故D符合題意.
故選：ACD.
三、解答題
39．（2024上·河北張家口·高一統考期末）設不等式的解集為，
(1)求集合A；
(2)若，求實數m的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據一元二次不等式的解法和指數函數的性質求解即可.
（2）分和兩種情況進行討論，求出m的取值范圍．
【詳解】（1），即，
，解得，即，
所以.
（2）因為，
①當時，即，解得，滿足題意；
②當時，需滿足，解得 .
綜上，滿足的m的取值范圍為.
40．（2024上·陜西西安·高一長安一中校考期末）已知集合，，集合為函數的定義域，全集為實數集R.
(1)求，；
(2)若，求實數的取值范圍.
【答案】(1)，或
(2)
【分析】（1）解不等式，得到，利用并集和補集的概念進行求解；
（2）根據交集結果得到包含關系，由定義域得到，分三種情況，得到不等式的解集，并根據包含關系得到不等式，求出實數的取值范圍.
【詳解】（1），解得，故，
，故，解得，故，
所以，
或；
（2），故，
令，
當，即時，的解集為，滿足；
當，即時，不等式解集為，
要想，則，解得，
結合，可得；
當，即時，不等式解集為，
要想，則，解得，
結合，可得，
綜上，實數的取值范圍是.
41．（2024上·吉林·高一統考期末）已知集合．
(1)當時，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數的取值范圍．
【答案】(1)或，
(2)
【分析】（1）解出指數不等式，再利用補集和交集含義即可；、
（2）由題意得到 ，再分和討論即可.
【詳解】（1）由題意得，
當時，集合，
或，
.
（2）若“”是“”的必要不充分條件，則 ，
①時，，解得，符合題意，
②時，滿足或，解得
綜上所述：的取值范圍為.
42．（2024上·遼寧大連·高一大連二十四中校考期末）已知，全集，集合，函數的定義域為B．
(1)當時，求；
(2)若是成立的必要條件，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據指、對數函數求集合A，B，結合集合間的運算求解；
（2）由題意可得：可知，結合子集關系列式求解.
【詳解】（1）由得，則，
解得，即；
由得，解得，即；
當時，則，
可得，所以．
（2）由是成立的必要條件，可知，
則，解得，
所以a的取值范圍是．
43．（2023上·江蘇南京·高一期末）已知不等式的解集為，設不等式的解集為集合.
(1)求集合；
(2)設全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意得和是方程的兩根，代入求得，化簡所求不等式，求解即可；
（2）將是成立的必要條件轉化為子集關系，結合子集的定義及二次函數的性質即可求解.
【詳解】（1）因為不等式的解集為，
則和是方程的兩根，
所以，解得，
所以不等式為不等式，
解得，即集合.
（2）因為是成立的必要條件，所以.
當時，，解得；
當時，，解得.
綜上，實數的取值范圍是.
44．（2023上·浙江·高一校聯考期中）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數m的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據分式不等式解法化簡集合A，代入得集合B，根據交集運算求解即可；
（2）根據必要不充分條件得真子集關系，分類討論，列不等式組求解即可.
【詳解】（1），
時，，
所以；
（2）因為“”是“”的必要不充分條件，所以是的真子集，
①當時，，解得，成立；
②當，即時，，解得.
綜上，實數m的取值范圍為.
45．（2023上·福建福州·高一福建省閩清縣第一中學校聯考期末）設，已知集合，.
(1)當時，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分別解不等式求出集合A，B，然后由并集運算可得；
（2）根據集合包含關系，對m分類討論即可.
【詳解】（1），解得，
當時，得，
所以.
（2）若“”是“”的必要不充分條件，所以A B，
解方程得或，
當時，，不滿足題意；
當，即時，，
因為A B，所以，解得；
當，即時，，顯然不滿足題意.
綜上，的取值范圍為.第01講：集合與常用邏輯用語
【考點梳理】
考點一：集合的含義和表示 考點二：集合中元素的特性
考點三：集合之間的基本關系 考點四：集合的基本運算
考點五：集合的應用 考點六：充分條件和必要條件
考點七：全程量詞和存在量詞 考點八：集合和邏輯用語的綜合
【知識梳理】
1．集合與元素
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．
(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，用符號∈或 表示．
(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．
(4)常見數集的記法
集合 非負整數集 (或自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合的基本關系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A B或B A.
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱集合A是集合B的真子集，記作A B或B A.
(3)相等：若A B，且B A，則A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(5)若一個集合有n(n∈N)個元素，則它有2n個子集，2n－1個真子集，2n－1個非空子集，2n－2非空真子集．
3．集合的基本運算
表示 運算 文字語言 集合語言 圖形語言 記法
并集 所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
交集 所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
補集 全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集 {x|x∈U，且x A} UA
4．充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件 p q且q p
p是q的必要不充分條件 p q且q p
p是q的充要條件 p q
p是q的既不充分也不必要條件 p q且q p
5全稱量詞與存在量詞
(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“ ”表示．
(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“ ”表示．
6．全稱量詞命題和存在量詞命題
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結構 將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表示
對M中任意一個x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
簡記 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
【題型歸納】
題型一：集合的含義和表示
1．（2023上·西藏林芝·高一校考期中）給出下列6個關系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正確命題的個數為( )
A．4 B．2 C．3 D．5
2．（2024上·全國·高一專題練習）下列說法中正確的是（ ）
A．1與表示同一個集合
B．由1，2，3組成的集合可表示為或
C．方程的所有解的集合可表示為
D．集合可以用列舉法表示
3．（2024上·全國·高一專題練習）下列四組集合中表示同一集合的為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
題型二：集合中元素的特性
4．（2023上·廣東惠州·高一校考階段練習）若集合,集合,且,則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022上·四川宜賓·高一四川省宜賓市第四中學校校考期中）已知，若集合，則的值為（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（2021上·江蘇常州·高一常州市第一中學校考期中）已知集合，若，則實數的值為（ ）．
A． B． C．或 D．或
題型三：集合之間的基本關系
7．（2023上·四川瀘州·高一校考期中）如圖，已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合的子集個數為（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
8．（2023上·山東青島·高一統考期中）已知集合，，若，則實數的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·山西太原·高一山西實驗中學校考期中）已知集合，若，則實數組成的集合為（ ）
A． B．
C． D．
題型四：集合的基本運算
10．（2024上·廣東珠海·高一珠海市第一中學校考期末）已知集合，集合，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·山東青島·高一青島二中校考期中）設集合，，全集，且，則實數m的取值范圍為 ；
12．（2021·全國·高一期中）已知集合，設集合，，若，則實數的取值范圍是 .
題型五：集合的應用
13．（2023上·內蒙古·高一校聯考期中）某校春季舉辦了一次田徑運動會，某班有20名同學參賽，該學校秋季又舉辦了一次趣味運動會，這個班有25名同學參賽．已知該班級這兩次運動會都參賽的有12人．則這兩次運動會中，這個班參賽的同學有 人．
14．（2023上·山西朔州·高一校考期中）深圳科學高中先后舉辦了多個學科的課余活動.已知高一(1)班有50名同學，其中30名同學參加了數學活動，26名同學參加了物理活動，16名同學同時參加了數學，物理兩個學科的活動，則這個班既沒有參加數學活動，也沒有參加物理活動的同學人數是 .
15．（2023上·山西朔州·高一校考期中）某社團有100名社員，他們至少參加了A，B，C三項活動中的一項.得知參加A活動的有51人，參加B活動的有60人，參加C活動的有50人，數據如圖，則圖中 ； ； .

題型六：充分條件和必要條件
16．（2024上·四川雅安·高一校考期末）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
17．（2024上·遼寧遼陽·高一統考期末）已知函數，則“”是“的最小值大于5”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
18．（2024上·遼寧葫蘆島·高一葫蘆島第一高級中學校考期末）是函數且在是減函數的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
題型七：全程量詞和存在量詞
19．（2024上·云南昆明·高一統考期末）設命題p：，則的否定為（ ）
A． B．
C． D．
20．（2024上·吉林·高一統考期末）已知命題， 若命題為假命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2023上·廣東深圳·高一校考期中）已知命題p為“，”．若p為假命題，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型八：集合和邏輯用語的綜合
22．（2024上·上海·高一校考期末）已知集合.
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)若“”是“”的必要非充分條件，求實數的取值范圍.
23．（2024上·遼寧葫蘆島·高一統考期末）已知集合，集合，集合，且．
(1)求實數a的值組成的集合；
(2)若，是的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．
24．（2024上·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學校考期末）已知集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．
【強化精練】
一：單選題
25．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
26．（2024上·四川雅安·高一校考期末）命題“”的否定為（ ）
A． B．
C． D．
27．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知：，：方程有實數根，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
28．（2024上·河北張家口·高一統考期末）函數在上單調遞增的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
29．（2023上·全國·高一期末）已知集合，，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
30．（2024上·上海·高一上海市行知中學校考期末）的一個充要條件是（ ）
A． B．
C．， D．，
31．（2024上·河南·高一南陽中學校聯考期末）“”是“不等式對任意的恒成立”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
32．（2024上·上海青浦·高一統考期末）已知非空集合且，設，，則對于的關系，下列問題正確的是（ ）
A． B． C． D．的關系無法確定
33．（2023上·四川達州·高一校考期中）若“，”是假命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
34．（2024上·上海·高一上海市實驗學校校考期末）已知函數，為高斯函數，表示不超過實數的最大整數，例如，.記，，則集合，的關系是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
35．（2024上·甘肅·高一統考期末）下列敘述中正確的是（ ）
A．
B．若集合是全集的兩個子集，且，則
C．命題“”的否定是“”
D．命題“”的否定是“”
36．（2024上·云南昭通·高一校考期末）設全集為R，在下列條件中，滿足的充要條件的有（ ）
A． B．
C． D．
37．（2023上·江蘇南京·高一期末）已知命題函數在上單調遞減，則下列是命題的一個必要不充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
38．（2023上·山東濟寧·高一統考期中）下列四個結論中，正確的結論是（ ）
A．“所有平行四邊形都是菱形”是全稱量詞命題
B．已知集合，均為實數集的子集，且，則
C．，有，則實數的取值范圍是
D．“”是“”的充分不必要條件
三、解答題
39．（2024上·河北張家口·高一統考期末）設不等式的解集為，
(1)求集合A；
(2)若，求實數m的取值范圍.
40．（2024上·陜西西安·高一長安一中校考期末）已知集合，，集合為函數的定義域，全集為實數集R.
(1)求，；
(2)若，求實數的取值范圍.
41．（2024上·吉林·高一統考期末）已知集合．
(1)當時，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數的取值范圍．
42．（2024上·遼寧大連·高一大連二十四中校考期末）已知，全集，集合，函數的定義域為B．
(1)當時，求；
(2)若是成立的必要條件，求a的取值范圍．
43．（2023上·江蘇南京·高一期末）已知不等式的解集為，設不等式的解集為集合.
(1)求集合；
(2)設全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數的取值范圍.
44．（2023上·浙江·高一校聯考期中）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數m的取值范圍.
45．（2023上·福建福州·高一福建省閩清縣第一中學校聯考期末）設，已知集合，.
(1)當時，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍.

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