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第02講：一元二次函數(shù) 、方程和不等式
【考點梳理】
考點一：不等式的性質(zhì)應(yīng)用 考點二：基本不等式求積的最大值
考點三：基本不等式求和的最小值 考點四：二次或者二次商式的最值問題
考點五：基本不等式“1”的妙用 考點六：條件等式求最值
考點七：基本不等式的恒成立求參數(shù)問題 考點八：含參數(shù)的一元二次不等式的解法
考點九：由一元二次不等式來確定參數(shù)的范圍 考點十：一元二次不等式在實數(shù)上恒成立問題
考點十一：一元二次不等式在某區(qū)間恒成立問題 考點十二：一元二次不等式在某區(qū)間有解立問題
考點十三：一元二次不等式恒成立和分類討論綜合問題
【知識梳理】
知識點一　等式的基本性質(zhì)
(1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝.
知識點二　不等式的性質(zhì)
性質(zhì) 別名 性質(zhì)內(nèi)容 注意
1 對稱性 a>b b2 傳遞性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 ac>bc c的符號
ac5 同向可加性 a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
知識點三．基本不等式≤
1.基本不等式成立的條件：a>0，b>0. (2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．
知識點四：．幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同號)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等號成立的條件均為a＝b.
知識點五：．利用基本不等式求最值問題
已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2.(簡記：積定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值.(簡記：和定積最大)
知識點六　一元二次不等式的概念
定義 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)
知識點七　二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系
判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1【題型歸納】
題型一：不等式的性質(zhì)應(yīng)用
1．（2024上·上海楊浦·高一校考期末）設(shè)，則下列不等式中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)逐個選項判斷即可.
【詳解】對A，，則，即，故A錯誤；
對B，，則，則，故B錯誤；
對C，，則，故C錯誤；
對D，，則，故D正確.
故選：D
2．（2023上·全國·高一期末）已知，則下列說法正確的是（　　）
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，則
【答案】D
【分析】利用特值法判斷ABC；根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷D.
【詳解】若，取，得，故A錯誤；
若，取，得，故B錯誤；
若，，取，得，，故C錯誤；
若，即，則，即，故D正確.
故選：D.
3．（2023上·浙江杭州·高一校考期中）下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】D
【分析】舉反例判斷AB；利用不等式的性質(zhì)可判斷C；做差可判斷D.
【詳解】對于A，當(dāng)時，則，故A錯誤；
對于B，若，，則，故B錯誤；
對于C，若，，則，所以，故C錯誤；
對于D，若，，則，所以，
所以，故D正確.
故選：D.
題型二：基本不等式求積的最大值
4．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知，為正實數(shù)，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式中“和定積最大”的方法即可求解.
【詳解】因為，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
故選：D
5．（2023上·西藏林芝·高一校考期中）下列命題中正確的是（ ）
A．若，且，則
B．若，則
C．若，則
D．對任意，均成立.
【答案】A
【分析】根據(jù)基本不等式對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，A選項正確.
B選項，當(dāng)時，，所以B選項錯誤.
C選項，當(dāng)時，，所以C選項錯誤.
D選項，當(dāng)時，，不成立，所以D選項錯誤.
故選：A
6．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）若，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)利用基本不等式結(jié)合一元二次不等式運算求解.
【詳解】因為，即，
且，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
可得，解得或（舍去），
所以，即的取值范圍是.
故選：C.
題型三：基本不等式求和的最小值
7．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（ ）
A．若，則的最小值為2 B．若，則的最小值為2
C．若正實數(shù)滿足，則的最小值為2 D．若，則的最小值為4
【答案】C
【分析】A：根據(jù)分類討論，利用基本不等式進行分析；B：利用配湊法結(jié)合基本不等式求解出最小值；C：利用“”的變換結(jié)合基本不等式求解出最小值；D：利用基本不等式求解最小值，注意分析取等條件.
【詳解】對于A：當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
由上可知，A錯誤；
對于B：因為，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以最小值為，故B錯誤；
對于C：因為，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以最小值為，故C正確；
對于D：當(dāng)時，，
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
顯然不成立，故等號取不到，故D錯誤；
故選：C.
8．（2024上·湖北孝感·高一校考期末）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時，
B．當(dāng)時，的最小值是2
C．當(dāng)時，的最小值是5
D．設(shè)，，且，則的最小值是
【答案】D
【分析】利用基本不等式與“1”的妙用逐一檢驗各選項即可得解.
【詳解】對于A，當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，顯然等號不成立，故A錯誤；
對于B，當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，顯然等號不成立，故B錯誤；
對于C，當(dāng)時，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最大值是，故C 錯誤；
對于D，，，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時取等號，故D正確.
故選：D．
9．（2023上·重慶·高一西南大學(xué)附中校考期中）已知，且，則的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】由題意，直接利用基本不等式求解最小值即可.
【詳解】因為，所以，，
又，所以,
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以的最小值是2.
故選：A
題型四：二次或者二次商式的最值問題
10．（2021下·江西吉安·高一永豐縣永豐中學(xué)校考期末）函數(shù)（）的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將函數(shù)化簡變形為，然后利用基本不等式求解即可
【詳解】解：因為，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以函數(shù)（）的最小值為，
故選：B
11．（2022上·遼寧大連·高一育明高中校考期末）“”是“關(guān)于的不等式（）有解”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用基本不等式求得當(dāng)時，的最小值為，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由題意知，可得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，
所以當(dāng)時，的最小值為，
當(dāng)時，可得關(guān)于的不等式有解成立，即充分性成立，
反之：關(guān)于的不等式有解時，不一定成立，即必要性不成立，
所以“”是“關(guān)于的不等式有解”的充分不必要條件.
故選：A.
12．（2022上·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為 ．
【答案】
【分析】將函數(shù)解析式變形為，利用基本不等式可求得結(jié)果.
【詳解】因為，則，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為.
故答案為：.
題型五：基本不等式“1”的妙用
13．（2023上·四川成都·高一校聯(lián)考期末）已知，且，則的最小值為 .
【答案】
【分析】利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式求解.
【詳解】解：因為，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的最小值為，
故答案為：
14．（2023上·河北保定·高一保定一中校聯(lián)考期中）已知，且，則的最小值是 .
【答案】9
【分析】變換，展開利用均值不等式計算得到答案.
【詳解】，所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，等號成立.
所以的最小值是9.
故答案為：
15．（2023上·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期中）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為 .
【答案】1
【分析】由題意可得，再根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可得解.
【詳解】因為正實數(shù)滿足，所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：.
題型六：條件等式求最值
16．（2023上·江蘇南京·高一期末）已知實數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意通過配方，結(jié)合不等式以及解一元二次不等式即可得解，注意取等條件.
【詳解】由得，，
因為，所以，即，
所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值為.
故選：A.
17．（2023上·黑龍江·高一校聯(lián)考期中）已知，，，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】將化為，結(jié)合，判斷，將化為，利用基本不等式，即可求得答案.
【詳解】由，，，得，
故，故；
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時等號成立．
即的最小值為2，
故選：A
18．（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考期中）若，且滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】結(jié)合條件等式，利用基本不等式求和的最小值.
【詳解】若，且滿足，則有，所以，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.
所以的最小值為.
故選：D
題型七：基本不等式的恒成立求參數(shù)問題
19．（2023上·安徽六安·高一校考期中）對滿足的任意正實數(shù)、，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可算出，再將最小值代入，即可求解
【詳解】不等式恒成立
，，且
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號
，即
解得
故實數(shù)的取值范圍是
故選：C
20．（2023上·四川內(nèi)江·高一威遠中學(xué)校校考期中）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】不等式恒成立，只要即可，根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換求出的最小值，再結(jié)合一元二次不等式的解法即可得解.
【詳解】由題意知，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，
又不等式恒成立，
則不等式，解得，
所以實數(shù)m的取值范圍為.
故選：A.
21．（2023上·河南信陽·高一信陽高中校考期末）若關(guān)于x的不等式對于一切實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的范圍是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】C
【分析】，其中，據(jù)此可得答案.
【詳解】關(guān)于x的不等式對于一切實數(shù)x都成立，
則，其中.
又，則由基本不等式有：
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
則.
故選：C
題型八：含參數(shù)的一元二次不等式的解法
22．（2023上·河南南陽·高一社旗縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期中）若關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得且，將化為求解即可.
【詳解】由于關(guān)于的不等式的解集是，
所以則有且，
所以等價于，
解得，即不等式的解集為．
故選：D.
23．（2023上·安徽阜陽·高一安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知不等式的解集為且，則不等式的解集為（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)不等式解集的端點與對應(yīng)方程的根的關(guān)系求出之間的關(guān)系，進而化簡不等式，從而求出它的解集．
【詳解】根據(jù)題意:，方程的兩個根分別為，且，
則，，
，可得:.
即不等式的解集為.
故選：C.
24．（2024上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式解集為，求實數(shù)的取值范圍；
(2)解關(guān)于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，令解出即可；
（2）由判別式確定a的范圍，分類再解不等式即可.
【詳解】（1）由題意，可得，
；
（2）①當(dāng)時，即時，
原不等式的解集為；
②當(dāng)時，即或時，
當(dāng)時，，
原不等式的解集為，
當(dāng)時，，
原不等式的解集為；
③時，即或時，，
解得或，
原不等式的解集為.
題型九：由一元二次不等式來確定參數(shù)的范圍
25．（2024上·云南大理·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】判別式小于等于零解出a的范圍即可.
【詳解】因為不等式的解集為，
所以判別式，解得，
故選：A.
26．（2023上·云南曲靖·高一校考期中）已知一元二次不等式的解集為，則的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集求得的關(guān)系式，根據(jù)基本不等式求得正確答案.
【詳解】由于一元二次不等式的解集為，
所以，所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
所以的最大值為.
故選：B
27．（2023上·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】含參解一元二次不等式，分類討論的范圍確定整數(shù)解即可.
【詳解】由，得，
當(dāng)時，不等式的解集為，不符合題意舍去；
當(dāng)時，不等式的解集為，此時若有3個整數(shù)解，則需；
當(dāng)時，不等式的解集為，此時若有3個整數(shù)解，則需
綜上：所以或，
故選：A．
題型十：一元二次不等式在實數(shù)上恒成立問題
28．（2023上·遼寧葫蘆島·高一校聯(lián)考期中）若關(guān)于的不等式的解集是，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】對分類討論,利用一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系即可得出.
【詳解】當(dāng)時，恒成立，則符合題意；
當(dāng)時，由題意可得，解得
綜上，的取值范圍是.
故選：B
29．（2023上·遼寧鞍山·高一期中）已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分、、三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】當(dāng)時，，則，得，即定義域為，不符合題意；
當(dāng)時，，定義域為R，符合題意；
當(dāng)時，由題意得關(guān)于x的不等式恒成立，
故，解得或.
綜上，實數(shù)a的取值范圍是.
故選：D
30．（2023上·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校校考期中）已知不等式的解集為，且不等式對于任意的恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為 （ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】由一元二次不等式的解集求出，利用不等式恒成立得出關(guān)于的不等式，求出的范圍．
【詳解】由題意得：一元二次方程的兩根分別為1，2，
由根與系數(shù)的關(guān)系，可得，，
則不等式，
即對于任意的恒成立，
等價于，或，
解得：或．
則實數(shù)的取值范圍為或．
故選：A
題型十一：一元二次不等式在某區(qū)間恒成立問題
31．（2023上·全國·高一期末）已知，，，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，再根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.
【詳解】因為，，則，所以，
又，可得，令，
則原題意等價于，，即，
，當(dāng)時，取到最大值，
所以實數(shù)m的取值范圍是．
故選：C
32．（2023上·四川涼山·高一校聯(lián)考期中）若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】對不等式變形轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，再利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求出右邊的最大值即可得到答案.
【詳解】由已知轉(zhuǎn)化得不等式對任意的恒成立，
則根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，
設(shè)，根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，
則，則，解得，
則實數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
33．（2024上·上海·高一上海市向明中學(xué)校考期末）若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意分析可得原題意等價于對任意的，不等式恒成立，結(jié)合基本不等式運算求解.
【詳解】因為，且，整理得，
所以原題意等價于對任意的，不等式恒成立，
又因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以.
故選：A.
題型十二：一元二次不等式在某區(qū)間有解立問題
34．（2023上·福建·高一福建省羅源第一中學(xué)校聯(lián)考期中）若至少存在一個，使得關(guān)于的不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化簡不等式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象、含有絕對值函數(shù)的圖象進行分析，從而求得的取值范圍.
【詳解】依題意，至少存在一個，使得關(guān)于的不等式成立，
即至少存在一個，使得關(guān)于的不等式成立，
畫出以及的圖象如下圖所示，其中.
當(dāng)與相切時，
由消去并化簡得，
.
當(dāng)與相切時，
由消去并化簡得①，
由解得，代入①得，
解得，不符合題意.
當(dāng)過時，.
結(jié)合圖象可知的取值范圍是.
故選：A
【點睛】對于含有參數(shù)的不等式問題的求解，可考慮直接研究法，也可以考慮分離參數(shù)，也可以合理轉(zhuǎn)化法.如本題中的不等式，可以將其轉(zhuǎn)化為一邊是含有絕對值的式子，另一邊是二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)以及含有絕對值的函數(shù)的圖象來對問題進行分析和求解.
35．（2023上·浙江·高一校聯(lián)考期中）若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】不等式在區(qū)間內(nèi)有解，轉(zhuǎn)化為，求出的最大值可得答案.
【詳解】因為，所以由不等式得，
不等式在區(qū)間內(nèi)有解，
只需，
因為在上單調(diào)遞增，
所以的最大值為，可得，
解得.
故選：D.
36．（2023上·福建·高一校聯(lián)考期中）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用均值不等式求出最小值，根據(jù)題意列不等式求解即可.
【詳解】
，要使得不等式有解，只需有解即可，
解得或者，
故選：D
題型十三：一元二次不等式恒成立和分類討論綜合問題
37．（2024上·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)，，求a的取值范圍；
(2)若，，，求a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分和進行討論，然后列出滿足條件的不等式求解即得；
（2）由，，，得，分和進行討論，然后設(shè)，，分別求出和的最值，結(jié)合恒成立條件即得.
【詳解】（1）（1）由，即，
當(dāng)時，得，不滿足條件.
當(dāng)時，需滿足，
解得 .
（2）（2）由，即.
因為，所以
即
當(dāng)時，，顯然成立.
當(dāng)時，設(shè)，
的對稱軸為，故，
又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以.
要使，成立，則需滿足
即，解得
綜上：滿足條件的a的取值范圍為
38．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)若對一切實數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時，若對任意的，總存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依題意對一切實數(shù)都成立，分、兩種情況討論，當(dāng)時則，即可求出參數(shù)的取值范圍；
（2）首先求出在上的值域，令，，依題意可得在上的值域為在上的值域的子集，再分、、三種情況討論，分別求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）因為對一切實數(shù)都成立，即對一切實數(shù)都成立，
當(dāng)時顯然恒成立，
當(dāng)時，則，解得，
綜上可得，實數(shù)的取值范圍.
（2）當(dāng)時，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，所以在上的值域為，
令，，
因為對任意的，總存在，使成立，
所以在上的值域為在上的值域的子集，
當(dāng)時為常數(shù)函數(shù)，顯然不符合題意；
當(dāng)時在上單調(diào)遞增，
所以在上的值域為，所以，解得；
當(dāng)時在上單調(diào)遞減，
所以在上的值域為，所以，解得；
綜上可得.
39．（2023上·河北石家莊·高一校考期中）設(shè)．
(1)若不等式對于任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)解關(guān)于x的不等式．
【答案】(1)
(2)答案見詳解
【分析】（1）討論的范圍，當(dāng)時，列出條件，解出即可；
（2）化簡不等式，根據(jù)根的大小進行分類討論，即可解出.
【詳解】（1）因為，
所以不等式可化為，
若對于任意，不等式恒成立，
當(dāng)時，不等式化為，不滿足題意，
當(dāng)時，則必有且,
解得，
所以實數(shù)a的取值范圍為.
（2）不等式化為，
即，，
因為，
所以當(dāng)，即時，解得或，
不等式的解集為或;
當(dāng)，即時，不等式恒成立，解集為；
當(dāng)，即時，解得或，
不等式的解集為或.
【強化精練】
一、單選題
40．（2024上·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】作差后，即可判斷不等式，再根據(jù)充分，必要條件的定義，即可判斷選項.
【詳解】
，
所以“”是“”的充要條件.
故選：C
41．（2023上·四川成都·高一石室中學(xué)校考期中）下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】D
【分析】舉反例可判斷選項A、B、C，由不等式的性質(zhì)可判斷選項D.
【詳解】對于選項A，當(dāng)時，若，則，與矛盾，故選項A錯誤；
對于選項B，當(dāng)時，若，則，與矛盾，故選項B錯誤；
對于選項C，當(dāng)，，滿足，，
但，這與矛盾，故選項C錯誤；
對于選項D，因為，，
所以由不等式性質(zhì)可得：，即.
因為，，由不等式性質(zhì)可得：，故選項D正確.
故選：D.
42．（2024上·河南·高一南陽中學(xué)校聯(lián)考期末）“”是“不等式對任意的恒成立”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】先根據(jù)不等式恒成立得出.比較，即可得出答案.
【詳解】當(dāng)時，對任意的恒成立；
當(dāng)時，要使不等式對任意的恒成立，
則應(yīng)有，解得.
綜上所述，的取值范圍為.
顯然“”包含的范圍包含于“”包含的范圍，
所以，“”是“不等式對任意的恒成立”的充分不必要條件.
故選：A.
43．（2023上·江西新余·高一校考期中）不等式的解集是，則的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由一元二次不等式解集求參數(shù)，代入目標不等式，應(yīng)用一元二次不等式的解法求解集.
【詳解】由題設(shè)是的兩個根，則，
所以，即，
故不等式解集為.
故選：B
44．（2024上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知實數(shù)，則的（ ）
A．最小值為1 B．最大值為1 C．最小值為 D．最大值為
【答案】D
【分析】由基本不等式得出結(jié)果.
【詳解】因為，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號；
故最大值為，
故選：D.
45．（2023上·浙江·高一臺州市黃巖中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，且，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知等式，結(jié)合基本不等式進行求解即可．
【詳解】因為，所以，
則
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．
故選：C．
46．（2024上·上海青浦·高一統(tǒng)考期末）已知.且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
①；
②的最小值為；
③的最小值為；
④的最小值為.
A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④
【答案】A
【分析】由可得，判斷①，利用基本不等式中消元、配湊、“”的代換的方法即可判斷②③④.
【詳解】由可得，
所以，①正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，②正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，③錯誤；
由可得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，④正確.
故選：A
二、多選題
47．（2024上·云南昆明·高一云南師大附中校考期末）對于實數(shù)，，，下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，
【答案】ABC
【分析】AB選項，可利用不等式性質(zhì)進行判斷；CD選項，利用作差法比較出大小.
【詳解】A選項，若，則，不等式兩邊同除以得，A正確；
B選項，若，則，故，不等式兩邊同除以得，B正確；
C選項，，
因為，，所以，故，
所以，C正確；
D選項，，
因為，所以，，，
但的正負不確定，故無法判斷的正負，
從而無法判斷與的大小關(guān)系，D錯誤.
故選：ABC.
48．（2023上·廣東深圳·高一校考期中）下列說法正確的是（ ）
A．命題“，都有”的否定是“，使得”
B．當(dāng)時，的最小值為
C．若不等式的解集為，則
D．“”是“”的充分不必要條件
【答案】BCD
【分析】A選項，全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定；B選項，變形后利用基本不等式求出最小值；C選項，根據(jù)不等式的解集得到，求出，得到答案；D選項，由，但得到答案.
【詳解】A選項，“，都有”的否定是“，使得”，A錯誤；
B選項，當(dāng)時，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故當(dāng)時，的最小值為，B正確；
C選項，由題意得為的兩個根，
，解得，則，C正確；
D選項，，但，比如滿足，但不滿足，
故“”是“”的充分不必要條件，D正確.
故選：BCD
49．（2023上·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期中）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若方程沒有根，則不等式的解集為
B．若不等式的解集是，則
C．若關(guān)于的不等式的解集為，則
D．不等式的解集為
【答案】BCD
【分析】由方程和不等式之間的關(guān)系能判斷A、B、C，由分式不等式能確定選項D.
【詳解】選項A：若方程沒有根，則，
故當(dāng)時，不等式的解集為，故不符合題意；A錯誤.
選項B：不等式的解集是，則、為方程的根，
則代入得；故B正確；
選項C：當(dāng)時，不等式變?yōu)椋瑒t解集不是R，不符合題意；
當(dāng)時，不等式得解集為R，則，即；
綜上，，故C正確；
選項D：不等式，即，解得，故D正確.
故選：BCD
50．（2023上·安徽安慶·高一安慶市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則下列正確的是（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為
C．最大值為8 D．的最大值為6
【答案】BC
【分析】根據(jù)基本不等式對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】依題意，，
A選項，，
，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以，所以A選項錯誤.
B選項，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以B選項正確.
D選項，，
整理得，，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以D選項錯誤.
C選項，，
由D選項的分析可知：，所以C選項正確.
故選：BC
【點睛】方法點睛：用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方，注意多次運用不等式，等號成立條件是否一致.
三、填空題
51．（2023上·全國·高一期末）已知，，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，設(shè)，由相等關(guān)系列方程組求出，再利用不等式的性質(zhì)求解即可.
【詳解】設(shè)，
則，
所以，解得，
于是.
又，，
所以，即.
故答案為：.
52．（2024上·上海·高一上海市向明中學(xué)校考期末）若關(guān)于的不等式對一切實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍是
【答案】
【分析】分和兩種情況，結(jié)合二次不等式的恒成立問題分析求解.
【詳解】因為關(guān)于的不等式對一切實數(shù)都成立，
若，則，符合題意；
若，則，解得；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
53．（2023上·上海奉賢·高一統(tǒng)考期末）已知，.方程的解集為，其中，則不等式的解集為 .
【答案】
【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求得關(guān)于的表達式，進而求得不等式的解集.
【詳解】方程的解集為，其中，
所以，
則不等式可化為：，
即，由于，所以，
所以不等式的解集為.
故答案為：
54．（2024上·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末）已知正實數(shù)滿足，則的最小值是 .
【答案】/
【分析】利用基本不等式即可得解.
【詳解】因為，，
所以，
，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以.
故答案為：.
55．（2023上·重慶永川·高一重慶市永川中學(xué)校校考期末）已知，且，則的最小值是 .
【答案】2
【分析】將條件等式因式分解可得，然后將待求式子通分并結(jié)合基本不等式可求解出最小值.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以最小值為，
故答案為：.
四、解答題
56．（2023上·全國·高一期末）（1）已知，求的最小值；
（2）若均為正實數(shù)，且滿足，求的最小值.
【答案】（1）8；（2）
【分析】（1）先將函數(shù)解析式變形，再利用基本不等式求出最值；
（2）結(jié)合1的妙用，利用基本不等式求出最值.
【詳解】（1） 因為，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以的最小值為8.
（2） 因為均為正實數(shù)，，
所以，，，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以的最小值為.
57．（2023上·云南曲靖·高一宣威市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知不等式的解集為.
(1)求實數(shù)，的值；
(2)若，，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由解集可得一元二次方程的兩個實根，由韋達定理可求得實數(shù)的值；
（2）根據(jù)均值不等式進行求解即可.
【詳解】（1）因為的解集為，
所以和為方程的兩個實根，二次項系數(shù)a不為0，
根據(jù)韋達定理，則有，解得.
當(dāng)時，的解集為，符合題意.
綜上，.
（2）由（1）可知，，
因為，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為.
58．（2023上·山東臨沂·高一校考期末）已知關(guān)于x的不等式的解集為M.
(1)若，求k的取值范圍；
(2)若存在兩個不相等負實數(shù)a，b，使得或，求實數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）分類討論，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得；
（2）由一元二次不等式的解集結(jié)合一元二次方程根的分布可得.
【詳解】（1）當(dāng)時，或.
當(dāng)時，恒成立；
當(dāng)時，，解得，不恒成立，舍去.
當(dāng)時，
解得或.
綜上可知，k的取值范圍為或.
（2）由可得或.
因為不等式解集的兩個端點就是對應(yīng)方程的實數(shù)根，
所以關(guān)于x的方程有兩個不相等的負根，
設(shè)為，，則，
解得，
綜上可知，k的取值范圍為.
59．（2023下·河北石家莊·高一石家莊二十三中校考開學(xué)考試）已知函數(shù)（a，b，）有最小值，且的解集為．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)韋達定理列出方程組解出即可；
（2）分離參數(shù)得，，利用基本不等式求出右邊最值即可.
【詳解】（1）令，則為方程的兩根，則，
則由題有，解得，
.
（2）由（1）得對，，
即，，，
，
令，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
故，則.第02講：一元二次函數(shù) 、方程和不等式
【考點梳理】
考點一：不等式的性質(zhì)應(yīng)用 考點二：基本不等式求積的最大值
考點三：基本不等式求和的最小值 考點四：二次或者二次商式的最值問題
考點五：基本不等式“1”的妙用 考點六：條件等式求最值
考點七：基本不等式的恒成立求參數(shù)問題 考點八：含參數(shù)的一元二次不等式的解法
考點九：由一元二次不等式來確定參數(shù)的范圍 考點十：一元二次不等式在實數(shù)上恒成立問題
考點十一：一元二次不等式在某區(qū)間恒成立問題 考點十二：一元二次不等式在某區(qū)間有解立問題
考點十三：一元二次不等式恒成立和分類討論綜合問題
【知識梳理】
知識點一　等式的基本性質(zhì)
(1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝.
知識點二　不等式的性質(zhì)
性質(zhì) 別名 性質(zhì)內(nèi)容 注意
1 對稱性 a>b b2 傳遞性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 ac>bc c的符號
ac5 同向可加性 a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
知識點三．基本不等式≤
1.基本不等式成立的條件：a>0，b>0. (2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．
知識點四：．幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同號)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等號成立的條件均為a＝b.
知識點五：．利用基本不等式求最值問題
已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2.(簡記：積定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值.(簡記：和定積最大)
知識點六　一元二次不等式的概念
定義 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)
知識點七　二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系
判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1【題型歸納】
題型一：不等式的性質(zhì)應(yīng)用
1．（2024上·上海楊浦·高一校考期末）設(shè)，則下列不等式中正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·全國·高一期末）已知，則下列說法正確的是（　　）
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，則
3．（2023上·浙江杭州·高一校考期中）下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
題型二：基本不等式求積的最大值
4．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知，為正實數(shù)，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·西藏林芝·高一校考期中）下列命題中正確的是（ ）
A．若，且，則
B．若，則
C．若，則
D．對任意，均成立.
6．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）若，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型三：基本不等式求和的最小值
7．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（ ）
A．若，則的最小值為2 B．若，則的最小值為2
C．若正實數(shù)滿足，則的最小值為2 D．若，則的最小值為4
8．（2024上·湖北孝感·高一校考期末）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時，
B．當(dāng)時，的最小值是2
C．當(dāng)時，的最小值是5
D．設(shè)，，且，則的最小值是
9．（2023上·重慶·高一西南大學(xué)附中校考期中）已知，且，則的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
題型四：二次或者二次商式的最值問題
10．（2021下·江西吉安·高一永豐縣永豐中學(xué)校考期末）函數(shù)（）的最小值為（ ）
A． B． C． D．
11．（2022上·遼寧大連·高一育明高中校考期末）“”是“關(guān)于的不等式（）有解”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
12．（2022上·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為 ．
題型五：基本不等式“1”的妙用
13．（2023上·四川成都·高一校聯(lián)考期末）已知，且，則的最小值為 .
14．（2023上·河北保定·高一保定一中校聯(lián)考期中）已知，且，則的最小值是 .
15．（2023上·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期中）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為 .
題型六：條件等式求最值
16．（2023上·江蘇南京·高一期末）已知實數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
17．（2023上·黑龍江·高一校聯(lián)考期中）已知，，，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C． D．4
18．（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考期中）若，且滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
題型七：基本不等式的恒成立求參數(shù)問題
19．（2023上·安徽六安·高一校考期中）對滿足的任意正實數(shù)、，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023上·四川內(nèi)江·高一威遠中學(xué)校校考期中）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．或
C． D．或
21．（2023上·河南信陽·高一信陽高中校考期末）若關(guān)于x的不等式對于一切實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的范圍是（ ）
A．； B．； C．； D．．
題型八：含參數(shù)的一元二次不等式的解法
22．（2023上·河南南陽·高一社旗縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期中）若關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
23．（2023上·安徽阜陽·高一安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知不等式的解集為且，則不等式的解集為（ ）
A． B．或
C． D．或
24．（2024上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式解集為，求實數(shù)的取值范圍；
(2)解關(guān)于的不等式.
題型九：由一元二次不等式來確定參數(shù)的范圍
25．（2024上·云南大理·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
26．（2023上·云南曲靖·高一校考期中）已知一元二次不等式的解集為，則的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．4
27．（2023上·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
題型十：一元二次不等式在實數(shù)上恒成立問題
28．（2023上·遼寧葫蘆島·高一校聯(lián)考期中）若關(guān)于的不等式的解集是，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
29．（2023上·遼寧鞍山·高一期中）已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
30．（2023上·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校校考期中）已知不等式的解集為，且不等式對于任意的恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為 （ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
題型十一：一元二次不等式在某區(qū)間恒成立問題
31．（2023上·全國·高一期末）已知，，，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
32．（2023上·四川涼山·高一校聯(lián)考期中）若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
33．（2024上·上海·高一上海市向明中學(xué)校考期末）若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
題型十二：一元二次不等式在某區(qū)間有解立問題
34．（2023上·福建·高一福建省羅源第一中學(xué)校聯(lián)考期中）若至少存在一個，使得關(guān)于的不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
35．（2023上·浙江·高一校聯(lián)考期中）若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
36．（2023上·福建·高一校聯(lián)考期中）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
題型十三：一元二次不等式恒成立和分類討論綜合問題
37．（2024上·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)，，求a的取值范圍；
(2)若，，，求a的取值范圍.
38．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)若對一切實數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時，若對任意的，總存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.
39．（2023上·河北石家莊·高一校考期中）設(shè)．
(1)若不等式對于任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)解關(guān)于x的不等式．
【強化精練】
一、單選題
40．（2024上·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
41．（2023上·四川成都·高一石室中學(xué)校考期中）下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，，則
42．（2024上·河南·高一南陽中學(xué)校聯(lián)考期末）“”是“不等式對任意的恒成立”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
43．（2023上·江西新余·高一校考期中）不等式的解集是，則的解集是（ ）
A． B． C． D．
44．（2024上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知實數(shù)，則的（ ）
A．最小值為1 B．最大值為1 C．最小值為 D．最大值為
45．（2023上·浙江·高一臺州市黃巖中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，且，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．9 D．
46．（2024上·上海青浦·高一統(tǒng)考期末）已知.且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
①；
②的最小值為；
③的最小值為；
④的最小值為.
A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④
二、多選題
47．（2024上·云南昆明·高一云南師大附中校考期末）對于實數(shù)，，，下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，
48．（2023上·廣東深圳·高一校考期中）下列說法正確的是（ ）
A．命題“，都有”的否定是“，使得”
B．當(dāng)時，的最小值為
C．若不等式的解集為，則
D．“”是“”的充分不必要條件
49．（2023上·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期中）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若方程沒有根，則不等式的解集為
B．若不等式的解集是，則
C．若關(guān)于的不等式的解集為，則
D．不等式的解集為
50．（2023上·安徽安慶·高一安慶市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則下列正確的是（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為
C．最大值為8 D．的最大值為6
三、填空題
51．（2023上·全國·高一期末）已知，，則的取值范圍是 .
52．（2024上·上海·高一上海市向明中學(xué)校考期末）若關(guān)于的不等式對一切實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍是
53．（2023上·上海奉賢·高一統(tǒng)考期末）已知，.方程的解集為，其中，則不等式的解集為 .
54．（2024上·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末）已知正實數(shù)滿足，則的最小值是 .
55．（2023上·重慶永川·高一重慶市永川中學(xué)校校考期末）已知，且，則的最小值是 .
四、解答題
56．（2023上·全國·高一期末）（1）已知，求的最小值；
（2）若均為正實數(shù)，且滿足，求的最小值.
57．（2023上·云南曲靖·高一宣威市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知不等式的解集為.
(1)求實數(shù)，的值；
(2)若，，且，求的最小值.
58．（2023上·山東臨沂·高一校考期末）已知關(guān)于x的不等式的解集為M.
(1)若，求k的取值范圍；
(2)若存在兩個不相等負實數(shù)a，b，使得或，求實數(shù)k的取值范圍.
59．（2023下·河北石家莊·高一石家莊二十三中校考開學(xué)考試）已知函數(shù)（a，b，）有最小值，且的解集為．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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