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第05講：:函數的零點和函數的模型
【考點梳理】
考點一：函數零點存在定理 考點二：用二分法求函數f(x)零點近似值
考點三：函數的零點所在區間求參數問題 考點四：零點的個數或根個數求參數范圍
考點五：零點的分布問題 考點六：函數模型的應用
考點七：函數和方程的綜合問題
【知識梳理】
1．函數的零點
(1)函數零點的定義
對于函數y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)(x∈D)的零點．
(2)幾個等價關系
方程f(x)＝0有實數根 函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點 函數y＝f(x)有零點．
(3)函數零點的判定(零點存在性定理)
如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個__c__也就是方程f(x)＝0的根．
2．二分法
對于在區間[a，b]上連續不斷且f(a)·f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．
3．二次函數y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象與零點的關系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象
與x軸的交點 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 無交點
零點個數 2 1 0
【題型歸納】
題型一：函數零點存在定理
1．（2024上·云南楚雄·高一統考期末）函數的零點所在區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據函數的單調性以及零點存在性定理求得正確答案.
【詳解】在上單調遞增.
當時，，所以，則在上無零點.
因為，
所以根據零點存在定理可知，在上有零點.
故選：C
2．（2024上·河北張家口·高一統考期末）已知，則的零點所處的區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函數的單調性與零點存在性定理可得.
【詳解】，且是上的減函數.
由，，
根據區間上零點存在性定理，有且只有一個零點，且在區間上.
故選：B.
3．（2023上·天津西青·高一天津市西青區楊柳青第一中學校考期末）函數的零點所在的大致區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先判斷函數的單調性，利用零點存在定理判斷即可.
【詳解】因為函數與在上單調遞增，
所以函數在上單調遞增，
又，，由，
所以在上存在唯一零點.
故選：C.
題型二：用二分法求函數f(x)零點近似值
4．（2023上·江蘇蘇州·高一張家港市沙洲中學校考期末）若函數的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，其參考數據如下：
那么方程的一個近似根精確度為可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用零點存在性定理及二分法，結合表格計算即可.
【詳解】因為，，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度為
因為，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度為
因為，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度為
因為，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度為
因為，所以，所以函數在內有零點，因為，滿足精確度為，
所以方程的一個近似根精確度為可以是區間內任意一個值包括端點值.
故選：C.
5．（2023上·江蘇淮安·高一統考期末）已知函數在內有一個零點，且求得的部分函數值數據如下表所示：
0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875
-1 1 -0.375 0.1718 -0.1308 -0.2595 0.01245 -0.06113 -0.02483
要使零點的近似值精確到0.1，則對區間的最少等分次數和近似解分別為（ ）
A．6次0.7 B．6次0.6
C．5次0.7 D．5次0.6
【答案】C
【分析】根據題意，結合二分法代入計算，即可得到結果.
【詳解】由題意可知，對區間內，需要求解
的值，然后達到零點的近似值精確到，所以零點的近似解為，
共計算次.
故選：C
6．（2023上·上海浦東新·高一上海市實驗學校校考期末）在用二分法求函數零點的近似值時，若某一步將零點所在區間確定為，則下一步應當確定零點位于區間（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用二分法及零點存在定理判斷函數零點所在區間
【詳解】設，
由二分法知當零點在時，取區間的中點1.6625，計算得
由知，下一步應當確定零點位于區間，
故選：A
題型三：函數的零點所在區間求參數問題
7．（2023下·河南信陽·高一統考期末）函數在區間上存在零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函數的單調性，根據零點存在性定理可得.
【詳解】若函數在區間上存在零點，
由函數在的圖象連續不斷，且為增函數，
則根據零點存在定理可知，只需滿足，
即，
解得，
所以實數的取值范圍是.
故選：D.
8．（2023上·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學校考期末）函數的一個零點在區間內，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判斷出在上是增函數，利用零點存在定理列不等式可求a的范圍.
【詳解】和在上是增函數，
在上是增函數，
只需即可，即，解得．
故選：B.
9．（2021上·廣東廣州·高一統考期末）設函數，若函數在上存在零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由在上單調遞增，結合零點存在性定理，函數在上存在零點，需，求解即可.
【詳解】函數在上遞增，
則函數在上存在零點，
需，
解得.
故選：B.
題型四：零點的個數或根個數求參數范圍
10．（2024上·北京海淀·高一統考期末）已知函數，若存在非零實數，使得成立，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用賦值和排除法可得結果
【詳解】取，則，
若 ，則，由，得，
解得，符合條件，排除選項A、C,
取，則，
若時，，由，得，
解得，或，都不符合條件，
若，即，由，
得，即，不符合條件，
若，即，由，
得，解得，或，都不符合條件，
綜上，，排除B，選D
故選：D.
11．（2023上·全國·高一期末）已知函數，若方程僅有兩個不同的根，則的取值范圍為 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】探討給定函數的性質，并畫出函數的圖象，借助圖象求出的取值范圍，再利用二次函數性質求出值域得解.
【詳解】函數，當時，單調遞增，函數值集合為，
當時，單調遞減，函數值集合為，
當時，在上單調遞減，函數值集合為，在上單調遞增，函數值集合為，
方程的根，即為直線與函數圖象交點的橫坐標，
在同一坐標系內作出直線與函數的圖象，
觀察圖象知，當時，直線與函數的圖象有且只有兩個交點，
即當時，方程僅有兩個不同的根，
函數在上單調遞增，，
所以的取值范圍為.
故選：A
【點睛】思路點睛：涉及給定函數零點個數求參數范圍問題，可以通過分離參數，等價轉化為直線與函數圖象交點個數，數形結合推理作答.
12．（2024上·湖南郴州·高一安仁縣第一中學校聯考期末）若函數有4個零點，則正數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據一次函數與對數函數的圖象，得到時，函數只有一個零點，結合題意，得到時，方程有三個零點，利用三角函數的性質，得出不等式，即可求解.
【詳解】當時，令，即，即，
因為函數與的圖象僅有一個公共點，如圖所示，

所以時，函數只有一個零點，
又由函數有4個零點，
所以時，方程有三個零點，如圖所示，

因為，可得，則滿足，
解得，即實數的取值范圍為.
故選：B.
題型五：零點的分布問題
13．（2023上·北京石景山·高一校考期中）若關于的一元二次方程有兩個實根，且一個實根小于1，另一個實根大于2，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據一元二次方程根的分布，結合已知作出對應二次函數圖象，列出不等式，求解即可得出答案.
【詳解】設，
根據已知結合二次函數性質，作圖

則有，
解得.
故選：C.
14．（2023上·湖北黃岡·高一統考期末）已知函數若關于的方程有個不同的實數根，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，作出函數的圖象，分析可知關于的方程在內有兩個不等的實根，令，利用二次函數的零點分布可得出關于的不等式組，解之即可.
【詳解】令，作出函數的圖象如下圖所示：
因為關于的方程有個不同的實數根，
則關于的方程在內有兩個不等的實根，
設，則函數在內有兩個不等的零點，
所以，，解得.
故選：A.
15．（2023上·江蘇南京·高一統考期末）函數的零點為，函數的零點為，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據函數單調性,再由確定范圍,即可確定實數的取值范圍.
【詳解】已知,,
函數的零點為，
函數的零點為，
則
又因為,這兩函數均單調遞增，
當時，,解得.
故選:D.
題型六：函數模型的應用
16．（2024上·重慶九龍坡·高一統考期末）放射性核素鍶89會按某個衰減率衰減，設初始質量為，質量與時間（單位：天）的函數關系式為（其中為常數），若鍶89的半衰期（質量衰減一半所用時間）約為50天，那么質量為的鍶89經過30天衰減后質量約變為（ ）（參考數據：）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據時，代入函數關系式中，可得的值，進而代入求解即可.
【詳解】由題意，鍶89半衰期（質量衰減一半所用的時間）所用時間為50天，
即，則，
所以質量為的鍶89經過30天衰減后，
質量大約為．
故選：D．
17．（2024上·云南昆明·高一云南師大附中校考期末）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為，為了保障安全，根據國家規定，駕駛人員每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克為飲酒后駕車；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克為醉酒駕車.某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止飲酒后，他的血液中的酒精會以每小時的速度減少，那么他想要駕車至少要經過（參考數據：，）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據題意表示出經過小時后，該駕駛員體內的酒精含量；再列出不等式求解即可.
【詳解】經過小時后，該駕駛員體內的酒精含量為：.
只需，即，.
因為函數在R上為減函數，
所以，
故他至少要經過5個小時后才能駕車.
故選：C.
18．（2024上·甘肅定西·高一統考期末）2023年2月27日，學堂梁子遺址入圍2022年度全國十大考古新發現終評項目.該遺址先后發現石制品300多件，已知石制品化石樣本中碳14質量隨時間（單位：年）的衰變規律滿足（表示碳14原有的質量）.經過測定，學堂梁子遺址中某件石制品化石樣本中的碳14質量約是原來的倍，據此推測該石制品生產的時間距今約（ ）（參考數據：）
A．8370年 B．8330年 C．3850年 D．3820年
【答案】D
【分析】根據碳14質量隨時間的衰變公式代入條件，對指數式兩邊取對數，代入近似值即得.
【詳解】依題意得：，等式兩邊取以為底的對數并整理得：，解得：，
代入即得：.
故選：D.
題型七：函數和方程的綜合問題
19．（2024上·云南迪慶·高一統考期末）綠水青山就是金山銀山，“兩山”的轉換不僅發生在青山綠水之間，在生產生活中更應該注重對環境的保護．為了減少工廠廢氣排放的影響，工廠可以采用一些技術來減少廢氣排放，也可以改變生產工藝來減少廢氣排放，某工廠產生的廢氣經過濾，后排放、過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時間t（單位．h）間的關系為，其中，k是正的常數．如果在前5h消除了的污染物，那么
(1)10h后還剩百分之幾的污染物？
(2)污染物減少需要花多少時間（精確到）？
(3)畫出P關于t變化的函數圖象．
【答案】(1)
(2)33h
(3)圖象見解析
【分析】（1）根據條件可計算，從而可得的值，進而得出答案；
（2）令，根據指數運算性質求出的值；
（3）根據題意結合指數函數單調性作出大致圖象．
【詳解】（1）當時，，
當時，，即，可得，
當時，，
即10h后，還剩的污染物.
（2）設污染物減少需要花t h，則有，兩邊取以為底的對數，得，
可得，
即污染物減少大約需要花33h.
（3）由（1）可得：，
圖象大致如圖所示.
20．（2024上·上海寶山·高一上海交大附中校考期末）已知（），函數在區間上有最大值4和最小值1.
(1)求的值；
(2)若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；
(3)若方程有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據二次函數的單調性及取值情況列方程求解即可得的值；
（2）將不等式，轉化為在上恒成立，利用函數取值即可求得實數k的取值范圍；
（3）原方程化為，令，得到方程，通過二次方程實根分布，可得的不等式組，即可求得的范圍．
【詳解】（1）函數，
因為，對稱軸為，所以在區間上是增函數，
所以，即，解得.
故.
（2）由（1）得，
則不等式為在上恒成立，
即在上恒成立，
又時，，則，
所以，則.
故實數k的取值范圍.
（3）方程，代入，
得，，
化簡整理得，
令，則，
則方程有兩個不相等的實數根等價于關于的一元二次方程有兩個大于且不相等的實數根，
所以，即或，
解得或.
所以的取值范圍是．
21．（2024上·吉林長春·高一東北師大附中校考期末）已知．
(1)當時，解不等式；
(2)若關于x的方程在區間內恰有一個實數解，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用對數函數的性質直接解不等式即可；
（2）先轉化方程為，利用二次函數的零點分布計算即可.
【詳解】（1）當時，，
∵在上單調遞增，∴，
解之得，∴不等式的解集為．
（2）關于的方程在區間恰有一個實數解，
化簡方程得，
即方程在區間恰有一個實數解，
即方程在區間恰有一個實數解，且，
即方程區間恰有一個實數解，且，
故有，解得．
【強化精練】
一、單選題
22．（2024上·遼寧朝陽·高一建平縣第二高級中學校考期末）函數的零點所在區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函數的單調性，結合零點存在性定理判斷選項即可.
【詳解】因為在上為增函數，且，
，因為，所以，
所以的零點所在區間為.
故選：C.
23．（2024上·重慶·高一校聯考期末）函數的交點所在的一個區間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】構造函數，再根據零點的存在性定理即可得解.
【詳解】構造函數，
因為函數都是增函數，
所以函數是增函數，
又，
所以函數的零點在內，
即函數的交點所在的一個區間是.
故選：B．
24．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高一統考期末）函數的零點的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】時，可以直接求出零點，時，通過圖象即可得出零點個數，進而得出結果.
【詳解】當時，
令，解得或（舍），
所以時，有一個零點；
當時，令，得，
作和圖象如下，
所以時，有兩個零點.
綜上，共有3個零點.
故選：C
25．（2024上·上海·高一上海市進才中學校考期末）中國5G技術領先世界，其數學原理之一便是著名的香農公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內信號的平均功率S、信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香農公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（ ）．
A．20% B．23% C．28% D．50%
【答案】B
【分析】由已知公式，將信噪比看作整體，分別取求出相應的值，再利用對數運算性質與換底公式變形求解增加率即可.
【詳解】由題意，將信噪比從1000提升至5000，
則最大信息傳遞速率從增加至，
所以.
故選：B.
26．（2023上·湖南長沙·高一校聯考期末）若函數有個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析可知，函數在上有一個零點，在上有兩個零點，求出這三個零點，根據題意可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍.
【詳解】當時，函數單調遞增，則函數在上至多一個零點，
當時，函數至多兩個零點，
因為函數有三個零點，則函數在上有一個零點，在上有兩個零點，
當時，令，可得，必有，解得，
所以，，解得；
當時，由，可得或，
所以，，解得.
綜上所述，實數的取值范圍為.
故選：C.
27．（2024上·北京昌平·高一統考期末）已知函數，則函數的零點個數為（ ）
A．2 B．1或2 C．3 D．1或3
【答案】A
【分析】分段分析函數的取值集合，再分段確定的零點個數即可.
【詳解】當時，函數在上單調遞增，，顯然，
而，即恒有，函數在上無零點；
當時，，函數取值集合為，
由，，得，解得或，在上有2個零點，
所以函數的零點個數為2.
故選：A
28．（2024上·上海嘉定·高一統考期末）已知函數，若關于的的方程有且僅有兩個不同的整數解，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據絕對值的應用尋找方程成立的條件，再利用數形結合求解參數即可.
【詳解】若關于的的方程有且僅有兩個不同的整數解，
則必有且同時成立，即圖象夾在和之間，
易知，函數的圖象大致如圖，
結合圖形可知的整數解只有兩個，則其中一個為，另一個為，
所以，且，
解得，
故選：B
29．（2023上·福建三明·高一校聯考期中）已知，定義：，設.若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用分段函數表示出函數，利用函數零點的意義變形，構造函數并畫出函數圖象，數形結合求出的范圍.
【詳解】令函數，顯然函數在上單調遞增，
而，則當時，，當時，，
于是函數，則，
令函數，由，得，
因此函數的零點，即函數的圖象與直線交點的橫坐標，
當，恒有，在同一坐標系內作出直線與函數的圖象，如圖，

觀察圖象知，當，即時，直線與函數的圖象只有一個交點，
如圖，直線過點，它與的圖象交于兩點，當時，，

當，即時，直線與函數的圖象只有一個交點，
當，即時，直線與函數的圖象有兩個交點，
所以函數有兩個零點，實數的取值范圍是.
故選：A
二、多選題
30．（2024上·遼寧鐵嶺·高一校考期末）某同學求函數的零點時,用計算器算得部分函數值如表所示:
則方程的近似解(精確度)可取為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】結合函數的性質及零點存在定理,利用二分法求解即可得到答案.
【詳解】由函數在上單調遞增，
要使得精確度為，結合表格可知：
，，
此時，
所以方程的近似解在區間內.
故選：AB.
31．（2023上·河南安陽·高一安陽一中校考期中）已知是定義在上的偶函數，且對任意，有，當時，，則下列結論錯誤的是（ ）
A．
B．
C．函數有3個零點
D．當時，
【答案】AB
【分析】根據函數對稱性和奇偶性，可得的周期，即可判斷A的正誤，根據解析式及周期，代入數據，可判斷B的正誤；分別作出和的圖像，即可判斷C的正誤；根據函數周期及奇偶性，化簡整理，可判斷D的正誤，即可得答案.
【詳解】因為當時，，則，
因為， 所以，
則，所以不成立，故A錯誤；
又函數為偶函數，
所以
，
故的周期為4，由函數的周期為4，則，，
所以，故選項B錯誤；
令可得，
作出函數和的圖像如下圖所示，
由圖可知，兩個函數圖像有3個交點，故選項C正確；
當時，，則，
故選項D正確，
故選：AB.
32．（2023上·廣東廣州·高一廣州市南武中學校考期末）已知函數，函數有四個不同的零點，且，則（ ）
A．的取值范圍是 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用分段函數性質畫出函數的圖象，再結合函數與方程的思想可知函數與函數的圖象有四個不同的交點，可得，即A錯誤；利用可得BC正確，再由基本不等式可得D正確.
【詳解】畫出函數的圖象如下圖（實線部分）所示：
函數有四個不同的零點，即函數與函數的圖象有四個不同的交點，
結合圖象可知，可得A錯誤；
又，根據圖象可知，
即滿足，因此，即，
所以，可得，即B正確；
由圖易知是關于對稱，所以，即C正確；
結合BC選項可知，
當且僅當，即時等號成立，但，故等號不成立，即D正確.
故選：BCD
【點睛】方法點睛：函數零點問題要充分利用函數與方程的基本思想，并充分利用數形結合畫出函數圖象，利用圖象即可求得參數范圍以及零點問題.
33．（2023上·四川綿陽·高一綿陽中學校考期末）已知函數函數，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則有3個零點 D．若，則有5個零點
【答案】ACD
【分析】對A：直接計算即可；對B：先求得或，再求值；對CD：先由求得，，再依次求的解.
【詳解】對A：，，故A正確；
圖1
對B：若，則或，
當時，或，
當時，由圖1可知或，故B錯誤；
對C：若，由圖1可知則或，
當時，由知只有一解，
當時，由圖可知有兩解，
故有3個零點，故C正確；
對D：若，，由圖2知或或，
當時，只有一根，
當時，只有兩根，
當時，只有兩根，
所以共有5根，故D正確.
圖2
故選：ACD
【點睛】方法點睛：求解個數方法：先得，再進一步由分別求出的個數，所有x的個數總和為方程解個數.
三、填空題
34．（2024上·內蒙古呼和浩特·高一統考期末）已知圖象連續不斷的函數 在區間 上有唯一零點，如果用二分法求這個零點（精確度為 ）的近似值，那么將區間等分的次數至少是 .
【答案】
【分析】根據計算精確度與區間長度和計算次數的關系滿足（精確度）確定即可.
【詳解】設需要計算次，則滿足，
即，由于，，
所以將區間等分的次數至少是次.
故答案為：.
35．（2024上·上海·高一校考期末）已知函數兩個零點，一個大于2另一個小于2，則實數a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由題意可得關于的不等式組，求解得答案.
【詳解】由函數兩個零點，一個大于2另一個小于2，
所以 有兩個不同的根，且一個根大于2另一個根小于2，
所以，
因為，
當時，只需，即，解得，
當時，只需，即，無解，
綜上所述實數a的取值范圍為.
故答案為：.
36．（2023上·福建泉州·高一校考期中）已知函數是定義域為的奇函數，當時，.則函數在上的解析式為 ；若與有3個交點，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用函數的奇偶性求出函數的解析式即可，與圖象交點有3個，畫出圖象并進行觀察，求得實數的取值范圍．
【詳解】（1）①由于函數是定義域為的奇函數，則；
②當時，，因為是奇函數，所以.
所以.
綜上：.
（2）圖象如下圖所示：
由圖象可知，要使方程與有三個交點，
只需，即.
故答案為： ；.
37．（2023上·吉林白山·高一統考期末）設，，若在上是增函數且在R上至少有3個零點，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據給定單調區間及單調性，可得，再探討函數的最小值，并由所在范圍求出的根即可推理得解.
【詳解】由在上是增函數，得，解得，
顯然，，且當時，，
令，由，得，解得或，而，
由于在R上至少有3個零點，只需，又，解得；
當時，，符合題意，因此．
所以a的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】方法點睛：對于分段函數的單調性，有兩種基本的判斷方法：一保證各段上同增(減)時，要注意上、下段間端點值間的大小關系；二是畫出這個分段函數的圖象，結合函數圖象、性質進行直觀的判斷．
四、解答題
38．（2024上·上海·高一上海中學校考期末）某地中學生社會實踐小組為研究學校附近某路段交通擁堵情況，經實地調查、數學建模，得該路段上平均行車速度v（單位：）與該路段上的行車數量n（單位：輛）的關系為：，其中常數．該路段上每日t時的行車數量．已知某日17時測得的平均行車速度為．
(1)求實數k的值；
(2)定義，求一天內q的最大值（結果四舍五入到整數）．
【答案】(1)
(2)522．
【分析】（1）根據題意把17時測得的平均行車速度為代入函數解析式即可求出；
（2）根據分段函數求最值的方法，分別利用函數單調性求每段的最值，即可得出函數的最大值．
【詳解】（1）由17時測得的平均行車速度為，
則，故
代入，可得，
解得．
（2）①當時，為增函數，
所以；
②當時，，
由函數在上遞減，在,上遞增，
且，當時，，當時，，
故．
綜上可知，一天內車流量的最大值為522.
39．（2024上·重慶·高一校聯考期末）已知函數.
(1)當時，求函數的零點；
(2)當時，求不等式的解集.
【答案】(1)或
(2)答案見解析
【分析】（1）直接解二次方程即可得解；
（2）分類討論的取值范圍，解二次不等式即可得解.
【詳解】（1）當時，，
令，得，解得或，
故的零點為或.
（2）因為，
當時，不等式可化為，解得；
當時，不等式可化為，
又，故解得或；
綜上，當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為.
40．（2023上·四川內江·高一四川省隆昌市第一中學校考期末）國內某大型機械加工企業在過去的一個月內（共計30天，包括第30天），其主營產品在第天的指導價為每件（元），且滿足（），第天的日交易量（萬件）的部分數據如下表：
第天 1 2 5 10
（萬件） 14 12 10.8 10.38
(1)給出以下兩種函數模型：①，②，其中，為常數.請你根據上表中的數據，從①②中選擇你認為最合適的一種函數模型來擬合該產品日交易量（萬件）的函數關系；并且從四組數據中選擇你認為最簡潔合理的兩組數據進行合理的推理和運算，求出的函數關系式；
(2)若該企業在未來一個月（共計30天，包括第30天）的生產經營水平維持上個月的水平基本不變，由（1）預測并求出該企業在未來一個月內第天的日交易額的函數關系式，并確定取得最小值時對應的.
【答案】(1)選擇模型②，
(2)當時函數取得最小值萬元
【分析】（1）分別代入點，求出模型對應解析式，再結合點，判斷擬合效果即可；
（2）先根據題意得到，分別利用基本不等式和函數的單調性求最值即可.
【詳解】（1）若選擇函數模型①，代入點，得，
得，無解，故函數模型①不符合題意；
若選擇函數模型②，代入點，得，
解得，此時，
，，
故點在函數上，點近似在函數上，
故擬合效果較好，符合題意，
故函數模型②最為適合，，，
（2）由題意可知（單位：萬元），
當時，，
當且僅當，即時，等號成立，
當時，，
可判斷此時函數單調遞減，故當時取得最小值，
綜上可知，當時函數取得最小值萬元
41．（2024上·上海·高一上海南匯中學校考期末）已知函數的表達式為．
(1)求函數的零點；
(2)解不等式：；
(3)若關于x的方程只有一個實根，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用單調函數至多一個零點這個知識點即可得出答案；
（2）利用對數運算法則計算即可；
（3）利用二次函數根與系數的關系以及判別式即可解題.
【詳解】（1）設……①
……②
①代入②有：；
在定義域內單增至多一個零點；且注意到，
綜上可知有唯一零點.
（2）……①
①式兩邊開方有：……②
又……③
②③取交集為：，
即不等式的解為；
（3）若關于x的方程只有一個實根；
即……④
……⑤
作變量代換令……⑥
將⑥式代入⑤式有：……⑦；
當時⑦式為一次函數，解得不在定義域內，故不滿足題意，
當時，
當時方程有唯一解，或；
當時，代入⑦式，解得，不在定義域內，故舍去；
當時，代入⑦式，解得，在定義域內，故滿足題意.
當時，方程⑦有兩個解，但只需要保證有一個根在定義域，而另一個根不在定義域，則此時的即可滿足題意；
設方程⑦有兩個根；
由分析可知：……⑧
由韋達定理可知：……⑨
聯立⑧⑨可得：.
綜上可得的取值范圍為：.
42．（2023上·廣東廣州·高一廣州市南武中學校考期末）已知函數，且.
(1)當時，在上恒成立，求實數的取值范圍；
(2)若，且在區間內恰有一個零點，求實數的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）由奇偶性、單調性定義判斷為奇函數且單調遞增，再由奇函數、單調性及恒成立有恒成立，進而求參數范圍；
（2）由題設得，令，則，應用指數冪運算性質有，進而將問題化為在上無零點求參數范圍.
【詳解】（1）由且定義域為R，即為奇函數，
由，結合指數函數及復合函數單調性知：在定義域上單調遞增，
所以，
則，即恒成立，
故，可得.
（2）由且，可得，即，
令且，則，
而，即，
所以，
所以，
問題化為在上恰有一個零點，
即在上無零點，故，
由，則，只需或，
【點睛】關鍵點點睛：第二問，令，運用指數冪運算得到，并將問題化為在上無零點.
43．（2023上·甘肅白銀·高一甘肅省靖遠縣第一中學校考期末）已知函數．
(1)若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；
(2)試討論函數的零點的個數．
【答案】(1)；
(2)答案見解析.
【分析】（1）問題化為對恒成立，利用二次函數性質求右側最大值，即可得參數范圍；
（2）問題化為和的圖象的交點個數，數形結合判斷零點個數.
【詳解】（1）當時，，不等式恒成立等價于恒成立，
則有對恒成立，而，故．
（2）令，可得，
函數的零點個數，即和的圖象的交點個數，
在同一坐標系中作出函數的圖象（如圖）．
結合圖象知，
①當或時，函數有一個零點；
②當時，函數有兩個零點；
③當時，函數有三個零點．
44．（2024上·山東濟南·高一濟南三中校考期末）已知函數，在時最大值為1，最小值為0.設.
(1)求實數m，n的值；
(2)若關于x的方程有四個不同的實數解，求實數a的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由，可判斷函數在時的單調性，求得最值，由題意列方程即可求得實數m，n的值.
（2）將的解析式代入中求得的解析式，再代入中，令，化為關于的一元二次方程，根據題意即可求得實數a的取值范圍.
【詳解】（1）由可知，函數關于對稱，
又，所以函數在單調遞增，
可得，即，
解得，.
（2）易知，
所以即為，
可化為，
令，即；
則關于x的方程有四個不同的實數解等價為于關于的一元二次方程有兩個不相等的正實數根，，
需滿足，解得；
所以實數a的取值范圍為.第05講：:函數的零點和函數的模型
【考點梳理】
考點一：函數零點存在定理 考點二：用二分法求函數f(x)零點近似值
考點三：函數的零點所在區間求參數問題 考點四：零點的個數或根個數求參數范圍
考點五：零點的分布問題 考點六：函數模型的應用
考點七：函數和方程的綜合問題
【知識梳理】
1．函數的零點
(1)函數零點的定義
對于函數y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)(x∈D)的零點．
(2)幾個等價關系
方程f(x)＝0有實數根 函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點 函數y＝f(x)有零點．
(3)函數零點的判定(零點存在性定理)
如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個__c__也就是方程f(x)＝0的根．
2．二分法
對于在區間[a，b]上連續不斷且f(a)·f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．
3．二次函數y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象與零點的關系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象
與x軸的交點 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 無交點
零點個數 2 1 0
【題型歸納】
題型一：函數零點存在定理
1．（2024上·云南楚雄·高一統考期末）函數的零點所在區間是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·河北張家口·高一統考期末）已知，則的零點所處的區間是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·天津西青·高一天津市西青區楊柳青第一中學校考期末）函數的零點所在的大致區間為（ ）
A． B． C． D．
題型二：用二分法求函數f(x)零點近似值
4．（2023上·江蘇蘇州·高一張家港市沙洲中學校考期末）若函數的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，其參考數據如下：
那么方程的一個近似根精確度為可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·江蘇淮安·高一統考期末）已知函數在內有一個零點，且求得的部分函數值數據如下表所示：
0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875
-1 1 -0.375 0.1718 -0.1308 -0.2595 0.01245 -0.06113 -0.02483
要使零點的近似值精確到0.1，則對區間的最少等分次數和近似解分別為（ ）
A．6次0.7 B．6次0.6
C．5次0.7 D．5次0.6
6．（2023上·上海浦東新·高一上海市實驗學校校考期末）在用二分法求函數零點的近似值時，若某一步將零點所在區間確定為，則下一步應當確定零點位于區間（ ）
A． B．
C． D．
題型三：函數的零點所在區間求參數問題
7．（2023下·河南信陽·高一統考期末）函數在區間上存在零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023上·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學校考期末）函數的一個零點在區間內，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021上·廣東廣州·高一統考期末）設函數，若函數在上存在零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型四：零點的個數或根個數求參數范圍
10．（2024上·北京海淀·高一統考期末）已知函數，若存在非零實數，使得成立，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·全國·高一期末）已知函數，若方程僅有兩個不同的根，則的取值范圍為 (　　)
A． B． C． D．
12．（2024上·湖南郴州·高一安仁縣第一中學校聯考期末）若函數有4個零點，則正數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型五：零點的分布問題
13．（2023上·北京石景山·高一校考期中）若關于的一元二次方程有兩個實根，且一個實根小于1，另一個實根大于2，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023上·湖北黃岡·高一統考期末）已知函數若關于的方有個不同的實數根，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
15．（2023上·江蘇南京·高一統考期末）函數的零點為，函數的零點為，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型六：函數模型的應用
16．（2024上·重慶九龍坡·高一統考期末）放射性核素鍶89會按某個衰減率衰減，設初始質量為，質量與時間（單位：天）的函數關系式為（其中為常數），若鍶89的半衰期（質量衰減一半所用時間）約為50天，那么質量為的鍶89經過30天衰減后質量約變為（ ）（參考數據：）
A． B．
C． D．
17．（2024上·云南昆明·高一云南師大附中校考期末）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為，為了保障安全，根據國家規定，駕駛人員每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克為飲酒后駕車；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克為醉酒駕車.某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止飲酒后，他的血液中的酒精會以每小時的速度減少，那么他想要駕車至少要經過（參考數據：，）（ ）
A． B． C． D．
18．（2024上·甘肅定西·高一統考期末）2023年2月27日，學堂梁子遺址入圍2022年度全國十大考古新發現終評項目.該遺址先后發現石制品300多件，已知石制品化石樣本中碳14質量隨時間（單位：年）的衰變規律滿足（表示碳14原有的質量）.經過測定，學堂梁子遺址中某件石制品化石樣本中的碳14質量約是原來的倍，據此推測該石制品生產的時間距今約（ ）（參考數據：）
A．8370年 B．8330年 C．3850年 D．3820年
題型七：函數和方程的綜合問題
19．（2024上·云南迪慶·高一統考期末）綠水青山就是金山銀山，“兩山”的轉換不僅發生在青山綠水之間，在生產生活中更應該注重對環境的保護．為了減少工廠廢氣排放的影響，工廠可以采用一些技術來減少廢氣排放，也可以改變生產工藝來減少廢氣排放，某工廠產生的廢氣經過濾，后排放、過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時間t（單位．h）間的關系為，其中，k是正的常數．如果在前5h消除了的污染物，那么
(1)10h后還剩百分之幾的污染物？
(2)污染物減少需要花多少時間（精確到）？
(3)畫出P關于t變化的函數圖象．
20．（2024上·上海寶山·高一上海交大附中校考期末）已知（），函數在區間上有最大值4和最小值1.
(1)求的值；
(2)若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；
(3)若方程有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍.
21．（2024上·吉林長春·高一東北師大附中校考期末）已知．
(1)當時，解不等式；
(2)若關于x的方程在區間內恰有一個實數解，求實數a的取值范圍．
【強化精練】
一、單選題
22．（2024上·遼寧朝陽·高一建平縣第二高級中學校考期末）函數的零點所在區間為（ ）
A． B． C． D．
23．（2024上·重慶·高一校聯考期末）函數的交點所在的一個區間是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高一統考期末）函數的零點的個數為（ ）
A． B． C． D．
25．（2024上·上海·高一上海市進才中學校考期末）中國5G技術領先世界，其數學原理之一便是著名的香農公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內信號的平均功率S、信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香農公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（ ）．
A．20% B．23% C．28% D．50%
26．（2023上·湖南長沙·高一校聯考期末）若函數有個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
27．（2024上·北京昌平·高一統考期末）已知函數，則函數的零點個數為（ ）
A．2 B．1或2 C．3 D．1或3
28．（2024上·上海嘉定·高一統考期末）已知函數，若關于的的方程有且僅有兩個不同的整數解，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
29．（2023上·福建三明·高一校聯考期中）已知，定義：，設.若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
30．（2024上·遼寧鐵嶺·高一校考期末）某同學求函數的零點時,用計算器算得部分函數值如表所示:
則方程的近似解(精確度)可取為（ ）
A． B． C． D．
31．（2023上·河南安陽·高一安陽一中校考期中）已知是定義在上的偶函數，且對任意，有，當時，，則下列結論錯誤的是（ ）
A．
B．
C．函數有3個零點
D．當時，
32．（2023上·廣東廣州·高一廣州市南武中學校考期末）已知函數，函數有四個不同的零點，且，則（ ）
A．的取值范圍是 B．
C． D．故選：BCD
33．（2023上·四川綿陽·高一綿陽中學校考期末）已知函數函數，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則有3個零點 D．若，則有5個零點
三、填空題
34．（2024上·內蒙古呼和浩特·高一統考期末）已知圖象連續不斷的函數 在區間 上有唯一零點，如果用二分法求這個零點（精確度為 ）的近似值，那么將區間等分的次數至少是 .
35．（2024上·上海·高一校考期末）已知函數兩個零點，一個大于2另一個小于2，則實數a的取值范圍為 ．
36．（2023上·福建泉州·高一校考期中）已知函數是定義域為的奇函數，當時，.則函數在上的解析式為 ；若與有3個交點，則實數的取值范圍是 .
37．（2023上·吉林白山·高一統考期末）設，，若在上是增函數且在R上至少有3個零點，則a的取值范圍是 ．
四、解答題
38．（2024上·上海·高一上海中學校考期末）某地中學生社會實踐小組為研究學校附近某路段交通擁堵情況，經實地調查、數學建模，得該路段上平均行車速度v（單位：）與該路段上的行車數量n（單位：輛）的關系為：，其中常數．該路段上每日t時的行車數量．已知某日17時測得的平均行車速度為．
(1)求實數k的值；
(2)定義，求一天內q的最大值（結果四舍五入到整數）．
39．（2024上·重慶·高一校聯考期末）已知函數.
(1)當時，求函數的零點；
(2)當時，求不等式的解集.
40．（2023上·四川內江·高一四川省隆昌市第一中學校考期末）國內某大型機械加工企業在過去的一個月內（共計30天，包括第30天），其主營產品在第天的指導價為每件（元），且滿足（），第天的日交易量（萬件）的部分數據如下表：
第天 1 2 5 10
（萬件） 14 12 10.8 10.38
(1)給出以下兩種函數模型：①，②，其中，為常數.請你根據上表中的數據，從①②中選擇你認為最合適的一種函數模型來擬合該產品日交易量（萬件）的函數關系；并且從四組數據中選擇你認為最簡潔合理的兩組數據進行合理的推理和運算，求出的函數關系式；
(2)若該企業在未來一個月（共計30天，包括第30天）的生產經營水平維持上個月的水平基本不變，由（1）預測并求出該企業在未來一個月內第天的日交易額的函數關系式，并確定取得最小值時對應的.
41．（2024上·上海·高一上海南匯中學校考期末）已知函數的表達式為．
(1)求函數的零點；
(2)解不等式：；
(3)若關于x的方程只有一個實根，求實數m的取值范圍．
42．（2023上·廣東廣州·高一廣州市南武中學校考期末）已知函數，且.
(1)當時，在上恒成立，求實數的取值范圍；
(2)若，且在區間內恰有一個零點，求實數的取值范圍.
43．（2023上·甘肅白銀·高一甘肅省靖遠縣第一中學校考期末）已知函數．
(1)若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；
(2)試討論函數的零點的個數．
44．（2024上·山東濟南·高一濟南三中校考期末）已知函數，在時最大值為1，最小值為0.設.
(1)求實數m，n的值；
(2)若關于x的方程有四個不同的實數解，求實數a的取值范圍.

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