資源簡(jiǎn)介

第06講：三角函數(shù)中任意角、誘導(dǎo)公式、同角基本關(guān)系
【考點(diǎn)梳理】
考點(diǎn)一：終邊相同的角 考點(diǎn)二：象限角
考點(diǎn)三：弧度制 考點(diǎn)四：弧長(zhǎng)公式和面積公式
考點(diǎn)五：任意角的三角函數(shù) 考點(diǎn)六：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
考點(diǎn)七：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 考點(diǎn)八：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問題
【知識(shí)梳理】
知識(shí)一：角的分類：
名稱 定義 圖示
正角 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角
負(fù)角 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角
零角 一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角
知識(shí)二：終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．
知識(shí)三：正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)
1．圖示：
2．口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知識(shí)四：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：＝tan α.
知識(shí)五：六組誘導(dǎo)公式
組數(shù) 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口訣 函數(shù)名不變 符號(hào)看象限 函數(shù)名改變 符號(hào)看象限
技巧歸納：
1．誘導(dǎo)公式的記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限．2．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的常用變形：
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.
【題型歸納】
題型一：終邊相同的角
1．（2023下·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）已知角的集合，則在內(nèi)的角有（ ）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，解不等式，求出k的值即可作答.
【詳解】依題意，解不等式，得，而，因此，
所以在內(nèi)的角有3個(gè).
故選：B
2．（2023下·上海黃浦·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，角和的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，若角和的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則下列關(guān)系式一定正確的是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】D
【分析】根據(jù)角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，即可確定與的關(guān)系．
【詳解】是與關(guān)于軸對(duì)稱的一個(gè)角，
與的終邊相同，
即（），
，（）.
故選：D．
3．（2023下·北京海淀·高一北大附中校考期中）將的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與的終邊重合，則與終邊相同的角的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題設(shè)，即可得與終邊相同的角，即知答案.
【詳解】由題設(shè)，則且，
所以與終邊相同的角的集合為.
故選：B
題型二：象限角
4．（2023下·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中學(xué)校考期中）若角是第二象限角，則角的終邊所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根據(jù)象限角的范圍即可求解.
【詳解】角是第二象限角，則,
所以，故角的終邊在第三象限，
故選：C
5．（2023下·北京·高一北師大二附中校考期中）設(shè)是第二象限角，則的終邊在（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D
【分析】由 ，得到，對(duì)k賦值判斷.
【詳解】解：因?yàn)槭堑诙笙藿牵?br/>所以 ，
，
當(dāng) 時(shí)， ，在第一象限；
當(dāng) 時(shí)， ，在第二象限；
當(dāng) 時(shí)， ，在第四象限；
故選：D
6．（2023下·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)校考期中）已知是第一象限角，那么（ ）
A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角
C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角
【答案】B
【分析】由是第一象限角，可得，，進(jìn)而得到，，進(jìn)而求解.
【詳解】因?yàn)槭堑谝幌笙藿牵?br/>所以，，
所以，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角，
綜上所述，第一、三象限角.
故選：B.
題型三：弧度制
7．（2023上·甘肅白銀·高一甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校考期末）春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，為指導(dǎo)農(nóng)耕，我國(guó)誕生了表示季節(jié)變遷的24節(jié)氣．它將黃道（地球繞太陽按逆時(shí)針方向公轉(zhuǎn)的軌道，可近似地看作圓）分為24等份，每等份為一個(gè)節(jié)氣，2022年10月8日為寒露，經(jīng)過霜降 立冬 小雪及大雪后，便是冬至，則從寒露到冬至，地球公轉(zhuǎn)的弧度數(shù)約為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出每一等份的度數(shù)，從寒露到冬至經(jīng)歷了5個(gè)節(jié)氣，進(jìn)而可得答案
【詳解】由題意知，把圓分成24等份，每一等份為，從寒露到冬至經(jīng)歷了5個(gè)節(jié)氣，所以地球公轉(zhuǎn)的弧度數(shù)約為．
故選：
8．（2023下·浙江杭州·高一統(tǒng)考期末）軍事上角的度量常用密位制，密位制的單位是“密位”1密位就是圓周的所對(duì)的圓心角的大小，.若角密位，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由密位制與弧度的換算公式可得，，從而可得解．
【詳解】因?yàn)?密位等于圓周角的，
所以角密位時(shí)，，
故選：C．
9．（2022上·湖北荊州·高一校聯(lián)考期末）圓的一條弧的長(zhǎng)度等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)，則這條弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求弧長(zhǎng)，再根據(jù)圓心角公式，即可求解.
【詳解】
設(shè)圓的半徑為r，由于圓內(nèi)接正六邊形每條邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角為，
則圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為r，所以這條弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角為.
故選：A
題型四：弧長(zhǎng)公式和面積公式
10．（2024上·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的扇面多為扇環(huán)形.已知某紙扇的扇面如圖所示，其中外弧長(zhǎng)與內(nèi)弧長(zhǎng)之和為，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段長(zhǎng)均為，且該扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為2.5，則該扇環(huán)的內(nèi)弧長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)弧的長(zhǎng)為，弧的長(zhǎng)為，根據(jù)弧長(zhǎng)公式結(jié)合已知可推得.結(jié)合已知條件得出方程組，求解即可得出答案.
【詳解】
如圖，設(shè)弧的長(zhǎng)為，弧的長(zhǎng)為.
因?yàn)樵撋刃蔚膱A心角的弧度數(shù)為2.5，
所以，，
即，.
因?yàn)椋?
又因?yàn)椋?br/>聯(lián)立可得，
解得，所以該扇環(huán)的內(nèi)弧長(zhǎng)為.
故選：A
11．（2023下·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則圓錐底面直徑為（ ）
A．6 B．3 C．12 D．
【答案】A
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則母線長(zhǎng)為，
則圓錐的側(cè)面積為，
故表面積為，得①，
又底面圓周長(zhǎng)等于側(cè)面展開半圓的弧長(zhǎng)，故，
即，得②，
聯(lián)立①②得：，，則圓錐底面直徑為6．
故答案為：A．
12．（2023下·山東日照·高一統(tǒng)考期末）我國(guó)北宋時(shí)期科技史上的杰作《夢(mèng)溪筆淡》收錄了計(jì)算扇形弧長(zhǎng)的近似計(jì)算公式：，公式中“弦”是指扇形中圓弧所對(duì)弦的長(zhǎng)，“矢”是指圓弧所在圓的半徑與圓心到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓的直徑．如圖，已知扇形的面積為，扇形所在圓O的半徑為2，利用上述公式，計(jì)算該扇形弧長(zhǎng)的近似值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)扇形的面積公式可得圓心角大小，進(jìn)而根據(jù)弧長(zhǎng)的近似計(jì)算公式即可求解.
【詳解】設(shè)扇形的圓心角為α，由扇形面積公式可知，所以，如圖，取的中點(diǎn)C，連接OC，交AB于點(diǎn)D，則．易知，則，所以，，，所以扇形弧長(zhǎng)的近似值為．
故選:C

題型五：任意角的三角函數(shù)
13．（2023上·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義列式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)榻墙K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，
解得.
故選：C
14．（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】考查三角函數(shù)的定義，利用定義即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋扇呛瘮?shù)的定義可知，點(diǎn)為角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，所以：.
故選：B.
15．（2024上·上海·高一校考期末）函數(shù)（且）的圖象都過定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在角的終邊上，則 ．
【答案】/
【分析】由題意先求出定點(diǎn)，然后結(jié)合三角函數(shù)定義即可得解.
【詳解】因?yàn)椋粤睿茫掖藭r(shí)，即點(diǎn)，
所以.
故答案為：.
題型六：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
16．（2023上·河北保定·高一河北省唐縣第一中學(xué)校考期中）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先左右兩邊平方，得出，再應(yīng)用弦化切，最后結(jié)合角的范圍可得求出正切值．
【詳解】∵，∴，即，∴，
∴，得，∴，
∴或，
∵，且，∴由三角函數(shù)定義知，
∴，故．
故選：D.
17．（2023上·四川成都·高一校考期末）若，且是方程的兩實(shí)根，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)同角平方和的關(guān)系即可結(jié)合韋達(dá)定理求解.
【詳解】由于是方程的兩實(shí)根，所以，
又，所以，
故，
由于，，所以，故，因此，所以，
故選：D
18．（2024上·吉林·高一長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知角終邊過點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，代入計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，所以，
所以，解得.
故選：C
題型七：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
19．（2024上·天津和平·高一統(tǒng)考期末）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再進(jìn)行弦化切代入即可.
【詳解】
因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，則，則，
故選：C.
20．（2024上·吉林·高一長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校校聯(lián)考期末）若為第四象限角，且，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算得出.
【詳解】①，
因?yàn)椋?br/>又因?yàn)闉榈谒南笙藿牵煽芍?br/>所以①，
故選：A
21．（2024上·上海寶山·高一上海交大附中校考期末）已知.
(1)求；
(2)若角為第二象限角，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式整理得，進(jìn)而代入求解即可；
（2）根據(jù)同角三角關(guān)系可得，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以.
（2）若角為第二象限角，且，則，
可得，
所以.
題型八：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問題
22．（2024上·新疆阿勒泰·高一統(tǒng)考期末）已知
(1)化簡(jiǎn)；
(2)若角是三角形ABC的內(nèi)角，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由誘導(dǎo)公式即可化簡(jiǎn)；
（2）由同角三角函數(shù)的平方和商的關(guān)系即可求解．
【詳解】（1）
．．
即．
（2）由，得，所以，．
所以角是鈍角，．
，，
所以．．
23．（2024上·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）（1）化簡(jiǎn)；
（2）已知，且，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可；
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和完全平方公式求解即可.
【詳解】（1）由誘導(dǎo)公式可得
，
（2）由，
即
可得
所以.
又，所以，，則
所以.
24．（2024上·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知．
(1)化簡(jiǎn)函數(shù)；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.
（2）由題意得，再結(jié)合商數(shù)關(guān)系即可得解.
【詳解】（1）．
（2）因?yàn)椋裕?br/>所以．
【強(qiáng)化精練】
一、單選題
25．（2024上·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知扇形的面積為，圓心角為2弧度，則此扇形的弧長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意設(shè)出扇形的弧長(zhǎng)、半徑和圓心角，通過扇形的面積可求出扇形半徑，然后利用弧長(zhǎng)公式即得.
【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，圓心角為，
所以扇形的面積，得（），
由（）
故選：A
26．（2024上·甘肅隴南·高一統(tǒng)考期末）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知得出為第二象限角，求出滿足條件的一個(gè)的值，即可得出答案.
【詳解】由點(diǎn)位于第二象限可得，角為第二象限角.
又，
則當(dāng)時(shí)，有.
所以，與終邊相同的角的集合為.
因?yàn)闈M足，不滿足，不滿足，不滿足.
故選：A.
27．（2023上·四川綿陽·高一綿陽中學(xué)校考期末）南朝樂府民歌《子夜四時(shí)歌》之夏歌曰：“疊扇放床上，企想遠(yuǎn)風(fēng)來；輕袖佛華妝，窈窕登高臺(tái).”，中國(guó)傳統(tǒng)折扇有著極其深厚的文化底蘊(yùn).如圖所示，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形環(huán)（扇形環(huán)是一個(gè)圓環(huán)被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打開時(shí)，其扇形環(huán)扇面尺寸（單位：）如圖所示，則該扇面的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)圓心角，圓的半徑，由弧長(zhǎng)公式得，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可.
【詳解】
如圖：與交于圓心O，設(shè)圓心角，圓的半徑，
由弧長(zhǎng)公式得 ，解得，
該扇面的面積為
故選：A
28．（2023下·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級(jí)中學(xué)校考期中）下列說法正確的是（ ）
A．長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角為1弧度
B．當(dāng)時(shí)，
C．若角的終邊過點(diǎn)，則
D．若，則
【答案】B
【分析】根據(jù)弧度制的定義，結(jié)合三角函數(shù)定義、正切函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角為弧度，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，
；B正確
對(duì)于C，若角的終邊過點(diǎn)，則，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，則有，D錯(cuò)誤，
故選：B
29．（2024上·甘肅白銀·高一校考期末）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系式求得，代入即可求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>又，即，解得，
所以.
故選：B.
30．（2023上·甘肅白銀·高一校考期末）已知，且為第二象限角，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用誘導(dǎo)公式，將已知和要求的因式都轉(zhuǎn)化成單角形式，即只含有的形式，再用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式轉(zhuǎn)化即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>且.
因?yàn)闉榈诙笙藿牵?
則，
故選：D.
31．（2024上·天津和平·高一天津一中校考期末）已知，則（ ）.
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)代入計(jì)算可得結(jié)果為.
【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，
將代入計(jì)算可得，原式.
故選：A
32．（2023上·全國(guó)·高一期末）已知是第四象限角，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用已知條件化簡(jiǎn)求出的值，然后利用誘導(dǎo)公式及弦化切，計(jì)算即可.
【詳解】由，解得或．
因?yàn)槭堑谒南笙藿牵裕?br/>故．
故選：D.
二、多選題
33．（2024上·云南大理·高一統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（ ）
A．終邊在軸上角的集合是
B．若角的終邊在第二象限，則角是鈍角
C．若角是鈍角，則角的終邊在第二象限
D．終邊在直線上角的集合是
【答案】CD
【分析】根據(jù)終邊相同的角的表示方式進(jìn)行判斷AD，根據(jù)鈍角的概念判斷BC.
【詳解】對(duì)A：終邊在軸上的角的集合是：，故A錯(cuò)；
對(duì)B：終邊在第二象限的，未必都是鈍角，例如，故B錯(cuò)；
對(duì)C：因?yàn)殁g角是大于小于的角，必在第二象限，故C對(duì)；
對(duì)D：終邊在直線上的角的集合是：，故D對(duì).
故選：CD
34．（2022上·重慶巫山·高一校考期末）下列命題中正確的是（　　）
A．若角是第三象限角，則可能在第三象限
B．
C．若且，則為第二象限角
D．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則
【答案】ABC
【分析】對(duì)A：由的范圍求出的范圍判斷；對(duì)B：用誘導(dǎo)公式計(jì)算；對(duì)C：根據(jù)與的符號(hào)判斷所在的象限；對(duì)D：根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.
【詳解】對(duì)A：若角是第三象限角，即，，
所以，，
當(dāng)時(shí)，，所以可能為第三象限角，故正確
對(duì)B：由誘導(dǎo)公式可得，所以正確，
對(duì)C：若，則為第二象限或第四象限角，若，則為第一象限角或第二象限角或軸正半軸，
同時(shí)滿足兩條件可得，若且，則為第二象限角，正確，
對(duì)D：若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則，故錯(cuò)誤．
故選：ABC．
35．（2023上·四川成都·高一校聯(lián)考期末）已知，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用三角函數(shù)基本關(guān)系和完全平方公式、三角函數(shù)值的正負(fù)求解.
【詳解】將平方得，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>所以，
因?yàn)椋裕?br/>根據(jù)解得，
所以.
故選：ACD.
36．（2023上·全國(guó)·高一期末）質(zhì)點(diǎn)和在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā).的角速度大小為，起點(diǎn)為圓與軸正半軸的交點(diǎn)，的角速度大小為，起點(diǎn)為角的終邊與圓的交點(diǎn)，則當(dāng)與重合時(shí)，的坐標(biāo)可以為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由題意列出重合時(shí)刻t的表達(dá)式，進(jìn)而可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，通過賦值對(duì)比選項(xiàng)即可得解.
【詳解】點(diǎn)的初始位置，銳角，
設(shè)時(shí)刻兩點(diǎn)重合，則，即，
此時(shí)點(diǎn)，
即，，
當(dāng)時(shí)，，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，即，故C正確；
當(dāng)時(shí)，，即，故D正確；
由三角函數(shù)的周期性可得，其余各點(diǎn)均與上述三點(diǎn)重合，故B錯(cuò)誤，
故選：ACD.
37．（2023上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知，則下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.
【詳解】依題意，，
所以，
所以，A選項(xiàng)正確；
，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，C選項(xiàng)正確.
，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC
三、填空題
38．（2024上·安徽淮北·高一校考期末）已知一個(gè)扇形的圓心角為2．其周長(zhǎng)的值等于面積的值，則扇形的半徑 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)扇形的周長(zhǎng)公式和面積公式建立關(guān)系，求出答案.
【詳解】，弧長(zhǎng)，
周長(zhǎng)為，面積，，或0（舍去），
故答案為：4．
39．（2024上·上海·高一上海南匯中學(xué)校考期末）已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則 ．
【答案】/
【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求得角的三角函數(shù)值，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得解.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓的交點(diǎn)為，
所以，則.
故答案為：.
40．（2024上·上海·高一上海中學(xué)校考期末）化簡(jiǎn)： ．
【答案】/0.5
【分析】根據(jù)同角平方和關(guān)系即可求解.
【詳解】，
故答案為：
41．（2024上·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）已知，且，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)已知切化弦結(jié)合二倍角公式，化簡(jiǎn)即可得出.進(jìn)而根據(jù)角的范圍得出，整理推得，求解即可得出答案.
【詳解】由，
可得，
即.
由于，故，則，
所以有，則，
所以有，解得.
故答案為：.
42．（2023上·全國(guó)·高一期末）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過函數(shù)（且）的定點(diǎn)M.則
【答案】/
【分析】求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)定義求出，再利用誘導(dǎo)公式計(jì)算作答.
【詳解】由，得，，即點(diǎn)，，
因此，
所以.
故答案為：
四、解答題
43．（2024上·安徽淮北·高一校考期末）已知．
(1)若，求的值；
(2)求的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若，兩邊同時(shí)平方，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，可求的值；
（2）令，則有，由的取值范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求的值域．
【詳解】（1），，
．
（2）令，
因?yàn)椋瑒t，所以，即，
因?yàn)椋矗裕?br/>所以，，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，
所以，即的值域?yàn)椋?br/>44．（2024上·重慶九龍坡·高一統(tǒng)考期末）已知，且是第二象限角．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由題設(shè)有，分母應(yīng)用平方關(guān)系作“1”的代換，結(jié)合，且，可求角的正切值；
（2）應(yīng)用誘導(dǎo)公式可得，應(yīng)用齊次運(yùn)算及（1）結(jié)論求結(jié)果.
【詳解】（1）由，則，
又是第二象限角，則，且，
所以，則，
綜上，.
（2）原式.
45．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助弦化切計(jì)算即可得；
（2）借助誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后，由（1）中所得結(jié)合三角函數(shù)基本關(guān)系計(jì)算即可得.
【詳解】（1），解得；
（2）由（1）知，
又由，
因?yàn)椋遥裕?br/>有，可得，
所以.
46．（2024上·吉林長(zhǎng)春·高一東北師大附中校考期末）已知．
(1)化簡(jiǎn)；
(2)若是第三象限角，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可；
（2）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式可解.
【詳解】（1）．
（2）因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)槭堑谌笙藿牵詾榈谌笙藿牵?br/>所以，
故．
47．（2024上·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)校考期末）已知．
(1)化簡(jiǎn)，并求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）將已知用誘導(dǎo)公式，和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn).
（2）在原式前兩項(xiàng)除以，再在分子分母都除以，轉(zhuǎn)化為正切代入求解.
【詳解】（1）
則
（2）因?yàn)椋?
所以
48．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高一統(tǒng)考期末）已知角滿足.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由即可得到結(jié)果.
（2）由及，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）原式
，
，
原式.
（2），
且，
，
.
49．（2023上·全國(guó)·高一期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)．將角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到角．
(1)求；
(2)求的值；
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在單位圓上得到，計(jì)算，，再根據(jù)誘導(dǎo)公式計(jì)算得到答案.
（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.
【詳解】（1），為銳角，故，解得，
，，
，.
（2）
.第06講：三角函數(shù)中任意角、誘導(dǎo)公式、同角基本關(guān)系
【考點(diǎn)梳理】
考點(diǎn)一：終邊相同的角 考點(diǎn)二：象限角
考點(diǎn)三：弧度制 考點(diǎn)四：弧長(zhǎng)公式和面積公式
考點(diǎn)五：任意角的三角函數(shù) 考點(diǎn)六：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
考點(diǎn)七：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 考點(diǎn)八：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問題
【知識(shí)梳理】
知識(shí)一：角的分類：
名稱 定義 圖示
正角 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角
負(fù)角 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角
零角 一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角
知識(shí)二：終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．
知識(shí)三：正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)
1．圖示：
2．口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知識(shí)四：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：＝tan α.
知識(shí)五：六組誘導(dǎo)公式
組數(shù) 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口訣 函數(shù)名不變 符號(hào)看象限 函數(shù)名改變 符號(hào)看象限
技巧歸納：
1．誘導(dǎo)公式的記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限．2．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的常用變形：
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.
【題型歸納】
題型一：終邊相同的角
1．（2023下·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）已知角的集合，則在內(nèi)的角有（ ）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
2．（2023下·上海黃浦·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，角和的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，若角和的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則下列關(guān)系式一定正確的是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
3．（2023下·北京海淀·高一北大附中校考期中）將的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與的終邊重合，則與終邊相同的角的集合為（ ）
A． B．
C． D．
題型二：象限角
4．（2023下·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中學(xué)校考期中）若角是第二象限角，則角的終邊所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2023下·北京·高一北師大二附中校考期中）設(shè)是第二象限角，則的終邊在（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
6．（2023下·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)校考期中）已知是第一象限角，那么（ ）
A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角
C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角
題型三：弧度制
7．（2023上·甘肅白銀·高一甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校考期末）春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，為指導(dǎo)農(nóng)耕，我國(guó)誕生了表示季節(jié)變遷的24節(jié)氣．它將黃道（地球繞太陽按逆時(shí)針方向公轉(zhuǎn)的軌道，可近似地看作圓）分為24等份，每等份為一個(gè)節(jié)氣，2022年10月8日為寒露，經(jīng)過霜降 立冬 小雪及大雪后，便是冬至，則從寒露到冬至，地球公轉(zhuǎn)的弧度數(shù)約為（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·浙江杭州·高一統(tǒng)考期末）軍事上角的度量常用密位制，密位制的單位是“密位”1密位就是圓周的所對(duì)的圓心角的大小，.若角密位，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2022上·湖北荊州·高一校聯(lián)考期末）圓的一條弧的長(zhǎng)度等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)，則這條弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為（ ）
A．1 B． C． D．
題型四：弧長(zhǎng)公式和面積公式
10．（2024上·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的扇面多為扇環(huán)形.已知某紙扇的扇面如圖所示，其中外弧長(zhǎng)與內(nèi)弧長(zhǎng)之和為，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段長(zhǎng)均為，且該扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為2.5，則該扇環(huán)的內(nèi)弧長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
11．（2023下·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則圓錐底面直徑為（ ）
A．6 B．3 C．12 D．
12．（2023下·山東日照·高一統(tǒng)考期末）我國(guó)北宋時(shí)期科技史上的杰作《夢(mèng)溪筆淡》收錄了計(jì)算扇形弧長(zhǎng)的近似計(jì)算公式：，公式中“弦”是指扇形中圓弧所對(duì)弦的長(zhǎng)，“矢”是指圓弧所在圓的半徑與圓心到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓的直徑．如圖，已知扇形的面積為，扇形所在圓O的半徑為2，利用上述公式，計(jì)算該扇形弧長(zhǎng)的近似值為（ ）

A． B． C． D．
題型五：任意角的三角函數(shù)
13．（2023上·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
14．（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
15．（2024上·上海·高一校考期末）函數(shù)（且）的圖象都過定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在角的終邊上，則 ．
題型六：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
16．（2023上·河北保定·高一河北省唐縣第一中學(xué)校考期中）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
17．（2023上·四川成都·高一校考期末）若，且是方程的兩實(shí)根，則的值是（ ）
A． B． C． D．
18．（2024上·吉林·高一長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知角終邊過點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2 B． C．3 D．
題型七：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
19．（2024上·天津和平·高一統(tǒng)考期末）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．1
20．（2024上·吉林·高一長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校校聯(lián)考期末）若為第四象限角，且，則的值是（ ）
A． B． C． D．
21．（2024上·上海寶山·高一上海交大附中校考期末）已知.
(1)求；
(2)若角為第二象限角，且，求的值.
題型八：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問題
22．（2024上·新疆阿勒泰·高一統(tǒng)考期末）已知
(1)化簡(jiǎn)；
(2)若角是三角形ABC的內(nèi)角，且，求的值．
23．（2024上·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）（1）化簡(jiǎn)；
（2）已知，且，求的值.
24．（2024上·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知．
(1)化簡(jiǎn)函數(shù)；
(2)若，求的值．
【強(qiáng)化精練】
一、單選題
25．（2024上·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知扇形的面積為，圓心角為2弧度，則此扇形的弧長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
26．（2024上·甘肅隴南·高一統(tǒng)考期末）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
27．（2023上·四川綿陽·高一綿陽中學(xué)校考期末）南朝樂府民歌《子夜四時(shí)歌》之夏歌曰：“疊扇放床上，企想遠(yuǎn)風(fēng)來；輕袖佛華妝，窈窕登高臺(tái).”，中國(guó)傳統(tǒng)折扇有著極其深厚的文化底蘊(yùn).如圖所示，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形環(huán)（扇形環(huán)是一個(gè)圓環(huán)被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打開時(shí)，其扇形環(huán)扇面尺寸（單位：）如圖所示，則該扇面的面積為（ ）

A． B． C． D．
28．（2023下·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級(jí)中學(xué)校考期中）下列說法正確的是（ ）
A．長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角為1弧度
B．當(dāng)時(shí)，
C．若角的終邊過點(diǎn)，則
D．若，則故選：B
29．（2024上·甘肅白銀·高一校考期末）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
30．（2023上·甘肅白銀·高一校考期末）已知，且為第二象限角，則（ ）
A． B． C． D．
31．（2024上·天津和平·高一天津一中校考期末）已知，則（ ）.
A． B． C．1 D．3
32．（2023上·全國(guó)·高一期末）已知是第四象限角，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
33．（2024上·云南大理·高一統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（ ）
A．終邊在軸上角的集合是
B．若角的終邊在第二象限，則角是鈍角
C．若角是鈍角，則角的終邊在第二象限
D．終邊在直線上角的集合是
34．（2022上·重慶巫山·高一校考期末）下列命題中正確的是（　　）
A．若角是第三象限角，則可能在第三象限
B．
C．若且，則為第二象限角
D．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則
35．（2023上·四川成都·高一校聯(lián)考期末）已知，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A． B．
C． D．故選：ACD.
36．（2023上·全國(guó)·高一期末）質(zhì)點(diǎn)和在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā).的角速度大小為，起點(diǎn)為圓與軸正半軸的交點(diǎn)，的角速度大小為，起點(diǎn)為角的終邊與圓的交點(diǎn)，則當(dāng)與重合時(shí)，的坐標(biāo)可以為（ ）
A． B．
C． D．
37．（2023上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知，則下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
38．（2024上·安徽淮北·高一校考期末）已知一個(gè)扇形的圓心角為2．其周長(zhǎng)的值等于面積的值，則扇形的半徑 ．
39．（2024上·上海·高一上海南匯中學(xué)校考期末）已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則 ．
40．（2024上·上海·高一上海中學(xué)校考期末）化簡(jiǎn)： ．
41．（2024上·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）已知，且，則 .
42．（2023上·全國(guó)·高一期末）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過函數(shù)（且）的定點(diǎn)M.則
四、解答題
43．（2024上·安徽淮北·高一校考期末）已知．
(1)若，求的值；
(2)求的值域．
44．（2024上·重慶九龍坡·高一統(tǒng)考期末）已知，且是第二象限角．
(1)求的值；
(2)求的值．
45．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
46．（2024上·吉林長(zhǎng)春·高一東北師大附中校考期末）已知．
(1)化簡(jiǎn)；
(2)若是第三象限角，且，求的值．
47．（2024上·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)校考期末）已知．
(1)化簡(jiǎn)，并求的值；
(2)若，求的值．
48．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高一統(tǒng)考期末）已知角滿足.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
49．（2023上·全國(guó)·高一期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)．將角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到角．
(1)求；
(2)求的值；

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