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第07講：三角函數(shù)與y＝Asin(ωx＋φ)的圖像和性質(zhì)
【考點(diǎn)梳理】
考點(diǎn)一：正弦函數(shù)圖像和性質(zhì)
考點(diǎn)二：余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)
考點(diǎn)三：正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)
考點(diǎn)四：正（余）型函數(shù)圖像的平移伸縮變換
考點(diǎn)五：求圖像變化前后的解析式
考點(diǎn)六：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題
考點(diǎn)七：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的綜合性問題
【知識(shí)梳理】
知識(shí)一．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖
正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．
余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
知識(shí)二．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}
值域 [－1,1] [－1,1] R
單調(diào)性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上遞增； 在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上遞減 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上遞增； 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上遞減 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上遞增
最值 當(dāng)x＝＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1； 當(dāng)x＝－＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1 當(dāng)x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1； 當(dāng)x＝π＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)
對(duì)稱中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z)
對(duì)稱軸方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
周期 2π 2π π
知識(shí)三．y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 頻率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
知識(shí)四：.用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)
如下表所示：
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
知識(shí)五.函數(shù)y＝sin x的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的圖象的步驟如下：
技巧歸納：
1．由y＝sin ωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的變換：向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而非φ個(gè)單位長(zhǎng)度．
2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對(duì)稱軸由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z確定；對(duì)稱中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z確定其橫坐標(biāo)．
【題型歸納】
題型一：正弦函數(shù)圖像和性質(zhì)
1．（2023下·廣東湛江·高一湛江市第二中學(xué)校考期中）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：∵在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，
而在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，
∴.
∵，∴，
∴，解得：.
綜上，.
故選：B.
2．（2023上·全國·高一期末）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．的單調(diào)遞增區(qū)間是
B．圖象的一條對(duì)稱軸方程是
C．圖象的對(duì)稱中心是，
D．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的是一個(gè)奇函數(shù)的圖象
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)圖像易得，，從而可得出，再將點(diǎn)代入求得，從而得到函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可得出答案.
【詳解】由圖像可得，，，
，將點(diǎn)代入可得，又，，所以函數(shù)，
令，解得，，
故函數(shù)的增區(qū)間為，，故A錯(cuò)誤；
由，所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故B正確；
令，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，，故C錯(cuò)誤；
將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得到，該函數(shù)為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
3．（2024上·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求函數(shù)在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式求解，即可得答案；
（2）根據(jù)，確定，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.
【詳解】（1）令，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，
故，解得，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）因?yàn)椋剩?br/>則，故，
即的值域?yàn)?
題型二：余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)
4．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．是函數(shù)的一個(gè)周期
B．函數(shù)的對(duì)稱軸是
C．函數(shù)取最大值時(shí)自變量的集合為
D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
【答案】B
【分析】利用最小正周期計(jì)算公式可判斷A；采用整體替換法，分別考慮對(duì)稱軸、最大值時(shí)的取值、單調(diào)遞增區(qū)間的公式，由此可判斷BCD.
【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：令，則，故B正確；
對(duì)于C：令，則，
所以取最大值時(shí)的取值集合為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：令，解得，
所以單調(diào)遞增區(qū)間是，故D錯(cuò)誤；
故選：B.
5．（2023上·全國·高一期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，可得，則有，然后求出的單調(diào)遞減區(qū)間，再結(jié)合已知列不等式組可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
所以，得,
所以，所以，
由，，得，，
得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 （），
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
所以（），
解得，，
因?yàn)椋裕茫?br/>所以，
故的取值范圍為 .
故選：B
6．（2022上·黑龍江佳木斯·高一校考期末）已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的最小正周期及在上的最大值和最小值
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間
【答案】(1)，最大值為，最小值
(2)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是
【分析】（1）利用最小正周期公式計(jì)算即可求得函數(shù)最小正周期，由，得，借助余弦函數(shù)圖像即可求解；
（2）將看作整體，借助余弦函數(shù)性質(zhì)建立不等式，計(jì)算即可求解.
【詳解】（1），
，
當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，，
所以，的最大值為，最小值.
（2）由余弦函數(shù)性質(zhì)可得：
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增,解得，
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，解得，
所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是.
題型三：正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)
7．（2024上·甘肅·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．函數(shù)是奇函數(shù)
【答案】C
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，結(jié)合正切函數(shù)的圖象、性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】對(duì)于A，由于，，因此，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，
因此函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C正確；
對(duì)于D，由于，因此函數(shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.
故選：C
8．（2023下·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）不等式的解集為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圖像和周期性直接求解.
【詳解】由題意得，，
得.
故選：C
9．（2023下·遼寧撫順·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的最小正周期為，
(1)求圖象的對(duì)稱中心；
(2)求不等式在上的解集．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的周期公式求出，然后利用正切函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可．
【詳解】（1）由，得．由，得，
所以圖象的對(duì)稱中心為．
（2）由，得,
由，得，
所以，得，
故不等式在上的解集為．
題型四：正（余）型函數(shù)圖像的平移伸縮變換
10．（2024上·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（ ）
A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的規(guī)則直接判斷.
【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象.
故選：A
11．（2024上·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（ ）
A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】A
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而變換得出，即可得出答案.
【詳解】因?yàn)椋?br/>且，
所以，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象.
故選：A.
12．（2023上·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象上所有的點(diǎn)（ ）
A．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變）再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變）再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】C
【分析】，利用伸縮變換與平移變換由的圖象得到的圖象.
【詳解】因?yàn)椋瑢⒌膱D象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）得到，
再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，即得到函數(shù)的圖象.
故選：C
題型五：求圖像變化前后的解析式
13．（2024上·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，將函數(shù)的圖像沿著軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換，可得平移后的函數(shù)解析式，即得答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像沿著軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
所以，.
故選：D.
14．（2023上·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)平移求出平移后的函數(shù)解析式，利用函數(shù)相等可求答案.
【詳解】將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的解析式為，
由題意，
所以，，即，.
因?yàn)椋?
故選：B.
15．（2024上·天津和平·高一統(tǒng)考期末）將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為.關(guān)于函數(shù)，現(xiàn)有如下命題：
①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
②函數(shù)在上是增函數(shù)：
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>④函數(shù)是奇函數(shù).
其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)給定變換求出函數(shù)的解析式，再逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】依題意，，
對(duì)于①，，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)不對(duì)稱，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在是增函數(shù)，
因此函數(shù)在上是增函數(shù)，②正確；
對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，，因此函數(shù)的值域?yàn)椋壅_；
對(duì)于④，顯然函數(shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，④錯(cuò)誤，
所以真命題的個(gè)數(shù)為2.
故選：B
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及求正(余)型函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性問題，先根據(jù)給定的自變量取值區(qū)間求出相位的范圍，再利用正(余)函數(shù)性質(zhì)列出不等式求解即得.
題型六：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題
16．（2024上·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，取得最大值
(1)求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍
【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為：，
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得，利用整體代入法求得的單調(diào)遞增區(qū)間.
（2）通過求在區(qū)間上的最小值來求得的取值范圍.
【詳解】（1）的最小正周期為，所以，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，
且，
所以，所以.
由解得，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為：，.
（2）若，則，
所以在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，
依題意，存在，使得成立，所以.
17．（2024上·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）已知.
(1)求的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值并求相應(yīng)的值.
【答案】(1)，
(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為2；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.
【分析】（1）根據(jù)公式計(jì)算即可求解函數(shù)的最小正周期；利用整體代換法計(jì)算即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意可知，即可求解函數(shù)的最值.
【詳解】（1）由題意，可知：最小正周期，
由正弦函數(shù)的性質(zhì)，可知：
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，
化簡(jiǎn)，得，，
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)即時(shí)，取最大值為1，故的最大值為2，
當(dāng)即時(shí)，取最小值為，故的最小值為.
18．（2024上·天津?yàn)I海新·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；
(3)已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）應(yīng)用誘導(dǎo)公式、倍角正弦公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，進(jìn)而求最小正周期；
（2）令，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求遞減區(qū)間；
（3）問題化為在上有解，令，，再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍.
【詳解】（1）
，
由，則的最小正周期為.
（2）由（1）知，設(shè)，，所以，
又在的單調(diào)遞減區(qū)間是，
由，得，所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間是.
（3）由（2）知，所以.
函數(shù)在上存在零點(diǎn)，
即在上有解.
由（2）知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
在上，.
令，，則，
所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
題型七：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的綜合性問題
19．（2024上·甘肅白銀·高一校考期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式及其圖象的對(duì)稱軸所在直線的方程；
(2)先把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先由函數(shù)的部分圖象求出解析式，再根據(jù)解析式求出對(duì)稱軸所在直線的方程；
（2）先由平移得到的解析式，再求出時(shí)的取值范圍即可.
【詳解】（1）由題意可得，可得，所以.
因?yàn)椋裕傻茫?
由，可得.
因?yàn)椋裕?br/>所以.
令，可得，
所以其圖象的對(duì)稱軸所在直線的方程為.
（2）由題意可得，
當(dāng)時(shí)，.
若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則有實(shí)根，
所以，可得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
20．（2024上·全國·高一期末）已知函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．
【答案】(1)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
(2)
【分析】（1）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式變形，再求其單調(diào)性即可；
（2）先做平移變換，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求值域即可.
【詳解】（1）原式，
令，解得，
又因?yàn)椋傻煤瘮?shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
（2）因?yàn)椋芷冢?br/>向右平移個(gè)周期后得到函數(shù)的圖象，則，
因?yàn)椋?br/>所以
21．（2024上·全國·高一期末）已知函數(shù)的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化簡(jiǎn)解析式，根據(jù)的對(duì)稱軸求出周期從而求出，進(jìn)而求得的解析式.
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求得，由，求得，，
然后構(gòu)造方程組結(jié)合余弦的二倍角公式，即可求解.
【詳解】（1）由題意知：，
且可得的周期，得：，
所以：，
故：.
（2）由題意得：，
因?yàn)椋海裕海茫海?br/>因?yàn)椋海裕海桑?br/>所以：，
所以：
故：.
【強(qiáng)化精練】
一、單選題
22．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)①，②，③中，周期是且為奇函數(shù)的所有函數(shù)的序號(hào)是（ ）
A．② B．①② C．①③ D．②③
【答案】D
【分析】對(duì)三個(gè)函數(shù)化簡(jiǎn)后分別判斷周期及奇偶性即可.
【詳解】對(duì)于①，，周期為，但不是奇函數(shù)；
對(duì)于②，周期為；
又故符合題意；
對(duì)于③，，
周期為；
又故符合題意.
故選：D
23．（2024上·重慶九龍坡·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由同角三角函數(shù)基本關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì)即可得.
【詳解】因?yàn)椋?br/>由，故，
即.
故選：B.
24．（2024上·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移可得表達(dá)式，即可根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】由題意可得，
由于的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故為偶函數(shù)，所以,
故，由于，所以的最小值，
故選：C
25．（2024上·甘肅白銀·高一校考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】綜合應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可解決.
【詳解】由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的周期為.
因?yàn)椋?
由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
得，且，即，且.
當(dāng)時(shí)，，解得，所以；
當(dāng)時(shí)，，解得，所以；
當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)解集為空集.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
26．（2024上·天津?yàn)I海新·高一統(tǒng)考期末）把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圖象變換過程寫出函數(shù)的解析式即可.
【詳解】所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，則.
故選：A
27．（2023上·北京順義·高一牛欄山一中校考期中）已知函數(shù).給出下列結(jié)論：
①的最小正周期為；
②是的最大值；
③把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷．
【詳解】最小正周期是，①正確；
，，②錯(cuò)；
把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)解析式為，③錯(cuò)，
故選：A．
28．（2024上·全國·高一期末）為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（ ）
A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】D
【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的平移變換法可得函數(shù)的變換情況.
【詳解】由已知，
設(shè)將函數(shù)向左平移個(gè)單位，得，
所以，解得，
即將函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得，
故選：D.
29．（2023上·全國·高一期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到函數(shù)的圖象，若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圖像確定，根據(jù)三角函數(shù)平移確定，再確定，根據(jù)零點(diǎn)得到，解得答案.
【詳解】的最小正周期為T，由題圖可得，，所以，
，，得，，又，所以，
所以．
將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，
再將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到的圖象，故．
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)樵谏锨∮?個(gè)零點(diǎn)，所以，得，
故選：C．
二、多選題
30．（2024上·甘肅·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）

A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．函數(shù)在單調(diào)遞減
D．該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象
【答案】BD
【分析】根據(jù)給定的三角函數(shù)的圖象，得到函數(shù)的解析式為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的部分圖象，
可得，可得，
由，解得，所以，
對(duì)于A中，當(dāng)，可得，
所以不是函數(shù)的對(duì)稱中心，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，可得，即函數(shù)的最小值，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以B正確；
對(duì)于C中，當(dāng)，可得，
根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得在函數(shù)在先減后增，所以C不正確；
對(duì)于D中，將函數(shù)該圖象向右平移個(gè)單位，
可得的圖象，所以D正確.
故選：BD.
31．（2024上·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．不等式的解集是
C．函數(shù)，的最小值為
D．若，且，則
【答案】ACD
【分析】利用弦化切可判斷A；根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)可判斷B；利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最小值問題可判斷C；根據(jù)和得到和，再利用誘導(dǎo)公式可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，，，故A正確；
對(duì)于B，的解集為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，令，，
，當(dāng)時(shí)，，故C正確；
對(duì)于D，若，則，
，，
，且，
解得，
.
故選：ACD
32．（2024上·甘肅慶陽·高一校考期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．是的最大值
C．把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象
D．是函數(shù)的零點(diǎn)
【答案】AC
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，由函數(shù)，所以周期，所以A正確；
對(duì)于B中，由，所以B不正確；
對(duì)于C中，將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，所以C正確；
對(duì)于D中，由，所以D錯(cuò)誤.
故選：AC.
33．（2024上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．相位為
B．對(duì)稱中心為，
C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，
D．將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象
【答案】AD
【分析】求解正弦型函數(shù)的對(duì)稱軸，對(duì)稱中心及單調(diào)性時(shí)，一般都要把相位看成整體，再利用正弦函數(shù)在一個(gè)周期上的相關(guān)性質(zhì)解決；對(duì)于圖象平移伸縮變換，要弄清對(duì)圖像的影響即得.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)定義可知即相位，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，由可得：
即其對(duì)稱中心為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，由可得：，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間應(yīng)是，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)，故D項(xiàng)正確.
故選：AD.
34．（2023上·湖南衡陽·高一校考期末）已知函數(shù)的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的距離為，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．
D．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3
【答案】CD
【分析】確定，得到函數(shù)解析式，取，計(jì)算得到A錯(cuò)誤，取，計(jì)算得到B錯(cuò)誤，確定解析式得到C正確，計(jì)算零點(diǎn)得到D正確，得到答案.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，，令，，
解得，，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線，對(duì)稱，錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：令，，得，，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)，正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：令，，得，，
函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)有，，，共3個(gè)，正確．
故選：CD．
三、填空題
35．（2024上·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）已知，則 ，的最小值為 .
【答案】
【分析】由已知直接代入求解即可得；先利用同角三角函數(shù)的關(guān)系將已知式子變形，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)求得最小值.
【詳解】，
，
令，則，
函數(shù)對(duì)稱軸為 ，又，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值，
所以的最小值為.
故答案為：；.
36．（2024上·重慶·高一重慶八中校考期末）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)二倍角的正、余弦公式和輔助角公式可得，討論余弦函數(shù)的單調(diào)性求得當(dāng)且時(shí)函數(shù)圖象與直線有2個(gè)交點(diǎn)，即可求解.
【詳解】，
由，得，
設(shè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，
得，要使方程在上有2個(gè)實(shí)根，
則函數(shù)圖象與直線在上有2個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)且，即時(shí)，函數(shù)圖象與直線有2個(gè)交點(diǎn)，
所以，解得，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：
37．（2023上·江蘇·高一期末）已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍后，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式可以是 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得到，從而求出，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值得到，得到的解析式，再根據(jù)平移變換和伸縮變換得到的解析式.
【詳解】由函數(shù)的圖象可得：，
可得，解得，
則
∵函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則，即，
由，可得，故，解得，
故，
將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到，
再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到.
故答案為：（答案不唯一）
38．（2023下·上海閔行·高一校考期中）已知函數(shù)（），其圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是，將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像.若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，則實(shí)數(shù)的最大值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性求出的值，利用圖象變換關(guān)系求出，構(gòu)造函數(shù)，將條件轉(zhuǎn)化為當(dāng),，為增函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．
【詳解】一個(gè)對(duì)稱中心是，
，，即，，
，當(dāng)時(shí)，，即，
將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像，
即，
由，得，
設(shè)，則不等式等價(jià)為當(dāng)時(shí)，，
即若對(duì)任意,，為增函數(shù)．
，
當(dāng),時(shí)，,，所以,，
因?yàn)閷?duì)任意,，為增函數(shù)，
所以，所以，所以，
即的最大值為．
故答案為：．
39．（2023下·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的最小正周期為，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程是，則的值為 ．
【答案】0
【分析】根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出，求出圖象平移、伸縮變化后的解析式，再由對(duì)稱軸方程可得答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，
所以，，
將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
可得，
再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），可得，
因?yàn)樗煤瘮?shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程是，
所以，可得，
因?yàn)椋?
故答案為：0.
四、解答題
40．（2024上·北京大興·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.
(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值.
【答案】(1)，.
(2)最小值為，最大值為.
【分析】（1）由三角恒等變換化簡(jiǎn)原函數(shù)，再用周期公式計(jì)算周期和正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可.
【詳解】（1）因?yàn)?br/>所以的最小正周期.
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
由，
得.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）因?yàn)椋?
當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.
當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.
所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.
41．（2024上·天津河西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)求的最小正周期；
(2)求的最大值及取得最大值時(shí)自變量的集合；
(3)求在的單調(diào)區(qū)間．
【答案】(1)
(2)1；
(3)增區(qū)間為，減區(qū)間為.
【分析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)表達(dá)式，結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式，即可得答案；
（2）結(jié)合正弦函數(shù)的最大值以及取得最大值時(shí)x的取值，即可得答案；
（3）根據(jù)x的范圍，確定的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意得
,
故的最小正周期為；
（2）由，由于的最大值為1，
故的最大值為，此時(shí)，
即，即x的集合為，
（3）當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減，
即在上的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為.
42．（2024上·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（，）的圖象過點(diǎn)，且相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.
(1)求函數(shù)的圖象的所有對(duì)稱軸方程；
(2)若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，求，的單調(diào)遞減區(qū)間.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸距離得到周期，則求出，再將點(diǎn)代入即可得到解析式，最后寫出對(duì)稱軸通式，解出即可；
（2）先根據(jù)平移的原則得到平移后的解析式，再寫出單調(diào)減區(qū)間的通式，解出不等式，對(duì)合理賦值即可.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，
所以的最小正周期為，即，由，解得.
因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，所以，
又因?yàn)椋裕矗?br/>所以.
令，得，
即圖象的對(duì)稱軸方程為.
（2）由題意得，
令，得，
令，得和，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.
43．（2024上·天津和平·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，
(1)求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱軸方程；
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(3)若函數(shù)在上最大值與最小值的和為，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)，對(duì)稱軸方程為，.
(2)，；
(3).
【分析】（1）利用二倍角公式和兩角和的余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)為正弦型函數(shù)，進(jìn)而求得最小正周期和對(duì)稱軸方程；
（2）根據(jù)題意得到不等式組，解出即可.
（3）當(dāng)時(shí)，，再求出的最大值與最小值，然后列出方程求得的值．
【詳解】（1）函數(shù)
，
函數(shù)的最小正周期為：，
令，，解得，，
則對(duì)稱軸方程為，.
（2）令，，
解得：，，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，；
（3）當(dāng)時(shí)， ，
令或，解得：或，
此時(shí)函數(shù)取得最小值為：，
令，解得：，
此時(shí)函數(shù)取得最大值為：，
又的最大值與最小值的和為，所以有：
，解之得：.
44．（2024上·吉林·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向上平移個(gè)單位得到曲線，再將上的各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．若，，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用二倍角及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解即得.
（2）利用給定變換求出及在上的最小值，再利用關(guān)于的一次函數(shù)列出不等式組求解即得.
【詳解】（1）依題意，，
所以函數(shù)的最小正周期；
令，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）曲線所對(duì)函數(shù)解析式為，因此，
當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)或，即當(dāng)或時(shí)，，
，不等式成立，
只需，即，
依題意，成立，
令，于是，即，解得，
所以的取值范圍為.
45．（2023上·全國·高一期末）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱軸方程;
(2)解關(guān)于x的不等式;
(3)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，求函數(shù)在上的值域.
【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為；對(duì)稱軸
(2)
(3)
【分析】（1）應(yīng)用兩角和的正弦公式及二倍角公式化簡(jiǎn)得，應(yīng)用整體代入法即可求解單調(diào)區(qū)間與對(duì)稱軸；
（2）結(jié)合函數(shù)圖像解不等式；
（3）應(yīng)用換元法求值域;
【詳解】（1）
，
函數(shù)的最小正周期.
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
令，解得，
所以的對(duì)稱軸方程為.
（2）即，
所以，解得.
（3）由題知，
則
，
令，則，
當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.
綜上可知所求值域?yàn)?第07講：三角函數(shù)與y＝Asin(ωx＋φ)的圖像和性質(zhì)
【考點(diǎn)梳理】
考點(diǎn)一：正弦函數(shù)圖像和性質(zhì) 考點(diǎn)二：余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)
考點(diǎn)三：正切函數(shù)的圖像和性質(zhì) 考點(diǎn)四：正（余）型函數(shù)圖像的平移伸縮變換
考點(diǎn)五：求圖像變化前后的解析式 考點(diǎn)六：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題
考點(diǎn)七：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的綜合性問題
【知識(shí)梳理】
知識(shí)一．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖
正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．
余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
知識(shí)二．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}
值域 [－1,1] [－1,1] R
單調(diào)性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上遞增； 在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上遞減 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上遞增； 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上遞減 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上遞增
最值 當(dāng)x＝＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1； 當(dāng)x＝－＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1 當(dāng)x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1； 當(dāng)x＝π＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)
對(duì)稱中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z)
對(duì)稱軸方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
周期 2π 2π π
知識(shí)三．y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 頻率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
知識(shí)四：.用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)
如下表所示：
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
知識(shí)五.函數(shù)y＝sin x的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的圖象的步驟如下：
技巧歸納：
1．由y＝sin ωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的變換：向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而非φ個(gè)單位長(zhǎng)度．
2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對(duì)稱軸由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z確定；對(duì)稱中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z確定其橫坐標(biāo)．
【題型歸納】
題型一：正弦函數(shù)圖像和性質(zhì)
1．（2023下·廣東湛江·高一湛江市第二中學(xué)校考期中）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·全國·高一期末）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．的單調(diào)遞增區(qū)間是
B．圖象的一條對(duì)稱軸方程是
C．圖象的對(duì)稱中心是，
D．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的是一個(gè)奇函數(shù)的圖象
3．（2024上·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求函數(shù)在上的值域.
題型二：余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)
4．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．是函數(shù)的一個(gè)周期
B．函數(shù)的對(duì)稱軸是
C．函數(shù)取最大值時(shí)自變量的集合為
D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
5．（2023上·全國·高一期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022上·黑龍江佳木斯·高一校考期末）已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的最小正周期及在上的最大值和最小值
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間
題型三：正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)
7．（2024上·甘肅·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．函數(shù)是奇函數(shù)
8．（2023下·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023下·遼寧撫順·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的最小正周期為，
(1)求圖象的對(duì)稱中心；
(2)求不等式在上的解集．
題型四：正（余）型函數(shù)圖像的平移伸縮變換
10．（2024上·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（ ）
A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
11．（2024上·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（ ）
A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
12．（2023上·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象上所有的點(diǎn)（ ）
A．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變）再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變）再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
題型五：求圖像變化前后的解析式
13．（2024上·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，將函數(shù)的圖像沿著軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023上·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則的值為（ ）
A． B． C． D．
15．（2024上·天津和平·高一統(tǒng)考期末）將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為.關(guān)于函數(shù)，現(xiàn)有如下命題：
①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；②函數(shù)在上是增函數(shù)：
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋虎芎瘮?shù)是奇函數(shù).
其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
題型六：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題
16．（2024上·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，取得最大值
(1)求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍
17．（2024上·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）已知.
(1)求的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值并求相應(yīng)的值.
18．（2024上·天津?yàn)I海新·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；
(3)已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
題型七：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的綜合性問題
19．（2024上·甘肅白銀·高一校考期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式及其圖象的對(duì)稱軸所在直線的方程；
(2)先把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
20．（2024上·全國·高一期末）已知函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．
21．（2024上·全國·高一期末）已知函數(shù)的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若，，求的值．
【強(qiáng)化精練】
一、單選題
22．（2024上·重慶·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)①，②，③中，周期是且為奇函數(shù)的所有函數(shù)的序號(hào)是（ ）
A．② B．①② C．①③ D．②③
23．（2024上·重慶九龍坡·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的值域是（ ）
A． B．C． D．
24．（2024上·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
25．（2024上·甘肅白銀·高一校考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B．C． D．
26．（2024上·天津?yàn)I海新·高一統(tǒng)考期末）把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
27．（2023上·北京順義·高一牛欄山一中校考期中）已知函數(shù).給出下列結(jié)論：
①的最小正周期為；
②是的最大值；
③把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
28．（2024上·全國·高一期末）為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（ ）
A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
29．（2023上·全國·高一期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到函數(shù)的圖象，若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A． B．C． D．
二、多選題
30．（2024上·甘肅·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．函數(shù)在單調(diào)遞減D．該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象
31．（2024上·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，下列命題正確的是（ ）
A．若，則B．不等式的解集是
C．函數(shù)，的最小值為D．若，且，則
32．（2024上·甘肅慶陽·高一校考期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．是的最大值
C．把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象
D．是函數(shù)的零點(diǎn)
33．（2024上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．相位為
B．對(duì)稱中心為，
C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，
D．將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象
34．（2023上·湖南衡陽·高一校考期末）已知函數(shù)的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的距離為，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．
D．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3
三、填空題
35．（2024上·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）已知，則 ，的最小值為 .
36．（2024上·重慶·高一重慶八中校考期末）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
37．（2023上·江蘇·高一期末）已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍后，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式可以是 .
38．（2023下·上海閔行·高一校考期中）已知函數(shù)（），其圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是，將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像.若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，則實(shí)數(shù)的最大值為 .
39．（2023下·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的最小正周期為，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程是，則的值為 ．
四、解答題
40．（2024上·北京大興·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.
(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值.
41．（2024上·天津河西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)求的最小正周期；
(2)求的最大值及取得最大值時(shí)自變量的集合；
(3)求在的單調(diào)區(qū)間．
42．（2024上·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（，）的圖象過點(diǎn)，且相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.
(1)求函數(shù)的圖象的所有對(duì)稱軸方程；
(2)若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，求，的單調(diào)遞減區(qū)間.
43．（2024上·天津和平·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，
(1)求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱軸方程；
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(3)若函數(shù)在上最大值與最小值的和為，求實(shí)數(shù)的值.
44．（2024上·吉林·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向上平移個(gè)單位得到曲線，再將上的各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．若，，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
45．（2023上·全國·高一期末）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱軸方程;
(2)解關(guān)于x的不等式;
(3)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，求函數(shù)在上的值域.

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