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新課第01講：:平面向量的概念
【考點(diǎn)梳理】
考點(diǎn)一：平面向量的概念 考點(diǎn)二：向量的模
考點(diǎn)三：零向量和單位向量 考點(diǎn)四：相等向量和平行（共線）向量
考點(diǎn)五：平面向量的綜合問(wèn)題
【知識(shí)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一　向量的概念
1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2.數(shù)量：只有大小沒(méi)有方向的量稱為數(shù)量.
知識(shí)點(diǎn)二　向量的幾何表示
1.有向線段
具有方向的線段叫做有向線段，它包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度，如圖所示.以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作，線段AB的長(zhǎng)度叫做有向線段的長(zhǎng)度記作||.
2.向量的表示
(1)幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑體a，b，c，書(shū)寫(xiě)時(shí)用，，).
知識(shí)三：.模、零向量、單位向量
向量的大小，稱為向量的長(zhǎng)度(或稱模)，記作||.長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作0；長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量.
知識(shí)四：　相等向量與共線向量
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
(1)記法：向量a與b平行，記作a∥b.
(2)規(guī)定：零向量與任意向量平行.
2.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
3.共線向量：由于任一組平行向量都可以平移到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量.要注意避免向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行和共線相混淆.
【題型歸納】
題型一：平面向量的概念
1．（2023下·山西陽(yáng)泉·高一陽(yáng)泉市第十一中學(xué)校校考期中）下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）溫度 速度 位移 功都是向量
（2）零向量沒(méi)有方向
（3）向量的模一定是正數(shù)
（4）直角坐標(biāo)平面上的x軸 y軸都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷正誤即可.
【詳解】（1）錯(cuò)誤，只有速度，位移是向量；溫度和功沒(méi)有方向，不是向量；
（2）錯(cuò)誤，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）錯(cuò)誤，零向量的模為0，向量的模不一定為正數(shù)；
（4）錯(cuò)誤，直角坐標(biāo)平面上的軸、軸只有方向，但沒(méi)有長(zhǎng)度，故它們不是向量.
故選：A.
2．（2020下·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的個(gè)數(shù)是
①向量就是有向線段 ②零向量是沒(méi)有方向的向量
③零向量的方向是任意的 ④任何向量的模都是正實(shí)數(shù)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】根據(jù)平面向量的基本概念，對(duì)每一個(gè)命題進(jìn)行分析、判斷即可．
【詳解】有向線段只是向量的一種表示形式，但不能把兩者等同起來(lái)，故①錯(cuò)；
零向量有方向，其方向是任意的，故②錯(cuò)，③正確；
零向量的模等于0，故④錯(cuò).
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本概念的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．
3．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論正確的是
A．單位向量的方向相同或相反 B．對(duì)任意向量,總是成立的
C． D．若,則一定有直線
【答案】C
【解析】根據(jù)向量的概念與性質(zhì)分析即可.
【詳解】單位向量的長(zhǎng)度為1,方向任意,故A錯(cuò);零向量的模為零,故B錯(cuò);與方向相反,但模相等,故C正確;直線與可能重合,故D錯(cuò),
故選：C.
題型二：向量的模
4．（2022下·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）設(shè)是單位向量，，，，則四邊形是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【分析】由題知，進(jìn)而得，，再根據(jù)菱形的定義即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>所以，即，，
所以四邊形是平行四邊形，
因?yàn)椋矗?br/>所以四邊形是菱形.
故選：B
5．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．向量與向量的長(zhǎng)度相等
B．兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同
C．零向量沒(méi)有方向
D．向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的概念、零向量的定義及向量模的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】A：與的長(zhǎng)度相等，方向相反，正確；
B：兩個(gè)有共同起點(diǎn)且長(zhǎng)度相等的向量，若方向也相同，則它們的終點(diǎn)相同，故錯(cuò)誤；
C：零向量的方向任意，故錯(cuò)誤；
D：向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，故錯(cuò)誤.
故選：A
6．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）若是任一非零向量，是單位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正確的有（ ）
A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④
【答案】D
【分析】根據(jù)向量模的概念可判斷①；利用向量共線的定義可判斷②；利用向量模的概念可判斷③、④；根據(jù)單位向量的概念可判斷⑤.
【詳解】①｜｜＞｜｜不正確，是任一非零向量，模長(zhǎng)是任意的，故不正確；
②∥，則與為共線向量，故不正確；
③，向量的模長(zhǎng)是非負(fù)數(shù)，故正確；
④｜｜=1，故正確；
⑤是單位向量，是單位向量，兩向量方向不一定相同，故不正確.
故選：D.
題型三：零向量和單位向量
7．（2022下·高一校考課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．零向量沒(méi)有大小，沒(méi)有方向
B．零向量是唯一沒(méi)有方向的向量
C．零向量的長(zhǎng)度為0
D．任意兩個(gè)單位向量方向相同
【答案】C
【分析】根據(jù)零向量和單位向量的概念求解.
【詳解】零向量有大小，有方向，其長(zhǎng)度為0，方向不確定，任意兩個(gè)單位向量長(zhǎng)度相同，方向無(wú)法判斷.
故選：C.
8．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)非零向量，若，則的取值范圍為（ ）
A．[0，1] B．[0，2]
C．[0，3] D．[1，2]
【答案】C
【分析】根據(jù)單位向量、向量加法等知識(shí)確定正確答案.
【詳解】因?yàn)槭侨齻€(gè)單位向量，
因此，當(dāng)三個(gè)向量同向時(shí)，取得最大值為；
當(dāng)三個(gè)向量?jī)蓛沙山菚r(shí)，它們的和為，也即的最小值為，
所以的取值范圍為.
故選：C
9．（2020上·安徽六安·高一六安一中校考期末）下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．平行向量也叫共線向量
B．兩非零向量平行，則它們所在的直線平行或重合
C．若為非零向量，則是一個(gè)與同向的單位向量
D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且模相等的向量，其終點(diǎn)必相同
【答案】D
【解析】根據(jù)共線向量的定義判斷AB；由的模長(zhǎng)為，得出是一個(gè)與同向的單位向量；舉例排除D.
【詳解】由于任一組平行向量都可以平移到一條直線上，則平行向量也叫共線向量，A正確；
兩非零向量平行，則它們所在的直線平行或重合，由共線向量的定義可知，B正確；
的模長(zhǎng)為，，則是一個(gè)與同向的單位向量，C正確；
從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)相反向量，有共同的起點(diǎn)且模長(zhǎng)相等，但終點(diǎn)不同，D錯(cuò)誤；
故選：D
題型四：相等向量和平行（共線）向量
10．（2023下·新疆·高一兵團(tuán)第三師第一中學(xué)校考階段練習(xí)）關(guān)于向量，，下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，，則
【答案】B
【分析】根據(jù)向量相等的定義、共線向量的定義和性質(zhì)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，方向可能不同，未必成立，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，則反向，，B正確；
對(duì)于C，只能說(shuō)明長(zhǎng)度的大小關(guān)系，但還有方向，無(wú)法比較大小，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)未必共線，D錯(cuò)誤.
故選：B.
11．（2023下·陜西西安·高一校考階段練習(xí)）下列各命題中，正確的是（ ）
A．若，則或
B．與非零向量共線的單位向量是
C．長(zhǎng)度不相等而方向相反的兩個(gè)向量一定是平行向量
D．若，則
【答案】C
【分析】利用平面向量概念可判斷AD選項(xiàng)；利用單位向量的定義可判斷B選項(xiàng)；利用共線向量的定義可判斷C選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則、的方向關(guān)系無(wú)法確定，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，與非零向量共線的單位向量是，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，長(zhǎng)度不相等而方向相反的兩個(gè)向量一定是平行向量，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若，但向量、不能比大小，D錯(cuò).
故選：C.
12．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列3個(gè)命題，①相等向量是共線向量；（2）若與不相等，則向量與是不共線向量；③平行于同一個(gè)向量的兩個(gè)向量是共線向量；其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)相等向量、共線向量的定義判斷即可.
【詳解】長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故相等向量一定是共線向量，即①正確；
若與不相等，則向量與也可以共線，只要與模不同即可，故②錯(cuò)誤；
平行于同一個(gè)向量的兩個(gè)向量不一定是共線向量，如，，，
此時(shí)，，但是與不一定共線，故③錯(cuò)誤；即真命題只有個(gè).
故選：B
題型五：平面向量的綜合問(wèn)題
13．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在下圖所標(biāo)出的向量中：

(1)找出與相等的向量；
(2)找出幾組相反向量．
【答案】(1)
(2)與，與，與
【分析】（1）根據(jù)相等向量定義判斷選擇即可；
（2）根據(jù)相反向量定義判斷選擇即可.
【詳解】（1）與方向相同且長(zhǎng)度相等，故．
（2）與，與，與方向相反且長(zhǎng)度相等分別互為相反向量．
14．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知O為正六邊形的中心，在圖所標(biāo)出的向量中：

(1)試找出與共線的向量；
(2)確定與相等的向量；
(3)與相等嗎？
【答案】(1)和；
(2)；
(3)不相等.
【分析】（1）（2）（3）根據(jù)給定條件，利用正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合共線向量、相等向量的意義判斷作答.
【詳解】（1）由O為正六邊形的中心，得與共線的向量有和.
（2）由于與長(zhǎng)度相等且方向相同，所以.
（3）顯然，且，但與的方向相反，所以這兩個(gè)向量不相等.
15．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形和四邊形都是平行四邊形．
(1)寫(xiě)出與向量相等的向量；
(2)寫(xiě)出與向量共線的向量．
【答案】(1)
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)向量相等的概念直接求解；
（2）根據(jù)共線向量的概念直接求解即可.
【詳解】（1）∵四邊形和四邊形都是平行四邊形，
∴，，
∴.
故與向量相等的向量是，.
（2）由共線向量的條件知，與共線的向量有，，，，，，.
【雙基訓(xùn)練】
一、單選題
16．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；
（2）零向量沒(méi)有方向；
（3）向量的模一定是正數(shù)；
（4）非零向量的單位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)零向量與單位向量，向量的定義對(duì)各個(gè)項(xiàng)逐個(gè)判斷即可求解．
【詳解】對(duì)于（1），溫度與功沒(méi)有方向，不是向量，故（1）錯(cuò)誤，
對(duì)于（2），零向量的方向是任意的，故（2）錯(cuò)誤，
對(duì)于（3），零向量的模可能為0，不一點(diǎn)是正數(shù)，故（3）錯(cuò)誤，
對(duì)于（4），非零向量的單位向量的方向有兩個(gè)，故（4）錯(cuò)誤，
故選：A．
17．（2023下·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移動(dòng) B．是單位向量，則
C． D．若，則
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由向量的定義以及相關(guān)概念對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榉橇阆蛄渴亲杂上蛄浚梢宰杂善揭埔苿?dòng)，故A正確；
由單位向量對(duì)于可知，，故B正確；
因?yàn)椋裕蔆正確；
因?yàn)閮蓚€(gè)向量不能比較大小，故D錯(cuò)誤；
故選：D
18．（2022下·新疆巴音郭楞·高一校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．單位向量均相等 B．單位向量
C．零向量與任意向量平行 D．若向量，滿足，則
【答案】C
【分析】對(duì)于A：由方向不一定相同否定結(jié)論；對(duì)于B：?jiǎn)挝幌蛄?否定結(jié)論；
對(duì)于C：零向量與任意向量平行.即可判斷；對(duì)于D：，的方向可以是任意的. 否定結(jié)論.
【詳解】對(duì)于A：?jiǎn)挝幌蛄康哪Ｏ嗟龋欠较虿灰欢ㄏ嗤?故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：?jiǎn)挝幌蛄?故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：零向量與任意向量平行.正確；
對(duì)于D：若向量，滿足，但是，的方向可以是任意的.
故選：C
19．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列命題正確的是（ ）
A．零向量沒(méi)有方向 B．若，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】C
【分析】A選項(xiàng)，由零向量的定義進(jìn)行判斷；B選項(xiàng)，根據(jù)向量的模及相等向量判斷；
C選項(xiàng)，根據(jù)向量的性質(zhì)判斷，D選項(xiàng)，根據(jù)共線向量的定義判斷；
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：零向量的方向是任意的并不是沒(méi)有方向，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)：因?yàn)橄蛄康哪Ｏ嗟龋蛄坎灰欢ㄏ嗟龋蔅項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)：因?yàn)椋钥傻茫海蔆項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)：若，則不共線的，也有，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C.
20．（2023下·河南濮陽(yáng)·高一濮陽(yáng)一高校考階段練習(xí)）判斷下列命題：①兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的非零向量，其終點(diǎn)必相同；②若，則與的方向相同或相反；③若，且，則.其中，正確的命題個(gè)數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量的基本概念一一判定即可.
【詳解】相等向量即方向相同大小相等，故兩個(gè)相同向量同起點(diǎn)比同終點(diǎn)，即①正確；
零向量方向是任意的，且與任意向量都平行，所以當(dāng)，若，而是非零向量，
則不滿足兩向量方向相同或相反，即②錯(cuò)誤；
同理若，且時(shí)，，是非零向量，也得不到，即③錯(cuò)誤.
綜上正確的是1個(gè).
故選：B
21．（2023下·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．
B．、是單位向量，則
C．若，則
D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)
【答案】C
【分析】運(yùn)用向量、單位向量、相反向量的定義可判斷.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋裕蔄項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，由單位向量的定義知，，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，兩個(gè)向量不能比較大小，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)榉橇阆蛄渴亲杂上蛄浚梢宰杂善叫幸苿?dòng)，故D項(xiàng)正確.
故選：C.
22．（2023下·山東濱州·高一統(tǒng)考期中）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．單位向量都相等
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】C
【分析】利用向量的相關(guān)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，單位向量的模長(zhǎng)都相等，但方向不一定相同，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，說(shuō)明兩個(gè)向量的模長(zhǎng)相等，但方向不一定相同或相反，所以兩向量不一定共線，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，向量的相等條件為方向相同且模長(zhǎng)相等，所以，則，所以選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D，此時(shí)若，但兩向量的方向不同，滿足，但與選項(xiàng)D題干矛盾，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：C.
23．（2023下·江西九江·高一校考期中）設(shè)為兩個(gè)非零向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合共線向量的定義分析判斷
【詳解】因?yàn)椋酝蚬簿€，所以，
因?yàn)椋酝蚬簿€，此時(shí)不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
二、多選題
24．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高一東北育才學(xué)校校考期末）下列命題中正確的是（ ）
A．單位向量的模都相等
B．長(zhǎng)度不等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量
C．方向相同的兩個(gè)向量，向量的模越大，則向量越大
D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同
【答案】AD
【分析】利用向量的基本概念，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論.
【詳解】根據(jù)單位向量的概念可知，單位向量的模都相等且為1，故A正確；
根據(jù)共線向量的概念可知，長(zhǎng)度不等且方向相反的兩個(gè)向量是共線向量，故B錯(cuò)誤；
向量不能夠比較大小，故C錯(cuò)誤；
根據(jù)相等的向量的概念可知，兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同，故D正確.
故選：AD.
25．（2023下·貴州遵義·高一校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．有向線段與表示同一向量
B．兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量是平行向量
C．零向量與單位向量是平行向量
D．單位向量都相等
【答案】ABD
【分析】根據(jù)向量的概念以及平行向量的概念判斷求解.
【詳解】對(duì)A, 有向線段與表示相反向量，不是同一向量，A錯(cuò)誤；
對(duì)B，兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量不一定是平行向量，B錯(cuò)誤；
對(duì)C，我們規(guī)定：零向量與任意向量是平行向量，C正確；
對(duì)D，單位向量?jī)H是模長(zhǎng)相等，方向不確定，D錯(cuò)誤；
故選:ABD.
26．（2023下·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）給出下列命題，其中正確的命題是（ ）
A．若，則或
B．若向量是向量的相反向量，則
C．向量與相等
D．若向量，，滿足，，則
【答案】BD
【分析】A選項(xiàng)，由于方向不確定，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，根據(jù)相反向量的定義得到B正確；C選項(xiàng)，，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，根據(jù)相等向量的概念進(jìn)行判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，即向量與的模相等，但方向不確定，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：相反向量是指大小相等方向相反的兩個(gè)向量，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：向量與互為相反向量，故，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：若，，則，方向相同大小相等，故，若，，中有零向量結(jié)論也正確，所以D正確．
故選：BD．
27．（2023下·四川眉山·高一校考期中）給出下列命題，其中假命題為（ ）
A．兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；
B．若是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；
C．若與同向，且，則；
D．為實(shí)數(shù)，若，則與共線.
【答案】ACD
【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念，向量共線及向量相等，逐個(gè)分析判斷即可
【詳解】對(duì)于A，兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量，由于起點(diǎn)不一定相同，它們的方向不一定相同，所以它們不一定是共線向量，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，當(dāng)是不共線的四點(diǎn)，若，則四邊形是平行四邊形，若四邊形是平行四邊形，則，
所以是四邊形為平行四邊形的充要條件，所以B正確，
對(duì)于C，當(dāng)與同向，且時(shí)，因?yàn)閮蓚€(gè)向量不能比較大小，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，為實(shí)數(shù)，若，則與不一定共線，如時(shí)，與是任意的，所以D錯(cuò)誤，
故選：ACD
28．（2023下·寧夏銀川·高一校考階段練習(xí)）在下列結(jié)論中，正確的結(jié)論為（ ）
A．且是的必要不充分條件
B．且是的既不充分也不必要條件
C．與方向相同且是的充要條件
D．與方向相反或是的充分不必要條件
【答案】ACD
【分析】根據(jù)向量共線、向量相等的概念結(jié)合充分條件、必要條件逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】因?yàn)榍遥曰颍?br/>若，則與方向相同且，所以且是的必要不充分條件，
故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)榕c方向相同且，所以，
反之，若，則與方向相同且，
所以與方向相同且是的充要條件，正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，若與方向相反或，則，若，則與方向不同或，
即由得不到與方向相反或，
所以與方向相反或是的充分不必要條件，正確.
故選：ACD
三、填空題
29．（2023下·廣東湛江·高一雷州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列四個(gè)說(shuō)法：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則．其中錯(cuò)誤的是 （填序號(hào)）．
【答案】②③④
【分析】由零向量的定義、向量相等的條件、向量共線的條件、向量模的定義，判斷各說(shuō)法是否正確.
【詳解】由零向量的定義可知，①正確；
時(shí)，不知道兩個(gè)向量的方向，不能得到或，②錯(cuò)誤；
兩個(gè)向量共線，與模是否相等無(wú)關(guān)，③錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，滿足，，但不能得到，④錯(cuò)誤.
故答案為：②③④
30．（2023下·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在如圖所示的向量中（小正方形的邊長(zhǎng)為1），找出存在下列關(guān)系的向量：

①共線向量： ；
②方向相反的向量： ；
③模相等的向量： .
【答案】 與，與 與，與
【分析】觀察圖形，利用共線向量、方向相反向量、模相等的向量的意義判斷作答.
【詳解】觀察圖形，，因此與是共線向量，并且方向相反；與是共線向量，并且方向相反，
顯然，因此的模相等.
故答案為：與，與；與，與；
31．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則在以A，B，C，D，M，O，N為起點(diǎn)或終點(diǎn)的所有有向線段表示的向量中，相等向量有 對(duì).

【答案】2
【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合已知條件，可推得，即可得出答案.
【詳解】由題意∥AB可知，，所以，所以.
因?yàn)椋裕?br/>所以，，所以.
又M，O，N三點(diǎn)共線，
所以，，故相等向量有2對(duì).
故答案為：2.
32．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列五個(gè)命題：
①向量與共線，則必在同一條直線上；
②如果非零向量與平行，則與方向相同或相反；
③四邊形P1P2OA是平行四邊形的充要條件是；
④若，則、的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不確定，故零向量與任何向量不平行.
其中正確的命題有 個(gè).
【答案】1
【分析】利用向量共線可判斷①②③；利用相等向量可判斷④；利用零向量與任何向量共線可判斷⑤.
【詳解】對(duì)于①，向量與共線，則直線與直線可能平行，故①錯(cuò)；
對(duì)于②，根據(jù)共線向量的定義可知，②正確；
對(duì)于③，若，則四點(diǎn)可能共線，故③錯(cuò)；
對(duì)于④，若，只能說(shuō)明，的長(zhǎng)度相等但確定不了方向，故④錯(cuò)；
對(duì)于⑤，零向量與任何向量平行，故⑤錯(cuò).
∴正確的命題有1個(gè).
故答案為：1.
四、解答題
33．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，四邊形為正方形，為平行四邊形，

(1)與模長(zhǎng)相等的向量有多少個(gè)？
(2)寫(xiě)出與相等的向量有哪些？
(3)與共線的向量有哪些？
(4)請(qǐng)列出與相等的向量．
【答案】(1)有9個(gè)
(2)，
(3)，，，，，，
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)平面幾何的性質(zhì)及相等向量、共線向量的定義判斷即可.
【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑸槠叫兴倪呅危?br/>所以，
所以與模長(zhǎng)相等的向量有、、、、、、、、共個(gè).
（2）與相等的向量有、.
（3）與共線的向量有，，，，，，.
（4）因?yàn)闉槠叫兴倪呅危郧遥?br/>所以與相等的向量為.
34．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，多邊形ABCDEF為正六邊形，在以此六邊形各頂點(diǎn)和中心為起點(diǎn)、終點(diǎn)的向量中：
(1)寫(xiě)出與相等的向量；
(2)寫(xiě)出的負(fù)向量；
(3)寫(xiě)出與平行的向量；
(4)寫(xiě)出與長(zhǎng)度相等的向量．
【答案】(1)，，
(2)，，，
(3)，，，，，，，，
(4)，，，，
【分析】（1）（2）（3）（4）由相等向量，負(fù)向量，平行向量，長(zhǎng)度相等向量定義可得答案.
【詳解】（1）兩向量相等是指兩向量方向相同，長(zhǎng)度相等，由圖可得與相等的向量為：，，；
（2）向量的負(fù)向量是指與方向相反，長(zhǎng)度相等的向量，由圖可得的負(fù)向量為：，，，；
（3）兩向量平行，是指兩向量方向相同或相反，由圖可得平行的向量為：
，，，，，，，，.
（4）由圖，因圖形為正六邊形，則，故與長(zhǎng)度相等的向量為：，，，，.
35．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，平行四邊形ABCD中，O是兩對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，試求集合T中元素的個(gè)數(shù)．
【答案】12
【分析】集合T中的元素實(shí)質(zhì)上是S中任意兩點(diǎn)連成的有向線段，數(shù)出有向線段的條數(shù)減去相等向量的個(gè)數(shù)即為答案.
【詳解】由題可知，集合T中的元素實(shí)質(zhì)上是S中任意兩點(diǎn)連成的有向線段，共有20個(gè)，
即，，，；，，，；
，，，；，，，；
，，，.
由平行四邊形的性質(zhì)可知，共有8對(duì)向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.
又集合元素具有互異性，故集合T中的元素共有12個(gè)．
36．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在平行四邊形中，，分別為邊、的中點(diǎn)，如圖．
(1)寫(xiě)出與向量共線的向量；
(2)求證：．
【答案】(1),
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由題意直接寫(xiě)出與向量共線的向量即可；
（2）證明四邊形是平行四邊形即可證明.
【詳解】（1）據(jù)題意，與向量共線的向量為：, ；
（2）證明：是平行四邊形，且，分別為邊，的中點(diǎn)，
，且，
四邊形是平行四邊形，
，且，
．新課第01講：:平面向量的概念
【考點(diǎn)梳理】
考點(diǎn)一：平面向量的概念 考點(diǎn)二：向量的模
考點(diǎn)三：零向量和單位向量 考點(diǎn)四：相等向量和平行（共線）向量
考點(diǎn)五：平面向量的綜合問(wèn)題
【知識(shí)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一　向量的概念
1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2.數(shù)量：只有大小沒(méi)有方向的量稱為數(shù)量.
知識(shí)點(diǎn)二　向量的幾何表示
1.有向線段
具有方向的線段叫做有向線段，它包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度，如圖所示.以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作，線段AB的長(zhǎng)度叫做有向線段的長(zhǎng)度記作||.
2.向量的表示
(1)幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑體a，b，c，書(shū)寫(xiě)時(shí)用，，).
知識(shí)三：.模、零向量、單位向量
向量的大小，稱為向量的長(zhǎng)度(或稱模)，記作||.長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作0；長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量.
知識(shí)四：　相等向量與共線向量
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
(1)記法：向量a與b平行，記作a∥b.
(2)規(guī)定：零向量與任意向量平行.
2.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
3.共線向量：由于任一組平行向量都可以平移到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量.要注意避免向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行和共線相混淆.
【題型歸納】
題型一：平面向量的概念
1．（2023下·山西陽(yáng)泉·高一陽(yáng)泉市第十一中學(xué)校校考期中）下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）溫度 速度 位移 功都是向量
（2）零向量沒(méi)有方向
（3）向量的模一定是正數(shù)
（4）直角坐標(biāo)平面上的x軸 y軸都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2020下·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的個(gè)數(shù)是
①向量就是有向線段 ②零向量是沒(méi)有方向的向量
③零向量的方向是任意的 ④任何向量的模都是正實(shí)數(shù)
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論正確的是
A．單位向量的方向相同或相反 B．對(duì)任意向量,總是成立的
C． D．若,則一定有直線
題型二：向量的模
4．（2022下·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）設(shè)是單位向量，，，，則四邊形是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
5．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．向量與向量的長(zhǎng)度相等
B．兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同
C．零向量沒(méi)有方向
D．向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)
6．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）若是任一非零向量，是單位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正確的有（ ）
A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④
題型三：零向量和單位向量
7．（2022下·高一校考課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．零向量沒(méi)有大小，沒(méi)有方向
B．零向量是唯一沒(méi)有方向的向量
C．零向量的長(zhǎng)度為0
D．任意兩個(gè)單位向量方向相同
8．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)非零向量，若，則的取值范圍為（ ）
A．[0，1] B．[0，2]
C．[0，3] D．[1，2]
9．（2020上·安徽六安·高一六安一中校考期末）下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．平行向量也叫共線向量
B．兩非零向量平行，則它們所在的直線平行或重合
C．若為非零向量，則是一個(gè)與同向的單位向量
D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且模相等的向量，其終點(diǎn)必相同
題型四：相等向量和平行（共線）向量
10．（2023下·新疆·高一兵團(tuán)第三師第一中學(xué)校考階段練習(xí)）關(guān)于向量，，下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，，則
11．（2023下·陜西西安·高一校考階段練習(xí)）下列各命題中，正確的是（ ）
A．若，則或
B．與非零向量共線的單位向量是
C．長(zhǎng)度不相等而方向相反的兩個(gè)向量一定是平行向量
D．若，則
12．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列3個(gè)命題，①相等向量是共線向量；（2）若與不相等，則向量與是不共線向量；③平行于同一個(gè)向量的兩個(gè)向量是共線向量；其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
題型五：平面向量的綜合問(wèn)題
13．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在下圖所標(biāo)出的向量中：

(1)找出與相等的向量；(2)找出幾組相反向量．
14．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知O為正六邊形的中心，在圖所標(biāo)出的向量中：

(1)試找出與共線的向量；(2)確定與相等的向量；(3)與相等嗎？
15．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形和四邊形都是平行四邊形．
(1)寫(xiě)出與向量相等的向量；
(2)寫(xiě)出與向量共線的向量．
【雙基訓(xùn)練】
一、單選題
16．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；
（2）零向量沒(méi)有方向；
（3）向量的模一定是正數(shù)；
（4）非零向量的單位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
17．（2023下·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移動(dòng) B．是單位向量，則
C． D．若，則
18．（2022下·新疆巴音郭楞·高一校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．單位向量均相等 B．單位向量
C．零向量與任意向量平行 D．若向量，滿足，則
19．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列命題正確的是（ ）
A．零向量沒(méi)有方向 B．若，則
C．若，，則 D．若，，則
20．（2023下·河南濮陽(yáng)·高一濮陽(yáng)一高校考階段練習(xí)）判斷下列命題：①兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的非零向量，其終點(diǎn)必相同；②若，則與的方向相同或相反；③若，且，則.其中，正確的命題個(gè)數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
21．（2023下·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．
B．、是單位向量，則
C．若，則
D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)
22．（2023下·山東濱州·高一統(tǒng)考期中）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．單位向量都相等
B．若，則
C．若，則
D．若，則
23．（2023下·江西九江·高一校考期中）設(shè)為兩個(gè)非零向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
24．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高一東北育才學(xué)校校考期末）下列命題中正確的是（ ）
A．單位向量的模都相等
B．長(zhǎng)度不等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量
C．方向相同的兩個(gè)向量，向量的模越大，則向量越大
D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同
25．（2023下·貴州遵義·高一校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．有向線段與表示同一向量
B．兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量是平行向量
C．零向量與單位向量是平行向量
D．單位向量都相等
26．（2023下·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）給出下列命題，其中正確的命題是（ ）
A．若，則或
B．若向量是向量的相反向量，則
C．向量與相等
D．若向量，，滿足，，則
27．（2023下·四川眉山·高一校考期中）給出下列命題，其中假命題為（ ）
A．兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；
B．若是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；
C．若與同向，且，則；
D．為實(shí)數(shù)，若，則與共線.
28．（2023下·寧夏銀川·高一校考階段練習(xí)）在下列結(jié)論中，正確的結(jié)論為（ ）
A．且是的必要不充分條件
B．且是的既不充分也不必要條件
C．與方向相同且是的充要條件
D．與方向相反或是的充分不必要條件
三、填空題
29．（2023下·廣東湛江·高一雷州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列四個(gè)說(shuō)法：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則．其中錯(cuò)誤的是 （填序號(hào)）．
30．（2023下·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在如圖所示的向量中（小正方形的邊長(zhǎng)為1），找出存在下列關(guān)系的向量：

①共線向量： ；
②方向相反的向量： ；
③模相等的向量： .
31．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則在以A，B，C，D，M，O，N為起點(diǎn)或終點(diǎn)的所有有向線段表示的向量中，相等向量有 對(duì).

32．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列五個(gè)命題：
①向量與共線，則必在同一條直線上；
②如果非零向量與平行，則與方向相同或相反；
③四邊形P1P2OA是平行四邊形的充要條件是；
④若，則、的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不確定，故零向量與任何向量不平行.
其中正確的命題有 個(gè).
四、解答題
33．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，四邊形為正方形，為平行四邊形，

(1)與模長(zhǎng)相等的向量有多少個(gè)？
(2)寫(xiě)出與相等的向量有哪些？
(3)與共線的向量有哪些？
(4)請(qǐng)列出與相等的向量．
34．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，多邊形ABCDEF為正六邊形，在以此六邊形各頂點(diǎn)和中心為起點(diǎn)、終點(diǎn)的向量中：
(1)寫(xiě)出與相等的向量；
(2)寫(xiě)出的負(fù)向量；
(3)寫(xiě)出與平行的向量；
(4)寫(xiě)出與長(zhǎng)度相等的向量．
35．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，平行四邊形ABCD中，O是兩對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，試求集合T中元素的個(gè)數(shù)．
36．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在平行四邊形中，，分別為邊、的中點(diǎn)，如圖．
(1)寫(xiě)出與向量共線的向量；
(2)求證：．

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