資源簡介

新課第02講：平面向量的運算
【考點梳理】
考點一：向量加法法則 考點二：向量加法的運算律
考點三：向量加法法則的幾何應用 考點四：相反向量
考點五：向量減法法則 考點六：向量減法的運算律
考點七：向量減法法則的幾何應用 考點八：向量加減法的綜合問題
【知識梳理】
知識點一　向量加法的定義及其運算法則
1.向量加法的定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法則
向量求和的法則 三角形法則 已知非零向量a，b，在平面內任取一點A，作＝a，＝b，則向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝. 這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則. 對于零向量與任意向量a，規定a＋0＝0＋a＝a
平行四邊形法則 以同一點O為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作 OACB，則以O為起點的對角線就是a與b的和.把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則
知識點二　向量加法的運算律
交換律 a＋b＝b＋a
結合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
技巧：向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區別和聯系
區別 聯系
三角形法則 (1)首尾相接 (2)適用于任何向量求和 三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半
知識點三：相反向量
1.定義：與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.
2.性質
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)對于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)若a，b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
知識點四：向量的減法
1.定義：向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此減去一個向量，相當于加上這個向量的相反向量，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法.
2.幾何意義：在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則向量a－b＝，如圖所示.
3.文字敘述：如果把兩個向量的起點放在一起，那么這兩個向量的差是以減向量的終點為起點，被減向量的終點為終點的向量.
【題型歸納】
題型一：向量加法法則
1．（2023下·海南省直轄縣級單位·高一校考期中）如圖，在正六邊形ABCDEF中，（　 　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的加法法則即可求解.
【詳解】由向量的加法法則，得.
故選：A.
2．（2023下·云南迪慶·高一統考期末）四邊形是梯形，，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據向量的加法運算法則即可求解.
【詳解】,
故選：B
3．（2023下·江西贛州·高一校聯考期中）化簡以下各式:①；②；③；④，結果為零向量的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據平面向量的加法運算即可求解.
【詳解】對于①，,故①正確；
對于②，,故②錯誤；
對于③，，故③正確；
對于④，,故④正確.
故結果為零向量的個數是3.
故選:C.
題型二：向量加法的運算律
4．（2022下·廣東梅州·高一興寧市第一中學校考期中）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據平面向量加法的運算律計算可得；
【詳解】解：
故選：B
5．（2022·高一課時練習）已知是非零向量，則，，，，中，與向量相等的向量的個數為（　　）
A．5 B．4
C．3 D．2
【答案】A
【分析】根據向量的加法運算律判斷
【詳解】因為向量的加法滿足交換律和結合律，
所以，，，，都等于，
故選：A
6．（2020下·遼寧阜新·高一校考階段練習）下列向量的運算結果為零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根據向量加法運算規律，逐項檢驗，即可求得答案.
【詳解】對A，；
對B，；
對C，；
對D，.
綜上所述，只有C符合題意
故選：C.
題型三：向量加法法則的幾何應用
7．（2023下·廣西·高一統考期末）在矩形中，，，則等于（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【詳解】根據向量的加法運算法化簡，根據矩形的特征可求對角線的長度，進而可求模長．
【分析】在矩形中，由，可得，
又因為，故，故．
故選：A.
8．（2023下·山西陽泉·高一統考期末）菱形中，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據菱形的幾何性質結合向量的線性運算求解.
【詳解】因為菱形中，，若，
所以為等邊三角形，且，
因為，
所以.
故選：B.
9．（2023下·遼寧撫順·高一校聯考期中）在中，D是BC的中點，E是AD的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接利用向量的線性運算求出結果
【詳解】在中，D是BC的中點，E是AD的中點，
則．
故選：C.
題型四：相反向量
10．（2021下·高一課時練習）下列等式中，正確的個數為（ ）
①②③④⑤⑥．
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【分析】根據向量加減法的概念和相反向量的概念分別判斷即可.
【詳解】根據向量的運算及相反向量的概念知①②③④⑤正確，⑥錯誤，所以正確的個數為5．
故選:C．
11．（2021下·安徽滁州·高一校聯考期中）如圖，在四邊形中，與交于點，若，則下面互為相反向量的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】B
【分析】首先根據題意得到四邊形是平行四邊形，從而得到與為相反向量.
【詳解】因為，所以四邊形是平行四邊形，
所以，互相平分，所以，即與為相反向量.
故選：B
12．（2020·河南·高一校聯考階段練習）已知是所在平面內一點，為線段的中點，且，那么
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】所給等式可整理為，再由為的中點得，推出，得解.
【詳解】因為，所以，
因為為的中點，所以，
則.
故選: A
題型五：向量減法法則
13．（2023·全國·高一專題練習）（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的線性運算化簡，求解即可．
【詳解】由題意可得：.
故選：C．
14．（2023下·海南·高一校考期中）如圖，在等腰梯形中，，，點為線段的中點，點是線段上的一點，且，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，利用向量的線性運算法則，準確化簡、運算，即可求解.
【詳解】由題意，點為的中點，點是線段上的一點，且，
則，
因為，且，
則有 .
故選：D.
15．（2023下·重慶萬州·高一校考階段練習）下列各式中不能化簡為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據平面向量線性運算法則計算可得.
【詳解】對于A：，故A正確；
對于B：，故B正確；
對于C：，故C正確；
對于D：，故D錯誤；
故選：D
題型六：向量減法的運算律
16．（2023下·天津和平·高一天津市第五十五中學校考階段練習）下列各式中不能化簡為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據平面向量線性運算法則計算可得.
【詳解】對于A：
，故A正確；
對于B：，故B錯誤；
對于C：，故C正確；
對于D：，故D正確；
故選：B
17．（2021下·廣東深圳·高一校考階段練習）化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的加減運算法則即可求解.
【詳解】解：，
故選：A.
18．（2021下·浙江·高一校聯考階段練習）在平行四邊形中，設為線段的中點，為線段上靠近的三等分點，，，則向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意作出圖形，將用、的表達式加以表示，再利用平面向量的減法法則可得出結果.
【詳解】解：由題意作出圖形：

在平行四邊形中，M為BC的中點，則
又N為線段AB上靠近A的三等分點，則
故選：B
題型七：向量減法法則的幾何應用
19．（2023下·吉林長春·高一東北師大附中校考階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計算結果錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據向量運算的幾何意義，結合條件逐項分析即得.
【詳解】因為四邊形為平行四邊形，
對A，，正確；
對B，，錯誤；
對C，，正確；
對D，，正確.
故選：B.
20．（2022下·新疆阿克蘇·高一校聯考期中）如圖，在平行四邊形中，下列計算不正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加法、減法法則可判斷各選項.
【詳解】根據向量加法的平行四邊形法則知，故A正確；
，故B錯誤；
，故C正確；
，故D正確．
故選：B．
21．（2022下·新疆昌吉·高一校考期末）在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD為（ ）
A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】C
【分析】根據相等向量的性質，結合平面向量加法和減法的幾何意義、矩形的判定定理進行求解即可.
【詳解】由，所以四邊形ABCD是平行四邊形，
由，所以平行四邊形ABCD的對角線相等，
因此該四邊形是矩形，
故選：C
題型八：向量加減法的綜合問題
22．（2023下·新疆·高一校考期中）化簡下列各向量的表達式：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1).
(2).
(3)
【分析】根據平面向量的加法運算和減法運算法則可求出結果.
【詳解】（1）.
（2）
.
（3）
.
23．（2023下·廣東佛山·高一佛山市順德區容山中學校考階段練習）在平行四邊形中，已知，且，．求．
【答案】
【分析】根據得到平行四邊形是矩形，，計算得到答案.
【詳解】，，，故，
故平行四邊形是矩形,
，，
，
=.
24．（2023·高一課時練習）已知平行四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD交于點E，O是任意一點，求證：．

【答案】證明見詳解
【分析】根據題意結合向量減法分析證明.
【詳解】因為
，
又因為為平行四邊形，則為的中點，可得，
所以，
即.
【雙基訓練】
一、單選題
25．（2023下·天津紅橋·高一統考期末）化簡：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量加法的三角形法則可知.
【詳解】.
故選：C.
26．（2023下·廣西欽州·高一統考期末）已知四邊形是平行四邊形，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量加法法則可化簡.
【詳解】.
故選：D.
27．（2023下·全國·高一隨堂練習）下列各式中，化簡后不是零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據向量的加法、減法運算化簡即可得解.
【詳解】因為，故A錯誤；
因為，故B正確；
因為，故C錯誤；
因為，故D錯誤.
故選：B
28．（2023下·河南駐馬店·高一校聯考期中）在中，，則是（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根據向量加減法法則及模的定義判斷.
【詳解】因為，，，，
所以，
所以是等邊三角形．
故選：A．
29．（2023下·海南儋州·高一校考階段練習）化簡的結果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】運用向量加法法則及相反向量計算即可.
【詳解】，
故選：B.
30．（2023下·山東棗莊·高一校考階段練習）如圖，點O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點，則下列等式一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據向量加減法結合圖形判斷各個選項即可.
【詳解】,A選項錯誤;
因為ABCD是平行四邊形, 點O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點,,B選項錯誤;
,C選項正確;
,D選項錯誤.
故選：C.
31．（2023下·山東泰安·高一統考期中）下列向量的運算結果不正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根據向量的加減法法則逐個分析判斷即可.
【詳解】對于A，，所以A正確，
對于B，，所以B錯誤，
對于C，，所以C正確，
對于D，，所以D正確，
故選：B
32．（2023下·湖南長沙·高一湖南師大附中校考期末）如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點，且為的中點，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據平面向量的線性運算法則，準確化簡，即可求解.
【詳解】因為為的中點，可得，
所以.
故選： C.
33．（2023·高一課時練習）已知向量，，，滿足，記的最大值為，最小值為，則（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】根據向量的線性運算結合圖形的性質分析求解.
【詳解】在中，設，則，
因為，即，所以為等邊三角形，
以為鄰邊作平行四邊形，設交于點，
可得，
則，
因為，取的起點為，
可知的終點的軌跡為以點為圓心，半徑為的圓，
如圖，當點為的延長線與圓的交點時，的最大值為；
當點為線段與圓的交點時，的最小值為；
所以.
故選：A.

二、多選題
34．（2023下·湖南懷化·高一校考期中）下列各式中結果一定為零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用向量的加法運算，結合零向量的意義逐項計算判斷作答.
【詳解】對于A，，A是；
對于B，，不一定是零向量，B不是；
對于C，，C是；
對于D，，D是.
故選：ACD
35．（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學校考階段練習）下列說法中錯誤的是（ ）
A．單位向量都相等 B．對于任意向量，，必有
C．平行向量不一定是共線向量 D．若，滿足且與同向，則
【答案】ACD
【分析】對于A：根據單位向量的概念即可判斷；對于B：分類討論向量的方向，根據三角形法則即可判斷；對于C：根據共線向量的定義即可判斷；對于D：根據向量不能比較大小即可判斷.
【詳解】對于A，單位向量模都為1，方向不一定相同，故A錯誤；
對于B，若方向相同，則，
若方向相反，則，
若不共線，根據向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊可知.
綜上可知對于任意向量，必有，故B正確；
對于C，平行向量就是共線向量，故C錯誤；
對于D，兩個向量不能比較大小，故D錯誤.
故選：ACD.
36．（2023上·遼寧營口·高一校聯考期末）設，是兩個非零向量，則下列描述錯誤的有（ ）
A．若，則存在實數，使得.
B．若，則.
C．若，則，反向.
D．若，則，一定同向
【答案】ACD
【分析】根據向量加法的意義判斷選項A，C；根據平面向量加法的平行四邊形法則可判斷選項B；根據平面向量平行的性質可判斷選項D.
【詳解】對于選項A：當，由向量加法的意義知，方向相反且，
則存在實數，使得，故選項A錯誤；
對于選項B：當，則以，為鄰邊的平行四邊形為矩形，且和是這個矩形的兩條對角線長，
則，故選項B正確；
對于選項C：當，由向量加法的意義知，方向相同，故選項C錯誤；
對于選項D：當時，則，同向或反向，故選項D錯誤；
綜上所述：選項ACD錯誤，
故選：ACD.
37．（2023下·云南普洱·高一校考階段練習）化簡以下各式：①；②；③；④．結果為零向量的是（ ）．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】ABD
【分析】根據向量的加減法法則逐個分析判斷即可
【詳解】對于①，，所以①符合題意，
對于②，，所以②符合題意，
對于③，，所以③不符合題意，
對于④，，所以④符合題意，
故選：ABD
38．（2023下·江蘇揚州·高一統考期末）如圖，在平行四邊形中，分別是邊上的兩個三等分點，則下列選項正確的有（ ）.

A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】結合圖形，用向量共線的知識和三等分點的性質即可判斷選項A；用向量的加法法則和向量的性質即可判斷選項B和選項C；用向量的加法法則和減法法則即可判斷選項D.
【詳解】對選項A：，正確；
對選項B：，錯誤；
對選項C：，正確；
對選項D：，錯誤.
故選：AC
三、填空題
39．（2023·全國·高一隨堂練習）化簡：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】
【分析】根據向量加減法的幾何意義進行運算即可.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
故答案為：；；；.
40．（2023下·高一課時練習）如圖所示，O是正三角形ABC的中心，四邊形AOCD和四邊形AOBE均為平行四邊形，

則：（1）與向量相等的向量有 ；
（2）與向量相反的向量有 ；
（3）與向量的模相等的向量有 .（填圖中所畫出的向量）
【答案】 ， ，，，，
【分析】根據已知，結合圖象以及向量的概念，即可得出答案.
【詳解】因為O是正三角形ABC的中心，所以.
因為四邊形AOCD為平行四邊形，所以，且.
根據圖象可知，與向量相等的向量有；
由已知可得，，且，且.
所以，與向量相反的向量有，；
因為，，
所以與向量的模相等的向量有，，，，.
故答案為：；，；，，，，.
41．（2023·高一課時練習）如圖，D、E、F分別是邊AB、BC、CA上的中點，則等式：
① ② ③ ④
其中正確的題號是 ．
【答案】③④
【分析】根據向量的線性運算逐項分析判斷.
【詳解】對于①：，故①錯誤；
對于②：，故②錯誤；
對于③：，故③正確；
對于④：，故④正確；
故答案為：③④.
42．（2023·全國·高一專題練習）已知非零向量滿足，，則的最大值為 .
【答案】/
【分析】設，根據題意 是三角形的重心，且可得，推出，設，根據勾股定理可得，可得，利用二次函數求最值即可.
【詳解】設，如圖，
則，是的重心.
由于，延長交于點，則，.
設，則，，
，
，當時，等號成立，
即的最大值為.
故答案為：
四、解答題
43．（2023下·河南南陽·高一統考階段練習）如圖所示，在平行四邊形中，，分別為邊和的中點，為與的交點．
(1)若，則四邊形是什么特殊的平行四邊形？說明理由．
(2)化簡，并在圖中作出表示該化簡結果的向量．
【答案】(1)菱形，理由見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）根據平面向量加法的運算法則，結合菱形的定義進行求解判斷即可；
（2）根據三角形中位線定理，結合平面向量運算法則進行求解即可.
【詳解】（1）由條件知，
即，又四邊形是平行四邊形，故四邊形是菱形．
（2）由平行四邊形及三角形中位線的性質可知．
所以．
作出向量如圖所示．
44．（2022下·河南周口·高一校考階段練習）化簡下列各式：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據平面向量加法和減法的運算法則化簡即可得出結果；
（2）首先化簡出兩個向量的結果，再與第三個向量進行加減運算即可求得結果.
【詳解】（1）利用平面向量的加減運算法則可得，
（2）由平面向量的加減運算法則可得
45．（2023·高一課前預習）化簡下列各式：
(1)(＋)＋()；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根據平面向量線性運算法則及運算律計算可得.
【詳解】（1）法一：原式；
法二：原式；
（2）法一：原式
法二：原式
（3）方法一：；
方法二：；
（4）
（5）
46．（2021·高一課時練習）如圖所示，，，.
(1)用表示；
(2)用表示.
【答案】(1)；
(2).
【分析】利用向量減法與加法的規則即可用表示，用表示
【詳解】（1）.
（2）.
47．（2023·全國·高一專題練習）如圖，已知四面體ABCD，點E，F分別是BC，CD的中點，化簡下列表達式，并在圖中標出化簡后的結果所對應的向量．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根據向量的加減法法則，直接可求得（1）（2）（3）的答案;
【詳解】（1）;
（2）;
（3）.新課第02講：平面向量的運算
【考點梳理】
考點一：向量加法法則 考點二：向量加法的運算律
考點三：向量加法法則的幾何應用 考點四：相反向量
考點五：向量減法法則 考點六：向量減法的運算律
考點七：向量減法法則的幾何應用 考點八：向量加減法的綜合問題
【知識梳理】
知識點一　向量加法的定義及其運算法則
1.向量加法的定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法則
向量求和的法則 三角形法則 已知非零向量a，b，在平面內任取一點A，作＝a，＝b，則向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝. 這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則. 對于零向量與任意向量a，規定a＋0＝0＋a＝a
平行四邊形法則 以同一點O為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作 OACB，則以O為起點的對角線就是a與b的和.把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則
知識點二　向量加法的運算律
交換律 a＋b＝b＋a
結合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
技巧：向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區別和聯系
區別 聯系
三角形法則 (1)首尾相接 (2)適用于任何向量求和 三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半
知識點三：相反向量
1.定義：與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.
2.性質
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)對于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)若a，b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
知識點四：向量的減法
1.定義：向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此減去一個向量，相當于加上這個向量的相反向量，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法.
2.幾何意義：在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則向量a－b＝，如圖所示.
3.文字敘述：如果把兩個向量的起點放在一起，那么這兩個向量的差是以減向量的終點為起點，被減向量的終點為終點的向量.
【題型歸納】
題型一：向量加法法則
1．（2023下·海南省直轄縣級單位·高一校考期中）如圖，在正六邊形ABCDEF中，（　 　）

A． B． C． D．
2．（2023下·云南迪慶·高一統考期末）四邊形是梯形，，則等于（ ）

A． B． C． D．
3．（2023下·江西贛州·高一校聯考期中）化簡以下各式:①；②；③；④，結果為零向量的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
題型二：向量加法的運算律
4．（2022下·廣東梅州·高一興寧市第一中學校考期中）等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·高一課時練習）已知是非零向量，則，，，，中，與向量相等的向量的個數為（　　）
A．5 B．4
C．3 D．2
6．（2020下·遼寧阜新·高一校考階段練習）下列向量的運算結果為零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
題型三：向量加法法則的幾何應用
7．（2023下·廣西·高一統考期末）在矩形中，，，則等于（ ）
A． B． C．3 D．4
8．（2023下·山西陽泉·高一統考期末）菱形中，，若，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2023下·遼寧撫順·高一校聯考期中）在中，D是BC的中點，E是AD的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
題型四：相反向量
10．（2021下·高一課時練習）下列等式中，正確的個數為（ ）
①②③④⑤⑥．
A．3 B．4
C．5 D．6
11．（2021下·安徽滁州·高一校聯考期中）如圖，在四邊形中，與交于點，若，則下面互為相反向量的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
12．（2020·河南·高一校聯考階段練習）已知是所在平面內一點，為線段的中點，且，那么
A． B． C． D．
題型五：向量減法法則
13．（2023·全國·高一專題練習）（　　）
A． B． C． D．
14．（2023下·海南·高一校考期中）如圖，在等腰梯形中，，，點為線段的中點，點是線段上的一點，且，則（ ）

A． B． C． D．
15．（2023下·重慶萬州·高一校考階段練習）下列各式中不能化簡為的是（ ）
A． B．
C． D．
題型六：向量減法的運算律
16．（2023下·天津和平·高一天津市第五十五中學校考階段練習）下列各式中不能化簡為的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2021下·廣東深圳·高一校考階段練習）化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
18．（2021下·浙江·高一校聯考階段練習）在平行四邊形中，設為線段的中點，為線段上靠近的三等分點，，，則向量（ ）
A． B． C． D．
題型七：向量減法法則的幾何應用
19．（2023下·吉林長春·高一東北師大附中校考階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計算結果錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2022下·新疆阿克蘇·高一校聯考期中）如圖，在平行四邊形中，下列計算不正確的是（ ）

A． B．
C． D．
21．（2022下·新疆昌吉·高一校考期末）在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD為（ ）
A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
題型八：向量加減法的綜合問題
22．（2023下·新疆·高一校考期中）化簡下列各向量的表達式：
(1)；(2)；(3)；
23．（2023下·廣東佛山·高一佛山市順德區容山中學校考階段練習）在平行四邊形中，已知，且，．求．
24．（2023·高一課時練習）已知平行四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD交于點E，O是任意一點，求證：．

【雙基訓練】
一、單選題
25．（2023下·天津紅橋·高一統考期末）化簡：（ ）
A． B． C． D．
26．（2023下·廣西欽州·高一統考期末）已知四邊形是平行四邊形，則（ ）
A． B． C． D．
27．（2023下·全國·高一隨堂練習）下列各式中，化簡后不是零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
28．（2023下·河南駐馬店·高一校聯考期中）在中，，則是（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
29．（2023下·海南儋州·高一校考階段練習）化簡的結果等于（ ）
A． B． C． D．
30．（2023下·山東棗莊·高一校考階段練習）如圖，點O是平行四邊形ABCD兩條對角線的交點，則下列等式一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
31．（2023下·山東泰安·高一統考期中）下列向量的運算結果不正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
32．（2023下·湖南長沙·高一湖南師大附中校考期末）如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點，且為的中點，則（ ）

A． B． C． D．
33．（2023·高一課時練習）已知向量，，，滿足，記的最大值為，最小值為，則（ ）
A． B．2 C． D．1
二、多選題
34．（2023下·湖南懷化·高一校考期中）下列各式中結果一定為零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
35．（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學校考階段練習）下列說法中錯誤的是（ ）
A．單位向量都相等 B．對于任意向量，，必有
C．平行向量不一定是共線向量 D．若，滿足且與同向，則
36．（2023上·遼寧營口·高一校聯考期末）設，是兩個非零向量，則下列描述錯誤的有（ ）
A．若，則存在實數，使得.
B．若，則.
C．若，則，反向.
D．若，則，一定同向
37．（2023下·云南普洱·高一校考階段練習）化簡以下各式：①；②；③；④．結果為零向量的是（ ）．
A．① B．② C．③ D．④
38．（2023下·江蘇揚州·高一統考期末）如圖，在平行四邊形中，分別是邊上的兩個三等分點，則下列選項正確的有（ ）.

A． B．
C． D．
三、填空題
39．（2023·全國·高一隨堂練習）化簡：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
40．（2023下·高一課時練習）如圖所示，O是正三角形ABC的中心，四邊形AOCD和四邊形AOBE均為平行四邊形，

則：（1）與向量相等的向量有 ；
（2）與向量相反的向量有 ；
（3）與向量的模相等的向量有 .（填圖中所畫出的向量）
41．（2023·高一課時練習）如圖，D、E、F分別是邊AB、BC、CA上的中點，則等式：
① ② ③ ④
其中正確的題號是 ．
42．（2023·全國·高一專題練習）已知非零向量滿足，，則的最大值為 .
四、解答題
43．（2023下·河南南陽·高一統考階段練習）如圖所示，在平行四邊形中，，分別為邊和的中點，為與的交點．
(1)若，則四邊形是什么特殊的平行四邊形？說明理由．
(2)化簡，并在圖中作出表示該化簡結果的向量．
44．（2022下·河南周口·高一校考階段練習）化簡下列各式：
(1)；
(2)
45．（2023·高一課前預習）化簡下列各式：
(1)(＋)＋()；(2)；(3)；
(4)；(5)
46．（2021·高一課時練習）如圖所示，，，.
(1)用表示；
(2)用表示.
47．（2023·全國·高一專題練習）如圖，已知四面體ABCD，點E，F分別是BC，CD的中點，化簡下列表達式，并在圖中標出化簡后的結果所對應的向量．
(1)；(2)；(3)．

展開更多......

收起↑