資源簡介

新課第03講：向量的數(shù)乘運算與數(shù)量積
考點一：向量的數(shù)乘運算 考點二：平面向量的混合運算
考點三：向量的線性運算的幾何應用 考點四：三角形的心的向量表示
考點五：向量的數(shù)量積的定義和幾何意義 考點六：數(shù)量積的運算
考點七：數(shù)量積和模關(guān)系問題 考點八：向量夾角的計算
考點九：垂直關(guān)系的向量表示 考點十：向量投影問題
考點十一：向量的數(shù)量積的綜合問題
【知識梳理】
知識一 向量數(shù)乘的定義
實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，其長度與方向規(guī)定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向
特別地，當λ＝0時，λa＝0.，當λ＝－1時，(－1)a＝－a.
知識二 向量數(shù)乘的運算律
.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特別地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2.向量的線性運算
向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
知識三 向量共線定理
向量a (a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.
知識四 兩向量的夾角與垂直
1.夾角：已知兩個非零向量a和b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角(如圖所示).當θ＝0時，a與b同向；當θ＝π時，a與b反向.
2.垂直：如果a與b的夾角是，則稱a與b垂直，記作a⊥b.
知識五： 向量數(shù)量積的定義
非零向量a，b的夾角為θ，數(shù)量|a||b|cos θ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積等于0.
知識六 投影向量
在平面內(nèi)任取一點O，作＝a，＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量.設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則與e，a，θ之間的關(guān)系為＝|a|cos θ e.
知識七 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，e是與b方向相同的單位向量.則
(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b a·b＝0.
(3)當a∥b時，a·b＝特別地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
知識八 平面向量數(shù)量積的運算律
1.a·b＝b·a(交換律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數(shù)乘結(jié)合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【題型歸納】
題型一：向量的數(shù)乘運算
1．（2023下·重慶綦江·高一校考期中）化簡為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的數(shù)乘及加減運算即可求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)向量的四則運算可知，
.
故選：D
2．（2023·高一課時練習）已知m、n是實數(shù)，、是向量，對于命題：
① ②
③若，則 ④若，則
其中正確命題的個數(shù)是：（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①和②屬于數(shù)乘對向量與實數(shù)的分配律，③中若，結(jié)論不成立，④中若，結(jié)論不成立.
【詳解】①和②屬于數(shù)乘對向量與實數(shù)的分配律，正確；
③中若，與沒有確定關(guān)系，結(jié)論不成立，錯誤；
④中若，m與n沒有確定關(guān)系，結(jié)論不成立，錯誤.
故①②兩個命題正確．
故選：B
3．（2023下·高一課時練習）計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量的加減和數(shù)乘運算即可求得結(jié)果；
（2）按照向量的運算法則依次計算即可.
【詳解】（1）原式
．
（2）原式
題型二：平面向量的混合運算
4．（2023下·全國·高一隨堂練習）已知平面內(nèi)四個不同的點滿足，則（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】將條件變形，得到的關(guān)系，進而可得的值.
【詳解】,
,
即,
.
故選：D.
5．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期中）在中，是的中點，在上且，記，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的線性運算法則運算.
【詳解】∵是的中點，∴，
∵在上且，∴，∴，
∴，
故選：A
6．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知的邊的中點為D，點E在所在平面內(nèi)，且，若，則（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
【答案】A
【分析】利用平面向量的線性運算可求出，則得到，的值，進而即可求解．
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
所以，
所以，
因為，
所以，，故.
故選：A．
題型三：向量的線性運算的幾何應用
7．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示的中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量的線性運算求得正確答案.
【詳解】
.
故選：B
8．（2023上·北京順義·高一牛欄山一中校考期中）如圖所示，在中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)條件及圖，利用向量的線性運算即可求出結(jié)果.
【詳解】因為點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，
如圖，，
故選：A.
9．（2023下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）在平行四邊形ABCD中，，，G為EF的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的加減法的幾何意義將轉(zhuǎn)化為、即可.
【詳解】
.
故選：D.
題型四：三角形的心的向量表示
10．（2023·江蘇·高一專題練習）已知O是平面上的一個定點，A B C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經(jīng)過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
【答案】C
【分析】根據(jù)是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應的向量，可知點軌跡，據(jù)此可求解.
【詳解】因為為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，
則的方向與的角平分線一致，
由，可得，
即，
所以點P的軌跡為的角平分線所在直線，
故點P的軌跡一定經(jīng)過的內(nèi)心.
故選：C.
11．（2023·全國·高一專題練習）已知中，點為邊中點，點為所在平面內(nèi)一點，則“”為“點為重心”（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】等價于等價于點為重心.
【詳解】充分性：
等價于：
等價于：
等價于：
所以為的靠近的三等分點，所以點為重心；
必要性：若點為重心，由重心性質(zhì)知，故
故選：C
12．（2022下·山西運城·高一統(tǒng)考期末）已知點在所在的平面內(nèi)，滿足，則動點的軌跡一定通過的（ ）
A．內(nèi)心 B．垂心 C．外心 D．重心
【答案】D
【分析】由給定條件可得，由表示出即可判斷作答.
【詳解】令邊BC上的高為h，則有，令邊BC的中點為D，則，
因此，，即，
所以動點的軌跡一定通過的重心.
故選：D
題型五：向量的數(shù)量積的定義和幾何意義
13．（2023下·陜西咸陽·高一校考階段練習）在等式①；②；③；④若，且，則；其中正確的命題的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由零向量、向量數(shù)乘、數(shù)量積等概念和性質(zhì)，即可判斷正誤，進而確定答案.
【詳解】零向量與任何向量的數(shù)量積都為0，故①錯誤；
0乘以任何向量都為零向量，故②正確；
向量的加減、數(shù)乘滿足結(jié)合律，而向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故③錯誤；
不一定有，如滿足條件，結(jié)論不成立，故④錯誤；
故選：A
14．（2023下·陜西西安·高一統(tǒng)考期中）已知，為非零向量，且，則（ ）
A．，且與方向相同 B．，且與方向相反
C． D．，無論什么關(guān)系均可
【答案】A
【分析】對兩邊平方得到，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式得到，從而，且與方向相同.
【詳解】，兩邊平方得，
化簡得，即，
又，其中為，的夾角，
因為，為非零向量，所以，則.
故，且與方向相同.
故選：A
15．（2023下·福建福州·高一福州三中校考期末）在中，已知，向量在向量方向上的投影向量為，，則（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【分析】若，由題設(shè)及向量數(shù)量積的幾何意義可得，再由，利用數(shù)量積的運算律求即可.
【詳解】如下圖，若，則在方向上的投影向量為，
又向量在向量方向上的投影向量為，則，即，
所以，又，
所以.
故選：B
題型六：數(shù)量積的運算
16．（2024上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學校考期末）已知，，且，的夾角為，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的減法運算可得，平方后結(jié)合數(shù)量積的運算，即可求得答案.
【詳解】由題意得，所以
，
故，
故選：D
17．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知非零向量與滿足，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量數(shù)量積的運算律可得，結(jié)合已知及數(shù)量積定義求夾角余弦值.
【詳解】因為，所以，
所以，而，所以，
所以.
故選：B
18．（2023下·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期末）在中，，，，則（ ）
A． B．16 C． D．9
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的減法運算結(jié)合題意推出，平方后可得數(shù)量積，再結(jié)合數(shù)量級的運算律，即可求得答案.
【詳解】由題意得在中，,
故由，，，
得，即，
即，
故，
故選：B
題型七：數(shù)量積和模關(guān)系問題
19．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知平面向量，且與的夾角為，則（ ）
A． B．4 C．2 D．0
【答案】C
【分析】平方展開后，利用向量的數(shù)量積定義進行運算即可.
【詳解】因為
，
所以，
故選：C.
20．（2023下·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知向量，滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將平方結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算律即可得解.
【詳解】因為，，，
所以，即，即，
即，解得.
故選：A
21．（2023下·吉林·高一東北師大附中校考階段練習）設(shè)向量滿足，且，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A． B．向量和的夾角為
C． D．
【答案】D
【分析】由已知條件得，計算各選項中向量數(shù)量積和模等問題.
【詳解】向量滿足，且，
則，所以，故.
由，則，A選項錯誤；
由，則，向量和的夾角為，B選項錯誤；
由，C選項錯誤；
由，得，D選項正確.
故選：D
題型八：向量夾角的計算
22．（2023下·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量，滿足，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)向量的夾角為，結(jié)合，求得，即可求解.
【詳解】設(shè)向量的夾角為，因為，可得，
又因為，，
可得
，解得，
因為，可得.
故選：B.
23．（2023下·湖北·高一安陸第一高中校聯(lián)考期末）已知平面向量滿足且對，有恒成立，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將兩邊平方，根據(jù)，有恒成立，可求得兩向量夾角，再結(jié)合夾角余弦公式即可求得.
【詳解】由展開得，
對，有恒成立，
即,即，
所以可得，所以解得，
又，所以，則，
所以，
則與的夾角余弦值,
所以與的夾角為.
故選：A．
24．（2023下·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）在任意四邊形中，點，分別在線段，上，且，，，，，則與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，得，再兩邊平方求解即可.
【詳解】
由，則①，
又②，
由①+②可得，即，
故，設(shè)與夾角為，
則，解得.
故選：C．
題型九：垂直關(guān)系的向量表示
25．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知平面向量的夾角為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，利用向量數(shù)量積運算可得，即求，又，代入條件運算可得解.
【詳解】，
，即，
，
.
故選：A.
26．（2023下·四川自貢·高一校考期中）如果向量，滿足，，且，則和的夾角大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量垂直，數(shù)量積為0，得，再代入模和夾角公式，即可求解.
【詳解】由，則，
則，得，，
所以.
故選：D
27．（2023下·貴州黔西·高一校考階段練習）若O是所在平面內(nèi)一點，且滿足，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量的線性運算、數(shù)量積與模長公式，可以得出，由此可判斷出的形狀.
【詳解】由，可得，即，，
等式兩邊平方，化簡得，，
因此，是直角三角形.
故選：B.
題型十：向量投影問題
28．（2023下·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）已知的外接圓圓心為O，且，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得出為外接圓的直徑，且是等邊三角形，從而求出向量在向量上的投影向量.
【詳解】∵的外接圓的圓心為O，且，
∴O為的中點，即為外接圓的直徑，∴．
∵，
∴是等邊三角形.
設(shè)為的中點，則.
∴向量在向量上的投影向量為.
故選:B.
29．（2023下·廣西南寧·高一校聯(lián)考期末）已知點是直角斜邊的中點，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依題意可得、，再根據(jù)投影向量的定義計算可得.
【詳解】因為點是直角斜邊的中點，且，
所以，則，
向量在向量上的投影向量為.
故選：C
30．（2023下·遼寧·高一遼寧實驗中學校聯(lián)考期末）已知向量，滿足，，與的夾角為，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)數(shù)量積定義先計算，然后由投影向量定義可得.
【詳解】因為，，與的夾角為，
所以，
所以在上的投影向量為.
故選：D
題型十一：向量的數(shù)量積的綜合問題
31．（2024上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學校考期末）單位向量，滿足.
(1)求與夾角的余弦值：
(2)若與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量數(shù)量積的運算法則求得，再由模長與數(shù)量積求得與夾角的余弦值；
（2）由題意得且與不共線，從而得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.
【詳解】（1）因為，，
所以，即，則，
則，即與夾角的余弦值.
（2）因為與的夾角為銳角，
所以且與不共線，
當與共線時，有，即，
由（1）知與不共線，所以，解得，
所以當與不共線時，，
由，得，
即，解得，
所以且，即實數(shù)的取值范圍為.
32．（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學校考期中）如圖，在中，是的中點，點在上，且與交于點，設(shè).
(1)求的值；
(2)當時，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)三點共線的知識求得.
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的運算求得.
【詳解】（1）依題意，
由于三點共線，所以.
（2）由（1）得，
所以
.
33．（2023下·江蘇連云港·高一連云港高中校考期中）已知平行四邊形中，，，，點是線段的中點．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件結(jié)合數(shù)量積的運算得到，再利用線性運算得到，即可求解；
（2）根據(jù)（1）和條件得到，，由垂直關(guān)系得到，從而得到關(guān)于的方程，即可求解.
【詳解】（1）在平行四邊形中，，，，
所以，
因為點是線段的中點，
所以，
則，
故的值為.
（2）由（1）知：，，
則，，
又因為，
則，
即，
即，解得：，
故的值為.
【雙基訓練】
一、單選題
34．（2023下·新疆阿克蘇·高一校考階段練習）在中，點為邊的中點，記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的線性運算計算即可.
【詳解】由題意可知，.
故選：C
35．（2023下·青海海東·高一統(tǒng)考階段練習）在平行四邊形ABCD中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的線性運算求解.
【詳解】解：因為，
所以，
所以．
故選：A
36．（2023下·河南焦作·高一焦作市第一中學校考階段練習）下列四個命題中，正確的個數(shù)是（ ）
①；②“”等價于“存在實數(shù)，使得”；③
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】A
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義式可判斷① ③錯誤，對于②，可通過舉反例說明.
【詳解】對于①，等式左邊，等式右邊，
而與不能確保恒等，故①不正確；
對于②，若 滿足 ，但不存在實數(shù)，使得成立，故②不正確；
對于③，，但不恒等于1，故③不正確.
故選：A.
【點睛】方法點睛：本題主要考查向量的數(shù)量積和向量共線的等價條件的判斷.
處理向量數(shù)量積的問題一般有以下方法：
(1)向量數(shù)量積的定義法；
(2)向量數(shù)量積的坐標法；
(3)向量數(shù)量積的基底表示法.
37．（2023上·浙江金華·高一浙江金華第一中學校考階段練習）下列命題正確的有（ ）
A．若，，則．
B．向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上
C．
D．滿足的四邊形ABCD是正方形
【答案】C
【分析】利用與任意向量共線判斷A，利用共線向量的基線平行或重合判斷B，利用向量的線性運算法則判斷C，利用平行四邊形法則判斷D.
【詳解】對選項A，當時，與不一定平行，故選項A錯誤；
對選項B，因為共線向量的基線平行或重合，故選項B錯誤；
對選項C，因為，所以選項C正確；
對選項D，因為，
所以，
整理可得，即為直角，但是四邊形不一定是正方形，故選項D錯誤.
故選：C.
38．（2023下·全國·高一隨堂練習）已知向量、滿足，，且與夾角的余弦值為，則（ ）
A． B． C． D．12
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律計算即得.
【詳解】依題意，，
所以.
故選：A
39．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在平面圖形ABCD中，，.若，，則（ ）
A． B．3 C．9 D．13
【答案】C
【分析】利用平面向量數(shù)量積的幾何意義及三角形相似計算即可.
【詳解】
由題意易知，則，
過作于，
所以，
，
所以，不妨設(shè)，則
，故.
故選：C
40．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一濟源市第四中學校考階段練習）若向量與向量的夾角為，且，則向量在向量方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的運算律代入計算，可得，再由投影向量的計算公式，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為向量與向量的夾角為，且，則，
即，又，
所以，
所以向量在向量方向上的投影向量是.
故選：D
41．（2023下·四川遂寧·高一射洪中學校考階段練習）已知中，，，，為的外心，若，則的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由題意可知，為外接圓的圓心，過作，，已知等式兩邊同乘以，結(jié)合數(shù)量積定義得，同理得，從而兩式聯(lián)立即可求得的值．
【詳解】由題意可知，為的外心，設(shè)外接圓半徑為，
在圓中，過作，，垂足分別為，，
則，分別為，的中點，
因為，兩邊乘以，即，
的夾角為，而，
則，得①，
同理兩邊乘，即，，
則，得②，
①②聯(lián)立解得，，
所以．
故選：C．
二、多選題
42．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學校考期中）如圖在中，AD BE CF分別是邊BC CA AB上的中線，且相交于點G，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由條件可知為的重心，由重心的性質(zhì)逐一判定即可.
【詳解】由條件可知為的重心，
對于A，由重心的性質(zhì)可得，所以，故A錯誤；
對于B，由重心的性質(zhì)可得，所以，故B正確；
對于D，故D錯誤；
對于C，，，
，故C正確.
故選：BC.
43．（2023下·陜西西安·高一階段練習）下列說法不正確的是（ ）
A．已知均為非零向量，則 存在唯一的實數(shù)，使得
B．若向量共線，則點必在同一直線上
C．若且，則
D．若點為的重心，則
【答案】BC
【分析】根據(jù)平行向量基本定理可判斷A，根據(jù)平面向量共線的含義可判斷B，根據(jù)平面向量的數(shù)量積可判斷C，根據(jù)平面向量的運算與三角形重心的性質(zhì)可判斷D．
【詳解】由平行向量的基本定理可知，選項A是正確的；
向量共線的意思是向量所在的基線平行或共線，
只有當向量，所在的直線線共線時，點，，，才在同一直線上，故B不正確；
由平面向量的數(shù)量積可知，若，則，
所以，無法得到，故C不正確；
設(shè)線段的中點為，若點為的重心，
則，而，所以，即D正確.
故選：BC．
44．（2023下·河北石家莊·高一校考期中）若向量滿足，，則（ ）
A． B．與的夾角為
C． D．在上的投影向量為
【答案】BC
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律求出，即可判斷A、B、C，求出，即可判斷D.
【詳解】對于A：因為，，
所以，所以，故A錯誤；
對于B：設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故B正確；
對于C：因為，所以，故C正確；
對于D：因為，且，
所以在上的投影向量為，故D錯誤；
故選：BC
45．（2023下·浙江金華·高一校聯(lián)考階段練習）已知向量滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B．若，則
C．，有恒成立 D．若，則
【答案】ABC
【分析】將化為可判斷A；將化為可判斷B；將平方，根據(jù)二次函數(shù)的最值可判斷C；計算可判斷D.
【詳解】解：對于A,因為，所以，
即，故，故A正確；
對于B，可化為，
即.
若，則，即，故B正確；
對于C，，
故，故C正確；
對于D，若，
則，
該式子的值隨著的變化而變化，故D錯誤.
故選：ABC.
三、填空題
46．（2023下·山西朔州·高一校考階段練習）已知是的邊上的點，且，設(shè)，則 .
【答案】
【分析】畫出圖形利用向量線性運算即可得到答案.
【詳解】
故答案為：.
47．（2023上·浙江金華·高一浙江金華第一中學校考階段練習）已知向量滿足，則的最大值是 ，最大值是 ．
【答案】 3
【分析】綜合應用平面向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的知識即可解決.
【詳解】設(shè)向量的夾角為，，因為，
所以，
故的最大值是3；
同理，所以，
則，因為，所以，故.
因為，所以，故最大值是.
故答案為：3；.
48．（2023下·全國·高一隨堂練習）已知平面向量滿足，則實數(shù)的值為 ．
【答案】1或
【分析】結(jié)合平面向量的相關(guān)知識，將兩邊平方，計算即可.
【詳解】將兩邊平方，得，
得，即，解得或．
故答案為：或.
49．（2023上·北京順義·高一牛欄山一中校考期中）如圖，邊長為2的菱形的對角線相交于點，點在線段上運動，若，則的最小值為 .
【答案】/-0.75
【分析】根據(jù)已知條件求出，再表示出，進而求其最小值.
【詳解】由題菱形邊長為2，
則，，所以，
又因為，
所以，
所以，
令，
則，
所以，
則當時，取最小值為.
故答案為：
四、解答題
50．（2023·全國·高一專題練習）已知向量，向量與，的夾角都是60°，且，，，試求
(1)；
(2).
【答案】(1)11
(2)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運算律即可代入求解，
（2）由數(shù)量積的運算律即可代入求解.
【詳解】（1）向量，向量與，的夾角都是60°，且，，，，，
，，，，
；
（2）
51．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學校考階段練習）如圖，點E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，，，與所成角是.
(1)若，求實數(shù)x，y的值；
(2)求線段EF的長度.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由題意，可得，化簡得到，再結(jié)合條件得到的值；
（2）由，結(jié)合條件，求出線段EF的長度即可.
【詳解】（1）由題意，可得．
∵E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，
∴，，
∴①+②得，，
∴，又，
∴，．
（2）∵，，，所成角為，
∴，
∴，
∴線段EF的長度為.
52．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習）已知在中，N是邊AB的中點，且，設(shè)AM與CN交于點P.記，.
(1)用，表示向量，；
(2)若，，求的余弦值.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量的線性運算定義進行求解即可；
（2）根據(jù)平面向量垂直的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)和定義進行求解即可.
【詳解】（1），
；
（2）因為，所以，
因為，，
所以，
把代入式，得，
.
53．（2023下·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中校考期中）如圖，在平行四邊形中，分別為上的點，且
(1)求的值；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將轉(zhuǎn)化為，然后求數(shù)量積即可；
（2）將，轉(zhuǎn)化為，，然后求模長和數(shù)量積，最后根據(jù)數(shù)量積的公式求夾角即可.
【詳解】（1）.
（2），，，，
，
.新課第03講：向量的數(shù)乘運算與數(shù)量積
考點一：向量的數(shù)乘運算 考點二：平面向量的混合運算
考點三：向量的線性運算的幾何應用 考點四：三角形的心的向量表示
考點五：向量的數(shù)量積的定義和幾何意義 考點六：數(shù)量積的運算
考點七：數(shù)量積和模關(guān)系問題 考點八：向量夾角的計算
考點九：垂直關(guān)系的向量表示 考點十：向量投影問題
考點十一：向量的數(shù)量積的綜合問題
【知識梳理】
知識一 向量數(shù)乘的定義
實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，其長度與方向規(guī)定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向
特別地，當λ＝0時，λa＝0.，當λ＝－1時，(－1)a＝－a.
知識二 向量數(shù)乘的運算律
.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特別地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2.向量的線性運算
向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
知識三 向量共線定理
向量a (a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.
知識四 兩向量的夾角與垂直
1.夾角：已知兩個非零向量a和b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角(如圖所示).當θ＝0時，a與b同向；當θ＝π時，a與b反向.
2.垂直：如果a與b的夾角是，則稱a與b垂直，記作a⊥b.
知識五： 向量數(shù)量積的定義
非零向量a，b的夾角為θ，數(shù)量|a||b|cos θ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積等于0.
知識六 投影向量
在平面內(nèi)任取一點O，作＝a，＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量.設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則與e，a，θ之間的關(guān)系為＝|a|cos θ e.
知識七 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，e是與b方向相同的單位向量.則
(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b a·b＝0.
(3)當a∥b時，a·b＝特別地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
知識八 平面向量數(shù)量積的運算律
1.a·b＝b·a(交換律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數(shù)乘結(jié)合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【題型歸納】
題型一：向量的數(shù)乘運算
1．（2023下·重慶綦江·高一校考期中）化簡為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·高一課時練習）已知m、n是實數(shù)，、是向量，對于命題：
① ②
③若，則 ④若，則
其中正確命題的個數(shù)是：（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023下·高一課時練習）計算：
(1)；
(2)．
題型二：平面向量的混合運算
4．（2023下·全國·高一隨堂練習）已知平面內(nèi)四個不同的點滿足，則（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期中）在中，是的中點，在上且，記，，則（ ）
A． B．C． D．
6．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知的邊的中點為D，點E在所在平面內(nèi)，且，若，則（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
題型三：向量的線性運算的幾何應用
7．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示的中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023上·北京順義·高一牛欄山一中校考期中）如圖所示，在中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2023下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）在平行四邊形ABCD中，，，G為EF的中點，則（ ）
A． B． C． D．
題型四：三角形的心的向量表示
10．（2023·江蘇·高一專題練習）已知O是平面上的一個定點，A B C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經(jīng)過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
11．（2023·全國·高一專題練習）已知中，點為邊中點，點為所在平面內(nèi)一點，則“”為“點為重心”（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
12．（2022下·山西運城·高一統(tǒng)考期末）已知點在所在的平面內(nèi)，滿足，則動點的軌跡一定通過的（ ）
A．內(nèi)心 B．垂心 C．外心 D．重心
題型五：向量的數(shù)量積的定義和幾何意義
13．（2023下·陜西咸陽·高一校考階段練習）在等式①；②；③；④若，且，則；其中正確的命題的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2023下·陜西西安·高一統(tǒng)考期中）已知，為非零向量，且，則（ ）
A．，且與方向相同 B．，且與方向相反
C． D．，無論什么關(guān)系均可
15．（2023下·福建福州·高一福州三中校考期末）在中，已知，向量在向量方向上的投影向量為，，則（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
題型六：數(shù)量積的運算
16．（2024上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學校考期末）已知，，且，的夾角為，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
17．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知非零向量與滿足，若，則（ ）
A． B． C． D．
18．（2023下·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期末）在中，，，，則（ ）
A． B．16 C． D．9
題型七：數(shù)量積和模關(guān)系問題
19．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知平面向量，且與的夾角為，則（ ）
A． B．4 C．2 D．0
20．（2023下·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知向量，滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
21．（2023下·吉林·高一東北師大附中校考階段練習）設(shè)向量滿足，且，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A． B．向量和的夾角為
C． D．
題型八：向量夾角的計算
22．（2023下·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量，滿足，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
23．（2023下·湖北·高一安陸第一高中校聯(lián)考期末）已知平面向量滿足且對，有恒成立，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
24．（2023下·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）在任意四邊形中，點，分別在線段，上，且，，，，，則與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
題型九：垂直關(guān)系的向量表示
25．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知平面向量的夾角為，若，則（ ）
A． B． C． D．
26．（2023下·四川自貢·高一校考期中）如果向量，滿足，，且，則和的夾角大小為（ ）
A． B． C． D．
27．（2023下·貴州黔西·高一校考階段練習）若O是所在平面內(nèi)一點，且滿足，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形
題型十：向量投影問題
28．（2023下·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）已知的外接圓圓心為O，且，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
29．（2023下·廣西南寧·高一校聯(lián)考期末）已知點是直角斜邊的中點，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
30．（2023下·遼寧·高一遼寧實驗中學校聯(lián)考期末）已知向量，滿足，，與的夾角為，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
題型十一：向量的數(shù)量積的綜合問題
31．（2024上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學校考期末）單位向量，滿足.
(1)求與夾角的余弦值：
(2)若與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.
32．（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學校考期中）如圖，在中，是的中點，點在上，且與交于點，設(shè).
(1)求的值；(2)當時，求的值.
33．（2023下·江蘇連云港·高一連云港高中校考期中）已知平行四邊形中，，，，點是線段的中點．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
【雙基訓練】
一、單選題
34．（2023下·新疆阿克蘇·高一校考階段練習）在中，點為邊的中點，記，則（ ）
A． B． C． D．
35．（2023下·青海海東·高一統(tǒng)考階段練習）在平行四邊形ABCD中，，則（ ）
A． B． C． D．
36．（2023下·河南焦作·高一焦作市第一中學校考階段練習）下列四個命題中，正確的個數(shù)是（ ）
①；②“”等價于“存在實數(shù)，使得”；③
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
37．（2023上·浙江金華·高一浙江金華第一中學校考階段練習）下列命題正確的有（ ）
A．若，，則．
B．向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上
C．
D．滿足的四邊形ABCD是正方形
38．（2023下·全國·高一隨堂練習）已知向量、滿足，，且與夾角的余弦值為，則（ ）
A． B． C． D．12
39．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在平面圖形ABCD中，，.若，，則（ ）
A． B．3 C．9 D．13
40．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一濟源市第四中學校考階段練習）若向量與向量的夾角為，且，則向量在向量方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
41．（2023下·四川遂寧·高一射洪中學校考階段練習）已知中，，，，為的外心，若，則的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、多選題
42．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學校考期中）如圖在中，AD BE CF分別是邊BC CA AB上的中線，且相交于點G，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．C． D．
43．（2023下·陜西西安·高一階段練習）下列說法不正確的是（ ）
A．已知均為非零向量，則 存在唯一的實數(shù)，使得
B．若向量共線，則點必在同一直線上
C．若且，則
D．若點為的重心，則
44．（2023下·河北石家莊·高一校考期中）若向量滿足，，則（ ）
A． B．與的夾角為
C． D．在上的投影向量為
45．（2023下·浙江金華·高一校聯(lián)考階段練習）已知向量滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B．若，則
C．，有恒成立 D．若，則
三、填空題
46．（2023下·山西朔州·高一校考階段練習）已知是的邊上的點，且，設(shè)，則 .
47．（2023上·浙江金華·高一浙江金華第一中學校考階段練習）已知向量滿足，則的最大值是 ，最大值是 ．
48．（2023下·全國·高一隨堂練習）已知平面向量滿足，則實數(shù)的值為 ．
49．（2023上·北京順義·高一牛欄山一中校考期中）如圖，邊長為2的菱形的對角線相交于點，點在線段上運動，若，則的最小值為 .
四、解答題
50．（2023·全國·高一專題練習）已知向量，向量與，的夾角都是60°，且，，，試求
(1)；(2).
51．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學校考階段練習）如圖，點E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，，，與所成角是.
(1)若，求實數(shù)x，y的值；
(2)求線段EF的長度.
52．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習）已知在中，N是邊AB的中點，且，設(shè)AM與CN交于點P.記，.
(1)用，表示向量，；
(2)若，，求的余弦值.
53．（2023下·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中校考期中）如圖，在平行四邊形中，分別為上的點，且
(1)求的值；
(2)求.

展開更多......

收起↑