資源簡介

新課第04講：平面向量基本定理及坐標表示
【考點梳理】
考點一：基底的概念和表示 考點二：平面向量基本定理的應用
考點三：平面向量的正交分解及其坐標表示 考點四：平面向量的線性運算坐標表示
考點五：由向量線性運算解決最值和范圍問題 考點六：平面向量共線的坐標表示
考點七;平面向量的數量積的坐標表示 考點八：利用平行（共線）或垂直求參數
考點九：平面向量坐標表示的綜合問題
【知識梳理】
知識點一：平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.
知識點二：平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
知識點三 平面向量的坐標表示
1.在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底.
對于平面內的任意一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x，y，使得a＝xi＋yj.
平面內的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y).
2.在直角坐標平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
知識點四 平面向量加、減運算的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
數學公式 文字語言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和
向量減法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差
已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.
知識點五 平面向量數乘運算的坐標表示
已知a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)，即：實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.
知識點六 平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
則a，b共線的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.
如果用坐標表示，可寫為(x1，y1)＝λ(x2，y2)，當且僅當x1y2－x2y1＝0時，向量a，b(b≠0)共線.
注意：向量共線的坐標形式極易寫錯，如寫成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不對的，因此要理解并熟記這一公式，可簡記為：縱橫交錯積相減.
知識點七　平面向量數量積的坐標表示
設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.則a·b＝x1x2＋y1y2.
(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
若表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，
則a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.
(2)a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(3)cos θ＝＝.
【題型歸納】
題型一：基底的概念和表示
1．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學?？计谥校┰O是平面內所有向量的一個基底，則下列不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】只要兩個向量不共線，便可作為平面內的一組基底，從而判斷哪組向量共線即可.
【詳解】對于A，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，A錯誤；
對于B，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，B錯誤；
對于C，，
和共線，不能作為一組基底，C正確；
對于D，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，D錯誤.
故選：C.
2．（2023下·重慶萬州·高一重慶市萬州第二高級中學?？计谥校┮阎遣还簿€的非零向量，則以下向量不可以作為一組基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判斷選項中的兩個向量是否平行，即可判斷選項.
【詳解】若兩向量平行，則不可以作為基底，
由選項可知，ABD中的兩個向量都不共線，可以作為基底，
C中的向量，滿足，向量，不能作為基底.
故選：C
3．（2023下·陜西·高一校聯考期中）如圖，在中，設，，，，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據向量的線性運算法則求解.
【詳解】由題意,
故選：D．
題型二：平面向量基本定理的應用
4．（2023下·山東濱州·高一統考期末）如圖，為平行四邊形對角線上一點，交于點，若，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，得，再根據向量的加減法則用把表示出來，從而可求出，進而可求出.
【詳解】因為為平行四邊形對角線上一點，交于點，
所以，
所以，
因為，所以，
所以，
故選：C
5．（2023下·廣東東莞·高一東莞實驗中學校考期中）在中，點是的中點，點在邊上，且與交于點，若，則長是（ ）
A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4
【答案】D
【分析】設，，利用平面向量的數乘運算與基本定理得到，從而得解.
【詳解】設，，
則，，
因為，，和，，分別共線，
所以存在實數，，使，，
所以，
又，
所以，解得，
所以，即，
故選：D.

6．（2023下·福建福州·高一校聯考期末）在中，點為BC邊上一點，且，則實數（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，過點P作PD∥AB，交AC于點D，作交AB于點，然后結合平面向量的線性運算及平面向量基本定理，即可得到結果．
【詳解】如圖，過點P作PD∥AB，交AC于點D，作交AB于點E，

∵，∴，
∴，∴，
∴，
∴
故選：C．
題型三：平面向量的正交分解及其坐標表示
7．（2023下·全國·高一期中）已知點，向量，則向量＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】計算出，進而得到.
【詳解】由已知，得到，
因為，所以
故選：A.
8．（2020下·廣東揭陽·高一統考期中）已知，若，則點的坐標為（ ）
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
【答案】D
【分析】設，根據平面向量的坐標運算得出，再根據，列出方程組可求出，從而得出點的坐標.
【詳解】解：設，則，，
根據，得，
即，解得：，
所以點的坐標為.
故選：D.
9．（2023下·四川南充·高一統考期末）若是邊長為1的等邊三角形，G是邊BC的中點，H是邊AC的中點，M為線段AG上任意一點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】以為原點，以為軸，為軸建立平面直角坐標系，設，且，表示出，，進而根據平面向量數量積的坐標表示表示出，結合二次函數的性質求解即可.
【詳解】因為是邊長為1的等邊三角形，G是邊BC的中點，H是邊AC的中點，
所以以為原點，以為軸，為軸建立平面直角坐標系，
所以，，，則，
設，且，
所以，，
所以，對稱軸為直線，
當時，取最小值，
當時，取最大值，
所以的取值范圍是.
故選：D.

題型四：平面向量的線性運算坐標表示
10．（2023上·江西宜春·高一校聯考階段練習）已知邊長為2的菱形中，，點E是BC上一點，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐標系，得到點的坐標，根據求出，從而利用平面向量數量積公式求出答案.
【詳解】以為坐標原點，所在直線為軸，垂直于軸的直線為軸，建立平面直角坐標系，
則，設，
則，
因為，所以，解得，
故，
則.
故選：B
11．（2023下·高一課時練習）如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，動點P在邊BC上，且滿足（m，n均為正數），則的最小值為（ ）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】建系，利用P在邊BC上設出點的坐標，然后找出滿足的方程，利用基本不等式求解即可.
【詳解】如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，

則，，，，則，，，
設，
則.
因為，
所以，消去，得，
因為，，所以
，
當且僅當，結合，即時等號成立.
故的最小值為.
故選：D
12．（2023·全國·高一專題練習）如圖甲所示，古代中國的太極八卦圖是以同圓內的圓心為界，畫出相等的兩個陰陽魚.其平面圖形記為圖乙中的正八邊形，其中，則以下結論錯誤的是（ ）
A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量為
【答案】C
【分析】選擇合適的位置建立平面直角坐標系，寫出相應點的坐標，逐項驗證即可.
【詳解】由題意，分別以 所在直線為 軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：
在正八邊形中，
由
過作
因為，所以，
所以
對A選項：，
故A正確，
對B選項：，故B正確，
對C選項：
所以
所以，故C不正確，
對D選項：
所以在方向上的投影向量為：
，故D正確
故選：C.
題型五：由向量線性運算解決最值和范圍問題
13．（2022下·江西景德鎮·高一景德鎮一中?？计谥校┰谥苯翘菪蜛BCD中，，點E為BC邊上一點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐標系，利用平面向量運算的坐標表示公式，結合配方法進行求解即可.
【詳解】建立如圖所示的直角坐角坐標系，過作，垂足為，
因為，
所以有，

，設，，
因此有
因為，
所以有，
而，
所以，
當時，有最大值，當，xy有最小值，
所以的取值范圍是
故選：B
【點睛】關鍵點睛：建立平面直角坐標系，利用平面向量運算的坐標表示公式是解題的關鍵.
14．（2023下·江蘇南通·高一南通一中?？茧A段練習）已知直角梯形是邊上的一點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】法一：設（），把與表示為與的線性關系，把表示成關于的解析式，求解出取值范圍；法二：建立坐標系，寫出各點的坐標，進而求出的范圍
【詳解】法一：因為在上，不妨設，
則（其中）
所以
，
因為，所以
法二：如圖，以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立直角坐標系.則，，，，其中∠ABC=45°，設點，
其中，，
∴
∵
∴
故選：D.
15．（2021下·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┰谏刃沃?，，，為弧上的一個動點，且．則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，令，則， 則，易知為減函數，即可得出結果.
【詳解】以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，

令，則，
因為，則，,，
又，
則，
則，
則，
又，
易知為減函數，
由單調性易得其值域為.
故選：B.
題型六：平面向量共線的坐標表示
16．（2024·全國·高一假期作業）已知平面向量，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先計算，然后根據向量共線的坐標表示求參數即可.
【詳解】因為，，，
所以，
又，
所以，
解得，
故選：B.
17．（2023下·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）已知向量不共線，且，若與共線，則實數的值為（ ）
A．1或 B． C． D．或
【答案】A
【分析】根據題意，由平面向量共線定理，列出方程，代入計算，即可得到結果.
【詳解】因為向量不共線，且，
若與共線，則存在實數，使得，
即，則可得，
解得或.
故選：A
18．（2023下·北京·高一101中學?？计谀┮阎蛄?若與共線，則（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】根據向量坐標運算得，利用向量共線得到方程，解出即可.
【詳解】，由與共線得
故選：A.
題型七;平面向量的數量積的坐標表示
19．（2023下·北京海淀·高一統考期末）已知向量，向量為單位向量，且，則（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】首先求出，再根據及數量積的運算律計算可得.
【詳解】因為，所以，又向量為單位向量，即，
所以
.
故選：C
20．（2023下·福建龍巖·高一校聯考期中）設向量與的夾角為，定義與的“向量積”：是一個向量，它的模，若，則（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】根據平面向量的數量積的運算，結合平面向量的模的運算及夾角的運算，利用的定義，即可求解.
【詳解】由向量，可得，
且，可得，
因為，可得，
所以.
故選：A.
21．（2024·全國·高一假期作業）已知平面向量，滿足，且，則（ ）
A．4 B．5 C． D．2
【答案】B
【分析】設，根據向量的模、向量垂直列方程，求得的坐標，進而求得.
【詳解】設，因為，，
所以，即①．
又因為，所以，
即，即②．
聯立①②可得或，
所以或，所以.
故選：B
題型八：利用平行（共線）或垂直求參數
22．（2024·全國·高一假期作業）已知向量，，，若，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量垂直的坐標表示及模長公式計算即可.
【詳解】由題意可知，，
所以，
則.
故選：C
23．（2023下·江蘇連云港·高一?？茧A段練習）已知向量，，，且，
(1)求x的值；
(2)若，求實數的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意可得，結合向量平行的坐標表示運算求解；
（2）根據題意可得，結合向量垂直的坐標表示運算求解.
【詳解】（1）由題意可得：，
因為，則，解得.
（2）由題意可得：，
因為，則，解得.
24．（2023下·河南鄭州·高一校聯考期中）平面內給出三個向量，，，求解下列問題：
(1)若向量與向量的夾角為銳角，求實數的取值范圍；
(2)若，求實數k的值．
【答案】(1)且
(2)
【分析】（1）因為與的夾角為銳角，且與不同向共線，從而得到不等式，求出實數的取值范圍；
（2）根據向量垂直得到數量積為0，得到方程，求出實數k的值.
【詳解】（1），，
因為與的夾角為銳角，所以，
且與不同向共線，即，解得且．
（2），，
因為，所以，
解得．
題型九：平面向量坐標表示的綜合問題
25．（2023下·新疆伊犁·高一校聯考期末）設，向量，，，且∥，．
(1)求；
(2)求向量與夾角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據向量平行、垂直的坐標運算可得，進而可得，結合向量的模長公式運算求解；
（2）根據題意可得，，進而可求，，代入夾角公式運算求解即可.
【詳解】（1）因為∥，，則，解得，
即，，
可知，即，可得，
所以.
（2）由（1）可知：，，
可得，，
則，，
可得，
且，則，
所以向量與夾角為.
26．（2023下·貴州遵義·高一統考期末）已知向量，，其中．
(1)若，寫出，，，之間應滿足的關系式
(2)求證：；
(3)求代數式的最大值，并求其取得最大值時的值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)的最大值為，
【分析】（1）根據數量積得坐標運算及平面向量的模的坐標公式計算即可得出結論；
（2）根據，結合余弦函數的值域即可得證；
（3）利用（2）中的結論即可得出答案.
【詳解】（1）由向量，，
得，
因為，
所以，
即，
所以，即，
所以；
（2）因為，
而，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以；
（3）由（2）可得，
，
當且僅當，即時，取等號，
所以的最大值為，此時.
【點睛】方法點睛：求向量的模的兩種基本策略：
（1）字母表示下的運算：利用，將向量模的運算轉化為向量與向量的數量積的問題；
（2）坐標表示下的運算：若，則，于是有.
27．（2023上·遼寧大連·高一期末）在三角形中，，，，為線段上任意一點，交于.
(1)若.
①用表示.
②若，求的值.
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)①；②
(2).
【分析】（1）①根據平面向量基本定理即可求；②由三點共線可得，結合①列方程即可求出的值；
（2）設，根據平面向量基本定理可得，結合已知得到，與之間的關系，利用基本不等式可求得結果.
【詳解】（1）①因為，所以，
故在中，
；
②因為三點共線，設，
所以，
因為，
所以，
所以
又由①及已知，，
所以，解得.
（2）因為，又三點共線，設，
所以，
又因為，所以，
所以，，
當且僅當，即時取得等號，
所以的最小值為.
【雙基訓練】
一、單選題
28．（2023上·遼寧葫蘆島·高一校考期末）在中，點在邊上，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由題意根據“添點（即向量的分解法則）減點（向量合成法則）”并結合，且注意到要分解成的線性組合即可求解.
【詳解】首先有，又，所以有，
注意到，
所以有.
故選：C.
29．（2023下·湖南邵陽·高一統考期末）下列各組向量中，可以作為基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根據基底需為不共線的非零向量，由此依次判斷各個選項即可.
【詳解】對于A，，不可以作為基底，A錯誤；
對于B，，共線，不可以作為基底，B錯誤；
對于C，與為不共線的非零向量，可以作為一組基底，C正確；
對于D，，共線，不可以作為基底，D錯誤.
故選：C
30．（2023·全國·高一專題練習）下列命題不正確的是（ ）
A．若向量滿足，則為平行向量
B．已知平面內的一組基底，則向量也能作為一組基底
C．模等于個單位長度的向量是單位向量，所有單位向量均相等
D．若是等邊三角形，則
【答案】C
【分析】由平行向量定義判斷A，根據基底的定義判斷B，由相等向量的定義判斷C，由向量夾角的定義判斷D.
【詳解】對于A，因為，所以當為零向量時，，是平行向量，
當不是零向量時，，也是平行向量，A正確；
對于B，為一組基底，不共線，
假設共線，則，
所以，
所以，矛盾，
所以不共線，
所以可以作為一組基底，B正確；
對于C，雖然單位向量模長相等，但方向可以不同，故不是所有單位向量均相等，C錯誤；
對于D，為等邊三角形，，D正確.
故選：C.
31．（2023下·湖南長沙·高一雅禮中學校考期末）設平面向量，，且，則=（ ）
A．1 B．14 C． D．
【答案】B
【分析】根據，求出把兩邊平方，可求得，把所求展開即可求解.
【詳解】因為，所以又，
則
所以，
則
，
故選：
32．（2023下·江蘇蘇州·高一統考期末）已知，，點在線段的延長線上，且，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】根據已知條件及中點坐標公式即可求解.
【詳解】由題意得，點為中點，設點，則
，解得，
所以點的坐標為.
故選:B．
33．（2023下·北京豐臺·高一統考期末）已知向量，.若，則實數（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量共線的坐標運算求解.
【詳解】向量，.
若，則有，則.
故選：C
34．（2023下·貴州畢節·高一統考期末）已知向量，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據求得，再結合向量夾角的坐標公式求解答案.
【詳解】因為，
所以，
又因為，所以，解得，
則，所以，
所以.
故選：D
35．（2023下·江西新余·高一統考期末）如下圖，在中，，，以BC的中點O為圓心，BC為直徑在三角形的外部作半圓弧BC，點P在半圓上運動，設，，則的最大值為（ ）

A．5 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】以為原點，建立平面直角坐標系，求得向量，利用向量的數量積的坐標運算公式，得到，即可求解.
【詳解】以為原點，所在的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標系，如圖所示，
在中，，為的中點，所以，
則，其中，
可得，
所以，其中，
當時，即時，有最大值，最大值為.
故選：D.

二、多選題
36．（2024上·浙江寧波·高一鎮海中學校考期末）下列說法正確的是（ ）
A．已知，為平面內兩個不共線的向量，則可作為平面的一組基底
B．，則存在唯一實數，使得
C．兩個非零向量，，若，則與共線且反向
D．中，，，則為等邊三角形
【答案】ACD
【分析】利用基底的定義可判斷選項A；利用向量共線定理可判斷選項B；利用數量積的定義可判斷選項C、D.
【詳解】由，為平面內兩個不共線的向量，
所以設，所以，則不存在，
所以與不共線，則可作為平面的一組基底，故A對；
只有當時，若，則存在唯一實數，使得，故B錯；
因為兩個非零向量，，設與夾角為，
由，平方得，
，所以，又，所以，則與共線且反向，
故C對；
在中，，所以，，所以，
由，得，即，則為等邊三角形，故D對.
故選：ACD
37．（2023下·山東青島·高一青島二中?？计谀┮阎矫嫦蛄?，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量為
C．與垂直的單位向量的坐標為或
D．若向量與非零向量共線，則
【答案】ACD
【分析】本題考查了平面向量的坐標運算，主要考查了兩向量的夾角、投影向量、向量的平行與垂直的基本知識，一一驗證即可.
【詳解】由題意知，，，
則，因此A正確；
在方向上的投影向量為，因此B錯誤；
與垂直的單位向量的坐標為
或，因此C正確；
因為，，
若向量與向量共線，則，
解得，因此D正確.
故選：ACD.
38．（2023下·內蒙古呼和浩特·高一呼市二中?？计谀┮阎蛄?，下列結論中正確的是（ ）
A．若，則
B．與共線的單位向量一定為
C．當時，在上的投影的數量為
D．當時，與的夾角為銳角
【答案】AC
【分析】根據垂直的坐標運算公式求解即可判斷A，根據共線和模的坐標公式計算判斷B，根據數量積的幾何意義求解判斷C，根據數量積的符號判斷D.
【詳解】對于A：若，則，即，解得，故A正確；
對于B：設與共線的單位向量為，所以，解得，
所以與共線的單位向量為或，故B不正確；
對于C：當時，在上的投影數量為，故C正確；
對于D：，
當時，，所以與的夾角為銳角或零度角，故D不正確.
故選：AC.
39．（2023下·江西上饒·高一統考期末）在平面直角坐標系中，已知，，則下列結論正確的是（ ）
A．的取值范圍是
B．當時，在方向上的投影數量的取值范圍是
C．的最大值是
D．若，且，則最大值為2
【答案】ACD
【分析】根據向量的坐標運算與余弦函數的性質可判斷A；根據投影數量的概念與三角恒等變換、正弦型三角函數的性質結合即可得取值范圍，可判斷B；由向量的三角不等式可判斷C；根據向量的三角不等式與均值不等式即可求最值可判斷D.
【詳解】，A正確；
當時，在方向上的投影數量為：
其中，所以，又或，所以，B錯誤；
由于，當，向量反向共線時等號成立，C正確；
因為，所以，當且僅當同向共線且時等號成立，D正確.
故選：ACD.
40．（2023下·云南文山·高一統考期末）若向量，滿足，，，則（ ）
A．向量，的夾角為45°
B．向量在向量上的投影向量為
C．在平行四邊形ABCD中，若=，=，則該平行四邊形的面積是12
D．在四邊形ABCD中，E是BC的中點．若，，且=，則該四邊形是梯形
【答案】ABD
【分析】根據平面向量的數量積的定義計算即可判斷A；根據投影向量的概念計算即可判斷B；根據三角形的面積公式計算即可判斷C；根據平面向量的線性運算即可判斷D.
【詳解】對于A，∵，，，∴，
且，則，故A正確；
對于B，向量在向量上的投影向量為，故B正確；
對于C，在平行四邊形ABCD中，若，，
則該平行四邊形的面積，故C錯誤；
對于D，取AD的中點F，如圖，由，
得，即，
∴，且，即四邊形ABEF是梯形，
∵E，F分別是BC，AD的中點，∴EF是四邊形ABCD的中位線，
∴四邊形ABCD是梯形，故D正確；

故選：ABD．
三、填空題
41．（2024上·遼寧大連·高一大連二十四中?？计谀┤粝蛄浚?，則實數x的值為 ．
【答案】/
【分析】由平行向量的坐標表示求解即可.
【詳解】因為向量，，且，
所以，解得：.
故答案為：.
42．（2023下·江蘇蘇州·高一江蘇省昆山中學?？计谀┫蛄?，且，則 ．
【答案】/0.8
【分析】根據給定條件，結合數量積的運算律可得，再建立平面直角坐標系，利用坐標求解夾角的余弦作答.
【詳解】由，得，即，而，則，即，
以的方向分別為軸正方向，建立平面直角坐標系，如圖，
則，于是，有，
所以.
故答案為：
43．（2023下·廣西南寧·高一校聯考期末）如圖，在中，，過點的直線分別交直線，于不同的兩點，.設，，則的最小值為 .

【答案】
【分析】根據三點共線求得的等量關系式，結合基本不等式求得的最小值.
【詳解】因為，所以，
所以，
又，，
所以，
因為，，三點共線，所以，
由圖可知，，
所以，
當且僅當，即、時取等號，
所以的最小值為.

故答案為：
【點睛】方法點睛：利用基本不等式求式子的最值，要注意一正、二定、三相等，正表示用基本不等式的，定表示用基本不等式后得到的需是定值，這個定值才是最值，三相等是指等號成立的條件是要存在.
44．（2023下·遼寧鞍山·高一校考期末）在矩形中，，，在上取一點M，在上取一點P，使得，，過M點作交于N點，若上存在一動點E，上存在一動點F，使得，則的最小值為 .
【答案】
【分析】方法一：建立合適的平面坐標系，設，，計算得，根據向量模的坐標表示，再利用消元法結合基本不等式即可求出的最值；方法二：利用，則，再根據即可得到最值.
【詳解】方法一：由題意建立如圖所示平面直角坐標系，
由題意可知，E，F分別在線段，上
，設，，
則，，
所以，
所以，，，
所以
，
設，則，
當且僅當，，時或，，時，取等號，
所以的最小值為.

方法二：因為，
所以，因為，
所以，故.
故答案為：.
四、解答題
45．（2024上·遼寧丹東·高一統考期末）己知向量以為基底的分解式為，其中.
(1)求m，n的值；
(2)若，且，求k的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平面向量基本定理，列方程組求m，n的值；
（2）利用向量共線的條件，計算k的值.
【詳解】（1），
則有，解得.
（2），由，有，
即，則，解得.
46．（2024上·遼寧大連·高一統考期末）已知向量，．
(1)求的坐標及；
(2)若與共線，求實數的值．
【答案】(1)
(2)1或
【分析】（1）由向量坐標的線性運算以及模的坐標公式即可得解.
（2）由向量平行的充要條件列出方程即可得解.
【詳解】（1）由題意，，所以，
所以.
（2）由題意與平行，
所以當且僅當，化簡得，
解得，即實數的值為1或-1.
47．（2024上·遼寧葫蘆島·高一統考期末）如圖，在等腰梯形中，，，M為線段中點，與交于點N，P為線段上的一個動點．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)設，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的線性運算法則計算；
（2）由題意得，由共起點的三向量終點共線的充要條件求出，即可得出答案；
（3）由題意，可設，代入中并整理可得，又，根據平面向量基本定理得出方程組，然后結合二次函數的性質可得結論．
【詳解】（1）由向量的線性運算法則，可得，①
，②
因為M為線段中點，則，
聯立①②得：，
整理得：．
（2）由AM與BD交于點N，得，
由共起點的三向量終點共線的充要條件知，，解得：．
所以，即．
（3）由題意，可設，
代入中并整理可得
．
又，故，可得：，．
因為，所以，．
在單調遞增，
則當時，，當時，，
所以，的取值范圍為．
48．（2023上·遼寧·高一沈陽二中校聯考期末）如圖，在中，點滿足，是線段的中點，過點的直線與邊，分別交于點．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意根據向量的線性運算法則得到，，再根據三點共線，求得即可求解.
（2）根據題意得到，，結合三點共線得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【詳解】（1）因為，
所以，
因為是線段的中點，所以，
又因為，設，則有，
因為三點共線，所以，解得，即，
所以．
（2）因為， ，
由（1）可知，，所以，
因為三點共線，所以，即，
所以，
當且僅當，即，時取等號，
所以的最小值為．
49．（2023下·廣東陽江·高一廣東兩陽中學校考期末）在中，已知，，，設點為邊上一點，點為線段延長線上的一點．
(1)當且P是邊BC上的中點時，設與交于點，求線段的長；
(2)設，若，求線段長度的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由均為中點及重心的性質判斷出點的位置，進而用基向量表示出，再根據數量積求得的模長；
（2）根據共線向量定理用向量表示點的位置，再根據平面向量基本定理用一組基向量表示出，分別代入題目條件的式子并化簡變形，后用基本不等式即可求得最值.
【詳解】（1）設，，當，得是的中點，
又是的中點時，則是的重心，
，
.
（2）設，則，
，
由，得：
∴，因為且，
所以即，
∴，
令，則
，
當且僅當即時取到等號，所以的最大值是，
又，
故線段的最小值為.新課第04講：平面向量基本定理及坐標表示
【考點梳理】
考點一：基底的概念和表示 考點二：平面向量基本定理的應用
考點三：平面向量的正交分解及其坐標表示 考點四：平面向量的線性運算坐標表示
考點五：由向量線性運算解決最值和范圍問題 考點六：平面向量共線的坐標表示
考點七;平面向量的數量積的坐標表示 考點八：利用平行（共線）或垂直求參數
考點九：平面向量坐標表示的綜合問題
【知識梳理】
知識點一：平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.
知識點二：平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
知識點三 平面向量的坐標表示
1.在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底.
對于平面內的任意一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x，y，使得a＝xi＋yj.
平面內的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y).
2.在直角坐標平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
知識點四 平面向量加、減運算的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
數學公式 文字語言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和
向量減法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差
已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.
知識點五 平面向量數乘運算的坐標表示
已知a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)，即：實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.
知識點六 平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
則a，b共線的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.
如果用坐標表示，可寫為(x1，y1)＝λ(x2，y2)，當且僅當x1y2－x2y1＝0時，向量a，b(b≠0)共線.
注意：向量共線的坐標形式極易寫錯，如寫成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不對的，因此要理解并熟記這一公式，可簡記為：縱橫交錯積相減.
知識點七　平面向量數量積的坐標表示
設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.則a·b＝x1x2＋y1y2.
(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
若表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.
(2)a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(3)cos θ＝＝.
【題型歸納】
題型一：基底的概念和表示
1．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學校考期中）設是平面內所有向量的一個基底，則下列不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
2．（2023下·重慶萬州·高一重慶市萬州第二高級中學校考期中）已知是不共線的非零向量，則以下向量不可以作為一組基底的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023下·陜西·高一校聯考期中）如圖，在中，設，，，，則（ ）

A． B．
C． D．
題型二：平面向量基本定理的應用
4．（2023下·山東濱州·高一統考期末）如圖，為平行四邊形對角線上一點，交于點，若，則（ ）

A． B． C． D．
5．（2023下·廣東東莞·高一東莞實驗中學?？计谥校┰谥校c是的中點，點在邊上，且與交于點，若，則長是（ ）
A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4
6．（2023下·福建福州·高一校聯考期末）在中，點為BC邊上一點，且，則實數（ ）
A． B． C． D．
題型三：平面向量的正交分解及其坐標表示
7．（2023下·全國·高一期中）已知點，向量，則向量＝（ ）
A． B． C． D．
8．（2020下·廣東揭陽·高一統考期中）已知，若，則點的坐標為（ ）
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
9．（2023下·四川南充·高一統考期末）若是邊長為1的等邊三角形，G是邊BC的中點，H是邊AC的中點，M為線段AG上任意一點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
題型四：平面向量的線性運算坐標表示
10．（2023上·江西宜春·高一校聯考階段練習）已知邊長為2的菱形中，，點E是BC上一點，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2023下·高一課時練習）如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，動點P在邊BC上，且滿足（m，n均為正數），則的最小值為（ ）

A．1 B． C． D．
12．（2023·全國·高一專題練習）如圖甲所示，古代中國的太極八卦圖是以同圓內的圓心為界，畫出相等的兩個陰陽魚.其平面圖形記為圖乙中的正八邊形，其中，則以下結論錯誤的是（ ）
A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量為
題型五：由向量線性運算解決最值和范圍問題
13．（2022下·江西景德鎮·高一景德鎮一中?？计谥校┰谥苯翘菪蜛BCD中，，點E為BC邊上一點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023下·江蘇南通·高一南通一中校考階段練習）已知直角梯形是邊上的一點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
15．（2021下·江蘇南京·高一南京師大附中校考期末）在扇形中，，，為弧上的一個動點，且．則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型六：平面向量共線的坐標表示
16．（2024·全國·高一假期作業）已知平面向量，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
17．（2023下·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）已知向量不共線，且，若與共線，則實數的值為（ ）
A．1或 B． C． D．或
18．（2023下·北京·高一101中學校考期末）已知向量.若與共線，則（ ）
A．1 B．3 C． D．
題型七;平面向量的數量積的坐標表示
19．（2023下·北京海淀·高一統考期末）已知向量，向量為單位向量，且，則（ ）
A． B． C．2 D．3
20．（2023下·福建龍巖·高一校聯考期中）設向量與的夾角為，定義與的“向量積”：是一個向量，它的模，若，則（ ）
A．5 B． C． D．
21．（2024·全國·高一假期作業）已知平面向量，滿足，且，則（ ）
A．4 B．5 C． D．2
題型八：利用平行（共線）或垂直求參數
22．（2024·全國·高一假期作業）已知向量，，，若，（ ）
A． B． C． D．
23．（2023下·江蘇連云港·高一校考階段練習）已知向量，，，且，
(1)求x的值；
(2)若，求實數的值.
24．（2023下·河南鄭州·高一校聯考期中）平面內給出三個向量，，，求解下列問題：
(1)若向量與向量的夾角為銳角，求實數的取值范圍；
(2)若，求實數k的值．
題型九：平面向量坐標表示的綜合問題
25．（2023下·新疆伊犁·高一校聯考期末）設，向量，，，且∥，．
(1)求；
(2)求向量與夾角的大小.
26．（2023下·貴州遵義·高一統考期末）已知向量，，其中．
(1)若，寫出，，，之間應滿足的關系式
(2)求證：；
(3)求代數式的最大值，并求其取得最大值時的值．
27．（2023上·遼寧大連·高一期末）在三角形中，，，，為線段上任意一點，交于.
(1)若.
①用表示.
②若，求的值.
(2)若，求的最小值.
【雙基訓練】
一、單選題
28．（2023上·遼寧葫蘆島·高一校考期末）在中，點在邊上，且，則（ ）
A． B．
C． D．
29．（2023下·湖南邵陽·高一統考期末）下列各組向量中，可以作為基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
30．（2023·全國·高一專題練習）下列命題不正確的是（ ）
A．若向量滿足，則為平行向量
B．已知平面內的一組基底，則向量也能作為一組基底
C．模等于個單位長度的向量是單位向量，所有單位向量均相等
D．若是等邊三角形，則
31．（2023下·湖南長沙·高一雅禮中學?？计谀┰O平面向量，，且，則=（ ）
A．1 B．14 C． D．
32．（2023下·江蘇蘇州·高一統考期末）已知，，點在線段的延長線上，且，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．或
33．（2023下·北京豐臺·高一統考期末）已知向量，.若，則實數（ ）
A． B． C． D．
34．（2023下·貴州畢節·高一統考期末）已知向量，若，則（ ）
A． B． C． D．
35．（2023下·江西新余·高一統考期末）如下圖，在中，，，以BC的中點O為圓心，BC為直徑在三角形的外部作半圓弧BC，點P在半圓上運動，設，，則的最大值為（ ）

A．5 B．6 C． D．
二、多選題
36．（2024上·浙江寧波·高一鎮海中學?？计谀┫铝姓f法正確的是（ ）
A．已知，為平面內兩個不共線的向量，則可作為平面的一組基底
B．，則存在唯一實數，使得
C．兩個非零向量，，若，則與共線且反向
D．中，，，則為等邊三角形
37．（2023下·山東青島·高一青島二中?？计谀┮阎矫嫦蛄?，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量為
C．與垂直的單位向量的坐標為或
D．若向量與非零向量共線，則
38．（2023下·內蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）已知向量，下列結論中正確的是（ ）
A．若，則
B．與共線的單位向量一定為
C．當時，在上的投影的數量為
D．當時，與的夾角為銳角
39．（2023下·江西上饒·高一統考期末）在平面直角坐標系中，已知，，則下列結論正確的是（ ）
A．的取值范圍是
B．當時，在方向上的投影數量的取值范圍是
C．的最大值是
D．若，且，則最大值為2
40．（2023下·云南文山·高一統考期末）若向量，滿足，，，則（ ）
A．向量，的夾角為45°
B．向量在向量上的投影向量為
C．在平行四邊形ABCD中，若=，=，則該平行四邊形的面積是12
D．在四邊形ABCD中，E是BC的中點．若，，且=，則該四邊形是梯形
三、填空題
41．（2024上·遼寧大連·高一大連二十四中?？计谀┤粝蛄?，，且，則實數x的值為 ．
42．（2023下·江蘇蘇州·高一江蘇省昆山中學校考期末）向量，且，則 ．
43．（2023下·廣西南寧·高一校聯考期末）如圖，在中，，過點的直線分別交直線，于不同的兩點，.設，，則的最小值為 .

44．（2023下·遼寧鞍山·高一?？计谀┰诰匦沃校?，，在上取一點M，在上取一點P，使得，，過M點作交于N點，若上存在一動點E，上存在一動點F，使得，則的最小值為 .
四、解答題
45．（2024上·遼寧丹東·高一統考期末）己知向量以為基底的分解式為，其中.
(1)求m，n的值；
(2)若，且，求k的值.
46．（2024上·遼寧大連·高一統考期末）已知向量，．
(1)求的坐標及；
(2)若與共線，求實數的值．
47．（2024上·遼寧葫蘆島·高一統考期末）如圖，在等腰梯形中，，，M為線段中點，與交于點N，P為線段上的一個動點．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)設，求的取值范圍．
48．（2023上·遼寧·高一沈陽二中校聯考期末）如圖，在中，點滿足，是線段的中點，過點的直線與邊，分別交于點．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
49．（2023下·廣東陽江·高一廣東兩陽中學?？计谀┰谥?，已知，，，設點為邊上一點，點為線段延長線上的一點．
(1)當且P是邊BC上的中點時，設與交于點，求線段的長；
(2)設，若，求線段長度的最小值．

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