資源簡介

新課第05講：余弦定理、正弦定理
【考點梳理】
考點一：正弦定理解三角形
考點二：正弦定理判定三角形解的個數
考點三：正弦定理求外接圓的半徑
考點四：正弦定理邊角互化的應用
考點型五：余弦定理解三角形
考點六：余弦定理邊角互化的應用
考點七：三角形面積公式問題
考點八：正弦定理和余弦定理的綜合應用
【知識梳理】
知識一．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
內容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
變形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝
知識二：角形常用面積公式
(1)S＝a·ha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；(3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形內切圓半徑)．
知識三：解三角形
一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.
【題型歸納】
題型一：正弦定理解三角形
1．（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）在中，若，，，則可能是（ ）
A．135° B．105°或15° C．45°或135° D．15°
【答案】B
【分析】利用正弦定理可求的值，故可得正確的選項.
【詳解】由正弦定理可得，故，
故，而，故或，
故或，
故選：B.
2．（2023下·廣東佛山·高一?？计谥校┑膬冉堑膶叿謩e為，已知，則（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】由同角的平方關系和正弦定理求解.
【詳解】由得.
由正弦定理得.
故選：A
3．（2023下·安徽宣城·高一統考期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】利用正弦定理求出，進而得出答案．
【詳解】因為，，，
所以由正弦定理得，得，
因為，，所以，所以或，則或．
故選：D．
題型二：正弦定理判定三角形解的個數
4．（2022下·福建莆田·高一莆田一中校考期末）在中，內角，，所對的邊分別為，，，根據下列條件解三角形，其中有兩解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】由三角形內角和可判斷A項，由三角形中大邊對大角可判斷B項，由正弦定理解三角形可判斷C項，由余弦定理解三角形可判斷D項.
【詳解】對于A項，由，，可得，所以三角形只有一解；
對于B項，由，，，可得，所以，此時三角形有唯一的解；
對于C項，由正弦定理，可得，
可得B有兩解，所以三角形有兩解；
對于D項，由余弦定理得，
可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．
故選：C．
5．（2023下·浙江臺州·高一溫嶺中學校考期末）在中角所對的邊分別為，若，，，則（ ）
A．當時， B．當時，有兩個解
C．當時，只有一個解 D．對一切，都有解
【答案】C
【分析】由正弦定理、正弦函數的性質計算可得.
【詳解】因為，，，
所以由正弦定理，即，
當時，又，所以或，故A錯誤；
當時，又，此時無解，故B、D錯誤；
當時，則，又，此時只有一解，即只有一個解，故C正確；
故選：C
6．（2023下·江蘇鹽城·高一校聯考期中）已知在中，，，，若三角形有兩解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據正弦定理即可結合圖形關系得，即可求解.
【詳解】由，要使三角形有兩解，就是要使以為圓心，半徑為的圓與有兩個交點，
過作，則，
要使以為圓心，半徑為的圓與有兩個交點，則需要，
解得的取值范圍是．
故選：B．

題型三：正弦定理求外接圓的半徑
7．（2023下·廣東深圳·高一校聯考期中）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的外接圓的面積為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據三角形內角和為得到，利用正弦定理得到外接圓半徑，得到面積.
【詳解】在中，，，所以.
設的外接圓的半徑為R，則由正弦定理，可得，
解得R＝1，故的外接圓的面積.
故選：B
8．（2023下·寧夏銀川·高一銀川一中?？计谥校┑娜齻€內角，，所對的邊分別為，，，，，，則的外接圓的直徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由余弦定理求出，再由正弦定理計算可得.
【詳解】由余弦定理得，
所以．
故選：C．
9．（2022下·山東青島·高一山東省萊西市第一中學?？计谥校┰谥?，已知，，，則下列選項中正確的為（ ）
A． B．外接圓的半徑為
C．的面積為 D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理可得，進而可得，，然后利用三角形面積公式可得，即得.
【詳解】因為，，，
∴，，
∴，又，
∴，故B正確，D錯誤；
∴，，，故AC錯誤.
故選：B.
題型四：正弦定理邊角互化的應用
10．（2023下·安徽蕪湖·高一統考期末）已知的三個角的對邊分別為，且滿足，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】A
【分析】根據正弦定理將已知的等式統一成邊的形式，化簡即可得結論.
【詳解】因為，所以由正弦定理得，
所以，所以為等腰三角形，
故選：A
11．（2023下·遼寧·高一校聯考期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】根據正弦定理進行邊角轉化，即可得結果.
【詳解】由正弦定理可得，則，
所以.
故選：A.
12．（2023下·四川成都·高一統考期末）已知，，分別為三個內角，，的對邊，且滿足，則為（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．以上皆有可能
【答案】B
【分析】根據已知條件及正弦定理的邊角化，再利用三角形的內角和定理及兩角和的正弦公式，結合三角函數特殊值對應特殊角即可求解.
【詳解】由及正弦定理，得,
因為，所以,
所以,
即，
，所以，
則
所以，
所以為直角三角形.
故選：B.
題型五：余弦定理解三角形
13．（2023下·河南駐馬店·高一校聯考期中）在中，若，則角的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，利用余弦定理求得，即可求解.
【詳解】因為，由余弦定理可得，
因為，所以.
故選：C.
14．（2023下·江西萍鄉·高一統考期中）設內角，，所對的邊分別為，，，若，，，則邊（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．
【答案】C
【分析】根據余弦定理求解即可；
【詳解】在中，由余弦定理得：
整理得，，解得：或.
檢驗或滿足題意，
故選：C.
15．（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學?？计谥校┰谥校?，，所對的邊分別為，，，若，且，，求的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由余弦定理變形得到，代入求解即可.
【詳解】，
即，解得，負值舍去.
故選：A
題型六：余弦定理邊角互化的應用
16．（2023下·河北石家莊·高一?？计谥校┯浀膬冉茿，B，C對邊分別為a，b，c，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根據同角三角函數的基本關系及正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；
【詳解】由，
由正弦定理得，即，
，，
所以.
故選：A
17．（2023下·遼寧沈陽·高一沈陽二中校考期中）在△ABC中，，則這個三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用余弦定理表示出和，代入已知等式整理可得到或，即可確定三角形的形狀.
【詳解】由余弦定理可得：，，
代入中，
得，
等式兩邊同乘得：
，
移項合并得：，
整理得：，
即，
可得或，
則三角形為等腰三角形或直角三角形，
故選：D.
18．（2023下·福建福州·高一校聯考期中）的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的形狀是（ ）
A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】由利用正弦定理邊角互換可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案.
【詳解】因為，所以，整理得，
又，所以，
即，即，
又，所以，得，
因為，所以，所以，，故為等腰直角三角形.
故選：D
題型七：三角形面積公式問題
19．（2023下·河北石家莊·高一石家莊二十三中?？计谥校┰谥?，角的對邊分別為的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】結合正弦定理，和余弦定理求出，進而得到，應用面積公式即可.
【詳解】由，得，
，，
，
即，解得，
，，，
.
故選：C
20．（2023下·甘肅臨夏·高一統考期末）已知的外接圓半徑為4，，，則的面積S為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據正弦定理、面積公式、二倍角的正弦公式求解.
【詳解】由，，
解得，
由正弦定理可得，，
所以，
，
.
故選：D
21．（2023下·陜西寶雞·高一統考期末）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，，，則（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根據正弦定理面積公式和余弦定理求解即可.
【詳解】因為的面積為，，
所以，即.
所以，
所以.
故選：D.
題型八：正弦定理和余弦定理的綜合應用
22．（2024上·上海寶山·高一上海交大附中?？计谀┰谥校茿，B，C所對邊的邊長分別為a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，的周長為3，求的面積S.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據倍角公式結合三角形內角和關系分析求解；
（2）由（1）可知：，由題意可知，利用余弦定理可得，代入面積公式即可得結果.
【詳解】（1）因為，則，
即，解得.
（2）由（1）可知：，且，可得，
由題意可知，即，
由余弦定理可得，
即，解得，
所以的面積.
23．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ薪ㄆ街袑W?？计谀┰谥校茿，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若的面積為6，，求b的長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式化簡得，即可求解.
（2）利用三角形面積公式求解，然后利用余弦定理求解即可.
【詳解】（1）因為，所以.
因為，所以，又，，所以.
（2）因為，所以.
由余弦定理可得，
所以.
24．（2023上·江西·高一統考期中）已知內角，，的對邊長分別為，，，.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，，求面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結合正弦定理的邊角互化及余弦定理即可求解；
（2）先由正弦定理表示出，得到，由，求出的面積的取值范圍.
【詳解】（1）由正弦定理得：，
則
由余弦定理得：，
又，所以.
（2）在中，
因為，，
由正弦定理得：，
.
又.
又因為為銳角三角形，
所以，，故，所以
故，所以
所以面積的取值范圍是
【雙基訓練】
一、單選題
25．（2023下·河北邯鄲·高一統考期中）在中，，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據余弦定理、三角形面積公式，結合同角的三角函數關系式進行求解即可.
【詳解】因為，
所以，
則的面積為.
故選：A
26．（2023下·河北石家莊·高一石家莊二十三中校考期中）中，內角的對邊分別為，以下選項為正確的是（ ）
A．若，則一定為銳角三角形
B．若，則為等腰三角形
C．，則為銳角三角形
D．
【答案】D
【分析】由余弦定理判斷A，由正弦函數性質判斷B，舉反例判斷C，由數量積的定義及余弦定理判斷D．
【詳解】A，由已知，為銳角，但的范圍不確定，A錯；
B，是的內角，則，所以或，
即或，為等腰三角形或直角三角形，B錯；
C，，如，，則，但為鈍角三角形，C錯；
D，，D正確，
故選：D．
27．（2023下·河北邯鄲·高一統考期中）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理計算即可.
【詳解】由正弦定理知：得.
故選：B
28．（2023下·山西運城·高一統考期中）如圖，四邊形四點共圓，其中為直徑，，，，則的長度為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用令可得，，在、應用正弦定理，結合三角恒等變換可得，進而求外接圓直徑，最后應用勾股定理求.
【詳解】令，則，故，，
中，中，
又，故，
所以，即，
所以外接圓直徑，則.
故選：B
29．（2023下·吉林長春·高一長春外國語學校?？计谥校┰谥?，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則外接圓的直徑是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知結合余弦定理求出，再結合正弦定理即可得到答案.
【詳解】在中，由余弦定理得，則，
又，由正弦定理有（為外接圓半徑），
∴ ，
故外接圓的直徑為.
故選：D
30．（2023下·甘肅武威·高一校聯考期中）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據余弦定理求出，再利用三角形面積公式即可得到答案.
【詳解】因為，
由余弦定理得，所以，
所以的面積.
故選：A.
31．（2023下·福建福州·高一福州黎明中學?？计谥校┰O銳角的三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，則周長的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出角的范圍，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等變換得，最后得到周長表達式，再利用二次函數的性質即可得到范圍.
【詳解】因為△為銳角三角形，所以，，，
即，，，所以，；
又因為，所以，又因為和正弦定理得，
由，即
，
所以，令，則，
又因為函數在上單調遞增，所以函數值域為，
則的周長的取值范圍為.
故選：C.
【點睛】關鍵點睛：本題解題關鍵是利用正弦定理實現邊角的轉化得到周長關于角的函數關系，借助二次函數的單調性求最值.
32．（2023下·江西吉安·高一校聯考期中）設△ABC的內角A，B，C滿足，面積S滿足，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．給出下列四個結論：①；②；③；④．其中正確結論的序號是（ ）
A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】首先可由得到，然后利用所給公式結合和差公式、倍角公式可化得，然后結合可求得外接圓半徑的范圍，然后可判斷②③④.
【詳解】因為，
所以，即，
因為，
所以
，
所以，故①正確；
設的外接圓半徑為，
因為由三角形面積公式和正弦定理有，
所以，
所以，故②正確；
，故③錯誤，
，故④正確，
故選：B.
二、多選題
33．（2023下·湖南株洲·高一統考期中）設的內角的對邊分別為，若則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根據求解即可.
【詳解】因為，所以.
又因為，.所以或.
故選：CD.
34．（2023下·陜西商洛·高一?？计谥校┰谥校撬鶎Φ倪厼?， 則下列說法正確的有（ ）
A． B．
C．若，則 D．若，則
【答案】BCD
【分析】根據余弦定理可判斷A；根據正弦定理可判斷B、C；根據三角形中大角對大邊可判斷D.
【詳解】對于A，在中，有成立，A錯誤；
對于B，由正弦定理知，(R為外接圓半徑)，
故，B正確；
對于C，在中，，
由正弦定理得，故，C正確；
對于D，根據三角形中大角對大邊可知若， 則，D正確，
故選：BCD
35．（2023下·廣東佛山·高一?？计谥校┰谥校撬鶎Φ倪叿謩e為，已知，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若是等腰三角形，則
C．若，則是直角三角形 D．若，則
【答案】BCD
【分析】根據余弦定理和正弦定理即可得出答案.
【詳解】因為，由正弦定理得，
對于A選項，由余弦定理得，
，，故A錯誤.
對于B選項，若是等腰三角形，顯然，
又當時，有成立，顯然此時不能構成三角形，
則只能是，再根據，
由余弦定理得，，
在中，，故B正確.
對于C選項，若，則，
又，則，
又，則，
在中，，所以，即，故C正確.
對于D選項，由余弦定理得，
，，故D正確.
故選:BCD.
36．（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學校考期中）在中，內角，，所對的邊分別為，，，下列與有關的結論，正確的是（ ）
A．若，，則
B．若是銳角三角形，則
C．若，則一定是等腰三角形
D．若為非直角三角形，則
【答案】ABD
【分析】利用正弦定理、三角形內角和定理、比例的性質，結合誘導公式、正弦函數的單調性逐一判斷即可.
【詳解】A：由正弦定理可知：
，因此本選項正確；
B：因為是銳角三角形，
所以，
因為是銳角三角形，
所以，
因此由，所以本選項正確；
C：根據正弦定理由，
因為，所以，
因此由，或，
由，此時該三角形是等腰三角形，
由，此時該三角形是直角三角形，
所以本選項不正確，
D：在非直角三角形中，
有
，所以本選項正確，
故選：ABD
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵在于應用正弦定理和比例的性質.
三、填空題
37．（2023下·江蘇連云港·高一統考期中）在中，若，，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據正弦定理求解即可.
【詳解】設外接圓半徑為，則由正弦定理可得：
故答案為：
38．（2023下·山東青島·高一統考期中）在中，三邊長分別為，最大角的正弦值為，則 ．
【答案】5
【分析】由條件結合余弦定理列方程求即可.
【詳解】因為，
所以的最大內角為邊長的邊所對應的角，
因為最大角的正弦值為，又對于非等邊三角形，最大角大于，
所以最大角的余弦為，
由余弦定理可得，又
所以.
故答案為：.
39．（2023下·安徽滁州·高一?？计谥校┑膬冉茿、B、C的對邊分別為，b，c，已知，且，則的面積為 ．
【答案】/
【分析】由正弦定理結合三角恒等變換可得，再根據余弦定理可得，進而可得的面積.
【詳解】由，結合正弦定理可得，故，
故，因為，故，又，故.
由余弦定理，則，解得.
則.
故答案為：
40．（2023下·福建福州·高一校聯考期中）已知，，分別為三個內角，，的對邊，若，，則的外接圓的半徑為 ．
【答案】
【分析】根據正弦定理邊角互換與余弦定理化解原式，求解出角A，最后根據正弦定理求出的外接圓的半徑.
【詳解】由正弦定理得，則
，
所以的外接圓的半徑為．
故答案為：.
41．（2023下·山西運城·高一統考期中）在銳角中，角所對的邊為，若，且，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用正弦定理邊化角可求得，得到；利用正弦定理和余弦定理角化邊可求得；利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換知識可將所求式子化為，結合的范圍，由正弦型函數值域求法可求得結果.
【詳解】由得：，
，又，，，
又，，
則由得：，
，解得：；
由正弦定理得：，
；
，，，，
，即的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題
42．（2023下·云南保山·高一?？计谥校┑膬冉茿，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量與平行.
(1)求A；
(2)若，，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】根據兩向量平行有，利用正弦定理化為求；利用余弦定理求值，進而利用求面積.
【詳解】（1）因為，所以，由正弦定理得,
又，從而,因為，所以.
（2）由余弦定理得,又，，，
所以，即，因為，所以，
設的面積為，.
43．（2023上·河北保定·高一校聯考期中）已知銳角內角及對邊，滿足.
(1)求的大?。?br/>(2)若，求周長的取值范圍.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式可得，結合，可得的值．
（2）由正弦定理，三角函數恒等變換的應用可求，由已知求出的取值范圍，再利用正弦函數的性質即可求解其范圍．
【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，
又因為，
所以，，
可得，由，可得.
（2）因為，由正弦定理，
可得，
可得
，
因為銳角三角形中，所以，解得，所以，
所以，可得.
周長的取值范圍為.
44．（2023下·天津和平·高一統考期末）在中，角所對的邊分別為，.
(1)求的值；
(2)若，求的面積；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據正弦定理邊化角即可得結果；
（2）根據題意利用余弦定理求得，再結合面積公式運算求解；
（3）根據三角形內角和關系可得，結合三角恒等變換運算求解.
【詳解】（1）因為，由正弦定理可得.
（2）若，則，
由余弦定理，即，
整理得，解得或（舍去），
所以的面積.
（3）因為，則，
則，
又因為，即，則，
可得，
所以.
45．（2023下·安徽合肥·高一安徽省肥西農興中學?？计谥校┮阎謩e為三個內角得對邊，且.
(1)求；
(2)若，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據已知由余弦定定理化簡得，再利用余弦定理求得，從而可求角；
（2）利用余弦定理及已知條件求得，代入三角形面積公式即可求解.
【詳解】（1）因為，由余弦定理得：，
整理得：，所以，即，所以，
又，所以.
（2）由余弦定理得：，
化簡得，解得，所以，
所以的面積為.
46．（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學?？计谥校┮阎?，角所對的邊分別為，且的面積為.
(1)若，求的值.
(2)當為何值時，取得最大值，并求出該值.
【答案】(1)
(2)當時，取得最大值
【分析】（1）先求得，然后根據正弦定理以及三角形的面積公式求得的值.
（2）利用正弦定理、余弦定理以及三角函數最值等知識求得正確答案.
【詳解】（1）由于，所以為銳角，
所以，解得，
依題意，，
由正弦定理得，
由于為銳角，所以.
（2）由（1）得，
由余弦定理得，
所以，
所以當時，取得最大值為.
47．（2023下·河北石家莊·高一?？计谥校┮阎谥校瑑冉茿，B，C所對的邊分別是a，b，c且滿足．
(1)求角；
(2)若D點在線段BC上，且AD平分，若，且，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理得到，再由正弦定理將邊化角，最后結合兩角和的正弦公式及誘導公式求出，即可得解；
（2）設，則，運用正弦定理、余弦定理，求出，，，再結合三角形的面積公式，即可求解．
【詳解】（1）因為，所以，
所以，
所以，
即，
因為，所以，所以，
又，所以.
（2）因為點在線段上，且平分，
則，
設，，，則，
由正弦定理可得，，，即，，
則，
由余弦定理可得，，解得，
又，
則，
由余弦定理得，即，解得（負值舍去），
則，，
故的面積為．
新課第05講：余弦定理、正弦定理
【考點梳理】
考點一：正弦定理解三角形
考點二：正弦定理判定三角形解的個數
考點三：正弦定理求外接圓的半徑
考點四：正弦定理邊角互化的應用
考點型五：余弦定理解三角形
考點六：余弦定理邊角互化的應用
考點七：三角形面積公式問題
考點八：正弦定理和余弦定理的綜合應用
【知識梳理】
知識一．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
內容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
變形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝
知識二：角形常用面積公式
(1)S＝a·ha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；(3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形內切圓半徑)．
知識三：解三角形
一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.
【題型歸納】
題型一：正弦定理解三角形
1．（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）在中，若，，，則可能是（ ）
A．135° B．105°或15° C．45°或135° D．15°
2．（2023下·廣東佛山·高一校考期中）的內角的對邊分別為，已知，則（ ）
A．6 B． C．8 D．
3．（2023下·安徽宣城·高一統考期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（ ）
A． B．或 C．或 D．或
題型二：正弦定理判定三角形解的個數
4．（2022下·福建莆田·高一莆田一中?？计谀┰谥校瑑冉?，，所對的邊分別為，，，根據下列條件解三角形，其中有兩解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．（2023下·浙江臺州·高一溫嶺中學?？计谀┰谥薪撬鶎Φ倪叿謩e為，若，，，則（ ）
A．當時， B．當時，有兩個解
C．當時，只有一個解 D．對一切，都有解
6．（2023下·江蘇鹽城·高一校聯考期中）已知在中，，，，若三角形有兩解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型三：正弦定理求外接圓的半徑
7．（2023下·廣東深圳·高一校聯考期中）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的外接圓的面積為（　　）
A． B． C． D．
8．（2023下·寧夏銀川·高一銀川一中?？计谥校┑娜齻€內角，，所對的邊分別為，，，，，，則的外接圓的直徑為（ ）
A． B． C． D．
9．（2022下·山東青島·高一山東省萊西市第一中學?？计谥校┰谥?，已知，，，則下列選項中正確的為（ ）
A． B．外接圓的半徑為
C．的面積為 D．
題型四：正弦定理邊角互化的應用
10．（2023下·安徽蕪湖·高一統考期末）已知的三個角的對邊分別為，且滿足，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
11．（2023下·遼寧·高一校聯考期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
12．（2023下·四川成都·高一統考期末）已知，，分別為三個內角，，的對邊，且滿足，則為（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．以上皆有可能
題型五：余弦定理解三角形
13．（2023下·河南駐馬店·高一校聯考期中）在中，若，則角的值是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023下·江西萍鄉·高一統考期中）設內角，，所對的邊分別為，，，若，，，則邊（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．
15．（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學校考期中）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，且，，求的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
題型六：余弦定理邊角互化的應用
16．（2023下·河北石家莊·高一?？计谥校┯浀膬冉茿，B，C對邊分別為a，b，c，，則（ ）
A． B． C． D．
17．（2023下·遼寧沈陽·高一沈陽二中校考期中）在△ABC中，，則這個三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
18．（2023下·福建福州·高一校聯考期中）的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的形狀是（ ）
A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
題型七：三角形面積公式問題
19．（2023下·河北石家莊·高一石家莊二十三中?？计谥校┰谥?，角的對邊分別為的面積為（ ）
A． B． C． D．
20．（2023下·甘肅臨夏·高一統考期末）已知的外接圓半徑為4，，，則的面積S為（ ）
A． B．
C． D．
21．（2023下·陜西寶雞·高一統考期末）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，，，則（ ）
A． B． C．4 D．
題型八：正弦定理和余弦定理的綜合應用
22．（2024上·上海寶山·高一上海交大附中校考期末）在中，角A，B，C所對邊的邊長分別為a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，的周長為3，求的面積S.
23．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ薪ㄆ街袑W?？计谀┰谥?，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若的面積為6，，求b的長.
24．（2023上·江西·高一統考期中）已知內角，，的對邊長分別為，，，.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，，求面積的取值范圍.
【雙基訓練】
一、單選題
25．（2023下·河北邯鄲·高一統考期中）在中，，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
26．（2023下·河北石家莊·高一石家莊二十三中?？计谥校┲校瑑冉堑膶叿謩e為，以下選項為正確的是（ ）
A．若，則一定為銳角三角形
B．若，則為等腰三角形
C．，則為銳角三角形
D．
27．（2023下·河北邯鄲·高一統考期中）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
28．（2023下·山西運城·高一統考期中）如圖，四邊形四點共圓，其中為直徑，，，，則的長度為（ ）

A． B． C． D．
29．（2023下·吉林長春·高一長春外國語學校?？计谥校┰谥?，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則外接圓的直徑是（ ）
A． B． C． D．
30．（2023下·甘肅武威·高一校聯考期中）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
31．（2023下·福建福州·高一福州黎明中學?？计谥校┰O銳角的三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，則周長的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
32．（2023下·江西吉安·高一校聯考期中）設△ABC的內角A，B，C滿足，面積S滿足，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．給出下列四個結論：①；②；③；④．其中正確結論的序號是（ ）
A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
二、多選題
33．（2023下·湖南株洲·高一統考期中）設的內角的對邊分別為，若則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
34．（2023下·陜西商洛·高一校考期中）在中，角所對的邊為， 則下列說法正確的有（ ）
A． B．
C．若，則 D．若，則
35．（2023下·廣東佛山·高一?？计谥校┰谥校撬鶎Φ倪叿謩e為，已知，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若是等腰三角形，則
C．若，則是直角三角形 D．若，則
36．（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學?？计谥校┰谥校瑑冉牵?，所對的邊分別為，，，下列與有關的結論，正確的是（ ）
A．若，，則
B．若是銳角三角形，則
C．若，則一定是等腰三角形
D．若為非直角三角形，則
三、填空題
37．（2023下·江蘇連云港·高一統考期中）在中，若，，則的值為 ．
38．（2023下·山東青島·高一統考期中）在中，三邊長分別為，最大角的正弦值為，則 ．
39．（2023下·安徽滁州·高一?？计谥校┑膬冉茿、B、C的對邊分別為，b，c，已知，且，則的面積為 ．
40．（2023下·福建福州·高一校聯考期中）已知，，分別為三個內角，，的對邊，若，，則的外接圓的半徑為 ．
41．（2023下·山西運城·高一統考期中）在銳角中，角所對的邊為，若，且，則的取值范圍是 .
四、解答題
42．（2023下·云南保山·高一?？计谥校┑膬冉茿，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量與平行.
(1)求A；
(2)若，，求的面積.
43．（2023上·河北保定·高一校聯考期中）已知銳角內角及對邊，滿足.
(1)求的大??；
(2)若，求周長的取值范圍.
44．（2023下·天津和平·高一統考期末）在中，角所對的邊分別為，.
(1)求的值；
(2)若，求的面積；
(3)求的值.
45．（2023下·安徽合肥·高一安徽省肥西農興中學?？计谥校┮阎謩e為三個內角得對邊，且.
(1)求；
(2)若，求的面積.
46．（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學?？计谥校┮阎?，角所對的邊分別為，且的面積為.
(1)若，求的值.
(2)當為何值時，取得最大值，并求出該值.
47．（2023下·河北石家莊·高一?？计谥校┮阎谥?，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c且滿足．
(1)求角；
(2)若D點在線段BC上，且AD平分，若，且，求的面積．

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