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《數列》5.3 等比數列
一、考點分布
1. 等比數列的概念（B）
2. 等比數列的通項公式與前n項和的公式（C）
二、復習目標要求
1. 理解等比數列的概念；
2. 掌握等比數列的通項公式與前n項和的公式
3. 能在具體問題情境中識別數列的等比關系，并能有關知識解決問題；
4. 了解等比數列與指數函數的關系.
三、重點與難點
1. 熟練運用等比數列的通項公式求解問題是復習重點；
2. 判斷或證明數列的等比關系是復習的難點.
四、復習過程
1. 知識梳理
等差數列 等比數列
定義 或 注意；
通項公式 （離散型指數函數）
前n項和公式 注意q含字母討論
簡單性質 若, 則.
2. 基礎練習
（1）在等比數列中，已知，則__________.
提示：-8 方法一：基本量法列出方程組；方法二：求和公式
（2）在等比數列中，已知，，成等差數列，則公比=_________.
提示：由題意，得，故.
又,所以.
說明：等比數列通項公式與和之間的聯系，注意
（3）已知數列是等比數列,且,,，則
9 ．
（4）設，則等于
（A） （B） （C） （D）
3. 典型例題
例1.（1） 若等比數列{an}的公比q＜0，前n項和為Sn，則S2a3與S3a2的大小關系是
(A) S2a3＞S3a2 (B) S2a3＜S3a2 (C) S2a3= S3a2 (D)不確定
（2）已知數列滿足a1=1，an＋1=2an＋3(n∈N*)，則{an}的通項公式為_______．
例2.若數列
（Ⅰ）若{an}是等比數列，試求數列{bn}的前n項和Sn的公式；
（Ⅱ）當{bn}是等比數列時，甲同學說：{an}一定是等比數列；乙同學說：{an}一定不是等比數列．你認為他們的說法是否正確？為什么？
解：（1）因為{an}是等比數列a1=1,a2=a.∴a≠0，an=an－1. 又，
,
即是以a為首項, a2為公比的等比數列.
（II）甲、乙兩個同學的說法都不正確，理由如下：
設{bn}的公比為q，則
又a1=1,a2=a, a1, a3, a5,…，a2n－1，…是以1為首項，q為公比的等比數列；
而a2, a4, a6, …, a2n , …是以a為首項，q為公比的等比數列，
即{an}為：1，a, q, aq , q2, aq2, ….
當q=a2時，{an}是等比數列；當q≠a2時，{an}不是等比數列.
例3. 數列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，
求 （I）a2，a3，a4的值及數列{an}的通項公式；
（II）的值.
解：（Ⅰ）由
（Ⅱ）由（I）可知a3，a3，…，a2n-1，是首項為公比為（）2的等比數列，
所以
例4. （備選）設數列{an}的首項a1=a≠，且,
記，n＝＝l，2，3，…·．
（I）求a2，a3；
（II）判斷數列{bn}是否為等比數列，并證明你的結論；
4. 規律總結：
①深刻理解等比數列的定義，緊扣“從第二項起”和“比是同一常數”，特別注意
②判斷或證明等比數列的兩種思路：
利用定義，證明為常數;
利用等比中項，證明對成立.
③方程思想：在五個兩種，運用待定系數法“知三求二”；
函數思想與分類討論：當a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1時為遞增數列;
當a1＜0，q＞1或a1＞0，0＜q＜1時為遞減數列；
當q＜0時為擺動數列；
當q=1時為常數列.
④掌握等比數列的有關性質:
若 是公比為等比數列，則等還成等比數列，公比分別是，其中為非零常數.
若,則.
5. 課外作業：海淀總復習檢測P46 5.3等比數列
每課作業
1．選擇題
（1）等比數列的各項都是正數，若,,則它的前5項和是 ( )
(A)179 (B)211 (C)243 (D)275
(2)設{an}是由正數組成的等比數列，公比q=2，且a1·a2·a3·…·a30=230，那么a3·a6·a9·…·a30等于( )
(A)210 (B)220 (C)216 (D)215
(3) 給定正數p,q,a,b,c，其中pq，若p,a,q成等比數列，p,b,c,q成等差數列, 則一元二次程bx2－2ax+c=0（ ）
(A)無實數根 (B)有兩個相等的實數根
(C)有兩個同號的相異的實數根 (D)有兩個異號的相異的實數根
2．填空題
(4)一個直角三角形三內角的正弦值成等比數列，其最小內角是__________.
(5)在和之間插入個正數,使這個正數成等比數列,則插入的個正數之積為_________.
(6)一張報紙，其厚度為，面積為.現將報紙對折(即沿對邊中點點連線折疊)7次,報紙的厚度為_______,報紙的面積為 .
3．解答題
（7）在數列中，已知，求數列前項的和.
(8)三個互不相等的數成等差數列，如果適當排列這三個數，也可成等比數列，已知這三個數的和等于6，求此三個數.
(9)數列中，，（是常數，），且成公比不為的等比數列．
（I）求的值；
（II）求的通項公式．
參考答案
（1） B （2）B （3）A
（4）設Rt△ABC中，C=，則A與B互余且A為最小內角.又由已知得sin2B=sinA，即cos2A=sinA，1－sin2A=sinA，解之得sinA=或sinA=（舍）.故最小內角是.
（5）(5) (6)
（7）解:由由已知得 所以數列前項的和為
（8）解：設三個數分別為 a-d,a,a+d 則 （a－d）＋a＋(a＋d)=3a＝6 a=2
三個數分別為 2－d,2,2＋d ∵它們互不相等 ∴分以下兩種情況：
當(2－d)2=2(2＋d)時， d=6 三個數分別為-4,2,8
當(2＋d)2=2(2－d)時， d=-6 三個數分別為8,2,-4
因此，三個數分別為-4,2,8 或8,2,-4
(9)（I），，，
因為，，成等比數列，
所以，
解得或．
當時，，不符合題意舍去，故．
（II）當時，由于
，
，
，
所以．
又，，故．
當時，上式也成立，
所以．

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