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課時(shí)4 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)性質(zhì). 2.理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特性，能求解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)一：探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)性質(zhì). 任務(wù)1：閱讀教材P22探究欄目，探索等差數(shù)列前n項(xiàng)和的表達(dá)式特征. 問(wèn)題1：數(shù)列是什么數(shù)列？并證明. 參考答案：等差數(shù)列. 證明：由條件可知，所以，其中.所以，其中.根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和定義可知，，即，又當(dāng)時(shí)，，所以.而又，所以數(shù)列是等差數(shù)列. 問(wèn)題2：在上述條件下，令，此時(shí)數(shù)列數(shù)列還是等差數(shù)列嗎？說(shuō)明理由. 參考答案：不是等差數(shù)列. 證明：由條件可知，所以，其中.所以，其中.根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和定義可知，，即，又當(dāng)時(shí)，，所以，故數(shù)列不是等差數(shù)列. 思考：如何利用數(shù)列前n項(xiàng)和的系數(shù)關(guān)系判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列？ 【歸納總結(jié)】 對(duì)于數(shù)列前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是等差數(shù)列. 任務(wù)2：探究等差數(shù)列前n項(xiàng)和的其他性質(zhì). 已知首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為. 問(wèn)題1：數(shù)列是什么數(shù)列？ 問(wèn)題2：,,,…,是什么數(shù)列？ 參考答案：1.根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有：，所以，所以，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列. 由求和公式可知： ； 根據(jù)等差數(shù)列定義，可知,,,…,是以為首項(xiàng)，位公差的等差數(shù)列. 【歸納總結(jié)】 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)：首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為. 性質(zhì)1：數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列； 性質(zhì)2：數(shù)列,,,…,是以為首項(xiàng)，位公差的等差數(shù)列. 練一練： 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（ ） A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列 C．，，成等差數(shù)列 D．，，成等差數(shù)列 參考答案：對(duì)于A：， ∴時(shí)， 時(shí)，．時(shí)，滿足 ∴數(shù)列是等差數(shù)列，故A正確； 對(duì)于B：因?yàn)?，因此?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤； 對(duì)于C：因?yàn)?，且是等差?shù)列，因此，，是等差數(shù)列，故C正確． 對(duì)于D：由前n項(xiàng)和性質(zhì)：數(shù)列,,,…,是以為首項(xiàng)，位公差的等差數(shù)列知，成等差數(shù)列，故D正確； 故選：B
目標(biāo)二：理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特性，能求解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值. 任務(wù)1：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決與之相關(guān)的問(wèn)題. 已知等差數(shù)列{an}的項(xiàng)和為Sn，若，公差d＝－2，判斷Sn是否存在最大值. 問(wèn)題1：根據(jù)前n項(xiàng)和定義，說(shuō)說(shuō)Sn如果存在最大值，數(shù)列通項(xiàng){an}應(yīng)該滿足什么條件？ 參考答案：根據(jù)題意可知，若最大，則，且，即，. 問(wèn)題2：判斷Sn是否存在最大值，如果存在，求出Sn的最大值；如果不存在，說(shuō)明理由. 參考答案：根據(jù)題意，可知，令，解得，所以當(dāng)或時(shí)，最大，最大值為. 任務(wù)2：探索等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和Sn的函數(shù)性質(zhì). 問(wèn)題1：我們知道等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和：，類比之前的函數(shù)，說(shuō)說(shuō)該式是什么類型函數(shù)？其相應(yīng)系數(shù)分別是多少？ 參考答案：，因此Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，其中二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為0. 問(wèn)題2：類比二次函數(shù)的性質(zhì)，有哪些函數(shù)性質(zhì)？ 【歸納總結(jié)】 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)： 1.定義域：； 2.單調(diào)性與最值： 當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱軸(其中[ ]表示取整）左邊是遞減的數(shù)列，在的右邊是遞增的數(shù)列，且當(dāng)，有最小值；； 當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱軸(其中[ ]表示取整）左邊是遞增的數(shù)列，在的右邊是遞減的數(shù)列，且當(dāng)，有最大值. 問(wèn)題3：等差數(shù)列中，若，公差d＝－2，用Sn的函數(shù)性質(zhì)判斷其前n項(xiàng)和Sn是否存在最大值. 參考答案：因?yàn)橛蒩1＝10，d＝－2， 因?yàn)閟n=d2 n2+a1-d2n=-n2+11n=-n-1122+1214 所以，當(dāng)n取與112 最接近的整數(shù)，即5或6時(shí)，sn最大，最大值為30. 【歸納總結(jié)】 1.在等差數(shù)列中，求的最大(小)值的方法： (1)利用通項(xiàng)公式尋求正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，則從第一項(xiàng)起到分界點(diǎn)該項(xiàng)的各項(xiàng)和為最大(小)． (2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值． 2.尋求正、負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)的方法： (1)尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)來(lái)尋找． (2)利用到的對(duì)稱軸距離最近的左側(cè)的一個(gè)正數(shù)或離對(duì)稱軸最近且關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)整數(shù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)即為正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)． 練一練： 已知是等差數(shù)列，，其前5項(xiàng)和． （1）求的通項(xiàng)； （2）求前項(xiàng)和的最大值． 參考答案：解：（1）由題意可得，解得，，； （2）， 當(dāng)或時(shí)，有最大值，最大值為．
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回答下列關(guān)問(wèn)題，構(gòu)建知識(shí)導(dǎo)圖. “等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式性質(zhì)”、“最值” 參考答案：

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