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5.3.2函數(shù)的極值與最大（小）值
1.理解函數(shù)極值的概念,會用導數(shù)求函數(shù)的極大值與極小值.
2.理解函數(shù)的最值的概念，會用導數(shù)求在給定區(qū)間上函數(shù)的最值.
3.體會導數(shù)在解決實際問題中的作用,能利用導數(shù)解決簡單的實際問題.
一、函數(shù)的極值
1.極值的概念：若函數(shù)在點附近有定義，
如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作；
如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作；
極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．
2.求可導函數(shù)極值的步驟
求導函數(shù)求方程的根考查在方程的根附近的左右兩側(cè)導數(shù)值的符號如果左正右負，那么在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極小值．
二、函數(shù)的最值
1.最值的概念：
函數(shù)的最值，即函數(shù)圖象上最高點的縱坐標是最大值，圖象上最低點的縱坐標是最小值，對于最值，我們有如下結(jié)論：一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.
2.求可導函數(shù)最值的步驟：
求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．
三、函數(shù)的最值與極值的關(guān)系
1.極值是對某一點附近(即局部)而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；
2.在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（小）值可能有多個（或者沒有），但最大（小）值只有一個（或者沒有）；
3.函數(shù)的極值點不能是區(qū)間的端點，而最值點可以是區(qū)間的端點；
4.對于可導函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點或區(qū)間端點處取得.
考點01函數(shù)(導函數(shù))圖象與極值的關(guān)系
1．若，則函數(shù)的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】對比選項可知，由題意，（）是函數(shù)的零點，（）都是函數(shù)的極值點，由此可以排除A，C；進一步對和0的大小關(guān)系分類討論，得出函數(shù)在處附件的增減變換情況即可.
【詳解】對比各個選項可知，
由三次函數(shù)圖象與性質(zhì)可得，（）是函數(shù)的零點，
令，
可知（）且，都是函數(shù)的極值點，由此可以排除A，C；
若，則函數(shù)的圖象形狀為增減增，
具體為在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，可知B符合；
若，則函數(shù)的圖象形狀為減增減，
具體為在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可知D不符合．
故選：B.
2．（多選）已知函數(shù)的定義域為R，函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項正確的是（ ）
A．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是
B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，
C．處是函數(shù)的極值點
D．時，函數(shù)的導函數(shù)小于0
【答案】BD
【分析】綜合應用函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的關(guān)系即可解決.
【詳解】根據(jù)導函數(shù)的圖象，對于A項，在上，，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故A錯誤；
對于B項，在上，，在上，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，故B正確；
對于C項，是的變號零點，且時，，當時，，故是函數(shù)的極大值點，
是的不變號零點，不是函數(shù)的極值點，故C錯誤；
對于D項，，故D正確.
故選：BD.
3．（多選）設(shè)函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（　　）
A．有兩個極值點 B．為函數(shù)的極大值
C．有兩個極小值 D．為的極小值
【答案】BC
【分析】根據(jù)的圖象，得到的單調(diào)性和極值情況，得到答案.
【詳解】根據(jù)的圖象，可得
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
AC選項，在和1處取得極小值，在處取得極大值，共3個極值點，
A錯誤，C正確；
B選項，為函數(shù)的極大值，B正確；
D選項，不為函數(shù)的極小值，D錯誤.
故選：BC
4．（多選）已知函數(shù)及其導函數(shù)的部分圖象如圖所示，設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．在區(qū)間上是減函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù)
C．在時取極小值 D．在時取極小值
【答案】BC
【詳解】根據(jù)圖象得到的符號，即可得到的符號，進而得到的單調(diào)性和極值.
【分析】結(jié)合圖像可知，當時，當時，，
當時，，
，因，
故當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故在處取得極小值，在處取得極大值，
故選：BC
5．（多選）函數(shù)的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的有（ ）

A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由和為方程的兩根得出，由不等式的性質(zhì)判斷BCD.
【詳解】由的圖象可知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在處取得極大值，在處取得極小值，又，
即和為方程的兩根且，
由韋達定理得，，故A正確，B正確；，故C正確，D錯誤，
故選：ABC.
6．已知函數(shù)，其導函數(shù)的圖象經(jīng)過點，如圖，則下列說法中不正確的是 填序號
①當時，函數(shù)取得最小值；
②有兩個極值點；
③當時函數(shù)取得極小值；
④當時函數(shù)取得極大值．
【答案】①
【分析】由函數(shù)圖象分析得到是極大值點，是極小值點，從而判斷出結(jié)論.
【詳解】由圖象可知，，2是函數(shù)的兩極值點，所以②正確；
又當或時，，則此時單調(diào)遞增；
當時，，則此時單調(diào)遞減，
所以是極大值點，是極小值點，故③④正確，
由于不是極小值點，故當時，函數(shù)取不到最小值，①錯誤.
故答案為：①．
考點02求已知函數(shù)的極值和最值
7．函數(shù)在上的最大值和最小值分別是（　 　）
A．12， B．5， C．5， D．12，
【答案】C
【分析】將函數(shù)求導，得到導函數(shù)零點，在函數(shù)定義域上分析討論函數(shù)的單調(diào)性，再考慮區(qū)間的端點值，即得函數(shù)的最值.
【詳解】由求導得：，
令可解得：或，因，故，
由可解得：，由可解得：，
故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當時，函數(shù)；
又，故當時，函數(shù).
即函數(shù)在上的最大值和最小值分別是.
故選:C．
8．（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．有兩個單調(diào)區(qū)間 B．有兩個極值點
C．有最小值 D．有最大值e
【答案】AC
【分析】求出導函數(shù)，結(jié)合導函數(shù)的正負分析原函數(shù)的單調(diào)性，進而得出極值最值情況.
【詳解】由已知得，
由解得，由解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴只有一個極值點，且在處取得極小值也是最小值，無最大值，
故選：AC．
9．函數(shù)的極大值為 ．
【答案】/
【分析】利用導數(shù)求解極值即可.
【詳解】，當時，，當時，．
所以的極大值為．
故答案為;
10．設(shè)為實數(shù)，函數(shù)．求的極值.
【答案】極大值為，極小值為
【分析】利用函數(shù)的導函數(shù)符號確定函數(shù)單調(diào)性，即得函數(shù)的極大極小值.
【詳解】函數(shù)的定義域為R，，
令，可得或，列表如下：
增 極大值 減 極小值 增
故函數(shù)的極大值為，極小值為.
11．已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當時，求函數(shù)的最大值．
【答案】(1)在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；
(2)
【分析】（1）直接利用函數(shù)的導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）求導根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值．
【詳解】（1）的定義域為，
當時，，，
當，解得：，
當，解得：．
在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；
（2）的定義域為，
，
當時，令，得，令時，得，
的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．
.
12．已知函數(shù).
(1)當時，求的極值；
(2)當時，求在上的最小值.
【答案】(1)極大值為，沒有極小值
(2)0
【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，判斷導數(shù)的正負，從而判斷函數(shù)單調(diào)性，即可求得極值；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用其最值，判斷導數(shù)的正負，從而判斷函數(shù)單調(diào)性，即可求得在上的最小值.
【詳解】（1）當時，，定義域為，，
令，則，變化時，，的變化情況如下表：
0
單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減
則的極大值為：，沒有極小值；
（2）當時，，定義域為，
，
令，定義域為，，
則在上是增函數(shù)，則，所以，
即在上是增函數(shù)，則.
考點03利用導數(shù)解決實際問題
13．如圖，在邊長為的正三角形的三個角處各剪去一個四邊形.這個四邊形是由兩個全等的直角三角形組成的，并且這三個四邊形也全等，如圖①.若用剩下的部分折成一個無蓋的正三棱柱形容器，如圖②.則這個容器的容積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)出容器的高，求出容器容積的函數(shù)關(guān)系，利用導數(shù)求出最大值即得.
【詳解】設(shè)容器的高為，則容器底面正三角形的邊長為，
則三棱柱形容器容積，
求導得，
當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，
所以當時，.
故選：C
14．某機床廠工人利用實心的圓錐舊零件改造成一個正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圓錐的軸上，下底面在圓錐的底面內(nèi)．已知該圓錐的底面圓半徑為3cm，高為3cm，則該正四棱柱體積（單位：）的最大值為 .
【答案】8
【分析】根據(jù)題意，作出圓錐的軸截面，構(gòu)造正四棱柱體積的函數(shù)，利用導數(shù)求其最大值即可.
【詳解】顯然當正四棱柱的上底面頂點在圓錐表面時的體積較大，
如圖，借助于圓錐的軸截面，由題意可得：，
設(shè)底面對角線，則，
可得，
故該正四棱柱體積，
構(gòu)建，則，
∵，當時，；當時，；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴，故該正四棱柱體積的最大值為（）.
故答案為：8.
15．（1）“老六”和他的老鐵們要參加學校的“科目三”表演活動，他們要用一張邊長為的正方形藍色紙片做一頂圓錐形裝飾帽子，以正方形的一個頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，剪下一個最大的扇形，并用這個扇形圍成了一個圓錐.如圖所示，其中是該圓錐的高，求該圓錐的體積；
（2）“老六”將周長為4的矩形繞旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓柱，求當圓柱的體積最大時矩形的面積.

【答案】（1）（2）
【分析】（1）由題意得母線長為正方形邊長，圓錐底面圓周長為以正方形的一個頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，剪下一個最大的扇形的弧長，由此即可求出圓錐的底面半徑以及高，進而得解.
（2）由題意圓柱的高以及底面半徑構(gòu)成一個條件等式，將圓柱體積表示成關(guān)于半徑的函數(shù)，求導得圓柱的體積最大時的半徑，從而得解.
【詳解】（1）如圖所示：

由題意母線長為正方形邊長，即，
圓錐底面圓周長為以正方形的一個頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，剪下一個最大的扇形的弧長，
不妨設(shè)圓錐底面半徑為，所以，解得，
所以圓錐的高，
所以圓錐的體積為.
（2）由題意不妨設(shè)，則，所以，
所以圓柱的體積可表示為，
求導得，
所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，
所以當圓柱的體積最大時，此時矩形的面積為.
16．已知某商品的成本和產(chǎn)量滿足關(guān)系（元），該商品的銷售單價和產(chǎn)量滿足關(guān)系式（元），記該商品的利潤為（假設(shè)生產(chǎn)的商品能全部售出，利潤=銷售額-成本）．
(1)將利潤（元）表示為產(chǎn)量的函數(shù)；
(2)當產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少萬元？
【答案】(1)
(2)當產(chǎn)量為200時，利潤最大，可獲得最大利潤為315萬元．
【分析】（1）根據(jù)題意列式求出關(guān)于利潤的表達式；
（2）利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】（1）由題意可知，
，
（2）因為，由，解得．
當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減．
所以當時，取得最大值，且最大值為315萬元．
答：當產(chǎn)量為200時，可獲得最大利潤為315萬元．
17．某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為輛，本年度為適應市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為，則出廠價相應提高的比例為，年銷售量也相應增加.已知年利潤＝(每輛車的出廠價－每輛車的投入成本)×年銷售量.
(1)若年銷售量增加的比例為，寫出本年度的年利潤p(萬元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若年銷售量關(guān)于x的函數(shù)為，則當x為何值時，本年度年利潤最大？最大年利潤是多少？
【答案】(1)
(2)當時，本年度的年利潤最大，最大年利潤為萬元
【分析】（1）根據(jù)年利潤公式代入得出p(萬元)關(guān)于x的函數(shù)；
（2）寫出本年度的年利潤函數(shù)，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性得出最大值.
【詳解】（1）由題意得：本年度每輛車的投入成本為，出廠價為，年銷售量為.
因此本年度的年利潤
.
（2）本年度的年利潤為
，
則，
令，解得或(舍去).
當時，，當時，，
所以時，有最大值.
所以當時，本年度的年利潤最大，最大年利潤為萬元.
考點04已知函數(shù)的極值（點）求參數(shù)
18．已知函數(shù)，若時，取極值0，則ab的值為（ ）
A．3 B．18 C．3或18 D．不存在
【答案】B
【分析】利用導數(shù)與極值的定義得到關(guān)于的方程組，從而求得，然后再檢驗時，函數(shù)是否能取得極值，由此得解.
【詳解】由，得，
因為時，取得極值0，
所以，解得或，
當時，，
此時函數(shù)在在處取不到極值；
經(jīng)檢驗時，函數(shù)在處取得極值0，滿足題意；
所以，所以.
故選：B.
19．已知函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為方程在有兩個不相等實根，即有兩個不同的交點，令，利用數(shù)形結(jié)合法求解．
【詳解】解：，則，
要使函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，
只需方程在有兩個不相等實根．
即，令，則．
當，，
當，，
在遞增，在遞減，當，，
，
其圖象如下：
，．
故選：D．
20．已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在（1，2）上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求導得到，然后根據(jù)在，上為增函數(shù)，在（1，2）上為減函數(shù)，由求解即得.
【詳解】由，得，
∵在，上為增函數(shù)；上為減函數(shù),
∴兩根分別位于和中，
得，即，解得.
故選：B
21．若函數(shù)在上有極值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意可得在上有零點，即在上有實數(shù)根，利用基本不等式求出的最小值，可得，再驗證是否滿足即可.
【詳解】的定義域為，，
要函數(shù)在上有極值，
則在上有零點，即在上有實數(shù)根.
令，
則，當且僅當時等號成立，
所以.
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
則函數(shù)在上沒有極值，
故.
故選:D.
22．已知函數(shù)，則在區(qū)間上存在極值的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)極值的定義，結(jié)合充分不必要條件的性質(zhì)進行判斷即可.
【詳解】，
當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增，
因此是函數(shù)的極大值點，要想在在區(qū)間上存在極值，
只需，顯然四個選項中，只有能推出，
但是推不出，
故選：A
23．已知函數(shù)在處取得極大值2．
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值．
【答案】(1)
(2)最大值為，最小值為
【分析】（1）由在上取得極大值轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立方程組可得；
（2）函數(shù)求導研究其在上的單調(diào)性，得出極值并比較與端點處的函數(shù)值即可求出其最值.
【詳解】（1）由，得.
因為在上取得極大值2，
所以解得
驗證：當時，，，
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減；
故在函數(shù)在處取得極大值.
所以.
（2）由（1）可知，，
當，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增；
當時， 單調(diào)遞減；
所以函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值；
又因為，
所以在上的最大值為，最小值為.
24．已知函數(shù)在處有極值0，求的值．
【答案】
【分析】令，求導后，根據(jù)題意可得，求解，檢驗后可得解.
【詳解】令，則
在處有極值0 ,
,即,解得,
，
所以當時,,函數(shù)單調(diào)遞增；
當時,,函數(shù)單調(diào)遞減；
當時,,函數(shù)單調(diào)遞增.
所以是函數(shù)的極大值點, 符合題意,
所以,則.
考點05已知零點個數(shù)求參數(shù)
25．若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)圖像交點，再利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得出，根據(jù)圖像即可解決問題.
【詳解】因為，令，即，則，
所以函數(shù)在上有兩個不同的零點等價于曲線和在上有兩個不同的交點，
設(shè)，，則，令，解得，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，當時，，且時，，
其圖像如圖所示，

故的取值范圍為.
故選：C.
26．已知函數(shù)若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由二次函數(shù)、導數(shù)研究的性質(zhì)并畫出草圖，將問題化為與的圖象有3個交點，數(shù)形結(jié)合確定參數(shù)范圍.
【詳解】當時，，
當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.
當時，.
當時，，則，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.
當時，.
畫出函數(shù)的圖象如圖所示：
因為函數(shù)有3個零點，
所以與的圖象有3個交點，由圖知：.
所以的取值范圍為.
故選：B
27．已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有且只有兩個零點，求的值．
【答案】(1)答案見解析；
(2)或．
【分析】（1）由出，分類討論確定和的解得增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）由（1）得兩個極值點有一個是零點，解方程即得．
【詳解】（1），
時，恒成立，在上是增函數(shù)，
時，由得或，由得，
增區(qū)間是，，減區(qū)間是，
時，由得或，由得，
增區(qū)間是，，減區(qū)間是；
（2）因為時，，時，，
所以有且只有兩個零點，由（1）可得或且，
，，
．，
綜上，或．
28．已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)有三個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）求出導數(shù)，計算出切點及斜率，寫出直線方程即可;
（2）利用導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間以及極值，要使函數(shù)有三個不同的零點，只需滿足計算即可.
【詳解】（1）當時，，．
所以，，
所以切線l：，即
（2）
令，得或．
當或時，；當時，．
∴的增區(qū)間為，；減區(qū)間為．
∴的極大值為，的極小值為．
∴，解得：．
此時，，所以函數(shù)有三個不同的零點，所以．
29．已知函數(shù)．
(1)當時，求的圖像在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)有一個零點，求k的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助導數(shù)的幾何意義即可得；
（2）將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，再轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖象的交點問題，借助導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及值域即可得.
【詳解】（1）當時，，，，
所以，所以切線方程為，即．
（2）由，得，所以．
令，，所以，
令得，當時，，
當時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在處取極小值，
的大致圖像如圖，
要使函數(shù)有一個零點，即直線與的圖像有一個交點，
則或，解得或，
所以k的取值范圍為．
30．已知函數(shù)，.若函數(shù)只有一個零點，求實數(shù)a的取值所構(gòu)成的集合；
【答案】
【分析】將零點問題轉(zhuǎn)化為交點問題，利用導數(shù)分析的單調(diào)性以及極值情況.
【詳解】當時，顯然不滿足題意，
當時，若函數(shù)只有一個零點，
即只有一個根，因為1不是方程的根，所以可轉(zhuǎn)化為
只有一個根，
即直線與函數(shù)（且）的圖象只有一個交點.
，令，得，
在和上，，在上，，
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
在時有極小值，圖象如圖所示：
由圖可知：若要使直線與函數(shù)的圖象只有一個交點，
則或，
綜上.
考點06已知最值求參數(shù)
31．已知函數(shù)，存在最小值，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用導數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖形，由題意，結(jié)合圖形可得，即可求解.
【詳解】，，
令得，
且時，；時，，時，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，令時，解得或，
所以其圖象如下：
由圖可知，時存在最小值，
所以，解得，
即實數(shù)a的取值范圍為.
故選：
32．已知函數(shù)的最小值為0，則a的值為 .
【答案】/0.5
【分析】對求導，進而研究的單調(diào)性，根據(jù)有最小值為0，則使，且求出，即可求參數(shù)值.
【詳解】由，且，
令，則，即在上遞增，
所以在上遞增，又，，，，
所以，使，且時，，
時，，所以在上遞減，在上遞增，
所以
由，得，
令函數(shù)，，
所以在上是增函數(shù)，注意到，所以，
所以.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最小值為0可得到方程組，消a得到關(guān)于的方程，再利用函數(shù)的單調(diào)性及特殊點的函數(shù)值解方程可得.
33．已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，若函數(shù)有最小值2，求a的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得答案；
（2）對求導，得到的單調(diào)性，可得，再令，證得，即，可得出答案.
【詳解】（1）當時，，的定義域為，
則，則，，
由于函數(shù)在點處切線方程為，即.
（2）的定義域為，
，
當時，令，解得：；令，解得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，，即
則令，設(shè)，，
令，解得：；令，解得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，解得：.
34．設(shè).當時，在上的最小值為－，求在該區(qū)間上的最大值.
【答案】
【分析】通過導數(shù)判斷單調(diào)性，得到，從而可得，進而可得.
【詳解】由題，，
因為，則其對應判別式為：，
令得兩根，顯然，
令，解得或；令解得；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
又注意到，當時，有 ，
則在上遞增，在上遞減.
所以在上的最大值為.
，注意到，即，
所以在上的最小值為，
從而在上的最大值為.
35．已知函數(shù)，曲線在點處的切線斜率為．
(1)求的值；
(2)當時，的值域為，求的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，代入計算可得；
（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，再分、兩種情況討論，求出函數(shù)的最小值，從而求出參數(shù)的值.
【詳解】（1）因為，所以．
依題意，解得．
（2）由（1）可得，則．
令函數(shù)，則．
當時，；當時，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因為，，所以當時，，即；
當時，，即．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當時，在上的最小值為，解得，舍去．
當時，在上的最小值為，解得，
此時，，，
即當時，符合題意．
綜上，的值為2．
36．已知是函數(shù)的極值點．
(1)求的值；
(2)若函數(shù)在上存在最小值，求的取值范圍．
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）直接求導代入得到，再驗證即可；
（2）計算出，，再比較兩者大小即可.
【詳解】（1）因為，
所以，
因為是函數(shù)函數(shù)的極值點，
所以，
，此時，
所以在上，在上，在上，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時為函數(shù)極值點，
故所求的值為12.
（2）當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，
，
因為，所以，所以，所以的取值范圍.
考點07恒成立問題
37．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判斷函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，從而將不等式在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，參變分離，再結(jié)合構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的最小值，即可得答案.
【詳解】由于函數(shù)，定義域為R，滿足，
得是奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù).
在上恒成立，在上恒成立，
在上恒成立，在上恒成立.
令，則，
當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即a的取值范圍為，
故選：D.
38．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)存在兩個極值點，且不等式恒成立，則t的取值范圍為（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用函數(shù)存在兩個極值點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的導函數(shù)在上有兩個不相等的實數(shù)根，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，用字母表示出，，然后把寫成關(guān)于的函數(shù)，求該函數(shù)的最小值即可得到問題答案.
【詳解】函數(shù)的定義域為：，且，.
因為函數(shù)存在兩個極值點，
所以方程：在有兩個不同的解，
所以：，
且，.
所以：.
設(shè)，
則，由，得，由得.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為：.
所以.
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點點睛：該問題先利用函數(shù)存在兩個極值點，把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根的問題，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，用字母把，表示出來，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最小值即可.
39．已知不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)求導判單調(diào)性求值即可求解.
【詳解】不等式可變形為．
設(shè)，
則．
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．
所以，所以.
故答案為：.
【點睛】結(jié)論點睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
40．已知不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由題意將不等式變形為，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出即可求解.
【詳解】因為，不等式可變形為．
設(shè)，則．
當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．
則，所以．故正實數(shù)的取值范圍是．
故答案為：
41．已知函數(shù)和都存在最小值．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：
(2)若函數(shù)在上均恒成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)
(2).
【分析】（1）求出，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）分離參數(shù)可得在上恒成立，求最小值，即可得出a．
【詳解】（1）的定義域為，而，
若，則，此時無最小值，故.
由的定義域為，而.
當時，，故在上為減函數(shù)，
當時，，故在上為增函數(shù).
（2）由題意知，，即在上恒成立，
即在上恒成立
設(shè)，則，
當，，在單調(diào)遞減;
當，，在單調(diào)遞增;
故，所以．
由（1）得，
由題意，即，
得，
綜上所述可得：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用參變分離，再運用函數(shù)的思想研究不等式，并結(jié)合導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值.
42．已知函數(shù).
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)對，恒成立，求a的取值范圍.
【答案】(1)遞增區(qū)間為；
(2).
【分析】（1）把代入，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得.
（2）取特值判斷，再借助（1）中信息及不等式性質(zhì)可得，然后利用導數(shù)探討的情況即得.
【詳解】（1）當時，函數(shù)的定義域為，求導得，
令，求導得，
當時，，當時，，則函數(shù)在上遞減，在上遞增，
，即，，當且僅當時取等號，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的遞增區(qū)間為.
（2）依題意，，則，
由（1）知，當時，恒成立，
當時，，，
則，因此；
當時，求導得，令，
求導得，當時，，
則函數(shù)，即在上單調(diào)遞減，當時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，不符合題意，
所以a的取值范圍是.
【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)不等式恒成立問題，可以按參數(shù)值分段討論，利用導數(shù)結(jié)合函數(shù)零點探討函數(shù)值正負即可作答.
43．已知函數(shù)．
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由給定條件求出的導數(shù)，進而求得切線斜率即可得解；
（2）分離參數(shù)得，設(shè)，利用導數(shù)得，可得a的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，，
則，而，
所以曲線在點處的切線方程為；
（2），由，得，
設(shè)，則，
令，得，
則時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
故，故,
即實數(shù)a的取值范圍為.
基礎(chǔ)過關(guān)練
1．函數(shù)的極大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求導，再根據(jù)極大值與導數(shù)的關(guān)系即可得到答案.
【詳解】，當時，，
當時，.
所以的極大值為.
故選：B.
2．己知函數(shù)的定義域為，導函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的極小值點的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用導函數(shù)圖象可得出原函數(shù)圖象的單調(diào)性，即可得出函數(shù)的極小值點的個數(shù).
【詳解】根據(jù)導函數(shù)的圖象可知，有三個變號零點，
則可得函數(shù)在上的單調(diào)性為先增再減，再增又減，
所以函數(shù)的極小值點的個數(shù)為1個.
故選：A
3．已知函數(shù)在處有極大值，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，列出方程求得的值，然后檢驗即可得到結(jié)果.
【詳解】，，
∴或，
當時，，
令，得或；令，得；
從而在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以在處有極小值，不合題意，
當時，經(jīng)檢驗，滿足題意；
綜上，.
故選：C
4．某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬斤，每種植一斤藕，成本增加0.5元. 已知銷售額函數(shù)是（x是蓮藕種植量，單位：萬斤；銷售額的單位：萬元，a是常數(shù)），若種植2萬斤，利潤是2.5萬元，則要使利潤最大，每年需種植蓮藕（ ）
A．6萬斤 B．8萬斤 C．3萬斤 D．5萬斤
【答案】A
【分析】銷售利潤為,根據(jù)得．可得，利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．
【詳解】設(shè)銷售利潤為，得，，
當時，，解得．
，
，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
時，函數(shù)取得極大值即最大值，
故選：A
5．（多選）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）
A．在上單調(diào)遞減
B．在上單調(diào)遞增
C．有2個極大值點
D．只有1個極小值點
【答案】ABD
【分析】根據(jù)導函數(shù)圖象與函數(shù)單調(diào)性以及極值的關(guān)系一一分析即可.
【詳解】由圖可知，當時，，所以在上單調(diào)遞減，
當時，，所以在上單調(diào)遞增，A，B均正確.
當時，，當時，，當時，，
所以的極大值點為，的極小值點為，C錯誤，D正確.
故選：ABD.
6．（多選）已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
B．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1
C．函數(shù)在點處的切線方程為
D．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩解，則
【答案】AC
【分析】利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷AB選項；結(jié)合導數(shù)的幾何意義可判斷C選項；畫出函數(shù)大致圖象，結(jié)合圖象即可判斷D選項.
【詳解】因為，，
所以，
令，即；令，即，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A正確；
因為，，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，故B錯誤；
因為，，
所以函數(shù)在點處的切線方程為，
即，故C正確；
因為，函數(shù)大致圖象如圖，

要使方程在區(qū)間上有兩解，
則，故D錯誤.
故選：AC.
7．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由函數(shù)單調(diào)性得恒成立，分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)求最值即得.
【詳解】因為函數(shù)是上的增函數(shù)，
所以，即：.
令，則，令，得，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減.
所以，
要使恒成立，則，故的最小值為.
故答案為：.
8．函數(shù)在區(qū)間上的極大值點是 .
【答案】
【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值點.
【詳解】因為，，所以，
令，即，解得，
當時，當時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，即極大值點為.
故答案為：
9．已知函數(shù)f （x）＝在其定義域的一個子區(qū)間上有極值，則實數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】運用導數(shù)研究函數(shù)的極大值點,根據(jù)已知條件滿足求解即可.
【詳解】因為，
令，
，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極大值點為，極大值，
又因為在上有極值，
所以，
所以.
故答案為：.
10．已知函數(shù)，求的最小值.
【答案】0
【分析】求出函數(shù)的定義域，得出導函數(shù).根據(jù)導函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極值點，進而得出答案.
【詳解】由已知可得，定義域為，
且.
當時，有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
所以，在處取得唯一極小值，也是最小值.
11．已知函數(shù)，，k為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)當時，求的極值；
(2)若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍．
【答案】(1)極小值為0，無極大值
(2)
【分析】（1）求導，即可得函數(shù)的單調(diào)性，進而可由極值點定義求解，
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求解最值即可.
【詳解】（1）當時，，∴，
由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；由得，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為；
所以函數(shù)有極小值為，無極大值．
（2）當時，不等式化簡為，令，則；
令得，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
因為，所以，
又，所以．
12．已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求實數(shù)的值；
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間只有兩解，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）對函數(shù)求導并，由此解得
（2）研究函數(shù)在區(qū)間單調(diào)性，結(jié)合端點值，確定實數(shù)的取值范圍即可.
【詳解】（1）由題意知：，
解得：
（2）由（1）知，，，
當函數(shù)單調(diào)遞增；
當函數(shù)單調(diào)遞減；
所以當時，在區(qū)間只有兩解，
故實數(shù)的取值范圍為.
能力提升練
1．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的極小值為（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】A
【分析】由單調(diào)性可得，求得值，驗證求極值即可.
【詳解】函數(shù)，
由在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則函數(shù)在處取極小值，
所以有，由，
得，解得，
則有，
由，得只有一個根，
且當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增；故當時，滿足題意，
所以有極小值，且極小值.
故選：A.
2．若函數(shù)有極大值，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】對函數(shù)求導后，分，，和四種情況討論即可.
【詳解】由，得，
當時，，則在上遞增，所以無極值，
當時，，則在上遞減，所以無極值，
當時，由，得，當時，，當時，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以時，取得極大值，
當時，由，得，當時，，當時，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以時，取得極小值，
綜上，當時，有極大值，
故選：B
3．已知圓柱的高為，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則當該圓柱的體積取最大值時，的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意畫出截面圖，設(shè)相應的變量，建立函數(shù)，利用函數(shù)導數(shù)求解最值即可求解.
【詳解】作經(jīng)過球心的截面，如圖所示，
設(shè)為球心，矩形為圓柱的軸截面，
為圓柱底面圓的直徑，為球的半徑，
設(shè)，則，
則圓柱的體積為：，
所以，令，則，
當時，，所以在上單調(diào)遞增，
當時，，所以在上單調(diào)遞減，
所以當該圓柱的體積取最大值時，的值為，
所以.
故選：D.
4．（多選）已知函數(shù)，下列命題正確的是（ ）
A．若是函數(shù)的極值點，則
B．若，則在上的最小值為0
C．若在上單調(diào)遞減，則
D．若在上恒成立，則
【答案】AB
【分析】根據(jù)為函數(shù)的極值點可對A判斷；由可求得即可對B判斷；由在上單調(diào)遞減等價于在區(qū)間上恒成立，即可對C判斷；由在上恒成立等價于，構(gòu)造函數(shù)，，再利用導數(shù)從而求出，即可對D判斷．
【詳解】對于A，由，得，因為是函數(shù)的極值點，
所以，得，經(jīng)檢驗是函數(shù)的極小值點，故A正確．
對于B，由選項A，由，得，可知，
則，由，得，由，得，
所以在遞增，在上遞減，
所以當時，時，取得最小值，故B正確．
對于C，因為在上單調(diào)遞減，所以，即，
得在上恒成立，令，則，
所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，故C不正確．
對于D，由在上恒成立，得 在上恒成立，
即在上恒成立，令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，故D不正確．
故選：AB．
5．已知若存在，使得成立，則的最大值為 .
【答案】/
【分析】根據(jù)兩函數(shù)的同構(gòu)特征，不難發(fā)現(xiàn)，考查利用函數(shù)的單調(diào)性推得，從而將轉(zhuǎn)化為，最后通過的最大值求得的最大值.
【詳解】因則，
由知時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.
由可得：且,故得：，
則，不妨設(shè)，則，
故當時，，遞增，當時，，遞減，
即，故的最大值為.
故答案為：.
6．已知，若對任意，都有，則實數(shù)t的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】對求導，求出的最值，由任意，,，都有，可得，再求出的范圍即可．
【詳解】由，得，
令，則，
所以當時，；當時，，
所以在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，
所以，
所以，
因為對任意，，都有，
所以只需，
所以實數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
7．設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.
(1)求；
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)切線方程，求得切點與切線斜率，建立方程，可得答案；
（2）由（1）寫出函數(shù)解析式，化簡整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，可得答案.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為.
將代入，解得，即，
由切線方程，則切線斜率.
故，解得.
（2）證明：由（1）知，
從而等價于.
設(shè)函數(shù)，則.
所以當時，，當時，.
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
從而在上的最小值為.
設(shè)函數(shù)，
從而在上的最大值為.
故，即.
8．設(shè)函數(shù)，
(1)若，求在處的切線方程；
(2)若是的極大值，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）依題意，，分，，，討論即可.
【詳解】（1）若，則，所以，故，
又，所以在處的切線方程．
（2）由題意，從而，
①當時，，所以，
從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故是的極大值點，滿足題意；
②當時，，所以或，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
從而是的極大值點，滿足題意；
③當時，，所以在上單調(diào)遞增，不合題意；
④當時，，所以或，，
從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故是的極小值點，不合題意；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是．5.3.2函數(shù)的極值與最大（小）值
1.理解函數(shù)極值的概念,會用導數(shù)求函數(shù)的極大值與極小值.
2.理解函數(shù)的最值的概念，會用導數(shù)求在給定區(qū)間上函數(shù)的最值.
3.體會導數(shù)在解決實際問題中的作用,能利用導數(shù)解決簡單的實際問題.
一、函數(shù)的極值
1.極值的概念：若函數(shù)在點附近有定義，
如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作；
如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作；
極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．
2.求可導函數(shù)極值的步驟
求導函數(shù)求方程的根考查在方程的根附近的左右兩側(cè)導數(shù)值的符號如果左正右負，那么在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極小值．
二、函數(shù)的最值
1.最值的概念：
函數(shù)的最值，即函數(shù)圖象上最高點的縱坐標是最大值，圖象上最低點的縱坐標是最小值，對于最值，我們有如下結(jié)論：一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.
2.求可導函數(shù)最值的步驟：
求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．
三、函數(shù)的最值與極值的關(guān)系
1.極值是對某一點附近(即局部)而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；
2.在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（小）值可能有多個（或者沒有），但最大（小）值只有一個（或者沒有）；
3.函數(shù)的極值點不能是區(qū)間的端點，而最值點可以是區(qū)間的端點；
4.對于可導函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點或區(qū)間端點處取得.
考點01函數(shù)(導函數(shù))圖象與極值的關(guān)系
1．若，則函數(shù)的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多選）已知函數(shù)的定義域為R，函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項正確的是（ ）
A．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是
B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，
C．處是函數(shù)的極值點
D．時，函數(shù)的導函數(shù)小于0
3．（多選）設(shè)函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（　　）
A．有兩個極值點 B．為函數(shù)的極大值
C．有兩個極小值 D．為的極小值
4．（多選）已知函數(shù)及其導函數(shù)的部分圖象如圖所示，設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．在區(qū)間上是減函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù)
C．在時取極小值 D．在時取極小值
5．（多選）函數(shù)的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的有（ ）

A． B．
C． D．
6．已知函數(shù)，其導函數(shù)的圖象經(jīng)過點，如圖，則下列說法中不正確的是 填序號
①當時，函數(shù)取得最小值；
②有兩個極值點；
③當時函數(shù)取得極小值；
④當時函數(shù)取得極大值．
考點02求已知函數(shù)的極值和最值
7．函數(shù)在上的最大值和最小值分別是（　 　）
A．12， B．5， C．5， D．12，
8．（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．有兩個單調(diào)區(qū)間 B．有兩個極值點
C．有最小值 D．有最大值e
9．函數(shù)的極大值為 ．
10．設(shè)為實數(shù)，函數(shù)．求的極值.
11．已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當時，求函數(shù)的最大值．
12．已知函數(shù).
(1)當時，求的極值；
(2)當時，求在上的最小值.
考點03利用導數(shù)解決實際問題
13．如圖，在邊長為的正三角形的三個角處各剪去一個四邊形.這個四邊形是由兩個全等的直角三角形組成的，并且這三個四邊形也全等，如圖①.若用剩下的部分折成一個無蓋的正三棱柱形容器，如圖②.則這個容器的容積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
14．某機床廠工人利用實心的圓錐舊零件改造成一個正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圓錐的軸上，下底面在圓錐的底面內(nèi)．已知該圓錐的底面圓半徑為3cm，高為3cm，則該正四棱柱體積（單位：）的最大值為 .
15．（1）“老六”和他的老鐵們要參加學校的“科目三”表演活動，他們要用一張邊長為的正方形藍色紙片做一頂圓錐形裝飾帽子，以正方形的一個頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，剪下一個最大的扇形，并用這個扇形圍成了一個圓錐.如圖所示，其中是該圓錐的高，求該圓錐的體積；
（2）“老六”將周長為4的矩形繞旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓柱，求當圓柱的體積最大時矩形的面積.

16．已知某商品的成本和產(chǎn)量滿足關(guān)系（元），該商品的銷售單價和產(chǎn)量滿足關(guān)系式（元），記該商品的利潤為（假設(shè)生產(chǎn)的商品能全部售出，利潤=銷售額-成本）．
(1)將利潤（元）表示為產(chǎn)量的函數(shù)；
(2)當產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少萬元？
17．某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為輛，本年度為適應市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為，則出廠價相應提高的比例為，年銷售量也相應增加.已知年利潤＝(每輛車的出廠價－每輛車的投入成本)×年銷售量.
(1)若年銷售量增加的比例為，寫出本年度的年利潤p(萬元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若年銷售量關(guān)于x的函數(shù)為，則當x為何值時，本年度年利潤最大？最大年利潤是多少？
考點04已知函數(shù)的極值（點）求參數(shù)
18．已知函數(shù)，若時，取極值0，則ab的值為（ ）
A．3 B．18 C．3或18 D．不存在
19．已知函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
20．已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在（1，2）上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
21．若函數(shù)在上有極值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
22．已知函數(shù)，則在區(qū)間上存在極值的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
23．已知函數(shù)在處取得極大值2．
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值．
24．已知函數(shù)在處有極值0，求的值．
考點05已知零點個數(shù)求參數(shù)
25．若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
26．已知函數(shù)若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
27．已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有且只有兩個零點，求的值．
28．已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)有三個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．
29．已知函數(shù)．
(1)當時，求的圖像在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)有一個零點，求k的取值范圍．
30．已知函數(shù)，.若函數(shù)只有一個零點，求實數(shù)a的取值所構(gòu)成的集合；
考點06已知最值求參數(shù)
31．已知函數(shù)，存在最小值，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
32．已知函數(shù)的最小值為0，則a的值為 .
33．已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，若函數(shù)有最小值2，求a的值.
34．設(shè).當時，在上的最小值為－，求在該區(qū)間上的最大值.
35．已知函數(shù)，曲線在點處的切線斜率為．
(1)求的值；
(2)當時，的值域為，求的值．
36．已知是函數(shù)的極值點．
(1)求的值；
(2)若函數(shù)在上存在最小值，求的取值范圍．
考點07恒成立問題
37．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
38．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)存在兩個極值點，且不等式恒成立，則t的取值范圍為（ ）．
A． B．
C． D．
39．已知不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是 ．
40．已知不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是 ．
41．已知函數(shù)和都存在最小值．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：
(2)若函數(shù)在上均恒成立，求a的取值范圍．
42．已知函數(shù).
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)對，恒成立，求a的取值范圍.
43．已知函數(shù)．
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
基礎(chǔ)過關(guān)練
1．函數(shù)的極大值為（ ）
A． B． C． D．
2．己知函數(shù)的定義域為，導函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的極小值點的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知函數(shù)在處有極大值，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
4．某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬斤，每種植一斤藕，成本增加0.5元. 已知銷售額函數(shù)是（x是蓮藕種植量，單位：萬斤；銷售額的單位：萬元，a是常數(shù)），若種植2萬斤，利潤是2.5萬元，則要使利潤最大，每年需種植蓮藕（ ）
A．6萬斤 B．8萬斤 C．3萬斤 D．5萬斤
5．（多選）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）
A．在上單調(diào)遞減
B．在上單調(diào)遞增
C．有2個極大值點
D．只有1個極小值點
6．（多選）已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
B．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1
C．函數(shù)在點處的切線方程為
D．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩解，則
7．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的最小值為 .
8．函數(shù)在區(qū)間上的極大值點是 .
9．已知函數(shù)f （x）＝在其定義域的一個子區(qū)間上有極值，則實數(shù)a的取值范圍是 .
10．已知函數(shù)，求的最小值.
11．已知函數(shù)，，k為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)當時，求的極值；
(2)若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍．
12．已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求實數(shù)的值；
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間只有兩解，求實數(shù)的取值范圍.
能力提升練
1．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的極小值為（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
2．若函數(shù)有極大值，則（ ）
A． B．
C． D．
3．已知圓柱的高為，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則當該圓柱的體積取最大值時，的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（多選）已知函數(shù)，下列命題正確的是（ ）
A．若是函數(shù)的極值點，則
B．若，則在上的最小值為0
C．若在上單調(diào)遞減，則
D．若在上恒成立，則
5．已知若存在，使得成立，則的最大值為 .
6．已知，若對任意，都有，則實數(shù)t的取值范圍是 ．
7．設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.
(1)求；
(2)證明：.
8．設(shè)函數(shù)，
(1)若，求在處的切線方程；
(2)若是的極大值，求a的取值范圍．

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