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6.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理
1.通過實例，了解分類加法計數原理、分步乘法計數原理及其意義
2.理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理
一、分類加法計數原理
完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.
拓展：完成一件事有類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，…，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法
二、分步乘法計數原理
完成一件事需要兩個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.
拓展：完成一件事需要個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法
注意：區分“完成一件事”是分類還是分步，關鍵看一步能否完成這件事，若能完成，則是分類，否則，是分步．
考點01分類加法計數原理的應用
1．某同學逛書店，發現3本喜歡的書，若決定至少買其中的兩本，則購買方案有（　　）
A．4種 B．6種 C．7種 D．9種
【答案】A
【分析】
分為買兩本和買三本兩種情況求解即可.
【詳解】買兩本，有種方案；買三本，有1種方案；
因此共有方案(種)．
故選：A.
2．已知集合，非空集合，且中所有元素之和為奇數，則滿足條件的集合共有（ ）
A．12個 B．14個 C．16個 D．18個
【答案】C
【分析】分類討論即可求解.
【詳解】，
由于中所有元素之和為奇數，且非空集合，
當中只有一個元素時，則或或，
當中有2個元素時，則中的元素必為一偶一奇，故有個滿足條件的，
當中有3個元素時，則中的元素必為2偶一奇或者三個元素均為奇數，故有4個滿足條件的，
當中有4個元素時，則中的元素必為一偶3奇，故有2個滿足條件的，
當中有5個元素時，則滿足條件，
故共有，
故選：C
3．某學校開設5門球類運動課程、6門田徑類運動課程和3門水上運動課程供學生學習，某位學生任選1門課程學習，則不同的選法共有（ ）
A．90種 B．30種 C．14種 D．11種
【答案】C
【分析】根據分類加法計數原理求解即可.
【詳解】根據分類加法計數原理，不同的選法共有種．
故選：C．
4．每天從甲地到乙地的飛機有5班，高鐵有10趟，動車有6趟，公共汽車有12班.某人某天從甲地前往乙地，則其出行方案共有（ ）
A．22種 B．33種 C．300種 D．3 600種
【答案】B
【分析】利用分類加法計數原理計算即得.
【詳解】從甲地到乙地不同的方案數為.
故選：B.
5．在所有的兩位數中，個位數字小于十位數字且為偶數，那么這樣的兩位數有多少個？
【答案】25
【分析】根據給定條件，利用分類加法計數原理求解即得.
【詳解】當個位數字是8時，十位數字取9，只有1個；
當個位數字是6時，十位數字可取7，8，9，共3個；
當個位數字是4時，十位數字可取5，6，7，8，9，共5個；
同理可知，當個位數字是2時，共7個，
當個位數字是0時，共9個.
由分類加法計數原理知，符合條件的兩位數共有1＋3＋5＋7＋9＝25（個）.
考點02分步乘法計數原理的應用
6．現有兩種不同的顏色要對如圖形中的三個部分進行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（ ）
① ② ③
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據分布計數乘法原理及古典概型概率公式可得結果.
【詳解】依題意，對三個部分著色由分布計數乘法原理共有種不同的方法，
設“任意有公共邊的兩塊著不同顏色”,事件A共有種不同方法，
由古典概型的概率公式,
故選：A.
7．某班4個同學分別從3處風景點中選擇一處進行旅游觀光，則不同的選擇方案是（ ）
A．24種 B．4種 C．種 D．種
【答案】D
【分析】
由分步乘法計數原理求解即可.
【詳解】由題意知每位同學都有3種選擇，可分4步完成，每步由一位同學選擇，
故共有種選擇方法.
故選：D.
8．某小組共有4名男生，和3名女生.若選一名男生和一名女生分別擔任組長和干事，共有 種不同的結果.
【答案】24
【分析】
根據題意結合分步乘法計數原理分析求解.
【詳解】因為4名男生選一名男生共有4種不同的結果；
3名女生選一名女生共有3種不同的結果；
一名男生和一名女生分別擔任組長和干事共有2種不同的方法，
根據分步乘法計數原理可知：共有種不同的結果.
故答案為：24.
9．中國燈籠又統稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類．現有4名學生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種，則不同的選購方式有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】A
【分析】
每人都有3種選法，結合分布計數原理即可求解.
【詳解】由題可知，每名同學都有3種選法，故不同的選購方式有種，經檢驗只有A選項符合.
故選：A
10．數學與文學有許多奇妙的聯系，如詩中有回文詩：“客醉花間花醉客”，既可以順讀也可以逆讀．數學中有回文數，如343，12521等，兩位數的回文數有11，22，33，…，99共9個，則三位數的回文數中是奇數的個數是 ．
【答案】50
【分析】
設三位數的回文數為ABA，先分析A的可能取值，再分析B的取值，然后由分步乘法計數原理求解即可
【詳解】設三位數的回文數為ABA，A有1到9，共9種可能，即1B1、2B2、3B3、9B9.
其中奇數共5種可能，即1B1，3B3，5B5，7B7，9B9；
B有0到9共10種可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、A9A.
所以符合題意的有5×10=50個.
故答案為：50
考點03組數問題
11．用1，2，3，4四個數字組成無重復數字的四位數，其中比2000大的偶數共有（ ）
A．16個 B．12個 C．9個 D．8個
【答案】D
【分析】利用分類計數原理分類討論計算即可.
【詳解】比2000大，故千位為2，3，4，
若千位為2，則個位為4，有（個）符合題意的四位數；
若千位為3，則個位為2或4，有（個）符合題意的四位數；
若千位為4，則個位為2，有（個）符合題意的四位數．
根據分類加法計數原理得，一共有（個）符合題意的四位數．
故選:D．
12．已知集合，且，用組成一個三位數，這個三位數滿足“十位上的數字比其它兩個數位上的數字都大”，則這樣的三位數的個數為（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
【答案】C
【分析】
分類求解符合條件的三位數的個數即可.
【詳解】集合，且，
則這個三位數滿足“十位上的數字比其它兩個數位上的數字都大”包含以下三種情況：
①十位數是，則百位數可以是中的一個數，個位數可以是中的一個數，即個；
②十位數是，則百位數可以是中的一個數，個位數可以是中的一個數，即個；
③十位數是，則百位數只能是，個位數可以是中的一個數，即個；
綜上，符合條件的共有個.
故選：C.
13．在正方形的每一個頂點處分別標上中的某一個數字（可以重復），則頂點處的數字都大于頂點處的數字的標注方法有（ ）
A．36種 B．48種 C．24種 D．26種
【答案】D
【分析】
按頂點處標注的數字分類討論 ，利用分類加法和乘法計數原理即可求解.
【詳解】按頂點處標注的數字分類，有如下幾種情況：
若處都標注的是4，則處的標注方法有（種）；
若處都標注的是3，則處的標注方法有（種）；
若處都標注的是2，則處的標注方法有1種；
若處標注的是4和3兩個數字，則處的標注方法有（種），不同的標注方法共有（種）；
若處標注的是4和2兩個數字，則處的標注方法有1種，不同的標注方法共有（種）；
若處標注的是3和2兩個數字，則處的標注方法有1種，不同的標注方法共有（種）.
由分類加法計數原理可知，頂點處的數字都大于頂點處的數字的標注方法共有（種）.
故選:D.
14．“鶯啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼鶯.”這是清代女詩人吳絳雪的一首回文詩，“回文”是漢語特有的一種使用語序回環往復的修辭手法，而數學上也有類似這樣特征的一類“回文數”，如232，251152等，那么在所有五位正整數中，有且僅有兩位數字是偶數的“回文數”共有 個.
【答案】225
【分析】
根據給定的信息，確定五位正整數中的“回文數”特征，再分別求出各位上的種數，先用乘法原理求出各類種數，再由加法原理即得.
【詳解】依題意，五位正整數中 “回文數”具有：
萬位與個位數字相同，且不為0，千位與十位數字相同，
求有且僅有兩位數字是偶數的“回文數”的個數有兩類辦法：
第一類：萬位數字為偶數且不為0有4種，千位選一個奇數有5種，
百位選一個奇數有5種，
不同 “回文數”的個數為個，
第二類：萬位數字為奇數有5種，千位選一個偶數有5種，百位選一個奇數有5種，
不同 “回文數”的個數為，
由分類加法原理得，
在所有五位正整數中，有且僅有兩位數字是偶數的“回文數”共有：個.
故答案為：225
15．用0，1，2，3，4五個數字．
(1)可以排成多少個三位數字的電話號碼？
(2)可以排成多少個三位數？
(3)可以排成多少個能被2整除的無重復數字的三位數？
(4)可以組成多少個無重復數字的四位奇數？
【答案】(1)125
(2)100
(3)30
(4)36
【分析】（1）三位數字的電話號碼，數字可以重復，首位可以是0，由分步乘法計數原理計算即可；
（2）排成三位數，首位不能為0，先排首位，再排其他位，由分步乘法計數原理計算即可；
（3）排成能被2整除的無重復數字的三位數，分為2類，個位為0或者個位為2，4，再排其他位，根據分類加法和分步乘法計數原理計算即可；
（4）先排個位，再排首位，最后排其他位，根據分步乘法計數原理計算即可．
【詳解】（1）三位數字的電話號碼，首位可以是0，數字也可以重復，每個位置都有5種排法，
共有(個)．
（2）三位數的首位不能為0，但可以有重復數字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有(個)．
（3）被2整除的數即偶數，末位數字可取0，2，4，
因此，可以分兩類，一類是末位數字是0，則有(種)排法；
一類是末位數字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有 (種)排法，
因此有(種)排法，即可以排成30個能被2整除的無重復數字的三位數．
（4）完成“組成無重復數字的四位奇數”這件事，可以分四步：
第一步定個位，只能從1，3中任取一個，有2種方法；
第二步定首位，從1，2，3，4中除去用過的一個，從剩下的3個中任取一個，有3種方法；
第三步，第四步把剩下的包括0在內的3個數字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.
由分步計數原理知共有(個)．
16．一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數字，若各位上的數字允許重復，那么這4個撥號盤可以組成多少個四位數的號碼？
【答案】10000
【分析】根據分步乘法即可得到所有情況.
【詳解】按從左到右的順序撥號可以分四步完成：
第1步，有10種撥號方式，所以；
第2步，有10種撥號方式，所以；
第3步，有10種撥號方式，所以；
第4步，有10種撥號方式，所以.
根據分步計數原理，共可以組成（個）四位數的號碼.
考點04選(抽)取與分配問題
17．某學校高二年級的3個班級將要去甲、乙、丙、丁4個工廠參觀學習，要求每個班只能去1個工廠參觀學習，且甲工廠必須有班級參觀學習，則不同的參觀方案有（ ）
A．16種 B．18種 C．37種 D．48種
【答案】C
【分析】利用分步乘法計數原理求出3個班去4個工廠的方法種數，再求出甲廠沒有班級去的方法數即可得解.
【詳解】每個班級都可以從這4個工廠中選1個參觀學習，各有4種選擇，根據分步乘法計數原理，共有種參觀方案，
若甲工廠沒有班級參觀學習，此時每個班級都可以從其余3個工廠中選1個參觀學習，各有3種選擇，共有種參觀方案，
所以，甲工廠必須有班級參觀學習，不同的參觀方案有種.
故選：C
18．2020年初，湖北面臨醫務人員不足和醫療物資緊缺等諸多困難，廈門人民心系湖北，志愿者紛紛馳援，若將甲、乙、丙、丁4名醫生志愿者分配到A，B兩家醫院（每人去一家，每家醫院至少安排1人），且甲醫生不安排在A醫院，則共有 種分配方案.
【答案】7
【分析】甲只有一種安排方法，乙、丙、丁3名醫生至少有一個安排在醫院，利用間接法可得結果.
【詳解】甲只能安排在醫院，乙、丙、丁3名醫生共有種安排方法，其中乙、丙、丁3名醫生都安排在醫院不合題意，所以符合題意的分配方案共有種.
故答案為：7.
【點睛】本題考查了分步乘法計數原理，考查了間接法，屬于基礎題.
19．某社區年終活動設置抽獎環節，方案如下：準備足夠多的寫有“和諧”、“和睦”、“復興”的卡片，參與者隨機逐一抽取四張，若集齊三種卡片就獲獎.王大爺按規定參與抽獎，則他直到第四次抽取出卡片才確定獲獎的不同情況種數為 .
【答案】
【分析】根據分步乘法計數原理求得正確答案.
【詳解】根據題意，若王大爺直到第4次才獲獎，
則其第4次才集全“和諧”“和睦”“復興”三種卡片，則甲第4次獲得的卡片有3種情況，
前三次獲得的紅包為其余的2種，有種情況，
則他獲得獎次的不同情形種數為．
故答案為：.
20．新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）疫情爆發以來，中國人民萬眾一心，取得了抗疫斗，爭的初步勝利．面對秋冬季新冠肺炎疫情反彈風險，某地防疫防控部門決定對某市A,B,C,D四個地區采取抽檢，每周都抽檢一個地區，且每周都是從上周未抽檢的地區中隨機抽取一個地區，設第1周抽到A地區，那么第6周也抽到A地區的概率是 （用最簡分數表示）．
【答案】
【分析】根據分步乘法計數原理以及分類加法即可求解.
【詳解】由于第一次抽到A，則第二次不會抽A，有3種選擇，
若第三次抽到A,則第四次有3種選擇，由于第6次要抽到A，則第五次不能抽到A，故只有2種選擇，故在此種情況下，共有種選擇，
若第三次沒有抽A,則第三次有2種選擇，若第四次抽到A，則第五次有3種選擇；
若第四次沒有抽到A,則第四次有2種選擇，第五次也有2種選擇，故共有，
因此所以滿足第1周抽到地區，那么第6周也抽到地區的個數一共有，
全部情況有，所以概率為 ，
故答案為：
21．2023年杭州亞運會的吉祥物包括三種機器人造型，分別名叫“蓮蓮”，“琮琮”“宸宸”，小輝同學將三種吉祥物各購買了兩個（同名的兩個吉祥物完全相同），送給三位好朋友，每人兩個，則每個好朋友都收到不同名的吉祥物的分配方案共有 種．（用數字作答）
【答案】6
【分析】設“蓮蓮”，“琮琮”“宸宸”為,可得其組合形式為,把它分配給三人即可得結果.
【詳解】根據題意，設“蓮蓮”，“琮琮”“宸宸”為,則可得其組合形式為,
故第一個好友具有種，第二個好友具有種，第三個好友只有種，
即每個好朋友都收到不同命的吉祥物的分配方案為：種.
故答案為：
22．一個口袋中有5個紅球，6個黃球，除了顏色外其他沒有區別．求：
(1)若不放回的抽取兩球，均為紅球的概率；
(2)若放回的抽取兩球，均不是紅球的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用計數原理及古典概型公式求解即可.
【詳解】（1）不放回的抽取兩球的情況有：11×10＝110種，
其中抽取的兩球均為紅球的情況有：5×4＝20種，
所以，不放回的抽取兩球，均為紅球的概率為；
（2）放回的抽取兩球的情況有：11×11＝121種，
其中抽取的兩球均不是紅球的情況有：6×6＝36種，
所以，放回的抽取兩球，均不是紅球的概率為.
考點05涂色與種植問題
23．現要用種不同顏色對如圖所示的五個區域進行涂色，要求相鄰的區域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法共有（ ）

A．180種 B．192種 C．300種 D．420種
【答案】D
【分析】先涂區域，再涂區域，然后涂區域，分區域與區域同色、區域與區域不同色兩種情況討論，按照分步乘法計數原理計算可得.
【詳解】先涂區域有種選擇，再涂區域有種選擇，然后涂區域有種選擇，
若區域與區域同色，此時區域有種選擇，
若區域與區域不同色，則區域有種選擇，區域有種選擇，
故有種涂色方法.
故選：D
24．某公園設計了如圖所示的觀賞花壇，現有郁金香、瑪格麗特、小月季、小杜鵑四種不同的花可供采購，要求相鄰區域種不同種類的花，則不同的種植方案個數為（ ）
A．24 B．36 C．48 D．96
【答案】C
【分析】
由分步乘法計數原理求解即可.
【詳解】先種區域1有種選擇，區域2有種選擇，區域3有種選擇，區域4有種選擇，區域5有2種選擇，區域6有1種選擇，
則共有：種.
故選：C.
25．（多選）用種不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數記為，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用分類計數原理即可得解.
【詳解】當時，分四步：
第一步，涂處，有3種涂色方案；第二步，涂處，有2種涂色方案；
第三步，涂處，有2種涂色方案；第四步，涂處，有1種涂色方案.
所以不同的涂色方法共種數為，所以，故A正確；
當時，分四步：
第一步，涂處，有4種涂色方案；第二步，涂處，有3種涂色方案；
第三步，涂處，有3種涂色方案；第四步，涂處，有2種涂色方案.
所以不同的涂色方法共種數為，所以，故B錯誤；
當時，分四步：
第一步，涂處，有5種涂色方案；第二步，涂處，有4種涂色方案；
第三步，涂處，有4種涂色方案；第四步，涂處，有3種涂色方案.
所以不同的涂色方法共種數為，所以，故C錯誤；
當時，分四步：
第一步，涂處，有6種涂色方案；第二步，涂處，有5種涂色方案；
第三步，涂處，有5種涂色方案；第四步，涂處，有4種涂色方案.
所以不同的涂色方法共種數為，所以，故D正確.
故選：AD.
26．一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環分為n（，）等份，種植紅、黃、藍三種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．
（1）如圖（1），圓環分成3等份，分別為，，，則有 種不同的種植方法；
（2）如圖（2），圓環分成4等份，分別為，，，，則有 種不同的種植方法．
【答案】 6 18
【分析】第一空：直接由分步乘法計數原理即可得解，第二空：分，是否同色討論，結合分類加法計數原理以及分步乘法計數原理即可得解.
【詳解】（1）先種植部分，有3種不同的種植方法，再種植，部分．
因為，與的顏色不同，，的顏色也不同，
所以由分步乘法計數原理得，不同的種植方法有（種）．
（2）當，不同色時，有種種植方法，
當，同色時，有種種植方法，
由分類加法計數原理得，共有種種植方法．
故答案為：6；18.
27．在如圖所示的四個區域中，有5種不同的花卉可選，每個區域只能種植一種花卉，且相鄰區域花卉不同，則不同的種植方法共有 種（用數字作答）
【答案】240
【分析】直接利用分步乘法計數原理即可求出結果.
【詳解】由分步乘法計數原理得種,
故答案為：240.
28．用6種不同顏色染正方體的6個面，不同面顏色不同，正方體旋轉后顏色相同認為是同種染色，則染色的種數有多少
【答案】30
【分析】設6種顏色分別是A，B，C，D，E，F，先考慮A色的對面顏色，不妨設A和B是對面色，則可得C的對面色的情況，進而可得出答案.
【詳解】設6種顏色分別是A，B，C，D，E，F，
那么只需要先考慮A色的對面顏色，這有5種情況；不妨設A和B是對面色，
則C的對面色有3種情況；不妨設是D色，
則E和F兩色的位置還有2種情況，
因此總的染色種數是種.
基礎過關練
1．有三個不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有（ ）種.
A．81 B．64 C．24 D．4
【答案】A
【分析】利用分步乘法計數原理即可求解.
【詳解】每封信可以投個不同的信箱中的其中一個，
由分步乘法計數原理可得，不同的投法種數為種.
故選：A
2．高二1、2、3班各有升旗班同學人數分別為：1、3、3人，現從中任選2人參加升旗，則2人來自不同班的選法種數為（ ）
A．12 B．15 C．20 D．21
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用分類加法計數原理、分步乘法計數原理列式計算作答.
【詳解】依題意，選中高二1班的同學有種方法，高二1班的同學沒選中有，
所以2人來自不同班的選法種數為.
故選：B
3．李芳有4件不同顏色的襯衣,3件不同花樣的裙子,另有兩套不同樣式的連衣裙.“五一”節需選擇一套服裝參加歌舞演出,則不同的選擇方式有(　　)
A．24種 B．10種 C．9種 D．14種
【答案】D
【分析】分類討論利用分步乘法和分類加法計數原理計算即可.
【詳解】分兩類：
第一類：選襯衣加裙子，共有種選法；
第二類：選連衣裙，共有種選法，
根據分類加法計數原理共有種選法.
故選：
4．在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數的個數是（ ）
A．18 B．36
C．72 D．48
【答案】B
【分析】解法一二：利用分類加法計數原理即可得解.
解法三：考慮兩位數的個位數字與十位數字的大小關系，利用對應思想解決．
【詳解】解法一：
按十位上的數字分別是1，2，3，4，5，6，7，8分成八類，
在每一類中滿足條件的兩位數分別有8個、7個、6個、5個、4個、3個、2個、1個．
由分類加法計數原理知，滿足條件的兩位數共有個．
解法二：
按個位上的數字分別是2，3，4，5，6，7，8，9分成八類，
在每一類中滿足條件的兩位數分別有1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個．
由分類加法計數原理知，滿足條件的兩位數共有個．
解法三 ：
所有的兩位數共有90個，
其中個位數字等于十位數字的兩位數為11，22，33，…，99，共9個；
有10，20，30，…，90共9個兩位數的個位數字與十位數字不能調換位置，
則剩余的兩位數有個．
在這72個兩位數中，每一個個位數字（a）小于十位數字（b）的兩位數都有一個十位數字（a）小于個位數字（b）的兩位數與之對應，
故滿足條件的兩位數的個數是.
故選：B.
5．(多選)已知x∈{2，3}，y∈{－4，8}，則x·y的值可取（ ）
A．－8 B．－12
C．11 D．24
【答案】ABD
【分析】
分步，第一步在集合中{2，3}中任取一個值，有2種不同取法，第二步在集合{－4，8}中任取一個值，有2種不同的取法，分別計算乘積，再比較積可得．
【詳解】
分兩步：第一步在集合中{2，3}中任取一個值，有2種不同取法，第二步在集合{－4，8}中任取一個值，有2種不同的取法，故x·y可表示2×2＝4個不同的值．即2×(－4)＝－8，2×8＝16，3×(－4)＝－12，3×8＝24，
故選：ABD.
6．（多選）高二年級安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區進行暑期社會實踐活動，每位同學只能選擇一個社區進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區進行活動，下列說法正確的有（ ）
A．所有可能的方法有種
B．如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種
C．如果同學甲必須選擇社區A，則不同的安排方法有25種
D．如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區，則不同的安排方法共有20種
【答案】BC
【分析】根據分步乘法原理判斷A、C，根據間接法判斷B，根據分類加法原理和乘法原理判斷D.
【詳解】對于選項A，安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區進行暑期社會實踐活動，
每位同學只能選擇一個社區進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區進行活動，
故有種選擇方案，錯誤；
對于選項B，如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有（種），正確；
對于選項C：如果同學甲必須選擇社區A，則不同的安排方法有（種），正確；
對于選項D：如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區，
再分為丙與甲、乙兩名同學在一起和不在一起兩種情況，則不同的安排方法共有（種），
錯誤.
故選：BC
7．有且僅有語文、數學、英語、物理4科老師布置了作業，同一時刻3名學生都在做作業，則這3名學生做作業的可能情況有 種．
【答案】64
【分析】
根據分步乘法，每個學生做作業的情況都是4，相乘即可.
【詳解】
因為4科老師布置了作業，在同一時刻每個學生做作業的情況有4種可能，
所以3名學生都做作業的可能情況種．
故答案為:64.
8．已知甲的車牌尾數為9，他的四位同事的車牌尾數分別為0，2，1，5，為遵守當地某月5日至9日5天的限行規定（奇數日車牌尾數為奇數的車通行，偶數日車牌尾數為偶數的車通行），五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數為 ．
【答案】80
【分析】利用分類加法與分步乘法計數原理計算即可.
【詳解】5日至9日，有3天奇數日，2天偶數日．
第一步，安排偶數日出行，每天都有2種選擇，共有種不同的選擇；
第二步，安排奇數日出行，分兩類第一類，選1天安排甲的車，
共有種不同的選擇，
第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有種不同的選擇．
綜上，不同的用車方案種數為．
故答案為：80.
9．小魚和A，B，C，D，E共六個好友在圓桌上用餐，則A坐在小魚對面且B和C不相對的坐法的種數是 .如果圓桌可以旋轉后重合，則記為同一種排列方式.
【答案】16
【分析】先固定小魚和的位置，再安排B的位置，繼而安排C，最后安排剩余兩人的位置，由分步乘法計數原理，即可得答案.
【詳解】A坐在小魚對面，先固定兩人位置，在小魚和的相對位置確定后，
有四種選擇，的每種選擇確定下有兩種選擇，
確定的情況下剩余兩人有兩種排列方式，故總坐法有種.
故答案為：16
10．用6種不同顏色的粉筆寫黑板報，板報設計如圖所示，要求相鄰區域不能用同一種顏色的粉筆，則該板報共有多少種不同的書寫方案？
【答案】600
【分析】根據分步計數原理將問題分成四步，分別求得每一步的選法進行相乘可得結果.
【詳解】完成這件事可分四步：
第一步，“英語角”用的粉筆顏色有6種不同的選法；
第二步，“語文學苑”用的粉筆顏色不能與“英語角”用的粉筆顏色相同，有5種不同的選法；
第三步，“理綜世界”用的粉筆顏色與“英語角”和“語文學苑”用的粉筆顏色都不相同，有4種不同的選法；
第四步，“數學天地”用的粉筆顏色只要與“理綜世界”用的粉筆顏色不同即可，有5種不同的選法.
由分步計數原理知，該板報共有6×5×4×5＝600（種）不同的書寫方案.
11．在圖中的電路中，僅合上2只開關接通電路，有多少種不同的方法？

【答案】6
【分析】用分步計數原理計算即得答案.
【詳解】在圖中，按要求接通電路必須分兩步進行：
第一步，合上A中的1只開關；
第二步，合上B中的1只開關.根據分步計數原理，
所以共有種不同的方法.
答：在圖中的電路中，僅合上2只開關接通電 路，有6種不同的方法．
12．某班共有男生28名、女生20名，從該班選出學生代表參加校學生代表大會．若學校分配給該班2名代表，且男、女生代表各1名，則有多少種不同的選法？
【答案】560
【分析】由分步計數原理計算即可求解.
【詳解】選出男、女生代表各1名，可以分成兩個步驟完成：
第一步：選1名男生代表，有28種不同方法；
第二步：選1名女生代表，有20種不同方法．
根據分步計數原理，選出男、女生代表各1名，共有不同的選法種數是．
故選出男、女生代表各1名，有560種不同的選法.
能力提升練
1．從1，2，3，4，5，6，7，9中，任取兩個不同的數作對數的底數和真數，則所有不同的對數的值有（ ）
A．30個 B．42個 C．41個 D．39個
【答案】D
【分析】分是否取兩類，當不取時，排除重復的即可得解.
【詳解】當取時，則只能為真數，此時這個對數值為，
當不取時，底數有種，真數有種，
其中，
故此時有個，
所以共有個.
故選：D.
2．我國古代十進制數的算籌記數法是世界數學史上一個偉大的創造.算籌一般為小圓棍算籌計數法的表示方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，以此類推；遇零則置空.縱式和橫式對應數字的算籌表示如下表所示，例如：10記為“”，62記為“”.現從由4根算籌表示的兩位數中任取一個數，則取到的數字為質數的概率為（ ）
數字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
縱式
橫式
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分類討論，利用古典概型的概率公式求解即可.
【詳解】由題意可知，共有4根算籌，
當十位1根，個位3根，共有2個兩位數13、17；
當十位2根，個位2根，共有4個兩位數22，26，62，66；
當十位3根，個位1根，共有2個兩位數31，71；
當十位4根，個位0根，共有2個兩位數40，80；
其中質數有13、17、31、71，
所以取到的數字為質數的概率為，
故選：A
3．10000的除去1和自己外的正因數的個數是（ ）
A．25 B．24 C．23 D．16
【答案】C
【分析】
依題意可得，將問題轉化為從盒子中取數，按照分步乘法計數原理計算即可.
【詳解】由題意，
所求數的不同正因數的個數可以看做從兩盒子中取數，
其中盒子中有4個2，盒子中裝有4個5，從兩盒中各取一個數相乘可以得到一個因數（如不取可看作取1），
所以從兩盒中取數均有5種取法，但要舍去都不取或全取出所有的4個2和4個5這2種情況（即因數為1和10000本身的情況），
綜上所述，10000的除去1和自己外的正因數的個數是.
故選：C.
4．（多選）某校高二年級安排甲 乙 丙三名同學到A，B，C，D，E五個社區進行暑期社會實踐活動，每名同學只能選擇一個社區進行實踐活動，且多名同學可以選擇同一個社區進行實踐活動，則下列說法正確的有（ ）
A．如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種
B．如果同學甲必須選擇社區A，則不同的安排方法有50種
C．如果三名同學選擇的社區各不相同，則不同的安排方法共有60種
D．如果甲 乙兩名同學必須在同一個社區，則不同的安排方法共有20種
【答案】AC
【分析】對于A，根據社區A必須有同學選擇，由甲 乙 丙三名同學都有5種選擇減去有4種選擇求解；對于B，根據同學甲必須選擇社區A，有乙丙都有5種選擇求解；對于C，根據三名同學選擇的社區各不相同求解；對于D，由甲 乙兩名同學必須在同一個社區，捆綁再選擇求解；
【詳解】對于A，如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有（種），故A正確；
對于B，如果同學甲必須選擇社區A，則不同的安排方法有（種），故B錯誤；
對于C，如果三名同學選擇的社區各不相同，則不同的安排方法共有（種），故C正確；
對于D，甲 乙兩名同學必須在同一個社區，第一步，將甲 乙視作一個整體，第二步，兩個整體挑選社區，則不同的安排方法共有（種），故D錯誤.
故選：AC.
5．二維碼是一種由黑色和白色組成的雙色方格陣圖，規定如果一個的二維碼有對稱軸且繞其中心逆時針旋轉后能與自身重合，稱其為“轉轉碼”，則“轉轉碼”的個數為 .（用數字作答）
【答案】
【分析】根據圖形的旋轉規律，結合分步計數原理即可求解.
【詳解】由題意知，作出的正方形方格陣圖，如圖所示：
因為“轉轉碼”有對稱軸且繞其中心逆時針旋轉后能與自身重合，
則可知正方形、、和的黑色和白色方格數量相等且位置排列完全相同，且每個正方形關于其對角線、、和對稱，
矩形、、和的黑色和白色方格數量相等且位置排列也完全相同，其中正方形逆時針旋轉后位置不變，
只需該的二維碼中的正方形的個方格、矩形的3個方格及正方形方格，共計個方格，出現雙色方格，該二維碼即是“轉轉碼”，
則該“轉轉碼”的個數有：種，
故答案為：.
6．為了推動農業高質量發展，實施一二三五計劃，棗陽市政府將棗陽市劃分成①湖垱生態農業區，②桐柏山生態農業區，③數字農業區，④生態走廊區和⑤大洪山生態農業區五個發展板塊（如下圖），現用四種顏色給各個板塊著色，要求有公共邊界的兩個板塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法有 種．
【答案】
【分析】按先后順序分別涂區域③④①②⑤，確定每個區域的涂色方法種數，結合分步乘法計數原理可得結果.
【詳解】先涂區域③，有種選擇，接下來涂區域④，有種選擇，
接下來涂區域①②，涂區域①有種選擇，涂區域②有種選擇，
最后涂區域⑤，有種選擇，
由分步計數原理可知，不同的著色方法種數為種.
故答案為：.
7．從這7個數字中取出4個數字，試問：
(1)能組成多少個沒有重復數字的四位數？
(2)能組成多少個沒有重復數字的四位偶數？
【答案】(1)720
(2)420
【分析】（1）按照千位，百位，十位，個位的順序，利用分布乘法計數原理即可求；
（2）個位數字可能為0，2，4，6，有四種情況，利用分類加法計數原理即可求.
【詳解】（1）第一步：千位不能為0，有6種選擇；
第二步：百位可以從剩余數字中選，有6種選擇；
第三步：十位可以從剩余數字中選，有5種選擇；
第四步：個位可以從剩余數字中選，有4種選擇．
根據分步計數原理，能組成個沒有重復數字的四位數．
（2）第一類：當個位數字是0時，沒有重復數字的四位數有個；
第二類：當個位數字是2時，千位不能為0，沒有重復數字的四位數有個；
第三類：當個位數字是4時，千位不能為0，沒有重復數字的四位數有個；
第四類：當個位數字是6時，千位不能為0，沒有重復數字的四位數有個．
根據分類計數原理．能組成個沒有重復數字的四位偶數．
8．已知、、是互不相同的素數，、、是正整數，．問：有多少個不同的正約數？
【答案】
【分析】根據分步乘法計數原理計算可得.
【詳解】正整數可分解成，
其中，，均為互不相同的素數，、、為正整數，
則對于因子的選擇有種辦法，
對于因子的選擇有種辦法，
對于因子的選擇有種辦法，
則的不同正約數共有個．6.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理
1.通過實例，了解分類加法計數原理、分步乘法計數原理及其意義
2.理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理
一、分類加法計數原理
完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.
拓展：完成一件事有類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，…，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法
二、分步乘法計數原理
完成一件事需要兩個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.
拓展：完成一件事需要個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法
注意：區分“完成一件事”是分類還是分步，關鍵看一步能否完成這件事，若能完成，則是分類，否則，是分步．
考點01分類加法計數原理的應用
1．某同學逛書店，發現3本喜歡的書，若決定至少買其中的兩本，則購買方案有（　　）
A．4種 B．6種 C．7種 D．9種
2．已知集合，非空集合，且中所有元素之和為奇數，則滿足條件的集合共有（ ）
A．12個 B．14個 C．16個 D．18個
3．某學校開設5門球類運動課程、6門田徑類運動課程和3門水上運動課程供學生學習，某位學生任選1門課程學習，則不同的選法共有（ ）
A．90種 B．30種 C．14種 D．11種
4．每天從甲地到乙地的飛機有5班，高鐵有10趟，動車有6趟，公共汽車有12班.某人某天從甲地前往乙地，則其出行方案共有（ ）
A．22種 B．33種 C．300種 D．3 600種
5．在所有的兩位數中，個位數字小于十位數字且為偶數，那么這樣的兩位數有多少個？
考點02分步乘法計數原理的應用
6．現有兩種不同的顏色要對如圖形中的三個部分進行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（ ）
① ② ③
A． B． C． D．
7．某班4個同學分別從3處風景點中選擇一處進行旅游觀光，則不同的選擇方案是（ ）
A．24種 B．4種 C．種 D．種
8．某小組共有4名男生，和3名女生.若選一名男生和一名女生分別擔任組長和干事，共有 種不同的結果.
9．中國燈籠又統稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類．現有4名學生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種，則不同的選購方式有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
10．數學與文學有許多奇妙的聯系，如詩中有回文詩：“客醉花間花醉客”，既可以順讀也可以逆讀．數學中有回文數，如343，12521等，兩位數的回文數有11，22，33，…，99共9個，則三位數的回文數中是奇數的個數是 ．
考點03組數問題
11．用1，2，3，4四個數字組成無重復數字的四位數，其中比2000大的偶數共有（ ）
A．16個 B．12個 C．9個 D．8個
12．已知集合，且，用組成一個三位數，這個三位數滿足“十位上的數字比其它兩個數位上的數字都大”，則這樣的三位數的個數為（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
13．在正方形的每一個頂點處分別標上中的某一個數字（可以重復），則頂點處的數字都大于頂點處的數字的標注方法有（ ）
A．36種 B．48種 C．24種 D．26種
14．“鶯啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼鶯.”這是清代女詩人吳絳雪的一首回文詩，“回文”是漢語特有的一種使用語序回環往復的修辭手法，而數學上也有類似這樣特征的一類“回文數”，如232，251152等，那么在所有五位正整數中，有且僅有兩位數字是偶數的“回文數”共有 個.
15．用0，1，2，3，4五個數字．
(1)可以排成多少個三位數字的電話號碼？
(2)可以排成多少個三位數？
(3)可以排成多少個能被2整除的無重復數字的三位數？
(4)可以組成多少個無重復數字的四位奇數？
16．一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數字，若各位上的數字允許重復，那么這4個撥號盤可以組成多少個四位數的號碼？
考點04選(抽)取與分配問題
17．某學校高二年級的3個班級將要去甲、乙、丙、丁4個工廠參觀學習，要求每個班只能去1個工廠參觀學習，且甲工廠必須有班級參觀學習，則不同的參觀方案有（ ）
A．16種 B．18種 C．37種 D．48種
18．2020年初，湖北面臨醫務人員不足和醫療物資緊缺等諸多困難，廈門人民心系湖北，志愿者紛紛馳援，若將甲、乙、丙、丁4名醫生志愿者分配到A，B兩家醫院（每人去一家，每家醫院至少安排1人），且甲醫生不安排在A醫院，則共有 種分配方案.
19．某社區年終活動設置抽獎環節，方案如下：準備足夠多的寫有“和諧”、“和睦”、“復興”的卡片，參與者隨機逐一抽取四張，若集齊三種卡片就獲獎.王大爺按規定參與抽獎，則他直到第四次抽取出卡片才確定獲獎的不同情況種數為 .
20．新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）疫情爆發以來，中國人民萬眾一心，取得了抗疫斗，爭的初步勝利．面對秋冬季新冠肺炎疫情反彈風險，某地防疫防控部門決定對某市A,B,C,D四個地區采取抽檢，每周都抽檢一個地區，且每周都是從上周未抽檢的地區中隨機抽取一個地區，設第1周抽到A地區，那么第6周也抽到A地區的概率是 （用最簡分數表示）．
21．2023年杭州亞運會的吉祥物包括三種機器人造型，分別名叫“蓮蓮”，“琮琮”“宸宸”，小輝同學將三種吉祥物各購買了兩個（同名的兩個吉祥物完全相同），送給三位好朋友，每人兩個，則每個好朋友都收到不同名的吉祥物的分配方案共有 種．（用數字作答）
22．一個口袋中有5個紅球，6個黃球，除了顏色外其他沒有區別．求：
(1)若不放回的抽取兩球，均為紅球的概率；
(2)若放回的抽取兩球，均不是紅球的概率．
考點05涂色與種植問題
23．現要用種不同顏色對如圖所示的五個區域進行涂色，要求相鄰的區域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法共有（ ）

A．180種 B．192種 C．300種 D．420種
24．某公園設計了如圖所示的觀賞花壇，現有郁金香、瑪格麗特、小月季、小杜鵑四種不同的花可供采購，要求相鄰區域種不同種類的花，則不同的種植方案個數為（ ）
A．24 B．36 C．48 D．96
25．（多選）用種不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數記為，則（ ）

A． B．
C． D．
26．一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環分為n（，）等份，種植紅、黃、藍三種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．
（1）如圖（1），圓環分成3等份，分別為，，，則有 種不同的種植方法；
（2）如圖（2），圓環分成4等份，分別為，，，，則有 種不同的種植方法．
27．在如圖所示的四個區域中，有5種不同的花卉可選，每個區域只能種植一種花卉，且相鄰區域花卉不同，則不同的種植方法共有 種（用數字作答）
28．用6種不同顏色染正方體的6個面，不同面顏色不同，正方體旋轉后顏色相同認為是同種染色，則染色的種數有多少
基礎過關練
1．有三個不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有（ ）種.
A．81 B．64 C．24 D．4
2．高二1、2、3班各有升旗班同學人數分別為：1、3、3人，現從中任選2人參加升旗，則2人來自不同班的選法種數為（ ）
A．12 B．15 C．20 D．21
3．李芳有4件不同顏色的襯衣,3件不同花樣的裙子,另有兩套不同樣式的連衣裙.“五一”節需選擇一套服裝參加歌舞演出,則不同的選擇方式有(　　)
A．24種 B．10種 C．9種 D．14種
4．在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數的個數是（ ）
A．18 B．36
C．72 D．48
5．(多選)已知x∈{2，3}，y∈{－4，8}，則x·y的值可取（ ）
A．－8 B．－12
C．11 D．24
6．（多選）高二年級安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區進行暑期社會實踐活動，每位同學只能選擇一個社區進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區進行活動，下列說法正確的有（ ）
A．所有可能的方法有種
B．如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種
C．如果同學甲必須選擇社區A，則不同的安排方法有25種
D．如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區，則不同的安排方法共有20種
7．有且僅有語文、數學、英語、物理4科老師布置了作業，同一時刻3名學生都在做作業，則這3名學生做作業的可能情況有 種．
8．已知甲的車牌尾數為9，他的四位同事的車牌尾數分別為0，2，1，5，為遵守當地某月5日至9日5天的限行規定（奇數日車牌尾數為奇數的車通行，偶數日車牌尾數為偶數的車通行），五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數為 ．
9．小魚和A，B，C，D，E共六個好友在圓桌上用餐，則A坐在小魚對面且B和C不相對的坐法的種數是 .如果圓桌可以旋轉后重合，則記為同一種排列方式.
10．用6種不同顏色的粉筆寫黑板報，板報設計如圖所示，要求相鄰區域不能用同一種顏色的粉筆，則該板報共有多少種不同的書寫方案？
11．在圖中的電路中，僅合上2只開關接通電路，有多少種不同的方法？

12．某班共有男生28名、女生20名，從該班選出學生代表參加校學生代表大會．若學校分配給該班2名代表，且男、女生代表各1名，則有多少種不同的選法？
能力提升練
1．從1，2，3，4，5，6，7，9中，任取兩個不同的數作對數的底數和真數，則所有不同的對數的值有（ ）
A．30個 B．42個 C．41個 D．39個
2．我國古代十進制數的算籌記數法是世界數學史上一個偉大的創造.算籌一般為小圓棍算籌計數法的表示方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，以此類推；遇零則置空.縱式和橫式對應數字的算籌表示如下表所示，例如：10記為“”，62記為“”.現從由4根算籌表示的兩位數中任取一個數，則取到的數字為質數的概率為（ ）
數字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
縱式
橫式
A． B． C． D．
3．10000的除去1和自己外的正因數的個數是（ ）
A．25 B．24 C．23 D．16
4．（多選）某校高二年級安排甲 乙 丙三名同學到A，B，C，D，E五個社區進行暑期社會實踐活動，每名同學只能選擇一個社區進行實踐活動，且多名同學可以選擇同一個社區進行實踐活動，則下列說法正確的有（ ）
A．如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種
B．如果同學甲必須選擇社區A，則不同的安排方法有50種
C．如果三名同學選擇的社區各不相同，則不同的安排方法共有60種
D．如果甲 乙兩名同學必須在同一個社區，則不同的安排方法共有20種
5．二維碼是一種由黑色和白色組成的雙色方格陣圖，規定如果一個的二維碼有對稱軸且繞其中心逆時針旋轉后能與自身重合，稱其為“轉轉碼”，則“轉轉碼”的個數為 .（用數字作答）
6．為了推動農業高質量發展，實施一二三五計劃，棗陽市政府將棗陽市劃分成①湖垱生態農業區，②桐柏山生態農業區，③數字農業區，④生態走廊區和⑤大洪山生態農業區五個發展板塊（如下圖），現用四種顏色給各個板塊著色，要求有公共邊界的兩個板塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法有 種．
7．從這7個數字中取出4個數字，試問：
(1)能組成多少個沒有重復數字的四位數？
(2)能組成多少個沒有重復數字的四位偶數？
8．已知、、是互不相同的素數，、、是正整數，．問：有多少個不同的正約數？

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