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重難培優03 導數常見壓軸小題
題型一 鑲嵌函數的根個數問題
1．已知函數，若方程有三個不同的實數解，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求得，得到函數的單調性和最值，把方程有三個不同的實數解，轉化為方程有兩個不同的實數根和，且或，分類討論，結合二次函數的性質，即可求解.
【詳解】由函數，可得，
當時，；當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數，
當時，，且，
畫出函數的圖象，如圖所示，
令，要使得有三個不同的實數解，
則有兩個不同的實數根和，
且或，
若且時，此時無解；
若且時，令，
只需要，解得.
故選：C.
【點睛】方法點睛：已知函數零點（方程根）的個數，求參數的取值范圍問題的三種常用方法：
1、直接法，直接根據題設條件構建關于參數的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數的取值范圍；
2、分離參數法，先分離參數，將問題轉化成求函數值域問題加以解決；
3、數形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數的圖象，然后數形結合求解.
結論拓展：與和相關的常見同構模型
①，構造函數或；
②，構造函數或；
③，構造函數或.
2．已知函數，則方程的根的個數是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】對求導，判斷單調性畫出圖象，令，則，結合圖象方程有兩解，，結合圖象可知方程有兩解，也有兩解，從而可解.
【詳解】
對求導得：，
所以當或時，，當時，，
則函數在上單調遞減，在上單調遞增，
因此，函數在處取得極小值，
在處取得極大值，
作出曲線，如圖，
由得，解得，
令，則，結合圖象方程有兩解，，所以或，
因為，所以, 結合圖象可知方程有兩解，
又因為，結合圖象可知也有兩解，
所以方程共有4個根.
故選：B
【點睛】方法點睛:
求函數零點(方程根)的常用的方法:
（1）直接法:直接求解方程得到方程的根；
（2）數形結合法:先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.
3．已知函數，方程有兩個不等實根，則下列選項正確的是（ ）
A．點是函數的零點 B．的取值范圍是
C．是的極大值點 D．，，使
【答案】D
【分析】由導函數得到函數的單調性和極值情況，畫出函數圖象，A選項，根據得到A錯誤；B選項，或，有1個實數根，故有1個非零實根，數形結合得到答案；C選項，由圖象得到不是的極大值點；對于D選項，求出，，得到D正確.
【詳解】當時，，則，
當時，，在單調遞增，
當時，，單調遞減，且，；
當時，，則，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
且，，且恒成立，
畫出函數的圖象如下：
對A，由可得0是函數的零點，故A錯誤；
對B，方程等價于或，
由圖可得有1個實數根，
所以方程有兩個不等實根
等價于有1個非零實根，則由圖可得或，
解得或，故B錯誤.
對C，由圖可得是的極大值點，不是的極大值點，故C錯誤；
對D，由圖可得，當時，
因為，故，
故結合圖象可得時，，
故，，使，故D正確；
故選：D
【點睛】思路點睛：復合函數零點個數問題處理思路：
①利用換元思想，設出內層函數；
②分別作出內層函數與外層函數的圖象，分別探討內外函數的零點個數或范圍；
③內外層函數相結合確定函數交點個數，即可得到復合函數在不同范圍下的零點個數.
4．已知函數,若關于的方程有且僅有4個不同的實數根，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，方程可化為或有四個不同實數根，借助導數研究的單調性與最值，數形結合即可判斷的取值范圍．
【詳解】設，則，
又，
所以，則或．
①當時，，求導得．
當時，，即函數在上單調遞增；
當時，，即函數在上單調遞減．
因為，所以．
又，當且時，；
當時，．
②當時，，，
根據以上信息，作出函數的大致圖象如圖所示．

觀察圖像可得：函數的圖象與函數的圖象僅有1個交點，
所以函數的圖象與函數的圖象有3個交點，
則，所以實數的取值范圍為．
故選：A
5．已知函數，若關于的方程有3個不同的實數根，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】作出的大致圖象，方程有3個不同的實數根等價于曲線與直線一共三個交點，由數形結合判斷即可.
【詳解】當時，，，
則當，當，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
且當，又，；
當時，，，
則當時，，當時，，
所以在上為增函數，在上為減函數，則.
所以的大致圖象如圖所示.
由，解得或.
由圖象可知，沒有根，
所以關于的方程有3個不同的實數根，
等價于有3個不同的實數根，
由圖象可知，有3個不同的實數根，只需.
故選：B.
6．已知函數，若關于的方程有3個不同的實數根，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求導分析函數的單調性及極值，作出函數的圖象，把方程有3個不同的實數根轉化為方程有3個不同的實數根，數形結合即可求解.
【詳解】因為當時，，所以，
所以當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，所以，且；
又因為當時，，
所以在時單調遞增，在時單調遞減，且，
所以作出函數的大致圖象如圖：

由得，
所以或，則無解，所以只有方程有3個不同的實數根，
數形結合可知.
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：復合方程解的個數問題的解題策略為：首先要能觀察出復合的形式，分清內外層；其次要能根據復合的特點進行分析，將方程問題轉化為函數的交點問題，最后通過數形結合的方式解決問題.
題型二 雙變量問題
7．已知函數，若，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用導數討論函數的單調性，設、且，結合圖象得，再利用導數研究函數的性質得，結合變形、基本不等式，即可判斷各項正誤.
【詳解】，則，令，
當時，單調遞減，當時，單調遞增，
在上，且，，，即.
綜上，的圖象如下：結合，，令，
如上圖，若且，則，則不一定成立，A錯誤；
又，故，則不一定成立，B錯誤；
令，
則，
當時，，得，則；
當時，，得，則，
所以函數在R上單調遞增，且，
所以在R上恒成立，得，
即，又，所以，
由，且函數在單調遞減，得，即，D正確.
又，則，即，故，C錯誤.
故選：D.
【點睛】關鍵點點睛：先由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關系式，并把含雙參的不等式轉化為含單參的不等式；進而巧構造函數，再借用導數，判斷函數的單調性，求出函數的最值；最后回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果.
8．已知函數，，若，，使得，則實數a的取值范圍是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用導數，分別求兩個函數的值域，將條件轉化為兩個值域有交集，列不等式，即可求解.
【詳解】，，當時，，
函數單調遞減，函數的值域是，
，，當時，，
函數單調遞增，函數的值域是，
因為，，使得，
所以，解得：，
所以實數a的取值范圍是.
故選：D
9．設函數，若，且的最小值為，則a的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，可得，構造函數利用導數即可求出.
【詳解】令，由圖象可得，
因為，所以，即，
則，
令，
則，令，解得，
當時，，單調遞減，，解得，符合，
當，在單調遞減，在單調遞增，
則，解得，不符合，
綜上，.
【點睛】方法點睛：本題考查雙變量問題的函數與方程的應用，解決這種題的常見方法是利用換元法將變量轉化為只有1個變量，注意利用數形結合考慮變量的取值范圍.
10．已知函數，若且滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函數的性質確定參數間的關系及范圍，然后把目標式轉化為一元函數，再引入函數，由導數確定其取值范圍．
【詳解】由題意時，是減函數，且，
時，是減函數，且，
由且得，，，，
，所以，
，
設，，
時，，是增函數，所以，即，
所以．
故選：C．
11．已知函數，，曲線上總存在兩點，，使得曲線在M，N兩點處的切線互相平行，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得的導數，由題意可得，，且，化為，因此對，都成立，令，，，利用導數研究其最值即可得出．
【詳解】解：函數，導數．
由題意可得，，且．
即有，
化為，
而，
，
化為對，都成立，
令，在，單調遞增，
，當且僅當取得等號，
，
，即的取值范圍是．
故選：A．
12．已知函數，若，，使得，且，則的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】首先利用導數分析函數的單調性，極大值和極小值，求出函數的極大值與極小值對應的值，即可求解.
【詳解】 ，，
令，即，解得，，
當時，，所以在上單調遞增；
當時，，所以在上單調遞減；
當時，，所以在上單調遞增.
在處取得極大值，極大值為；
在處取得極小值，極小值為.
令，即，即，解得（舍）或；
令，即，即，解得（舍）或；
的最大值為.
故選:C.
【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性和極值問題，考查運算求解能力，求出函數的極大值與極小值是解決本題的關鍵，屬于中檔題.
13．（多選）已知函數，，若，，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由已知條件可推得，即有，結合目標式化簡可得，令，利用導函數研究其單調性并確定區間最小值，即為的最小值，根據最小值進行選擇即可.
【詳解】由題意，，得，
∴，即，
又，得
∵在上單調遞增，
∴綜上知：，
∴，
令，，則
∴，得；，得；
故在上單調遞減，在上單調遞增.
∴，
A：因為，所以本選項不符合題意；
B：因為，所以本選項符合題意；
C：顯然符合題意；
D：因為，所以本選項不符合題意，
故選：BC
【點睛】關鍵點睛：根據條件的函數關系確定參數的等量關系，結合目標式化簡并構造函數，應用導數研究函數的單調性，進而確定區間最小值.
題型三 構造函數比較大小
14．下列不等關系中錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】對于A項，利用等價轉化即得；對于B , C, D項都要結合式子特征，通過觀察、拼湊構造函數，利用函數的單調性進行判斷.
【詳解】對于A項，因，故A項正確；
對于B項，設，則在上恒成立，故函數在上單調遞增，
因，故，即，故，故B項正確；
對于C項，因，故構造，
則則在上單調遞增，，故C項錯誤；
對于D項，，，構造函數
則單調遞增，，故D項正確．
故選：C.
【點睛】關鍵點法點睛：本題主要考查構造函數比較大小問題,屬于難題.
解決比較大小問題的關鍵在于將不等式進行等價轉化，通過觀察特點，拼湊，使其具有相同的結構，構造函數，通過求導得到函數的單調性，利用單調性比較式的大小.
15．已知，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通過對的變形，轉化為不同函數在處的函數值，進而構造函數，利用導數研究函數單調性，比較大小即可.
【詳解】由已知，
，
比較與的大小，即比較與的大小.
構造函數，
則，
設，
則，
令解得（舍），，
當時，，單調遞增；
則，且，得，
即，故在單調遞增，且，
當時，則恒成立，
由，則，即，.
比較與的大小，即比較與的大小，即比較與的大小.
構造函數，，
則，則在單調遞減，又，
由，則，
即當時，恒成立，
由，則，
即，即，則，故.
綜上所述，.
故選：A.
【點睛】構造函數比較大小的方法點睛：
分析給出的數值之間的關系，找出相應數值的共性，進而把某個數值看作自變量的取值，然后找出該數值與其他數值之間的關系，把給出的數值轉化為相應的函數值，最后構造函數利用函數的單調性比較大小.一般通過作差或作商構造函數，作差法構造函數的關鍵點是研究函數的單調性與函數的零點，作商法構造函數的關鍵點是函數值的正負、函數的單調性及函數的最值與的大小關系.
16．若實數，，滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用對數函數的性質可判定，構造函數，利用導數研究其單調性可判定.
【詳解】因為，利用換底公式可知，
構造函數，
顯然時，，則在上單調遞增，
時，，則在上單調遞減，
所以由，即，
所以，綜上.
故選：A
【點睛】難點點睛：觀察式子發現利用對數函數的性質可判定，即底數大于1時，底數越大圖象在第一象限內越平緩，步驟上可以由換底公式計算；對于后兩項對比可以構造，通過其單調性進行對比即可.
17．若，則的大小關系為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】構造函數，，利用導數求函數最小值，得到和，令即可比較大小.
【詳解】令，則，
當時，，所以，所以在上單調遞增；
當時，，所以，所以在上單調遞增，
所以當時，，
所以，即，所以，所以，
令，則，
當時，，所以在上單調遞增；
當時，，所以在上單調遞減；
所以，當時，，
所以，即，所以，所以，
所以.
故選：A.
18．設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】構造函數，利用單調性可得，作差法比較，可得結果.
【詳解】由，
構造函數，則，
當時，，則在上單調遞增，
而，所以，即，也就是；
下面再比較與，
，
因為,，
所以，則，
所以.
故選：B
【點睛】思路點睛：構造函數，利用導數研究函數的單調性，從而比較大小.
19．若，b=1.2，c=ln3.2，則a，b，c的大小關系為（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>>c
【答案】A
【分析】先比較與的大小，構造函數，利用導數證明得到時，，從而得到，通過，，結合的單調性即可得到，從而得出判斷.
【詳解】令，則，∴在上單調遞增，
，即，
∴，
又，，
∵，，
，故，
∴．
故選：A．
題型四 指對同構問題
20．對任意，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】不等式可轉化為對任意恒成立，構造利用導數求出的最小值即可.
【詳解】由，則，
因為在上為增函數，所以，即對任意恒成立，
設函數，則，
由可得，由可得，
所以在上為減函數，在上為增函數，所以，
因為對任意的恒成立，所以，
所以.
故選：B．
21．若，其中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意得，令，
則上式可轉化為，利用導數研究單調性，再利用單調性即可求解
【詳解】由，得，
所以，
令，
則上式可轉化為，
又，
令，解得，
令，解得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
又，
所以，
又，
所以，
所以，即，
故選：D
22．若關于的不等式對恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意可知，且對恒成立，設，則問題轉化為在上恒成立，利用導數說明函數的單調性，再分和兩種情況討論，結合函數的取值情況及單調性，分別計算可得.
【詳解】由題意可知，，即對恒成立．
設，則問題轉化為在上恒成立，
因為，所以當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
又，所以當時，；當時，．
①在上，若恒成立，即，；
②在上，若，則恒成立，即恒成立，
令，，則，所以在上單調遞增，
所以，所以，綜上所述，實數的取值范圍為．
故選：B．
【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．
23．設a，b都為正數，e為自然對數的底數，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】把不等式進行變形，引入函數，由導數確定函數單調性，由單調性及不等關系得結論．
【詳解】由已知，，則．
設，則．
因為，則．又，則，即，從而．
當時，，則在內單調遞增，
所以，即，
故選：B．
24．已知不等式恒成立，則實數的最大值為 .
【答案】
【分析】將不等式轉化為，構造函數，研究函數單調性，將問題轉化為恒成立，再運用分離參數法求最值即可.
【詳解】因為，所以，.
即.
令，易知在上單調遞增，
又，
所以恒成立，即恒成立.
所以.
令，，則，，
由，，
則在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
所以，即，
故實數的最大值為.
故答案為：.
【點睛】同構法的三種基本模式：
①乘積型，如可以同構成，進而構造函數；
②比商型，如可以同構成，進而構造函數；
③和差型，如，同構后可以構造函數或.
分離參數法解決恒(能)成立問題的策略：
（1）分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．
（2）恒成立；恒成立；
能成立；能成立.
25．已知不等式對任意的恒成立，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據已知條件構造函數，將原問題轉化為在上的單調性求解即可.
【詳解】因為，
所以，
即，
令，所以，
令，所以，
所以當時，，
所以函數在上單調遞增，
所以，即，
又，所以在上單調遞增，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
所以有，
故答案為：.
【點睛】方法點睛：
對于導數求參數取值范圍問題，一般情況有以下幾步：
① 分離參數
② 構造新函數
③對函數求導，分析單調性
④通過函數單調性分析即可解決問題
特別難的時候往往還需要進行二次求導進行分析.
題型五 利用導數求立體幾何中的最值
26．一個矩形鐵皮的長為，寬為，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，若記小正方形的邊長為，小盒子的容積為，則（ ）
A．當時，V取得最小值 B．當時，V取得最大值
C．當時，V取得最小值 D．當時，V取得最大值
【答案】B
【分析】求出小盒子的容積，通過求導判斷函數的極值情況即可求解.
【詳解】小盒子的容積為，
則，令，解得或（舍），
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，取得極大值也是最大值，無極小值，故B正確.
故選：B.
27．已知正四棱錐內接于表面積為的球，則此四棱錐體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設出正四棱錐的高，然后將正四棱錐的體積表示為關于的函數，利用導數確定的單調性，從而可求的最大值，則體積最大值可知.
【詳解】設為底面的中心，則三點共線，連接，
因為球的表面積為，所以球的半徑，
設四棱錐的高為，
則，
所以正四棱錐的體積，
令，則，
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，
所以當時，取得最大值，即該四棱錐體積的最大值為.
故選：A.
28．已知圓錐的母線長為4，當圓錐的體積最大時，其表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，設圓錐的底面圓的半徑為，高為，求得圓錐的體積為，令，求得，求得函數的單調性，得到時，圓錐的體積取得最大值，再結合圓錐的側面積和圓的面積公式，即可求解.
【詳解】設圓錐的底面圓的半徑為，高為，則，
則圓錐的體積為，
令，可得，令，解得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
所以，當時，取得最大值，即圓錐的體積取得最大值，
此時，圓錐的表面積為.
故選：C.
29．（多選）將圓柱的下底面圓置于球的一個水平截面內，恰好使得與水平截面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓的圓周始終與球的內壁相接（球心在圓柱內部）．已知球的半徑為3，．若為上底面圓的圓周上任意一點，設與圓柱的下底面所成的角為，圓柱的體積為，則（ ）
A．可以取到中的任意一個值
B．
C．的值可以是任意小的正數
D．
【答案】BD
【分析】先畫出平面圖，得到圓柱的底面半徑，高為，代入圓柱體積公式求解，再令，利用導數求最值.
【詳解】
過R作圓柱的軸截面，過O作交圓柱軸截面的邊于M，N，
由與圓柱的下底面所成的角為，則，所以，
即，故B正確；
當點P，Q均在球面上時，角取得最小值，此時，所以，
所以，故A錯誤；
令，所以，
所以，另，
解得兩根，
所以，
所以在時單調遞減，
所以，故D正確，C錯誤；
故選：BD．
【點睛】關鍵點睛：本題主要考查運用導數求最值的方法，難度較大，解決問題的關鍵在于先畫出平面圖，得到圓柱的底面半徑，高為，代入圓柱體積公式求解，再令，利用導數求最值.
30．已知正四棱錐的頂點均在球的表面上.若正四棱錐的體積為1，則球體積的最小值為 .
【答案】/
【分析】由底面外接圓的半徑、正四棱錐的高以及外接球的半徑的關系，結合已知條件可得，故只需求出外接球半徑的最小值即可.
【詳解】設球的半徑為，正四棱錐的高、底面外接圓的半徑分別為，.
如圖，球心在正四棱錐內時，由，可得，
即（*）.

球心在正四棱錐外時，亦能得到（*）式.
又正四棱錐的體積為，則，代入（*）式可得.
通過對關于的函數求導，即，
易得函數在單調遞減，在單調遞增，
則.從而，球的體積的最小值.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：關鍵是首先得到，從而通過導數求得外接球半徑的最小值即可順利得解.
31．在邊長為2的等邊三角形中，點（與不重合）在邊上，于點，將沿折起，連接，得到四棱錐，則四棱錐的體積的最大值為 ．
【答案】/
【分析】設，，計算，求導得到導函數，確定函數的單調區間，計算最值得到答案.
【詳解】如圖所示：設，，則，，
則，，
對于確定的點，當平面時，四棱錐的體積最大，
，，
當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，
當時，.
故答案為：.
題型六 恒成立問題
32．若對任意的，且，都有成立，則的最大值為（ ）
A． B．1 C．e D．
【答案】A
【分析】將已知不等式變形為，令，將問題轉化為在上單調遞增，利用導數可求得單調性，由此可得的最大值.
【詳解】由可得，
由,且,所以，即，
令，則在上單調遞增，
所以，令，則,
當時，，此時在上單調遞增；
當時，，此時在上單調遞減；
所以，故.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是將恒成立的不等式變形為同一函數不同函數值之間大小關系的比較問題，通過構造函數的方式，將問題轉化為函數在區間內單調的問題.
33．當時，恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，化簡得到在上恒成立，令，求得，得到在上單調遞增，轉化為在上恒成立，令，利用求得函數的單調性和最大值，得到，即可求解.
【詳解】由題意，當時，恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，可得，所以在上單調遞增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
所以，所以，解得，
所以實數的取值范圍為.
故選：D.
【點睛】方法技巧：對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；
2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．
3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別．
34．若對任意實數，恒有成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】移項整理得，設，利用導數得到其單調性，分和討論即可.
【詳解】，
，
設，則，
設，則在上恒成立，
在上單調遞增，且，
當時，在單調遞增，
，即，
當時，則，不妨取，即，
當時，，時，，
在上單調遞減，在上單調遞增，
，
，
，即，而有在上恒成立，
，即，
綜上可得.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是移項整理，利用導數并分類討論求其最小值，對時需利用隱零點法求解其最值.
35．若不等式在上恒成立，e是自然對數的底數，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】將不等式化為，即得，討論的取值范圍，當時，構造函數，利用函數單調性可得，化為，繼而再構造函數，利用導數求其最值，即可求得答案.
【詳解】由題意知，，
所以，即,
①若，則，而，符合題意；
②若，令，則在恒成立，
∴在單調遞增，又，，，
∴由，得；
由在恒成立，則可化為，
令，，
當時，；當時，，
在單調遞減，單調遞增，
∴，即有．綜上：，
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是結合的結構特點，合理變形為，即而化為，從而可采用構造函數的方法，利用導數即可求解問題.
36．已知，且，若恒成立，則的取值范圍 ．
【答案】
【分析】依題意可得恒成立，令，，利用導數說明函數的單調性，即可得到在上恒成立，參變分離可得，則，利用導數求出，的最大值即可.
【詳解】因為，且時恒成立，則恒成立，
當時，，顯然恒成立，
則當時，恒成立，
則當時，恒成立，
令，，則，
所以在上單調遞增，
則由，即，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
則，所以當時，當時，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，所以.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題根據是將不等式同構成，結合的單調性得到，再參變分離.
37．已知函數，若關于x的不等式（e是自然對數的底數）在R上恒成立，則a的取值范圍 ．
【答案】
【分析】首先畫出函數的圖象，再利用數形結合，通過直線與的圖象相切時的臨界值，即可求解的取值范圍.
【詳解】在上恒成立，等價于的圖象恒在直線的上方，
，兩邊平方后得，
所以的圖象是以為圓心，半徑為1，并且在軸的下半部分的半圓，
，，得，
當時，，函數在單調遞減，
當時，，函數在單調遞增，
當時，函數取得最小值，
如圖，畫出函數的圖象：
直線恒過定點，當直線與相切時，
設切點，
，可得，由，解得：，
則切線的斜率為2，
當直線與，相切時，直線與半圓相切，由，解得：，
由圖可知，的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是正確畫出函數的圖象，并會根據直線與曲線相切，求直線的斜率.
38．設實數，對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】將化簡為，再構造函數，求導分析單調性可得在區間上恒成立，再參變分離構造函數求最值解決恒成立問題即可.
【詳解】因為恒成立即，
可得，令，則恒成立.
又，故當時，，故在區間上為增函數.
又恒成立，則在區間上恒成立，即，.
構造，則，令有，
故當時，，為增函數；當時，，為減函數.
故，故，即.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區間上有最值，則
（1）恒成立： ；；
（2）能成立：；.
若能分離常數，即將問題轉化為：（或），則
（1）恒成立： ；；
（2）能成立：；.
題型七 零點問題
39．若函數在上沒有零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在上沒有零點，即上，則，構造函數，利用導數研究的值域即可得出結果.
【詳解】,
因為在上沒有零點，所以在上，
時，，
時，即可，令，且，
，
所以時，或，
所以時，，單調遞增，且，時，，單調遞減，時，，單調遞增，
，，時，.
所以的值域為，
因為，所以實數的取值范圍為.
故選：D
40．已知，分別是函數和的零點，且，，則 ．
【答案】1
【分析】求，判斷函數在上的單調性，根據函數零點及單調性可得，化簡可得的值.
【詳解】由題意可得，，
又，當時，，所以在上單調遞減，
因為，，且，
又，所以，所以．
故答案為：1.
41．若函數存在零點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】函數存在零點，轉化為方程在上有解，設函數，則有解，得到在有解，問題轉化為求在的最小值，利用導數分析函數的單調性，可求函數的最小值.
【詳解】由得，
設，則，∴在上單調遞增，
∴，∴，，，即．
所以存在零點等價于方程有解，
令，則，
當時，；
當時，，
所以在上為減函數，在上為增函數，
所以．
故選:B
【點睛】方法點睛：函數有零點，轉化為方程在上有解，設函數，則方程就轉化為有解，結合函數的單調性，轉化為.再設，問題就轉化為求函數的最小值問題，結合導數，分析函數單調性可解決問題.
42．（多選）已知函數，則（ ）
A．當時，函數恰有1個零點
B．當時，函數恰有2個極值點
C．當時，函數恰有2個零點
D．當函數恰有2個零點時，必有一個零點為2
【答案】ABD
【分析】求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區間，從而確定極值點的個數和零點個數，從而判斷選項的對錯.
【詳解】因為，
所以，
令，，
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以 ，
對于A：當時，，即恒成立，
所以在上單調遞增，
又，，
所以函數恰有1個零點，A正確；
對于B：當時，，
令，有，設，則，
當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
所以，作出圖象如下圖：
又，所以方程必有個根，
即必有兩個零點，設為，且，
當時，，即，
當時，，即，
當時，，即，
所以函數在上單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增，
即函數恰有2個極值點，B正確；
對于CD：當函數有2個零點時，或，
所以或，
將或代入得
或，
解得或，故C錯誤，D正確.
故選：ABD.
【點睛】方法點睛：導數問題要學會轉化，比如零點個數問題轉化方程根的個數，或者函數圖象交點個數.
43．，若有且只有兩個零點，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】當時，求導得到單調區間，根據平移和翻折得到函數圖象，變換得到，根據函數圖象得到或，解得答案.
【詳解】當時，，，
當時，，函數單調遞增；
當時，，函數單調遞減，且，
當時， ，其圖象可以由的圖象向左平移一個單位，
再向下平移個單位，再把軸上方的圖象翻折到軸下方得到，
畫出函數圖象，如圖所示：
，當時，，無零點；
當時，，即，
函數有兩個零點，即函數與函數的圖象有兩個交點，
根據圖象知：或，解得或.
故實數的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用導數解決函數的零點問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中畫出函數圖象，將零點問題轉化為函數圖象的交點問題是解題的關鍵，數形結合的思想需要熟練掌握.
44．若函數在上沒有零點，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由可得出，令，，分析可知，直線與曲線沒有交點，利用導數分析函數的單調性與極值，數形結合可得出實數的取值范圍.
【詳解】因為，則，
令，顯然，則，
令，，
則，
令，得，，列表如下：
增 極大值 減 減 極小值 增
所以，函數的增區間為、，減區間為、，
且極大值為，極小值為．
當時，，當時（從左邊趨于），；
當時（從右邊趨于），，
當時（從右邊趨于），.
由圖象可知，當時，直線與曲線沒有交點，
即在上沒有零點．
因此，實數的取值范圍是，
故答案為：.
【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；
（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數的圖象的交點問題
題型八 隱零點問題
45．函數的零點個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】求導可得函數的單調性，進而結合零點存在性定理即可求.
【詳解】，令，則，令，解得，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
故當時取最小值，
又，，
所以=0在上各有一解，所以有兩個零點，
故選：B.
46．已知函數，若有兩個零點，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據已知條件，分類討論求導函數判斷函數單調性及極值點，結合零點存在定理可得參數范圍.
【詳解】已知函數，函數的定義域為
，
當時，恒成立，所以在上單調遞減，故時，至多有一個零點；
當時，令得，當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增．
此時最小值為，
①當時，由于，故只有一個零點；
②當時，即，故沒有零點；
③當時，即，又
；
，
由零點存在定理知在上有一個零點；在有一個零點．
所以有兩個零點，a的取值范圍為；
故選:A．
47．若函數，在其定義域上只有一個零點，則整數a的最小值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】先根據零點存在定理判斷出在上有唯一實數根，于是時，無解，根據導數可判斷時，有最小值，只需最小值大于零即可.
【詳解】根據指數函數性質在上單調遞增，
故當時，則在上單調遞增，
，
根據零點存在定理，在存在唯一零點，
則當時，無零點
時，，
令，則，時，則；
在上單調遞減，在上單調遞增，
于是時，有最小值
依題意，，解得，所以最小整數為
故選：C
48．函數在區間上的零點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據導數與函數的單調性、最值的關系以及零點的存在性定理求解.
【詳解】對函數求導可得，，
記,則，
當時，，則，
當時，，則，
所以在上，，所以，所以單調遞增，
注意到，
所以必存在使得，
于是在上單調遞減，在上單調遞增，
又，
所以在區間上必存在一個零點.
綜上，函數在區間上有兩個零點.
故選:B.
49．（多選）設函數（a，），下列命題正確的是（ ）
A．若存在負零點，則
B．若，則有且只有一個零點
C．若有且只有兩個正零點，則
D．若且存在零點，則的零點都是正的
【答案】BC
【分析】對于A，D選項，研究的零點等價于考慮曲線與直線的交點，分析曲線趨勢即可判斷；對于B，可判斷出函數單調性，由零點存在性定理即可判斷；對于C，根據零點個數分析單調性，求出參數范圍.
【詳解】研究的零點等價于考慮曲線與直線的交點，其中a是直線的斜率．
對于A，D選項，取曲線上位于第二象限的點P，Q，
并固定點P（如圖所示）．

則當Q與y軸的距離充分大的時候，
直線PQ的斜率a可以無限趨近于0，并且直線PQ與y軸的交點位于的下方，
于是當且時，滿足，
此時曲線與直線的交點的橫坐標是負的，即的零點都是負的，故D選項錯誤；
而此時存在負零點，但不滿足，故A選項錯誤；
對于B選項，若，則在上單調遞增，
取，則，所以．
再取，則，所以，
所以有且只有一個零點，并且這個零點位于區間中，B選項正確；
對于C選項，若有且只有兩個正零點，
因為，而函數單調遞增，
所以至多只有一個極值點，且，
則這個極值點必為正，且，
并且在上單調遞減，在上單調遞增，
故必有，即，解得，故C選項正確．
故選：BC．
50．（多選）已知且，函數，則（ ）
A．若，則有且僅有1個零點
B．若，則在區間上單調遞減
C．若有兩個零點，則
D．若，則存在，使得當時，有
【答案】ABD
【分析】對于AC選項，構造函數，結合單調性和最值判斷解的個數，對于B選項，結合零點存在性定理判斷函數單調性，對于D選項，由對分析可知，存在，使得當時，不等式恒成立，即可判斷.
【詳解】對于A：時，.
則，即，
令時，，
在上，單調遞增，在上，單調遞減.
，所以此時有1個零點，所以A正確；
對于B：，
令為增函數，
，
因為，所以，則，所以，
所以在存在，使在上，在上，
所以在遞減，在遞增，且，
因為，所以，所以，
所以在上，所以在上遞減，所以B正確；
對于C：時，有，
令時，，
在上，單調遞增，在上，單調遞減.
，
當時，，有兩個零點，
當時，，有兩個零點，
所以C項錯誤；
對于D：因為，由對分析可知，存在，
使得當時，不等式恒成立，即，
則對于恒成立，所以D項正確.
故選：ABD.
【點睛】思路點睛：（1）利用導數研究函數的單調性、零點等問題，往往要先構造函數，再利用導數研究函數的有關性質，例如本題涉及指數函數和冪函數常常構造形如形式的函數；（2）對于方程無法直接求根時，往往需要二次求導.
1．若關于的不等式恒成立，則實數的最大值為（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】將題干不等式變形為，構造函數，利用函數的單調性將問題轉化為恒成立問題，令，利用導數研究函數最值即可求解.
【詳解】由題意得，，即，
令，因為，，所以函數在上單調遞增，
則不等式轉化為，所以，則.
令，則，
則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，
所以當時，有最小值，即，則的最大值為.
故選：B
2．已知，，，試比較，，的大小（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】構造函數以及，利用函數的單調性即可求解.
【詳解】設
則當時單調遞減，
故
故進而，
設
由于函數和均為定義域內的單調遞增函數，
所以為上的單調遞增函數，
因此，
故，
故，
因此，
故選：B
3．若，則滿足的大小關系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用構造函數法，結合導數來求得正確答案.
【詳解】由于，所以.
設，
在上單調遞增，
所以，所以當時，，
則，即.
設，
，
所以在上單調遞增，，
所以在上單調遞增，，
所以當時，，即，
所以，
而，所以，所以.
故選：A
【點睛】方法點睛：求解函數單調區間的步驟：
（1）確定的定義域；
（2）計算導數；
（3）求出的根；
（4）用的根將的定義域分成若干個區間，考查這若干個區間內的符號，進而確定的單調區間：，則在對應區間上是增函數，對應區間為增區間；，則在對應區間上是減函數，對應區間為減區間.
4．（多選）已知函數（ ）
A．在上單調遞增 B．在上單調遞增
C．在上有唯一零點 D．在上有最小值為
【答案】BD
【分析】求導，由單調性分析極值與零點逐一判斷即可.
【詳解】，
令，當時，，在上單調遞減，
當時，，在上單調遞增；
在上取極小值為，，，在上有兩個零點，，所以，A C錯，B D對，
故選：BD．
5．已知函數有兩個零點，且，則下列說法不正確的是（ ）
A． B．
C． D．有極小值點
【答案】C
【分析】求得函數的導數，得到函數的單調區間，確定函數的極小值，根據極小值小于0，判斷A；根據方程，指對互化，判斷B；根據極值點的位置，結合，即可判斷C；根據A的判斷，即可判斷D.
【詳解】由題意，函數，則，
當時，在上恒成立，所以函數單調遞增，不符合題意；
當時，令，解得，令，解得，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
因為函數有兩個零點且，
對A，則，且，
所以，解得，所以A正確；
對B，，且，，故，，
所以，所以B正確；
對C，由，且由A可知，，，則，但不能確定，
所以C不正確；
對D，由函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以函數的極小值點為，所以D正確；
故選：C.
6．已知函數，則下列結論錯誤的是（ ）
A．當時，若有三個零點，則b的取值范圍為
B．若滿足，則
C．若過點可作曲線的三條切線，則
D．若存在極值點，且，其中，則
【答案】B
【分析】對于A ，將代入求導求極值，有三個零點，則令極大值大于零，極小值小于零即可；
對于B ，根據，推斷函數的對稱性，進而可以求得的值；
對于C ，將代入得到的解析式，根據過某點處導數的幾何意義的求法求解即可；
對于D ，利用導數在函數單調性中的應用，先分和討論函數的單調性，得到且，此時可得的表達式，令，結合，再化簡即可得到答案.
【詳解】對于A ，，當時，，，
令，解得或，
在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；
當時取得極大值，當時取得極小值，
有三個零點，，解得，故選項A正確；
對于B ，滿足，根據函數的對稱可知的對稱點為，將其代入，得，
解得，故選項B錯誤；
對于C ，，
設切點為，則切線的斜率
化簡
由條件可知該方程有三個實根，有三個實根，
記，，
令，解得或，
當，，當，，當，，
所以當時，取得極大值，當時，取得極小值，
因為過點可作出曲線的三條切線，
所以，解得，故選項C正確；
對于D ，，，
當，在上單調遞增；
當，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；
存在極值點，
由得
令，
，于是，
所以
，
化簡得：，
，，于是，
.故選項D正確；
故選：B
7．（多選）已知為函數的零點，且，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C．若，則 D．
【答案】AC
【分析】根據零點的存在性定理求出的范圍，即可判斷AB；由題意可得，兩邊同時取對數，結合，即可判斷C；當時，函數有兩個不同的零點，即方程在上有兩個不同的實數根，分離參數可得方程在上有兩個不同的實數根，令，利用導數作出函數的圖象，結合函數圖象即可判斷D.
【詳解】令，則，
對于A，當時，因為函數都是增函數，
所以函數在上單調遞增，
又，
所以函數在上有唯一零點，且，
當時，，所以，
所以函數在上沒有零點，
所以，故A正確；
對于B，由A選項知，，，
所以，故B錯誤；
對于C，由A選項可知，
因為為函數的零點，
所以，兩邊同時取對數得，
因為，
所以，即，
所以，
聯立，消得，
則，解得，
又，所以，所以，故C正確；
對于D，由題意，當時，函數有兩個不同的零點，
即方程在上有兩個不同的實數根，
即方程在上有兩個不同的實數根，
即方程在上有兩個不同的實數根，
令，則，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
又當時，，當時，且，
如圖，作出函數的圖象，

由圖可知，所以，故D錯誤.
故選：AC.
【點睛】思路點睛：函數零點性質問題，注意利用零點滿足的方程構建零點之間的相互關系，同時注意將零點問題轉化函數圖象與水平直線的交點個數問題.
8．（多選）設函數，則（ ）
A．
B．函數有最大值
C．若，則
D．若，且，則
【答案】ACD
【分析】根據的解析式直接求解可對A判斷；利用導數求最值方法可對B判斷；結合給出的已知條件并利用A、B中的結論可對C、D判斷求解.
【詳解】對A，由題意知，所以，故A正確；
對B，由題意知的定義域為，，
當，，當，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以當時，取到極小值也是最小值，故B錯誤；
對C，當時，可得，由A知，
所以，
由B知恒成立，所以，故C正確；
對D，當時，得，又因為，所以，
由B知在上單調遞增，所以，又由A知，
所以，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：靈活運用已知條件，，并結合的對稱性和單調性進行求解.
9．已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】通過對進行分類討論，利用導數來判斷函數的單調性，再利用函數零點的存在性定理，判斷出函數在定義上的零點，進而得出結果．
【詳解】因為，所以
當時，有，解得，所以當時，有兩個零點，不符合題意；
當時，由，解得或，且有，，
當，，在區間上單調遞增；
當，，在區間上單調遞減；
當，，在區間上單調遞增；
又因為，，
所以，存在一個正數零點，所以不符合題意；
當時，令，解得或，且有，
當，，在區間上單調遞減；
當，，在區間上單調遞增；
當，，在區間上單調遞減；
又因為，，
所以，存在一個負數零點，要使存在唯一的零點，
則滿足，解得或，又因為，所以，
綜上，的取值范圍是．
故答案為：.
10．如圖，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，底面，.圓柱的底面在該四棱錐的底面上，當圓柱的側面積最大時，圓柱的底面半徑為 ；當圓柱體積最大時，圓柱的底面半徑為 .

【答案】 /0.5
【分析】在四棱錐內作正四棱柱，要使圓柱體側面積最大和體積最大，需其底面圓為正四棱柱的內切圓，設出圓柱的底面圓半徑為，高為，由比例關系得到，從而求出圓柱側面積關于半徑的關系式，得到其最大值及相應的半徑，再表達出圓柱體積關于高的關系式，求導得到其單調性和最值，得到答案.
【詳解】如圖，在四棱錐內作正四棱柱，
其中分別在棱上，
要使圓柱體側面積最大和體積最大，則需其底面圓為正四棱柱的內切圓，
連接，設圓柱的底面圓半徑為，高為，
則，，連接，則點在上，
在平面內，平行，則，即，
解得，，
圓柱側面積為，
故當時，圓柱側面積最大，
圓柱體積，，
則，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
故當時，圓柱體體積最大，此時，

故答案為：
11．已知函數，若，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由得，，令，利用導函數研究其單調性和最值即可得到結果.
【詳解】因為，若，則，
令，則
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
，所以，
故的最小值為.
故答案為：.
12．已知函數，方程有7個不同的實數解，則實數的取值范圍是 .
【答案】或
【分析】利用導數研究函數的性質，得單調性和極值，并作出函數的大致圖象，由，令，得或，然后分類和討論，它們一個有3個根，一個有4個根，由此可得參數范圍．
【詳解】因為，令，得到，解得或，
又當時，，則，
當時，，當時，，
即在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
又時，，時，，時，，
其圖像如圖，所以，當時，有2上解，有2個解，
又因為方程有7個不同的實數解，所以當時，有3個實數解，
又時，，則，
所以時，，時，，
即當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
又當時，，當時，，
又當時，有3個實數解，
所以或，
解得或，
故答案為：或.
【點睛】方法點睛：解決函數零點問題經常用到的方法就是數形結合，用導數研究函數的性質.重難培優03 導數常見壓軸小題
題型一 鑲嵌函數的根個數問題
1．已知函數，若方程有三個不同的實數解，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函數，則方程的根的個數是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．已知函數，方程有兩個不等實根，則下列選項正確的是（ ）
A．點是函數的零點 B．的取值范圍是
C．是的極大值點 D．，，使
4．已知函數,若關于的方程有且僅有4個不同的實數根，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
5．已知函數，若關于的方程有3個不同的實數根，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函數，若關于的方程有3個不同的實數根，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型二 雙變量問題
7．已知函數，若，且，，則（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數，，若，，使得，則實數a的取值范圍是 （ ）
A． B．
C． D．
9．設函數，若，且的最小值為，則a的值為（ ）
A． B． C． D．
10．已知函數，若且滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函數，，曲線上總存在兩點，，使得曲線在M，N兩點處的切線互相平行，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
12．已知函數，若，，使得，且，則的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
13．（多選）已知函數，，若，，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
題型三 構造函數比較大小
14．下列不等關系中錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
15．已知，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
16．若實數，，滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
17．若，則的大小關系為（　　）
A． B． C． D．
18．設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
19．若，b=1.2，c=ln3.2，則a，b，c的大小關系為（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>>c
題型四 指對同構問題
20．對任意，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
21．若，其中，，則（ ）
A． B． C． D．
22．若關于的不等式對恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
23．設a，b都為正數，e為自然對數的底數，若，則（ ）
A． B．
C． D．
24．已知不等式恒成立，則實數的最大值為 .
25．已知不等式對任意的恒成立，則實數的取值范圍是 .
題型五 利用導數求立體幾何中的最值
26．一個矩形鐵皮的長為，寬為，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，若記小正方形的邊長為，小盒子的容積為，則（ ）
A．當時，V取得最小值 B．當時，V取得最大值
C．當時，V取得最小值 D．當時，V取得最大值
27．已知正四棱錐內接于表面積為的球，則此四棱錐體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
28．已知圓錐的母線長為4，當圓錐的體積最大時，其表面積為（ ）
A． B．
C． D．
29．（多選）將圓柱的下底面圓置于球的一個水平截面內，恰好使得與水平截面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓的圓周始終與球的內壁相接（球心在圓柱內部）．已知球的半徑為3，．若為上底面圓的圓周上任意一點，設與圓柱的下底面所成的角為，圓柱的體積為，則（ ）
A．可以取到中的任意一個值
B．
C．的值可以是任意小的正數
D．
30．已知正四棱錐的頂點均在球的表面上.若正四棱錐的體積為1，則球體積的最小值為 .
31．在邊長為2的等邊三角形中，點（與不重合）在邊上，于點，將沿折起，連接，得到四棱錐，則四棱錐的體積的最大值為 ．
題型六 恒成立問題
32．若對任意的，且，都有成立，則的最大值為（ ）
A． B．1 C．e D．
33．當時，恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
34．若對任意實數，恒有成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
35．若不等式在上恒成立，e是自然對數的底數，則實數的取值范圍是 ．
36．已知，且，若恒成立，則的取值范圍 ．
37．已知函數，若關于x的不等式（e是自然對數的底數）在R上恒成立，則a的取值范圍 ．
38．設實數，對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍是 .
題型七 零點問題
39．若函數在上沒有零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
40．已知，分別是函數和的零點，且，，則 ．
41．若函數存在零點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
42．（多選）已知函數，則（ ）
A．當時，函數恰有1個零點
B．當時，函數恰有2個極值點
C．當時，函數恰有2個零點
D．當函數恰有2個零點時，必有一個零點為2
43．，若有且只有兩個零點，則實數的取值范圍是 ．
44．若函數在上沒有零點，則實數的取值范圍為 ．
題型八 隱零點問題
45．函數的零點個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
46．已知函數，若有兩個零點，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
47．若函數，在其定義域上只有一個零點，則整數a的最小值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
48．函數在區間上的零點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
49．（多選）設函數（a，），下列命題正確的是（ ）
A．若存在負零點，則
B．若，則有且只有一個零點
C．若有且只有兩個正零點，則
D．若且存在零點，則的零點都是正的
50．（多選）已知且，函數，則（ ）
A．若，則有且僅有1個零點
B．若，則在區間上單調遞減
C．若有兩個零點，則
D．若，則存在，使得當時，有
1．若關于的不等式恒成立，則實數的最大值為（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．已知，，，試比較，，的大小（ ）
A． B． C． D．
3．若，則滿足的大小關系式是（ ）
A． B． C． D．
4．（多選）已知函數（ ）
A．在上單調遞增 B．在上單調遞增
C．在上有唯一零點 D．在上有最小值為
5．已知函數有兩個零點，且，則下列說法不正確的是（ ）
A． B．
C． D．有極小值點
6．已知函數，則下列結論錯誤的是（ ）
A．當時，若有三個零點，則b的取值范圍為
B．若滿足，則
C．若過點可作曲線的三條切線，則
D．若存在極值點，且，其中，則
7．（多選）已知為函數的零點，且，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C．若，則 D．
8．（多選）設函數，則（ ）
A．
B．函數有最大值
C．若，則
D．若，且，則
9．已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是 ．
10．如圖，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，底面，.圓柱的底面在該四棱錐的底面上，當圓柱的側面積最大時，圓柱的底面半徑為 ；當圓柱體積最大時，圓柱的底面半徑為 .

11．已知函數，若，則的最小值為 .
12．已知函數，方程有7個不同的實數解，則實數的取值范圍是 .

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