資源簡介

6.2.1~6.2.2排列與排列數
1.通過實例理解排列的概念，并能用排列知識解決簡單的實際問題；
2.能利用排列數公式解決方程及不等式問題；
3.掌握幾種有限制條件的排列，能應用排列數公式解決簡單的實際問題
一、排列
①排列的定義：一般地，從n個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
②排列數、排列數公式：從n個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號表示，其中，，且.
二、排列問題
問題 方法
“在”與“不在”的有限制條件的排列問題 既可以從元素入手，也可以從位置入手，原則是誰“特殊”誰優先.
相鄰問題 “捆綁法”：把相鄰元素看作一個整體和其他元素一起排列，同時要注意捆綁元素的內部排列
不相鄰問題 “插空法”：先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空擋中
定序問題 先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
正面考慮比較復雜的問題 “間接法”，反面入手
考點01排列數的化簡及證明
1．計算的結果是（ ）
A．10 B．16 C．28 D．56
【答案】D
【分析】利用排列數公式，可直接求出結果.
【詳解】.
故選:
2．下列各式中與排列數相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根據排列數公式計算可得.
【詳解】因為，故A，B錯誤；
而，則，故D正確；
又，故C錯誤；
故選：D．
3．設，且，則（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先確定最大數，再確定因式的個數，即可得答案
【詳解】
先確定最大數，即，
再確定因式的個數，即，
所以.
故選：A
4．已知，那么（ ）
A．5 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】利用排列數公式計算可得答案.
【詳解】因為，
所以，
則.
故選：C.
5．（多選）下列等式中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用排列數公式，逐項計算判斷作答.
【詳解】對于A，，A正確；
對于B，，當時，，B錯誤；
對于C，，C正確；
對于D，，D正確.
故選：ACD
6．計算下列各式的值：
(1)；
(2)(，且)．
【答案】(1)3
(2)1
【分析】
（1）（2）根據排列數公式計算可得.
【詳解】（1）；
（2）
．
考點02排列數方程及不等式
7．不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據排列數的性質和計算公式化簡求其解即可.
【詳解】因為，
所以，
所以，
所以，又，，
所以，
所以不等式的解集為，
故選：D.
8．不等式，其中的解集為 ；
【答案】
【分析】
根據排列數公式化簡，即可求解.
【詳解】由題知，，且，
又，
即，
解得，故或，
所以，原不等式的解集為.
故答案為：
9．解關于正整數n的方程：．
【答案】
【分析】
根據排列數的計算公式即可求解.
【詳解】由排列數的定義，有由此解得．
此外，原方程可化為，
再化簡，可得，
即，即．舍去非整數的根，
故．
10．已知，求x的值．
【答案】.
【分析】根據給定條件，利用排列數公式直接計算作答.
【詳解】，化為：，
即，解得，
所以x的值為.
11．解下列方程或不等式．
(1)=2；
(2).
【答案】(1)n=5
(2)x=8
【分析】（1）根據條件，利用排列數公式即可求出結果；
（2）先利用排列數公式得到 ，從而得到，對根據排列數公式要求，求出的范圍，進而求出結果.
【詳解】（1）因為=2，
由，解得，
由原式可得，解得或或．
又因為，所以．
（2）因為<6，
由，解得且，
由原不等式可得，
化簡可得，解得，
又且，所以．
12．（1）解方程：；
（2）解不等式：.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據排列數的定義化簡可求解；
（2）根據排列數的定義化簡可求解.
【詳解】（1）原方程可化為，
化簡得，
解得，或，或，或.
由，得，且.
所以原方程的解為.
（2）原不等式可化為，其中，，整理得，即，
所以或.
因為，，所以，.
所以原不等式的解集為.
考點03排列的辨析
13．（多選）下列問題是排列問題的為（　　）
A．高二（1）班選名班干部去學校禮堂聽團課
B．某班名同學在假期互發微信
C．從1，2，3，4，5中任取兩個數字相除
D．10個車站，站與站間的車票
【答案】BCD
【分析】
根據排列的定義判斷即可.
【詳解】
對于A：不存在順序問題，不是排列問題；
對于B：存在順序問題，是排列問題；
對于C：兩個數相除與這兩個數的順序有關，是排列問題；
對于D：車票使用時有起點和終點之分，故車票的使用是有順序的，是排列問題．
故選：BCD
14．判斷正誤，正確的寫“正確”，錯誤的寫“錯誤”．
（1）123與321是相同的排列．( )
（2）同一個排列中，同一個元素不能重復出現．( )
（3）在一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列不發生變化．( )
（4）從4個不同元素中任取3個元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( )
【答案】 錯誤 正確 錯誤 錯誤
【分析】根據排列的定義逐一判斷即可.
【詳解】（1）根據排列的定義可得123與321是不相同的排列，故錯誤；
（2）根據排列的定義可知，同一個排列中，同一個元素不能重復出現，故正確；
（3）根據排列的定義知，在一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列發生變化，故錯誤；
（4）從4個不同元素中任取3個元素，還要按一定的順序排成一列才是排列，故錯誤.
故答案為：錯誤；正確；錯誤；錯誤.
15．從集合中任取兩個不同元素分別作為直線方程中的系數，，則所得直線有 條．
【答案】30
【分析】根據題意利用排列原理求解即可.
【詳解】從集合中任取2個數作為，兩數順序不同，表示的直線也不同，
所以所得直線有條.
故答案為：30.
16．下列問題是不是排列問題：
(1)選2個小組去種菜；
(2)選2個小組分別去植樹和種菜；
(3)高二（1）班有4個空位，安排從外校轉來的3個學生坐到這4個空位中的3個上；
(4)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員．
【答案】(1)不是排列問題
(2)排列問題
(3)排列問題
(4)排列問題
【分析】
（1）（2）（3）（4）根據排列的定義，對4個問題中是否存在排序問題進行逐一分析即可得出結論.
【詳解】（1）
不存在順序問題，不是排列問題．
（2）植樹和種菜是不同的，存在順序問題，是排列問題．
（3）從4個空位中選出3個座位，分別安排給3個學生，存在順序問題，是排列問題．
（4）
每個人的職務不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在順序問題，是排列問題．
17．下列問題是排列問題嗎
(1)從個人中選取兩個人去完成某項工作.
(2)從個人中選取兩個人擔任正、副組長.
【答案】(1)不是
(2)是
【分析】
（1）根據是否與順序有關判斷即可;
（2）根據是否與順序有關判斷即可.
【詳解】（1）因為甲和乙去和乙和甲去完成這項工作是同一種選法,與順序無關,所以不是排列問題;
（2）因為甲擔任組長乙擔任副組長,與甲擔任副組長乙擔任組長是不同選法,與順序有關,所以是排列問題.
18．從1、2、3、4、5這5個數字中，任取2個不同的數字作為一個點的坐標，一共可以組成多少個不同的點？
【答案】
【分析】根據坐標由橫坐標和縱坐標組成，直接利用排列數即可求解.
【詳解】因為坐標由橫坐標和縱坐標組成，且有一定的順序，
所以由排列數的定義可得滿足條件的坐標有：個，
故一共可以組成個不同的點.
考點04有限制的排列問題
19．甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法有（ ）
A．128種 B．96種 C．72種 D．48種
【答案】B
【分析】
分類討論：乙丙及中間人占據首四位、乙丙及中間人占據中間四位、乙丙及中間人占據尾四位，然后根據分類加法計數原理求得結果.
【詳解】因為乙和丙之間恰有2人，所以乙丙及中間人占據首四位或中間四位或尾四位，
當乙丙及中間人占據首四位，此時還剩最后2位，甲不在兩端，
第一步先排末位有種，第二步將甲和中間人排入有種，第三步排乙丙有種，
由分步乘法計數原理可得有種；
當乙丙及中間人占據中間四位，此時兩端還剩2位，甲不在兩端，
第一步先排兩端有種，第二步將甲和中間人排入有種，第三步排乙丙有種，
由分步乘法計數原理可得有種；
乙丙及中間人占據尾四位，此時還剩前2位，甲不在兩端，
第一步先排首位有種，第二步將甲和中間人排入有種，第三步排乙丙有種，
由分步乘法計數原理可得有種；
由分類加法計數原理可知，一共有種排法.
故選：B.
20．某單位春節共有四天假期，但每天都需要留一名員工值班，現從甲、乙、丙、丁、戊、己六人中選出四人值班，每名員工最多值班一天.已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，則值班安排共有（ ）
A．184種 B．196種 C．252種 D．268種
【答案】C
【分析】
采用間接法可直接得到答案.
【詳解】從甲、乙、丙、丁、戊、己六人中選出四人安排到假期的四天值班，一共有種方法；
甲在第一天值班有種方法；乙在第四天值班有種方法；
甲在第一天值班且乙在第四天值班有種方法；
因此從甲、乙、丙、丁、戊、己六人中選出四人值班，甲在第一天不值班，乙在第四天不值班共有種方法，
故選：C.
21．四名護士和一名醫生站成一排照相，則醫生站在正中間的不同站法有（ ）
A．64種 B．12種 C．120種 D．24種
【答案】D
【分析】
根據排列數結合分步乘法計數原理運算求解.
【詳解】根據題意，分2步進行分析：
①、將四名護士全排列，有種排法；
②、醫生站在正中間，有1種情況.
則5人不同的站法有種.
故選：D.
22．北京時間2023年10月26日19時34分，神舟十六號航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開“家門”，歡迎遠道而來的神舟十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮”．隨后，兩個航天員乘組拍下“全家福”，共同向全國人民報平安．若這6名航天員站成一排合影留念，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有（ ）
A．504種 B．432種 C．384種 D．240種
【答案】A
【分析】分景海鵬站最右邊與景海鵬不站最左邊與最右邊兩種情況討論
【詳解】由題意分為兩種情況：第一種情況：景海鵬站最右邊，共有種排法；
第二種情況：景海鵬不站最左邊與最右邊，則共有種排法，
故總共有種排法.
故選：A.
23．（多選）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個數字組成無重復數字的五位數，且1不能在個位，則關于這樣的五位數的個數，下列表示正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
根據排除法和分類法，以及排列數公式的化簡，即可判斷選項.
【詳解】
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個數字組成無重復數字的五位數，且1不能在個位，
排除法：從十個數字中任選五個進行排列，有個，1在個位和0在第一位的有個五位數，0在第一位且1在個位的有個五位數，
則符合題意的五位數共有（個），故C正確；
討論法：若有1，
若1在第一位，共有個五位數．
若1在第二，第三，第四位，共有個五位數，
若沒有1，第一位有種選法，剩下的四位有種選法，共有個五位數，
故有符合題意的個五位數，故D正確；
又，故B正確．
故選：BCD
24．如圖是一個正方體紙盒的展開圖，若把1，2，3，4，5，6分別填入小正方形后，按虛線折成正方體，若所得到的正方體相對面上的兩個數的和都相等，則不同的填法有 種．
【答案】48
【分析】
6個數分三組，放入三個對面，對面上兩個數字有2種安排方法，由乘法計數原理得解.
【詳解】將6個數分三組，每組中的兩個數填入一對面中，共有不同填法種．
故答案為：
考點05捆綁法及插空法
25．春節檔電影《熱辣滾燙》通過講述主人公的成長與蛻變，展示了熱情與堅韌如何成為人生道路上最強大的動力.它鼓勵觀眾保持對生活的熱愛和堅持，相信只要不放棄，就能夠找到屬于自己的光芒，實現夢想.甲、乙、丙等七人相約到電影院看電影《熱辣滾燙》，恰好買到了七張連號的電影票.若甲、乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數為（ ）
A．192 B．240 C．96 D．48
【答案】A
【分析】
丙坐在七人的正中間，則需列舉出甲、乙兩人相鄰的情況，安排甲乙的順序，再用排列法計算其他人即可.
【詳解】
解：丙在正中間（4號位），甲、乙兩人只能坐12，23或56，67號位，有4種情況，
考慮到甲、乙的順序有種情況，
剩下的4個位置其余4人坐，有種情況，
故不同的坐法的種數為.
故選：A.
26．2023年全國中學生數學奧林匹克競賽（決賽）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武漢市武鋼三中舉行，賽后來自某所學校的3名同學和2名老師站成一排合影，若兩名老師之間至少有一名同學，則不同的站法有（ ）種.
A．48 B．64 C．72 D．120
【答案】C
【分析】
利用插空法和分步乘法計數原理即可求解.
【詳解】根據題意，分兩步進行：
第一步：安排3名同學站成一排合影，不同的站法共種；
第二步：安排2名老師，采用插空法，不同的站法共種；
由分步乘法計數原理可得：不同的站法共種.
故選：C
27．某班級舉辦元旦晚會，一共有個節目，其中有個小品節目．為了節目效果，班級規定中間的個節目不能安排小品，且個小品不能相鄰演出，則不同排法的種數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先確定個小品的安排方式，再安排其余個節目，根據分步乘法計數原理可求得結果.
【詳解】用表示不安排中間且不相鄰的位置，則有，，，，，，，，，，，共種情況，
個小品有種安排方式；再安排其余個節目，共有種安排方式；
不同排法的種數有種.
故選：C.
28．某學校高二（1）班上午安排語文、數學、英語、體育、物理門課，要求第一節不安排體育，語文和數學必須相鄰，則不同的排課方法共有 種．
【答案】
【分析】先考慮第一節安排體育課，語文和數學必須相鄰的排法種數，接下來考慮語文和數學必須相鄰的情形，求出兩種情況下不同的排課方法種數，結合間接法可得結果.
【詳解】先考慮第一節安排體育課，語文和數學必須相鄰，則將數學與語文捆綁，形成一個大元素，共有種排法；
接下來只考慮語文和數學必須相鄰的情形，只需將數學與語文捆綁，形成一個大元素，共有種排法.
由間接法可知，不同的排法種數為種.
故答案為：.
29．陽春三月，草長鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉.三個家庭的3位媽媽帶著3名女寶和2名男寶共8人踏春.在沿行一條小溪時，為了安全起見，他們排隊前進，三位母親互不相鄰照顧孩子；3名女寶相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男寶打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面.則不同的排法種數共有 種（用數字作答）.
【答案】288
【分析】
根據給定條件，利用分步乘法計數原理，結合相鄰與不相鄰問題，列式計算即得.
【詳解】第一步：先將3名母親作全排列，共有種排法；
第二步：將3名女寶“捆綁”在一起，共有種排法；
第三步：將“捆綁”在一起的3名女寶作為一個元素，在第一步形成的2個空中選擇1個插入，有種排法；
第四步：首先將2名男寶之中的一人，插入第三步后相鄰的兩個媽媽中間，
然后將另一個男寶插入由女寶與媽媽形成的2個空中的其中1個，共有種排法.
所以不同的排法種數有：（種）.
故答案為：288
30．3名男生4名女生排成一行，在下列要求下分別求不同排列方法的數目
(1)甲不在最左邊乙不在最右邊
(2)男生必須排在一起
【答案】(1)3720
(2)720
【分析】
（1）利用位置分析法，結合排列的知識即可得解；
（2）利用捆綁法即可得解.
【詳解】（1）
依題意，先排最左邊，除去甲外，有種，
余下的6個位置全排有種
但應剔除其中乙在最右邊的排法數共種
則符合條件的排法共有種
（2）
將男生看成一個整體，進行全排列，有種排法
再與其他元素進行全排列，有種排法
故共有種
考點06倍縮法
31．甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封神榜》，恰好買到了六張連號的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側，則不同的坐法種數為（ ）
A．360 B．480 C．600 D．720
【答案】B
【分析】先求得六人的全排列數，結合題意，利用定序排列的方法，即可求解.
【詳解】由題意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有種不同的排法，
其中甲、乙、丙三人的全排列有種不同的排法，
其中甲、乙在丙的同側有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4種排法，
所以甲、乙兩人必須坐在丙的同一側，則不同的坐法種數為種.
故選：B.
32．某學習小組、、、、、、七名同學站成一排照相，要求與相鄰，并且在的左邊，在的右邊，則不同的站隊方法種數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將與捆綁，然后要求在的左邊，在的右邊，結合倍縮法可得結果.
【詳解】由題意可知，與相鄰，則將與捆綁，
然后要求在的左邊，在的右邊，
由捆綁法和倍縮法可知，不同的排法種數為種.
故選：C.
33．2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的順序一定，則有 種不同的排法．
【答案】360
【分析】根據定序問題即可得出答案.
【詳解】2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的順序一定，
∴共有種不同排法，
故答案為：360.
34．甲、乙、丙、丁、戊5名同學從周一至周五輪流安排寫作練習，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，則不同的排列方式共有 種.
【答案】18
【分析】先從除甲、乙外的3名學生中選出2名，安排在周一和周二，再將剩余3名學生安排在周三至周五，且甲在乙之前，再根據分步計數乘法原理可得答案.
【詳解】先從除甲、乙外的3名學生中選出2名，安排在周一和周二，共有種排列方式；
再將剩余3名學生安排在周三至周五，共有種排列方式.
又甲在乙之前，則不同的排列方式共有種.
故答案為：18.
35．A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必須站在A的右邊（A、B可以不相鄰），那么有多少種不同的排法？
【答案】
【分析】先求得五人全排列的排法，結合站在的右邊，利用定序排列的方法，即可求解.
【詳解】由題意得， 五人站成一排，共有種不同的排法，
其中與的站法中，有種，
所以站在的右邊，共有種不同的排法.
考點07間接法
36．某學校高二（1）班上午安排語文、數學、英語、體育、物理門課，要求第一節不安排體育，語文和數學必須相鄰，則不同的排課方法共有（　　）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】B
【分析】先考慮第一節安排體育課，語文和數學必須相鄰的排法種數，接下來考慮語文和數學必須相鄰的情形，求出兩種情況下不同的排課方法種數，結合間接法可得結果.
【詳解】先考慮第一節安排體育課，語文和數學必須相鄰，則將數學與語文捆綁，形成一個大元素，
將這個大元素與英語、物理課進行排序，共有種排法；
接下來只考慮語文和數學必須相鄰的情形，只需將數學與語文捆綁，形成一個大元素，
將這個大元素與其余門課進行排序，共有種排法.
由間接法可知，不同的排法種數為種.
故選：B.
37．3名男生，4名女生，全體站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端的站法有 種.
【答案】3720
【分析】
解法一，對特殊元素進行分類，結合排列數公式，即可求解；解法二，采用間接法，和排列數公式，即可求解；解法三，特殊位置優先法，列式求解.
【詳解】
解法一(特殊元素優先法)：按甲是否在最右端分兩類：
第一類：甲在最右端時有 (種)
第二類：甲不在最右端時，甲有個位置可選，而乙也有個位置，而其余全排
有 (種)
故 (種)．
解法二(間接法)：
無限制條件的排列數共有，
而甲在左端或乙在右端的排法都有，且甲在左端且乙在右端的排法有
故 (種)．
解法三(特殊位置優先法)：按最左端優先安排分步．
對于左端除甲外有種排法，余下六個位置全排有，但減去乙在最右端的排法種，
故(種)．
38．甲、乙等7名同學隨機站成一排，則甲、乙相鄰且甲不站兩端的不同排列方式有 種．
【答案】1200
【分析】根據給定條件，利用相鄰問題并結合排除法列式計算即可.
【詳解】把甲乙捆綁在一起視為一個對象，與其他5名同學作全排列，并考慮甲乙間的排列，有種，
其中甲站兩端之一的有種，
所以甲、乙相鄰且甲不站兩端的不同排列方式有（種）.
故答案為：1200
39．第三屆“一帶一路”國際高峰論壇于年月在北京召開，某記者與參會的名代表一起合影留念（人站成一排）.若記者不站兩端，且代表甲與代表乙相鄰的不同排法方式有 種.
【答案】
【分析】
先考慮代表甲與代表乙相鄰，利用捆綁法求出排法種數；然后考慮記者站兩端中的某個位置，且代表甲與代表乙相鄰，求出此時的排法種數.再利用間接法可求得結果.
【詳解】只考慮代表甲與代表乙相鄰，只需將這兩人捆綁，與剩余人進行排序，
共有種不同的排法，
若記者站兩端中的某個位置，且代表甲與代表乙相鄰，則記者有種站法，
然后將代表甲與代表乙捆綁，與剩余人進行排序，此時不同的站法種數為種，
因此，若記者不站兩端，且代表甲與代表乙相鄰的不同排法方式有種.
故答案為：.
40．國際冬奧會和殘奧會兩個奧運會將于年在北京召開，這是我國在年成功舉辦夏季奧運會之后的又一奧運盛事.某電視臺計劃在奧運會期間某段時間連續播放個廣告，其中個不同的商業廣告和個不同的奧運宣傳廣告，要求第一個和最后一個播放的必須是奧運宣傳廣告，且個奧運宣傳廣告不能兩兩相鄰播放，則不同的播放方式有 種.
【答案】
【分析】考慮第一個和最后一個播放的必須是奧運宣傳廣告的排法，以及第一個和最后一個播放的必須是奧運宣傳廣告，且個奧運宣傳廣告兩兩相鄰播放的排法種數，作差可得結果.
【詳解】先考慮第一個和最后一個播放的必須是奧運宣傳廣告的排法，共種，
然后考慮第一個和最后一個播放的必須是奧運宣傳廣告，且個奧運宣傳廣告兩兩相鄰播放，
此時，不同的排法種數為種，
因此，滿足條件的不同的播放方式為種.
故答案為：.
基礎過關練
1．A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必須相鄰，那么排法種數為（　　）
A．24 B．120 C．48 D．60
【答案】C
【分析】將捆綁在一起，計算得到答案.
【詳解】將捆綁在一起，共有種排法.
故選：C.
2．已知，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由排列數公式判斷.
【詳解】因從到是個數，且，
故選：C．
3．用1、2、3、4這四個數字，組成沒有重復數字的四位數，其中偶數共有（ ）個
A．48 B．24 C．12 D．6
【答案】C
【分析】第一步，先從2、4選一個排在個位， 第二步，再把剩余三個數排在其他三個位置，然后由分步乘法原理可求得結果.
【詳解】第一步，先從2、4選一個排在個位，有2種方法；
第二步，再把剩余三個數排在其他三個位置，有種方法，
所以，由分步乘法原理可得，用1、2、3、4這四個數字，組成沒有重復數字的四位數，其中偶數共有個，
故選：C.
4．已知，則x等于（ ）
A．6 B．13 C．6或13 D．12
【答案】A
【分析】根據排列數公式，化簡計算，結合x的范圍，即可得答案.
【詳解】由題意得，
化簡可得，解得或6，
因為，所以且，故.
故選：A.
5．（多選）若一個三位數中十位上的數字比百位上的數字和個位上的數字都大，則稱這個數為“凸數”，如231、354等都是“凸數”，用1，2，3，4，5這五個數字組成無重復數字的三位數，則（ ）
A．組成的三位數的個數為60 B．在組成的三位數中，奇數的個數為30
C．在組成的三位數中，偶數的個數為30 D．在組成的三位數中，“凸數”的個數為20
【答案】AD
【分析】將個數字選個排列即可判斷A，確定個位，即可計算出奇數，從而判斷B、D，計算“凸數”時對十位分三種情況討論，即可判斷D.
【詳解】依題意，組成的三位數的個數為，故A正確；
個位為，或時，三位數是奇數，則奇數的個數為，故B錯誤；
則偶數有（個），故C錯誤；
將這些“凸數”分為三類：
①十位為，則有（種），
②十位為，則有（種），
③十位為，則有（種），
所以在組成的三位數中，“凸數”的個數為，故D正確．
故選：AD．
6．（多選）下列等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
根據排列數的計算公式即可結合選項逐一求解.
【詳解】，故A正確；
由上述可知，因此，故B錯誤；
，故C正確；
由上述可知，故D錯誤.
故選:AC.
7．寧德北路戲是珍貴的國家非物質文化邀產．在某次文化表演中，主辦方安排了《濟公傳》、《反五關》、《龍虎斗》、《宏珵緣》、《旗王哭將》五個北路戲傳統劇目，其中要求《宏碧緣》與《旗王哭將》不相鄰，則不同的節目安排種數為 （用數字作答）．
【答案】
【分析】先將《濟公傳》、《反五關》、《龍虎斗》三個節目進行排序，然后將《宏碧緣》與《旗王哭將》兩個節目插入《濟公傳》、《反五關》、《龍虎斗》這三個節目中形成的四個空位中的兩個空位，利用插空法可得結果.
【詳解】先將《濟公傳》、《反五關》、《龍虎斗》三個節目進行排序，
然后將《宏碧緣》與《旗王哭將》兩個節目插入《濟公傳》、《反五關》、《龍虎斗》這三個
節目中形成的四個空位中的兩個空位，
由分步乘法計數原理可知，不同的排法種數為種.
故答案為：.
8．五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”．中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，若把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、角、羽三音階不全相鄰，則可排成不同的音序種數是 ．
【答案】84
【分析】先考慮所有情況，再減去不滿足的情況即可.
【詳解】先考慮五個音階任意排列，有種情況，
再減去宮、角、羽三音階都相鄰的情況，
把宮、角、羽三音階看做一個一個整體，則一共變成3個元素，有種情況，
而宮、角、羽三音階又可以任意排列，有種情況，
所以一共的音序有種，
故答案為：84
9．從集合中任取個元素分別作為直線方程中的、、，所得的經過坐標原點的直線有 條用數值表示
【答案】
【分析】先根據條件知道，再根據計算原理計算即可．
【詳解】解：若直線方程經過坐標原點，則，
那么，任意取兩個即可，有.
故答案為：．
10．用0，1，2，3，4，5這六個數字可以組成多少個符合下列條件的無重復的數字：
(1)六位奇數；
(2)個位數字不是5的六位數；
(3)比400000大的正整數.
【答案】(1)288
(2)504
(3)240
【分析】（1）先在個位排1個奇數，然后在首位排除0之外的數字，再利用分步乘法計數原理可求得結果；
（2）分兩類，個位數字是0，和不是0，利用兩個計數原理進行求解即可；
（3）要比400000大，首位必須是4或5，其余位數全排列，從而利用分步計數原理即可得解．
【詳解】（1）先排個位數，有種，
因為0不能在首位，再排首位有種，最后排其它有，
根據分步計數原理得，六位奇數有；
（2）因為0是特殊元素，分兩類，個位數字是0，和不是0，
當個位數是0，有，
當個位不數是0，有，
根據分類計數原理得，個位數字不是5的六位數有；
（3）要比400000大，首位必須是4或5，其余位數全排列即可，
所以有（個）.
11．（1）解不等式：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用排列數公式后解不等式，求出的范圍，再由可求出的值，
（2）利用排列數公式化簡計算即可
【詳解】（1）由題意得，化簡得，
即，所以．
因為，且，所以不等式的解集為．
（2）易知所以，，
由，得，
化簡得，
解得，（舍去），（舍去）．
所以原方程的解為．
12．某班級周六的課程表要排入歷史、語文、數學、物理、體育、英語共6節課．
(1)如果數學和語文必須排在一起，則有多少種不同的排法？
(2)語文必須排第一課，物理和數學不能排一起，則不同的排法有多少種？
(3)如果第一節不排體育，最后一節不排數學，那么共有多少種不同的排法？
(4)如果數學必須比語文先上，語文比英語先上（三課不一定連續上），則共有多少種不同的排法？
(5)原定的6節課已經排好，學校臨時通知要增加生物、化學、地理3節課，若將這3節課插入原課表中且原來的6節課相對順序不變，那么共有多少種不同的排法？
（答題要求：寫上必要的文字說明，先列式，后計算）
【答案】(1)240；
(2)72；
(3)484；
(4)120；
(5)504.
【分析】
（1）利用捆綁法可解；
（2）利用插空法可解；
（3）對數學是否排在第一節分類討論即可；
（4）定序問題利用除法可得；
（5）分步將3科插入空位可解.
【詳解】（1）第一步，先將數學和語文排在一起，有種排法；
第二步，將數學和語文看成一個整體，與歷史、物理、體育、英語一起全排，有種排法，
所以，數學和語文必須排在一起共有種排法.
（2）第一步，先排語文，有1種排法；
第二步，將歷史、體育、英語排成一排，有種排法；
第三步，在第二步產生的4個空位中插入物理和數學，有種排法.
所以，總的排法有種排法.
（3）第一類，第一節排數學，其余五節任意排，有種排法；
第二類，第1步，從歷史、語文、物理、英語中選一科排在第一節，有4種排法，
第2步，再從剩下的4個學科（不包括數學）中選一科排在最后一節，有4種排法，
第3步，中間4節任意排，有種排法，
所以，總的排法有.
綜上，滿足條件的排法有種.
（4）數學、語文、英語的上課順序共有種，滿足條件的順序只有1種，
故滿足條件的排法有種.
（5）第一步，先在7個空位中選擇一個空位排生物，有7種；
第二步，在排入生物之后產生的8個空位選擇一個空位排化學，有8種；
第三步，在排入化學之后產生的9個空位選擇一個空位排地理，有9種.
所以，總的排法有種.
能力提升練
1．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（ ）
A．20種 B．16種 C．12種 D．8種
【答案】B
【分析】
分類討論：乙丙及中間人占據首四位、乙丙及中間人占據尾四位，然后根據分類加法計數原理求得結果.
【詳解】因為乙和丙之間恰有人，所以乙丙及中間人占據首四位或尾四位，
①當乙丙及中間人占據首四位，此時還剩末位，故甲在乙丙中間，
排乙丙有種方法，排甲有種方法，剩余兩個位置兩人全排列有種排法，
所以有種方法；
②當乙丙及中間人占據尾四位，此時還剩首位，故甲在乙丙中間，
排乙丙有種方法，排甲有種方法，剩余兩個位置兩人全排列有種排法，
所以有種方法；
由分類加法計數原理可知，一共有種排法，
故選：B.
2．將5個1，5個2，5個3，5個4，5個5共25個數填入一個5行5列的表格內（每格填入1個數），使得同一行中任何兩數之差的絕對值不超過2，設第行的所有數的和為（，2，3，4，5），為，，，，中的最小值，則m的最大值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】根據題意，由5個1分布的列數不同情形進行討論，即可確定的最大值.
【詳解】解：依據5個1分布的列數的不同情形進行討論,確定的最大值.
(1)若5個1分布在同一列，則；
(2)若5個1分布在兩列中，則由題意知這兩列中出現的最大數至多為3，
故,故；
(3)若5個1分布在三列中，則由題意知這三列中出現的最大數至多為3，
故，故；
(4)若5個1分布在至少四列中，則其中某一列至少有一個數大于3，這與已知矛盾.
綜上所述，；
另一方面，如下表的例子說明可以取到10.
1 1 1 4 5
1 1 2 4 5
2 2 2 4 5
3 3 2 4 5
3 3 3 4 5
故選：C.
3．不等式的解集為（ ）
A．{2，8} B．{2，6}
C．{7，12} D．{8}
【答案】D
【解析】直接根據排列數公式展開，再解不等式，即可得答案.
【詳解】
，解得：.
又，
，即.
故選：D
【點睛】本題考查排列數公式的計算、不等式求解，考查基本運算求解能力.
4．(多選)7名學生，站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端，不同排法的種數為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】分別應用特殊元素優先法，間接法，特殊元素優先法判斷各個選項即可.
【詳解】特殊元素優先法:按甲是否在最右端分兩類：
第一類，甲在最右端，有種方法；
第二類，甲不在最右端，甲有個位置可選，乙也有個位置可選，其余5人有種排法，即種方法．故有種方法,A選項正確．
間接法：無限制條件的排列方法共有種，
而甲在最左端的排法分別有種，乙在最右端的排法分別有種，
甲在最左端且乙在最右端的排法有種．
故有種方法,B選項正確,D選項錯誤．
特殊元素優先法：按最左端先安排分步．
對于最左端除甲外有種排法，余下六個位置全排列有種排法，其中甲不在最左端，乙在最右端的排法有種．
故有種方法，D選項正確.
故選:ABC
5．某數學興趣小組用紙板制作正方體教具，現給圖中的正方體展開圖的六個區域涂色，有紅、橙、黃、綠四種顏色可選，要求制作出的正方體相鄰面所涂顏色均不同，共有 種不同的涂色方法.
【答案】
【分析】先涂，再分與同色、與不同色兩種情況討論，利用分步、分類計數原理計算可得.
【詳解】如圖，還原回正方體后，、為正方體前后兩個對面，、為左右兩個對面，、為上下兩個對面，

先涂有種涂法，
當與同色，再涂有種涂法，
若與同色，則有種涂法，最后涂有種涂法，
若與不同色，則有種涂法，最后涂有種涂法，
則有種涂法；
當與不同色，則涂有種涂法，涂有種涂法，此時與必同色且只有一種涂法，也只有種涂法，
則有，
綜上可得一共有種涂法.
故答案為：
6．設為，，，，，的一個排列，則滿足的不同排列的個數為 .
【答案】
【分析】根據題意，分析可得需要將，，，，，分成組，其中和，和，和必須在一組，進而分步進行分析：首先分析每種個數之間的順序，再將分好的三組對應三個絕對值，最后由分步計數原理計算可得答案．
【詳解】根據題意，若，則，
需要將，，，，，分成組，其中和，和，和必須在一組，
每組個數，考慮其順序，有種情況，三組共有種順序，
將三組全排列，對應三個絕對值，有種情況，
則不同排列的個數為；
故答案為：．
7．求證：（，，且）．
【答案】證明見解析
【分析】利用排列數計算公式化簡計算等式左邊即可得證.
【詳解】依題意，左邊
右邊，
所以原等式成立．
8．名男生和名女生（包含甲、乙）站成一排表演節目．
(1)若這名女生不能相鄰，有多少種不同的排法？
(2)甲乙必須相鄰，有多少種不同的排法？
(3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少種不同的排法？
【答案】(1)2880
(2)10080
(3)30960
【分析】（1）先排名男生，再將名女生插入名男生產生的個空中，利用插空法求解即可；（2）利用捆綁法求解即可；（3）分甲站在右端和甲不站在右端兩種情況，求解即可．
【詳解】（1）要使這名女生不相鄰，可以先排名男生，
再將名女生插入名男生產生的個空中，
所以這名女生不相鄰的排法有種．
（2）利用捆綁法，把甲和乙捆在一起，看作一個人，
則不同的排法有種；
（3）甲站在右端，其余人全排列，有種排法．
甲不站在右端有種排法，乙有種排法，其余人全排，有種排法．
故一共有種排法．6.2.1~6.2.2排列與排列數
1.通過實例理解排列的概念，并能用排列知識解決簡單的實際問題；
2.能利用排列數公式解決方程及不等式問題；
3.掌握幾種有限制條件的排列，能應用排列數公式解決簡單的實際問題
一、排列
①排列的定義：一般地，從n個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
②排列數、排列數公式：從n個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號表示，其中，，且.
二、排列問題
問題 方法
“在”與“不在”的有限制條件的排列問題 既可以從元素入手，也可以從位置入手，原則是誰“特殊”誰優先.
相鄰問題 “捆綁法”：把相鄰元素看作一個整體和其他元素一起排列，同時要注意捆綁元素的內部排列
不相鄰問題 “插空法”：先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空擋中
定序問題 先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
正面考慮比較復雜的問題 “間接法”，反面入手
考點01排列數的化簡及證明
1．計算的結果是（ ）
A．10 B．16 C．28 D．56
2．下列各式中與排列數相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．設，且，則（　　）
A． B．
C． D．
4．已知，那么（ ）
A．5 B．9 C．10 D．11
5．（多選）下列等式中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
6．計算下列各式的值：
(1)；
(2)(，且)．
考點02排列數方程及不等式
7．不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
8．不等式，其中的解集為 ；
9．解關于正整數n的方程：．
10．已知，求x的值．
11．解下列方程或不等式．
(1)=2；
(2).
12．（1）解方程：；
（2）解不等式：.
考點03排列的辨析
13．（多選）下列問題是排列問題的為（　　）
A．高二（1）班選名班干部去學校禮堂聽團課
B．某班名同學在假期互發微信
C．從1，2，3，4，5中任取兩個數字相除
D．10個車站，站與站間的車票
14．判斷正誤，正確的寫“正確”，錯誤的寫“錯誤”．
（1）123與321是相同的排列．( )
（2）同一個排列中，同一個元素不能重復出現．( )
（3）在一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列不發生變化．( )
（4）從4個不同元素中任取3個元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( )
15．從集合中任取兩個不同元素分別作為直線方程中的系數，，則所得直線有 條．
16．下列問題是不是排列問題：
(1)選2個小組去種菜；
(2)選2個小組分別去植樹和種菜；
(3)高二（1）班有4個空位，安排從外校轉來的3個學生坐到這4個空位中的3個上；
(4)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員．
17．下列問題是排列問題嗎
(1)從個人中選取兩個人去完成某項工作.
(2)從個人中選取兩個人擔任正、副組長.
18．從1、2、3、4、5這5個數字中，任取2個不同的數字作為一個點的坐標，一共可以組成多少個不同的點？
考點04有限制的排列問題
19．甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法有（ ）
A．128種 B．96種 C．72種 D．48種
20．某單位春節共有四天假期，但每天都需要留一名員工值班，現從甲、乙、丙、丁、戊、己六人中選出四人值班，每名員工最多值班一天.已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，則值班安排共有（ ）
A．184種 B．196種 C．252種 D．268種
21．四名護士和一名醫生站成一排照相，則醫生站在正中間的不同站法有（ ）
A．64種 B．12種 C．120種 D．24種
22．北京時間2023年10月26日19時34分，神舟十六號航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開“家門”，歡迎遠道而來的神舟十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮”．隨后，兩個航天員乘組拍下“全家福”，共同向全國人民報平安．若這6名航天員站成一排合影留念，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有（ ）
A．504種 B．432種 C．384種 D．240種
23．（多選）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個數字組成無重復數字的五位數，且1不能在個位，則關于這樣的五位數的個數，下列表示正確的有（ ）
A． B．
C． D．
24．如圖是一個正方體紙盒的展開圖，若把1，2，3，4，5，6分別填入小正方形后，按虛線折成正方體，若所得到的正方體相對面上的兩個數的和都相等，則不同的填法有 種．
考點05捆綁法及插空法
25．春節檔電影《熱辣滾燙》通過講述主人公的成長與蛻變，展示了熱情與堅韌如何成為人生道路上最強大的動力.它鼓勵觀眾保持對生活的熱愛和堅持，相信只要不放棄，就能夠找到屬于自己的光芒，實現夢想.甲、乙、丙等七人相約到電影院看電影《熱辣滾燙》，恰好買到了七張連號的電影票.若甲、乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數為（ ）
A．192 B．240 C．96 D．48
26．2023年全國中學生數學奧林匹克競賽（決賽）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武漢市武鋼三中舉行，賽后來自某所學校的3名同學和2名老師站成一排合影，若兩名老師之間至少有一名同學，則不同的站法有（ ）種.
A．48 B．64 C．72 D．120
27．某班級舉辦元旦晚會，一共有個節目，其中有個小品節目．為了節目效果，班級規定中間的個節目不能安排小品，且個小品不能相鄰演出，則不同排法的種數是（ ）
A． B． C． D．
28．某學校高二（1）班上午安排語文、數學、英語、體育、物理門課，要求第一節不安排體育，語文和數學必須相鄰，則不同的排課方法共有 種．
29．陽春三月，草長鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉.三個家庭的3位媽媽帶著3名女寶和2名男寶共8人踏春.在沿行一條小溪時，為了安全起見，他們排隊前進，三位母親互不相鄰照顧孩子；3名女寶相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男寶打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面.則不同的排法種數共有 種（用數字作答）.
30．3名男生4名女生排成一行，在下列要求下分別求不同排列方法的數目
(1)甲不在最左邊乙不在最右邊
(2)男生必須排在一起
考點06倍縮法
31．甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封神榜》，恰好買到了六張連號的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側，則不同的坐法種數為（ ）
A．360 B．480 C．600 D．720
32．某學習小組、、、、、、七名同學站成一排照相，要求與相鄰，并且在的左邊，在的右邊，則不同的站隊方法種數為（ ）
A． B． C． D．
33．2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的順序一定，則有 種不同的排法．
34．甲、乙、丙、丁、戊5名同學從周一至周五輪流安排寫作練習，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，則不同的排列方式共有 種.
35．A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必須站在A的右邊（A、B可以不相鄰），那么有多少種不同的排法？
考點07間接法
36．某學校高二（1）班上午安排語文、數學、英語、體育、物理門課，要求第一節不安排體育，語文和數學必須相鄰，則不同的排課方法共有（　　）
A．種 B．種 C．種 D．種
37．3名男生，4名女生，全體站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端的站法有 種.
38．甲、乙等7名同學隨機站成一排，則甲、乙相鄰且甲不站兩端的不同排列方式有 種．
39．第三屆“一帶一路”國際高峰論壇于年月在北京召開，某記者與參會的名代表一起合影留念（人站成一排）.若記者不站兩端，且代表甲與代表乙相鄰的不同排法方式有 種.
40．國際冬奧會和殘奧會兩個奧運會將于年在北京召開，這是我國在年成功舉辦夏季奧運會之后的又一奧運盛事.某電視臺計劃在奧運會期間某段時間連續播放個廣告，其中個不同的商業廣告和個不同的奧運宣傳廣告，要求第一個和最后一個播放的必須是奧運宣傳廣告，且個奧運宣傳廣告不能兩兩相鄰播放，則不同的播放方式有 種.
基礎過關練
1．A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必須相鄰，那么排法種數為（　　）
A．24 B．120 C．48 D．60
2．已知，則等于（ ）
A． B． C． D．
3．用1、2、3、4這四個數字，組成沒有重復數字的四位數，其中偶數共有（ ）個
A．48 B．24 C．12 D．6
4．已知，則x等于（ ）
A．6 B．13 C．6或13 D．12
5．（多選）若一個三位數中十位上的數字比百位上的數字和個位上的數字都大，則稱這個數為“凸數”，如231、354等都是“凸數”，用1，2，3，4，5這五個數字組成無重復數字的三位數，則（ ）
A．組成的三位數的個數為60 B．在組成的三位數中，奇數的個數為30
C．在組成的三位數中，偶數的個數為30 D．在組成的三位數中，“凸數”的個數為20
6．（多選）下列等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．寧德北路戲是珍貴的國家非物質文化邀產．在某次文化表演中，主辦方安排了《濟公傳》、《反五關》、《龍虎斗》、《宏珵緣》、《旗王哭將》五個北路戲傳統劇目，其中要求《宏碧緣》與《旗王哭將》不相鄰，則不同的節目安排種數為 （用數字作答）．
8．五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”．中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，若把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、角、羽三音階不全相鄰，則可排成不同的音序種數是 ．
9．從集合中任取個元素分別作為直線方程中的、、，所得的經過坐標原點的直線有 條用數值表示
10．用0，1，2，3，4，5這六個數字可以組成多少個符合下列條件的無重復的數字：
(1)六位奇數；
(2)個位數字不是5的六位數；
(3)比400000大的正整數.
11．（1）解不等式：；
（2）解方程：．
12．某班級周六的課程表要排入歷史、語文、數學、物理、體育、英語共6節課．
(1)如果數學和語文必須排在一起，則有多少種不同的排法？
(2)語文必須排第一課，物理和數學不能排一起，則不同的排法有多少種？
(3)如果第一節不排體育，最后一節不排數學，那么共有多少種不同的排法？
(4)如果數學必須比語文先上，語文比英語先上（三課不一定連續上），則共有多少種不同的排法？
(5)原定的6節課已經排好，學校臨時通知要增加生物、化學、地理3節課，若將這3節課插入原課表中且原來的6節課相對順序不變，那么共有多少種不同的排法？
（答題要求：寫上必要的文字說明，先列式，后計算）
能力提升練
1．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（ ）
A．20種 B．16種 C．12種 D．8種
2．將5個1，5個2，5個3，5個4，5個5共25個數填入一個5行5列的表格內（每格填入1個數），使得同一行中任何兩數之差的絕對值不超過2，設第行的所有數的和為（，2，3，4，5），為，，，，中的最小值，則m的最大值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．不等式的解集為（ ）
A．{2，8} B．{2，6}
C．{7，12} D．{8}
4．(多選)7名學生，站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端，不同排法的種數為（ ）
A． B．
C． D．
5．某數學興趣小組用紙板制作正方體教具，現給圖中的正方體展開圖的六個區域涂色，有紅、橙、黃、綠四種顏色可選，要求制作出的正方體相鄰面所涂顏色均不同，共有 種不同的涂色方法.
6．設為，，，，，的一個排列，則滿足的不同排列的個數為 .
7．求證：（，，且）．
8．名男生和名女生（包含甲、乙）站成一排表演節目．
(1)若這名女生不能相鄰，有多少種不同的排法？
(2)甲乙必須相鄰，有多少種不同的排法？
(3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少種不同的排法？

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