資源簡介

6.2.3~6.2.4組合與組合數
1.通過實例理解組合的概念，并會應用組合知識解決簡單的實際問題；
2.能利用組合數公式解決組合數的方程及不等式問題；
3.能解決有限制條件的組合問題
一、組合
①組合的定義：一般地，從n個不同元素中取出個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
②組合數、組合數公式：從n個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號表示.
，其中，且
規定：
③排列與組合的關系
相同點 兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素
不同點 排列問題中元素有序，組合問題中元素無序 （關鍵是看選出的元素是否與順序有關,若有關系,則是排列問題，若無關系，則是組合問題）
④組合數的性質
性質1：；性質2：.
二、組合問題
問題 方法
平均分組問題 一般先分堆，再除以.
不平均分組問題 先分堆，其中有組個數一樣，再除以
相同元素的“分配”問題 “隔板法”：將個相同的元素分成份,每份至少一個元素,可以用塊隔板，插入個元素排成一排的個空隙中，
考點01組合數的化簡及證明
1．計算（　　）
A．34 B．35 C．36 D．37
【答案】A
【分析】
直接由組合數公式計算即可.
【詳解】由題意.
故選：A.
2．（多選）下列等式中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】計算出排列數和組合數后判斷.
【詳解】，，，A正確；
，B錯；
，，C正確；
，，D正確．
故選：ACD．
3．（1）計算：①＝ ；
②＝ ．
【答案】 0 466
【分析】利用組合數和排列數的公式可得答案；根據組合數的特征求出，再利用組合數公式可得答案.
【詳解】①
②由得，因為為整數，所以.
所以原式.
4．設n為正整數，求值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)4或7或11
(2)124
【分析】（1）根據題意列出不等式求出值，再分別計算即可.
（2）根據給定組合式結合組合數的定義列出不等式求得n值，再利用組合數的性質計算即得.
【詳解】（1）由題意知 ，，
又取2，3，4.
當時，值為4；當時，值為7；當時，值為11.
（2）依題意，，即，解得，
所以，原式.
5．證明：
【答案】證明見解析
【分析】根據組合數公式證明即可.
【詳解】證明：.
6．求證：
(1)，
(2)．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）利用組合數計算公式變形，計算推理作答；
（2）利用組合數計算公式變形，計算推理作答.
【詳解】（1）因為，
所以成立；
（2）因為，
，
所以成立.
考點02組合數方程及不等式
7．若，則 .
【答案】1或2023
【分析】由組合知識進行求解.
【詳解】由于，故或，其他值不合要求.
故答案為：1或2023
8．不等式的解為 ．
【答案】
【分析】根據組合數的計算公式化簡已知不等式，從而求得不等式的解.
【詳解】依題意，所以且，
由得，
，
所以不等式的解為.
故答案為：
9．（1）若，則x= .
（2）不等式的解集為 .
【答案】 5
【分析】（1）根據排列數公式即可求解；
（2）根據組合數的運算公式及性質化簡不等式求其解集即可.
【詳解】（1）且，
，化簡得，
解得（不合題意，舍去），；
（2）∵，∴，即，解得.
∵，∴.∴的取值集合為.
故答案為：5；.
10．（1）已知，計算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）126；（2）．
【分析】（1）根據給定條件，利用組合數的性質求出并計算得解.
（2）利用組合計算公式、排列數公式求解即得.
【詳解】（1）因為，則，解得，經驗證符合題意，
所以
.
（2）由，得，
即，而由，知，解得，
所以原方程的解為.
11．已知，求n.
【答案】6
【分析】利用組合數性質以及組合數公式和排列數公式，將化簡并展開，解方程即可求得答案.
【詳解】由得，
即，即，
解得，或，由知，
故.
12．解方程：.
【答案】
【分析】根據組合數的定義化簡方程求其解，再檢驗所得結果.
【詳解】原方程可化為，
即，
解得或.
又且，
所以.
考點03組合數的性質及應用
13．若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用組合數的性質求出的值，再利用組合數的性質可求得的值.
【詳解】因為，則，解得，
故
.
故選：D.
14．若，則的值為（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】根據即可求解.
【詳解】若，則，
所以,解得.
故選:C.
15．（多選）若，則的值可以是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
【答案】AC
【分析】
由組合數性質求解即可.
【詳解】由組合數性質知，或，所以，或，
都滿足且．
故選：AC．
16．（多選）若，則m的值可以是（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】AB
【分析】利用組合數的性質即可求解.
【詳解】∵，
∴或，
∴m＝4或3．
故選：AB．
17．若，則 ．
【答案】
【分析】根據組合數的性質和排列數公式計算.
【詳解】因為，
所以，
整理得，
故或（舍去）．
故答案為：
考點04組合的辨析
18．將本不同的書平均分給甲、乙兩名同學，則不同的分法種數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接從本不同的書抽本書給甲同學，剩余本書給乙同學，結合組合計數原理可得結果.
【詳解】將本不同的書平均分給甲、乙兩名同學，只需從本不同的書抽本書給甲同學，剩余本書給乙同學，
所以，不同的分法種數為種.
故選：A.
19．（多選）下列問題中是組合問題的有（ ）.
A．某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上需準備多少種車票
B．從7本不同的書中取出5本給某同學
C．3個人去做5種不同的工作，每人做一種，有多少種分工方法
D．把3本相同的書分給5個學生，每人最多得一本，有多少種分配方法
【答案】BD
【分析】根據排列和組合的定義進行判斷即可.
【詳解】A．車票與起點、終點順序有關，例如“甲→乙”與“乙→甲”的車票不同，故它是排列問題.
B．從7本不同的書中取出5本給某同學，取出的5本書并不考慮書的順序，故它是組合問題.
C．因為一種分工方法就是從5種不同工作中取出3種，按一定順序分給3人去干，故它是排列問題.
D．因為3本書是相同的，把3本書無論分給哪3個人都不需要考慮順序，故它是組合問題.
故選：BD
20．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．如果某重卦中恰有2個陰爻，則該重卦可以有 種．
【答案】15
【分析】根據題意，只需從下到上排列的6個爻組選2個爻組為陰爻即可.
【詳解】根據題意，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，假設有6個位置，在其中任選2個，安排兩個“陰爻”，
有種情況，即該重卦可以有15種情況.
故答案為：15．
21．由0到9這10個自然數組成的三位數中，各位數字按嚴格遞增（如“267”）順序排列的數的個數是 .
【答案】
【分析】先不考慮0的情況，從這9個數字中選出3個數字，再考慮有0的情況，進而可得結果．
【詳解】先不考慮0的情況，
則從這9個數字中按題中條件選出3個數字，共種情形，
再考慮有0時，不可能組成嚴格遞增的數，
綜上各位數字按嚴格遞增（如“267”）順序排列的數的個數是個.
故答案為：.
22．判斷下列問題是組合問題還是排列問題．
(1)若集合，則集合的含有3個元素的子集有多少個？
(2)某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上需準備多少種車票？
(3)從7本不同的書中取出5本給某同學；
(4)三個人去做5種不同的工作，每人做1種，有多少種分工方法？
(5)把3本相同的書分給5個學生，每人最多得一本，有多少種分配方法？
【答案】(1)組合問題
(2)排列問題
(3)組合問題
(4)排列問題
(5)組合問題
【分析】根據題目需不需要考慮順序來判斷是組合問題還是排列問題
【詳解】（1）因為集合的任一個含3個元素的子集與元素順序都無關，所以它是組合問題．
（2）因為車票與起點、終點順序有關，例如“甲→乙”與“乙→甲”的車票不同，所以它是排列問題．
（3）因為從7本不同的書中取出5本給某同學，取出的5本書并不考慮書的順序，所以它是組合問題．
（4）因為從5種不同的工作中選出3種，按一定順序分給三個人去做，所以它是排列問題．
（5）因為3本書是相同的，把這3本書無論分給哪三個人都不需要考慮順序，所以它是組合問題．
考點05有限制的組合問題
23．用0，1，2，3，4，5這六個數字組成的無重復數字的四位偶數共有（ ）個
A．150個 B．156個 C．144個 D．300個
【答案】B
【分析】當末位是數字0時，可以組成個數字；當末位不是0時，共有種結果，根據計數原理得到結果.
【詳解】本題需要分兩類來解，
當末位是數字0時，可以組成個四位偶數，
當末位不是0時，末位可以是2、4，有兩種選法，
首位有4種選法，中間兩位可以從余下的4個數字中選兩個，共有種結果，
根據分類計數原理知共有種結果.
故選：B.
24．（多選）美術館計劃從6幅油畫，4幅國畫中，選出4幅展出，若某兩幅畫至少有一副參展，則不同的參展方案有多少種？（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】采用間接法或分類研究.
【詳解】對于A，從對立面考慮，這兩幅畫一幅也沒參展有種情況，
則至少一幅參展方案為，A正確；
對于B，若兩幅中只有一幅參展，有種情況；
若兩幅都參展，有種情況，
則共有方案 種，B正確；
對于C，將該兩幅畫分別記為甲、乙，若甲參展，則不需要考慮乙的參展情況，有種，
若甲不參展，則乙必須參展，需要在剩余8幅畫中再選3幅，有種，
故滿足題意的方案有種，C正確；
對于D，表示兩幅畫都參展或都不參展，D錯誤；
故選：ABC.
25．（多選）某中學從4名男生和3名女生中推薦4個參加社會公益活動，若選出的4人中既有男生又有女生，則（ ）
A．若選1男3女，有4種選法 B．若選2男2女，有18種選法
C．若選3男1女，有12種選法 D．共有36種不同的選法
【答案】ABC
【分析】根據組合數的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，若選1男3女，選法數有種選法，A選項正確.
B選項，若選2男2女，選法數有種選法，B選項正確.
C選項，若選3男1女，選法數有種選法，C選項正確.
D選項，總的選法數有種，D選項錯誤.
故選：ABC
26．一個口袋中有大小相同且編有不同的號碼的8個白球和5個彩球．
(1)若一次取2個球，至少有一個白球的取法有多少種；
(2)若一次取出顏色不全相同的3個球，有多少種取法．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據“兩個都是白球”或“一個白球一個彩球”求得正確答案.
（2）根據“兩個白球一個彩球”或“一個白球兩個彩球” 求得正確答案.
【詳解】（1）若一次取2個球，至少有一個白球有兩種可能：“兩個都是白球”或“一個白球一個彩球”，
故不同的取法有種．
（2）若一次取3個球，取出顏色不全相同有兩種可能：“兩個白球一個彩球”或“一個白球兩個彩球”，
故不同的取法有種．
27．從7名男生和5名女生中選出5人，分別求符合下列條件的選法數.（所得結果用數值表示）
(1)A，B必須被選出；
(2)至少有3名女生被選出；
(3)讓選出的5人分別擔任體育委員、文娛委員等5種不同職務，但體育委員由男生擔任，文娛委員由女生擔任.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）從以外的人中，任選個人，由此求得選法數.
（2）先計算出從人任選人的方法數，然后減去至多有名女生被選出的方法數，由此求得選法數.
（3）先選出一名男生擔任體育委員、然后選出一名女生擔任文娛委員、再在剩余的人中任選人進行安排，由此求得選法數.
【詳解】（1）由于，必須被選出，再從以外的人中，任選個人，故選法數有種.
（2）從人任選人的方法數有，選出的人中沒有女生的方法數有，
選出的人中有名女生的方法數有,選出的人中有名女生的方法數有.
所以至少有2名女生被選出的選法數為.
（3）先選出一名男生擔任體育委員、然后選出一名女生擔任文娛委員、再在剩余的人中任選人安排職務，故選法數為.
考點06與幾何圖形有關的組合問題
28．以正方體的個頂點中的某個為頂點可組成一個三棱錐，在所有這些三棱錐中任取一個，則該三棱錐各個面都不為直角三角形的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找出各面都不是直角三角形的三棱錐，并求出全部三棱錐的個數，結合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】如下圖所示：
三棱錐各面都是等邊三角形，這樣的三棱錐還有三棱錐，共個，
從正方體的個頂點中的某個為頂點可組成一個三棱錐，
從個頂點中任取三點不共線，若取個點，若這四點共面，則四點所在的面是正方體的側面或底面，
或者是正方體的對角面，如面，對角面的個數為個，
所以，從正方體的個頂點中的某個為頂點可組成一個三棱錐，
不同的三棱錐的個數為，
因此，在所有這些三棱錐中任取一個，則該三棱錐各個面都不為直角三角形的概率為.
故選：B.
29．已知平面平行于平面，在內有4個點（任意3個點不共線），在內有6個點（任意3個點不共線）
（1）過這10個點中的3個點作一平面，最多可作多少個不同的平面？
（2）以這些點為頂點，最多可作多少個三棱錐？
【答案】（1）98個；（2）194個.
【分析】（1）根據題意分三類進行計算，即①內1個點，內2個點；②內2個點，內1個點；③，本身；
（2）根據題意分三類進行計算，即①內1個點，內3個點；②內2個點，內2個點；③內3個點，內1個點.
【詳解】（1）分三類討論：
①內1個點，內2個點確定的平面，最多有個；
②內2個點，內1個點確定的平面，最多有個；
③，本身，有2個．
故所作的平面最多有（個）．
（2）分三類討論：
①內1個點，內3個點確定的三棱錐，最多有個；
②內2個點，內2個點確定的三棱錐，最多有個；
③內3個點，內1個點確定的三棱錐，最多有個．
故最多可作出的三棱錐有（個）．
30．如圖，平行直線a，b上分別有4個和5個不同的點，

(1)任取這9個點中的兩個連一條直線，則一共可以連多少條不同的直線？
(2)任取這9個點中的三個首尾相連，則一共可以組成多少個不同的三角形？
【答案】(1)22
(2)70
【分析】（1）分兩類：在同一直線上的兩點和不同直線上的兩點，再利用組合和分類計數原理即可求出結果；
（2）分兩類：線上任取一點，在直線上任取兩點和直線上任取兩點，在直線上任取一點，再利用組合和分類計數原理即可求出結果.
【詳解】（1）當任取的兩點同在直線或直線上時，共能確定2條不同直線，
當任取的兩點，一點在直線上，一點在直線上時，共能確定不同直線條，
因此共能確定不同直線條.
（2）在直線上任取一點，在直線上任取兩點，則能組成個不同的三角形，
在直線上任取兩點，在直線上任取一點，則能組成個不同的三角形，
因此一共可以組成個不同的三角形.
31．任意畫一條直線，在直線上任取n個分點．
（1）從這n個分點中任取2個點形成一條線段，可得到多少條線段？
（2）從這n個分點中任取2個點形成一個向量，可得到多少個向量？
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）組合問題；（2）排列問題.
【詳解】（1）因為線段與端點的順序無關，所以從這個分點中任取2個點可形成的線段共條；
（2）因為向量與端點的順序有關，所以從這個分點中任取2個點可形成的向量共個.
32．圓上有12個不同的點.
(1)過每兩點畫一條弦，一共可以畫多少條不同的弦？
(2)過每三點畫一個圓內接三角形，一共可以畫多少個圓內接三角形？
【答案】(1)66
(2)120
【分析】（1）從12個不同的點任選2點可畫出66條不同的弦;
（2）從圓上12個不同的點任選3點可畫出220個圓內接三角形
【詳解】（1）從12個不同的點任選2點可畫一條弦，
共畫出(條)不同的弦;
（2）不共線的三點確定一個三角形，
從圓上12個不同的點任選3點可畫一個三角形,
共畫出(個)圓內接三角形.
考點07（不）平均分組問題
33．有5名志愿者去定點幫扶3位困難老人，若要求每名志愿者都要幫扶且只幫扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者幫扶，則不同的安排方法共有（ ）
A．180種 B．150種 C．90種 D．60種
【答案】C
【分析】
根據題意，結合排列組合的知識，先分組再分配，即可得到結果.
【詳解】由題意得，先將5名志愿者分成3組，只有一種情況，
即種分組方法，
再將3組志愿者分配給3為位老人，則共有種安排方法.
故選：C
34．中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽.現有5支救援隊前往，，等3個受災點執行救援任務，若每支救援隊只能去其中的一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊，其中甲救援隊只能去，兩個數點中的一個，則不同的安排方法數是（ ）
A．72 B．84 C．100 D．120
【答案】C
【分析】若甲去點則剩余4人，可只去、兩個點，也可分為3組去，，3個點，按照分組分配的方法計算可得，同理求出甲去點的安排方法，再由分類加法計數原理計算可得.
【詳解】若甲去點，則剩余4人，可只去、兩個點，也可分為3組去，，3個點.
當剩余4人只去、兩個點時，人員分配為或，
此時的分配方法有；
當剩余4人分為3組去，，3個點時，
先從4人中選出2人，即可分為3組，然后分配到3個小組即可，此時的分配方法有，
綜上可得，甲去點，不同的安排方法數是.
同理，甲去點，不同的安排方法數也是，
所以，不同的安排方法數是.
故選：C.
35．為了深化教育改革，堅持“五育并舉”融合育人．某學校準備組建書法、音樂、美術、體育4個不同的社團．現將甲、乙、丙、丁、戊5名同學分配到這4個社團進行培訓，每名同學只能分配到1個社團，每個社團至少分配1名同學，且甲乙兩名同學不能在同一個社團培訓，則不同的分配方案共有（ ）
A．192種 B．216種 C．240種 D．432種
【答案】B
【分析】
根據題意，先計算出所有的分配方案數，然后去掉甲乙兩名同學在同一個社團的方案數，即可得到結果.
【詳解】由題意可得，將5名同學分配到這4個社團進行培訓每名同學只能分配到1個社團，
每個社團至少分配1名同學，則不同的分配方案共有種，
當甲乙兩名同學在同一個社團培訓，則不同的分配方案有種，
綜上可得，不同的分配方案共有種.
故選：B
36．近期，哈爾濱這座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多萬人次，神秘的鄂倫春族再次走進世人的眼簾，這些英雄的后代講述著英雄的故事，讓哈爾濱大放異彩．現安排6名鄂倫春小伙去三個不同的景點宣傳鄂倫春族的民俗文化，每個景點至少安排1人，則不同的安排方法種數是（ ）
A．240 B．420 C．540 D．900
【答案】C
【分析】
根據題意，分為三個景點安排的人數之比為或或，結合排列、組合數的計算公式，即可求解.
【詳解】
若三個景點安排的人數之比為，則有種安排方法；
若三個景點安排的人數之比為，則有種安排方法；
若三個景點安排的人數之比為，則有種安排方法，
故不同的安排方法種數是．
故選：C．
37．將5名大學生安排到3個不同的公司實習，要求每個公司至少有一名大學生，則不同的安排方式共有 種．
【答案】
【分析】
先利用部分平均分組法將5名大學生分好組，再進行分配即可得解.
【詳解】依題意，5名大學生有兩類分組方法，即1，1，3和1，2，2兩種分法，
若分成1人，1人，3人，則共有分組方法；
若分成1人，2人，2人，則共有分組方法；
將分好的三組安排到三個公司中共有種排法，
所以所有的安排方法共有種方法．
故答案為：.
38．教育扶貧是我國重點扶貧項目，為了縮小教育資源的差距，國家鼓勵教師去鄉村支教，某校選派了5名教師到A B C三個鄉村學校去支教，每個學校至少去1人，每名教師只能去一個學校，不同的選派方法數有 種（用數字作答）.
【答案】150
【分析】按照分類分步計數原理可先將5人分成3組，再將3組人員分配到3個學校去，即可計算出結果.
【詳解】由題意可知，先將5人分成三組有2類分法，
第一類：各組人數分別為1，1，3，共有種分法；
第二類：各組人數分別為1，2，2，共有種分法，
再將三組人員分配到A B C三個鄉村學校去，共有種，
所以不同的選派方法共有種.
故答案為：150
考點08隔板法
39．將8個外觀相同的蘋果分給甲、乙、丙三人，每人至少分到1個蘋果，共有不同的分法（ ）
A．15種 B．18種 C．21種 D．24種
【答案】C
【分析】利用隔板法求解即可.
【詳解】8個蘋果間會產生7個空隙，任選2個空隙將蘋果分開，即分成三份，共有種分法．
故選：C.
40．現有15個數學競賽參賽名額分給五個班，其中一、二班每班至少3個名額，三、四、五班每班至少2個名額，則名額分配方式共有（　?。?br/>A．15種 B．35種 C．70種 D．125種
【答案】B
【分析】利用隔板法求解.
【詳解】根據題意，先將15個名額分配給一班、二班每班2個，三、四、五班每班1個，還剩下8個名額，將剩下的8個名額進行分組，每組至少一人，
利用“隔板法”求解，8個有7個間隔，要分成組，7個間隔選4個即可，則有種分配方法.
故選：.
41．個相同的籃球，分給甲、乙、丙三位同學（每人至少分得一個），不同分法的總數為 ．
【答案】
【分析】
在個相同的籃球中間形成的個空位中插入兩塊板，結合隔板法可得出結果.
【詳解】問題等價于：在個相同的籃球中間形成的個空位中插入兩塊板，
所以，不同的分法種數為種.
故答案為：.
42．將8個大小和形狀完全相同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，使每個盒子中球的個數不大于其編號，則不同的放法有 種．
【答案】9
【分析】先將每個盒子中放入球，球的個數等于其編號，共放入了10個球，然后再拿出2個即可.
【詳解】先將每個盒子中放入球，球的個數等于其編號，共放入了10個球，再拿出2個，
若從同一個盒子中取出2個球，則有種，
若從其中兩個盒子中各取一個球，則有，
所以由分類加法原理可得共有種．
故答案為：9
43．將10個小球分別裝入3個不同的盒子中且每個盒子非空（即每個盒子至少裝1個小球）．問：有多少種不同的裝法？
【答案】36
【分析】利用隔板法進行求解.
【詳解】將10個小球排成一排，在兩兩之間的9個間隙中任取兩個劃上豎線，
這樣就將10個小球分成了3組，如圖所示．
將每組小球按順序裝入3個盒子中，則劃豎線的方法數就等于題中所求的裝法數，
共有種裝法．
44．按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？
(1)6個不同的小球放入4個不同的盒子；
(2)6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；
(3)6個相同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；
(4)6個不同的小球放入4個不同的盒子，恰有1個空盒．
【答案】(1)4096
(2)1560
(3)10
(4)2160
【分析】（1）根據分步乘法計數原理可得答案；
（2）先把6個小球分為4組，每組個數為或，再放入不同的4個盒子中，即可求得答案.
（3）采用隔板法可求得答案.
（4）將6個不同的小球分為3組，球的個數為或或，結合平均分組以及不平均分組知識，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意，6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個小球都有4種可能的放法，
故有種不同的方法；
（2）6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；
先把6個小球分為4組，每組個數為或，再放入不同的4個盒子中，
共有種不同的方法.
（3）6個相同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球，
即將6個相同的小球分為4份即可，可采用隔板法，即將6個小球排成一排，
在中間形成的5個空中選3個插入隔板，即可將6個相同的小球分成4份，
故有種方法.
（4）6個不同的小球放入4個不同的盒子，恰有1個空盒,
將6個不同的小球分為3組，球的個數為或或，
然后從4個不同的盒子中選3個放入這3組球，
則有種不同的方法.
基礎過關練
1．某校安排高一年級（1）～（4）班共4個班去A，B，C三個勞動教育基地進行社會實踐，每個班去一個基地，每個基地至少安排一個班，則高（1）班被安排到A基地的排法總數為（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【分析】
分A基地只安排一個班與兩個班兩種情況討論，分別計算可得.
【詳解】依題意，若A基地只安排一個班，則有種安排方法；
若A基地安排兩個班，則有種安排方法；
綜上可得高（1）班被安排到A基地的排法總數為種.
故選：B
2．（ ）
A．65 B．160 C．165 D．210
【答案】C
【分析】根據排列數、組合數的公式計算可得.
【詳解】.
故選：.
3．從編號為1，2，3，…，10，11的11個球中，取出5個球，使這5個球的編號之和為奇數，其取法總數為（ ）
A．236 B．328
C．462 D．2640
【答案】A
【分析】首先對奇數球的個數分類，再結合組合數公式，即可求解.
【詳解】以取出的編號為奇數的球的個數進行分類.
第一類，取出的5個球的編號中只有1個奇數，有(種)取法；
第二類，取出的5個球的編號中有3個奇數，有(種)取法；
第三類，取出的5個球的編號全是奇數，有(種)取法.
根據分類計數原理，共有30＋200＋6＝236(種)取法.
故選：A
4．某旅游團計劃去北京旅游，因時間原因，要從北京的9個景點中選出4個作為主要景點，并從余下景點中選出3個作為備選景點，若，不能作為主要景點，不能作為備選景點，則不同的選法種數為（ ）
A．290 B．260 C．200 D．160
【答案】B
【分析】根據是否被選為主要景點分2種情況討論，由加法原理計算可得答案.
【詳解】若入選主要景點，有種選法，
若沒入選主要景點，有種選法，
所以故不同的選法種數為260．
故選：B．
5．（多選）下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．若，則 D．
【答案】AD
【分析】根據排列數與組合數的計算公式以及性質即可逐一求解.
【詳解】對于A，，故A正確，
對于B，，故，故B錯誤，
對于C，則或，解得 或，故C錯誤，
對于D，,故D正確，
故選：AD
6．（多選）現分配甲、乙、丙三名臨床醫學檢驗專家到四家醫院進行核酸檢測指導，每名專家只能選擇一家醫院，且允許多人選擇同一家醫院，則（ ）
A．所有可能的安排方法有64種
B．若三名專家選擇兩所醫院，每所醫院至少去一人，則不同的安排方法有6種
C．若三名專家選擇三所醫院，每所醫院去一人，則不同的安排方法有24種
D．若三名專家選擇三所醫院，每所醫院去一人，但是甲不去A醫院，則不同的安排方法有18種
【答案】ACD
【分析】A選項，根據分步計數原理計算出答案；B選項，先從4所醫院選擇2所，再安排三名專家，利用分步計數原理計算出答案；C選項，先從4所醫院選擇3所，再進行全排列得到C正確；D選項，再C選項的基礎上，計算出每所醫院去一人，甲去A醫院的安排方法，從而計算出答案.
【詳解】A選項，甲、乙、丙三人均有4種選擇，故所有可能的安排方法有種，A正確；
B選項，先從4所醫院選擇2所，有種選擇，
再將三名專家分到兩所醫院，有種選擇，
則不同的安排方法有種，B錯誤；
C選項，先從4所醫院選擇3所，有種選擇，
再將三名專家和三所醫院進行全排列，有種選擇，
則不同的安排方法有種，C正確；
D選項，由C選項可知，三名專家選擇三所醫院，每所醫院去一人，共24種選擇，
若甲去A醫院，從所醫院中選兩所，和剩余兩名專家進行全排列，共有種選擇，
故不同的安排方法有種，D正確.
故選：ACD
7．如圖，奧林匹克標志由五個互扣的環圈組成，五環象征五大洲的團結，五個奧林匹克環總共有8個交點，從中任取3個點，則這3個點恰好位于同一個奧林匹克環上的概率是 .
【答案】
【分析】根據排列組合計算個數，即可利用古典概型的概率公式求解．
【詳解】從8個點中任取3個點，共有種情況，
這三個點恰好位于同一個奧林匹克環上有種，
則所求的概率．
故答案為：
8．某道路亮起一排13盞路燈，為節約用電且不影響照明，現需要熄滅其中的3盞.若兩端路燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的2盞，那么所有不同熄燈方法的種數是 .（用數字作答）.
【答案】84
【分析】
要使兩端路燈不熄滅，且不能熄滅其中相鄰的2盞，可以在亮著的10盞燈中間的9個空隙中進行插空即可.
【詳解】
兩端路燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的2盞，相當于在10盞亮光燈的9個空隙中安置熄滅的燈，那么所有不同熄燈方法的種數是.
故答案：84.
9．已知為正整數，且，則 .
【答案】5
【分析】
根據題意，結合排列數和組合數的公式，準確計算，即可求解.
【詳解】
由，根據排列數和組合數的公式，可得，解得.
故答案為：.
10．某班共有團員14人，其中男團員8人，女團員6人，并且男、女團員各有一名組長，現從中選6人參加學校的團員座談會．（用數字做答）
(1)若至少有1名組長當選，求不同的選法總數；
(2)若至多有3名女團員當選，求不同的選法總數；
(3)若既要有組長當選，又要有女團員當選，求不同的選法總數．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）方法一、分類討論組長的人數，利用分類計數原理和分步計數原理計算即可；方法二、利用排除法，先選人參加座談會，再把不選組長的情況去掉即可；
（2）分類討論女團員當選的人數情況，利用分類計數原理和分步計數原理計算即可；
（3）分類討論女組長當選情況，利用分類計數原理和分步計數原理計算即可.
【詳解】（1）方法一：至少有一名組長含有兩種情況：
有一名組長和兩名組長，故共有種．
方法二：至少有一名組長可以采用排除法，有種．
（2）至多有3名女團員含有四種情況：有3名女團員，有2名女團員，有1名女團員，
沒有女團員，故共有種．
（3）既要有組長當選，又要有女團員當選含兩類情況：
第一類：女組長當選，有種；
第二類：女組長不當選，男組長當選，從剩余7名男團員，5名女團員中選5人，
其中至少選擇1名女團員，有種．
故共有種．
11．空間12個點，其中5個點共面，此外無任何4個點共面，這12個點可確定多少個不同的平面？
【答案】211
【分析】分4種情況進行求解，相加得到答案.
【詳解】這個問題可分四類加以考慮：
①5個共面點確定1個平面；
②5個共面點中任何2個點和其余7個點中任意一點確定個平面；
③5個共面點中任一點和其余7個點中任意2個點確定個平面；
④7個點中任何3個點確定個平面．
∴總共確定平面的個數為（個）．
12．從1、2、3、4、5這五個數字中任取兩個不同的奇數和兩個不同的偶數．
(1)一共有多少種不同的選法？
(2)可以組成多少個沒有重復數字的四位奇數？
【答案】(1)3
(2)72
【分析】（1）由題可知選擇兩個奇數有3種選擇，選兩個偶數僅有一種選擇，利用分步乘法計數原理即可求出結果；
（2）首先確定個位數上的數字有3種選法，其余位上的數字從剩余數字中選取并進行全排列，按照分步乘法計數原理計算即可.
【詳解】（1）根據題意可知，
第一步，從1、3、5三個奇數中任取2個，共有種，
第二步，從2、4兩個偶數中任取2個，共有種，
所以一共有種不同的選法；
（2）若要組成奇數，則個位數一定是奇數，分兩步進行：
第一步，從1、3、5三個奇數中任取1個作為個位數，共有種；
第二步，在剩余的4個數字中任取3個進行全排列作為四位數的前3位，共有種，
所以可以組成個沒有重復數字的四位奇數.
能力提升練
1．如圖為某地街道路線圖，甲從街道的處出發，先到達處與乙會和，再一起去到處，則可以選擇的最短路徑條數為（ ）

A．20 B．18 C．12 D．9
【答案】B
【分析】
根據給定條件，利用分步乘法計數原理，結合組合應用問題求解即得.
【詳解】計算最短路徑條數需要兩步，從到的最短路徑條數為，從到的最短路徑條數為，
所以可以選擇的最短路徑條數為.
故選：B
2．已知集合，若且互不相等，則使得指數函數，對數函數，冪函數中至少有兩個函數在上單調遞增的有序數對的個數是（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
【答案】B
【分析】分類討論單調性，結合排列數、組合數運算求解.
【詳解】若和在上單調遞增，在上單調遞減，
則有個；
若和在上單調遞增，在上單調遞減，
則有個；
若和在上單調遞增，在上單調遞減，
則有個；
若、和在上單調遞增，則有個；
綜上所述：共有個.
故選：B.
【點睛】方法點睛：兩個計數原理的應用技巧
（1）在應用分類加法計數原理和分步乘法計數原理時，一般先分類再分步，每一步當中又可能用到分類加法計數原理．
（2）對于復雜的兩個計數原理綜合應用的問題，可恰當列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化．
3．由未來科學大獎聯合中國科技館共同主辦的“同上一堂科學課”——科學點燃青春：未來科學大獎獲獎者對話青少年活動于2023年9月8日在全國各地以線上線下結合的方式舉行．現有某市組織5名獲獎者到當地三個不同的會場與學生進行對話活動，要求每個會場至少派一名獲獎者，每名獲獎者只去一個會場，則不同的派出方法有（ ）
A．60種 B．120種 C．150種 D．240種
【答案】C
【分析】根據給定條件，獲獎者按去到三個不同會場分類，利用分組分配列式計算即得.
【詳解】依題意，5名獲獎者按去到三個不同會場，有種方法，
5名獲獎者按去到三個不同會場，有種方法，
所以不同的派出方法有（種）.
故選：C
4．（多選）現有帶有編號的五個球及四個不同的盒子，則下列表述正確的有（ ）
A．全部投入4個不同的盒子里，允許有空盒，共有種放法
B．全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法
C．將其中的4個球投入4個盒子里的一個（另一個球不投入），共有種放法
D．全部投入2個不同的盒子里，每盒至少一個，共有種放法
【答案】ABC
【分析】
根據分步乘法原理以及分組分配問題的解法，一一求解各選項中的球的放法，即可判斷出答案.
【詳解】對于A，五個球全部投入4個不同的盒子里，允許有空盒，
每個球都有4種投法，故共有種放法，A正確；
對于B，五個球全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，
則有2個球投入一個盒中，此時共有種不同的放法，B正確；
對于C，將其中的4個球投入4個盒子里的一個（另一個球不投入），
先選出4個球，再選出一個盒子，共有種放法，C正確；
對于D，全部投入2個不同的盒子里，每盒至少一個，
先選出2個盒子，由種選法，再將5個球分成2組，若2組球個數比為，
則有種分法，若2組球個數比為，則有種分法，再將2組球放入2個盒子，
故此時共有種放法，D錯誤，
故選：ABC
5．已知，則的值可以是 ．（填寫一個即可）
【答案】中的任意一個數
【分析】令，由，采用倒序相加的方法，結合組合數的性質可求得，由此可構造不等式求得的取值范圍，由此確定結果.
【詳解】令，
則，又，
兩式相加得：
，
，，
，解得：，的值可以是中的任意一個數.
故答案為：中的任意一個數.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查組合數性質的應用，解題關鍵是能夠根據，采取倒序相加的方式化簡得到.
6．若一個三位數M的各個數位上的數字之和為8，則我們稱M是一個“叔同數”，例如“125，710”都是“叔同數”，那么“叔同數”的個數共有 ．（用數字作答）
【答案】36
【分析】先寫出三位數各位數的和為的所有情況，再求出每種情況的“叔同數”的個數，最后相加即可求解.
【詳解】由題意可知，“叔同數”中各個數位上的數字有8,0,0；7,1,0；6,2,0；6,1,1；5,3,0；5,2,1；4,4,0；4,3,1；4,2,2；3,3,2情況，
其中8,0,0三個數字組成的三位數只有1個；
7,1,0三個數字組成的三位數只有個；
6,2,0三個數字組成的三位數只有個；
6,1,1三個數字組成的三位數只有3個；
5,3,0三個數字組成的三位數只有個；
5,2,1三個數字組成的三位數只有個；
4,4,0三個數字組成的三位數只有2個；
4,3,1三個數字組成的三位數只有個；
4,2,2三個數字組成的三位數只有3個；
3,3,2三個數字組成的三位數只有3個；
則共有個，
故答案為：36.
7．已知10件不同的產品中有4件次品，現對這10件產品一一進行測試，直至找到所有次品.
(1)若恰在第2次測試時，找到第一件次品，第8次測試時，才找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試情況？
(2)若至多測試6次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試情況？
【答案】(1)86400
(2)8520
【分析】（1）需測試8次，按順序可看作為8個位置，然后利用分步乘法原理求解：第一步，第一個位置放置正品，第二步，選2個次品放在第二和第八個位置，第三步在第三到第7個位置中選2個位置放置剩余的兩個次品，其他3個位置放3個正品，再計算可得；
（2）由分類加法原理計算：分三類：恰好4次，恰好5次，恰好6次找到所有次品或測6次全是正品．
【詳解】（1）需測試8次，按順序可看作為8個位置，
第一步，第一個位置放置正品，第二步，選2個次品放在第二和第八個位置，第三步在第三到第7個位置中選2個位置放置剩余的兩個次品，其他3個位置放3個正品，由乘法原理方法數為：；
（2）至多6次可分為恰好4次，恰好5次，恰好6次找到所有次品，
恰好4次，即前4次測試都是次品，方法數為；
恰好4次，即第5次是次品，前4次中有3次是次品，方法數為；
恰好6次，即第6次是次品，前5次中有3次是次品或前6次都是正品，方法數為
所以總的測試情況數為：．
8．7名師生站成一排照相留念，其中老師1名，男同學4名，女同學2名．
(1)若兩位女生相鄰，但都不與老師相鄰的站法有多少種？
(2)若排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊的站法有多少種？
(3)現有16個相同的口罩全部發給這6名學生，每名同學至少發2個口罩，則不同的發放方法有多少種？
【答案】(1)960
(2)3720
(3)126
【分析】（1）相鄰問題捆綁處理，不相鄰問題插空處理即可；
（2）特殊元素優先安排即可；
（3）相同元素分配問題插板處理即可.
【詳解】（1）先把除兩位女生和老師這3人外的4人排好，有種排法，
由于兩名女生相鄰，故再把兩名女生排好，有種排法，
最后把排好的女生這個整體與老師分別插入原先排好的4人之間及兩端的5個空隙中，有種排法．
故排法共有（種）．
（2）法一：甲在最右邊時，其他的可全排，有種方法；
甲不在最右邊時，可從余下的5個位置任選一個，有種，而乙可排在除去最右邊的位置后剩下的5個中任選一個有種，其余人全排列，只有種不同排法，
共有 （種）．
法二：7名學生全排列，只有種方法，
其中甲在最左邊時，有種方法，乙在最右邊時，有種方法，
其中都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形，有種方法，
共有（種）．
（3）法一：16個相同的口罩，每位同學先拿一個，剩下的10個口罩排成一排有9個間隙，插入5塊板子分成6份，每一種分法所得6份給到6個人即可，所以不同的發放方法種．
法二：先分發給每位學生2個口罩，再將剩下4只相同的口罩分給6位同學，有五類分法：
1.四只口罩分給1人，有種分法；
2.四只口罩分成2，1，1三份分給3人，有 種分法；
3.四只口罩分成2，2兩份分給2人，有種分法；
4.四只口罩分成3，1兩份分給2人，有種分法；
5.四只口罩分成1，1，1，1四份分給4人，有種分法；
則共有種分法．6.2.3~6.2.4組合與組合數
1.通過實例理解組合的概念，并會應用組合知識解決簡單的實際問題；
2.能利用組合數公式解決組合數的方程及不等式問題；
3.能解決有限制條件的組合問題
一、組合
①組合的定義：一般地，從n個不同元素中取出個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
②組合數、組合數公式：從n個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號表示.
，其中，且
規定：
③排列與組合的關系
相同點 兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素
不同點 排列問題中元素有序，組合問題中元素無序 （關鍵是看選出的元素是否與順序有關,若有關系,則是排列問題，若無關系，則是組合問題）
④組合數的性質
性質1：；性質2：.
二、組合問題
問題 方法
平均分組問題 一般先分堆，再除以.
不平均分組問題 先分堆，其中有組個數一樣，再除以
相同元素的“分配”問題 “隔板法”：將個相同的元素分成份,每份至少一個元素,可以用塊隔板，插入個元素排成一排的個空隙中，
考點01組合數的化簡及證明
1．計算（　?。?br/>A．34 B．35 C．36 D．37
2．（多選）下列等式中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（1）計算：①＝ ；
②＝ ．
4．設n為正整數，求值：
(1)；
(2)．
5．證明：
6．求證：
(1)，
(2)．
考點02組合數方程及不等式
7．若，則 .
8．不等式的解為 ．
9．（1）若，則x= .
（2）不等式的解集為 .
10．（1）已知，計算：；
（2）解方程：．
11．已知，求n.
12．解方程：.
考點03組合數的性質及應用
13．若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
14．若，則的值為（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
15．（多選）若，則的值可以是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
16．（多選）若，則m的值可以是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．若，則 ．
考點04組合的辨析
18．將本不同的書平均分給甲、乙兩名同學，則不同的分法種數為（ ）
A． B． C． D．
19．（多選）下列問題中是組合問題的有（ ）.
A．某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上需準備多少種車票
B．從7本不同的書中取出5本給某同學
C．3個人去做5種不同的工作，每人做一種，有多少種分工方法
D．把3本相同的書分給5個學生，每人最多得一本，有多少種分配方法
20．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．如果某重卦中恰有2個陰爻，則該重卦可以有 種．
21．由0到9這10個自然數組成的三位數中，各位數字按嚴格遞增（如“267”）順序排列的數的個數是 .
22．判斷下列問題是組合問題還是排列問題．
(1)若集合，則集合的含有3個元素的子集有多少個？
(2)某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上需準備多少種車票？
(3)從7本不同的書中取出5本給某同學；
(4)三個人去做5種不同的工作，每人做1種，有多少種分工方法？
(5)把3本相同的書分給5個學生，每人最多得一本，有多少種分配方法？
考點05有限制的組合問題
23．用0，1，2，3，4，5這六個數字組成的無重復數字的四位偶數共有（ ）個
A．150個 B．156個 C．144個 D．300個
24．（多選）美術館計劃從6幅油畫，4幅國畫中，選出4幅展出，若某兩幅畫至少有一副參展，則不同的參展方案有多少種？（ ）
A． B．
C． D．
25．（多選）某中學從4名男生和3名女生中推薦4個參加社會公益活動，若選出的4人中既有男生又有女生，則（ ）
A．若選1男3女，有4種選法 B．若選2男2女，有18種選法
C．若選3男1女，有12種選法 D．共有36種不同的選法
26．一個口袋中有大小相同且編有不同的號碼的8個白球和5個彩球．
(1)若一次取2個球，至少有一個白球的取法有多少種；
(2)若一次取出顏色不全相同的3個球，有多少種取法．
27．從7名男生和5名女生中選出5人，分別求符合下列條件的選法數.（所得結果用數值表示）
(1)A，B必須被選出；
(2)至少有3名女生被選出；
(3)讓選出的5人分別擔任體育委員、文娛委員等5種不同職務，但體育委員由男生擔任，文娛委員由女生擔任.
考點06與幾何圖形有關的組合問題
28．以正方體的個頂點中的某個為頂點可組成一個三棱錐，在所有這些三棱錐中任取一個，則該三棱錐各個面都不為直角三角形的概率為（ ）
A． B． C． D．
29．已知平面平行于平面，在內有4個點（任意3個點不共線），在內有6個點（任意3個點不共線）
（1）過這10個點中的3個點作一平面，最多可作多少個不同的平面？
（2）以這些點為頂點，最多可作多少個三棱錐？
30．如圖，平行直線a，b上分別有4個和5個不同的點，

(1)任取這9個點中的兩個連一條直線，則一共可以連多少條不同的直線？
(2)任取這9個點中的三個首尾相連，則一共可以組成多少個不同的三角形？
31．任意畫一條直線，在直線上任取n個分點．
（1）從這n個分點中任取2個點形成一條線段，可得到多少條線段？
（2）從這n個分點中任取2個點形成一個向量，可得到多少個向量？
32．圓上有12個不同的點.
(1)過每兩點畫一條弦，一共可以畫多少條不同的弦？
(2)過每三點畫一個圓內接三角形，一共可以畫多少個圓內接三角形？
考點07（不）平均分組問題
33．有5名志愿者去定點幫扶3位困難老人，若要求每名志愿者都要幫扶且只幫扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者幫扶，則不同的安排方法共有（ ）
A．180種 B．150種 C．90種 D．60種
34．中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽.現有5支救援隊前往，，等3個受災點執行救援任務，若每支救援隊只能去其中的一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊，其中甲救援隊只能去，兩個數點中的一個，則不同的安排方法數是（ ）
A．72 B．84 C．100 D．120
35．為了深化教育改革，堅持“五育并舉”融合育人．某學校準備組建書法、音樂、美術、體育4個不同的社團．現將甲、乙、丙、丁、戊5名同學分配到這4個社團進行培訓，每名同學只能分配到1個社團，每個社團至少分配1名同學，且甲乙兩名同學不能在同一個社團培訓，則不同的分配方案共有（ ）
A．192種 B．216種 C．240種 D．432種
36．近期，哈爾濱這座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多萬人次，神秘的鄂倫春族再次走進世人的眼簾，這些英雄的后代講述著英雄的故事，讓哈爾濱大放異彩．現安排6名鄂倫春小伙去三個不同的景點宣傳鄂倫春族的民俗文化，每個景點至少安排1人，則不同的安排方法種數是（ ）
A．240 B．420 C．540 D．900
37．將5名大學生安排到3個不同的公司實習，要求每個公司至少有一名大學生，則不同的安排方式共有 種．
38．教育扶貧是我國重點扶貧項目，為了縮小教育資源的差距，國家鼓勵教師去鄉村支教，某校選派了5名教師到A B C三個鄉村學校去支教，每個學校至少去1人，每名教師只能去一個學校，不同的選派方法數有 種（用數字作答）.
考點08隔板法
39．將8個外觀相同的蘋果分給甲、乙、丙三人，每人至少分到1個蘋果，共有不同的分法（ ）
A．15種 B．18種 C．21種 D．24種
40．現有15個數學競賽參賽名額分給五個班，其中一、二班每班至少3個名額，三、四、五班每班至少2個名額，則名額分配方式共有（　?。?br/>A．15種 B．35種 C．70種 D．125種
41．個相同的籃球，分給甲、乙、丙三位同學（每人至少分得一個），不同分法的總數為 ．
42．將8個大小和形狀完全相同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，使每個盒子中球的個數不大于其編號，則不同的放法有 種．
43．將10個小球分別裝入3個不同的盒子中且每個盒子非空（即每個盒子至少裝1個小球）．問：有多少種不同的裝法？
44．按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？
(1)6個不同的小球放入4個不同的盒子；
(2)6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；
(3)6個相同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；
(4)6個不同的小球放入4個不同的盒子，恰有1個空盒．
基礎過關練
1．某校安排高一年級（1）～（4）班共4個班去A，B，C三個勞動教育基地進行社會實踐，每個班去一個基地，每個基地至少安排一個班，則高（1）班被安排到A基地的排法總數為（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
2．（ ）
A．65 B．160 C．165 D．210
3．從編號為1，2，3，…，10，11的11個球中，取出5個球，使這5個球的編號之和為奇數，其取法總數為（ ）
A．236 B．328
C．462 D．2640
4．某旅游團計劃去北京旅游，因時間原因，要從北京的9個景點中選出4個作為主要景點，并從余下景點中選出3個作為備選景點，若，不能作為主要景點，不能作為備選景點，則不同的選法種數為（ ）
A．290 B．260 C．200 D．160
5．（多選）下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．若，則 D．
6．（多選）現分配甲、乙、丙三名臨床醫學檢驗專家到四家醫院進行核酸檢測指導，每名專家只能選擇一家醫院，且允許多人選擇同一家醫院，則（ ）
A．所有可能的安排方法有64種
B．若三名專家選擇兩所醫院，每所醫院至少去一人，則不同的安排方法有6種
C．若三名專家選擇三所醫院，每所醫院去一人，則不同的安排方法有24種
D．若三名專家選擇三所醫院，每所醫院去一人，但是甲不去A醫院，則不同的安排方法有18種
7．如圖，奧林匹克標志由五個互扣的環圈組成，五環象征五大洲的團結，五個奧林匹克環總共有8個交點，從中任取3個點，則這3個點恰好位于同一個奧林匹克環上的概率是 .
8．某道路亮起一排13盞路燈，為節約用電且不影響照明，現需要熄滅其中的3盞.若兩端路燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的2盞，那么所有不同熄燈方法的種數是 .（用數字作答）.
9．已知為正整數，且，則 .
10．某班共有團員14人，其中男團員8人，女團員6人，并且男、女團員各有一名組長，現從中選6人參加學校的團員座談會．（用數字做答）
(1)若至少有1名組長當選，求不同的選法總數；
(2)若至多有3名女團員當選，求不同的選法總數；
(3)若既要有組長當選，又要有女團員當選，求不同的選法總數．
11．空間12個點，其中5個點共面，此外無任何4個點共面，這12個點可確定多少個不同的平面？
12．從1、2、3、4、5這五個數字中任取兩個不同的奇數和兩個不同的偶數．
(1)一共有多少種不同的選法？
(2)可以組成多少個沒有重復數字的四位奇數？
能力提升練
1．如圖為某地街道路線圖，甲從街道的處出發，先到達處與乙會和，再一起去到處，則可以選擇的最短路徑條數為（ ）

A．20 B．18 C．12 D．9
2．已知集合，若且互不相等，則使得指數函數，對數函數，冪函數中至少有兩個函數在上單調遞增的有序數對的個數是（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
3．由未來科學大獎聯合中國科技館共同主辦的“同上一堂科學課”——科學點燃青春：未來科學大獎獲獎者對話青少年活動于2023年9月8日在全國各地以線上線下結合的方式舉行．現有某市組織5名獲獎者到當地三個不同的會場與學生進行對話活動，要求每個會場至少派一名獲獎者，每名獲獎者只去一個會場，則不同的派出方法有（ ）
A．60種 B．120種 C．150種 D．240種
4．（多選）現有帶有編號的五個球及四個不同的盒子，則下列表述正確的有（ ）
A．全部投入4個不同的盒子里，允許有空盒，共有種放法
B．全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法
C．將其中的4個球投入4個盒子里的一個（另一個球不投入），共有種放法
D．全部投入2個不同的盒子里，每盒至少一個，共有種放法
5．已知，則的值可以是 ．（填寫一個即可）
6．若一個三位數M的各個數位上的數字之和為8，則我們稱M是一個“叔同數”，例如“125，710”都是“叔同數”，那么“叔同數”的個數共有 ．（用數字作答）
7．已知10件不同的產品中有4件次品，現對這10件產品一一進行測試，直至找到所有次品.
(1)若恰在第2次測試時，找到第一件次品，第8次測試時，才找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試情況？
(2)若至多測試6次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試情況？
8．7名師生站成一排照相留念，其中老師1名，男同學4名，女同學2名．
(1)若兩位女生相鄰，但都不與老師相鄰的站法有多少種？
(2)若排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊的站法有多少種？
(3)現有16個相同的口罩全部發給這6名學生，每名同學至少發2個口罩，則不同的發放方法有多少種？

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