資源簡介

6.3二項式定理
1.能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理；
2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式；
3.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題，理解二項式系數(shù)的性質并靈活運用.
一、二項式定理
該公式叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式，共有項，
其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)，
展開式的第項為
注意：①是第項，而不是第k項；
②通項公式中a，b的位置不能顛倒．
二、二項式系數(shù)的性質
對稱性 與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，由公式得到
增減性與最大值 當時，二項式系數(shù)是逐漸增大的；當時，二項式系數(shù)是逐漸減小的，因此二項式系數(shù)在中間取得最大值 ①當n是偶數(shù)時，中間的一項的二項式系數(shù)最大； ②當n是奇數(shù)時，中間的一項的二項式系數(shù)最大；
二項式系數(shù)的和 二項式系數(shù)的和為 奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，即
三、系數(shù)之和（賦值法）
①求各項系數(shù)之和，令即可
②若，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為，
奇數(shù)項系數(shù)之和為，
偶數(shù)項系數(shù)之和為.
四、系數(shù)的最大值
求展開式中系數(shù)最大的項
情況 方法
可轉化成求二項式系數(shù)最大的項
待定系數(shù)法：設展開式中各項系數(shù)分別為，設第項系數(shù)最大，應有，從而解出來
考點01二項式定理的展開和還原
1．求值： ．
【答案】1
【詳解】分析：觀察通項展開式中的中的次數(shù)與中的一致．
詳解：通項展開式中的，故
=
點睛：合并二項式的展開式，不要糾結整體的性質，抓住具體的某一項中的中的次數(shù)與中的一致，有負號時注意在上還是在上．
2．求值：
【答案】
【分析】根據(jù)二項式定理展開式配湊，即可求出．
【詳解】
．
故答案為．
【點睛】本題主要考查二項式定理的應用,考查學生對二項展開式的理解．
3．化簡： ．
【答案】
【分析】
逆用二項式定理結合已知條件求解
【詳解】
，
故答案為：
4．設，化簡 .
【答案】
【分析】逆用二項式定理，即可容易求得結果.
【詳解】容易知.
故答案為：.
【點睛】本題考查二項式定理的逆用，屬基礎題.
5．設的小數(shù)部分為，則 .
【答案】7
【分析】先得到的整數(shù)部分為3，得到，利用二項式定理將其展開，求出答案.
【詳解】因為，所以的整數(shù)部分為3，
則，即，
所以
，
故.
故答案為：7
6．用二項式定理展開下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）直接利用二項式定理求解；
（2）先化簡原式為，再利用二項式定理求解.
【詳解】（1）解：
．
（2）解：
．
考點02二項展開式求指定項
7． 展開式中的第四項為（ ）
A． B． C．240 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式求解.
【詳解】展開式的通項公式為，
所以,
故選：B
8．在的展開式中，常數(shù)項為 ．（用數(shù)字作答）
【答案】448
【分析】由題可得展開式通項，令的指數(shù)為0，可得常數(shù)項為第幾項，即可得答案.
【詳解】展開式的通項為，
令，解得，故常數(shù)項為．
故答案為：448.
9．展開式中的系數(shù)為 .
【答案】15
【分析】
寫出展開式的通項，即可得解.
【詳解】
二項式展開式的通項為（且），
所以展開式中的系數(shù)為．
故答案為：．
10．已知，則 .
【答案】3
【分析】根據(jù)二項式的通項求項的系數(shù)即可.
【詳解】的通項為，所以展開式中的系數(shù)為，
的通項為，所以展開式中的系數(shù)為，
所以.
故答案為：3.
11．若，則（ ）
A．100 B．110 C．120 D．130
【答案】C
【分析】
利用二項式定理分別求出即可計算得解.
【詳解】在中，，，
所以.
故選：C
12．若，則（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【分析】令可求出，再將原式變形為，結合二項式定理展開式求出，進而得解.
【詳解】令得，又因，故第三項為：，
故，∴．
故選：D．
考點03二項式系數(shù)及系數(shù)之和
13． 展開式的二項式系數(shù)之和是256，則 .
【答案】8
【分析】
根據(jù)二項式展開式的二項式系數(shù)之和等于列方程求解即得.
【詳解】因展開式的二項式系數(shù)之和為，解得：.
故答案為：8.
14．若的展開式中各項系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B．945 C．2835 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)賦值法求系數(shù)和得，即可根據(jù)展開式的通項公式求解.
【詳解】令，得，得，
則的展開式的通項，
令，得，則，故展開式中的系數(shù)為，
故選：D．
15．已知的展開式中所有項的系數(shù)之和為64，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B．1215 C．135 D．
【答案】B
【分析】先利用賦值法求出，再利用二項式定理的通項公式求解答案．
【詳解】令，得，（注意所有項的系數(shù)之和與所有項的二項式系數(shù)之和的區(qū)別）
解得（舍去）或，
則的展開式的通項，
令，解得，則展開式中的系數(shù)為，
故選：B．
16．在的二項展開式中，各二項式系數(shù)之和為，各項系數(shù)之和為，若，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和以及各項系數(shù)和的表達式，結合題意，解方程，即可求得答案.
【詳解】由，令可得各項系數(shù)之和為，
又各二項式系數(shù)之和為，因為，則，
解得或（舍去），所以，
故選：B
17．若的展開式的各項系數(shù)和為1，二項式系數(shù)和為128，則展開式中x2的系數(shù)為 .
【答案】－448
【分析】
令，和聯(lián)立求解可得和的值，化簡通項，由的指數(shù)等于2可解.
【詳解】
由題意得，所以，
所以的展開式的通項為，
令，解得.
所以的系數(shù)為.
故答案為：－448
考點04奇（偶）系數(shù)項系數(shù)之和（含絕對值）
18．已知，記，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設，所以由題意可知，從而即可求解.
【詳解】不妨設，
一方面注意到，
另一方面注意到，
所以.
故選：C.
19．已知，則的值是（ ）
A．680 B． C．1360 D．
【答案】B
【分析】利用賦值法，分別令和，將得到的兩式相加，結合等比數(shù)列的求和，即可求得答案.
【詳解】令，則，即
令，則，
即，
兩式相加可得，
故選：B
20．（多選）已知，則下列選項正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用換元法將題設條件轉化為，再利用賦值法判斷ACD，利用二項展開通項公式判斷B，從而得解.
【詳解】因為，
令，則，所以，
對于A，令，得，故A錯誤；
對于B，因為的展開通項公式為，
令，則，故B正確；
對于C，令，得，故C正確；
對于D，令，得，
兩式相減，得，故D錯誤.
故選：BC.
21．已知二項式，且滿足.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2)6560.
【分析】（1）應用排列數(shù)、組合數(shù)公式列方程求即可；
（2）根據(jù)（1）有，應用賦值法求結果即可.
【詳解】（1）由得：，解得.
（2）由（1）知，根據(jù)二項式展開式通項，
易知，，，為負值，其它系數(shù)為正值，
所以，，
于是，令則；令則；
所以.
22．從①第4項的系數(shù)與第2項的系數(shù)之比是；②第3項與倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)之和為36；這兩個條件中任選一個，再解決補充完整的題目．
已知（），且的二項展開式中，____．
(1)求的值；
(2)①求二項展開式的中間項；
②求的值．
【答案】(1)條件選擇見解析，
(2)①；②．
【分析】（1）由題意，根據(jù)系數(shù)、二項式系數(shù)等知識，列出等式，解出的值．
（2）由題意，利用通項公式求出二項展開式的中間項，再判斷、、、、為正數(shù)，、、、為負數(shù)，再給賦值，從而求出的值．
【詳解】（1）若選擇①第4項的系數(shù)與第2項的系數(shù)之比是，
則有，
化簡可得，求得或（舍去）．
若選擇②第3項與倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)之和為36，
則有，
化簡可得，求得或（舍去）．
（2）由（1）可得，
①的二項展開式的中間項為．
②二項式展開式的通項公式為，
所以、、、、為正數(shù)，、、、為負數(shù)．
在中，令．
再令，可得，
∴．
考點05兩個多項式乘積的指定項
23． 展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．60 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)分配律，結合二項式展開式的通項特征即可求解.
【詳解】
二項式的展開式的通項公式為，
令，求得，令，求得，
由于，
故其展開式中的常數(shù)項為
故選：C
24．若的展開式中的系數(shù)為，則a的值為（　　）
A．2 B．3 C．1 D．4
【答案】A
【分析】由題得，再借助二項式展開式的通項分兩種情況討論得解.
【詳解】依題意，，
展開式的通項為，
當時，，此時展開式的的系數(shù)為，
當時，，此時展開式的的系數(shù)為，
所以展開式中的系數(shù)為，所以.
故選：A
25．已知多項式，則 .
【答案】8
【分析】
利用二項式定理直接求解.
【詳解】
多項式的展開式中，
含的項為：
所以.
故答案為：8.
26．已知（為常數(shù)）的展開式中所有項的系數(shù)和為32，則展開式中的系數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）．
【答案】15
【分析】
代入，解出，再利用二項展開式的通項公式進行合理賦值即可.
【詳解】令，則，即，
則對，有，
令，即，有，即有，
令，即，有，即有，
故展開式中的系數(shù)為15.
故答案為：15.
27．在的展開式中，的系數(shù)為，則該二項展開式中的常數(shù)項為 ．
【答案】
【分析】
利用二項式定理計算即可.
【詳解】由二項式定理知：的展開式中含的項為，
其展開式中沒有含的項，也沒有含的項，常數(shù)項為，
所以的展開式中，
含的項為，
此時展開式中的常數(shù)項為.
故答案為：
28．的展開式中的系數(shù)為 ．
【答案】
【分析】利用二項式定理展開式的通項公式可求答案.
【詳解】二項式的展開式通項公式為，
當時，，當時，，
因此展開式中含的項為，故所求系數(shù)為.
故答案為：24.
考點06三項展開式的指定項
29．若，其中，且，則的展開式中所有項的系數(shù)和為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】借助三項式的計算可得，又，故可得的值，令可得展開式中所有項的系數(shù)和.
【詳解】由得，
所以有，
即或，由，∴，
∴，
令，則有，
即展開式中所有項的系數(shù)和為.
故選：B.
30．的展開式的各項系數(shù)之和為1，則該展開式中含項的系數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用賦值法令由各項系數(shù)之和為1可求得，由通項可得展開式中含項的系數(shù)是.
【詳解】
因為的展開式的各項系數(shù)之和為1，
令，得，解得，
所以的展開式中含項為，
所以該展開式中含項的系數(shù)是.
故選：D.
31．求的常數(shù)項為____.
【答案】141
【分析】
以為整體求出展開式的通項，再利用二項式定理求出常數(shù)項.
【詳解】依題意，的展開式的通項為，
當時，，
當時，展開式的通項，
于是，由，得，則，
此時常數(shù)項為，
所以的常數(shù)項是.
故答案為：141
32．在的展開式中，項的系數(shù)為 .（結果用數(shù)值表示）
【答案】45
【分析】由二項式展開得項只能在展開式中，進一步結合二項式系數(shù)即可求解.
【詳解】，
項只能在展開式中，即為，系數(shù)為.
故選：45.
33．的展開式中，項系數(shù)為 ．
【答案】
【分析】求出二項式展開式的通項，令的指數(shù)為3，即可求出項系數(shù)．
【詳解】由，
由展開式通項為，
令，解得，
則項為，則項系數(shù)為．
故答案為：.
34．若，且，則的值為 .
【答案】
【分析】
根據(jù)展開式中常數(shù)項和一次項系數(shù)相等得到方程，求出答案.
【詳解】
由題意得的展開式中的常數(shù)項與一次項系數(shù)相等，
則，解得或0（舍去）.
故答案為：
考點07二項式系數(shù)及系數(shù)的最值
35．若展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】利用二項式系數(shù)的性質直接求解即可.
【詳解】因為的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，所以展開式一共有項，即.
故選：B
36．（多選）在二項式展開式中，所有項的系數(shù)和為，所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，且滿足時，下列說法正確的有（ ）
A． B．
C．展開式中二項式系數(shù)最大的項為第三項和第四項 D．展開式中各項的系數(shù)最大的為第三項
【答案】BC
【分析】
令，可得，再由二項式系數(shù)的特征得到，即可求出，判斷A、B，根據(jù)二項式系數(shù)的增減性判斷C，寫出展開式的通項，第項的系數(shù)最大，即可得到不等式組，解得，即可判斷D.
【詳解】對于，令，可得所有項的系數(shù)和為，
又所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，
因為，即，
所以，所以，故A錯誤，B正確；
所以二項式展開式一共有項，
則其展開式中二項式系數(shù)最大的項為第三項和第四項，故C正確；
又二項式展開式的通項為（其中且），
令第項的系數(shù)最大，則，即，解得，
又，所以，
即展開式中系數(shù)最大的為第五項，故D錯誤.
故選：BC
37．（多選）關于的展開式，下列說法中正確的是（ ）
A．展開式中二項式系數(shù)之和為32 B．展開式中各項系數(shù)之和為1
C．展開式中二項式系數(shù)最大的項為第4項 D．展開式中系數(shù)最大的項為第4項
【答案】BC
【分析】由題設二項式，寫出其通項，根據(jù)二項式的性質，易得二項式系數(shù)之和與各項系數(shù)之和，根據(jù)組合數(shù)的性質可得二項式系數(shù)最大的項，對于系數(shù)最大的項可以利用其通項依次列舉，比較即得.
【詳解】關于的展開式，其通項為：，.
對于選項A：展開式中二項式系數(shù)之和，故A錯誤；
對于選項B：利用賦值法的應用，當時，各項的系數(shù)的和為，故B正確；
對于選項C：展開式共有7項，其中二項式系數(shù)最大的項為第4項，其二項式系數(shù)為，故C正確；
對于選項D：展開式中各項系數(shù)依次為,可見系數(shù)最大的項是第3項，系數(shù)為，故D錯誤．
故選：BC.
38．在的展開式中，
(1)求二項式系數(shù)最大的項；
(2)若第項是有理項，求的取值集合.
(3)系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項；
【答案】(1)
(2)
(3)第項和第項
【分析】
（1）利用二項式定理求出通項，二項式系數(shù)最大的項為中間項，求解即可；
（2）當為整數(shù)時為有理項，即可求解；
（3）設第項的系數(shù)的絕對值最大，列方程組即可求解.
【詳解】（1），，
二項式系數(shù)最大的項為中間項，即第項，
所以；
（2），，
當為整數(shù)時為有理項，即，
則的取值集合為；
（3）設第項的系數(shù)的絕對值最大，
則，所以，解得，
故系數(shù)的絕對值最大的項為第項和第項.
39．已知在的展開式中，第4項與第6項的二項式系數(shù)相等.
(1)求的值；
(2)若其展開式中項的系數(shù)為，求其展開式中系數(shù)的絕對值最大的項.
【答案】(1)8
(2)和
【分析】根據(jù)二項式定理通項公式及組合數(shù)公式可得結果.
【詳解】（1），；
（2）二項式的展開式的通項公式為
令得，，
展開式中項的系數(shù)為，得，
又，，
二項式的展開式的通項公式為，
設第項為系數(shù)絕對值最大的項，則，
解得，又且，或，
展開式中系數(shù)的絕對值最大的項為
和.
40．已知，是正整數(shù)，的展開式中的系數(shù)為15.
(1)求展開式中的系數(shù)的最小值；
(2)已知展開式中的二項式系數(shù)的最大值為，項的系數(shù)的最大值為，求.
【答案】(1)49
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意得，從而可得，結合二次函數(shù)的性質即可求解；
（2）由（1）可得，從而可得，令，求得，從而問題可解.
【詳解】（1）根據(jù)題意得，即，所以，
所以展開式中的的系數(shù)為，
故當或時，的系數(shù)的最小值為49.
（2）由（1）知，則，，
因為的展開式的通項為，
令（*）即，因為，所以.
因為成立，所以，
所以.
考點08整除和余數(shù)問題
41．若能被整除，則正整數(shù)的最小值為（ ）
A．53 B．54 C．55 D．56
【答案】C
【分析】根據(jù)二項式定理可得，依題意只需能被整除，即可求出的最小值.
【詳解】因為，
其中，
所以，
因為能被整除，
則只需能被整除，所以的最小值為.
故選：C
42．在①各項系數(shù)之和為；②常數(shù)項為；③各項系數(shù)的絕對值之和為1536這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答問題.
在的展開式中， .
(1)求n；
(2)證明：能被6整除.
（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由所選條件，利用展開式系數(shù)與系數(shù)和的性質，列方程求n；
（2），利用二項式定理，證明數(shù)據(jù)是6的倍數(shù).
【詳解】（1）選條件①各項系數(shù)之和為，取，則，解得；
選條件②常數(shù)項為，由，則常數(shù)項為，解得；
選條件③各項系數(shù)的絕對值之和為1536，即的各項系數(shù)之和為1536，取，則，解得.
（2）
，
所以能被6整除.
43．已知，且能被17整除，則的取值可以是 .（寫出一個滿足題意的即可）
【答案】1（答案不唯一）
【分析】
根據(jù)二項式定理展開式的特征即可求解.
【詳解】，
要使能被17整除，則能被17整除即可，
則，故可取，
故答案為：
44．利用二項式定理，求被8除所得的余數(shù)為 .
【答案】7
【分析】，，利用二項式定理展開即可求得余數(shù).
【詳解】
，
所以被8除所得的余數(shù)是7.
故答案為：7
45．被9除的余數(shù)為 .
【答案】4
【分析】整理變形得，再根據(jù)的展開式通項即可得到答案.
【詳解】，
，
故被9除的余數(shù)為4.
故答案為：4.
46．用二項式定理證明能被8整除．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)，按照二項式定理展開，化簡后，根據(jù)展開式的各式都含有因數(shù)8可得它能被8整除.
【詳解】證明：
能被8整除.
所以能被8整除.
基礎過關練
1．二項式的展開式中的第3項為（ ）
A．160 B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二項式展開式公式即可求解.
【詳解】
因為，所以，故C項正確.
故選：C．
2．已知的展開式的各項系數(shù)和為4096，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A．15 B．1215 C．2430 D．81
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，令，求得，化簡得到展開式的通項，進而得到答案.
【詳解】因為的展開式的各項系數(shù)和為，
令，可得，解得，即二項式為，
可得其通項為，
令，可得，所以展開式中的系數(shù)為.
故選：B.
3．設的展開式的各項系數(shù)和為M，二項式系數(shù)和為N，若，則展開式中有理項共有（ ）
A．1項 B．2項 C．3項 D．4項
【答案】C
【分析】
根據(jù)二項式系數(shù)和公式，結合賦值法、二項式的通項公式進行求解即可.
【詳解】二項式系數(shù)和為，
在中，令，得，
由，
二項式的通項公式為，
令，則，所以展開式中有理項共有3項，
故選：C
4．的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．10 B． C．20 D．
【答案】A
【分析】
將原式化為的形式，再利用二項展開式的通項公式求解可得答案.
【詳解】，
展開式的通項公式為，
時，，所以的系數(shù)為．
故選：A.
5．（多選）的展開式中，下列結論正確的是（ ）
A．展開式共7項 B．項系數(shù)為280
C．所有項的系數(shù)之和為2187 D．所有項的二項式系數(shù)之和為128
【答案】BCD
【分析】
選項A：根據(jù)二項式定理的性質即可判斷，選項B：根據(jù)二項式展開式的通項特征即可判斷，選項C：令即可判斷，選項D：根據(jù)二項式系數(shù)和公式即可判斷．
【詳解】
選項A：因為，所以展開式共有8項，故A錯誤，
選項B：展開式的常數(shù)項為，故B正確，
選項C：令，則所有項的系數(shù)和為，故C正確，
選項D：所有項的二項式系數(shù)和為，故D正確，
故選：BCD．
6．（多選）已知，則（ ）
A． B．
C． D．展開式中二項式系數(shù)最大的項為第項
【答案】AB
【分析】
設，利用賦值法可判斷ABC選項，利用二項式系數(shù)的單調性可判斷D選項.
【詳解】設.
對于A選項，，A對；
對于B選項，，B對；
對于C選項，，
所以，，C錯；
對于D選項，展開式共項，展開式中二項式系數(shù)最大的項為第項，D錯.
故選：AB.
7．的常數(shù)項為第3項，求
【答案】
【分析】展開式的第項是常數(shù)項，即得指數(shù)為，求出的值即可．
【詳解】因為的常數(shù)項為第3項，
所以，，
所以，即.
故答案為：.
8．求的展開式中含的項．
【答案】
【分析】根據(jù)二項展開式的形式，以及組合數(shù)的性質，即可求解.
【詳解】由，
可得展開式中含的項為：
.
9．展開式中，項的系數(shù)為 .
【答案】
【分析】
由二項式定理求解．
【詳解】，∵的指數(shù)是3，∴得到，
∵的指數(shù)是2，得到，∴項的系數(shù)為.
故答案為：
10．在的二項展開式中，系數(shù)最大的項為和，則展開式中含項的系數(shù)為 ．
【答案】7
【分析】
首先由系數(shù)最大的項為和，得，再結合二項展開式的通項公式求含x項的系數(shù)即可.
【詳解】，因為系數(shù)最大的項為和，所以為奇數(shù)，
，且，解得．
所以含項的系數(shù)為．
故答案為：7
11．判斷是否能被8整除？并推理證明．
【答案】能被8整除，證明見解析
【分析】根據(jù)題意結合二項展開式分析證明.
【詳解】能被8整除，證明如下：
因為
，
注意到最終所得的式子中每一項都能被8整除，
所以能被8整除．
12．已知，展開式中二項式系數(shù)的最大值為.
(1)求的值；
(2)求的值（結果可以保留指數(shù)形式）.
【答案】(1)；
(2)或148160.
【分析】
（1）根據(jù)二項展開式的項數(shù)確定展開式中二項式系數(shù)最大值為和，列出方程求解即得；
（2）將代入二項式，分別對賦值和，再將兩式左右分別相減化簡即得.
【詳解】（1）因展開式中共有8項，最中間兩項的二項式系數(shù)最大，即和，
依題知，解得；
（2）由（1）可得，
當時，①，
當時，②，
由①-②：，
即得：.
能力提升練
1．已知，則（ ）
A．
B．
C．
D．展開式中二項式系數(shù)最大的項為第5項
【答案】C
【分析】
利用賦值法判斷A、B、C，根據(jù)二項式系數(shù)的性質判斷D.
【詳解】
因為，
令，可得，故A錯誤；
令，可得①，故B錯誤；
令，可得②，
聯(lián)立①②可得，故C正確；
由題意可知展開式有項，則第項的二項式系數(shù)最大，故D錯誤．
故選：C．
2．在的展開式中，所有有理項的系數(shù)之和為（ ）
A．84 B．85 C．127 D．128
【答案】D
【分析】由題意得，結合展開式的通項公式即可求解.
【詳解】由題意知，
展開式的通項公式為，
當時，為有理項，
所以所有有理項的系數(shù)之和為.
故選：D.
3．已知的展開式中唯有第5項的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用二項式定理展開公式，結合系數(shù)最大列出不等式即可求解.
【詳解】
的展開式的通項為，
由題可知，解得．
故選：A
4．（多選）已知，則下列描述不正確的是（ ）
A． B．除以5所得的余數(shù)是1
C． D．
【答案】ACD
【分析】
利用賦值法即可判斷AC、求導數(shù)后結合賦值法可判斷D，根據(jù)二項式展開式的通項即可求解B.
【詳解】
，
令，可得，再令，可得，
,故A錯誤．
由于，即展開式各項系數(shù)和系數(shù)和，
故，，故C錯誤．
由題意，，
顯然，除了最后一項外，其余各項均能被5整除，除以5所得的余數(shù)是1，故B正確．
把函數(shù)兩邊同時對求導數(shù)，可得，
再令，可得，，可得，
故,故D錯誤．
故選：ACD．
5．在的展開式中，含的項的系數(shù)是 用數(shù)字作答
【答案】
【分析】
首先得出展開式的通項為，然后分別令和得出其展開式的常數(shù)項和含的項，分兩類情形即可得出所求的答案．
【詳解】
解：因為，
又因為展開式的通項為，
所以令，則其常數(shù)項為；
令，則其含的項為，
所以原展開式中含的項的系數(shù)為：．
故答案為：．
【點睛】
本題考查二項式定理的應用，考查學生的邏輯思維能力，屬中檔題．
6．用1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中滿足的五位數(shù)有個，則在的展開式中，的系數(shù)是 .
【答案】
【分析】
依題意可得，則剩下個數(shù)有種排法，從而求出，再根據(jù)組合數(shù)公式及性質計算可得.
【詳解】因為，所以，剩下個數(shù)有種排法，
所以滿足的五位數(shù)有個，即，
所以，
其中展開式中含項的系數(shù)為，
所以其展開式中含項的系數(shù)為
.
故答案為：
7．已知在的展開式中滿足，且常數(shù)項為，求：
(1)的值；
(2)從展開式中的所有項中任取三項，取出的三項中既有有理項也有無理項，求共有多少種不同的取法．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）寫出二項展開式的通項并令的指數(shù)為0，利用常數(shù)項為即可求得;
（2）由通項可知展開式中有理項共有6項，無理項有5項，再利用分類分步計數(shù)原理即可求得結果.
【詳解】（1）根據(jù)展開式的通項可得
令，解得
即時，常數(shù)項，
解得
（2）令，，解得，
即展開式中的有理項共有6項，無理項有5項；
所以從展開式中的所有項中任取三項，取出的三項中既有有理項也有無理項的取法共有種；
8．已知m，n是正整數(shù)，的展開式中x的系數(shù)為7．
(1)求m，n為何值時，的展開式中的系數(shù)最小，并求出此時的系數(shù)；
(2)利用（1）中結果，求的近似值．（精確到0.01）
【答案】(1)，或，，的系數(shù)為5
(2)
【分析】（1）由x的系數(shù)為7得，的系數(shù)為，消元討論最小值即可求；
（2），考慮到精度，故各取多項式展開式的前兩項即可
【詳解】（1）根據(jù)題意得，即．①
的展開式中的系數(shù)為．
將①變形為代入上式，得的系數(shù)為，
故當，或，時，的系數(shù)取得最小值且為9；
此時的系數(shù)均為；
（2）當，或，時，6.3二項式定理
1.能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理；
2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式；
3.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題，理解二項式系數(shù)的性質并靈活運用.
一、二項式定理
該公式叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式，共有項，
其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)，
展開式的第項為
注意：①是第項，而不是第k項；
②通項公式中a，b的位置不能顛倒．
二、二項式系數(shù)的性質
對稱性 與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，由公式得到
增減性與最大值 當時，二項式系數(shù)是逐漸增大的；當時，二項式系數(shù)是逐漸減小的，因此二項式系數(shù)在中間取得最大值 ①當n是偶數(shù)時，中間的一項的二項式系數(shù)最大； ②當n是奇數(shù)時，中間的一項的二項式系數(shù)最大；
二項式系數(shù)的和 二項式系數(shù)的和為 奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，即
三、系數(shù)之和（賦值法）
①求各項系數(shù)之和，令即可
②若，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為，
奇數(shù)項系數(shù)之和為，
偶數(shù)項系數(shù)之和為.
四、系數(shù)的最大值
求展開式中系數(shù)最大的項
情況 方法
可轉化成求二項式系數(shù)最大的項
待定系數(shù)法：設展開式中各項系數(shù)分別為，設第項系數(shù)最大，應有，從而解出來
考點01二項式定理的展開和還原
1．求值： ．
2．求值：
3．化簡： ．
4．設，化簡 .
5．設的小數(shù)部分為，則 .
6．用二項式定理展開下列各式：
(1)；
(2)．
考點02二項展開式求指定項
7． 展開式中的第四項為（ ）
A． B． C．240 D．
8．在的展開式中，常數(shù)項為 ．（用數(shù)字作答）
9．展開式中的系數(shù)為 .
10．已知，則 .
11．若，則（ ）
A．100 B．110 C．120 D．130
12．若，則（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
考點03二項式系數(shù)及系數(shù)之和
13． 展開式的二項式系數(shù)之和是256，則 .
14．若的展開式中各項系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B．945 C．2835 D．
15．已知的展開式中所有項的系數(shù)之和為64，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B．1215 C．135 D．
16．在的二項展開式中，各二項式系數(shù)之和為，各項系數(shù)之和為，若，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．若的展開式的各項系數(shù)和為1，二項式系數(shù)和為128，則展開式中x2的系數(shù)為 .
考點04奇（偶）系數(shù)項系數(shù)之和（含絕對值）
18．已知，記，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
19．已知，則的值是（ ）
A．680 B． C．1360 D．
20．（多選）已知，則下列選項正確的有（ ）
A． B．
C． D．
21．已知二項式，且滿足.
(1)求的值；
(2)求的值.
22．從①第4項的系數(shù)與第2項的系數(shù)之比是；②第3項與倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)之和為36；這兩個條件中任選一個，再解決補充完整的題目．
已知（），且的二項展開式中，____．
(1)求的值；
(2)①求二項展開式的中間項；
②求的值．
考點05兩個多項式乘積的指定項
23． 展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．60 B．4 C． D．
24．若的展開式中的系數(shù)為，則a的值為（　　）
A．2 B．3 C．1 D．4
25．已知多項式，則 .
26．已知（為常數(shù)）的展開式中所有項的系數(shù)和為32，則展開式中的系數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）．
27．在的展開式中，的系數(shù)為，則該二項展開式中的常數(shù)項為 ．
28．的展開式中的系數(shù)為 ．
考點06三項展開式的指定項
29．若，其中，且，則的展開式中所有項的系數(shù)和為（ ）
A．0 B． C． D．
30．的展開式的各項系數(shù)之和為1，則該展開式中含項的系數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
31．求的常數(shù)項為____.
32．在的展開式中，項的系數(shù)為 .（結果用數(shù)值表示）
33．的展開式中，項系數(shù)為 ．
34．若，且，則的值為 .
考點07二項式系數(shù)及系數(shù)的最值
35．若展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
36．（多選）在二項式展開式中，所有項的系數(shù)和為，所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，且滿足時，下列說法正確的有（ ）
A． B．
C．展開式中二項式系數(shù)最大的項為第三項和第四項 D．展開式中各項的系數(shù)最大的為第三項
37．（多選）關于的展開式，下列說法中正確的是（ ）
A．展開式中二項式系數(shù)之和為32 B．展開式中各項系數(shù)之和為1
C．展開式中二項式系數(shù)最大的項為第4項 D．展開式中系數(shù)最大的項為第4項
38．在的展開式中，
(1)求二項式系數(shù)最大的項；
(2)若第項是有理項，求的取值集合.
(3)系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項；
39．已知在的展開式中，第4項與第6項的二項式系數(shù)相等.
(1)求的值；
(2)若其展開式中項的系數(shù)為，求其展開式中系數(shù)的絕對值最大的項.
40．已知，是正整數(shù)，的展開式中的系數(shù)為15.
(1)求展開式中的系數(shù)的最小值；
(2)已知展開式中的二項式系數(shù)的最大值為，項的系數(shù)的最大值為，求.
考點08整除和余數(shù)問題
41．若能被整除，則正整數(shù)的最小值為（ ）
A．53 B．54 C．55 D．56
42．在①各項系數(shù)之和為；②常數(shù)項為；③各項系數(shù)的絕對值之和為1536這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答問題.
在的展開式中， .
(1)求n；
(2)證明：能被6整除.
（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
43．已知，且能被17整除，則的取值可以是 .（寫出一個滿足題意的即可）
44．利用二項式定理，求被8除所得的余數(shù)為 .
45．被9除的余數(shù)為 .
46．用二項式定理證明能被8整除．
基礎過關練
1．二項式的展開式中的第3項為（ ）
A．160 B． C． D．
2．已知的展開式的各項系數(shù)和為4096，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A．15 B．1215 C．2430 D．81
3．設的展開式的各項系數(shù)和為M，二項式系數(shù)和為N，若，則展開式中有理項共有（ ）
A．1項 B．2項 C．3項 D．4項
4．的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．10 B． C．20 D．
5．（多選）的展開式中，下列結論正確的是（ ）
A．展開式共7項 B．項系數(shù)為280
C．所有項的系數(shù)之和為2187 D．所有項的二項式系數(shù)之和為128
6．（多選）已知，則（ ）
A． B．
C． D．展開式中二項式系數(shù)最大的項為第項
7．的常數(shù)項為第3項，求
8．求的展開式中含的項．
9．展開式中，項的系數(shù)為 .
10．在的二項展開式中，系數(shù)最大的項為和，則展開式中含項的系數(shù)為 ．
11．判斷是否能被8整除？并推理證明．
12．已知，展開式中二項式系數(shù)的最大值為.
(1)求的值；
(2)求的值（結果可以保留指數(shù)形式）.
能力提升練
1．已知，則（ ）
A．
B．
C．
D．展開式中二項式系數(shù)最大的項為第5項
2．在的展開式中，所有有理項的系數(shù)之和為（ ）
A．84 B．85 C．127 D．128
3．已知的展開式中唯有第5項的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（多選）已知，則下列描述不正確的是（ ）
A． B．除以5所得的余數(shù)是1
C． D．
5．在的展開式中，含的項的系數(shù)是 用數(shù)字作答
6．用1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中滿足的五位數(shù)有個，則在的展開式中，的系數(shù)是 .
7．已知在的展開式中滿足，且常數(shù)項為，求：
(1)的值；
(2)從展開式中的所有項中任取三項，取出的三項中既有有理項也有無理項，求共有多少種不同的取法．
8．已知m，n是正整數(shù)，的展開式中x的系數(shù)為7．
(1)求m，n為何值時，的展開式中的系數(shù)最小，并求出此時的系數(shù)；
(2)利用（1）中結果，求的近似值．（精確到0.01）

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