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2009年高考數學第三輪基礎知識與基本題型復習
（三角函數）
一、基礎知識與基本方法
1．弧長分式: , 扇形面積公式: S=. 其中l為弧長, r為圓的半徑, α為圓心角的弧度數.
2．三角函數誘導公式的本質是: 奇變偶不變,符號看象限.
3．同角三角函數關系: sin2α+cos2α=1 =tanα； tanαcotα=1.
4．三角函數的性質、圖象及其變換:
(1)y=sinx,y=cosx,y=tanx的定義域,值域,單調性,奇偶性,有界性和周期性.
注意: 絕對值對三角函數周期性有影響,一般說,某一周期函數解析式加絕對值或平方,其周期是: 弦減半,切不變.既是周期函數又是偶函數的函數自變量加絕對值,其周期性不變.其他不定,如y=sin2x,y=|sinx|的周期是π, y=|tanx|的周期不變.
(2)函數y=Asin(ωx+():
①圖象是由五點法作出來的,這五個點是滿足: ωx+(=0, , π, ,2π的五個x的值,對應y值分別是0,A,0,－A,0;
②這個函數的最小正周期是.
注意: 用"五點法"作正余弦函數的圖象要注意必須先將解析式化為y= Asin(ωx+()或y= Acos(ωx+()的形式,要關注: ω>0的限制條件,當題目沒有這個限制條件時要注意最小正周期是, 應特別注意其對單調性的影響.
5．三角恒等變換的主要公式:
cos（α±β）=cosαcosβ sinαsinβ. sin(α±β）=sinαcosβ cosαsinβ
sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α－sin2α=2cos2α－1=1－2sin2α.
注意: 如下公式的運用:
,
sin2α=，cos2α=
6．三角恒等變換方法:
(1)角的變換主要有: 如α=(α+β)－β=(α－β)+β, 2α=(α+β)+ (α－β), 2α=(β+α)－(β－α),
α+β=2· ,  = (α－)－(－β)等.
(2)三角式變換主要有: 三角函數名互化(切化弦)、三角函數次數的降升(降次、升次),運算結構的轉化,解題時應本著"三看"的基本原則來進行, 即"看角、看函數、看特征", 基本技巧有: 巧變角,分式變形使用, 化切為弦,用倍角公式將高次降次.
注意: 三角恒等式的證明方法靈活多樣,可總結如下:
①從一邊開始直接推證,得到另一邊,一般地,如果所證等式一邊比較繁而另一邊比較簡時多采用此法,即由繁到簡.
②左右歸一法,即將所證恒等式左、右兩邊同時推導變形,直接推得左右兩邊都等于同一個式子.
③比較法, 即設法證明: "左邊－右邊=0" 或"  =1";
④分析法,從被證的等式出發,逐步探求使等式成立的充分條件,一直推到已知條件或顯然成立的結論成立為止,則可以判斷原等式成立.
7．內角和定理:
(1)三角形的三角之和為π, 任意兩角和與第三個角總互補,任意兩半角和與第三角的半角總互余.
(2)銳角三角形 ( 三內角都是銳角 ( 三內角的余弦值為正值 ( 任意兩角和都是鈍角 ( 任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.
8．正弦定理: =2R (R為三角形外接圓的半徑).
注意: ①已知三角形兩邊一對角,求解三角形時,若運用正弦定理,則務必注意可能有兩解.
②正弦定理之變式: a:b:c=sinA:sinB:sinC, a=2RsinA, b=2RsinB,c=2RsinC,
=
③ 三角形的內切圓半徑:
9．余弦定理: a2=b2+c2－2bccosA, =
注意: 正弦定理、余弦定理并不是孤立的,解題時要根據具體題目合理選用,有時還要交替運用.
10．面積公式:
11．在△ABC中, tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,
二、基本題型
1、若，則；角的終邊越“靠近”軸時，角的正弦、正切的絕對值就較大，角的終邊“靠近”軸時，角的余弦、余切的絕對值就較大.
［例1］已知，若，則的取值范圍是＿＿＿＿＿＿＿.
分析：由且，即知其角的終邊應“靠近”軸，所以.
［例2］方程的解的個數為＿＿＿＿個.
分析：在平面直角坐標系中作出函數與的圖像，由函數都是奇函數，而當時恒成立.在時，，所以兩函數圖像只有一個交點（坐標原點），即方程只有一個解.
同樣：當時，方程只有唯一解.
2、求某個角或比較兩角的大小：通常是求該角的某個三角函數值（或比較兩個角的三角函數值的大小），然后再定區間、求角（或根據三角函數的單調性比較出兩個角的大小）.比如：由未必有；由同樣未必有；兩個角的三角函數值相等，這兩個角未必相等，如；則；或；若，則；若，則.
［例1］已知都是第一象限的角，則“”是“”的――（　　）
A、充分不必要條件；B、必要不充分條件；C、充要條件；D、既不充分又不必要條件.
分析：都是第一象限的角，不能說明此兩角在同一單調區間內.如都是第一象限的角，但.選D.
［例2］已知，則“”是“”的―――（　　）
A、充分不必要條件；B、必要不充分條件；C、充要條件；D、既不充分又不必要條件.
分析：注意到由，則可以看作是一三角形的兩內角.選C.
3、已知一個角的某一三角函數值求其它三角函數值或角的大小，一定要根據角的范圍來確定；能熟練掌握由的值求的值的操作程序；給（一個角的三角函數）值求（另一個三角函數）值的問題，一般要用“給值”的角表示“求值”的角，再用兩角和（差）的三角公式求得.
［例1］已知是第二象限的角，且，利用表示＿＿＿＿＿；
分析：由是第二象限的角，知，.
［例2］已知，求的值.
分析：由得：，則或.又，所以.由萬能公式得，.知.
4、欲求三角函數的周期、最值、單調區間等，應注意運用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即：；引入輔助角（特別注意，經常弄錯）使用兩角和、差的正弦、余弦公式（合二為一），將所給的三角函數式化為的形式.函數的周期是函數周期的一半.
［例］函數的最小正周期為＿＿＿＿＿；最大值為＿＿；單調遞增區間為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；在區間上，方程的解集為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：由.所以函數的最小正周期為；最大值為2；單調遞增區間滿足，，即；由，則，或得或，又由得解集為.
注意：輔助角的應用：.其中，且角所在的象限與點所在象限一致.
5、當自變量的取值受限制時，求函數的值域，應先確定的取值范圍，再利用三角函數的圖像或單調性來確定的取值范圍，并注意A的正負；千萬不能把取值范圍的兩端點代入表達式求得.
［例］已知函數，求的最大值與最小值.
分析：函數.由，則，，所以函數的最大 、最小值分別為與.
6、三角形中邊角運算時通常利用正弦定理、余弦定理轉化為角（或邊）處理.有關的齊次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理轉化為三角式；當知道△ABC三邊平方的和差關系，常聯想到余弦定理解題；正弦定理應記為（其中R是△ABC外接圓半徑.
［例］在△ABC中，分別是對邊的長.已知成等比數列，且，求的大小及的值.
分析：由成等比數列得，則化成，由余弦定理得，.由得，所以=.
7、在△ABC中：；，
，，等常用的結論須記住.三角形三內角A、B、C成等差數列，當且僅當.
［例1］（1）已知△ABC三邊成等差數列，求B的范圍；（2）已知△ABC三邊成等比數列，求角B的取值范圍.
分析：（1）由△ABC的三邊成等差數列，則，，消去化得.所以.
（2）同樣可以求得.
［例2］在△ABC中，若，則△ABC的形狀一定是――――（　　）
A、等腰直角三角形；　　B、直角三角形；　　C、等腰三角形；　　D、等邊三角形.
分析：在三角形ABC中：，則.所以△ABC是等腰三角形.
［例3］△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為，已知成等比數列，且.
（1）求的值；（2）設，求的值.
分析：（1）先切化弦：.由成等比，，所以.由得，則.
（2）注意到，所以，則.又由余弦定理得：，得，，所以.
8、這三者之間的關系雖然沒有列入同角三角比的基本關系式，但是它們在求值過程中經常會用到，要能熟練地掌握它們之間的關系式：.求值時能根據角的范圍進行正確的取舍.
［例1］已知關于的方程有實數根，求實數的取值范圍.
分析：由，令，則，其中.則關于的方程在上有解.注意到方程兩根之積為1，若有實根必有一根在內，只要△即可，得或.
［例2］已知且，則＿＿＿＿＿.
分析：此類問題經常出現在各類考試中，而且錯誤率都比較高.原因是不能根據角所在的象限，對函數值進行正確的取舍.由平方得，又由知.則有.，得.有，所以.
9、正（余）弦函數圖像的對稱軸是平行于軸且過函數圖像的最高點或最低點，兩相鄰對稱軸之間的距離是半個周期；正（余）弦函數圖像的對稱中心是圖像與“平衡軸”的交點，兩相鄰對稱中心之間的距離也是半個周期.
函數的圖像沒有對稱軸，它們的對稱中心為.兩相鄰對稱軸之間的距離也是半個周期.
［例1］已知函數，且是偶函數，則滿足條件的最小正數＿＿；
分析：是偶函數，則是它圖像的一條對稱軸.時，函數取最大（小）值.，.所以滿足條件的最小正數.
［例2］若函數的圖像關于點成中心對稱，則＿＿＿.
分析：由的圖像關于點成中心對稱知，.

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