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高考必備——高中數學常用公式及常用結論
一、集合與簡易邏輯
1．德摩根公式
?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
2．包含關系
A∩B＝A?A∪B＝B?A?B??UB??UA?A∩?UB＝???UA∪B＝R.
3.集合{a1，a2，…，an}的子集個數共有2n個；真子集有2n－1個；非空子集有2n－1個；非空真子集有2n－2個．
4．真值表
p
q
非p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
5.充要條件
(1)充分條件：若p?q，則p是q充分條件．
(2)必要條件：若q?p，則p是q必要條件．
(3)充要條件：若p?q，且q?p，則p是q充要條件．
注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然．
二、函數
1．二次函數的解析式的三種形式
(1)一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)頂點式f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
(3)零點式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．函數的單調性
(1)設x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，那么
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?＞0?f(x)在[a，b]上是增函數；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?＜0?f(x)在[a，b]上是減函數．
(2)設函數y＝f(x)在某個區間內可導，如果f′(x)＞0，則f(x)為增函數；如果f′(x)＜0，則f(x)為減函數．
3．函數的奇偶性
(1)若函數y＝f(x)是偶函數，則f(x＋a)＝f(－x－a)；
(2)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則f(x＋a)＝f(－x＋a)．
4．函數的對稱性
(1)函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱 ?f(a＋x)＝f(a－x)?f(2a－x)＝f(x)；
(2)對于函數y＝f(x)(x∈R)，f(x＋a)＝f(b－x)恒成立，則函數f(x)的對稱軸是函數x＝；
(3)兩個函數y＝f(x＋a)與y＝f(b－x)的圖象關于直線x＝對稱；
(4)若f(x)＝－f(－x＋a) ，則函數y＝f(x)的圖象關于點對稱．
5．函數的周期性(約定a>0)
(1)f(x)＝f(x＋a)，則f(x)的周期T＝a；
(2)f(x)＝－f(x＋a)，或f(x＋a)＝(f(x)≠0)，
或f(x＋a)＝－(f(x)≠0) ，
或＋＝f(x＋a)，(f(x)∈[0,1])，則f(x)的周期T＝2a.
6．圖象平移
若將函數y＝f(x)的圖象右移a、上移b個單位，得到函數y＝f(x－a)＋b的圖象；若將曲線f(x，y)＝0的圖象右移 a、上移b個單位，得到曲線f(x－a，y－b)＝0的圖象．
7．分數指數冪
(1)a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
(2)a－＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
8．根式的性質
(1)()n＝a；
(2)當n為奇數時，＝a；
當n為偶數時，＝|a|＝
9．有理指數冪的運算性質
(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
10．指數式與對數式的互化式
logaN＝b?ab＝N(a＞0，a≠1，N＞0)
11．對數的換底公式
logaN＝(a＞0，且a≠1，m＞0，且m≠1，N＞0)．
推論logambn＝logab(a＞0，且a＞1，m，n＞0，且m≠1，n≠1，N＞0)．
12．對數的四則運算法則
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
三、導數
1．函數y＝f(x)在點x0處的導數的幾何意義
函數y＝f(x)在點x0處的導數是曲線y＝f(x)在P(x0，f(x0))處的切線的斜率f′(x0)，相應的切線方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
2．幾種常見函數的導數
(1)C′＝0(C為常數)．
(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Q)．
(3)(sin x)′＝cos x.
(4)(cos x)′＝－sin x.
(5)(ln x)′＝；(logax)′＝.
(6)(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a.
3．導數的運算法則
(1)(u±v)′＝u′±v′.
(2)(uv)′＝u′v＋uv′.
(3)′＝(v≠0)．
(文)4.判別f(x0)是極大(小)值的方法
當函數f(x)在點x0處連續時，
(1)如果在x0附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則f(x0)是極大值；
(2)如果在x0附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則f(x0)是極小值．
四、三角函數、解三角形
1．同角三角函數的基本關系式
sin2θ＋cos2θ＝1；tan θ＝.
2．正弦、余弦的誘導公式
sin＝
cos＝
3．和角與差角公式
Tα±β：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
Cα±β：cos(α±β)＝cos αcos β?sinαsinβ；
Tα±β：tan(α±β)＝.
4．輔助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)
.
5．二倍角公式
S2α：sin 2α＝2sin αcos α；
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
T2α：tan 2α＝.
6．三角函數的周期公式
(1)函數y＝sin(ωx＋φ)，x∈R及函數y＝cos(ωx＋φ)，x∈R(A，ω，φ為常數，且A≠0，ω＞0)的周期T＝；
(2)函數y＝tan(ωx＋φ)，x≠kπ＋，k∈Z(A，ω，φ為常數，且A≠0，ω＞0)的周期T＝.
7．正弦定理
＝＝＝2R.
8．余弦定理
(1)a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2cacos B；c2＝a2＋b2－2abcos C.
(2)求角：cos A＝；cos B＝；cos C＝.
9．三角形面積定理
(1) S＝aha＝bhb＝chc(ha、hb、hc分別表示a、b、c邊上的高)．
(2)S＝absin C＝bcsin A＝casin B.
10．三角形內角和定理
在△ABC中，有A＋B＋C＝π?C＝π－(A＋B)
?＝－?2C＝2π－2(A＋B)．
五、向量
1．實數與向量的積的運算律
設λ、μ為實數，那么
(1) 結合律：λ(μa)＝(λμ)a；
(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.
2．向量的數量積的運算律
(1) a·b＝ b·a (交換律)；
(2)( λa)·b＝ λ(a·b)＝λa·b＝ a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝ a ·c ＋b·c.
3．向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，則a∥b(b≠0) ?x1y2－x2y1＝0.
4．a與b的數量積(或內積)
a·b＝|a||b|cos θ.
5．平面向量的坐標運算
(1)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．
(2)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝(x1－x2，y1－y2)．
(3)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.
(4)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝－＝(x2－x1，y2－y1)．
(5)設a＝(x，y) ，則 |a|＝.
6．兩向量的夾角公式
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，則
cos θ＝＝.
7.向量的平行與垂直
a∥b?b＝λa?x1y2－x2y1＝0.
a⊥b(a≠0)?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
8．兩向量的夾角公式
cos θ＝(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
9．三角形四“心”向量形式的充要條件
設O為△ABC所在平面上一點，角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，則
(1)O為△ABC的外心?2＝2＝2.
(2)O為△ABC的重心?＋＋＝0.
(3)O為△ABC的垂心?·＝·＝·.
(4)O為△ABC的內心?a＋b＋c＝0.
六、數列
1．數列的通項公式與前n項的和的關系
an＝ (數列{an}的前n項的和為Sn＝a1＋a2＋…＋an)．
2．等差數列的通項公式
an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)；
其前n項和公式為Sn＝＝na1＋d
＝n2＋n.
3．等比數列的通項公式
an＝a1qn－1＝·qn(n∈N*)；
其前n項的和公式為Sn＝或Sn＝
七、不等式
1．常用不等式
(1)a，b∈R?a2＋b2≥2ab(當且僅當a＝b時取“＝”號)．
(2)a，b∈R＋?≥(當且僅當a＝b時取“＝”號)．
2．最值定理
已知xy都是正數，則有
(1)若積xy是定值p，則當x＝y時和x＋y有最小值2；
(2)若和x＋y是定值s，則當x＝y時積xy有最大值s2.
八、立體幾何
1．柱體、錐體、球體的側面積、表面積、體積計算公式
圓柱側面積＝2πrl ，表面積＝ 2πrl＋2πr2，
圓錐側面積＝πrl，表面積＝πrl＋πr2，
V柱體＝Sh　(S是柱體的底面積，h是柱體的高)．
V錐體＝Sh　(S是錐體的底面積，h是錐體的高)．
球的半徑是R，則其體積V＝πR3，其表面積S＝4πR2.
2．證明直線與直線平行的方法
(1)三角形中位線；(2)平行四邊形(一組對邊平行且相等)．
3．證明直線與平面平行的方法
(1)直線與平面平行的判定定理(證平面外一條直線與平面內的一條直線平行)；
(2)先證面面平行．
4．證明平面與平面平行的方法
平面與平面平行的判定定理(一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行)．
5．證明直線與直線垂直的方法
轉化為證明直線與平面垂直．
6．證明直線與平面垂直的方法
(1)直線與平面垂直的判定定理(直線與平面內兩條相交直線垂直)．
(2)平面與平面垂直的性質定理(兩個平面垂直，一個平面內垂直交線的直線垂直另一個平面)．
7．證明平面與平面垂直的方法
平面與平面垂直的判定定理(一個平面內有一條直線與另一個平面垂直)．
九、解析幾何
1．斜率公式
k＝(P1(x1，y1)、P2(x2，y2)且x1≠x2)．
2．直線的五種方程
(1)點斜式y－y1＝k(x－x1)(直線l過點P1(x1，y1)，且斜率為k)．
(2)斜截式y＝kx＋b (b為直線l在y軸上的截距)．
(3)兩點式＝ (P1(x1，y)、P2(x2，y2)且x1≠x2，y1≠y2)．
(4)截距式＋＝1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b≠0)．
(5)一般式Ax＋By＋C＝0 (其中A、B不同時為0)．
3．兩條直線的平行和垂直
(1)若l1∶y＝k1x＋b1，l2∶y＝k2x＋b2
①l1∥l2?k1＝k2，b1≠b2；②l1⊥l2?k1k2＝－1；
(2)若l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0，且A1、A2、B1、B2都不為零，
①l1∥l2?＝≠；②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
4．點到直線的距離
d＝ (點P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0 )．
5. 圓的方程
(1)圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(圓心坐標為(a，b)，半徑為r)．
(2)圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．
(3)圓的直徑式方程(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0 (圓的直徑的端點是A(x1，y1)、B(x2，y2)．
6.點與圓的位置關系
點P(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系有三種：
d＞r?點P在圓外； d＝r?點P在圓上；d＜r?點P在圓內，其中d＝.
7．直線與圓的位置關系
直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系有三種：
d＞r?相離?Δ＜0；
d＝r?相切?Δ＝0；
d＜r?相交?Δ＞0.
其中d＝.
8．兩圓位置關系的判定方法
設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，|O1O2|＝d，
d＞r1＋r2?外離?4條公切線；
d＝r1＋r2?外切?3條公切線；
|r1－r2|＜d＜r1＋r2?相交?2條公切線；
d＝|r1－r2|?內切?1條公切線；
0＜d＜|r1－r2|?內含?無公切線．
9．圓的切線方程
(1)已知圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
①若已知切點(x0，y0)在圓上，則切線只有一條，其方程是
x0x＋y0y＝＋＋F＝0.
當(x0，y0)在圓外時，x0x＋y0y＋＋＋F＝0表示過兩個切點的切點弦方程．
②過圓外一點的切線方程可設為y－y0＝k(x－x0)，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．
③斜率為k的切線方程可設為y＝kx＋b，再利用相切條件求b，必有兩條切線．
(2)已知圓x2＋y2＝r2.
①過圓上的P0(x0，y0)點的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2；
②斜率為k的圓的切線方程為y＝kx±r.
10．點與橢圓的位置關系
(1)點P(x0，y0)在橢圓＋＝1(a＞b＞0)的內部?＋＜1.
(2)點P(x0，y0)在橢圓＋＝1(a＞b＞0)的外部?＋＞1.
11．直線與圓錐曲線相交的弦長公式
|AB|＝或|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|· (弦端點A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程消去y得到ax2＋bx＋c＝0，Δ＞0，α為直線AB的傾斜角，k為直線的斜率).
12．橢圓的切線方程
(1)橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點P(x0，y0)處的切線方程是＋＝1.
(2)過橢圓＋＝1(a＞b＞0)外一點P(x0，y0)所引兩條切線的切點弦方程是＋＝1.
(3)橢圓＋＝1(a＞b＞0)與直線Ax＋By＋C＝0相切的條件是A2a2＋B2b2＝c2.
13．點與雙曲線的位置關系
(1)點P(x0，y0)在雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的內部?－＞1.
(2)點P(x0，y0)在雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的外部?－＜1.
14．雙曲線的方程與漸近線方程的關系
(1)若雙曲線方程為－＝1?漸近線方程：－＝0?y＝±x.
(2)若雙曲線與－＝1有公共漸近線，可設為－＝λ(λ＞0，焦點在x軸上，λ＜0焦點在y軸上)．
15．雙曲線的切線方程
(1)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上一點P(x0，y0)處的切線方程是－＝1.
(2)過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)外一點P(x0，y0)所引兩條切線的切點弦方程是－＝1.
(3)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)與直線Ax＋By＋C＝0相切的條件是A2a2－B2b2＝c2.
16．拋物線y2＝2px的焦半徑公式
拋物線y2＝2px(p＞0)焦半徑|CF|＝x0＋.
過焦點弦長|CD|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.
17.點與拋物線的位置關系
(1)點P(x0，y0)在拋物線y2＝2px(p＞0)的內部?y＜2px0(p＞0)．
點P(x0，y0)在拋物線y2＝2px(p＞0)的外部?y＞2px0(p＞0)．
(2)點P(x0，y0)在拋物線y2＝－2px(p＞0)的內部?y＜－2px0(p＞0)．
點P(x0，y0)在拋物線y2＝－2px(p＞0)的外部?y＞－2px0(p＞0)．
(3)點P(x0，y0)在拋物線x2＝2py(p＞0)的內部?x＜2py0(p＞0)．
點P(x0，y0)在拋物線x2＝2py(p＞0)的外部?x＞2py0(p＞0)．
(4)點P(x0，y0)在拋物線x2＝2py(p＞0)的內部?x＜2py0(p＞0)．
點P(x0，y0)在拋物線x2＝－2py(p＞0)的外部?x＞－2py0(p＞0)．
18. 拋物線的切線方程
(1)拋物線y2＝2px上一點P(x0，y0)處的切線方程是y0y＝p(x＋x0)．
(2)過拋物線y2＝2px外一點P(x0，y0)所引兩條切線的切點弦方程是y0y＝p(x＋x0)．
(3)拋物線y2＝2px(p＞0)與直線Ax＋By＋C＝0相切的條件是pB2＝2AC.
(文)十、概率與統計
1．平均數、方差、標準差的計算
平均數：＝，
方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，
標準差：s＝.
2．回歸直線方程
y＝a＋bx，其中
b＝＝.
3．獨立性檢驗
K2＝.
4．古典概型的計算
必須要用列舉法、列表法、樹狀圖的方法把所有基本事件表示出來，不重復、不遺漏，其中
P(A)＝＝.
5. 幾何概型的概率計算公式
P(A)＝
.
6．互斥事件A，B至少有一個發生的概率
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
(文)十一、復數
1．復數的相等
a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
2．復數z＝a＋bi的模(或絕對值)
|z|＝|a＋bi|＝.
3．復數的四則運算法則
(1)(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i；
(4)(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．

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