資源簡介

特殊的平行四邊形
知識結(jié)構(gòu)
模塊一 矩形
知識精講
1. 定義：有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形．
注意：矩形的定義既是矩形的基本性質(zhì)，也是判定矩形的基本方法．
2. 性質(zhì)：
矩形除具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)．
(1) 矩形的四個角都是直角；
(2) 矩形的兩條對角線相等．
注意：①矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形．過對稱中心的任意直線可將
矩形分成完全全等的兩部分．
②矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸(分別是通過對邊中點的直線)．
③對稱軸的交點就是對角線的交點 (即對稱中心)．
3. 判定：
矩形的判定定理 1：有三個內(nèi)角是直角的四邊形是矩形．
矩形的判定定理 2：對角線相等的平行四邊形是矩形．
例題解析
- 1 -
【例 1】關(guān)于矩形的性質(zhì)，以下說法不正確的是 ( )
A．四個角都是直角 B．對角線相等
C．對角線互相垂直 D．是軸對稱圖形
【例 2】在四邊形 ABCD中， AD / /BC ， AB CD．下列說法能使四邊形 ABCD為矩形的
是 ( )
A． AB / /CD B． AD BC C． A B D． A D
【例 3】下列條件不能判定一個四邊形是矩形的是 ( )
A．四個內(nèi)角都相等 B．四條邊都相等
C．對角線相等且互相平分 D．對角線相等的平行四邊形
【例 4】如圖，在矩形 ABCD中，對角線 AC ， BD交于點O，若 AOB 60 ， AB 2，
則對角線 AC 的長是 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【例 5】已知四邊形 ABCD中， AD / /BC ， AC BD，下列說法不正確的是 ( )
A．如果 AD BC，那么四邊形 ABCD是矩形
B．如果 AB DC，那么四邊形 ABCD是矩形
C．如果 AB / /DC ，那么四邊形 ABCD是矩形
D．如果 ABC 90 ，那么四邊形 ABCD是矩形
- 2 -
【例 6】如圖，在矩形 ABCD中，AB 2，對角線 AC與 BD相交于點O，AE垂直平分OB
于點 E，則 BC的長為 ( )
A． 2 5 B． 2 3 C．4 D．2
【例 7】矩形的兩條對角線的夾角為 60 ，一條對角線與較短邊的和為 6，則較長邊
為 ．
【例 8】已知矩形 ABCD，對角線 AC 與 BD相交于點O，如果 AOB 60 ， AB 4，那
么 AD的長是 ．
【例 9】如圖，在矩形 ABCD中，AB 2BC，在CD上取一點 E，使 AE AB，則 EBC的
度數(shù)為 ．
【例 10】如圖，在矩形 ABCD中， AC 與 BD相交于點O，如果 AOD 120 ， AB 6，
那么 AC ．
【例 11】如圖，矩形 ABCD中， AB 8， AD 10，E是CD上一點，把 ADE沿直線
AE翻折，D點恰好落在 BC邊上的F 點處，則CE ．
- 3 -
【例 12】如圖， ABC中， AB AC， AD平分 BAC交 BC于點D， AE平分 BAC的外
角，且 AEB 90 ．求證：四邊形 ADBE是矩形．
模塊二 菱形
知識精講
1. 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
2. 性質(zhì)：菱形除具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：
(1) 菱形的四條邊都相等；
(2) 菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．
注意：①菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完
全全等的兩部分；
②菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸(對角線所在的直線)，對稱軸的交點就是對稱中心；
③菱形的面積有兩種計算方法：
一種是平行四邊形的面積公式： S 底×高；
另一種是兩條對角線乘積的一半(即四個小直角三角形面積之和)．
實際上，任何一個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半．
3. 判定：
菱形的判定定理 1：四條邊都相等的四邊形是菱形．
菱形的判定定理 2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
例題解析
- 4 -
【例 13】已知四邊形 ABCD是菱形，AC和 BD是菱形的對角線，那么下列說法一定正確的
是 ( )
A． AC BD B． AC BD C． AC AB D． BAC ABD
【例 14】已知平行四邊形 ABCD的對角線 AC、BD相交于點O．下列補充條件中，能判定
這個平行四邊形是菱形的是 ( )
A． ABD ACB B． AOB ADC C． ABD CBD D． ABD ACD
【例 15】已知四邊形 ABCD中， AC BD，再補充一個條件使得四邊形 ABCD為菱形，這
個條件可以是 ( )
A． AC BD B． AB BC
C． AC與 BD互相平分 D． ABC 90
【例 16】已知四邊形 ABCD， AB BC CD， AC、BD是它的兩條對角線．下列條件中，
不能判定四邊形 ABCD是菱形的是 ( )
A． AC BD B． AD BC C． AB / /DC D． AC BD
【例 17】如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，四邊形 ABCD是菱形， ABC 120 ，點 B的
坐標(biāo)為 (0, 3)，則點 A的坐標(biāo)為 ( )
A． ( 3 3,0) B． (3 3， 0) C． ( 6,0) D． (6,0)
- 5 -
【例 18】如圖，在菱形 ABCD中，對角線 AC、BD交于點O，若菱形 ABCD的面積是 12，
則 AOB的面積為 ( )
A．3 B．6 C．24 D．48
【例 19】已知菱形的周長為 40，一條對角線長為 12，則這個菱形的面積是 ．
【例 20】如果菱形的面積是 24，較短的對角線長為 6，那么這個菱形的邊長是 ．
【例 21】如圖，在菱形 ABCD中， AB 10， B 60 ，則 AC的長為 ．
【例 22】如圖，在菱形 ABCD中，點 E是CD上一點，連接 AE交對角線 BD于點 F ，連接
CF ，若 AED 40 ，則 BCF ．
- 6 -
【例 23】如圖， AE / /BF ， AC平分 BAD，且交 BF 于點C， BD平分 ABC，且交 AE
于點 D，連接CD．求證：四邊形 ABCD是菱形．
【例 24】如圖，已知在四邊形 ABCD中， AD / /BC ，點 E為 BC中點， BD DC， EA平
分 DEB．
（1）求證： AE DC；
（2）求證：四邊形 ABED是菱形．
模塊三 正方形
知識精講
1. 定義：有一組鄰邊相等并且有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做正方形．
2. 正方形與矩形、菱形的關(guān)系：
矩形 鄰邊相等 正方形 菱形 一個角是直角 正方形
3. 性質(zhì)定理：
正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性質(zhì)：
- 7 -
①邊的性質(zhì)：對邊平行，四條邊都相等．
②角的性質(zhì)：四個角都是直角．
③對角線性質(zhì)：兩條對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角．
④對稱性：正方形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形．
4. 判定定理：
判定定理 1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形．
判定定理 2：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形．
例題解析
【例 25】在四邊形 ABCD中， A B C 90 ．如果再添加一個條件可證明四邊形是
正方形，那么這個條件可以是 ( )
A． AB BC B． AB CD C． AC BD D． D 90
【例 26】已知四邊形 ABCD中， A 90 ， AB / /CD， B D，如果添加一個條件，即
可推出該四邊形是正方形，那么這個條件可以是 ( )
A． D 90 B． AB CD C． BC CD D． AC BD
【例 27】如圖，已知四邊形 ABCD是平行四邊形，那么添加下列條件能判定四邊形 ABCD是
正方形的是 ( )
A． AB AD且 AC BD B． AC BD且 AC和 BD互相平分
C． BAD ABC且 AC BD D． AC BD且 AB AD
- 8 -
【例 28】若正方形的對角線是 6，則此正方形的面積是 ．
【例 29】如圖，已知 P是正方形 ABCD對角線 BD上一點，且 BP BC，則 BCP ．
【例 30】如圖，正方形 ABCD中，延長 BC 到 E ，使 CE CA， AE 交 CD于 F ，那么
AFD ．
【例 31】已知平行四邊形 ABCD，對角線 AC、 BD相交于點O，且CA CB，延長 BC至
點 E，使CE BC ，聯(lián)結(jié)DE．
（1）當(dāng) AC BD時，求證： BE 2CD；
（2）當(dāng) ACB 90 時，求證：四邊形 ACED是正方形．
- 9 -
【例 32】如圖，在正方形 ABCD的對角線 AC上取點 E，使CD CE，過點 E作 EF AC
交 AD于點 F ，求證： AE EF DF ．
【例 33】已知，如圖，四邊形 ABCD是菱形， B是銳角， AF BC 于點 F ，CH AD于
點H ，在 AB邊上取點 E，使得 AE AH ，在CD邊上取點G，使得CG CF．聯(lián)結(jié) EF 、
FG、CH 、HE．
（1）求證：四邊形 EFGH是矩形．
（2）若 B 45度，求證：四邊形 EFGH 是正方形．
隨堂檢測
【習(xí)題 1】矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是 ( )
A．兩組對邊分別平行 B．對角線互相垂直
C．對角線相等 D．兩組對角分別相等
- 10 -
【習(xí)題 2】下列說法正確的是 ( )
A．菱形的四個內(nèi)角都是直角
B．矩形的對角線互相垂直
C．正方形的每一條對角線平分一組對角
D．平行四邊形是軸對稱圖形
【習(xí)題 3】已知四邊形 ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的 ( )
A．當(dāng) AB BC時，它是菱形 B．當(dāng) AD CD時，它是菱形
C．當(dāng) ABC 90 時，它是矩形 D．當(dāng) AC BD時，它是矩形
【習(xí)題 4】矩形各角的角平分線交成的四邊形是 ( )
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【習(xí)題 5】如圖，已知四邊形 ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論正確的是 ( )
A．當(dāng) AB BC時，四邊形 ABCD是矩形
B．當(dāng) AC BD時，四邊形 ABCD是矩形
C．當(dāng) AC BD時，四邊形 ABCD是菱形
D．當(dāng) ABC 90 時，四邊形 ABCD是正方形
【習(xí)題 6】如圖，在矩形 ABCD中，對角線 AC ，BD交于點O， AOB 60 ，BC 2 3 ，
則 AO的長是 ( )
A．4 B．2 C． 2 3 D． 3
- 11 -
【習(xí)題 7】如圖，在矩形 ABCD中，對角線 AC、BD交于點O， AOD 120 ，矩形 ABCD
的面積是 9 3，那么這個矩形的周長是 ( )
A．3 3 3 B． 4 4 3 C． 6 6 3 D．8 8 3
【習(xí)題 8】如圖，在菱形 ABCD中， BAD 80 ， AB的垂直平分線交對角線 AC于點 F ，
E為垂足，連接DF，求 CDF 的度數(shù)．
【習(xí)題 9】已知：如圖， ABC中，M 是 BA延長線上一點，AD是 ABC的中線，E是 AC
的中點，過點 A作 AF / /BC，與DE的延長線相交于點 F ．
（1）求證：四邊形 ABDF是平行四邊形．
（2）如果 AF 平分 MAC，求證：四邊形 ADCF是矩形．
- 12 -
【習(xí)題 10】已知：如圖，在四邊形 ABCD中， AB / /DC ，對角線 AC、 BD交于點O，過
點C作CE CD交 AB的延長線于點 E，聯(lián)結(jié)OE，OC OE．
（1）求證：OE 1 AC；
2
（2）如果 DB平分 ADC，求證：四邊形 ABCD是菱形．
【習(xí)題 11】已知：如圖，四邊形 ABCD是菱形，點 E，F(xiàn) 分別在邊 BC，CD上，且 BE DF ，
過點 F 作 AE的平行線交對角線 AC的延長線于點G，連接 EG．
（1）求證：四邊形 AEGF是菱形；
（2）如果 B BAE 30 ，求證：四邊形 AEGF是正方形．
- 13 -
【習(xí)題 12】如圖，矩形 ABCO中，點C在 x軸上，點 A在 y軸上，點 B的坐標(biāo)是 ( 6,8)．矩
形 ABCO沿直線 BD折疊，使得點 A落在對角線OB上的點 E處，折痕與OA、 x軸分別交
于點 D、 F ．
（1）求點 D的坐標(biāo)；
（2）若點 N是平面內(nèi)任一點，在 x軸上是否存在點M ，使M 、 N、 E、O為頂點的四邊
形是菱形？若存在，請直接寫出滿足條件的點M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
課后作業(yè)
【作業(yè) 1】下面性質(zhì)中菱形有而矩形沒有的是 ( )
A．鄰角互補 B．對角線互相垂直
C．對角線相等 D．對角線互相平分
【作業(yè) 2】如圖，把長方形 ABCD沿 EF 對折后使兩部分重合，若 1 60 ，則 AEF ( )
A．110 B．115 C．120 D．130
- 14 -
【作業(yè) 3】如果要證明平行四邊形 ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形 ABCD是平行四
邊形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步證明 ( )
A． AB AD且 AC BD B． AB AD且 AC BD
C． A B且 AC BD D． AC和 BD互相垂直平分
【作業(yè) 4】在下列圖形中，①等邊三角形，②正方形，③正五邊形，④正六邊形．其中既是
軸對稱圖形又是中心對稱的圖形有 ( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【作業(yè) 5】已知一個菱形的邊長為 5，其中一條對角線長為 8，則這個菱形的面積為 ．
【作業(yè) 6】矩形的兩條對角線的夾角為 60 ，一條對角線的長為 2，那么矩形的周長為 ．
【作業(yè) 7】如圖，在矩形 ABCD中，AE平分 BAD， EAO 15 ，則 BOE的度數(shù)是 ．
【作業(yè) 8】已知：如圖四邊形 ABCD是菱形，E是對角線 BD上的一點，聯(lián)結(jié) AE、CE ．求
證： DAE DCE ．
- 15 -
【作業(yè) 9】如圖，在正方形 ABCD中，M 為 AB的中點，MN MD，BN 平分 CBE并交MN
于 N．試說明：MD MN ．
【作業(yè) 10】已知：如圖，四邊形 ABCD的對角線 AC、 BD相交于點O， AO BO CO，
BAC ACD．
（1）求證：四邊形 ABCD是矩形；
（2）如果點 E在邊 AB上，DE平分 ADB， BD 2AB，求證： BD AD AE．
- 16 -
參考答案
一．矩形（共 12 小題）
【例 1．關(guān)于矩形的性質(zhì)，以下說法不正確的是 ( )
A．四個角都是直角 B．對角線相等
C．對角線互相垂直 D．是軸對稱圖形
解：矩形是軸對稱圖形，四個角都是直角，對角線相等，故 A， B，D都對，不符合題意，
而菱形是對角線互相垂直，矩形不具有，故C錯誤，符合題意，
故選：C．
【例 2．在四邊形 ABCD中， AD / /BC ， AB CD．下列說法能使四邊形 ABCD為矩形的
是 ( )
A． AB / /CD B． AD BC C． A B D． A D
解： A、 AB / /CD， AD / /BC ，
四邊形 ABCD是平行四邊形，
由 AB CD，不能判定四邊形 ABCD為矩形，故選項 A不符合題意；
B、 AD BC， AD / /BC ，
四邊形 ABCD是平行四邊形，
由 AB CD，不能判定四邊形 ABCD為矩形，故選項 B不符合題意；
C、 AD / /BC，
A B 180 ，
A B，
A B 90 ，
AB AD， AB BC，
AB的長為 AD與 BC間的距離，
AB CD，
CD AD，CD BC ，
C D 90 ，
四邊形 ABCD是矩形，故選項C符合題意；
D、 AD / /BC，
A B 180 ， D C 180 ，
A D，
- 17 -
B C，
AB CD，
四邊形 ABCD是等腰梯形，故選項 D不符合題意；
故選：C．
【例 3．下列條件不能判定一個四邊形是矩形的是 ( )
A．四個內(nèi)角都相等 B．四條邊都相等
C．對角線相等且互相平分 D．對角線相等的平行四邊形
解： A、四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形，故選項 A不符合題意；
B、四條邊都相等的四邊形是菱形，故選項 B符合題意；
C、對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故選項C不符合題意；
D、對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項 D不符合題意；
故選： B．
【例 4．如圖，在矩形 ABCD中，對角線 AC ， BD交于點O，若 AOB 60 ， AB 2，
則對角線 AC 的長是 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解： 四邊形 ABCD是矩形，
AC BD， AO CO， BO DO，
AO BO，
又 AOB 60 ，
AOB是等邊三角形，
AB AO 2，
AC 2AO 4，
故選： A．
【例 5．已知四邊形 ABCD中， AD / /BC ， AC BD，下列說法不正確的是 ( )
A．如果 AD BC，那么四邊形 ABCD是矩形
B．如果 AB DC，那么四邊形 ABCD是矩形
- 18 -
C．如果 AB / /DC ，那么四邊形 ABCD是矩形
D．如果 ABC 90 ，那么四邊形 ABCD是矩形
解： A、 AD / /BC， AD BC，
四邊形 ABCD是平行四邊形，
AC BD，
四邊形 ABCD是矩形，故不符合題意；
B、當(dāng) AD / /BC ， AB DC， AC BD，不能判定四邊形 ABCD是矩形，故符合題意；
C、 AD / /BC， AB / /DC ，
四邊形 ABCD是平行四邊形，
AC BD，
四邊形 ABCD是矩形，故不符合題意；
D、如圖，
AD / /BC， ABC 90 ，
BAD ABC 90 ，
AC BD，
Rt ABC Rt BAD(HL)，
AD BC，
AD / /BC，
四邊形 ABCD是平行四邊形，
ABC 90 ，
四邊形 ABCD是矩形，故不符合題意，
故選： B．
【例 6．如圖，在矩形 ABCD中，AB 2，對角線 AC與 BD相交于點O，AE垂直平分OB
于點 E，則 BC的長為 ( )
- 19 -
A． 2 5 B． 2 3 C．4 D．2
解： 四邊形 ABCD是矩形，
AO BO CO DO，
AE垂直平分OB，
AB AO，
AB AO BO，
AOB是等邊三角形，
BAC 60 ，
BC 3AB 2 3 ，
故選： B．
【例 7．矩形的兩條對角線的夾角為 60 ，一條對角線與較短邊的和為 6，則較長邊為
2 3 ．
解： 四邊形 ABCD是矩形，
OA OC，OB OD， AC BD，
OA OB，
AOB 60 ，
OAB是等邊三角形，
1
AB OB OA 6 2，
3
AC BD 4．
BC 42 22 2 3，
矩形長邊的長等于 2 3，
故答案為： 2 3．
- 20 -
【例 8．已知矩形 ABCD，對角線 AC 與 BD相交于點O，如果 AOB 60 ， AB 4，那
么 AD的長是 4 3 ．
解： 矩形 ABCD，
AO BO，
又 AOB 60 ，
AOB是等邊三角形，
BO AB 4 DO，
即 BD 8，
又 BAD 90 ，
AD BD2 AB2 82 42 4 3，
故答案為： 4 3．
【例 9．如圖，在矩形 ABCD中，AB 2BC，在CD上取一點 E，使 AE AB，則 EBC的
度數(shù)為 15 ．
解： 四邊形 ABCD是矩形，
D ABC 90 ， AD BC，DC / /AB，
AB AE， AB 2CB，
AE 2AD，
DEA 30 ，
DC / /AB，
DEA EAB 30 ，
AE AB，
- 21 -
1
ABE AEB (180 EAB) 75 ，
2
ABC 90 ，
EBC 90 75 15 ，
故答案為：15 ．
【例 10．如圖，在矩形 ABCD中， AC 與 BD相交于點O，如果 AOD 120 ， AB 6，
那么 AC 12 ．
解： AOD 120 ，
AOB 60 ，
四邊形 ABCD為矩形，
AO OC OB，
AOB為等邊三角形，
AO OB OC AB 6，
AC 12．
故答案為：12．
【例 11．如圖， 矩形 ABCD中，AB 8， AD 10，E是CD上一點， 把 ADE沿直
線 AE翻折，D點恰好落在BC邊上的 F 點處， 則CE 3 ．
解： 四邊形 ABCD是矩形，
B C 90 ， AD BC 10，CD AB 8．
AEF 是 ADE翻折得到的，
AF AD 10， EF DE，
BF 6，
FC 4，
- 22 -
FC 2 CE 2 EF 2 ，
42 CE2 (8 CE)2 ，
解得CE 3．
故答案為 3 ．
【例 12．如圖， ABC中， AB AC， AD平分 BAC交 BC于點D， AE平分 BAC的外
角，且 AEB 90 ．求證：四邊形 ADBE是矩形．
【解答】證明：
AD是 BAC的平分線，
1 2，
AE是 BAF 的平分線，
3 4，
1 2 3 4 180 ，
2 3 90 ，
即 DAE 90 ，
AB AC ， 1 2，
AD BC，
即 ADB 90 ，
AEB 90 ，
四邊形 ADBE是矩形．
二．菱形（共 12 小題）
【例 13．已知四邊形 ABCD是菱形，AC和 BD是菱形的對角線，那么下列說法一定正確的
是 ( )
- 23 -
A． AC BD B． AC BD C． AC AB D． BAC ABD
解： 四邊形 ABCD是菱形，
AC BC，
故選： B．
【例 14．已知平行四邊形 ABCD的對角線 AC、BD相交于點O．下列補充條件中，能判定
這個平行四邊形是菱形的是 ( )
A． ABD ACB B． AOB ADC C． ABD CBD D． ABD ACD
解：能判定這個平行四邊形是菱形的是 ABD CBD，理由如下：
如圖，
四邊形 ABCD是平行四邊形，
AD / /BC，
ADB CBD，
ABD CBD，
ADB ABD ，
AB AD，
平行四邊形 ABCD是菱形，
故選：C．
【例 15．已知四邊形 ABCD中， AC BD，再補充一個條件使得四邊形 ABCD為菱形，這
個條件可以是 ( )
A． AC BD B． AB BC
C． AC與 BD互相平分 D． ABC 90
解： 在四邊形 ABCD中，對角線 AC， BD互相平分，
四邊形 ABCD是平行四邊形，
AC BD，
四邊形 ABCD是菱形．
故選：C．
【例 16．已知四邊形 ABCD， AB BC CD， AC、BD是它的兩條對角線．下列條件中，
- 24 -
不能判定四邊形 ABCD是菱形的是 ( )
A． AC BD B． AD BC C． AB / /DC D． AC BD．
解： AB BC CD， AC、 BD是它的兩條對角線，
添加 AD BC，
四邊形 ABCD是菱形，故 B正確；
添加 AC BD，
不能得出四邊形 ABCD是菱形，故 A錯誤；
添加 AB / /DC ，
四邊形 ABCD是菱形，故C正確；
添加 AC BD，
四邊形 ABCD是菱形，故 D正確；
故選： A．
【例 17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，四邊形 ABCD是菱形， ABC 120 ，點 B的
坐標(biāo)為 (0, 3)，則點 A的坐標(biāo)為 ( )
A． ( 3 3,0) B． (3 3， 0) C． ( 6,0) D． (6,0)
解： 點 B的坐標(biāo)為 (0, 3)，
OB 3，
四邊形 ABCD是菱形， ABC 120 ，
ABO 1 ABC 60 ，
2
AOB 90 ，
OA OB tan 60 3 3，
A( 3 3， 0)，
故選： A．
【例 18．如圖，在菱形 ABCD中，對角線 AC、BD交于點O，若菱形 ABCD的面積是 12，
- 25 -
則 AOB的面積為 ( )
A．3 B．6 C．24 D．48
解： 四邊形 ABCD是菱形，
1
S ABC S ACD S 6， AO CO，2 菱形
S 1 ABO S CBO S ABC 3，2
故選： A．
【例 19．已知菱形的周長為 40，一條對角線長為 12，則這個菱形的面積是 96 ．
解：因為周長是 40，所以邊長是 10．
如圖所示： AB 10， AC 12．
根據(jù)菱形的性質(zhì)， AC BD， AO 6，
BO 8， BD 16．
1 1
面積 S AC BD 12 16 96．
2 2
故答案為 96．
【例 20．如果菱形的面積是 24，較短的對角線長為 6，那么這個菱形的邊長是 5 ．
解：設(shè)菱形的另一對角線長為 x，
1
由題意： 6 x 24，
2
解得： x 8，
菱形的邊長為： 32 42 5，
故答案為：5．
- 26 -
【例 21．如圖，在菱形 ABCD中， AB 10， B 60 ，則 AC的長為 10 ．
解： 四邊形 ABCD是菱形，
AB BC，
B 60 ，
ABC是等邊三角形，
AC AB 10．
故答案為：10．
【例 22．如圖，在菱形 ABCD中，點 E是CD上一點，連接 AE交對角線 BD于點 F ，連接
CF ，若 AED 40 ，則 BCF 40 ．
解： 四邊形 ABCD是菱形，
AD CD， AD / /BC ， ADF BDC，
AD CD， ADF BDC，DF DF ，
ADF CDF (SAS )，
DAF DCF，
AED 40 ，
DAE ADE 140 ，
ADE DCF 140 ，
AD / /BC，
ADE BCD 180 ，
ADE BCF DCF 180 ，
BCF 40 ，
故答案為：40．
- 27 -
【例 23．如圖， AE / /BF ， AC平分 BAD，且交 BF 于點C， BD平分 ABC，且交 AE
于點 D，連接CD．求證：四邊形 ABCD是菱形．
【解答】證明：
AE / /BF ，
ADB DBC， DAC BCA，
AC、 BD分別是 BAD、 ABC的平分線，
DAC BAC ， ABD DBC，
BAC ACB， ABD ADB，
AB BC， AB AD
AD BC，
AD / /BC，
四邊形 ABCD是平行四邊形，
AD AB，
四邊形 ABCD是菱形．
【例 24．如圖，已知在四邊形 ABCD中， AD / /BC ，點 E為 BC中點， BD DC， EA平
分 DEB．
（1）求證： AE DC；
（2）求證：四邊形 ABED是菱形．
【解答】證明：（1） E 為 BC中點， BD DC，
DE 1 BC BE CE，
2
EA平分 DEB，
AEB AED，
- 28 -
AD / /BC，
AD / /CE，
DAE AEB， AD / /CE，
DAE AED，
AD DE，
AD CE，
四邊形 AECD平行四邊形，
AE DC ；
（2）由（1）知，四邊形 AECD平行四邊形，
AD / /CE， AD CE，
AD / /BE，
由（1）知，DE BE CE，
AD BE DE ，
四邊形 ABED是平行四邊形，
四邊形 ABED是菱形．
三．正方形（共 9 小題）
【例 25．在四邊形 ABCD中， A B C 90 ．如果再添加一個條件可證明四邊形是
正方形，那么這個條件可以是 ( )
A． AB BC B． AB CD C． AC BD D． D 90
解：在四邊形 ABCD中，
A B C 90 ，
四邊形 ABCD是矩形，
當(dāng) AB BC時，即一組鄰邊相等時，矩形 ABCD為正方形，
故 A符合題意，
故選： A．
【例 26．已知四邊形 ABCD中， A 90 ， AB / /CD， B D，如果添加一個條件，即
可推出該四邊形是正方形，那么這個條件可以是 ( )
A． D 90 B． AB CD C． BC CD D． AC BD
解： AB / /CD，
A D 180 ， B C 180 ，
- 29 -
B D，
A C ，
四邊形 ABCD是平行四邊形，
A 90 ，
四邊形 ABCD是矩形，
添加 BC CD，
四邊形 ABCD是正方形，
故選：C．
【例 27．如圖，已知四邊形 ABCD是平行四邊形，那么添加下列條件能判定四邊形 ABCD是
正方形的是 ( )
A． AB AD且 AC BD B． AC BD且 AC和 BD互相平分
C． BAD ABC且 AC BD D． AC BD且 AB AD
解： A、 AB AD且 AC BD，是菱形，不符合題意；
B、對角線互直垂直且互相平分，是菱形，不符合題意；
C、 BAD ABC且 AC BD不能判斷四邊形 ABCD是正方形，不符合題意；
D、 AC BD且 AB AD四邊相等，是正方形，符合題意；
故選： D．
【例 28．若正方形的對角線是 6，則此正方形的面積是 18． ．
解： 四邊形為正方形，
1
正方形的面積 6 6 18，
2
故答案為：18．
【例 29．如圖，已知 P是正方形 ABCD對角線 BD上一點，且 BP BC，則 BCP度數(shù)是
67.5 ．
- 30 -
解： P是正方形 ABCD對角線 BD上一點，
CBD 45 ，
BP BC ，
BCP 1 (180 CBD) 1 (180 45 ) 67.5 ．
2 2
故答案為：67.5．
【例 30．如圖，正方形 ABCD中，延長 BC到 E，使CE CA，AE交CD于 F ，那么 AFD
67.5 ．
解： 四邊形 ABCD是正方形，
BCD 90 ， AC平分 BCD，
ACB 45 ，
CE CA，
E CAE，
E 22.5 ，
DCE 90 ，
CFE 67.5 ，
AFD CFE 67.5 ，
故答案為： 67.5 ．
【例 31．已知平行四邊形 ABCD，對角線 AC、 BD相交于點O，且CA CB，延長 BC至
點 E，使CE BC ，聯(lián)結(jié)DE．
（1）當(dāng) AC BD時，求證： BE 2CD；
（2）當(dāng) ACB 90 時，求證：四邊形 ACED是正方形．
- 31 -
【解答】證明：（1） 四邊形 ABCD是平行四邊形，
BO DO，
AC BD，
BC CD，
BC CE，
BC CE CD，
即 BE 2CD；
（2）
ACB 90 ，
ACE 180 ACB 90 ，
四邊形 ABCD是平行四邊形，
AD / /BC， AD BC，
BC CE，
AD CE，
四邊形 ACED是平行四邊形，
AC CE ， ACE 90 ，
四邊形 ACED是正方形．
【例 32．如圖所示，在正方形 ABCD的對角線 AC上取點 E，使CD CE，過點 E作 EF AC
交 AD于點 F ，求證： AE EF DF ．
- 32 -
【解答】證明：如圖，
連接CF ，
在Rt CEF和Rt CDF中，
CF CF

CD CE
Rt CEF Rt CDF，
EF DF；
四邊形 ABCD為正方形，
CAD 45 ，
在Rt AEF中，
EAF 90 ，
AEF 45 ，
EAF AEF ，
AE EF ，
AE EF DF ．
【例 33．已知，如圖，四邊形 ABCD是菱形， B是銳角， AF BC 于點 F ，CH AD于
點H ，在 AB邊上取點 E，使得 AE AH ，在CD邊上取點G，使得CG CF．聯(lián)結(jié) EF 、
FG、CH 、HE．
（1）求證：四邊形 EFGH是矩形．
（2）若 B 45度，求證：四邊形 EFGH 是正方形．
- 33 -
【解答】證明：（1）如圖 1，連結(jié) BD，
四邊形 ABCD是菱形，
AD / /BC， BAD BCD，
AF BC，CH AD，
AF CH ， AF / /CH ， AFC 90 ，
四邊形 AFCH為矩形，
AH CF AE CG，
在 EAH 和 FCG中，
AE CF

EAH FCG，

AH CG
EAH FCG (SAS )，
EH FG，
AB BC CD AD，
BE BF DH DG，
同理得 BEF DHG(SAS )，
EF GH ，
四邊形 EFG H是平行四邊形，
AE AH ， AB AD，
AEH ABD AHE ADB ，
EH / /BD，
- 34 -
BE BF ， EBD FBD，
BD EF ，
EH EF ，
四邊形 EFGH是矩形；
（2）如圖 2，由（1）知：四邊形 EFGH是矩形，
FGH 90 ，
過點G作MN AD于 N，交 BC的延長線于M ，則四邊形 HCMN 是矩形，
NH CM ，
AB / /CD，
GCM B 45 ， FCG 135 ，
CGM 是等腰直角三角形，
GM CM NH ，
CF CG，
CFG 22.5 ， FGM 90 22.5 67.5 ，
NGH 90 67.5 22.5 CFG，
在 FMG和 GNH 中，
CFG NGH

M HNG 90 ，

GM HN
FMG GNH (AAS ) ，
FG GH ，
四邊形 EFGH是正方形．
四．課堂（共 12 小題）
【習(xí)題 1】矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是 ( )
A．兩組對邊分別平行 B．對角線互相垂直
- 35 -
C．對角線相等 D．兩組對角分別相等
解：矩形的性質(zhì)是：①矩形的四個角都是直角，②矩形的對邊相等且互相平行，③矩形對角
線相等且互相平分；
菱形的性質(zhì)是：①菱形的四條邊都相等，菱形的對邊互相平行；②菱形的對角相等，③菱形
的對角線互相平分且垂直，并且每條對角線平分一組對角，
所以矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是對角線相等，
故選：C．
【習(xí)題 2】下列說法正確的是 ( )
A．菱形的四個內(nèi)角都是直角
B．矩形的對角線互相垂直
C．正方形的每一條對角線平分一組對角
D．平行四邊形是軸對稱圖形
解： A．菱形的四個內(nèi)角不一定都是直角，故 A選項不符合題意；
B．矩形的對角線不一定互相垂直，故 B選項不符合題意；
C．正方形的每一條對角線平分一組對角，故C 選項符合題意；
D．平行四邊形不一定是軸對稱圖形，故 D選項不符合題意；
故選：C．
【習(xí)題 3】已知四邊形 ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的 ( )
A．當(dāng) AB BC時，它是菱形 B．當(dāng) AD CD時，它是菱形
C．當(dāng) ABC 90 時，它是矩形 D．當(dāng) AC BD時，它是矩形
解： A、 四邊形 ABCD是平行四邊形，
又 AB BC，
四邊形 ABCD是菱形，故本選項不符合題意；
B、 四邊形 ABCD是平行四邊形，
又 AC CD，
四邊形 ABCD是矩形，故本選項符合題意；
C、 四邊形 ABCD是平行四邊形，
又 ABC 90 ，
四邊形 ABCD是矩形，故本選項不符合題意；
D、 四邊形 ABCD是平行四邊形，
- 36 -
又 AC BD，
四邊形 ABCD是矩形，故本選項不符合題意；
故選： B．
【習(xí)題 4】矩形各角的角平分線交成的四邊形是 ( )
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
解：如圖所示，
四邊形 ABCD是矩形，
BAD ADC DCB ABC 90 ，
AM 、DM 、CP、 BP分別平分 BAD、 ADC、 DCB、 ABC，
BAM DAM ADM CDM DCP ABP 45 ，
AQB PQM 90 ， AMD 90 ， CND PNM 90 ，
四邊形 PQMN 是矩形，
在 ABQ和 DCN 中，
BAQ CDN 45
AB DC ，

ABQ DCN 45
ABQ DCN (ASA)，
AQ DN ，
MAD MDA 45 ，
MA MD，
MQ MN ，
矩形 PQMN 是正方形，
故選： D．
【習(xí)題 5】如圖，已知四邊形 ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論正確的是 ( )
- 37 -
A．當(dāng) AB BC時，四邊形 ABCD是矩形
B．當(dāng) AC BD時，四邊形 ABCD是矩形
C．當(dāng) AC BD時，四邊形 ABCD是菱形
D．當(dāng) ABC 90 時，四邊形 ABCD是正方形
解： A、 四邊形 ABCD是平行四邊形，
又 AB BC，
四邊形 ABCD是菱形，故本選項不符合題意；
B、 四邊形 ABCD是平行四邊形，
又 AC BD，
四邊形 ABCD是菱形，故本選項不符合題意；
C、 四邊形 ABCD是平行四邊形，
又 AC BD，
四邊形 ABCD是菱形，故本選項符合題意；
D、 四邊形 ABCD是平行四邊形，
又 ABC 90 ，
四邊形 ABCD是矩形，故本選項不符合題意；
故選：C．
【習(xí)題 6】如圖，在矩形 ABCD中，對角線 AC ，BD交于點O， AOB 60 ，BC 2 3 ，
則 AO的長是 ( )
A．4 B．2 C． 2 3 D． 3
解： 四邊形 ABCD是矩形，對角線 AC， BD交于點O，
AO BO，
又 AOB 60 ，
- 38 -
ABO是等邊三角形，
BAC 60 ，
tan BAC BC 3，
AB
AB BC 2 3 2，
3 3
AO AB 2，
故選： B．
【習(xí)題 7】如圖，在矩形 ABCD中，對角線 AC、BD交于點O， AOD 120 ，矩形 ABCD
的面積是 9 3，那么這個矩形的周長是 ( )
A．3 3 3 B． 4 4 3 C． 6 6 3 D．8 8 3
解： 四邊形 ABCD是矩形，
OA OB，
AOD 120 ，
AOB 60 ，
AOB是等邊三角形，
1
AB OA OB AC，
2
BC 3AB，
矩形 ABCD的面積是 9 3，
AB BC AB 3AB 9 3，
AB 3， BC 3 3，
這個矩形的周長 6 6 3，
故選：C．
【習(xí)題 8】如圖，在菱形 ABCD中， BAD 80 ， AB的垂直平分線交對角線 AC于點 F ，
E為垂足，連接DF，求 CDF 的度數(shù)．
- 39 -
解： 四邊形 ABCD是菱形，
AB AD， AB / /CD，
ADC 180 BAD 180 80 100 ，
在菱形 ABCD 1中， BAF DAF BAD 1 80 40 ，
2 2
EF垂直平分 AB，
AF BF ，
BAF ABF 40 ，
AB AD
在 ABF和 ADF 中， BAF DAF，

AF AF
ABF ADF (SAS )，
ADF ABF 40 ，
CDF ADC ADF，
100 40 ，
60 ．
【習(xí)題 9】已知：如圖， ABC中，M 是 BA延長線上一點，AD是 ABC的中線，E是 AC
的中點，過點 A作 AF / /BC，與DE的延長線相交于點 F ．
（1）求證：四邊形 ABDF是平行四邊形．
（2）如果 AF 平分 MAC，求證：四邊形 ADCF是矩形．
- 40 -
【解答】證明：（1） AD是 ABC的中線， E是 AC的中點，
DE是 ABC的中位線，
DE / /AB，
AF / /BC ，
四邊形 ABDF是平行四邊形；
（2） 四邊形 ABDF是平行四邊形，
AF BD．
AD是 ABC的中線，
BD CD，
AF CD．
AF / /BC ，
四邊形 ADCF是平行四邊形．
AF 平分 MAC，
MAF CAF．
AF / /BC ，
MAF B， CAF ACB，
B ACB，
AB AC，
AD BC，
ADC 90 ，
平行四邊形 ADCF是矩形．
【習(xí)題 10】已知：如圖，在四邊形 ABCD中， AB / /DC ，對角線 AC、 BD交于點O，過
點C作CE CD交 AB的延長線于點 E，聯(lián)結(jié)OE，OC OE．
- 41 -
（1 1）求證：OE AC；
2
（2）如果 DB平分 ADC，求證：四邊形 ABCD是菱形．
【解答】證明：（1） AB / /DC，CE CD，
CE AB，
AEC 90 ，
OCE OAE 90 ，
OC OE，
OCE OEC，
OEC OEA 90 ，
OAE OEA，
OA OE ，
OA OC OE，
1
OE AC；
2
（2） AB / /DC，
OAB OCD，
在 AOB和 COD中，
OAB OCD

OA OC ，

AOB COD
AOB COD(ASA)，
AB CD，
四邊形 ABCD是平行四邊形，
AD / /BC，
ADB CBD，
DB平分 ADC，
- 42 -
ADB CDB，
CBD CDB，
BC DC，
平行四邊形 ABCD是菱形．
【習(xí)題 11】已知：如圖，四邊形 ABCD是菱形，點 E，F(xiàn) 分別在邊 BC，CD上，且 BE DF ，
過點 F 作 AE的平行線交對角線 AC的延長線于點G，連接 EG．
（1）求證：四邊形 AEGF是菱形；
（2）如果 B BAE 30 ，求證：四邊形 AEGF是正方形．
【解答】（1）證明： 菱形 ABCD，
AB AD， B D， BAC DAC，
在 ABE和 ADF 中，
AB AD

B D，

BE DF
ABE ADF (SAS )，
AE AF ， BAE DAF ，
EAG FAG，
FG / /AE，
EAG FGA，
FAG FGA，
FG AF AE，
FG / /AE，
四邊形 AEGF是平行四邊形，
又 AF AE，
四邊形 AEGF是菱形；
- 43 -
（2）證明： 四邊形 ABCD是平行四邊形，
BC / /AD，
B BAD 180 ，
B BAE 30 ，
ABE ADF ，
BAE DAF 30 ，
BAD 180 B 150 ，
EAF BAD BAE DAF 150 30 30 90 ，
四邊形 AEGF是菱形，
四邊形 AEGF是正方形．
【習(xí)題 12】如圖，矩形 ABCO中，點C在 x軸上，點 A在 y軸上，點 B的坐標(biāo)是 ( 6,8)．矩
形 ABCO沿直線 BD折疊，使得點 A落在對角線OB上的點 E處，折痕與OA、 x軸分別交
于點 D、 F ．
（1）求點 D的坐標(biāo)；
（2）若點 N是平面內(nèi)任一點，在 x軸上是否存在點M ，使M 、 N、 E、O為頂點的四邊
形是菱形？若存在，請直接寫出滿足條件的點M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1） 四邊形 ABCO是矩形，點 B的坐標(biāo)是 ( 6,8)．
BAD OCB 90 ， AB OC 6，OA BC 8，
BO OC2 BC2 10；
由折疊的性質(zhì)得： BE AB 6， BED BAD 90 ，DE AD，
OE BO BE 10 6 4， OED 90 ，
設(shè)D(0,a)，則OD a， DE AD OA OD 8 a，
在Rt EOD中，由勾股定理得： DE 2 OE 2 OD2 ，
即 (8 a)2 42 a2，解得： a 5，
- 44 -
D(0,5)；
2 10 24（ ）存在，點M 的坐標(biāo)為 (4,0)或 ( 4,0)或 ( ， 0)或 ( ， 0)；理由如下：
3 5
①當(dāng)OM 、OE都為菱形的邊時，OM OE 4，
M 的坐標(biāo)為 (4,0)或 ( 4,0)；
②當(dāng)OM 為菱形的邊，OE為對角線時，MN 垂直平分OE，垂足為G，如圖 1所示：
1
則OG OE 2，
2
OA 8，OD 5，
AD DE 3，
E 到 y DE OE 3 4 12軸的距離 ，
OD 5 5
OH 12 ，
5
EM 2 MH 2 42 12 ( )2，
5
12
OM 2 (OM )2 42 (12)2 ，
5 5
解得：OM 10 ，
3
M ( 10 ， 0)；
3
③當(dāng)OM 為菱形的對角線，OE為邊時，如圖 2所示：
24
同②得：M ( ， 0)；
5
綜上所述，在 x軸上存在點M ，使以M 、 N、 E、O為頂點的四邊形是菱形，點M 的坐
10 24
標(biāo)為 (4,0)或 ( 4,0)或 ( ， 0)或 ( ， 0)．
3 5
- 45 -
五．作業(yè)（共 10 小題）
【作業(yè) 1】下面性質(zhì)中菱形有而矩形沒有的是 ( )
A．鄰角互補 B．對角線互相垂直
C．對角線相等 D．對角線互相平分
解： A、 平行四邊形的鄰角互補，
矩形的鄰角互補．故矩形和菱形的鄰角均互補，故不符合題意；
B、菱形對角線互相垂直，矩形的對角線不互相垂直，故符合題意．
C、矩形的對角線相等，菱形的對角線互相垂直且平分，故不符合題意；
D、平行四邊形的對角線互相平分，矩形對角線互相平分．故矩形和菱形的對角線互相平
分，故不符合題意；
故選： B．
【作業(yè) 2】如圖，把長方形 ABCD沿 EF 對折后使兩部分重合，若 1 60 ，則 AEF ( )
A．110 B．115 C．120 D．130
解： 把長方形 ABCD沿 EF對折后使兩部分重合， 1 60 ，
BFE 180 1 60 ，
2
AD / /BC，
AEF BEF 180 ，
AEF 180 BFE 120 ，
故選：C．
【作業(yè) 3】如果要證明平行四邊形 ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形 ABCD是平行四
- 46 -
邊形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步證明 ( )
A． AB AD且 AC BD B． AB AD且 AC BD
C． A B且 AC BD D． AC和 BD互相垂直平分
解： A、根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，或者對角線互相垂直的平行四邊形是
菱形，所以不能判斷平行四邊形 ABCD是正方形；
B、根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形為矩形，所以能
判斷四邊形 ABCD是正方形；
C 、一組鄰角相等的平行四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形也是矩形，即只能證明
四邊形 ABCD是矩形，不能判斷四邊形 ABCD是正方形；
D、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以
不能判斷四邊形 ABCD是正方形．
故選： B．
【作業(yè) 4】在下列圖形中，①等邊三角形，②正方形，③正五邊形，④正六邊形．其中既是
軸對稱圖形又是中心對稱的圖形有 ( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
解：②、④兩者都既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，①③只是軸對稱圖形．
故選： B．
【作業(yè) 5】已知一個菱形的邊長為 5，其中一條對角線長為 8，則這個菱形的面積為 24 ．
解：如圖， 菱形 ABCD中， BD 8， AB 5，
AC BD OB 1， BD 4，
2
OA AB2 OB2 3，
AC 2OA 6，
1 1
這個菱形的面積為： AC BD 6 8 24．
2 2
故答案為：24．
【作業(yè) 6】矩形的兩條對角線的夾角為 60 ，一條對角線的長為 2，那么矩形的周長為
2 3 2 ．
- 47 -
解：矩形的兩條對角線的夾角為 1 60 ，
且矩形對角線相等且互相平分，
AOB為等邊三角形，
AB AO 1 AC 1，
2
在直角 ABC中， AC 2， AB 1，
BC AC2 AB2 3，
故矩形的周長為 2BC 2AB 2 3 2．
故答案為： 2 3 2．
【作業(yè) 7】如圖，在矩形 ABCD中， AE 平分 BAD， EAO 15 ，則 BOE 的度數(shù)是
75 ．
解：在矩形 ABCD中， AE平分 BAD，
BAE EAD 45 ，
EAO 15 ，
OAB 60 ，
OA OB，
BOA為等邊三角形，
BA BO，
BAE 45 ， ABC 90 ，
BAE為等腰直角三角形，
BA BE ．
BE BO， EBO 30 ，
BOE BEO 75 ．
- 48 -
故答案為： 75 ．
【作業(yè) 8】已知：如圖四邊形 ABCD是菱形，E是對角線 BD上的一點，聯(lián)結(jié) AE、CE ．求
證： DAE DCE ．
【解答】證明： 四邊形 ABCD是菱形，
DA DC， ADE CDE ，
在 ADE和 CDE中，
DE DE

ADE CDE，

DA DC
ADE CDE (SAS )，
DAE DCE．
【作業(yè) 9】如圖，在正方形 ABCD中，M 為 AB的中點，MN MD，BN 平分 CBE并交MN
于 N．
試說明：MD MN ．
解：取 AD的中點 P，連接 PM ，
M 為 AB的中點，且四邊形 ABCD是正方形，
AB AD；
AM AP BM PD；
AMP APM 45 ；
DPM 135 ；
而 BN 平分 CBE，
- 49 -
NBE 45 ；
MBN 135 ；
MN MD，
ADM AMD NMB AMD 90 ，
ADM NMB，即 MDP NMB．
在 MPD與 NBM 中，
DPM MBN

PD BM

MDP NMB
MPD NBM (ASA)，
DM MN．
【作業(yè) 10】已知：如圖，四邊形 ABCD的對角線 AC、 BD相交于點O， AO BO CO，
BAC ACD．
（1）求證：四邊形 ABCD是矩形；
（2）如果點 E在邊 AB上，DE平分 ADB， BD 2AB，求證： BD AD AE．
【解答】證明：（1）在 AOB和 COD中，
BAO OCD

AO CO ，

AOB COD
AOB COD(ASA)，
- 50 -
BO DO，
AO CO，
四邊形 ABCD是平行四邊形，
AO BO CO， BO DO，
AO BO CO DO，
AC BD，
平行四邊形 ABCD是矩形；
（2）過點 E作 EF BD于 F ，如圖所示：
由（1）得：四邊形 ABCD是矩形，
BAD 90 ，
BD 2AB，
ABD是等腰直角三角形，
ABD 45 ，
EF BD，
EFB EFD 90 ，
BEF 是等腰直角三角形，
FE FB，
DE平分 ADB，
ADE FDE ，
在 ADE和 FDE中，
EAD EFD 90

ADE FDE ，

DE DE
ADE FDE (AAS )，
AD FD， AE FE，
AE FB ，
BD FD FB，
BD AD AE ．
- 51 -
- 52 -1. 定義：有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形．
注意：矩形的定義既是矩形的基本性質(zhì)，也是判定矩形的基本方法．
2. 性質(zhì)：
矩形除具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)．
(1) 矩形的四個角都是直角；
(2) 矩形的兩條對角線相等．
注意：①矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形．過對稱中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分．
②矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸(分別是通過對邊中點的直線)．
③對稱軸的交點就是對角線的交點 (即對稱中心)．
3. 判定：
矩形的判定定理1：有三個內(nèi)角是直角的四邊形是矩形．
矩形的判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形．
【例1】關(guān)于矩形的性質(zhì)，以下說法不正確的是　　
A．四個角都是直角 B．對角線相等
C．對角線互相垂直 D．是軸對稱圖形
【例2】在四邊形中，，．下列說法能使四邊形為矩形的是　　
A． B． C． D．
【例3】下列條件不能判定一個四邊形是矩形的是　　
A．四個內(nèi)角都相等 B．四條邊都相等
C．對角線相等且互相平分 D．對角線相等的平行四邊形
【例4】如圖，在矩形中，對角線，交于點，若，，則對角線的長是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
【例5】已知四邊形中，，，下列說法不正確的是　　
A．如果，那么四邊形是矩形
B．如果，那么四邊形是矩形
C．如果，那么四邊形是矩形
D．如果，那么四邊形是矩形
【例6】如圖，在矩形中，，對角線與相交于點，垂直平分于點，則的長為　　
A． B． C．4 D．2
【例7】矩形的兩條對角線的夾角為，一條對角線與較短邊的和為6，則較長邊為　　 ．
【例8】已知矩形，對角線與相交于點，如果，，那么的長是　 　．
【例9】如圖，在矩形中，，在上取一點，使，則的度數(shù)為　 　．
【例10】如圖，在矩形中，與相交于點，如果，，那么　　 ．
【例11】如圖，矩形中，，，是上一點，把沿直線翻折，點恰好落在邊上的點處，則　 　．
【例12】如圖，中，，平分交于點，平分的外角，且．求證：四邊形是矩形．
1. 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
2. 性質(zhì)：菱形除具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：
(1) 菱形的四條邊都相等；
(2) 菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．
注意：①菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分；
②菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸(對角線所在的直線)，對稱軸的交點就是對稱中心；
③菱形的面積有兩種計算方法：
一種是平行四邊形的面積公式：底×高；
另一種是兩條對角線乘積的一半(即四個小直角三角形面積之和)．
實際上，任何一個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半．
3. 判定：
菱形的判定定理1：四條邊都相等的四邊形是菱形．
菱形的判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
【例13】已知四邊形是菱形，和是菱形的對角線，那么下列說法一定正確的是　　
A． B． C． D．
【例14】已知平行四邊形的對角線、相交于點．下列補充條件中，能判定這個平行四邊形是菱形的是　　
A． B． C． D．
【例15】已知四邊形中，，再補充一個條件使得四邊形為菱形，這個條件可以是　　
A． B．
C．與互相平分 D．
【例16】已知四邊形，，、是它的兩條對角線．下列條件中，不能判定四邊形是菱形的是　　
A． B． C． D．
【例17】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是菱形，，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為　　
A． B．， C． D．
【例18】如圖，在菱形中，對角線、交于點，若菱形的面積是12，則的面積為　　
A．3 B．6 C．24 D．48
【例19】已知菱形的周長為40，一條對角線長為12，則這個菱形的面積是　 　．
【例20】如果菱形的面積是24，較短的對角線長為6，那么這個菱形的邊長是　 　．
【例21】如圖，在菱形中，，，則的長為　 　．
【例22】如圖，在菱形中，點是上一點，連接交對角線于點，連接，若，則　 　．
【例23】如圖，，平分，且交于點，平分，且交于點，連接．求證：四邊形是菱形．
【例24】如圖，已知在四邊形中，，點為中點，，平分．
（1）求證：；
（2）求證：四邊形是菱形．
1. 定義：有一組鄰邊相等并且有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做正方形．
2. 正方形與矩形、菱形的關(guān)系：
矩形 鄰邊相等 正方形 菱形 一個角是直角 正方形
3. 性質(zhì)定理：
正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性質(zhì)：
①邊的性質(zhì)：對邊平行，四條邊都相等．
②角的性質(zhì)：四個角都是直角．
③對角線性質(zhì)：兩條對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角．
④對稱性：正方形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形．
4. 判定定理：
判定定理1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形．
判定定理2：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形．
【例25】在四邊形中，．如果再添加一個條件可證明四邊形是正方形，那么這個條件可以是　　
A． B． C． D．
【例26】已知四邊形中，，，，如果添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個條件可以是　　
A． B． C． D．
【例27】如圖，已知四邊形是平行四邊形，那么添加下列條件能判定四邊形是正方形的是　　
A．且 B．且和互相平分
C．且 D．且
【例28】若正方形的對角線是6，則此正方形的面積是　 　．
【例29】如圖，已知是正方形對角線上一點，且，則　 　．
【例30】如圖，正方形中，延長到，使，交于，那么　 　．
【例31】已知平行四邊形，對角線、相交于點，且，延長至點，使，聯(lián)結(jié)．
（1）當(dāng)時，求證：；
（2）當(dāng)時，求證：四邊形是正方形．
【例32】如圖，在正方形的對角線上取點，使，過點作交于點，求證：．
【例33】已知，如圖，四邊形是菱形，是銳角，于點，于點，在邊上取點，使得，在邊上取點，使得．聯(lián)結(jié)、、、．
（1）求證：四邊形是矩形．
（2）若度，求證：四邊形是正方形．
【習(xí)題1】矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是　　
A．兩組對邊分別平行 B．對角線互相垂直
C．對角線相等 D．兩組對角分別相等
【習(xí)題2】下列說法正確的是　　
A．菱形的四個內(nèi)角都是直角
B．矩形的對角線互相垂直
C．正方形的每一條對角線平分一組對角
D．平行四邊形是軸對稱圖形
【習(xí)題3】已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的　　
A．當(dāng)時，它是菱形 B．當(dāng)時，它是菱形
C．當(dāng)時，它是矩形 D．當(dāng)時，它是矩形
【習(xí)題4】矩形各角的角平分線交成的四邊形是　　
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【習(xí)題5】如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論正確的是　　
A．當(dāng)時，四邊形是矩形
B．當(dāng)時，四邊形是矩形
C．當(dāng)時，四邊形是菱形
D．當(dāng)時，四邊形是正方形
【習(xí)題6】如圖，在矩形中，對角線，交于點，，，則的長是　　
A．4 B．2 C． D．
【習(xí)題7】如圖，在矩形中，對角線、交于點，，矩形的面積是，那么這個矩形的周長是　　
A． B． C． D．
【習(xí)題8】如圖，在菱形中，，的垂直平分線交對角線于點，為垂足，連接，求的度數(shù)．
【習(xí)題9】已知：如圖，中，是延長線上一點，是的中線，是的中點，過點作，與的延長線相交于點．
（1）求證：四邊形是平行四邊形．
（2）如果平分，求證：四邊形是矩形．
【習(xí)題10】已知：如圖，在四邊形中，，對角線、交于點，過點作交的延長線于點，聯(lián)結(jié)，．
（1）求證：；
（2）如果平分，求證：四邊形是菱形．
【習(xí)題11】已知：如圖，四邊形是菱形，點，分別在邊，上，且，過點作的平行線交對角線的延長線于點，連接．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）如果，求證：四邊形是正方形．
【習(xí)題12】如圖，矩形中，點在軸上，點在軸上，點的坐標(biāo)是．矩形沿直線折疊，使得點落在對角線上的點處，折痕與、軸分別交于點、．
（1）求點的坐標(biāo)；
（2）若點是平面內(nèi)任一點，在軸上是否存在點，使、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【作業(yè)1】下面性質(zhì)中菱形有而矩形沒有的是　　
A．鄰角互補 B．對角線互相垂直
C．對角線相等 D．對角線互相平分
【作業(yè)2】如圖，把長方形沿對折后使兩部分重合，若，則　　
A． B． C． D．
【作業(yè)3】如果要證明平行四邊形為正方形，那么我們需要在四邊形是平行四邊形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步證明　　
A．且 B．且
C．且 D．和互相垂直平分
【作業(yè)4】在下列圖形中，①等邊三角形，②正方形，③正五邊形，④正六邊形．其中既是軸對稱圖形又是中心對稱的圖形有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【作業(yè)5】已知一個菱形的邊長為5，其中一條對角線長為8，則這個菱形的面積為　 　．
【作業(yè)6】矩形的兩條對角線的夾角為，一條對角線的長為2，那么矩形的周長為　 　．
【作業(yè)7】如圖，在矩形中，平分，，則的度數(shù)是　 　．
【作業(yè)8】已知：如圖四邊形是菱形，是對角線上的一點，聯(lián)結(jié)、．求證：．
【作業(yè)9】如圖，在正方形中，為的中點，，平分并交于．試說明：．
【作業(yè)10】已知：如圖，四邊形的對角線、相交于點，，．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）如果點在邊上，平分，，求證：．
參考答案
一．矩形（共12小題）
【例1．關(guān)于矩形的性質(zhì)，以下說法不正確的是　　
A．四個角都是直角 B．對角線相等
C．對角線互相垂直 D．是軸對稱圖形
解：矩形是軸對稱圖形，四個角都是直角，對角線相等，故，，都對，不符合題意，
而菱形是對角線互相垂直，矩形不具有，故錯誤，符合題意，
故選：．
【例2．在四邊形中，，．下列說法能使四邊形為矩形的是　　
A． B． C． D．
解：、，，
四邊形是平行四邊形，
由，不能判定四邊形為矩形，故選項不符合題意；
、，，
四邊形是平行四邊形，
由，不能判定四邊形為矩形，故選項不符合題意；
、，
，
，
，
，，
的長為與間的距離，
，
，，
，
四邊形是矩形，故選項符合題意；
、，
，，
，
，
，
四邊形是等腰梯形，故選項不符合題意；
故選：．
【例3．下列條件不能判定一個四邊形是矩形的是　　
A．四個內(nèi)角都相等 B．四條邊都相等
C．對角線相等且互相平分 D．對角線相等的平行四邊形
解：、四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形，故選項不符合題意；
、四條邊都相等的四邊形是菱形，故選項符合題意；
、對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故選項不符合題意；
、對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項不符合題意；
故選：．
【例4．如圖，在矩形中，對角線，交于點，若，，則對角線的長是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
解：四邊形是矩形，
，，，
，
又，
是等邊三角形，
，
，
故選：．
【例5．已知四邊形中，，，下列說法不正確的是　　
A．如果，那么四邊形是矩形
B．如果，那么四邊形是矩形
C．如果，那么四邊形是矩形
D．如果，那么四邊形是矩形
解：、，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，故不符合題意；
、當(dāng)，，，不能判定四邊形是矩形，故符合題意；
、，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，故不符合題意；
、如圖，
，，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，故不符合題意，
故選：．
【例6．如圖，在矩形中，，對角線與相交于點，垂直平分于點，則的長為　　
A． B． C．4 D．2
解：四邊形是矩形，
，
垂直平分，
，
，
是等邊三角形，
，
，
故選：．
【例7．矩形的兩條對角線的夾角為，一條對角線與較短邊的和為6，則較長邊為 　　．
解：四邊形是矩形，
，，，
，
，
是等邊三角形，
，
．
，
矩形長邊的長等于，
故答案為：．
【例8．已知矩形，對角線與相交于點，如果，，那么的長是 　　．
解：矩形，
，
又，
是等邊三角形，
，
即，
又，
，
故答案為：．
【例9．如圖，在矩形中，，在上取一點，使，則的度數(shù)為 　　．
解：四邊形是矩形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【例10．如圖，在矩形中，與相交于點，如果，，那么　12　．
解：，
，
四邊形為矩形，
，
為等邊三角形，
，
．
故答案為：12．
【例11．如圖， 矩形中，，，是上一點， 把沿直線翻折，點恰好落在邊上的點處， 則　 3 　．
解：四邊形是矩形，
，，．
是翻折得到的，
，，
，
，
，
，
解得．
故答案為 3 ．
【例12．如圖，中，，平分交于點，平分的外角，且．求證：四邊形是矩形．
【解答】證明：
是的平分線，
，
是的平分線，
，
，
，
即，
，，
，
即，
，
四邊形是矩形．
二．菱形（共12小題）
【例13．已知四邊形是菱形，和是菱形的對角線，那么下列說法一定正確的是　　
A． B． C． D．
解：四邊形是菱形，
，
故選：．
【例14．已知平行四邊形的對角線、相交于點．下列補充條件中，能判定這個平行四邊形是菱形的是　　
A． B． C． D．
解：能判定這個平行四邊形是菱形的是，理由如下：
如圖，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
平行四邊形是菱形，
故選：．
【例15．已知四邊形中，，再補充一個條件使得四邊形為菱形，這個條件可以是　　
A． B．
C．與互相平分 D．
解：在四邊形中，對角線，互相平分，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形．
故選：．
【例16．已知四邊形，，、是它的兩條對角線．下列條件中，不能判定四邊形是菱形的是　　
A． B． C． D．．
解：，、是它的兩條對角線，
添加，
四邊形是菱形，故正確；
添加，
不能得出四邊形是菱形，故錯誤；
添加，
四邊形是菱形，故正確；
添加，
四邊形是菱形，故正確；
故選：．
【例17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是菱形，，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為　　
A． B．， C． D．
解：點的坐標(biāo)為，
，
四邊形是菱形，，
，
，
，
，，
故選：．
【例18．如圖，在菱形中，對角線、交于點，若菱形的面積是12，則的面積為　　
A．3 B．6 C．24 D．48
解：四邊形是菱形，
，，
，
故選：．
【例19．已知菱形的周長為40，一條對角線長為12，則這個菱形的面積是 　96　．
解：因為周長是40，所以邊長是10．
如圖所示：，．
根據(jù)菱形的性質(zhì)，，，
，．
面積．
故答案為96．
【例20．如果菱形的面積是24，較短的對角線長為6，那么這個菱形的邊長是 　5　．
解：設(shè)菱形的另一對角線長為，
由題意：，
解得：，
菱形的邊長為：，
故答案為：5．
【例21．如圖，在菱形中，，，則的長為 　10　．
解：四邊形是菱形，
，
，
是等邊三角形，
．
故答案為：10．
【例22．如圖，在菱形中，點是上一點，連接交對角線于點，連接，若，則　40　．
解：四邊形是菱形，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：40．
【例23．如圖，，平分，且交于點，平分，且交于點，連接．求證：四邊形是菱形．
【解答】證明：
，
，，
、分別是、的平分線，
，，
，，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形．
【例24．如圖，已知在四邊形中，，點為中點，，平分．
（1）求證：；
（2）求證：四邊形是菱形．
【解答】證明：（1）為中點，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
四邊形平行四邊形，
；
（2）由（1）知，四邊形平行四邊形，
，，
，
由（1）知，，
，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是菱形．
三．正方形（共9小題）
【例25．在四邊形中，．如果再添加一個條件可證明四邊形是正方形，那么這個條件可以是　　
A． B． C． D．
解：在四邊形中，
，
四邊形是矩形，
當(dāng)時，即一組鄰邊相等時，矩形為正方形，
故符合題意，
故選：．
【例26．已知四邊形中，，，，如果添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個條件可以是　　
A． B． C． D．
解：，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，
添加，
四邊形是正方形，
故選：．
【例27．如圖，已知四邊形是平行四邊形，那么添加下列條件能判定四邊形是正方形的是　　
A．且 B．且和互相平分
C．且 D．且
解：、且，是菱形，不符合題意；
、對角線互直垂直且互相平分，是菱形，不符合題意；
、且不能判斷四邊形是正方形，不符合題意；
、且四邊相等，是正方形，符合題意；
故選：．
【例28．若正方形的對角線是6，則此正方形的面積是 　18．　．
解：四邊形為正方形，
正方形的面積，
故答案為：18．
【例29．如圖，已知是正方形對角線上一點，且，則度數(shù)是　67.5　．
解：是正方形對角線上一點，
，
，
．
故答案為：67.5．
【例30．如圖，正方形中，延長到，使，交于，那么　　．
解：四邊形是正方形，
，平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【例31．已知平行四邊形，對角線、相交于點，且，延長至點，使，聯(lián)結(jié)．
（1）當(dāng)時，求證：；
（2）當(dāng)時，求證：四邊形是正方形．
【解答】證明：（1）四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
即；
（2）
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
四邊形是正方形．
【例32．如圖所示，在正方形的對角線上取點，使，過點作交于點，求證：．
【解答】證明：如圖，
連接，
在和中，
，
；
四邊形為正方形，
，
在中，
，
，
，
，
．
【例33．已知，如圖，四邊形是菱形，是銳角，于點，于點，在邊上取點，使得，在邊上取點，使得．聯(lián)結(jié)、、、．
（1）求證：四邊形是矩形．
（2）若度，求證：四邊形是正方形．
【解答】證明：（1）如圖1，連結(jié)，
四邊形是菱形，
，，
，，
，，，
四邊形為矩形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
同理得，
，
四邊形H是平行四邊形，
，，
，
，
，，
，
，
四邊形是矩形；
（2）如圖2，由（1）知：四邊形是矩形，
，
過點作于，交的延長線于，則四邊形是矩形，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
四邊形是正方形．
四．課堂（共12小題）
【習(xí)題1】矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是　　
A．兩組對邊分別平行 B．對角線互相垂直
C．對角線相等 D．兩組對角分別相等
解：矩形的性質(zhì)是：①矩形的四個角都是直角，②矩形的對邊相等且互相平行，③矩形對角線相等且互相平分；
菱形的性質(zhì)是：①菱形的四條邊都相等，菱形的對邊互相平行；②菱形的對角相等，③菱形的對角線互相平分且垂直，并且每條對角線平分一組對角，
所以矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是對角線相等，
故選：．
【習(xí)題2】下列說法正確的是　　
A．菱形的四個內(nèi)角都是直角
B．矩形的對角線互相垂直
C．正方形的每一條對角線平分一組對角
D．平行四邊形是軸對稱圖形
解：．菱形的四個內(nèi)角不一定都是直角，故選項不符合題意；
．矩形的對角線不一定互相垂直，故選項不符合題意；
．正方形的每一條對角線平分一組對角，故選項符合題意；
．平行四邊形不一定是軸對稱圖形，故選項不符合題意；
故選：．
【習(xí)題3】已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的　　
A．當(dāng)時，它是菱形 B．當(dāng)時，它是菱形
C．當(dāng)時，它是矩形 D．當(dāng)時，它是矩形
解：、四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形，故本選項不符合題意；
、四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是矩形，故本選項符合題意；
、四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是矩形，故本選項不符合題意；
、四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是矩形，故本選項不符合題意；
故選：．
【習(xí)題4】矩形各角的角平分線交成的四邊形是　　
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
解：如圖所示，
四邊形是矩形，
，
、、、分別平分、、、，
，
，，，
四邊形是矩形，
在和中，
，
，
，
，
，
，
矩形是正方形，
故選：．
【習(xí)題5】如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論正確的是　　
A．當(dāng)時，四邊形是矩形
B．當(dāng)時，四邊形是矩形
C．當(dāng)時，四邊形是菱形
D．當(dāng)時，四邊形是正方形
解：、四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形，故本選項不符合題意；
、四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形，故本選項不符合題意；
、四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形，故本選項符合題意；
、四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是矩形，故本選項不符合題意；
故選：．
【習(xí)題6】如圖，在矩形中，對角線，交于點，，，則的長是　　
A．4 B．2 C． D．
解：四邊形是矩形，對角線，交于點，
，
又，
是等邊三角形，
，
，
，
，
故選：．
【習(xí)題7】如圖，在矩形中，對角線、交于點，，矩形的面積是，那么這個矩形的周長是　　
A． B． C． D．
解：四邊形是矩形，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
矩形的面積是，
，
，，
這個矩形的周長，
故選：．
【習(xí)題8】如圖，在菱形中，，的垂直平分線交對角線于點，為垂足，連接，求的度數(shù)．
解：四邊形是菱形，
，，
，
在菱形中，，
垂直平分，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
．
【習(xí)題9】已知：如圖，中，是延長線上一點，是的中線，是的中點，過點作，與的延長線相交于點．
（1）求證：四邊形是平行四邊形．
（2）如果平分，求證：四邊形是矩形．
【解答】證明：（1）是的中線，是的中點，
是的中位線，
，
，
四邊形是平行四邊形；
（2）四邊形是平行四邊形，
．
是的中線，
，
．
，
四邊形是平行四邊形．
平分，
．
，
，，
，
，
，
，
平行四邊形是矩形．
【習(xí)題10】已知：如圖，在四邊形中，，對角線、交于點，過點作交的延長線于點，聯(lián)結(jié)，．
（1）求證：；
（2）如果平分，求證：四邊形是菱形．
【解答】證明：（1），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
在和中，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
平分，
，
，
，
平行四邊形是菱形．
【習(xí)題11】已知：如圖，四邊形是菱形，點，分別在邊，上，且，過點作的平行線交對角線的延長線于點，連接．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）如果，求證：四邊形是正方形．
【解答】（1）證明：菱形，
，，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形；
（2）證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形是菱形，
四邊形是正方形．
【習(xí)題12】如圖，矩形中，點在軸上，點在軸上，點的坐標(biāo)是．矩形沿直線折疊，使得點落在對角線上的點處，折痕與、軸分別交于點、．
（1）求點的坐標(biāo)；
（2）若點是平面內(nèi)任一點，在軸上是否存在點，使、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
解：（1）四邊形是矩形，點的坐標(biāo)是．
，，，
；
由折疊的性質(zhì)得：，，，
，，
設(shè)，則，，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，
；
（2）存在，點的坐標(biāo)為或或，或，；理由如下：
①當(dāng)、都為菱形的邊時，，
的坐標(biāo)為或；
②當(dāng)為菱形的邊，為對角線時，垂直平分，垂足為，如圖1所示：
則，
，，
，
到軸的距離，
，
，
，
解得：，
，；
③當(dāng)為菱形的對角線，為邊時，如圖2所示：
同②得：，；
綜上所述，在軸上存在點，使以、、、為頂點的四邊形是菱形，點的坐標(biāo)為或或，或，．
五．作業(yè)（共10小題）
【作業(yè)1】下面性質(zhì)中菱形有而矩形沒有的是　　
A．鄰角互補 B．對角線互相垂直
C．對角線相等 D．對角線互相平分
解：、平行四邊形的鄰角互補，
矩形的鄰角互補．故矩形和菱形的鄰角均互補，故不符合題意；
、菱形對角線互相垂直，矩形的對角線不互相垂直，故符合題意．
、矩形的對角線相等，菱形的對角線互相垂直且平分，故不符合題意；
、平行四邊形的對角線互相平分，矩形對角線互相平分．故矩形和菱形的對角線互相平分，故不符合題意；
故選：．
【作業(yè)2】如圖，把長方形沿對折后使兩部分重合，若，則　　
A． B． C． D．
解：把長方形沿對折后使兩部分重合，，
，
，
，
，
故選：．
【作業(yè)3】如果要證明平行四邊形為正方形，那么我們需要在四邊形是平行四邊形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步證明　　
A．且 B．且
C．且 D．和互相垂直平分
解：、根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，或者對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以不能判斷平行四邊形是正方形；
、根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形為矩形，所以能判斷四邊形是正方形；
、一組鄰角相等的平行四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形也是矩形，即只能證明四邊形是矩形，不能判斷四邊形是正方形；
、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以不能判斷四邊形是正方形．
故選：．
【作業(yè)4】在下列圖形中，①等邊三角形，②正方形，③正五邊形，④正六邊形．其中既是軸對稱圖形又是中心對稱的圖形有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
解：②、④兩者都既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，①③只是軸對稱圖形．
故選：．
【作業(yè)5】已知一個菱形的邊長為5，其中一條對角線長為8，則這個菱形的面積為　24　．
解：如圖，菱形中，，，
，，
，
，
這個菱形的面積為：．
故答案為：24．
【作業(yè)6】矩形的兩條對角線的夾角為，一條對角線的長為2，那么矩形的周長為 　　．
解：矩形的兩條對角線的夾角為，
且矩形對角線相等且互相平分，
為等邊三角形，
，
在直角中，，，
，
故矩形的周長為．
故答案為：．
【作業(yè)7】如圖，在矩形中，平分，，則的度數(shù)是 　　．
解：在矩形中，平分，
，
，
，
，
為等邊三角形，
，
，，
為等腰直角三角形，
．
，，
．
故答案為：．
【作業(yè)8】已知：如圖四邊形是菱形，是對角線上的一點，聯(lián)結(jié)、．求證：．
【解答】證明：四邊形是菱形，
，，
在和中，
，
，
．
【作業(yè)9】如圖，在正方形中，為的中點，，平分并交于．
試說明：．
解：取的中點，連接，
為的中點，且四邊形是正方形，
；
；
；
；
而平分，
；
；
，
，
，即．
在與中，
，
．
【作業(yè)10】已知：如圖，四邊形的對角線、相交于點，，．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）如果點在邊上，平分，，求證：．
【解答】證明：（1）在和中，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
平行四邊形是矩形；
（2）過點作于，如圖所示：
由（1）得：四邊形是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．

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